Внешняя и внутренняя задачи динамики изогнутого трубопровода - построение математических моделей и приближенное решение их уравнений

- 2-
Содержание
Введение............................................................. 8
Глава 1. Задача геометрически нелинейного деформирования трубопровода..................................................... 40
1.1. Физическая постановка задачи об изгибании трубопровода. Геометрия системы................................................. 40
1.1.1. Физическая постановка задачи......................... 40
1.1.2. Системы координат ................................... 42
1.1.3. Начальная лагранжева система координат............... 45
1.1.4. Сопутствующая лагранжева система координат .... 47
1.2. Кинематика движения трубопровода............................. 49
1.2.1. Единичные векторы базиса и физические компоненты
векторов.............................................. 50
1.2.2. Перемещения срединной поверхности трубы и гипотеза
прямых нормалей....................................... 51
1.2.3. Перемещение осевой линии трубопровода................ 52
1.2.4. Матрица перехода между базисами и перемещение стенок трубопровода............................................. 53
1.3. Уравнения движения трубопровода как трехмерного деформируемого тела...................................................... 55
1.3.1. Уравнения движения в напряжениях..................... 56
1.3.2. Деформации трубопровода.............................. 58
1.3.3. Краевые условия на внутренней и внешней поверхностях трубопровода............................................ 60
1.3.4. Сопротивление внешней среды.......................... 66
1.3.5. Скорость сдвига поперечного сечения трубопровода . . 67
1.3.6. Закон Гука для трубы................................. 69
1.3.7. Формулировка замкнутой начально-краевой задачи о
движении трубопровода................................. 70
- 3-
Глава 2. Математическое моделирование трубопровода, нагруженного потоком жидкости и сопротивлением внешней среды..................................................... 73
2.1. Необходимые соотношения теории оболочек...................... 73
2.1.1. Линейное кручение стенки ............................. 73
2.1.2. Следствия гипотез теории оболочек..................... 74
2.2. Переход к уравнениям движения оболочки....................... 76
2.2.1. Связь деформаций трехмерного упругого тела и оболочки 75
2.2.2. Интегрирование по толщине стенки для перехода к
уравнениям оболочки ................................... 79
2.2.3. Силы, действующие на оболочку со стороны потока
жидкости и внешней среды............................... 83
2.2.4. Переход к технической оболочке........................ 86
2.2.5. Построение математической модели движения стенки
трубы как технической оболочки......................... 89
2.2.6. Упрощение математической модели....................... 93
2.3. Редукция уравнений оболочки к одномерному виду............. 97
2.3.1. Исходное приближение для асимптотического анализа . 98
2.3.2. Асимптотическое разложение решений в ряд по малому
параметру Л........................................... 101
2.3.3. Редукция уравнений к одномерному виду................ 103
2.3.4. Физический смысл коэффициентов рядов................. 108
2.4. Деформации и перемещения стенки трубопровода................ 109
2.4.1. Поперечное перемещение осевой линии ................. 109
2.4.2. Деформации стенки трубы.............................. 110
2.4.3. Критерий несущей способности трубопровода............ 112
2.5. Методы и алгоритмы решения уравнений математической модели ........................................................... 113
2.5.1. Решение уравнений нулевого приближения............... 114
2.5.2. Постановка начально-краевой задачи для уравнений
первого приближения................................... 120
-4-
2.5.3. Построение разностной схемы для задачи первого приближения .................................................... 121
2.5.4. Алгоритм численного решения задачи первого приближения ....................................................... 128
2.6. Результаты численных расчетов движения осевой линии и деформаций стенок трубопровода..................................... 132
2.6.1. Физические и геометрические параметры механической системы...................................................... 132
2.6.2. Результаты расчета тестовых задач .................... 135
2.6.3. Численный анализ медленного движения длинномерных трубопроводов............................................ 136
2.6.4. Особенности процесса деформирования трубопровода с профилем в виде цепной линии................................. 140
2.6.5. Реакция трубопровода на медленное изменение внутреннего давления............................................. 143
2.7. Движение трубопровода как растяжимого стержня в вязкой среде............................................................ 144
2.7.1. Физическая постановка задачи. Учет сопротивления внешней среды................................................ 145
2.7.2. Вывод уравнений движения и постановка начально-краевых задач ............................................... 146
2.7.3. Разностная схема и алгоритм численного решения . . . 148
2.7.4. Результаты численного анализа. Оценка напряжений в
стенке трубы........................................... 149
Глава 3. Математическое моделирование распространения
гидроупругих колебаний внутри изогнутого трубопровода 152
3.1. Физическая постановка задачи, исходные предположения и системы координат.................................................. 152
3.2. Уравнения движения трубопровода при условии малости деформаций ........................................................ 155
- 5-
3.2.1. Уравнения движения стенки трубы в напряжениях . . 155
3.2.2. Краевые условия на внутренней и внешней поверхностях трубопровода............................................ 157
3.2.3. Переход к уравнениям движения оболочки............... 158
3.2.4. Краевые условия на торцах трубопровода............... 168
3.3. Математическое моделирование движения жидкости .......... 171
3.3.1. Уравнения движения жидкости, разделение стационарного и нестационарного процессов............................. 171
3.3.2. Приведение задачи к безразмерному виду и наложение
краевых условий....................................... 175
3.3.3. Асимптотический анализ задачи о стационарном движении жидкости............................................... 178
3.3.4. Метод редукции задачи гидроупругости................. 183
3.3.5. Асимптотический анализ уравнений колебательного движения жидкости............................................... 190
3.3.6. Анализ уравнений движения жидкости в первом приближении по Л методом малого параметра....................... 196
Глава 4. Численные и аналитические решения задачи о малых гидроупругих колебаниях в изогнутом трубопроводе . . 205
4.1. Перемещения стенок трубы под влиянием стационарного внутреннего потока................................................... 205
4.1.1. Постановка краевой задачи равновесия трубопровода . 205
4.1.2. Некоторые точные решения стационарной задачи . . . 207
4.1.3. Сеточное решение уравнений равновесия в первом приближении .................................................... 210
4.1.4. Численное решение тестового примера.................. 216
4.2. Численный анализ задачи о нестационарных гидроупругих колебаниях трубопровода............................................ 218
4.2.1. Волновая динамика в нулевом приближении...............219
-6-
4.2.2. Постановка задачи о волновой динамике в первом приближении ....................................................228
4.2.3. Алгоритм численного анализа уравнений волновой динамики ......................................................231
4.2.4. Результаты численного решения системы уравнений первого приближения..........................................237
4.3. Сравнение расчетов с результатами других авторов.............238
4.3.1. Теоретическое построение математической модели . . . 239
4.3.2. Гидравлический удар в эластичной изогнутой трубе . . 241
4.3.3. Акустические колебания в трубопроводе.................242
4.3.4. Гидравлический удар в сильно изогнутом трубопроводе 243
4.3.5. Геометрические параметры трубопроводных систем . . 246
Глава 5. Нелинейные внутренние волны в трубопроводе . 248
5.1. Нелинейные волны в цилиндрическом трубопроводе................249
5.1.1. Построение исходной математической модели.............249
5.1.2. Асимптотическое разложение потенциала, скорости. Уравнения мелкой воды............................................253
5.1.3. Вывод разрешающего уравнения Кортевега-де Вриза. Двухволновые уравнения.......................................254
5.1.4. Частное решение уравнений распространения возмущения скорости жидкости в виде уединенной волны . . . 256
5.1.5. Перемещение стенки трубы..............................257
5.1.6. Движение трубы при различных соотношениях между параметрами..................................................260
5.2. Нелинейные волны в изогнутом трубопроводе ....................263
5.2.1. Построение исходной математической модели.............263
5.2.2. Анализ уравнений математической модели................267
5.2.3. О достаточности уравнения Клейна-Гордона-Фока . . . 271
5.2.4. Решение уравнения для потенциала скорости жидкости 273
5.2.5. Физический смысл результатов......................... 275
- 7-
5.3. О геометрическом обобщении математических моделей внутренних волн в изогнутом трубопроводе..........................276
5.3.1. Построенные математические модели движения и колебаний изогнутого трубопровода............................277
5.3.2. Метод редукции к одномерным задачам. Внутренняя связь поставленных задач.................................278
Заключение..................................................... 281
Список литературы ............................................. 286
Приложение 1. Иллюстрации.......................................306
-8-
Введение
В диссертации разработан новый подход к математическому моделированию трубопровода, при котором нелинейные уравнения движения трубы выведены на основе обобщения теории оболочек В.З. Власова, а описание движения жидкости основано на уравнениях Эйлера с учетом трения в шероховатых трубах. Построена математическая модель, универсальная по широте охвата исследуемых явлений: от медленных движений трубопровода во внешней среде до распространения гидроупругих колебаний и гидравлического удара. Создан обобщенный алгоритм редукции уравнений, основанный только на характерной геометрии трубопровода, позволивший свести все рассмотренные задачи к одномерным. Результаты диссертации опубликованы в [77]—[87], [101]—[127], [163], [174].
В результате различных внешних факторов (подвижки грунта, вибраций от техногенных процессов, сейсмической активности и других), а также собственной неустойчивости, трубопроводы отклоняются от своего проектного положения (175]. Исследование процессов изменения трассы трубопроводов и разработка методов диагностики состояния профиля является одной из актуальных проблем современной механики сплошной среды. Это обусловлено интенсивным развитием сети подземных и подводных трубопроводов, необходимостью поиска новых подходов к методам их контроля, повышением требований к безопасности ввиду возросшей активности эксплуатации, а также тяжелыми последствиями возможных аварий. Прямой контроль состояния трубопровода путем прохождения его трассы — практически единственный, очень дорогостоящий, метод диагностики.
Проблема исследования совместного движения труб и жидкости охватывает множество классических задач механики, всегда привлекавших внимание исследователей. К их решению в различных постановках обращались Н.Е. Жуковский, В.З. Власов, Г.Т. Алдошин, И.П. Гинзбург, A.C. Вольмир, Л.Г. Лойцянский, С.П. Тимошенко, В.И. Феодосьев, W.R. Dean и другие известные специалисты. В.И. Феодосьев, по-видимому, впервые математически точно поставил задачу об устойчивости подземного трубопровода [130], позд-
-9-
псе упрощенный вариант задачи использован в учебной литературе [131], решение которой совпадает с решением задачи Ж.А.Ш. Бресса о движении по мосту распределенной нагрузки [63]. Впоследствии вопросы сохранения проектного профиля стали предметом специальных технических исследований [11], [45] и нормативных документов [96], [97]. Итак, несомненна актуальность задач о совместном движении трубопровода и заполняющей его жидкости в различных постановках, ввиду большой прикладной ценности и теоретической важности.
Изменение формы профиля трубопровода должно быть своевременно установлено. В качестве одного из методов контроля предложено пропускание через ноток жидкости импульса давления или акустической волны. Большое теоретическое и практическое значение имеет также задача прогноза. изменения профиля трубопровода как при потере устойчивости, так и при неидеальности прямолинейной укладки его трассы.
Таким образом, есть две задачи: внутренняя задача о распространении волн в изогнутом трубопроводе и внешняя задача о движении трубопровода в сопротивляющейся среде.
Процесс распространения гидроупругих колебаний в изогнутой трубе, находящейся во внешней среде и нагруженной внутренним потоком жидкости, до сих пор недостаточно хорошо изучен. Вопросами взаимодействия упругой трубы и заполняющей ее жидкости занимались Л. Эйлер [147], Д. Бернулли [9], Н.Е. Жуковский [35] и другие известные ученые. Исторический обзор исследований по этой тематике сделан Г.Т. Алдошиным [6], в нем изложено развитие постановок задач и их решений от Эйлера до наших дней. Отмечена глубокая взаимосвязь различных постановок задачи, а именно, гемодинамики [181] и волн внутри металлических труб.
Исторической вехой в теории гидравлического удара является работа
Н.Е. Жуковского [35]. В основу теории положены уравнения движения идеальной жидкости, а деформация стенок трубы рассмотрена как квазиста-ционарная деформация упругого кольца [6]. Сопротивление трубы в теории гидравлического удара определяется через эмпирический коэффициент [13].
- 10-
Для теории и приложений большое значение имеет статья Г.Т. Алдошина [4], в которой решена задача о распространении гидравлического удара в системе двух соосных цилиндров, с заполненным жидкостью промежутком между ними и заполненным газом внутренним цилиндром, долгое время не поддававшаяся теоретическому анализу. Продвижение в ее решении достигнуто благодаря введению скачка площади сечения внутреннего цилиндра и записи на этом скачке законов сохранения, как при анализе ударных волн.
Необходимо упомянуть о значительном вкладе в развитие теории гидравлического удара и внутренних течений жидкости в трубах научной школы И.П. Гинзбурга (БГТУ "Военмех"). И.П. Гинзбург получил аналитическое решение задачи о неустановившемся течении жидкости в длинном трубопроводе переменного диаметра, в рамках классической теории гидравлического удара [24]. Подробное изложение научной биографии И. 11. Гинзбурга можно найти в [2], [3]. Примерами актуальных и практически важных работ школы являются статьи [34], [19].
Обстоятельный обзор теории гидравлического удара по состоянию на 1996 год дан в [5). Упомянем также об обзорах [41] и [23]. В [41] приведены основные предположения, которые используются при выводе уравнений гидравлического удара: инерция поперечного перемещения жидкости и оболочки не учитывается; неустановившееся движение рассматривается как одномерное; деформация каждого кольца, вырезанного из оболочки двумя сечениями, нормальными к ее оси и бесконечно близкими друг к другу, рассматривается независимо от деформаций соседних колец. С другой стороны, в [42] уравнения для тонкостенных прямолинейных цилиндрических труб выведены из безмоментной теории оболочек. В [23] дан обзор исследований течения газожидкостной смеси в прямых трубах.
В последнее время интерес исследователей привлекли задачи, в которых необходим учет упругости стенки трубы, ее изгибных колебаний, инерции, а также кривизны осевой линии. Этот подход важен для диагностики и контроля современных трубопроводных систем с тонкостенными трубами.
Колебания давления в зависимости от условий закрепления конца тру-
-11 -
бы, с учетом эффекта Пуассона и инерции стенки изучались в [128], [176],
[166]. В [177], [160] исследовалось влияние закрепления колена трубопровода на распространение волн давления в остановленном потоке идеальной жидкости. Дальнейшие разработки [133], [178] этого направления шли по пути увеличения количества разветвлений и колен трубопровода, оставляя неизменными основные черты исследования: одномерность модели, идеальная жидкость без учета трения о стенку.
Расширение классической теории гидравлического удара Н.Е. Жуковского, установленное в [166], развито в трудах Tijsseling A.S., Lavooij C.S.W. [173], [155]. Эти результаты, а также некоторые другие, рассматриваются в главе 4.
Одномерное совместное движение трубы с изгибом профиля и заполняющей ее жидкости анализируется в [62], [139], [142], [144], [150], [158], [165],
[167], [179] и других публикациях. Проводились экспериментальные исследования пульсаций давления [170]. Гидравлический удар в движущемся по заданному закону трубопроводе описан в [139], где построена одномерная математическая модель и проведен расчет методом характеристик. В том же сборнике качественно исследована одномерная математическая модель гидравлического удара в изогнутом трубопроводе [62]. Влияние внешней среды в обеих статьях не учитывалось.
Более фундаментальная задача взаимодействия цилиндрической оболочки и заполняющей ее жидкости изучалась в труде A.C. Вольмира [21]. Основное внимание уделено вопросам обтекания оболочек и их колебаниям. Рассматривались оболочки правильной цилиндрической или конической формы, жидкость считалась несжимаемой. Приведена обширная библиография по задачам гидроупругости.
Детальные исследования движения вязкой жидкости в трубах с изгибом профиля начались, по-видимому, с работ [145], [146]. Изучалось движение вязкой несжимаемой жидкости в трубе с постоянной кривизной оси, установлен эффект, известный как "вихри Дина" (см. [136]). Типичной работой этого направления является [164], в которой изучается ламинарный
- 12-
поток несжимаемой вязкой жидкости через колено трубопровода с прямолинейным входом и выходом.
В статье [157] изучалось течение несжимаемой вязкой жидкости по изогнутым трубам, с приложениями к динамике крови. Это направление исследований исторически было начальным в изучении движений жидкости (идеальной) совместно с деформациями стенки трубы [6], [9], [147]. Учитывая, что диссертация посвящена динамике металлического трубопровода, упомянем, что обстоятельные обзоры проблематики есть в [142], [143].
Приложения решений задач о течении жидкости в трубопроводах в переменных "массовая скорость - давление" ярко отражены в работах [23], [30], [41], [54], [69]. Этот подход оправдал себя при расчетах стационарных расходов жидкости в сетях трубопроводов и низкочастотных нестационарных процессов. Одномерная постановка задачи и пренебрежение динамикой стенки трубопровода не позволяют исследовать распределение давления в поперечном сечении, изучать влияние изгиба профиля на распространение волн давления.
Линейные задачи о взаимодействии прямой трубы и жидкости рассматриваются в работах Р.Г. Якупова [137], [138] и других. В [137] определяются перемещения и напряжения в бесконечной цилиндрической оболочке, находящейся в упругой среде, под действием осесимметричной волны давления, движущейся вдоль оболочки с постоянной скоростью. В [138] анализируются волновые процессы в полубесконечном стержне, находящемся в упругой среде, при ударной внешней нагрузке.
Помимо вышеупомянутых трудов, задача о нелинейных колебаниях трубопровода решалась в работах [92], [159]. В [92] изучены колебания гибкого металлического рукава, описанного нелинейными уравнениями балки. В [159] развита и проанализирована математическая модель колебаний цилиндрических и тороидальных оболочек, нагруженных внутренним давлением жидкости.
Рассмотрим работы по внешней задаче о движении трубопровода.
Вопросы гидроупругости, четко обрисованные в [21], получили за рубе-
- 13-
жом название fluid-structure interaction problems (FSI) и выделились в самостоятельное направление вычислительной и прикладной механики [161). Литература по данному направлению весьма обширна, в связи с прикладным значением этих задач. Коснемся некоторых актуальных областей, особенно задач морских технологий.
Современное состояние исследований внешней задачи о динамике подводного трубопровода, отражено в сборниках конференций общества "International Society of Offshore and Polar Engineers" (ISOPE) (cm. [171], [172)). В каждом из этих сборников есть разделы, посвященные так называемым "райзерам" (risers). Этот термин обозначает трубопроводную конструкцию, по которой подается нефть или иная жидкость из глубоководной скважины на надводную станцию/платформу.
Основные сведения но механике, использующиеся в трудах данных конференций, изложены в книго В.А. Светлицкого [169]. Общим обзором технических специальных вопросов по тематике райзеров является книга [180].
Типичные вопросы по внешней задаче применительно к райзерам рассматриваются в [141], [140], [156], [152], [168], [148], [151].
В [141] на основе вариационного подхода построена трехмерная математическая модель движения подводного трубопровода, рассматриваемого как стержень при выполненных гипотезах Эйлера-Бернулли [18], [169]. Изучены эффекты от продольного растяжения в трубе, нагруженной внутренним потоком и внешней идеальной жидкостью. Ценность этой работы в том, что в ней детально описывается применение вариационного принципа к райзерам и подводным трубопроводам. В другой работе части того же авторского коллектива [140] изучается влияние транспортируемой жидкости на нелинейную динамику трубы.
Такой же вариационный подход при построении стержневой модели райзера использован в [156] для анализа задачи о динамическом отклике трубы, транспортирующей жидкость, на колебания ее верхнего конца.
Другая группа исследуемых задач - распределенные колебания райзера, погруженного во внешнюю жидкость, под действием вихрей в этой жид-
- 14-
кости. Наиболее опасна ситуация, когда частота внешних вихрей совпадает с собственной частотой колебаний райзера [152J. В зарубежной литературе все направление характеризуется термином Vortex-Induced Vibrations (VIV). В [152] нелинейное уравнение колебаний балки, моделирующей трубопровод, решено известным методом Ритца. В идейно близкой работе [168] изложен анализ нелинейного взаимодействия нескольких мод инициированных вихрями колебаний райзера. Другая сторона проблемы затронута в [148]: рассмотрены формы колебаний свободно подвешенного в потоке жидкости трубопровода. Уравнения движения аналогичны [152], но выражения для внутренних и гидродинамических сил оригинальны.
Работа [151] представляет инженерное направление анализа глубоководных трубопроводных систем. Она посвящена экспериментальному и численному анализу трубопроводной системы, подающей воду со дна на поверхность океана. Несмотря на то, что ставится численный эксперимент, уравнений математической модели в работе не представлено. Приведены результаты расчета методом конечных элементов и их сравнение с натурным экспериментом, а именно, зависимость напряжения в стенке трубы от глубины воды и скорости внутреннего потока.
Задача о движении трубопровода как балки на винклеровском основании, с учетом кулоновского закона трения, получила свое развитие в трудах Л.А. Розина с соавторами [75], [76]. Учтена упругая нелинейность грунта, задачи поставлены в вариационной форме. Практический расчет движения надземного газопровода на основе применения современного программного обеспечения выполнен в [50].
Нельзя не коснуться работ об устойчивости и поперечных колебаниях трубопроводов. Уравнение колебаний трубопровода в приближении балки приведено в [135], там же дан пример исследования устойчивости трубопровода с потоком идеальной несжимаемой жидкости. Некоторые абстрактные результаты с использованием того же уравнения для трубопровода, но уже погруженного в вязкую среду и нагруженного потоком вязкой жидкости, приведены в [56]. Работа [64] непосредственно опирается на первоисточник
- 15-
[130] и некоторые более поздние статьи, и раскрывает дополнительные математические аспекты проблематики.
Итак, согласно литературе, основной механической моделью трубопровода является нагруженный потоком жидкости и внешними силами стержень. При этом считаются выполненными гипотезы технической теории стержней, в частности, гипотеза плоских сечений. Но при рассмотрении реальных технических характеристик подземных трубопроводов [44] ясно, что соотношение толщины стенки трубы /г и радиуса ее поперечного сечения #о часто не позволяет считать ее классическим стержнем. Конечно, это обстоятельство отражено в литературе (см., например, [21], [29], [16]), но широкая практика научных и инженерных исследований осталась неизменной.
Главными трудностями рассматриваемых задач являются: отсутствие ясного алгоритма непосредственного перехода от условий на поверхности твердого тела к силам, действующим на трубу как на стержень; недостаточная изученность свойств уравнений Навье-Стокса в области больших чисел Рейнольдса, что затрудняет расчет динамики потока жидкости в трубах; ограниченность набора математических моделей трубопровода уравнениями движения стержней Эйлера-Бернулли; необходимость учета явлений с характерным масштабом порядка радиуса трубы при анализе движения волны давления через весь трубопровод.
Целью диссертационной работы является разработка и анализ математической модели трубопровода как геометрически нелинейного упругого тела, содержащего поток жидкости и окруженного внешней средой, разработка алгоритмов построения комплексов математических моделей для классов частных задач и редукции их уравнений к задачам меньших размерностей, асимптотический и численный анализ построенных моделей.
Для задач, в которых зависимость давления от угловой координаты существенна, а также важно точно проследить влияние условий на внешней и внутренней поверхностях трубопровода, нами в [101] предложена математическая модель трубопровода как оболочки, погруженной в мягкую упругую среду и нагруженную внутренним потоком сжимаемой жидкости. Уравне-
-16-
ния и краевые условия разработанных математических моделей записаны в специальной криволинейной системе координат, адаптированной к задачам динамики криволинейного трубопровода. Найден вид приближенного решения уравнений, позволивший редуцировать эти уравнения к одномерным.
Такой новый подход был применен к двум вышеупомянутым классам задач: внутренней задаче о распространении колебаний [77] и внешней задаче о медленном движении трубы [102]. Кроме того, для нелинейных колебаний потока несжимаемой жидкости были установлены расширения области приложений известных уравнений математической физики [79], [80].
Методологической основой диссертации являются следующие фундаментальные труды.
1) В монографии В.З. Власова [16] изложен общий алгоритм перехода от уравнений равновесия трехмерного упругого тела к оболочке. Асимптотический алгоритм такого перехода теоретически изучен в [27], [28]. На основе книг Л.И. Седова [93], [94] получены необходимые соотношения механики деформируемого трубопровода высокой степени общности.
2) В.З. Власов [16] создал линейную теорию полубезмоментных оболочек, хорошо описывающую поведение труб средней длины, для которых выполнено условие
А<0 1- аААа) >4
Яо ~ ' ’ До
где /г- толщина стенки, L- длина, Яо- радиус поперечного сечения, до- радиус кривизны профиля трубы. Эта теория работает в рамках приближения малых деформаций. Здесь удалось учесть в рамках применимости этого условия конечность деформаций, вызванных изгибом осевой линии трубы, тем самым расширив теорию на протяженные трубы.
3) В связи с недостаточной изученностью уравнений Навье-Стокса, потребовались усилия ряда выдающихся ученых по нахождению полуэмпири-ческих формул для сопротивления шероховатой трубы движению жидкости: И.А. Кибель, Н.Е. Кочин, Л.Г. Лойцянский, Th. Karman, I. Nikuradse, W. Nussclt, L. Prandtl, T.E. Stanton и другие. Тщательно проведенные экспе-
- 17-
рименты и их теоретическое обобщение И. Никурадзе [60] приобрели современную завершенность и оформление в известном труде Л.Г. Лойцянского [53]. В основу описания движения жидкости в данной диссертации положены уравнения движения Эйлера, дополненные полуэмпирическими соотношениями Никурадзе-Лойцянского для плотности силы сопротивления потоку. Аналогичный подход применен для одномерного случая в монографии И.А. Парного [134].
4) На основе обобщения мирового опыта в книге [175] изложен подход к математическому моделированию грунта как вязкой жидкости. Здесь этот подход использован для вычисления силы сопротивления внешней среды медленному перемещению трубопровода. Непосредственно сила сопротивления и давление внешней среды найдено в соответствии с решением задачи о движении бесконечного цилиндра в вязкой жидкости [47].
5) Для учета конечности деформаций, вызванных поперечным перемещением трубы, использованы идеи, развитые при построении теории конечного прогиба пологих арок С.П. Тимошенко [99].
Перейдем к более подробному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения и пяти глав.
В главе 1 определены основные понятия для изучения движения трубопровода, проложенного неидеально во внешней среде. Введены необходимые системы координат и приближения для построения математических моделей, обоснованы исходные предположения о поведении трубопровода под действием имеющих место нагрузок. Построена математическая модель деформирования стенки трубопровода как трехмерного упругого тела, представляющая собой нелинейную краевую задачу (1.78)—(1.81), (1.32)—(1.34).
В пункте 1.1 дана физическая постановка задачи, введены основные системы координат и проанализирована геометрия механической системы.
- 18-
В подпункте 1.1.1 приведены основные предположения при построении математической модели и сформулирована физическая задача. В подпункте 1.1.2, согласно общей методике геометрического анализа задач механики сплошных сред [93], [94], введены три системы координат: глобальная система отсчета, начальная лагранжева система координат и сопутствующая лагранжева система координат. Последние две системы координат являются новыми и специальными для геометрии изогнутого трубопровода, впервые опубликованными в [101]. Похожие криволинейные координаты опубликованы в [164], основаны на работе [145], и обладают меньшей общностью.
В подпункте 1.1.3 выведены геометрические соотношения для начальной лагранжевой ортогональной системы координат (О; 5, в, К), необходимые для выполнения операций ковариантного дифференцирования и записи основных операторов математического анализа (1.13)—(1.15):
Обозначения здесь и ниже см. в основном тексте при соответствующих соотношениях, номера которых приведены.
В подпункте 1.1.4 сопутствующая лагранжева система координат заменена приближенной к ней "актуальной" ортогональной системой координат, указаны пределы применимости этого приближения. Для этих координат найдены геометрические соотношения, необходимые для выполнения операций дифференцирования и некоторых других дейсгвий математического анализа.
В пункте 1.2 рассматривается связь перемещения стенок трубы и вызванного им изменения положения осевой линии и векторов базиса сопутствующей системы координат. Введены физические компоненты вектора пе-
; 7 = Я - Я0;
ЯІП в Л 1
Л0 = 1 + —т-т вігі 0\ Я0 = Яо; к\ =
Мз)
- 19-
ремещений и перемещение срединной поверхности трубы, найдена связь перемещений в начальной и актуальной конфигурациях.
В подпункте 1.2.2 записана связь между перемещениями точек стенки трубы и перемещениями ее срединной линии на основе гипотезы Кирхгофа-Лява [16], конкретизированная соотношениями (1.26) для геометрии изогнутой трубы в избранных криволинейных координатах. В подпункте 1.2.3 введен важный для всей работы малый параметр
А = м « 1,
характеризующий малость начального изгиба профиля трубопровода. Найдена формула, выражающая радиус-векторы точек осевой линии в глобальной декартовой системе отсчета через перемещения срединной поверхности трубы в начальных лагранжевых координатах.
В подпункте 1.2.4 получены кинематические соотношения (1.32), связывающие физические компоненты вектора перемещений срединной поверхности трубы в начальных и актуальных координатах:
и ( д а Л V ди о к . л
и — — [А — — vkcos в — — — - w и— sm в;
А0\ ds ) Rq дв А
о / I dv w\ и ( dv \ о V
v=v{‘-sü-sj-ils-"e)-wV
о и f dw .Л v f dw \
Ла»“'У;
Aq = 1 + Rqk0(s) sin в, A = 1 + Rqk(s, t) sin 6\
a также формулы (1.34), определяющие текущее положение осевой линии трубы:
2тг 27г
x(s,t) = Xo(s) + 77-^ f ud.0 + 77-^ [ (v cosO+ w sin#) d0\
2/K ds J 2/K (16 У \ f
о 0
2 7Г 2tt
y(s,t) = Vois) + ^ J °U dô - -L§ j P cos0+ w sinû) dO;
0 0
- 20-
и) С08
в— V вт в^ <Л9.
о
В пункте 1.3 выписаны уравнения движения трубопровода как трехмерного упругого тела с учетом конечности деформаций. Выведены краевые условия на внутренней и внешней поверхностях трубы.
В подпункте 1.3.1 зафиксированы общие уравнения движения стенки трубы как трехмерного упругого тела в инвариантном относительно выбора системы координат виде, известные в других обозначениях (см. [16]). В подпункте 1.3.2 получены выражения для физических компонент тензора деформаций в актуальных коодинатах. В подпункте 1.3.3 выведены краевые условия на внешней и внутренней поверхностях трубы. Величины внешнего давления ре и скорости обтекания ь$ на границе труба-внешняя среда для использования в краевых условиях найдены в подпункте 1.3.4. В подпункте 1.3.5 выведены соотношения для нормального перемещения осевой линии трубы. В подпункте 1.3.6 геометрия трубы учтена в законе Гука.
Подпункт 1.3.7 посвящен окончательной формулировке математической модели движения трубопровода как трехмерного упругого тела специальной геометрии, нагруженного изнутри квазистационарным потоком жидкости, а снаружи - давлением и сопротивлением трения сильно вязкой внешней среды. Эта модель состоит из системы дифференциальных уравнений в частных производных (1.78), (1.79), краевых условий на внутренней поверхности (1.80) и условий на внешней поверхности (1.81):
Рас* = А/] (е) + 2/^йа; раР = 2р£ар, а^0\ а, /? = 5, в, Я:
-21-
ЛМ =
1
£.SS —
у/т
у/Яп
+
dw
dw
——- + W$K COS в -г WrK sill в — OS
1
1 dwg
). + я дв +WR
-Г
2>/^п
М+
дя’
1
тт- 4- cos # + w/ж sin 0 - ^ ______________
os 2у/Яп
.(£)Ч£)
6s6 = ~
1 Owe Wr £т ~ Я дв Я'
If 1 dw$ 1 dw
£rr =
dwR
dR ’
к,
+
- Wc
2\^дГ,дз Яде -у/дП на внутренней поверхности трубы, при Я = Я$ — Л/2:
cos О
2-1
ф(Ы = уМ>- Р =
если /?с < 2000
0 221
0,0032 -f , если Ле > 2000;
j/f - • - max |«0(5) Г
Р = Ра + /*&(£ - s) + ЯоФ, t)pfvj0 sin на внешней поверхности трубы, при Я = Я$ + Л/2:
2t/u* cos 0
Рзя = 0;
P6R
Яо (о, 5 -
In
Г-1?*о
До
РДЯ = -Ре = -Pgrgho 1 - — COS в)------у
V «О ) /Цо.б-
)'
2^* sin 0
In
2££ 4
?Ч)'
U* =
dwn
dt
^ / Л0 _ 1_ Г (dv
2тг J I dt
dw
COS 0 + sin в I at
В главе 2 рассматривается внешняя задача о медленном движении изогнутого трубопровода в вязкой среде. Поставлена нелинейная начальнокраевая задача о движении срединной поверхности трубы, проведен ее
-22-
асимптотический анализ, создан и реализован алгоритм численного решения поставленных задач на ЭВМ. Тестовыми расчетами подтверждена адекватность математической модели. Поставлены численные эксперименты по анализу медленного движения длинномерных трубопроводов. Установлено, что стенка трубы испытывает депланацию поперечного сечения в большой окрестности некоторых критических точек, в соответствии с натурными экспериментами В.З. Власова [17]. Проведен анализ движения трубопровода как растяжимого стержня в вязкой среде. Найдены приближенные формулы для силы сопротивления среды, определено влияние изгиба оси стержня на осевое напряжение. В результате численного эксперимента найдены оценки величины напряжения в стенке трубы.
В пункте 2.1 введены геометрические величины и соотношения теории оболочек применительно к внешней задаче о движении трубы. Это компоненты тензора линейного кручения стенки, формулы закона Гука, геометрические соотношения для избранной криволинейной системы координат, связь перемещений точек стенки и ее срединной поверхности.
В пункте 2.2 выполнен переход от уравнений движения трехмерного упругого тела к уравнениям для общей моментной оболочки, затем к уравнениям технической оболочки, затем - к упрощенным уравнениям медленного движения (2.42), (2.41).
В подпункте 2.2.1 получены соотношения между физическими компонентами векторов перемещений срединной поверхности и главными деформациями трубы как оболочки. Эти деформации определены разложениями в ряды физических компонент тензора деформаций и его инвариантов. Там же получены уравнения, являющиеся исходными для вывода общих уравнений движения или равновесия в моментной теории оболочек и записанные в принятых здесь координатах.
В подпункте 2.2.2 получены уравнения для общей моментной оболочки. В подпункте 2.2.3 найдены усилия, возникающие в оболочке от действия сил инерции, их моментов и поверхностных сил на внешней и внутренней поверхностях трубопровода. Система уравнений (2.20), дополненная соот-
- 23-
ношениями (2.11), (2.24) и (1.80), (1.81), описывает процесс деформирования стенки трубы как общей моментной оболочки с учетом геометрической нелинейности в рамках принятых приближений.
В подпунктах 2.2.4, 2.2.5 выполнен переход к уравнениям медленного движения стенки трубопровода как полубезмоментной оболочки. Окончательными уравнениями являются (2.36), (2.37).
В подпункте 2.2.6 полученные уравнения упрощаются. Упрощены соотношения между перемещениями в начальной и актуальной системах координат (2.41):
0
и' =и
ди'
1 - а(1 - Л/о sin #)— - г/А/о cos #
0 dv! 0 — v' -Tzzr— vi г/А/о sin#;
дв
/ °/Л Л/ Л °, *=г; [l-de-w)“u
dv'
<т(1 — А/о sin#)— — w'A/qcos#
— w v
о о у/ —и) — и'
дю'
а( 1 - A/osin#)— - и' А/о sin#
°, гм ;
-v Ьё-\
МО =
«о(0
ша.х |«о|’
Помимо этого, в выражениях для сил отброшены слагаемые, порожденные моментными членами ms, то. В результате получена система уравнений
(2.42), которая, дополненная уравнениями вычисления текущей кривизны и положения осевой линии (2.41), является математической моделью медленных движений трубопровода в сильно вязкой среде при условии конечности перемещений:
а(1 — А/ sin#)
ai(°)
дС
Afu sin # — а(1 — А/ sin #)
dw'
1 -1У<
Ehv
X;
+
(1 - и)а{ 1 - A/sin#)^ + (1 - i/)А/sin# (V - =
I-is2 —77—^;
Eh*
a/(°) дв
—(1 + A/sin#)/^ + (1 - ^)a^r + (1 - ^)А/ ^2u/sin# - a—- sin# -f г/cos#+
-24-
г,- I 2^2' д2-
V • = I «2— +
=2
д(2 дв2 / ’
Зи' <9г>'
/(с, о =
£/1* «(с. о
т(0) /-, ч г • п\аи ОУ / а
/<> = а(1-А/8т0)—+ -+«,-у
+А/
/ дю'\2 ( ду'\
(■*) + (*7
+
, а , . п 2 • л ({д™'\2 /гЭгЛ2\
у соз#Н-гп вш # Н-а 81П # < |
„ 1 ( ду' ди'\ 1 Ы . л , Л
*° = 2 Гас ~ ж) - 2 + « соз^ ;
—X = -р(и)2Я§^ + ^Ф(Ко);
1у = -р(.2я2^' 1
2г)и* СОБ 6
дт2 л* я0 (0.5 - 1п
1
- 2 ГУ2^1'Ш' 1 -X = -ду Я0^ + -
4 г) + т:{р~РеУ,
)'
Р = Ра + 0?У2О (7 “ с) + Д/(7. Ф/<4 з1п
1 Л Яо л , 2^*ИП0
Ре = РдгРПо 1 - -Г“ СОЭ# + т—
V ^0 / Яо (О,
5 — 1п
?Ч)’
2* / 0 0 \
Яо^ [ ( д г?' 3 д/ . \
ы = "2тГ У ^аГСО80 + -аГ8ш^ <*■
Здесь С) т “ безразмерные длина дуги и время, г/, у', и)' - искомые перемещения срединной поверхности.
В пункте 2.3 установлено, что уравнения построенной математической модели допускают редукцию к одномерному виду, указаны условия применимости этой редукции и физический смысл коэффициентов асимптотических разложений.
В подпункте 2.3.1 принято ограничение перемещений стенки, а именно, их малость по сравнению с минимальным начальным радиусом кривизны
осевой линии трубопровода, поскольку эта величина, как правило, большая (тт|ро| 300 м).
В подпунктах 2.3.2, 2.3.3 выполнено асимптотическое разложение (2.48) решений полученных уравнений, а затем использован вид приближенного решения (2.55):
В результате получены системы уравнений в частных производных (2.52), (2.56), (2.57), неизвестные функции в которых зависят только от одной пространственной переменной:
и' = ио + Хщ + 0( А2); у' = Уо + Агц + 0(А2);
у)' = гь’о + Аи?і 4- 0(А2); и* = Агг^ + 0(А2). щ =щ(£,т)$іпв\ г>і = г7і(С,т) сое#; иц = гй\((, т) біп в.
ас2 2 щ г а ас +1/0 ас + ] 2 щ 2а ас2
З ди)й д2и)о _ р1^2Яо д2и\
1 ' ас ас2 е* дтг ’
— V 2 д^У\ _ 1 2щ\ \ + и дй\
-20-
— — -) (
д( ас 27
До(0,5-1п|2^Д0|)
р1 и>2К$ д'2ги 1 Е* дт2 ‘
(г>1 +гУ1);
Решения уравнений (2.52) являются нулевым по малому параметру Л приближением решения внешней задачи, решения уравнений (2.56), (2.57) -ее первым приближением.
В подпункте 2.3.4 проясняется физический смысл коэффициентов предложенных асимптотических рядов и приближенных решений.
В пункте 2.4 найдены формулы, выражающие компоненты тензора деформаций стенки трубы через искомые функции математической модели. Определен деформационный критерий прочности.
В пункте 2.5 разрабатываются методы решения одномерных уравнений математической модели (2.52), (2.56), (2.57), как численные, так и аналитические. Построены необходимые разностные схемы, изложены алгоритмы решения их уравнений на ЭВМ. Найдены, где это возможно, аналитические решения.
В подпункте 2.5.1 система нулевого приближения (2.52) линеаризована. Решение линеаризованной задачи найдено в компьютерной системе аналитических вычислений МаНштаПса.
В подпункте 2.5/2 система дифференциальных уравнений в частных производных первого приближения дополнена однородными начальными и краевыми условиями. В подпункте 2.5.3 на основе интегро-интерполяционного метода [88] и численных методов газовой динамики [90] построена трехслойная разностная схема для нахождения численного решения поставленной
-27-
начально-краевой задачи. В подпункте 2.5.4 сформулирован алгоритм численного решения.
В пункте 2.6 поставлены численные эксперименты, направленные на верификацию математической модели и исследование движения изогнуто-1хэ трубопровода. Рассмотрено шесть различных профилей трубопровода и обширный набор комбинаций внешних и внутренних условий, а также геометрических параметров для них. Установлены следующие закономерности: (а) существуют точки, в большой окрестности которых деформации стенки трубы не малы; (б) на больших отрезках трубопровода имеют место депла-нации поперечного сечения; (в) в построенной математической модели заметен эффект "обратного хода" трубы, изучавшийся в [141]. При медленном изменении перепада внутреннего давления численный анализ показал адекватность математической модели.
На основе выполненных численных экспериментов сделаны выводы: (а) построенная математическая модель обоснована и дает адекватное описание медленного движения и деформирования изогнутого трубопровода; (б) при удовлетворенном условии к/Я0 «С 1 необходим учет депланации поперечного сечения трубы.
В пункте 2.7 рассматривается медленное движение изогнутого трубопровода как стержня иод действием потока жидкости и нелинейного сопротивления внешней среды. При этом перемещения могут быть конечными, но деформации считаются малыми. Отличие от цитированных выше работ заключается в том, что при выводе уравнений движения учитываются: сила продольного натяжения Т, возникающая в результате поперечного перемещения трубопровода, и вязкое сопротивление среды. Математическая модель движения трубопровода как растяжимого стержня в вязкой среде представляет собой начально-краевую задачу, сформулированную как результат подпунктов 2.7.1, 2.7.2. В подпункте 2.7.3 построена разностная схема для численного решения этой задачи. В подпункте 2.7.4 решен тестовый пример, дана оценка величины растягивающих напряжений в стенке трубопровода.
В главе 3 решается внутренняя задача о гидроупругих колебаниях в по-
- 28-
токе жидкости внутри изогнутого трубопровода, погруженного во внешнюю среду. Выведены уравнения движения трубопровода и жидкости, проведен асимптотический анализ этих уравнений. Па основании этого анализа построена квазиодномерная математическая модель изучаемого механического процесса, проведен ее предварительный анализ.
В пункте 3.1 дана физическая постановка задачи, изложены основные предположения, принятые для се решения.
В пункте 3/2 выведены уравнения движения трубопровода как оболочки, нагруженной внутренним нестационарным потоком сжимаемой жидкости и реакциями внешней среды. При этом ввиду малости перемещений стенки не различаются лагранжево и эйлерово описание сплошной среды.
Базовые уравнения движения трехмерного упругого тела и замыкающие их соотношения приведены в подпункте 3.2.1. В подпункте 3.2.2 из общих соотношений на границе среды выведены краевые условия на внешней и внутренней поверхностях трубопровода в общем виде. В подпункте 3.2.3 выведены уравнения движения стенки трубы как оболочки, нагруженной внутренними колебаниями потока жидкости и сопротивлением внешней среды (3.23), (3.24). В подпункте 3.2.4 накладываются два различных вида краевых условий на торцах трубы: естественные условия (3.29) и условия жесткой заделки (3.30).
В пункте 3.3 из общих уравнений гидродинамики, в которых учтены силы сопротивления стационарному потоку, получены системы уравнений стационарного и нестационарного движения жидкости с тремя пространственными переменными. Как стационарные, так и нестационарные уравнения допускают выбор приближенного решения, при котором число независимых переменных уменьшается на единицу. После такой редукции найдено приближенное решение стационарной задачи, а нестационарная задача сведена к одномерной.
В подпункте 3.3.1 из общих уравнений движения жидкости получены две системы уравнений: система для нахождения стационарного движения жидкости (3.35); и система, описывающая колебательные процессы в жид-
кости (3.39). Для замыкания уравнений принят закон сопротивления стационарному потоку жидкости для шероховатых труб (см. [53]) и уравнение состояния сжимаемой жидкости.
В подпункте 3.3.2 введены безразмерные независимые переменные и искомые функции (3.40) и параметры (3.19), (3.41). Уравнения стационарного и нестационарного движения жидкости приведены к безразмерному виду
(3.42), (3.43), наложены краевые условия (3.44), (3.45):
Ко Но . Ко Но . Ко Но . * ДО , (, „ , . Л
Ж' Ж + ^ ■ ~т + Т' "аТ + а ■ Ж' - Г*"'") -
«’ Ы_±. |фЮ,
у/дй р}
Ко Но . Ко Но . Ко Но Л /(0 , , у2 ,, У'гоУ'оа А2 Н' _
у/дй д( аг дв а дг а у/дп 80 аг аг дв ’
Ко Но, Ко Но.Ко Но (Ко)2 Л Ж) (, \2 . 0 = _<К др1.
у/дй аг дв а дг аг а' у/дЦ а ' дг ’
1 Но + А_.Но+ 1 Но + Ко+
у/д^{ дС аг дв а дг аг
,а по
' а у/дй
у'во сое в + у'то эт (?) =0.
И , Ко н , Ко Н , у' дь, , , Л/(С)
дг + ' ас + аг ‘ дв + а ' дг + У'°°' ' [щсоъ9 + *тав) +
+”-' Ш' +<•""“) - ■ % * Кя ■
н као дув Ко И Ко_Н_„ / . л/(о д
‘ п/) ' -л ^и.<;ои$ /----- СОЬ(7-|-
дт у/д{7 д( от <90 а дг
|
аг аг аг дв5
.^ + ^.^ + ^.^-2?/ V • Л/(С) ап А дт У5ТГ д^ аг дв а дг 80 ъ а^/дп
-30-
a
4-
duo
\ ar ^ a dr J y/gl7 ac c*r 89
v$ cos 0 4- iv sin 0 I =0.
ldty | vr | A/(Q
a 3r ar ay^ir
<4(0,r) = v0; г>'о(С,0,1) = О; p0'{C,9,r) = 1.
й»<(0,^г,т) + ц2р'(0,в,г,т) = T,(т); р'(С,в,г,т) = 0;
л /
wr(C,^, 1, г) = a • -^-(С.г).
В подпункте 3.3.3 изложен асимптотический анализ краевой задачи о стационарном движении жидкости (3.42), (3.44). Прямое разложение в степенной ряд по малому параметру Л привело к решению нулевого приближения (3.48) и системе уравнений первого приближения (3.49). После применения к решениям этих уравнений разложения в ряды Фурье, асимптотические ряды приняли вид (3.51). Итоговое решение уравнений стационарного движения жидкости первого приближения по Л выразилось соотношениями (3.61), (3.63).
В подпункте 3.3.4 предложен вид приближенных решений уравнений движения стенки трубы и жидкости (3.65), (3.66), соответственно:
и =и (С,т) 4- A i (£,r)sin0 4- Л и (£,r)cos0 4- О (Л2),
v =v (£, т) + Л г? (С, т) sin в 4- Л v (С, т) cos 0 4- О (А2), vf =w (С, т) 4- А XV (£, т) sin в 4- A w (£, т) cos 0 + 0 (А2);
v*{r>C,0,r) =vs (г, С, г) 4- A- v8 (г, С, г) sin 0 4- A- 1$ (г, С, г) cos 0 4- О (А2),
о 1 2
Мт> С> r) =ve (т, С, г) + Л- Vfj (т, С, г) sin в + Л- Vo (г, С, г) cos в + 0(А2),
0 , 2
•^(иСЛ7') =vr CnCiO + уг (г,С,г) sin0 4- A- vr (т,(,г) cos в 4- 0(А2),
С> г) =Р (т, С г) 4- А- V (т, С, г) sin 0 4- А- Р (т, С, г) cos 0 4- О (А2).
-31 -
На основе этих разложений и предположений о пренебрежении моментами инерции стенки и медленном изменении кривизны оси трубы получены упрощенные уравнения движения стенки (3.71)—(3.74), зависящие только от одной пространственной переменной.
В подпункте 3.3.5 путем подстановки в задачу о нестационарном движении жидкости (3.43), (3.45) решений (З.бб) получены системы уравнений (3.76)—(3.78), не содержацие угловой координаты в. Разложением решений уравнений (3.76) в степенные асимптотические ряды по малому параметру а = ^ получены упрощенные уравнения нулевого по Л приближения (3.82):
АЛ
ОУ$о ду$0
+ Уо-
а
дт ' "" д( 2 / дРо
дт + У° д(
(шдао + р2Ро)
= К{т); Рп
<=0
а‘Щ + Пт.0;
ду$0 , ' ЭС +1дт = 0;
= 0; у$0 <-с — Ро т=0
= 0.
Т=0
В подпункте 3.3.6 анализируется задача первого приближения по Л, состоящая из системы уравнений движения трубы (3.72) - (3.74) с краевыми условиями (3.30) и системы уравнений движения жидкости (3.77), (3.78) с входящими в нее краевыми условиями, при однородных начальных условиях. Решения начально-краевой задачи движения жидкости разложены в ряд по малому параметру от и полученные уравнения решены при условии, что перемещения стенки трубопровода известны.
В результате найдены формулы для поправок первого приближения к давлению жидкости (3.95), (3.96):
1
Р2=
а2
д2&
1 д (д го д иЛ
+ 1(г2_3)^(г,С)];
дтдС г»о дт \ дт
2гг>0
1
Р =
о 2' О и)
а*
а2 дт\ дт ' У{)
/Узо + <* Р2\
2 „ 2
Р= а2 Р2 .