Напряженное состояние связующего слоя в упругих конструкциях

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
Предисловие........................................................ 8
Введение........................................................... 9
1. История развития теории клеевых соединений (9). 2. Виды клеев (10). 3. О связи и различиях теории клеевых соединений и теории трехслойных конструкций (11). 4. Проблемы теории клеевых соединений в публикациях (14). 5. Современное состояние теории клеевых соединений и цели, поставленные в работе (17). 6. Структура работы и ее краткое содержание
(18). 7. Положения, которые выносятся на защиту (19).
Система обозначений и ссылок.................................... 21
ЧАСТЬ I. МЕТОД ГИПОТЕЗ В ТЕОРИИ КОНСТРУКЦИЙ
СО СВЯЗУЮЩИМ СЛОЕМ Глава 1. Инженерные теории расчета клеевых соединений
§ 1. Клеевые соединения ортотропных оболочек............... 24
§ 2. Теория Голанда-Рейсснера............................ 30
1. Основные соотношения теории для соединений пластин (30). 2. Исследование напряжений связующего в соединении двух полубесконечных пластин (32).
§3. Осесимметричная деформация соединения цилиндрических
оболочек............................................................ 39
§ 4. Цилиндрический изгиб клеевого соединения пластин......... 43
§ 5. Локальное нагружение соединения.......................... 49
1. Случай А > 0 (50). 2. Случай А < 0 (52).
§ 6. Заключительные замечания и выводы по главе 1............. 56
Глава 2. Некоторые модификации инженерных теорий
клеевых соединений § 7. Модель расчета клеевых соединений пластин
Ю.П.Артюхина......................................................... 59
§ 8 . Варианты уточненного описания деформирования
несущих слоев........................................................ 62
1. Исследование влияния сдвига несущих слоев (62). 2. Влияние деформаций обжатия несущих слоев на напряжения связующего (65).
§ 9. Исследование возможностей крепления топливного бака
к корпусу ракеты связующим переменной толщины ....................... 70
1. Постановка задачи. Уравнения равновесия (70). 2. Параметры конструкции и результаты вычислений (76). 3. Алгоритм численного реше-
ния дифференциальных уравнений метода конечных сумм (77).
§ 10. Балочная теория многослойных клеевых соединений.......... 81
§11. Клеевые соединения с заклепкой............................ 85
1. Постановка задачи и разрешающие уравнения (85). 2. Изгиб клеезаклепочного соединения (89). 3. Клеезаклепочное соединение при сдви-
говом нагружении (90).
ЧАСТЬ П . ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В КОНСТРУКЦИЯХ СО СВЯЗУЮЩИМ СЛОЕМ
Вводные замечания.............................................. 93
Глава 3. Плоская задача теории упругости при описании
деформирования связующего слоя § 12. Напряженное состояние малой окрестности угловой точки в зоне контакта двух тел....................................... 97
I. Постановка задачи (97). 2. Исследование условия непрерывности (102). 3. Методика расчета и результаты (102).
4
§ 13. О разрешимости задачи сдвига клеевого слоя под жестким штампом в механике континуума Косссра.............................. 105
1. Вводные замечания и постановка задачи (105). 2. Основные соотношения механики континуума Коссера со стесненным вращением (106).
3.Аналитическое решение задачи (108).
§14. Трансцендентные однородные решения плоской задачи
теории упругости..................................................... 111
1. Симметричные однородные решения (111). 2. Несимметричные однородные решения (115).
§15. Соединение штампа и плоскости посредством упругого
связующего........................................................... 117
1. Постановка и решение задачи теории упругости. Разложение исходной задачи на две составляющие (117). 2. О точности ГОСТов для ме-
ханических испытаний клея (121). 3. Связующее с неплоским торцом (124)
§16. Крепление штампа двумя клеевыми слоями.................... 128
1. Угловое соединение (128). 2. Плоское соединение с непроклеенной областью (133).
§17. О сингулярности вырождения задачи теории упругости
для тонкого связующего слоя.......................................... 136
§ 18. Заключительные замечания и выводы по главе 3............. 140
1. Обсуждение результатов вычислений и проблема угловых точек (140). 2. О граничных условиях на свободном торце тонкого связую-
щего слоя (143).
Глава 4 . Формальный метод асимптотического интегрирования
уравнений плоской задачи теории упругости §19. Два рекуррентных процесса для решения задачи теории упругости............................................................ 150
1. Первый рекуррентный процесс (150). 2. Второй рекуррентный процесс (152). 3. Структура первого приближения (153).
5
§ 20. Решение плоской задачи теории упругости для тонкого связующего слоя....................................... 154
1. Две составляющие напряженного состояния (154). 2. О скорости сходимости рекуррентных процессов (158). 3. Первое приближение решения для связующего (161). 4. Граничные условия для тонкого связующего, соот-
ветствующие структуре первого приближения (163).
§21. Балочные теории первого асимптотического
приближения ....................................................... 167
§ 22. Теория первого приближения для клеевого соединения пластин................................................. 170
1. Построение расчетной модели (170). 2. Результаты вычислений
(174).
§23. Теория связующего во втором приближении.
Погранслой ....................................................... 185
1. Структура напряженного состояния (185). 2. Граничные условия на свободном торце. Первый погранслой (187). 3. Асимптотическое
решение задачи о напряженном состоянии клеевого слоя под жестким штампом (191).
§24. Балочные теории второго асимптотического приближения........................................................ 193
1. Структура напряженного состояния (193). 2. Вывод уточненной
сдвиговой модели для ортотропного материала (194).
§25. О взаимной связи методов решения задачи теории упругости для связующего слоя............................... 197
1. Построение метода гипотез (198). 2. Построение метода последовательных приближений (200).
6
Глава 5 . Асимптотическое решение трехмерной задачи
теории упругости §26. Формальный метод асимптотического интегрирования для плоского слоя в ортогональной системе координат.................. 203
1. Первый рекуррентный процесс (205). 2. Второй рекуррентный
процесс (206).
§27. Декартова реализация асимптотического алгоритма .......... 208
1. Структура решения в композиции двух процессов (208). 2. Вывод гипотезы Кирхгофа для пластин и возможности ее уточнения (210).
§28. Трехмерная теория деформирования связующего слоя в декартовой системе координат....................................... 211
1. Две составляющие напряженного состояния (211). 2. Напряженное состояние связующего в первом приближении (212). 3. Структура на-
пряженного состояния связующего во втором приближении (213).
§29. Трехмерная схема метода последовательных приближений
решения задачи теории упругости ....................................... 214
§30. Трехмерная схема метода гипотез............................. 218
§31. Описание связующего в неплоских соединениях.
Второе приближение в ортогональных координатах....................... 221
1. Исходные соотношения (221). 2. Сдвиговая составляющая напряженного состояния. Погранслой задачи сдвига (223). 3. Напряженное со-
стояние задачи растяжения и ее погранслой (231).
§32. Модель второго асимптотического приближения
для связующего в соединении цилиндрических поверхностей.............. 238
§33. Напряжения связующего в соединении втулка-стержень 245
§34. Асимптотическая теория деформации клеевого соединения тонких ортотропных оболочек.......................................... 249
1. Исходные соотношения. Модель деформирования несущего слоя во втором асимптотическом приближении (249). 2. Построение модели для связующего слоя (252). 3. Условия непрерывности (254).
§35. Соединения цилиндрических оболочек..................... 256
1. Модель деформирования (256). 2. Осесимметричная деформация соединения замкнутых цилиндрических оболочек. Уравнения равновесия и граничные условия (258).
§36. Заключительные замечания и выводы по главам 4,5........ 264
I. Об однородных решениях задачи теории упругости (264). 2. Два
типа решений задачи теории упругости в малой зоне скачка внешней нагрузки (266). 3. О формальности предложенного метода асимпто-
тического интегрирования уравнений теории упругости (270).
Окончательные выводы по работе.................................... 273
Список использованной литературы.................................. 276
Приложение........................................................ 283
8
Предисловие
Работа над темой диссертации, предложенной профессором Казанского университета Ю.П.Артюхиным, началась в 1971 году. За прошедшее время автору приходилось обращаться за помощью и консультациями ко многим специалистам в различных областях механики и вычислительной математики. Особую признательность следует выразить сотрудникам ка-федр механики Казанского государственного университета и кафедры теоретической механики Казанского государственного технологического университета, где в разные годы проводились вычисления.
Считаю своим долгом выразить благодарность профессору Ю.П.Артюхину за длительную поддержку и научное руководство в период подготовки кандидатской диссертации, часть материалов которой вошла в представленную работу. За многое благодарю профессора КГУ
Н.Г.Гурьянова, и прежде всего, за его докторскую диссертацию, без которой данная работа вряд ли могла быть завершена. Выражаю признательность члену-корреспонденту АН республики Татарстан, профессору КГТУ В.А.Иванову за поддержку в трудные моменты работы над диссертацией.
9
ВВЕДЕНИЕ
1. История развития теории клеевых соединений. Склеивание - один из древнейших способов соединения поверхностей. Есть сведения, что человек начал применять клей, изготовленный из битума, еще 3000 лет назад /36/. Однако, развитие технологии склеивания шло до середины 20 века крайне медленно.
Особое внимание клеевым соединениям металлов начали уделять в годы второй мировой войны, т.к. по сравнению со сварными и заклепочными соединениями клеевые обладают рядом существенных преимуществ. Они не только хорошо передают нагрузку от одной части конструкции к другой, но и резко снижают концентрацию напряжений, возникающую в сварных и заклепочных соединениях, часто приводящую к образованию усталостных трещин. В итоге существенно возрастает срок службы изделий. В неметаллических конструкциях склеивание вообще является основным способом соединения поверхностей.
Сейчас клеи широко применяются в строительстве /87/ и автомобильной промышленности, для изготовления трехслойных конструкций. Особенно эффективно клеи используются в авиации, ракетной технике и космонавтике. К примеру, в транспортном самолете “Боинг 727” использовалось более двух тонн клеющих веществ. Они применяются при создании деталей конструкции крыла и фюзеляжа, соединения обшивки с ребрами жесткости и т.д. /35/.
Как оказалось, клеи выдерживают высокое нагревание и глубокое охлаждение, сохраняя при этом достаточную прочность. В космическом аппарате “Сервейор” склеивание позволило существенно снизить вес конструкции и увеличить его приборное оборудование /36/.
Практическое применение клеевых соединений послужило стимулом для развития методов определения прочности клеевых соединений. Основополагающей работой в этом направлении явилась статья М.Голанда и Е.Рейсснера /92/. В ней учтен изгиб соединения. На примере соединения типа нахлестка авторы показали, что вместе с касательными напряжениями в
10
клеевой прослойке возникают большие отрывающие напряжения. Клеевой слой нагружен крайне неравномерно. Максимальные значения напряжения имеют на краях соединения и на расстоянии порядка толщины пластины практически исчезают. Аналогичные результаты для усиливающей накладки и других соединений получены в работе /76/. Известна статья Фолъкер-сена /98/, в которой учитывается неравномерность по толщине отрывающих напряжений связующего слоя.
В пятидесятых - шестидесятых годах наибольшее число работ посвящено определению напряжений в клее при отсутствии изгиба соединения /24/,/75/,/90/,/99/. Здесь предполагается, что клеевой слой работает только на сдвиг. В статьях /77/,/95/ рассматривается осесимметричная деформация соединения цилиндрических оболочек и панелей. На основе гипотезы /92/ получены эпюры распределения напряжений в клеевом слое.
Более подробно с литературой рассмотренного периода по клеевым соединениям можно ознакомиться в обзорных работах /10/, /89/ и монографиях /28/, /34/, /53/.
2. Виды клеев. Интенсивное развитие химии позволило к настоящему времени создать большое количество веществ, способных склеивать различные материалы. Сейчас имеется множество марок и наименований клеев и клеевых композиций /36/. Все они предназначены для склеивания соответствующих материалов и имеют различные физико - механические и химические свойства.
Известны белковые и синтетические клеи. Исторически ранее появились белковые. Это различные казеиновые клеи и клеи, изготовленные на основе кровяного альбумина. Имеются клеи из растительных белков. Все они широко применяются при склеивании деревянных конструкций, изготовлении фанеры и т.д. /87/. Однако, экономичнее и прочнее чаще оказываются клеи на основе синтетических веществ. Разработаны клеи на основе эпоксидных и мочевино-формапьдегидных смол, имеются фенольные, резорциновые и полиэфирные клеи. Для склеивания резины и кожи применя-
11
ются каучуковые.
Таблица 1
л
Марка клея Модуль упругости/^ / Коэффициент Пуассона
ЭПЦ-1. 64000 0.15
К-153 51000 0.25
К-147 18000 0.35
ФП-12 120000 0.15
дт-з 2500 0.35
88-Н 490 0.5
78-БЦС 260 0.5
В табл.1 приведены механические характеристики некоторых марок-клеев /85/. Можно отметить, что их механические свойства меняются в очень широких пределах. Аналогично различаются и материалы, соединяемые этими клеями ( от высокопрочных сталей до резины ).
Некоторые клеи, к примеру ЁК-3, даже при небольшом нагружении выходят за пределы пропорциональности. Поэтому напряжения в таких клеях желательно определять из нелинейных соотношений. Другие же клеи, к примеру эпоксидная композиция К-153, работают в пределах закона Гука практически до разрушения. Для них вполне справедлива упругая постановка задач прочности.
3. О связи и различиях теории клеевых соединений и теории трехслойных конструкций. Теория клеевых соединений тонких деталей формально близка к теории грехслойных конструкций. Расчетные модели, предложенные Е.Рейсснером и О.Фолькерсеном для клеевых соединений, практически идентичны соответствующим моделям теории трехслойных конструкций с легким заполнителем, которые использовали Л.М.Куршин,
А.П.Прусаков /41/, /56/ и другие авторы. Однако, следует отметить и существенное различие. Прежде всего, оно лежит в характере и разнообразии решаемых в теории клеевых соединений задач. Для иллюстрации этого ниже представлены некоторые варианты соединений посредством клеевого
12
слоя.
В схемах 1,2 изображены соединения встык. 3,4 дают представление о соединениях типа нахлестка, а 5,6 - накладка. Встречаются усовые соединения 7. Клеевые соединения могут сочетаться с заклепкой (схема 8). встречаются угловые 9 и торцевые соединения 10. В схеме 11 представлено соединение элемента жесткости с обшивкой летательного аппарата. Возможны клеевые соединения в конструкциях неплоских массивных тел и оболочек.
3)
I р—- —1
4)
1)
I
2)
”. \
II)
13
Основным вопросом теорий клеевых соединений является проблема прочности клеевого шва. Для соединений тонкостенных элементов, как правило, главное внимание уделяется торцевой зоне, находящейся вблизи приложения внешней торцевой нагрузки к несущим слоям. В теории трехслойных конструкций задачи принципиально другие, а вопрос о концентрации напряжений возле торцов чаще всего решается выбором соответствующего крепления.
Различная постановка задач определяет и различный уровень точности описания напряженного состояния. В теории клеевых соединений значительно выше влияние сдвиговых напряжений и напряжений обжатия несущих слоев. Существенно меньшая толщина клеевого слоя по сравнению с толщиной заполнителя определяет более высокие градиенты напряжений, и, как следствие, необходимость более подробного описания напряженного состояния всего соединения.
Задачи теории клеевых соединений самым тесным образом связаны с проблемой концентрации напряжений. В зависимости от расчетной схемы скорость изменения напряженного состояния возле границы может быть различной, но во всех теориях градиенты напряжений достаточно велики. Именно этим объясняются те противоречия , которые могут возникать при решении конкретных задач расчета связующего. Иногда противоречия могут появиться в рамках какой-либо расчетной схемы, но по сути они являются противоречиями, возникающими в самой линейной теории упругости, и, чтобы разобраться в их истоках, следует вспомнить, каким образом выводятся уравнения классической теории .
Это подробно показано в монографии /51/ Новожилова В.В. Уравнения линейной теории упругости получаются из соответствующих нелинейных уравнений путем отбрасывания произведений от производных неизвестных функций. В случае, когда градиенты параметров напряженного состояния невелики, линейные уравнения будут достаточно точно определять деформирование объекта, и если какие-либо противоречия возникают,
14
то ими в таких задачах обычно можно пренебречь. В теории клеевых соединений градиенты напряжений значительны, и именно это в конечном итоге приводит к заметным противоречиям, пренебрегать которыми уже не представляется возможным.
4. Проблемы теории клеевых соединений в публикациях. Задачи, связанные с оценкой надежности работы клеевого соединения, содержат большое число параметров, чем и объясняется их разнообразие. Прочность клеевого слоя, соединяющего две детали, зависит от вида внешней нагрузки, геометрии, механических характеристик деталей и клея, технологии изготовления, среды, в которой находится соединение. Прочность меняется с течением времени и зависит от температуры. Все эти факторы и определяют интересы авторов публикаций о клеевых соединениях ( список литературы помещен в Приложении).
I. Типы соединений.
В работах /34в,35в,39в,92в,191в/ исследуются клеевые соединения плоских элементов ( пластины и балки ). Соединения внахлестку двух и более пластин рассмотрены в статьях /11в,77в,80в,84в,152в,153в, 194в/. Двойная накладка представлена в работах /4в,94в,163в/. В публикациях /125в, 134в, 191 в,202в/ исследовано поведение при нагружении усовых соединений плоских элементов.
Цилиндрические оболочки с клеевым слоем и соединения труб представлены в /1в,22в,33в,55в,63в/. В работах /62в,133в,135в,189в/ рассмотрены соединения типа втулка-стержень. Фланцевым соединениям посвящены статьи /180в,182в, 183в/. Авторы /158в,178в,179в,184в,193в,204в/ исследовали торцевые соединения. Имеются публикации /5в,47в,144в,181в/, в которых исследуется поведение клеевого слоя с болтами и заклепками.
В большинстве работ рассматриваются соединения или металлических, или пластиковых деталей, соединенных различными эпоксидными композициями. В статьях /8,в61 в, 154в, 161в, 185в, 101 в/ представлены соединения металлических элементов с армированными пластиками.
15
Деревянные конструкции, а также соединения дерева и металла - в работах /26в,38в,68в,74в/.
II. Разновидности задач и методы расчета.
Определяя напряженно-деформированное состояние клеевого соединения и исследуя вопросы образования и распространения трещин, многие авторы используют метод конечных элементов
/58в,59в,62в,77в,85в,97в, 1 ОЗв, 118в, 122в, 1 ЗЗв, 135в, 170в, 172в, 179в, 191 в/. В работах /123в,124в,159в/ применяется метод граничных элементов. В статье /158в/ при исследовании соединения круглых пластин используется итерационный метод. Методы математической статистики применены в работе/13в/.
Некоторые авторы предпочитают аналитические методы расчета. Разложением в ряды воспользовались авторы публикаций /11в,198в,208в/. Асимптотические разложения представлены в работах /29в,30в,
112в,113в/. Авторы /8в,20в/ приводят результаты в виде конечных формул. В работах /47в,58в,59в,84в;168в/ предлагаются программы для расчета клеевых соединений на ЭВМ.
Много авторов занимается проблемами механики разрушения и вопросами образования и распространения трещин в связующем слое /5в,7в,9в,21в,31в,32в,52в,56в,61в,66в, 104в,107в,108в,110в,38в,149в,186в/.
При исследовании напряженно-деформированного состояния ряд авторов /15в,29в,30в,58в,92в,97в,122в,178в,179в,198в/ опирается на соотношения задачи теории упругости. Иногда для описания работы клеевого слоя используется гипотеза о постоянстве напряжений клея по толщине /4в,86в.63в/. В работе /194в/ применена гипотеза Фолькерсена. В статьях /24в,28в,111в,148в,163в/ учитывается только сдвиг клеевого слоя. Исследование ндс при нелинейном характере работы клеевого соединения проводится в статьях /228,578,698,878,1118,1308,1378,1396,1408,1488,1516, 163в, 174в,175в,190в,206в/. Большее число работ из них посвящено задачам о распространении пластической зоны в связующем. Авторы /148в,206в/
16
используют модели вязкоупругого клея. Релаксация напряжений исследована в /29в/. Вопросы геометрически нелинейного поведения соединения рассмотрены авторами/57в,130в, 141 в/.
Имеются публикации по динамическим проблемам. Работы /162в,200в/ посвящены исследованию прочности клеевого соединения при ударных нагрузках. В /26в,109в,119в,187в/ рассмотрено влияние вибрации и ее длительности. Гашение колебаний клеевыми соединениями исследуются авторами /71в,98в,117в, 188в/.
Ряд работ /16в,24в,60в,160в,176в/ посвящен температурным задачам. Поведение клеевого шва при низкой температуре рассмотрено в статье /177в/, при сильном нагреве - в /78в/. Вопросами теплопередачи через клеевой слой занимались авторы работ /43в,73в/. Зависимость напряженного состояния от температуры для соединений встык рассмотрена в работах /155в-157в/.
III. Эксперименты.
Испытания клеевых соединений проводятся различными методами. При определении напряженно - деформированного состояния авторы /99в,112в/ воспользовались тензодатчиками. Методы фотоупругости использовались в работах /45в,166в,167в/, авторы /81 в/ при этом применили лазерную технику. Методика ультразвуковых исследований изложена авторами/147в,192в/. В работе/136в/применена рентгеновская установка. Автор /142в/ использовал высокоскоростную киносъемку. В работе /93в/ при исследовании образования трещин задействован электронный микроскоп. Значительное внимание экспериментаторы
/3в,27в,51в,83в,94в,173в/уделяют исследованию несущей способности и процессам разрушения клеевого слоя. Развитию методики проведения экспериментов посвятили свои работы авторы
/6в, 17в,44в,54в,65в, 115в, 195в, 199в/.
Усталость клеевого соединения рассмотрена в статьях /82в, 131 в, 141 в/. В работах /36в,37в,88в,203в/ изучается влияние влаги на прочность клее-
17
вого соединения. Авторы /136в, 143в/ рассматривают влияние непро-клеенных областей на общую прочность соединения.
IV. Обзоры и конференции.
В рассматриваемый период по проблемам прочности клеевых соединений состоялись конференции /91 в, 126в, 196в/. Опубликованы обзорные работы /89в,145в,169в/. В статье /102в/ дан обзор европейских работ по вопросам старения с учетом климатических условий. Авторы /201 в/ делают обзор методов испытания клеевого соединения. В /146в/ имеется обзор ультразвуковых методов исследования.
Следует отметить, что наибольшее количество публикаций по проблемам прочности клеевого соединения подготовлено на английском языке. Большое внимание этим вопросам уделяют японские исследователи. Количество публикаций российских авторов в настоящее время постоянно снижается.
5. Современное состояние теории клеевых соединений и цели, поставленные в работе. Предложенные М.Голандом, Е.Рейсснером /92/ и
О.Фолькерсеном /98/ два подхода к расчету клеевых соединений, основанные на методе гипотез, и развитые далее в работах А.Л.Брушковского , В.А.Кузьменко, П.А.Переверзева, А.Л.Рабиновича, А.М.Сажина, И. А.Скорого /13в/,/57в/,/57/,/75/, казанских авторов Ю.П. Артюхина,
Н.Х.Гизатуллина, Н.Г.Гурьянова, С.С. Крестовского, В.П.Мартышева,
В.Н.Паймушина /12/,/24/,/29в/,/45/,/53в/ и многих других, определили наличие весьма высокой концентрации напряжений связующего. Подходы, учитывающие переменность нормальных напряжений отрыва по толщине, показали настолько высокую концентрацию напряжений, что поставили под сомнение возможности дальнейшего численного исследования напряженного состояния клеевых соединений вблизи свободного торца связующего. При этом следует отметить, что результаты, полученные в этих двух подходах, особенно по нормальным напряжениям, различались весьма существенно.
Все это вызывало необходимость дальнейшего и более детального ис-
18
следования уже в рамках решения задачи теории упругости. Большую роль в развитии методов расчета имеет докторская диссертация Н.Г.Гурьянова /29в/ , в которой были показаны возможности аналитических методов решения. Использованный в ней погранслой опять подтвердил наличие высокой концентрации напряжений. Однако, сравнение этой работы с исследованиями В.В.Пикуля /54/ фактически перенесло проблему существенного расхождения результатов в зоне торца на более высокий уровень - в область решений задачи теории упругости.
Основной целью данной работы является выяснение причин изложенного выше противоречия. Увеличение возможностей аналитических методов исследования клеевых соединений и трехслойных конструкций, расширение класса задач, решаемых этими методами.
В качестве инструмента выбран метод асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. Поэтому к цели работы следует отнести и усилия по развитию этого метода.с применением его не только для исследования напряженного состояния связующего слоя, но и для клеевого соединения тонких деталей вообще.
Наличие нерешенных проблем теории клеевых соединений показывает недостатки и противоречия аксиоматической базы для построения инженерных схем расчета. В работе предпринимаются попытки оценки точности принимаемых в различных теориях гипотез.
6. Структура работы и ее краткое содержание. Работа содержит пять глав и делится на две части, включающие главы 1,2 и 3-5. Суммарно состоит из введения, 36 параграфов, выводов и двух списков литературы, один из которых помещен в Приложении.
В главах 1,2 представлены прикладные теории расчета клеевых соединений, основным предназначением которых является исследование напряженного состояния связующего слоя в пределах его линейной упругости. Рассмотрены соединения балок, пластин и оболочек при различных видах торцевого и поверхностного нагружения. Предложены механические моде-
19
ли таких технологических приемов снижения концентрации напряжений, как увеличение толщины связующего на торце и укрепление его заклепкой.
Главы 3-5 содержат решения задачи теории упругости как в двухмерной , так и в трехмерной постановке. В § 12 рассмотрен вопрос об уровне концентрации напряжений в малой окрестности особой (угловой) точки при выполнении классических условий свободной границы. В § § 13-16 поднимается проблема граничных условий и предлагаются варианты ее решения как в пределах классической теории упругости, так и в рамках постулатов механики Коссера со стесненным вращением. Ставится вопрос о точности ГОСТов, используемых при механических испытаниях.
В двух последних главах развивается формальный вариант метода асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. В его основе лежит идея разделения напряженно-деформированного состояния плоского слоя на две составляющие по признаку четности относительно нормальной к срединной плоскосту координаты т. Метод порождает два рекуррентных процесса постепенного уточнения решения задачи. Более подробно рассмотрено первое приближение, вносящие основной вклад в напряженное состояние. В ряде задач “доведено до числа” исследование второго приближения, которое позволяет построить решение типа погран-слоя и вывести для него соответствующие граничные условия.
Переход к исследованию деформируемых слоев в виде оболочек осуществляется через построение метода последовательных приближений и метода гипотез. На плоских конструкциях последние приводят к результатам, совпадающим с результатами метода асимптотического интегрирования. Методом гипотез построены модели связующего для соединений жестких массивных тел, а также для клеевых соединений тонких ортотропных оболочек.
7. Положения, которые выносятся на защиту. На защиту выносятся:
1. Результаты и методы решения задач расчета клеевых соединений, показывающие наличие проблемы граничных условий не только в при-
20
кладных теориях , но и в задаче теории упругости. В последней эта проблема порождена особыми точками на торцах связующего.
2. Вариант метода асимптотического интегрирования уравнений классической линейной теории упругости, позволяющий строить расчетные схемы для исследования напряженного состояния соединений посредством упругого связующего без проблемы угловых особых точек.
3. Метод гипотез и метод последовательных приближений решения задачи теории упругости, построенные на основе асимптотического метода. Их приложение к решению задач в неплоских конструкциях.
4. Результаты оценок асимптотических погрешностей аксиоматической основы теорий расчета балок и пластин.
5. Выводы, сделанные по отдельным главам и всей работе в целом.
♦
21
Система обозначений и ссылок
В работе принята сквозная нумерация параграфов. Внутри параграфа формулы нумеруются одним числом. При ссылках на формулу, принадлежащую другому параграфу, вначале указан номер параграфа, а затем следует номер формулы. Поэтому выражение (20.3) в параграфе 10 будет означать ссылку на формулу (3) параграфа 20.
Описание процесса деформирования клеевого соединения требует большого количества символов для обозначения параметров. В данной работе, к сожалению, не удалось сохранить единую систему обозначений, при которой разные символы обозначают разные параметры. Поэтому при чтении следует помнить, что в некоторых случаях при переходе от одной главы к другой некоторые символы могут изменить смысл.
Символы, сохраняющие свой смысл на протяжении всей работы имеют следующее значение: х,у, г - декартова система координат.
(X, Д 2 — ортогональная криволинейная система координат.
В случаях, когда в задаче рассматривается только один деформируемый слой:
и, V, - проекции перемещения точки на оси координат.
&х>ау2>тху’тхг>туг~ тензор напряжений в декартовой системе координат, (Xа1<Ур9&2’>тар*тск9Т/Зг ~ тензор напряжений в ортогональной системе координат.
2/? - толщина слоя.
ЕуО,у- модуль упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона.
В случаях, когда деформируется не один слой, вводится дополнительный индекс 1=1,2,3 . Значения индекса 1=1,2 относятся к соединяемым деталям, 1=3 - обозначает связующее. Исключение составляет §16, в котором нижний индекс ш=1,2 относится к клеевым слоям.
~~ проекции перемещения точки 1-го слоя.
22
^гх ^ ту > ^ гг ’т 1ху > > г гу* “■ тензор напряжений в декартовой системе
координат 1-го слоя, С 1а9СГ//?*^ /г>г/аД’г /'аг > Г/Дг “ тензор напряжений в ортогональной системе координат ^го слоя.
е1а^е1р^ег2^е1ар^102^1^2 “деформации ьго слоя. Деформация сдвига связующего слоя может обозначаться символом ф .
2А,- -толщина 1-го слоя.
Е],С^ V/ — модуль упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона 1-го слоя. В случае ортотропного материала они отмечаются дополнительными индексами и обозначены Е1а, Еф,Е/=, , у/аг , Уф2 , Уфа, .
~ жесткости на растяжение и изгиб несущих слоев. Если несущие слои одинаковые, индекс не пишем.
Н1,#2,#з - параметры Ляме в слОях в виде оболочек, Я|,/?2— радиусы главных кривизн.
Я - радиус цилиндрической оболочки или круглой пластины.
Нижний индекс 1=1,2 отмечает первый и второй процессы в методе асимптотического интегрирования уравнений теории упругости.
- граничные значения проекций перемещения точки при г = И ,
и~ ,у~ , н>~ - граничные значения при г = -/* .
Для сокращения записи вводится следующее обозначение операции дифференцирования:
V _ г ^2/ _ г
~Т~ - —2~ ~ Л**’— . При дифференцировании по координате с ин-
г2/ _ г
дексом ВОЗМОЖНО следующее выражение ~ Л*1у •
23
ЧАСТЬ I . МЕТОД ГИПОТЕЗ В ТЕОРИИ КОНСТРУКЦИЙ СО СВЯЗУЮЩИМ СЛОЕМ
В первых двух главах рассматривается гипотетический подход к построению теорий расчета соединений со связующим слоем. Для соединений относительно тонких деталей принимаются некоторые постулаты, приближенно описывающие процессы деформирования связующего слоя и соединяемых элементов. Погрешность, которая при этом допускается, будет оценена позднее во второй части работы.
ГЛАВА 1
ИНЖЕНЕРНЫЕ ТЕОРИИ РАСЧЕТА КЛЕЕВЫХ СОЕДИНЕНИЙ
В этой главе рассмотрены наиболее часто используемые теории расчета трехслойных конструкций и некоторые их модификации. Для расчета клеевых соединений основные идеи этих теорий сформулированы в работах О.Фолькерсена /98/ и М.Голанда, Е.Рейсснера /92/ . В первой из них предполагается линейный закон изменения напряжений обжатия связующего по толщине. Вторая теория в определенном смысле может рассматриваться как частный случай первой; в ней предполагается отсутствие зависимости напряжений обжатия клея от нормальной к срединной поверхности координаты 7..
Термин заголовка “инженерные теории” означает тот факт, что они уже длительное время используются в инженерных расчетах конструкций и с научной точки зрения являются достаточно исследованными и вполне завершенными. Следует отметить, что заложенные в них гипотезы к конструкциям с относительно толстым средним слоем применялись в работах А.П.Прусакова / 56/, Л.М.Куршина /41/ и многих других авторов. Обычно эти подходы называют теориями трехслойных конструкций с легким за-
24
полнителем.
§ 1. Клеевые соединения ортотропных оболочек.
Рассмотрим клеевое соединение тонких непологих ортотропных оболочек (рис.1) слоем изотропного связующего. Будем считать, что несущие слои, как и слой связующего, отнесены каждый к своей ортогональной системе координата,/?, 2 с началами отсчета на уровне срединной поверхности соответствующего слоя. При этом одна от другой системы координат отличаются сдвигом в направлении нормальной координаты ъ .
Теорию будем строить в линейной постановке на основании следующих предпосылок:
1. Несущие слои достаточно тонкие и в них справедлива гипотеза Кирхгофа-Л ява.
2. Касательные напряжения в клее 73лг,г3/^ постоянны по толщине.
3. Нормальные напряжения ст3г клея являются линейной функцией координаты г.
4. Остальными напряжениями клеевого слоя пренебрегаем.
Рис. 1
Пусть И/О» у/0> ууіоО = 1*2) - проекции перемещения срединных поверхностей несущих слоев на оси координат. Тогда проекции перемещения и деформации в несущих слоях на уровне ъ имеют следующее выражение:
Р
а 2/*3
2 И
2 И2
25
щ = и10 - zw/09a / А, V, = у/0 - 2М>а р / 5, = н>/0,
е/а = е/сг "^2Хш9 е1р = е\р 2Х1р> етр ~ ^\ар + 2Х[арР ~
Здесь А, В - параметры Ляме срединных поверхностей , которые считаем
одинаковыми для верхней и нижней оболочки. е\а^е\р^е1ар ~ деформации срединных поверхностей
еш -Цо,а IЛ+А^о /ЛВ+-\цо //?!, р!В+Вац0 /АВ+Щъ //?2,
е/<#? = 5(% / £)>а / Л+Ды/0 / /ф>/? / Я,/ = 1Д
Изменение главных кривизн и кручение оболочек имеют следующее выражение:
ДГ/а “ 9\а,а I А + ^фОф / Л2?, Хф ~ ®фф I В + В,а@ш ! ^В,
%1сф = 10,сф IАВ + 2Л >9и')0 а I А~ В + 2В ам>Ш р / АВ2 +
+2ц0р / + 2у,0а / ЛЯ2 - 2Арил / /Ш/?, -2йаУю / ЛЯ/?2,
= и,о IЛ1 - и'/о / Я, дф = у;0 / Л2 - ! ВА = 1,2.
2?!, /?2 — радиусы главных кривизн.
Определим перемещения и деформации клеевого слоя. Так как напряжения сг32 линейно зависят от г , то прогиб клеевого слоя и>3 по толщине определяется законом квадратной параболы. Выполним условие непрерывности прогиба по толщине ^з(^з) = ^з(—^з) = ^20- В ре-
зультате получим:
м>3 = +м;20 _2и230)/2/2з + г(гу10 -м?2о)12/?3
Здесь ^30“ прогиб срединной поверхности клеевого слоя, который можно определить лишь из уравнений равновесия. Деформацию обжатия клея можем записать следующим образом:
26
*32 = *Ою +^20 -2^зо)/лз2 + (™ю -^2о)/2/г3. (і)
Продольные перемещения ^3?У3 и СДВИГИ .ФЪаЗ’Фър! клея определим, удовлетворив соотношениям Коши, которые для тонкого слоя имеют вид:
<РЗаі = «3,2 + "3,« / Я, Фър, = Vзlг + ТУ3>/7 / 5. (2)
Сдвиги клеевого слоя не зависят от г . Проинтегрируем (2) по нормальной координате и в выражениях и3,У3 выполним условия непрерывности продольных перемещений по толщине
«30ь) = щНч\ «з(-^) = «2(Ы уз(/гз) = уі(-/гі)> у3(-/г3)=У2(^).
В результате находим:
«3 =-^3(^Ю +и,20 -2^зо),а/6^/гЗ -22(н'10-И'2о)>й/4^?з + Л)~К«іо+«ю)'/2+(^і +^/2)іУЮа/2Л-(/^+/^/2)ньа/24 <Рзсе = («ю -и20)/Щ + 2\и30а / ЗА +
+(^1 + ^ / 3)н'10а / 2^/?з + (/ъ +/% / 3)^20,« / 2у4/?з,
(и,у), (а,/7), (/4,5); ч— ч— ч—
Напряжения ортотропных несущих слоев и изотропного связующего
связаны с деформациями законом Гука. Имеем:
^/а ” ^іаеіа ^іареір + 2(СіаХіа ^іарХір\ & ,Р)?
ч-
*7а0 = Сіар(еіар + 2%іар)(* = ^2),
г3аг = аг’ т3рі = &зФз/к> &Зг ~ Е3е3г>
Сі а = Еіа / (1 “ ^/аг (а у Р)-> С/ар ~~ ^ірЕіа ^ — ^/а ^ір)Р ~
27
Введем усилия и моменты в несущих слоях и клее:
И, А, Аз
ГЦа~ ,[ <71ас^2’Ща ~ / 2СГ1а^’ Озсс ~ { ^ЗсеФ’ (а ,р),
-А, -А, -Аз <-
И, И, Аз Аз
3 = I «Л#*» Н1 = {2Т1арсЬ, / = 1,2, Т3г = | <г3гя!г, М31 = 12СГ3.<*.
-А -Ь Ь ~>ъ
Уравнения равновесия и граничные условия выведем из принципа минимума потенциальной энергии деформации. Согласно принятой гипотезе вариация энергии деформации несущих слоев имеет следующее выражение:
а2 Рг
ЗР ~ / | X (Е1а^е1а + ЪрЗе^ + 3^1 ар +
а1 Р\ /=1,2
+ \4^а5в^а + МфЗвф т Н1Зх^ар)АВЗа(1р.
Вариацию энергии деформации клея
а2 Рг
ЙР3= / 1 | (<Тз**Зг + г3а,5(р3а2 + х3р-_5<р3р2)ЛВ(1ас1р «1 А —
с учетом (1) можем записать следующим образом:
= / /[(Г3г(^ю-^2о)/2Лз + Л/зД^ю +^20 -2йу30)//г^ +
«1 А
+ бзат^Зо2 + (2гр:й(Рзр:]АВ<Зас1р.
Считаем, что поверхностная нагрузка Лг+,Г+,7+, приложенная к
верхней оболочке, и нагрузка Х~ ,У~ ,2~ нижней оболочки производит
работу А на перемещениях оболочек на уровнях г = И{ и г = -И2 соответственно. Тогда ее вариация имеет вид:
28
«2 Рг
^ = 1 I 1Х+<*10 “й1^10,а I А)- X (Л2о + ^2^20,« /^) + а1 А
+Г+(^5у10 -Ь^дм^ р! В) -У (^20 +^2^20ур I +
+2+£и'10 - г~дп2о\АВс1а4р.
В случае, когда граничный контур совпадает с направлением координатных осей, имеем следующее выражение вариации работы торцевой нагрузки на несущие слои:
02
& =| 1ЛФ,о+л(А+^^+а>/о)ад;; +
А Н2
а2 +
/ ^(Цр&Ю + 5/ Лю + НрЩр + $Ща + Зд1^ю)^а]д •
а{ /=12
Здесь Охса^Охрг ~ перерезывающие усилия на краях оболочек. Считаем,
что торцы связующего слоя не имеют внешней нагрузки.
Приравнивая вариацию энергии деформации соединения сумме работ поверхностной и контурной нагрузки, после обычных /89/ преобразований,
при независимых вариациях = получим семь урав-
нений равновесия:
[(ВЦа\а +(А*Щф! А-ВаЩр]/1\ + (АН{ / Я\)ф + АрНх / Я2 + ЧВТ^НА^ф/А-В'Лр-АВ&^/Щ =-АВХ+, [(ВЩ^!ацЛн1)ф1А-ВаЩр]1ЪНАН21К])ф + АфН2/Я2 + +С®2а),а+(^2$)ф!А-ВаТ2р+ АВО^ / 2И3 = АВХ~,