Двумерные задачи теории упругости для областей с углами

- 2 -
ВВЕДЕНИЕ
Повышение надежности машин, сооружений и снижение их материалоемкости и себестоимости является одним из важнейших народнохозяйственных проблем в области машиностроения и строительного дела. Решение этой проблемы в частности связано со снижением концентрации напряжений в элементах и деталях конструкций, позволяющим создавать более надежные, более легкие и удобные в эксплуатации, а также более экономичные конструкции. В этих конструкциях часто встречаются элементы, находящиеся в плоском напряженном состоянии, в которых концентрация напряжений вызвана наличием острых углов, выступов, вырезов или отверстий,
Решенивэ плоских задач теории упругости для областей с углами (к которым сводятся вопросы определения концентрации напряжений) посвящено много исследований. Здесь неооходимо отметить методы интегральных преобразований, реализуемые в работах G.М. Белоносо-ва [^] и Я.С. Уфлянда ], методы сведения к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, нашедшие применения в работах A.A. Баблояна и В,Т. Гринченко [^], конечно-раз-
ностные методы, примененные в работе Л.А. Оганесяна и Л.А. Рухо-г 551
вец [ ] и других, а также метод граничных интегральных уравне-
ний. Для математического обоснования решений эллиптических краевых задач в областях с нерегулярной границей важное значение имеет фундаментальное исследование В.А. Кондратьева [^®], в котором приведено доказательство разрешимости общих эллиптических краевых задач в областях с изолированными коническими точками или угловыми линиями и показано, что в окрестности этих точек (или линий) решение строится из регулярных и нерегулярных частей, причем, в нерегулярную часть входят решения однородных краевых задач для конуса (когда на поверхности коническая точка) или для
- 3 -
клина (когда на поверхности угловая линия). Общие результаты.полученные в [^], уточнены в работах И.И. Воровича [* ], И.И. Во-ровича, В.М. Александрова. В.А. Бабешко [^°] применительно к случаю плоской задачи теории упругости для ооластей с угловыми точками.
г 371
В недавней работе В.А. Кондратьева и O.A. Олейник [ J приводится обзор работ по дифференциальным уравнениям в областях с нерегулярной границей и подробно освещается современное состояние проблемы.
Решения однородных краевых задач для клиновидных областей представляют собственные функции соответствующей задачи, которые зависят от величины угла между полукасательными, проведенными к контуру в угловой точке и. характера краевых условий. Важная роль при решении краевых задач отводится проблеме определения коэффициентов однородных решений или коэффициентов асимптотики в окрестности угловых точек контура. В работах М. Штерна [69.70]^ ^ Штерна и М.Л. Сони [ *], Г.Ф. Бюкнера [ J для различных случаев однородной краевой задачи предлагаются формулы определения этих коэффициентов. Вопрос об определении коэффициентов в общей
постановке решен в исследованиях В.Г. Мазьи и Б.А. Пламеневско-r 4Т 42 т
го [ v J, в которых предложен метод определения коэффициентов
асимптотики для общего случая эллиптических краевых задач. Ме-
г 41 42 т
тод, развитый в [ • J, нашел последовательное применение к за-
дачам теории упругости, в работе Н.Ф. Морозова [^] и впервые был реализован в работе В.А. Дудникова и Н.Ф. Морозова [^], где основное интегральное соотношение, из которого определяется искомый коэффициент асимптотики, построено на основании формулы Бетти. В работе С.С. Заргаряна конкретизируется метод предложенный в I41 •^], на случай бигармонической задачи и системы Ламе, а также предлагается вычислительный алгоритм по методу ин-
- 4 -
тегральных уравнений.
Интенсивное развитие вычислительных средств в последнее десятилетие способствовало развитию различных сеточных методов, нашедших широкое применение при численном решении многих задач теории упругости. Однако, для решения задач теории концентрации напряжений, развитые сеточные методы оказываются неэффективными из-за сильно изменяющихся полей напряжений и смещений. В зонах высоких градиентов эти методы требуют значительного увеличения степени дробления, что приводит к трудоемкости вычислительного процесса ввиду чрезмерного возрастания объема исходной информации. В этом отношении более эффективным оказывается метод граничных интегральных уравнений, представляющий собой недавно возникший вариант общего метода теории потенциала.
Первые исследования по интегральным уравнениям для областей с углами исходят к Т. Карлеману [^] и И. Радону [^] (применительно к гармоническим задачам), где интегральные уравнения, выведенные для областей с гладкими границами, распространяются на случай областей с углами. Сложность такой модификации заключается в том, что внеинтегральные члены претерпевают конечные разрывы в угловых точках, а ядра интегральных уравнений меняют свои свойства.
Метод конформного отображения исходной области на полуплоскость и дальнейшее применение преобразования Лапласа при построении интегральных уравнений плоской задачи для областей с углами реализованы в работе С.М. Белоносова [^]. В этом исследовании получены первые примеры численной реализации решений задач теории упругости для областей с углами. Этот подход применяется также в
г 521
работе В.Г. Романова I ], где приводится численное решение интегральных уравнений, полученных в [**] , в предположении, что заданные граничные функции содержат более сильные разрывы, по срав-
меры решений плоских задач для областей с закругленными углами, полученные методом конформного отображения. Эти решения зависят от числа членов отображающей функции, построение которой в случае конечной области оказывается не столь эффективным, так как при этом достаточно точное отображение исходной области требует в представлении отображающей функции удерживать сравнительно большое количество членов ряда этой функции. Таким образом в случае конечных областей решение усложняется, и лишь в случае бесконечных односвязных областей удается получить практически применяемые результаты. Кроме того, при решении методом конформного отображения усложнения возникают также в тех случаях, когда нагрузки, приложенные к границе области, не уравновешены или имеют разрывы.
В сложных задачах, требующих детального изучения напряженно-деформированного состояния в окрестности углов, возникает необходимость аналитического исследования характера определяемых функций. Это позволяет также учитывать особенности этих функций при выборе расчетной схемы численного метода. Численно-аналитический
ности и концентрации напряжений массивов, толстых плит и оболочек, двумерных панелей и некоторых объектов, лежащих на сплошном, упругом основании.
Граничные интегральные уравнения теории потенциала становятся мощным средством расчетов прочности конструкций на ЭВМ. Здесь имеется ввиду как сингулярные, так и регулярные интегральные уравнения, приближенному решению которых предшествуют, естественно, приближенные вычисления входящих в них интегралов. Вопросам вычислений регулярных и сингулярных интегралов различными квадра-
метод, предлагаемый в работах Ю.В. Верюжского
использо-
решения смешанных граничных статических задач проч-
- 6 -
турными или кубатурными формулами, а также регуляризации интегральных уравнений и их приближенному решению посвящена обширная литература (см.например
[14.31,48])в Несмотря на это, метод граничных интегральных уравнений лишь в последнее десятилетие стал играть значительную роль в теории упругости.
Решения задач теории упругости применительно к случаю нерегулярной границы при помощи метода граничных интегральных уравнений были получены различными исследователями. Здесь следует отметить работы Т. Круза [®] и Ф. Риццо [®^], где интегральные тождества Бэтти успешно применены для уточнения решений вблизи нерегулярной точки (линии) границы при решении хадач пространственной теории упругости, методом конечного элемента. В работе А.Я. Александрова ] рассматривается численное решение интегральных уравнений основных трехмерных задач теории упругости, где граничные условия задачи приводятся к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомых компенсирующих нагрузок на границе. Эти интегральные уравнения, в принципе, могут быть использованы также при решении плоской задачи для областей с угловыми точками. Уточнение полученных при этом решений в окрестности угловых точек реализуется в [^], где учитываются особенности компенсирующих нагрузок, эквивалентные особенностям напряжений в этих угловых точках.
В зависимости от исходных предпосылок, позволяющих строить интегральные уравнения плоской задачи, могут быть получены как сингулярные, так и регулярные интегральные уравнения. Из них наибольшего внимания заслуживают регулярные интегральные уравнения, сравнительно легко реализуемые численными методами. К числу таких уравнений относятся интегральные уравнения Мусхелишвили, Шермана-Лау-ричелла и их модификации, предложенные для областей с гладкой границей. Однако, при некоторых дополнительных условиях, их можно использовать также при решении плоской задачи для областей с кусочно-
- У -
гладкими границами. Такой подход реализован в раооте В.З. Парто-на. П.Й. Перлина [^ö], где методом механических квадратур решено интегральное уравнение Шермана-Лауричелла для области представляющей внешность квадрата, В работе [^] этих же авторов приводится пример решения пространственной осесимметричней задачи, когда граничная поверхность образована вращением квадрата вокруг диагонали. Учитывая то обстоятельство, что в некоторой промежуточной области вокруг нерегулярной точки (линии) границы приближенное решение выходит на асимптотику, в работе [^] указывается прием, позволяющий простым образом определять значения коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности конической точки и угловой линии, а также отметить радиус действия асимптотического решения. По-сущест-ву. такая же процедура реализуется в работе Хесса ( Не$£ где полученное приближенное решение достраивается вплоть до угловой точки непосредственно по асимптотике при численном решении интегрального уравнения для плоской задачи обтекания контура потоком идеальной несжимаемой жидкости.
Математическая теория построения асимптотики решения интегральных уравнений математической физики в окрестности угловых точек контура построена в работе G.C. Заргаряна и В.Г. Мазьи на примере интегральных уравнений теории логарифмического потенциала. Асимптотика решений сингулярных интегральных уравнений плоской теории упругости, порожденной уравнениями Ламе, в окрестности угловых точек контура, получена в работе С.С. Заргаряна [®*].
В настоящей диссертации интегральные уравнения Шермана-Лаури-челла, известные для гладкой границы, используются для численной реализации решения конкретных задач плоской теории упругости для . односвязных и двусвязных областей с углами. Обоснование разрешимости этих уравнений в пространстве непрерывных функций дано С.С. Заргаряном в работе ], где кроме этого, приводится также асимп-
тотика решений интегральных уравнений Шермана-Лауричелла в окрестности угловых точек контура. Эта работа положена в основу настоящего исследования для создания вычислительного алгоритма исследования большого класса задач о концентрации напряжений в бесконечных областях с отверстиями, имеющими угловые точки на контуре, а также для некоторых двусвязных областей.
В исследуемой работе разработана методика решения интегрального уравнения Шермана-Лауричелла, с учетом асимптотического представления искомой функции в ходе его решения методом последовательных приближений. Выбирая способ дискретизации контура, таким образом, чтобы простейшие квадратурные формулы обеспечивали достаточно высокую точность при вычислении интегралов типа Коши и задавая асимптотику искомой функции в окрестности угловых точек непосредственно в процессе построения последовательных приближений, полученное таким образом решение проверяется путем вычисления напряжений на границе.
При этом определяются также коэффициенты асимптотики решения в окрестности угловых точек контура. Таким образом точность определения искомой функции, полученной решением интегрального уравнения, проверяется вычислением производной этой функции, входящей в формулы напряжений.
Работа состоит из введения, трех глав, в которую входят 14 параграфов и два приложения и, основных выводов. В первой главе, состоящей из пяти параграфов, дается постановка плоской задачи теории упругости и приводятся интегральные уравнения Шермана-Лауричелла, обобщенные на случай кусочно-гладкой границы (§§1-2). В третьем параграфе рассматривается интегральное уравнение, построенное относительно производной плотности интегрального представления искомых функций и показывается, что его решение, наряду с очевидными достоинствами, обладает недостатком, заключающемся в
- 9 -
сложности контролирования точности полученного решения.
В четвертом параграфе выводится [^ ] асимптотика решения интегрального уравнения Шермана-Лауричелла в окрестности угловых точек контура.
В пятом параграфе предлагается способ определения коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности угловых точек контура методом интегральных уравнений. Получена формула для вычисления коэффициента асимптотики решения плоской задачи теории упругости в окрестности углов многосвязной области для основных типов граничных условий в окрестности угловой точки контура.
Во второй главе (§§6-9) описывается методика численной реализации плоской задачи теории упругости методом интегральных уравнений.
В шестом параграфе показывается расходимость метода последовательных приближений при решении интегрального уравнения Шермана-Лауричелла. Для применения этого метода, обладающего неоспаримым преимуществом по сравнению с другими методами, позволяющими снизить требования к объему памяти ЭВМ, предлагается вводить числовые параметры [^], несколько видоизменяющие интегральные операторы Д.И. Шермана. С помощью этих числовых параметров появляется возможность управлять процессом сходимости последовательных приближений. Анализируя результаты численного решения задачи о бесконечной плоскости с квадратным отверстием, полученного для различных случаев дискретизации контура, в седьмом параграфе предлагается способ разбиения контура вблизи угловых точек и в зоне сближения границ области, существенным образом влияющий на точность вычисления интегралов типа Коши в указанных участках границы. При вычислении этих интегралов используются простейшие квадратурные формулы, основанные на точном вычислении интегралов от ядер, входящих в интегралы типа Коши. Значения этих интегралов вычисляются
- ю -
только в определенных точках контура, называемые основными опор--ными точками, а интегрирование ведется по более мелкой сетке дополнительных опорных точек, сгущающихся по мере приближения к угловой точке контура. Это позводяет повысить точность вычисления интегралов в окрестности углов и значительно сократить объем вычислений, так как значения плотности в дополнительных опорных точках определяются с помощью интерполяции, требующей значительно малый объем вычислений по сравнению со случаем, когда значения плотности определяются из интегрального уравнения. Вопросы интерполирования подинтегральной функции рассматриваются в восьмом параграфе, где указывается способ внесения асимптотики функции (А)(6) в решение, а также приводятся основные формулы теории кубических сплайнов, применительно к задачам интерполирования функции комплексного переменного.
С целью оценить влияние показателя Л главного члена асимптотики искомой функции на точность выполнения граничного условия в окрестности углов, в этом параграфе приведены результаты численных экспериментов, выполненных на ЭВМ для задачи о бесконечной плоскости с квадратным отверстием, при различных значениях показателя Л . Вычислениями установлено, что, когда в окрестности углов квадрата заданы симметричные граничные условия, то показатель асимптотики имеет значение Л1=0,5445, а в случае, когда заданы кососимметричные граничные условия, показатель Л имеет значение X? =0,9085. Эти значения показателя Л совпадают с соответствующими корнями характеристического уравнения рассматриваемой однородной краевой задачи для клиновидных областей.
Проведенные эксперименты косвенным образом показывают достоверность построенного вычислительного процесса в целом, так как многие результаты, полученные из этих экспериментов, ранее известны.
В девятом параграфе выводятся формулы соотношений симметрии
- II -
для функции Ш({) , при циклической и зеркальной симметрии области, а также при зеркальной кососимметрии.
В третьей главе, состоящей из пяти параграфов (§§10-14), приводятся численные решения конкретных задач плоской теории упругости для областей с угловыми точками на контуре. В §10 получено решение плоской задачи для внешности прямоугольника, при действии гидростатического давления на его сторонах. Получены также решения для случая квадратного выреза в бесконечной плоскости при различных видах нагружений, включающих в себя уравновешенные и неуравновешенные (в смысле главного вектора или главного момента внешних сил), разрывные и неразрывные нагрузки, приложенные к границе области, а также случай растяжения на бесконечности. Решение этой задачи для случая одноосного растяжения на бесконечности подробно сравнивается с решением Г.Н. Савина I53]. Для этого построены графики линий равных напряжений в области по обоим решениям, а также карты их расхождений, где в процентах указаны отклонения обоих решений друг от друга в ряде точек области и границы,
В §11 получено решение плоской задачи о бесконечной плоскости, ослабленной двумя симметрично расположенными прямоугольными отверстиями при действии гидростатического давления на сторонах прямоугольников. Найдены решения этой задачи для шести различных расстояний между границами прямоугольников, в том числе и для сближенных границ. Для этого случая построены графики линий равных напряжений в области. В этом параграфе рассматривается также случай весомой полуплоскости, ослабленной, как в предьщущем случае, двумя прямоугольными отверстиями.
В §12 получено решение второй основной задачи плоской теории упругости для внешности квадрата, причем, на границе задавались радиальные смещения точек, таким образом, чтобы квадрат-
- 12 -
ное отверстие перешло бы танке в квадратное с коэффициентом подобия К=1,001. Значения всех трех компонентов напряжений в граничных точках приведены в таблицах. Построены также эпюры этих напряжений.
В §13 рассматривается пример конечной двусвязной области в виде квадрата с центральным квадратным вырезом. Получены решения для четырех различных отношений сторон внутреннего и внешнего квадратов, под действием двуосного растяжения. Здесь приводится прием, позволяющий строить последовательные приближения искомой функции для вычисления предельного значения плотности в угловой точке контура, независимо от того конечны или бесконечны напряжения в угловой точке.
В §14 приведены примеры вычисления коэффициентов интенсивности напряжений в угловых точках контура, используя методику, предложенную в §5.
В приложении I помещены все таблицы вычислений, а в приложении Z - все рисунки и графики всех трех глав диссертации.
В заключение считаю своим прямым долгом выразить глубокую благодарность к.т.н., доценту G.G. Заргаряну, под руководством которого была выполнена настоящая работа.