- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ................................................... 5
ГЛАВА I. МИНИМИЗАЦИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПРОГИБА НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ПРИ ИЗГИБЕ .. ^
А. Минимизация максимального прогиба неоднородных орто-
тропных пластин при изгибе ............................. 15
§ I. Основные положения, исходные соотношения, уравнения неоднородных анизотропных пластин и граничные условия.......................................... 15
§ 2. Метод малого физического параметра ................ 20
I
§ 3. Задача минимизации максимального прогиба пластины при изгибе ........................................ 24
§ 4. Конкретная задача................................. 29
Б. Минимизация максимального прогиба неоднородных анизотропных круговых цилиндрических оболочек при изгибе ... 36 § 5. Основные положения, исходные соотношения, уравнения неоднородных анизотропных круговых цилиндрических оболочек и граничные условия ........... 36
§ 6. Метод малого физического параметра ............... 43
§ 7. Задача минимизации максимального прогиба оболочки при изгибе ........................................47
§ 8. Конкретная задача..................................................................... 50
ГЛАВА П. МАКСИМИЗАЦИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН И
ОБОЛОЧЕК.......................................... 52
А. Максимизация главной частоты свободных колебаний
неоднородных пластин ................................... 52
- 3 -
Стр.
§ I. Уравнение свободных колебаний и граничные условия ........................................................... 52
§ 2. Метод малого физического параметра ....................... 55
§ 3. Максимизация главной частоты свободных колеба-
ний свободно опертых по краям прямоугольных
пластин................................................... 57
§ 4. Числовой пример........................................... 59
§ 5. Максимизация главной частоты свободных колеба-
ний жестко заделанных по краям прямоугольных
пластин................................................... 60
§ 6. Числовой пример ......................................... 63
Б. Максимизация главной частоты свободных колебаний
неоднородных анизотропных цилиндрических оболочек ............. 68
§ 7. Уравнение свободных колебаний и граничные
условия.................................................. 68
§ 8. Метод малого физического параметра ..............•......... 70
§ 9. Максимизация главной частоты свободных колебаний замкнутых круговых цилиндрических оболочек ................ 72
§ 10.Числовой пример .......................................... 73
ГЛАВА Ш. МАКСИМИЗАЦИЯ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ АНИЗОТРОПНЫХ
ОБОЛОЧЕК................................................ 80
§ I. Уравнение устойчивости и метод определения
критической силы ....................................... 80
§ 2. Задача максимизации критической силы замкнутых
круговых цилиндрических оболочек....................... 83
§ 3. Числовой пример ..........................................84
ГЛАВА 1У. МИНИМИЗАЦИЯ ВЕСА АНИЗОТРОПНЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ
ПЛАСТИН.................................................91
- 4 -
Стр.
А. Свободные колебания анизотропных свободно опертых по краям прямоугольных пластин, работающих только
на сдвиг .............................................. 91
§ I. Основные положения, исходные соотношения,
уравнения и граничные условия..................... 91
§ 2. Метод решения задачи определения частоты
свободных колебаний анизотропных пластин ......... 92
§ 3. Числовой пример................................... 96
Б. Минимизация веса анизотропных трехслойных свободно опертых по краям прямоугольных пластин ............. 99
§ 4. Основные положения и уравнения ................... 99
§ 5. Задача минимизации веса трехслойных пластин
и метод решения .................................. 100
§ 6. Числовой пример................................... НО
ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................ 114
ЛИТЕРАТУРА...................................................... И6
- 5 -
ВВЕДЕНИЕ
Современные требования авиационной и космической техники, судостроения, точного машиностроения, строительных сооружений и т.п., обусловливают интенсивное развитие теории оптимального проектирования, позволяющей создать конструкции, обладающие наилучшими в том или ином смысле характеристиками. Поэтому исследования в этой области имеют важное как практическое, так и теоретическое значение.
При оптимальном проектировании конструкций большой интерес представляет выделение и исследование новых задач; учет различных физических факторов, разработка эффективных методов оптимизации с использованием специфики рассматриваемых задач. В этих задачах большое значение имеет и выбор модели материала конструкции. Материал может быть упругим, упруго-пластическим, жестко-пластическим и т.п. Кроме того, материал конструкций может быть неоднородно-анизотропным (композиционные материалы, обладающие неоднородностями и анизотропией). Наконец математическая модель материала может быть линейной или нелинейной.
Все эти факторы позволяют рассматривать разнообразные задачи оптимального проектирования. При отыскании оптимальных форм и структуры сталкиваемся с серьезными математическими трудностями. Эти трудности объясняются тем, что исследования в этой области накопились вокруг небольшого числа одномерных задач. Проведение достаточно общих исследований стало возможным в связи с развитием математических методов оптимизации и появлением электронно-вычислительной техники.
Так как задачи оптимального проектирования упругих тел сводятся к решению нелинейных краевых задач для систем дифференци-
- 6 -
альных уравнений, то среди аналитических методов, предназначенных для решения нелинейных проблем, наиболее общими и широко используемыми являются методы возмущений и малого параметра (физического и геометрического). Применение этих методов открывает большие возможности при исследовании задач оптимального проектирования. Эти методы позволяют получать простые приближенные формулы и проанализировать зависимость решения от параметров.
Современная технология полученных композиционных материалов {з?| позволяет изготовление элементов конструкций с любыми, наперед заданными распределения механических характеристик по нужным нам направлениям, координатам. Все это обусловливает возрастание интересов исследователей к вопросам оптимального проектирования неоднородных конструкций. В настоящее время в основном рассматриваются задачи оптимального проектирования конструкций заданной формы и массы (объема), изготовленные из композиционных материалов. Эти задачи относятся к новому классу задач, возникающих в теории оптимального проектирования в последние годы.
Большой вклад в развитии теории оптимального проектирования конструкций внесли как отечественные, так и зарубежные исследователи, из которых отметим Н.В.Баничука, В.И.Бирюка, Я.И.Бурака, В.Б.Гринева, В.Г.Литвинова, А.И.Лурье, К.А.Лурье, Р.Б.Ри-кардса, В.А.Троицкого, А.П.Филиппова, Ф.Г.Шамиева, Г.С.Шапиро,
3.Васютинекого, В.Прагера, Ф.Ниордсона, Н.Ольхоффа, Ж.-Л.П.Ар-мана.
Ниже приведен обзор работ некоторых исследователей.
рования формы колонны, где критерием качества является собственный вес колонны. Рассматривался случай, когда колонна одним концом загружена сжимающей силой, а другим концом жестко за-
В работе Ж.Лагранж решил задачу оптимального проекти-
- 7 -
креплена. После для этой задачи Т.Клаузен [7б] получил оптимальную форму колонны, где около сжимающей силы напряжение неограниченно возрастает. Чтобы избежать этого в работах [б1, 52] Е.Л. Николаи ввел ограничение на напряжение и получил оптимальную форму этой колонны. Эта задача о минимуме веса колонны уже более двух столетий привлекает внимание исследователей [32, 33,
44, 51, 66, 67, 70, 72, 78, 79, 89, 95, 98, 99, 105].
Известная работа Келлера [вз] и другие работы [76, 80, 8б| , которые относятся к отысканию оптимальных форм колонны при потере устойчивости по Эйлеру, послужили основой для современных исследований задач по оптимальному проектированию конструкций.
Впервые динамические задачи оптимального проектирования рассматривались в работах [41, 88] , где критерием качества является основная частота свободных колебаний. На основе этих работ такие задачи рассматривались для стержней и пластин в работах ряда авторов [б, 8-12, 23, 27, 28, 31-36, 38-40, 41, 52,
55, 57, 61-66, 68, 71, 73-75, 77, 81, 82, 87, 90-92, 97, 101, 103, 104, Юб]. Для оболочек таких решений значительно меньше [1, 39, 40, 60], однако интерес к ним не ослабевает. Проблема устойчивости в линейной теории оболочек [102] представляет собой проблему о собственных значениях.
Среди работ в отрасли оптимального проектирования конструкций хотелось бы выделить, во-первых, монографии [16, 45, 67,
69]. В монографии Н.В.Баничука [1б] систематически исследуются теоретические и численные методы теории оптимизации форм различных конструкций. Значительное внимание уделено задачам с новой постановкой.
Работа К.А.Лурье [45] посвящена многомерным задачам оптимального проектирования. В ней дается общая постановка задач
- 8 -
оптимизации. Подробно исследуются задачи оптимального проектирования внутренней структуры призматических стержней, оптимального распределения сопротивления рабочего вещества в канале МГД генератора, оптимальной формы контура обтекаемого сверхзвуковым потоком газа и т.д. В монографии указываются особенности вывода необходимых условий Вейерштрасса сильного экстремума для многомерных задач оптимального проектирования.
Известно, что оболочки и пластинки широко используются в технике, при строительстве сооружений и т.д. В связи с этим, в теории оптимального проектирования оболочкам и пластинкам также уделяется большое внимание. Стремление к уменьшению материалоемкости таких конструкций приводит к задаче проектирования конструкции минимального веса. Решение такого ряда задач приведено
в работах [б, 7, 17-20, 23, 26, 27, 30, 35, 36, 38-40, 56, 60,
61, 71, 88, 93, 94, 96, Юо].
В связи с широким применением композиционных материалов в теории оптимального проектирования исследуются вопросы оптимизации внутренней структуры упругих тел. К настоящему времени выполнен ряд исследований оптимального проектирования конструкций из неоднородных материалов и вопросы оптимизации анизотропных свойств упругих тел [б, 10-15, 17, 21, 22, 25, 27, 29, 34,
35 , 37 , 39 , 40 , 49 , 50 , 53 , 54, 60 , 61, 83-85] .
Кроме перечисленного класса задач оптимизации, представляют
интерес и задачи оптимального проектирования форм упругих тел с заданной неоднородностью или направлением осей анизотропии. Одним из первых исследований, посвященных этим вопросам, являются работы В.С.Саркисяна [59] , Л.А.Мовсисяна ^4в| и Н.В.Баничука
И-
Некоторые вопросы анизотропных пластин и оболочек исследо-
- 9 -
ваны в монографиях В.С.Саркисяна {б8, 59^ методом малого физического и геометрического параметра,
В работах |23, 24^ рассматриваются двумерные задачи оптимального проектирования изотропных однородных конструкций, где функцией варьирования является толщина. Критерием качества являются: функционалы, описывающие частоту свободных колебаний, значение критической силы |2з| и локальный функционал, определяющий максимальное смещение упругих конструкций [24^. Эти задачи решаются при помощи метода возмущений.
Помимо работ ^23, 24|, в диссертационной работе в первых трех главах рассматриваются задачи оптимального проектирования, где управляющей переменной является функция, характеризующая изменение внутренних структур неоднородных анизотропных материалов конструкции. Эти задачи оптимального проектирования решаются методом малого физического параметра, предложенного В.С.Саркисяном ^59, 60^ для решения некоторых задач теории упругости.
В четвертой главе рассматривается задача минимизации веса трехслойной анизотропной пластины, где функцией варьирования является толщина крайних слоев. Эта задача решается методом предложенного Ж.-Л.П.Арманом который решил эту задачу для изотропной трехслойной пластины.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Постановка и решение задач оптимального проектирования неоднородных пластин и оболочек в условиях изгиба, колебаний, потери устойчивости и минимизации веса.
Применение и расширение возможностей метода малого физического параметра для решения исследуемого класса задач оптимального проектирования.
Получение необходимых условий оптимальности и их решения.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Поставлены и решены новые задачи оптималь-
- 10 -
ного проектирования пластин и оболочек в условиях изгиба, колебаний, потери устойчивости и минимизации веса.
Показано, что применение метода малого физического параметра при решении задач оптимального проектирования неоднородных пластин и оболочек существенно расширяет область реализации известных решений, а также позволяет во многих случаях находить решения задач оптимального проектирования в явном аналитическом виде.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В диссертационной работе полученные оптимальные проекты могут быть использованы в авиационной и космической технике, судостроении, точном машиностроении и строительстве сооружений, при изготовлении деталей и элементов конструкций из неоднородных материалов заданной формы, размеров и веса.
ДОСТОВЕРНОСТЬ. Полученные результаты в некоторых случаях сравнены с известными результатами С.А.Амбарцумяна {^2-4^, С.Г. Лехницкого [42|, Ж.-Л.П.Армана и других, так как нулевые приближения предложенного метода малого физического параметра в настоящей диссертационной работе являются решением задач изгиба, свободного колебания и устойчивости однородных пластин и оболочек, и решением задач ортотропных пластин.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Пятом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 27 мая - 3 июня 1981 г.); на Юбилейной научной конференции молодых ученых, посвященной 60-летию образования СССР (Ереван, 23-25 декабря 1982 г.); на Первой Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 6-9 сентября 1983 г.); на Всесоюзной конференции "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций” (Горький, 23-25 октября 1984 г.); на Второй Всесоюзной научно-технической
- Київ+380960830922