Оглавление
1 Функционал задачи. Вывод дифференциальных уравнений 9
2 Поступательное движение сосуда 17
3 Линейное приближение 26
4 Нелинейное приближение 49
5 Решение нелинейной задачи асимптотическим методом
63
5.1 Нерезонансный случай ............................ 63
5.2 Главный резонанс................................. 75
6 Учет сил внутреннего трения в материале упрзггой вставки 94
2
Введение
В работе исследуется задача о движении жидкости в сосуде, который совершает заданное движение.
Г. Стокс, по-видимому, одним из первых обратил внимание (1842-1847) на проблему движения твердого т,елау имеющего полости, целиком заполненные жидкостью [88]. Этой проблемой занимались Г. Гельмгольц, Г. Ламб, Ф. Нейман и другие. Первое обстоятельное изучение динамики твердого тела, имеющего полости полностью заполненные однородной несжимаемой жидкостью, в общей постановке было проведено Н.Е. Жуковским (1885, см. [19]).
Наряду с изучением движения тел с полостями, полностью заполненными жидкостью, была поставлена и получила большое развитие задача о движении твердого тела с полостями не полностью наполненными жидкостью. Так, проблеме стоячих воли в ограниченном объеме жидкости со свободной поверхностью внутри неподвижного бассейна одной из первых посвящена работа М.В. Остроградского [52], представленная им Парижской Академии наук в 1826 г.
Развитие теории колебаний жидкости внутри неподвижных и двигающихся как тзердых, так и упругих тел стимулировалось появлением разнообразных задач прикладного характера. Сюда относятся и задачи динамики ракет и летательных аппаратов (например, [1, 24, 25, 36, 50, 57, 67, 89, 96]), содержащих жидкое наполнение, и задачи прочностных расчетов резервуаров и емкостей, подвергающихся действию сейсмических нагрузок [76]. Целый ряд подобных задач опубликован в связи с проблемами гидростроительства и теории корабля (например, [35, 42, 43, 44, 60, 61, 78]). При транспортировке жидкостных грузов жидкость может оказывать большое влияние на динамические характеристики несущей конструкции (цистерны, отсека судна) (например, [15, 16, 20, 32, 92, 94]). Наличие жидкости в некоторых случаях может послужить причиной возникновения в системе параметрических колебаний и динамической неустойчивости, вплоть до повреждения конструкции [79]. Таким образом, в разных странах мира появилось много исследований, посвященных различным аслек-
з
там динамики тела с жидкостью.
Задачам динамики твердых тел с полостями, содержащими идеальную или вязкую жидкость, посвящено большое число публикаций, основополагающими из которых можно считать работы Н.Е. Жуковского [19] (1885), И.А. Луковского [33; (1990), Г-Н. Микишева и Б.И. Рабиновича [37] (1968), H.H. Моисеева и A.A. Петрова [46] (1966), H.H. Моисеева и В.В. Румянцева [47] (1965), Г.С. Нариманова [48, 49] (1956. 1957), Д.Е. Охоцимского [53] (1956), В.П. Шмакова [68] (1964), Ф.Л. Чсрноусько [71] (1969).
Задачи колебаний упругих тел и оболочек, частично заполненных несжимаемой и сжимаемой жидкостью, содержатся в работах А.Г. Горшкова. В.И. Морозова, А.Т. Пономарева, Ф.Н. Шклярчук [15] (2000), М.А. Ильгамова [21] (1969), Г.Н. Микишева pi Б.И. Рабиновича [38] (1971), А.Л. Попова [54] (1992), И.М. Рапопорт [58, 59] (1966, 1967). Подобные задачи формулируются в виде дифференциальных уравнений или в виде вариационных принципов.
По данной тематике среди англоязычных авторов отметим работы следующих исследователей: T.J. Bridges [75] (1985), М. Chiba [76] (1996), G.H. Keulegan [82] (1959), J.YV. Miles [84] (1967), R. Ohayon [85] (2001), F. Solaas [87] (1995), Ü.M. Faltinsen, O.F. Rognebakke [93, 94. 95] (1999, 2000), H.N. Abramson [96] (1966).
Проводились исследования и о влиянии упругих радиальных перегородок или кольцевых и радиальных ребер внутри двигающихся цилиндрических полостей, содержащих идеальную или вязкую жидкость [3, 34, 62, 63]. Утверждается, что влияние упругих перегородок сводится к уменьшению резонансного пика колебаний жидкости и подобные демпферы являются эффективным средством ограничения подвижности жидкости.
Работа автора посвящена изучению волнового безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью внутри подвижного жесткого прямоугольного сосуда, одна из стенок которого содержит упругую вставку. В ней показано, что упругая
4
часть одной из стенок сосуда будет уменьшать максимальную амплитуду свободной поверхности жидкости. Проведены расчеты для случая сосуда с жесткими стенками и для сосуда, одна стенка которого имеет упругую вставку для разных частот вынужденных колебаний сосуда, в том числе, когда частота вынужденных колебаний сосуда находится вблизи первой собственной частоты колебаний жидкости.
Как отмечается в [11] исследование колебаний жидкости со свободной поверхностью в подвижном или неподвижном жестком сосуде на основе нелинейных уравнений представляет сложную задачу математической физики. Основная сложность состоит в том, что граничные условия задаются на неизвестной изменяющейся свободной поверхности жидкости. Постановка задачи для сосуда с упругой вставкой такова, что возникают две свободные границы — свободная поверхность жидкости и прогиб упругой вставки.
Цель работы состоит в решении плоской задачи о колебаниях идеальной несжимаемой жидкости внутри двигающегося прямоугольного сосуда с упругой вставкой на стенке и сравнение с колебаниями жидкости внутри сосуда без вставки. Рассматривались следующие задачи
а), определить кинематические характеристики свободной поверхности жидкости, находящейся внутри двигающегося прямоугольного сосуда с упругой вставкой;
б), определить для двигающегося сосуда взаимное влияние кинематических характеристик упругой вставки и свободной поверхности;
в), сравнить результаты, полученные в линейной и нелинейной математических моделях для сосуда с упругой вставкой при его поступательном прямолинейном, колебательном движении;
г), показать результативность асимптотического метода применительно к нелинейной модели;
д). исследовать влияние внутреннего трения в материале упругой вставки.
5
В первой главе диссертации приведен функционал для задачи о движении идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью внутри прямоугольного сосуда с упругой вставкой, совершающего заданное поступательное движение. Данный функционал является расширением функционала Бейтмана-Лыока, используемого в работах [20, 33, 74, 83, 95]. Далее в результате варьирования функционала получены дифференциальные нелинейные уравнения задачи, включая кинематические и динамические условия на свободной поверхности жидкости и на упругой вставке.
Во второй главе рассматриваются дифференциальные уравнения задачи для поступательного движения сосуда. Введен малый параметр е. Кинематические и динамические условия на свободной поверхности жидкости и упругой поверхности вставки снесены на недефор-мированные начальные поверхности. Приведены уравнения линейного приближения и нелинейного приближения с точностью до €2.
Третья глава посвящена разбору линейной задачи, которая записывается в безразмерном виде. Применяется метод Вубнова-Галеркина. Определены координатные функции задачи. Предложен метод для нахождения волновых чисел, численные значения которых приведены для конкретных параметров сосуда и жидкости. При решении задачи используется первая форма колебаний системы. Кинематическое условие на упругой вставке и условие сохранения объема жидкости в сосуде — условия связи, наложенные на систему. Введены множители Лагранжа. Выписано решение для нулевых начальных условий. Даны аналитические выражения для определения свободной поверхности жидкости, потенциала скоростей и прогиба упругой вставки.
В четвертой главе представлен анализ нелинейной задачи первого приближения. Приведены уравнения для обобщенных координат системы. С помощью множителей Лагранжа введены условия связи нелинейные кинематическое условие на упругой поверхности и условие сохранения объема жидкости в сосуде. Полученная система решена численно. Приведены графики свободной поверхности жидкости.
Пятая глава посвящена решению нелинейной задачи асимптотиче-
6
ским методом. В первой части главы рассматривается нерезонансный случай. Решение проведено в двух вариантах: с линейными условиями связи (62:і = 0) и с нелинейной связью (623 ф 0). Во второй части пятой главы приведено исследование главного резонанса системы асимптотическим методом. Разобраны также два варианта з — ^ и ^23 Ф
В шестой главе вводится внутреннее трение в материале упругой вставки. Рассматриваются линейный и нелинейный варианты задачи. Нелинейный случай исследуется при резонансе асимптотическим методом. Получено периодическое решение, которое сравнивается с численным решением.
В заключении приведены основные результаты работы.
7
Результаты, выносимые на защиту
• Для задачи о колебаниях идеальной несжимаемой жидкости в двигающемся сосуде определен функционал, который является расширением функционала Бейтмана-Льюка.
• Получена система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая задачу с двумя свободными границами (возвышением свободной поверхности жидкости и прогибом упругой вставки). Для этой задачи введены координатные функции.
• Для линейного и нелинейного приближений определены кинематические характеристики свободных поверхностей. В нелинейном случае использованы асимптотический и численный методы для нерезонансной области частот и вблизи главного резонанса системы.
• Представленный в работе функционал был применен для получения решения прямым методом Л. В. Канторовича.
• Исследована математическая модель, в которой учитывается внутреннее трение в материале упругой вставки на стенке.
8
Глава 1
Функционал задами.
Вывод дифференциальных уравнений
В первой главе да на вариационная постановка задачи о колебаниях идеальной несжимаемой жидкости в двигающемся сосуде с упругой вставкой на стенке, о которой участвует функционал, расширяющий функционал Бейтмана-Льюка. В результате варьирования функционала получена система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно возвышения свободной поверхности, потенциала скоростей жидкости и прогиба упругой вставки.
Рассматриваем следующую плоскую задачу. Прямоугольный сосуд с жидкостью совершает заданное поступательное движение. Внутри сосуда находится идеальная несжимаемая жидкость, движение которой потенциальное.
Дно и одна из стенок сосуда - жесткие. Другая стенка содержит упругую вставку. Высота невозмущенной жидкости совпадает с высотой з'пругой вставки. Предполагается, что крышка сосуда находится настолько высоко над свободной поверхностью жидкости, что жидкость не ударяется о крышку.
Введем в рассмотрение неподвижную систему координат О'х'г и систему координат Охг, неизменно связанную с сосудом (см. рисунок 1.1). Начало системы координат Охг выберем посередине невозму-щенной поверхности жидкости. Ось Ох направлена по невозмущенной поверхности жидкости. Примем, что в начальный момент координатные системы О'х!г и Охгг совпадают.
Через <3 обозначим объем жидкости, ограниченный свободной поверхностью упругой вставкой И2, абсолютно жестким дном и жесткой стенкой Б2 сосуда (см. рисунок 1.1).
9
- Київ+380960830922