Асимптотические задачи теории трехмерного пограничного слоя при до- и сверхзвуковых скоростях

Оглавление
Введение.................................................................6
Глава 1. Проблемы теории трехмерного пограничного слоя
(краткий обзор).............................................14
1.1. Общая постановка задачи трехмерного нестационарного пограничного слоя.......................................14
1.2. Основные свойства и методы решения уравнений пространственного пограничного слоя.....................22
1.2.1. Автомодельные и асимптотические решения................22
1.2.2. Свойства и методы численного решения уравнений трехмерного стационарного пограничного слоя..............................37
1.3. Расчет положения ламинарно-турбулентного перехода. . . 48
1.4. Моделирование турбулентного течения......................56
Выводы главы 1................................................67
Глава 2. Трехмерные нестационарные пограничные слои
с малыми поперечными течениями..............................69
2.1. Метод возмущений для пограничного слоя с малыми поперечными течениями...............................................69
2.2. Пограничный слой на квазидвумерных поверхностях ... 74
Выводы главы 2................................................78
Глава 3. Пограничный слой на тонких крыльях.........................79
3.1. Общая постановка задачи..................................79
3.2. Метод возмущений для пограничного слоя на основной части поверхности.............................................83
3.3. Пограничный слой в окрестности передних кромок ... 88
3.3.1. Пограничный слой в окрестности затупленной передней кромки. 88
3.3.2. Пограничный слой в окрестности острой передней кромки . 92
3.4. Стационарный пограничный слой на тонких крыльях малого удлинения...............................................94
3.4.1. Течение невязкого газа около тонкого крыла малого удлинения. 95
3.4.2. Пограничный слой на тонких крыльях малого удлинения . . 99
Выводы главы 3.................................................102
Глава 4. Пограничный слой около слабо несимметричных тел
при малых углах атаки........................................104
4.1. Формулировка задачи...........................................104
4.2. Метод возмущений для пограничного слоя........................106
4.3. Пограничный слой в окрестности вершин.........................113
4.3.1. Острая вершина..............................................113
4.3.2. Параболическая вершина......................................117
4.4. Интегральные характеристики пограничного слоя
на слабо несимметричных телах при малых углах атаки . . 127
Выводы главы 4.....................................................130
Глава 5. Метод расчета и решения некоторых задач стационарного
трехмерного ламинарного и турбулентного пограничного слоя. 131
5.1. Метод расчета трехмерного пограничного слоя на тонких крыльях
и слабо несимметричных телах при малых углах атаки. . . 132
5.2. Метод расчета турбулентного пограничного слоя и анализ градиентных моделей турбулентной вязкости.........................137
5.2.1. Преобразование уравнений и расчетная сетка для турбулентного пограничного слоя.................................................138
5.2.2. Расчет турбулентного пограничного слоя на теплоизолированной пластине..........................................................140
5.2.3. Расчет турбулентного пограничного слоя на стреловидном крыле 143
5.3. Пограничный слой на крыльях в сверхзвуковом потоке газа. . 147
5.3.1. Пограничный слой на трапециевидном крыле . . . .147
5.3.2. Пограничный слой на треугольном крыле.......................151
5.4. Трансзвуковой пограничный слой на сверхкритическом крыле переменной стреловидности.........................................159
5.4.1. Расчеты при числе Маха М = 0.99.............................161
5.4.2. Расчеты при числе Маха М- 0.5...............................164
5.5. Трехмерный пограничный слой на телах вращения под углом
атаки........................................................167
5.5.1. Пограничный слой на тонком остром конусе в сверхзвуковом потоке газа........................................................167
5.5.2. Пограничный слой на эллипсоидах вращения под углом атаки
в дозвуковом потоке газа . . 171
5.6. Влияние объемного и поверхностного нагрева газа на отрыв турбулентного пограничного слоя на остром конусе . . .176
5.6.1. Влияние объемного нагрева газа на отрыв пограничного слоя . 176
5.6.2. Влияние локального нагрева поверхности на отрыв пограничного слоя......................................183
5.7. Влияние положения ламинарно-турбулентного перехода
на глобальную структуру течения и возможности управления . 185
5.7.1. Влияние ламинарно-турбулентного перехода на трансзвуковое обтекание сверхкритических крыльев.....................186
5.7.2. Влияние ламинарно-турбулентного перехода на сверхзвуковое течение около крыла....................................190
5.7.3. Влияние ламинарно-турбулентного перехода на отрывное течение около конуса...................................192
Выводы главы 5................................................194
Глава 6. Особенности уравнений трехмерного пограничного слоя . 195
6.1. Особенности течения в пограничном слое на тонком круговом конусе под углом атаки...................................195
6.1.1. Постановка задачи......................................196
6.1.2. Асимптотика решений уравнений пограничного слоя в плоскости симметрии..............................................199
6.1.3. Решение задачи Коши с начальными данными в плоскости растекания.............................................203
6.1.4. Особенности уравнений пограничного слоя в плоскости
стекания..................................................206
4
6.2. Особенности решений уравнений по1раничного слоя и структура
течения в окрестности плоскости стекания на конических телах . 213
6.2.1. Ламинарный пограничный слой на конических телах. . . 214
6.2.2. Решение уравнений для внешней части пограничного слоя и особенности в плоскости стекания....................................217
6.2.3. Течение в пограничной области около плоскости стекания . 220
6.2.4. Область взаимодействующего пограничного слоя . . . 223
6.3. Особенности уравнений пограничного слоя на тонких крыльях
малого удлинения................................................ 230
6.3.1 Особенности пограничного слоя на плоском крыле в плоскости
излома кромок..................................................230
6.3.2. Возмущения внешнего течения пограничным слоем . . . 232
6.3.3. Особенности второго приближения для ламинарного пограничного слоя на треугольной пластине малого удлинения. . . .235
6.3.4. Особенности ламинарного пограничного слоя на тонком коническом крыле при малых углах атаки..............................240
Выводы главы 6.................................................245
Заключение...........................................................247
Список литературы ...................................................250
Приложение 1.........................................................279
5
Введение
Исследования свойств пространственных течений вязкого газа при больших числах Рейнольдса является одной из фундаментальных и актуальных проблем современной аэрогидромеханики. Это обусловлено интенсивным развитием авиационно-космической техники, необходимостью поиска новых подходов к повышению аэродинамического совершенства и новых принципов конструирования летательных аппаратов. Основой таких исследований являются лабораторные и летные эксперименты, но они дают ограниченную информацию о деталях течения, а их использование сильно увеличивает время и стоимость разработок.
Комплексный подход с использованием достижений теории и основанных на ней вычислительных методов; особенно на стадии предварительного проектирования, позволяет в значительной степени решить эти проблемы: определить параметрические зависимости аэродинамических характеристик и область критических режимов, выбрать рациональный, облик аппарата и провести оптимальное планирование экспериментальных исследований. Во многих случаях такой подход - единственное средство получения информации о тонкой структуре течений, что позволяет выработать рациональные подходы к управлению этой структурой. Принципиальная необходимость и практическая значимость теоретических исследований фундаментальных свойств вязких пространственных течений и разработок новых теоретических методов и подходов к их анализу была продемонстрирована при создании авиационно-космических систем, таких как «Буран» и Space Shuttle, а также современных дальнемагистральных самолетов.
Несмотря на быстрое развитие вычислительной техники и методов математического моделирования течений на основе уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса, задачи теории трехмерного пограничного слоя, основанные на работе Л. Прандтля [1], не потеряли своей актуальности и представляют значительный интерес в аэрогидродинамике. Это связано с тем, что в области больших чисел Рейнольдса свойства уравнений Навье-Стокса недостаточно изучены, а требования к точности численного моделирования приводят к необходимости разрешения мелких масштабов и применению сложных вычислительных процедур, что сущест-
6
венно увеличивает размерность задачи, время расчетов и часто превышает возможности вычислительной техники. Теория пограничного слоя позволяет использовать аналитические подходы при исследовании особенностей сложных течений, что позволяет повысить эффективность применения математических моделей более высокого порядка и основанных на них вычислительных процедур [2-12]. Это показывает, например, разработка теории отрыва в двумерных течениях [13-15]. Кроме этого, существует целый ряд физических проблем, таких как задачи гидродинамической устойчивости, ламинарно-турбулентного перехода и развитого турбулентного течения, изучение которых традиционно ведется в рамках теории пограничного слоя. Эти проблемы важно, как с точки зрения развития теории и разработки расчетных моделей, так и для приложений. Поэтому исследование задач трехмерного пограничного слоя представляется весьма актуальным и имеет острую практическую направленность.
Целью настоящей работы является теоретическое и численное исследование некоторых задач стационарного и нестационарного трехмерного пограничного слоя, к которым относятся:
1. Анализ уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя в случае малых поперечных течений.
2. Анализ уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя на тонких крыльях при малых углах атаки.
3. Анализ уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя на слабо несимметричных телах при малых углах атаки.
4. Разработка на основе теоретических исследований и верификация рационального метода расчета ламинарного и турбулентного трехмерного стационарного пограничного слоя на тонких крыльях и слабо несимметричных телах и численное исследование некоторых задач этого и смежного типов.
5. Анализ особенностей, возникающих в трехмерном пограничном слое на конических поверхностях, и связанной с этими особенностями структуры течения.
Научная новизна полученных результатов заключается в следующем.
7
Рассмотрена задача, не только нулевого, но и первого приближения для трехмерного нестационарного пограничного слоя с малыми поперечными скоростями и через физические параметры течения определен порядок возмущений.
Определен класс задач, для которого применение теории возмущений является эффективным, и для него получено автомодельное решение уравнений. Выведена система уравнений для объединяющего два приближения композитного решения, которая много проще исходной системы, включает основные пространственные эффекты и обобщает приближение малых вторичных течений.
На основе применения метода сращиваемых асимптотических разложений к задачам трехмерного нестационарного пограничного слоя на тонких крыльях и слабо несимметричных телах при малых углах атаки их удалось свести к решению последовательности двумерных стационарных и нестационарных задач.
На основе проведенного теоретического анализа предложен и верифицирован эффективный метод расчета ламинарного и турбулентного стационарного трехмерного пограничного слоя и с его помощью проведены, исследования некоторых течений.
Получены точные решения асимптотических уравнений, описывающих ламинарное течение во внешней части трехмерного пограничного слоя на тонких конических поверхностях, и на этой основе изучен новый тип особенностей уравнений трехмерного пограничного слоя.
Изучена асимптотическая структура течения в.окрестности особенности и на основе уравнений Навье-Стокса построена регулярная модель течения . Получены точные решения уравнений этой модели для внешней области и показано, что они сращиваются с решениями уравнений пограничного слоя.
Исследованы особенности уравнений пограничного слоя в плоскостях, проходящих через точки излома передних кромок тонких крыльев малого удлинения, связанные с воздействием пограничного слоя на внешний поток и углом атаки.
Научная и практическая ценность работы состоит в следующем.
На основе асимптотического анализа уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя получена новая система уравнений, описывающая течения с
малыми поперечными скоростями, сформулирована краевая задача, разработан и верифицирован эффективный метод расчета характеристик трехмерного пограничного слоя для практически важных конфигураций обтекаемых поверхностей -тонких крыльев и слабо несимметричных тел при малых углах атаки. Этот подход нашел приложение в ЦАГИ для расчета характеристик пограничного слоя на современных летательных аппаратов и применяется для решения задач, связанных с ламиниризацией обтекания перспективных летательных аппаратов
На основе исследований влияния локального объемного и поверхностного нагревания газа получен патент на способ управления вихревой структурой обтекания тел.
Аналитические исследования течения вязкого газа около конических поверхностей позволили получить новые знания об особенностях уравнений-трехмерного пограничного слоя и структуре течения в окрестности этих особенностей. Эти результаты представляют как чисто теоретический интерес, так и полезны для построения эффективных алгоритмов расчета и конечно-разностных сеток при решении подобного типа задач на основе уравнений Навье-Стокса.
На защиту выносятся:
1. Асимптотический анализ уравнений нестационарного трехмерного пограничного слоя с малыми поперечными скоростями течения, сформулированные автомодельные краевые задачи для. первого приближения и составного решения.
2. Анализ краевой задачи для трехмерного нестационарного пограничного слоя на тонких крыльях при малых углах атаки и полученные асимптотические уравнения.
3. Анализ краевой задачи для трехмерного нестационарного пограничного слоя на слабо несимметричных телах и полученные асимптотические уравнения.
4. Метод расчета характеристик трехмерного стационарного ламинарного и турбулентного пограничного слоя на тонких крыльях и слабо несимметричных телах, его верификация и результаты численного исследования некоторых течений.
9
5. Результаты аналитических исследований особенностей уравнений трехмерного пограничного слоя на конических поверхностях, асимптотическая структура течения в их окрестности, полученные в рамках уравнений Навье-Стокса уравнения для асимптотических областей и их решения.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзных и Всероссийских школах и конференциях: «Численные методы механики сплошной среды» (Омск, 1985 гг), «Методы аэрофизических исследований» (Новосибирск, 1986 г.), «Моделирование в механике» (Якутск, 1987 г.), "Аэродинамика летательных аппаратов" (Жуковский, 2007 г.), «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2007 г.), VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва. 1991), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Нижний Новгород, 2006 г.); Международных школах-семинарах и конференциях: "Турбулентный пограничный слой" (Жуковский, 1992 г.), "Модели и методы аэродинамики" (Евпатория, 2002-2008 г.); «Фундаментальные исследования в аэрокосмических науках» (Жуковский, 1994 г.), «Методы аэрофизических исследований» (Новосибирск, 2007 г.), 42-й и 43-й конференциях AI А А (США, Рино, Невада, 2002-2003 гг.), конференции по высоскоскоростным течениям (WEHSF, Москва, 2008), Европейской конференции по аэрокосмическим наукам (EUCASS,Франция, Версаль, 2009). По материалам диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ в рецензируемых журналах и получен 1 патент.
Все вынесенные на защиту результаты получены автором самостоятельно. При постановке задач по теории стационарного трехмерного пограничного слоя с малыми поперечными течениями полезными были консультации А.Д. Хонькина, с которым автор имеет две совместные публикации. Экспериментальные исследования пограничного слоя на треугольном крыле выполнены совместно с A.C. Мо-зольковым и В.М. Божковым. Расчеты пограничного слоя с объемным и поверхностным нагревом выполнены как часть работ по управлению структурой отрывного обтекания конуса и опубликованы в соавторстве с Н.Д. Малмутом, A.B. Федоровым, В.А. Жаровым и И.В. Шалаевым. Результаты приложения теории к рас-
чету интегрального сопротивления трения тел опубликованы совместно с Н.Д. Малмутом, А.В. Федоровым.
Достоверность полученных результатов подтверждается их внутренней согласованностью и непротиворечивостью, применением стандартных методов асимптотического анализа для их получения, сравнением результатов расчетов на основе выведенных уравнений с экспериментальными данными и результатами численного решения полных уравнений трехмерного пограничного слоя, а также тем, что часть из них получена на основе точных аналитических решений.
Результаты работы изложены на 285 страницах, включая введение, шесть глав, заключение, список литературы и приложение.
Во введении, указаны цель работы и рассматриваемые задачи, показана их актуальность, изложены результаты, которые выносятся на защиту, отмечены их научная новизна, научная и практическая ценность, апробация и достоверность.
В первой главе, которая носит обзорный характер, изложена постановка задачи трехмерного нестационарного пограничного слоя, рассмотрены ее особенности и случаи возможного упрощения, сделан обзор современных способов моделирования ламинарно-турбулентного перехода и развитого турбулентного течения.
Во второй главе представлен асимптотический анализ уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя в случае малых поперечных течений, получены уравнения нулевого и первого приближений. Через физические параметры задачи определены масштабы возмущений в пограничном слое. Выделен класс течений, для которого применение метода возмущений является эффективным, получено автомодельное решение задачи первого приближения. Выведена автомодельная система уравнений для объединяющего два приближения составного решения, которая проще исходных уравнений, включает в себя основные пространственные эффекты и обобщает приближение малых вторичных течений.
В третьей', главе представлен асимптотический анализ уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя на тонких крыльях при малых углах атаки. Проведен анализ уравнений для основной части поверхности и показано,
что течение здесь является частным случаем течений с малыми поперечными скоростями. В окрестности передних кромок краевая задача сведена к стационарной задаче приближения скользящего крыла. Выведены условия сращивания решений в двух асимптотических областях. Проанализированы особенности постановки для крыльев малого удлинения.
В четвертой главе в рамках метода сращиваемых асимптотических разложений построена упрощенная система уравнений для трехмерного нестационарного пограничного слоя на телах с малой асимметрией поперечного сечения при малых углах атаки. На основной части поверхности течение относится к рассмотренному классу течений с малыми поперечными скоростями. Показано* что в окрестности вершины справедливы уравнения для пространственной критической точки, которые упрощены в. рамках метода возмущений. Выведены условия сращивания решений в двух асимптотических областях. Показано, что определение интефальных коэффициентов теплообмена и трения можно свести к двумерной нестационарной задаче для средних величин.
В питой главе описан метод расчета характеристики пространственного ламинарного и турбулентного пофаничного слоя на тонких крыльях и слабо несимметричных телах при малых углах атаки, основанный на результатах теоретического анализа, полученных в главах 2-4. Представлены результаты верификации метода на основе сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными и расчетами другими методами. Проведены численные исследования ламинарного и турбулентного пофаничного слоя на крыльях различной конфигурации при различных условиях набегающего потока, а также на конусах и эллипсоидах вращения. Изучено влияние объемного и поверхностного локального на-фева газа на отрыв пограничного слоя на тонких конусах. Рассмотрены эффекты влияния, ламиниризации течения на глобальную структуру обтекания, крыльев и тел вращения.
В-шестой главе представлены результаты теоретических исследований особенностей уравнений трехмерного ламинарного пофаничного слоя на.конических телах. Получено точное решение уравнений для внешней части пофаничного
12
слоя на тонком круговом конусе под углом атаки с начальными данными в плоскости растекания. На этой основе проанализированы два семейства решений, соответствующие различным начальным условиям, и исследованы их особенности. В квадратурах получено решение уравнений для внешней части пограничного слоя на тонком конусе произвольной формы и исследованы его особенности в плоскости стекания. Показано, что такого типа особенности имеют место и для не тонких конусов. На основе уравнений Навье-Стокса построена регулярная асимптотическая модель течения, получены точные решения уравнений этой модели и показано, что они сращиваются с решениями уравнений пограничного слоя. Получено решение уравнений второго приближения для пограничного слоя на тонком крыле малого удлинения с прямыми передними кромками и рассмотрены особенности, возникающие в плоскости, проходящей через точку излома передней кромки. Проанализирован характер вторичных течений возникающих на треугольном крыле малого удлинения. Изучены особенности уравнений пограничного слоя на коническом крыле малого удлинения при малых углах атаки.
В заключении представлены основные выводы по результатам работы.
Список литературы содержит 379 ссылок.
В Приложении 1 представлены соотношения для преобразования координат, в окрестности затупленной вершины тела.
13
Глава 1. Проблемы теории трехмерного пограничного слоя (краткий обзор)
Теория пограничного слоя Л. Прандтля [1] открыла новое направление в механике вязкой жидкости и газа при больших числах Рейнольдса и позволила применять аналитические подходы для исследования таких течений. Различные аспекты развития этой теории отражены в ряде монографий и обзоров [2-46, 200-207, 218-220, 226, 240-243, 250-252, 264, 305, 313, 314]. Однако и в настоящее время свойства трехмерных и, особенно, нестационарных течений недостаточно изучены, а численные решения ограничены рядом вычислительных трудностей и проблем математического и физического характера..
В настоящей главе представлен краткий обзор проблем, связанных с постановкой и решением задач трехмерного пограничного слоя; В разделе 1.1 рассмотрена общая постановка, представлены основные уравнения и их преобразование, а. также краевые условия. В разделе. 1.2 рассмотрены некоторые автомодельные решения и приближенные постановки, связанные с применением метода малого параметра. В разделе 1.3 представлены: основные подходы к расчету положения ламинарно-турбулентного перехода. В разделе 1.4 обсуждены основные модели развитого турбулентного течения, используемые при решении инженерных задач. В1' конце главы сформулированы основные выводы.
1.1. Общая постановка задачи трехмерного нестационарного пограничного слоя
Течение вязкого теплопроводного 1-аза с характерными значениями давления
рт, плотности рв, эн галыши /?да, вязкости теплопроводности км и скорости иж около тела длиной Ь0> толщиной с0 и шириной /0 = ЛЬ0 ( рис. 1.1) определяется безразмерными параметрами: числами Маха М, Прандтля Рг и Рейнольдса Яе
где у - показатель адиабаты, ср - теплоемкость газа при постоянном давлении.
Схема течения и системы координат показаны на рис. 1.1; ХУ2 - декартова система координат.
В соответствии с идеей Л. Прандтля [1], при 11е -» оо решение уравнений На-вье-Стокса ищется методом сращиваемых асимптотических разложений. Во внешней области с характерным размером порядка Ь0 вязкие эффекты несущественны и течение описывается уравнениями Эйлера. В тонком пограничном слое вблизи поверхности тела силы вязкости и инерции имеют одинаковый порядок. Для постановки задачи пограничного слоя рассмотрим систему криволинейных неортогональных безразмерных координат х,п,г, связанных с поверхностью, и введем безразмерные характеристики течения
'О
ЛЬп
'о
р =
_Р -А
РЖ
и
, и = —
II
И>* . у’ТЯе . К рл р к*
УV =----, У =--------, /7 = —, р =----, Р =----, К =----
II.
и
к
Ра
Ра
К,.
Здесь звездочкой отмечены размерные величины: Ґ - время, р* - плотность, И' -энтальпия, р - вязкость, к - теплопроводность, и , и V* - продольная, поперечная и нормальная компоненты скорости, параметр Л характеризует удлинение крыла или толщину тела; п — нормаль к поверхности тела, х* и г4 - продольная и поперечная координаты.
Выбор переменных х и г, определяется характером задачи, способом представления поверхности и внешних граничных условий. Подвижным репером системы координат является тройка нормированных векторов (ех,ея,е=), причем еп - единичный вектор нормали к поверхности, а в(х,г) - угол между единичными векторами ех и е_, касательными к поверхности (рис. 1.1). Пусть поверхность тела задана радиус-вектором 1*(х,г). Тогда дифференциал с1И радиус-вектора представляется суммой
ло ло
сЖ = —сксл-------ск = Ь0 (ехЯ,с6с + е.ЛН2ск) = Ь0 (ехек1 + е.с&2)
дх дг
где Нх(х,г) и Н2(х,г)- коэффициенты Ламе, и Ж2 - дифференциалы длин координатных линий на поверхности. Системы координат, используемые в расчетах пограничного слоя, и методы расчета их характеристики обсуждались в работах [20-24,29,40,176].
Общая постановка задачи трехмерного пограничного слоя рассматривалась Т. Леви-Чивита [47],' Л. Хоуартом [48], У. Хейзом [31], У. Сирсом [32], Ф. Муром [33], В.В. Струминским [49,50] и в других работах [20, 23, 29, 30, 35, 41-46]. С использованием введенных обозначений система уравнений и краевых условий пограничного слоя представляются в следующей форме
ч
(
ди и ди м ди ди . л л 2 к2 2 7
—+-----------+---------+ V к&вви +——IV +кХ7им
Э/ Я, дх ЯН2 дг дп яп0
дм и дм м дм дм
— +------------+-------------+ у__ + _—_
дt Я, дх ХН2 дг дп ьтв
к
1 и2 - к2с^вм + к21им
д ди
+¥'р—"з;
„ д дм + Чгр =—р—
дп дп
дИ и дИ м дИ дк) 1 V -(у-1)М2 [др и дрл у/ др
1 , Я, дх ЯН2 дг 1" V дп) 1* Я, дх ЛН2 дг /
д к дк
дп Рг дп
+ (у- \)М2р
ди
дп
дм} ди дм п
— +2--------соъв
дп ) дп дп
др д(ру) 1 д(риН2$тв) 1 д(рм?Нх зтв) _
д( дп Н дх АН дг
= 0
16
рк=\+уМ2р(х,г)у Н - Н1Н2 бІп в п = 0: и = = 0, к = И„(і,х,г)
п^со:и = ие(^Хуг)у и> = (/,х,г), к = ке (ґ,х,г) (1.1.1)
£-0
дп
Нестационарность течения может быть обусловлена зависимостью от времени параметров набегающего потока или условий на поверхности - скорости вдува (отсоса) уи.(/,л:,г) и температуры поверхности Для уравнений (1.1.1)
необходимо таюке задать состояние течения в начальный момент времени, а на каждом шаге по времени - начальные условия, в качестве которых обычно используются решения в плоскостях растекания, симметрии и в критической точке, которые рассмотрены в разделе 1.2.1.
Течение в пограничном слое может быть ламинарным или турбулентным, что учитывается положением ламинарно-турбулентного перехода и выбором моделей вязкости и теплопроводности в соответствующих областях течения. Для ламинарного течения коэффициенты вязкости и теплопроводности могут быть определены с помощью формулы Сатерленда [2-5]
1 + й. , 110,4
к= и = кг й7 =------------—
й+й/ 5 й„
В случае турбулентного пограничного слоя представление уравнений в виде
(1.1.1) предполагает использование модели турбулентной вязкости для аппроксимации напряжений Рейнольдса. Некоторые модели ламинарно-турбулентного перехода и развитого турбулентного течения рассмотрены в разделах 1.3 и 1.4.
Возмущение давления р связано со скоростями (ие и плотностью ре и энтальпией ке на внешней границе пограничного слоя уравнениями Эйлера и состояния [42]
БІП в
1 др со$0 др ЧЯ, дх Л#2 02
17
Параметры к2, к]2 и к219 характеризующие кривизны координатных линий, определяются соотношениями [42]
Н = Н1Н2 бш ву кп =
НХН2 \ + соь20дН]
Н2 Я дг
(1-13)
Уравнения (1.1.1) — (1.1.3) несколько упрощаются, если криволинейные координаты х,п,2 являются ортогональными, т.е 0 = 90°, соб^ = 0. В теоретических работах и интегральных методах расчета характеристик пограничного слоя часто используется естественная система ортогональных координат, связанная с внешними линиями тока на поверхности тела и ортогональными им траекториями. В этом случае, м>е = 0, ие - модуль вектора скорости невязкого течения.
Уравнения импульса и энергии пограничного слоя имеют второй порядок по нормальной координате п, поэтому для составляющих скорости и, и> и энтальпии И требуется поставить два краевых условия - на поверхности тела и на внешней границе пограничного слоя. Нормальная составляющая скорости V может быть получена интегрированием уравнения неразрывности, которое содержит
производные по п только первого порядка. Следовательно, для нормальной скорости v необходимо сформулировать только одно краевое условие, которое приведено в соотношениях (1.1.1) для случая наличия массообмена - вдува или отсоса газа через стенку.
Уравнения (1.1.1) при заданном распределении давления описывают главное приближение в асимптотическом разложении решения уравнений Навье-Стокса около гладкой поверхности по малому параметру, пропорциональному характерной толщине пограничного слоя. Область их применения соответствует безотрывному течению при больших числах Рейнольдса (Re —>• оо) и умеренных числах Маха (М = <3(1)). В реальных задачах, например, при исследовании обтекания планера самолета имеются области, в которых теория пограничного слоя не применима - это области стыка крыла и фюзеляжа, концы крыльев, а также области отрыва потока.
Эффекты второго приближения теории пограничного слоя анализировались во многих работах [2, 3’, 7-18, 29, 30, 35, 41-46, 59, 60; 82, 83, 87, 88, 120, 136, 171, 342, 347, 348]. В'некоторых случаях они могут быть учтены в линейной постановке [3, 7-10, 29, 120, 347, 348]; для гиперзвуковых течений на режимах умеренного и сильного взаимодействия, а также в областях отрыва эти эффекты проявляются, в главном порядке [2, 3, 7-18, 59, 60, 342]. Метод решения обратной задачи пограничного слоя позволяет учитывать эффект вязко—невязкого взаимодействия и рассчитывать тонкие области отрыва для крыльев умеренного удлинения при умеренных числах Маха [3, 59, 339]. Вопрос о применимости такого приближения для тел достаточно общей формы тесно связан с характером особенностей уравнений (1.1.1). Если для двумерных и близких к ним течений имеется единственная особенность - особенность Гольдштейна-Ландау [14,15] - то для существенно трехмерных течений этот вопрос слабо исследован.
По своей структуре уравнения пограничного слоя (1.1.1) неоднородны, так как уравнение неразрывности существенно отличается от уравнений импульса и энергии. Используя групповые свойства уравнений (1.1.1) и преобразование A.A. Дородницына [172], можно исключить уравнение неразрывности, и преобразовать
19
(1.1.1) к системе однотипных уравнений, которые более удобны для численного и теоретического анализа. Такие преобразования были рассмотрены, например, в работах [3, 20-23, 30]. Они позволяют получить автомодельные решения и проанализировать особые решения уравнений (1.1.1) на линиях растекания, симметрии и в критической точке. С точки зрения численных расчетов, эти преобразования уменьшают число неизвестных и для ламинарного течения позволяют перейти к почти прямоугольной по нормальной координате расчетной области. Составляющие скорости могут быть выражены с помощью функций тока функции тока Ч/Х(х,у,2^) и у/2{х9у,29г)
ду/х ду/г
ри=~^Г' pw=~kr
дп дп
_ д г , 1 d(y/jtf2sin#) 1 d(i//2Hxsin#)
PV~~dt\P П~Н dx Jh dz
(1.1.4)
Третье соотношение (1.1.4) получено интегрированием уравнения неразрывности
(1.1.1). Введем переменную A.A. Дородницына тj [172] и модифицированные функции тока f(x,T]yzyl), g{xyt]yzyt)y T(xy7]yzyt)y такие что
и.
lmesi r \ df dg i i dT
Wi =J-£-LKg(x>77>z’0> u = u—9w = we—,h=:hc —
U ОТ] ОТ] ОТ]
pv = -
\meue
A=lLllln [HL
uc 2 dt lwe/
1
+ —
2
л , s<n, , Wx df [ sxrjs dg ue //, dt] ЯН2ис дт]
. 5, dln(meue) [ ^ sx dln(//2sin#)
H, dx H. dx
/ +
, *1 3/ , W f1 d ö (ln H | sin 0 ) d\nwe'
tf1 dx ЯН2ие 2 dz \ ^ w. ; dz dz J dz
ü d_
2 dx
ln^
mtsXJ
}d\np , ~
+ \-^T±äT]y tjz=+—
dx
_7] d
2 dz
/ > V
ln + f
l m'sJ J 0
dlnp
dz
dT]
20
Л д *Ж2*
I mj i at
mc = PcPe
(1.1.5)
Здесь sx~ длины координатной линии z = const на поверхности тела, измеряемая от линии растекания на крыле, xe=xc{z,t) или критической точки на теле,
В новых переменных уравнения (1.1.1) преобразуются к следующему виду
д ( °2f) - А dV н 8У ( d2f д\пив df'
drj ГП • 1 dr? drf ие ^dtdrj dt dr])
s,we дg Э2/ , , (д/)
ЯН2ие drj dzdrj
а,
и
dii
+ а
12
дт]
m
d2g
dr? }
j,wc dg 82g ЯН2и drj dzdrj
дт}2 U'
drj drj
Hx drj dxdrj r ^ \2
+
+ ce-
ll
dg_
+ B,
i—
drj
d g t d\nwe dg dtdt] dt orj
I Д, ¥ d2g t Hx drj dxdt]
+ a
12
дт] дтi
a
22
dg
{dfi)
\2
+ В
dT_ дт]
дт]
<ГГ
drf
_ Л d2T t 5, д2т | J, df д2т ] Slw. dg d2T drf uc dtdrj Я, дт] дхдт] ЯН2ис drj dzdr]
2 /Л
и.
\
<Ц
дт]‘
2 /
+
дт? . ' * дг? дт?
7 = 0:^ = -^ = Г = 0,?: = ^,
дт] дт]
дт] И
(d2T
drf
= 0
> Ду л
е е
сf dg дТ t
у-»оо: — = —= — =1
дт] дт] дт]
(1.1.6)
Коэффициенты уравнений (1.1.6) определяются выражениями m = -££-, d = рК~, a,', = ~ ctg в
P'Hc РсМсPr
H{ue дх
, 1 дие
а, 2 =
ие \ЯН2 dz
12
„.1 . . ^2-W2 „2 _ S<UeK
, u22 — 2 ф , un — .
и: sin в sin и
21
\
/
*-«!,+«12+«22
+- «ы +«,22 +«22
(1.1.7)
Для ортогональных координат эти преобразования несколько упрощаются.
1.2 Основные свойства и методы решения уравнений пространственного пограничного слоя
Аналитические и численные методы решения уравнений пространственного пограничного слоя неразрывно связаны со свойствами уравнений. В некоторых случаях эти уравнения имеют группу подобия и допускают автомодельные решения. Упрощенные решения также возможны для особых случаев, к которым относятся течения в плоскостях симметрии и растекания; а также в критической точке. Эти решения рассмотрены в разделе 1.2.1. Наличие субхарактеристик, которые изменяют свое направление по толщине пограничного слоя, определяет свойство гиперболичности уравнений'пространственного пограничного слоя, которое является ключом, к построению рациональных численных методов их решения. Эти вопросы обсуждаются в разделе 1.2.2.
Решение уравнений.(1.1.1) в плоскости растекания зависит от двух пространственных переменных и используется для постановки начальных условий. Схема течения в окрестности плоскости растекания А-А на поверхности тела представлена на рис. 1.2.1; в случае крыла такую линию также называют линией присоединения. Для'анализа уравнений пограничного слоя около плоскости растекания ш предположим, что система координат хт в окрестности этой плоскости ортогональна, а линия растекания невязкого течения соответствует координатной линии 5, = 0 (х = хс) на поверхности тела.
1.2.11,Автомодельные и асимптотические решения
22
В каждой плоскости 2 - сотї схема течения соответствует окрестности полу-седловой точки, как показано на рис. 1.2.1. справа: однородный поток втекает в область и разделяется на два неоднородных потока, текущие от плоскости растекания. На линии растекания продольная скорость невязкого течения обращается в ноль и выполнены соотношения [3, 5, 20-22, 31, 32, 35, 40]
= *іИ„(2,/)+<?(*,3)> Ре=рДг,/) + 0(^), /л,=цг(г,І)+0{яі)
К = К (2> 1) + 0 (я,2), И, = И' (г, ґ) + О ) Н2=Н2{2)+0(в]), к2=0{з])
ОХ
О?
л
Рис. 1.2.1. Схема течения в окрестности в плоскости растекания т.
В этом случае функции тока и коэффициенты уравнений пограничного слоя (1.1.6) можно определить так
У =
2 п„
КРеМе) О
— I \pdrt, =т]Р'М'и'аІІіАУ’!!Л Ч'г=і1^!-К8(у>2>0
еа
рч = -уІР'РЛа
У, ! У.-К д8
иеа Ш2иса
, Т = Т{у,г,1)
А =
У д
2ил„ ді
'еа
ІП
РеРе
V «« У
у И'-+/■*
ЛН2иеа
ҐІҐ
2дг
ІП
РеМе
м.
д\пч>
V V ”еа
02
Є
дІП/? , у 5
-а-*' лшг*
д\пр
I РеМе) о &
1п-М“
і
02
<*У
Рси)н 1 & и
д!пг<
——+ 1 + и>
аг
і аіпп
чдя2 &
23
*2 =
1
др
1
ЛН2Реие™е & иеа
31пи> 1 дюш
-------£. 4------------£
д( Я//0 02
^1=1, а\2^
1 д 1п
Я//0 дг
> ^22 “ &11 ^12 — ^22
1 ОН’,,
ЛН2иса дг
В результате система уравнений и краевых условий (1.1.6) в плоскости растекания принимают следующую форму
д( 'тд㥠і - Гз2/ д1пиеа д/"' , К д8 З2/ 1 (дГ]
ду\ У ■ V иеа [діду дг ду, ЯН2иеа ду дгду ^3у)
+а\Лд^В^
ду ду ду
д д В »VI ^ А і \д2ё д\пм>е , Ч дg д2g ГУ2 (V)
ду 171 ~ [ дУ2) " V иеа ^діду ді ду) ЛН2иеа ду дгду ь а12 1 ду)
7> дГ
+ В2------------
ду.
2чА
ду\ ду )
= -А
д2Т 1
Ґ 32
ду К
д1Т Э1п К дт
+ —
ду ді ду
и?е дg д2Т
ЛН2йсо ду дгду
(/-1)М 2пт\
К
АЛ,
дТ _ К
-п. &-Т-Г\ А
у ' ду ду ’ уІРеМ'К" ’ Оу К’
у = оо: ^ = ^ = ^ = 1
ду ду ду
гд2Т
ду2
= 0
Решения уравнений (1.2.1) используются для постановки начальных условий при численном интегрировании уравнений (1.1.6) и их свойства для крыльев и тел общего вида исследованы для стационарных течений в работах [2-5,20-24]. Они оказались полезны при изучении особенностей численных решений уравнений пространственного пограничного слоя и анализа трехмерных отрывных течений [68,69,97-101].
Начальные условия для уравнений (1.2.1) можно получить из решения уравнений для критической точки, если только такая точка имеется на линии растека-
24
ния. В случае крыла самолета такая точка отсутствует, а в окрестности стыка его с фюзеляжем имеется область, где уравнения пограничного слоя не применимы и необходимо привлекать модель течения, основанную на уравнениях Навье-Стокса или Рейнольдса. В практических расчетах эта область моделируется плоскостью симметрии и для получения начальных условий используется решение для точки пересечения линий растекания и симметрии. Точность такой аппроксимации обсуждалась в монографии [29]. Схема течения около плоскости симметрии изображена на рис. 1.2.2. Система координат хт в этой области предполагается ортогональной, линия симметрии С£ (п = 2 = 52= 0) соответствует пересечению плоскости симметрии хп с поверхностью тела, а геометрические параметры и функции невязкого течения представляются так [3, 5, 20-22, 31, 32, 35, 40]
Рис. 1.2.2. Схема течения и координаты в окрестности плоскости симметрии. Функции тока и коэффициенты уравнений (1.1.6) имеют вид
к=««(*>0+о(522)» р.=р,0м)+с>(*0» а=а(*>0+о(50 К = «г"« (*»<) +°(*23)> К=Ье(х’*) + °{4) *,=о(*22), н,=н,(х)+о(4)
с
25
A =—Tln 2 ua dt
/ > .РеМ. 1 +—
1 J 2
*11 OX
_ s, df s,w„ f + -L.^L + -L^g
tf, dx ue 6
dlnue 1 1 due В - Sl a in w e _i_ -t/
«е dt я, dx , d2 — К I И, a 1
1 5 In ж
H, dx
К
+ Ж
a,
i S« | i 2 r\ 2
5 #12 ~ #22 = ^11 = Ct\2 ~
1!
//,we dx
1 dlnw.
es
\H\ dx
a.
2
22
Система уравнений и краевых условий (1.1.6) для этой плоскости преобразуется к следующей форме
in-
dy I dy‘
s2/ J, f 52/ ain«,. 3/
dy2 Г a 3y
\ г / \2
Н. йсйу
ьа,
и
у
+*|
5Г
d_
dy
( Я2
0 я
"Vj
_ f32g i sx d2g s, 8/ d2g 2
dy2 ues dtdy #, dy dxdy 22
dy
dT
^л]+а^+щ_
dy) dy dy dy
a f dd,T] td2T — A St f d2T dlnh. 8T . . с , 3/ a2r (y-l)M2mw2
3y I 9v2J 1 I N> [dtdy dt dy) . #, йу йхйу К W)
y = 0: — = — = Г = 0, Ду=-У dy dy ^ и
-1—РЛ. Т~ = ~Г’ Р'М'ие dy h,
( э2
ат
йу2
= о
а/ ar ag ,
у —> со: — = — = — = 1
йу йу dy
(1.2.2)
Уравнения (1.2.1) для плоскости растекания перестановкой координат z и х приводятся виду, подобному уравнениям (1.2.2), но топология течения в плоскости симметрии является более сложной, в частности, профили поперечной скорости могут содержать области возвратных токов, как показано на рис. 1.2.2 [14, 29, 98, 151, 153, 184, 362]. Для крыльев расчет течения в пограничном слое начинается с критической.точки С, расположенной на пересечении линий симметрии и растекания. Далее находится решение на линии присоединения, затем уравнения (1.1.6) интегрируются маршевым методом вдоль координаты х. При этом, решение в плоскости симметрии дает необходимые начальные условия для интегрирования уравнений (1.1.6) по координате z в каждой плоскости х = const. Для сим-
26