Математическое моделирование газодинамических и газоразрядных CO2-лазеров

2
Содержание
Список принятых обозначений и сокращений.............................. 6
Введение.............................................................. 9
Глава 1. Краткие сведения о принципах работы СС^-лазеров............. 17
1.1. Колебательная кинетика в ССЬ-лазерах........................ 21
1.2. Функция распределения электронов по энергиям................. 28
Глава 2. Колебательно неравновесные течения в плоских соплах
Лаваля..................................................... 31
2.1. Расчет трансзвукового течения газа в сопле Лаваля с помощью метода сопряженных градиентов............................. 34
2.1.1. Уравнения газовой динамики в плоскости (х-у)............ 34
2.1.2. Метод решения........................................... 36
2.1.3. Результаты расчета...................................... 38
2.1.4. Расчет трансзвукового течения в сопле Лаваля методом сопряженных градиентов в физической плоскости................. 40
2 .2. Расчет трансзвукового течения в сопле Лаваля методом *
установления............................................ 44
2.2.1. Основные уравнения...................................... 44
2.3.2. Метод решения........................................... 47
2.2.3. Результаты численных расчетов........................... 50
2.2.4. Сравнение методов расчета трансзвуковых течений
газа в соплах Лаваля..................................... 53
2.3. Расчет сверхзвукового течения в сопле Лаваля................. 55
2.3.1. Основные уравнения....................................... 55
2.3.2. Метод решения............................................ 56
2.3.3. Результаты расчетов...................................... 58
3
2.4. Колебательно-неравновесный пограничный слой................. 63
2.4.1. Уравнения пограничного слоя........................... 63
2.4.2. Метод расчета пограничного слоя в сопле............... 65
2.4.3. Результаты численных расчетов......................... 69
Глава 3. Неустойчивые резонаторы для СОг-лазеров.................... 75
3.1. Интегральный метод расчета неустойчивых телескопи-
ческих резонаторов...................................... 78
3.1.1. Основные уравнения.................................... 78
3.1.2. Результаты расчетов................................... 88
3.2. Исследование неустойчивых резонаторов с переворотом
пучка........................................................ 90
3.2.1. Основные уравнения.................................... 91
3.2.2. Результаты расчетов................................... 93
Глава 4. Численное моделирование одномерного тлеющего разряда.. 100
4.1. Численное моделирование тлеющего разряда в азоте.......... 106
4.1.1. Математическая модель нестационарного разряда в
азоте.................................................. 106
4.1.2. Математическая модель стационарного разряда в азоте.. 108
4.1.3. Результаты расчетов.................................. 111
4.2. Тлеющий разряд в электроотрицательных газах................ 116
4.2.1. Математическая модель и методы решения............... 117
4.2.2. Результаты расчетов.................................. 121
4.3. Численное исследование самостоятельного тлеющего
разряда в воздухе с малыми добавками водорода............. 129
4.3.1. Математическая модель................................ 129
4.3.2. Результаты расчетов.................................. 132
4.4. Тлеющий разряд в потоке газа............................... 136
4.4.1.Основные уравнения.................................... 136
4
4.4.2. Численный метод....................................... 138
4.4.3. О балансе энергии..................................... 140
Глава 5. Математическое моделирование газоразрядных С02-лазеров 144
5.1. Исследование лазера с продольным разрядом................... 147
5.1.1. Математическая модель................................ 147
5.1.2. Результаты расчетов................................... 148
5.1.3. О влиянии параметров резонатора на вольтамперные характеристики разряда....................................... 155
5.2. Расчет быстропроточного С02-лазера с продольным разрядом .
в трубе переменного сечения................................ 158
5.2.1. Уравнения квазиодномерного тлеющего разряда............ 158
5.2.2. Уравнения колебательно неравновесной газовой динамики в трубке переменного сечения......................... 159
5.2.3. Модель резонатора....................................... 160
5.2.2. Результаты расчетов..................................... 161
5.3. Математическая модель С02-лазера с продольным
разрядом, учитывающая вязкость и диффузию зарядов............ 169
5.3.1. Математическая модель.................................. 169
5.3.2. Результаты расчетов..................................... 173
5.4. Численное моделирование газоразрядного С02-лазера с диффузионным охлаждением.................................. 180
5.4.1. Основные уравнения...................................... 181
5.4.2. Метод решения и результаты расчетов..................... 184
Глава 6. Математическое моделирование процессов получения озона
в продольном разряде в воздухе............................ 190
6.1. Математическая модель...................................... 192
6.1.1. Уравнения плазмохимической кинетики..................... 192
6.1.2. Уравнения тлеющего разряда в воздухе.................... 198
5
6.2. Численные результаты....................................... 202
6.2.1. Расчет распределений концентраций частиц............... 202
6.2.2. Параметрическое исследование эффективности производства озона................................................. 204
Глава 7. Математическое моделирование двумерного стационарного тлеющего разряда............................................. 206
7.1. Математическая модель...................................... 210
7.1.1. Основные уравнения в физической плоскости............. 210
7.1.2. Переход в плоскость ф-ф............................... 211
7.2. Метод решения.............................................. 217
7.2.1. Квазилинеаризация уравнений........................... 217
7.2.2. Нулевое приближение.................................... 218
7.2.3. Разностная аппроксимация уравнений..................... 220
7.3. Результаты расчетов........................................ 223
Заключение........................................................ 231
Список литературы................................................. 234
6
Список обозначений и сокращений
со — скорость звука.
Ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении
£)“ — коэффициент амбиполярной диффузии электронов
£)* — коэффициент амбиполярной диффузии положительных
ионов
А — коэффициент турбулентной диффузии
е — внутренняя энергия единицы массы газа
Е — напряженность электрического поля
Е% — полная энергия газа
% — коэффициент усиления
Но — удельная энтальпия торможения.
— интенсивность излучения
— плотность полного тока
е — плотность тока электронов
+ — плотность тока положительных ионов
— плотность тока отрицательных ионов J — полный ток
ка — коэффициент прилипания
ка — коэффициент отлипания
к( — коэффициент ударной ионизации
А/ — увеличение неустойчивого резонатора
пе — концентрация электронов
п+ — концентрация положительных ионов
п. — концентрация отрицательных ионов
N — концентрация нейтральных молекул
7
р — давление газа,
<7 — заряд электрона
(2 — тепловой поток
О — расход газа
Г;, г2 — коэффициенты отражения зеркал резонатора
И — газовая постоянная
/ — время
Т — температура газа
Т, — температура йэй колебательной моды
и — проекция вектора скорости на ось х
и — разность потенциалов
у — проекция вектора скорости на ось у
уе — дрейфовая скорость электронов,
у+ — дрейфовая скорость положительных ионов
V. — дрейфовая скорость отрицательных ионов
х — декартова координата
у — декартова координата
2 — декартова координата
ре — коэффициент электрон-ионной рекомбинации
р* — коэффициент ион-ионной рекомбинации
у — коэффициент вторичной эмиссии
8 — диэлектрическая проницаемость
р — молекулярная вязкость,
Ре — подвижность электронов,
р* — подвижность положительных ионов
р_ — подвижность отрицательных ионов
р — плотность газа
8
0 — коэффициент пропускания полупрозрачного зеркала
Ф — потенциал
Ф — функция тока
ГДЛ— газодинамический лазер
ГРЛ — газоразрядный лазер
ОТР — объемный тлеющий разряд
ПС — положительный столб разряда
НТР — неустойчивый телескопический резонатор
РРК — разрядно-резонаторная камера
ФРЭЭ — функция распределения электронов по энергии
ЭПО — эффективность производства озона
9
Введение
Газовые лазеры, с момента создания которых прошло уже около сорока лет, прочно вошли в современную жизнь. Особое место среди газовых лазеров занимают С02-лазеры, которые нашли широкое применение в технологии, медицине и других отраслях народного хозяйства, благодаря своим уникальным энергетическим характеристикам и длине волны генерации 10.6 мкм. Газоразрядные (ГРЛ) и газодинамические С02-лазеры (ГДЛ) представляют собой сложные технические устройства, в которых имеет место взаимодействие различных физических явлений. Оптимальное проектирование лазеров требует глубокого понимания процессов, происходящих в них. При этом незаменимым инструментом является численный эксперимент, основанный на адекватных математических моделях, в которых необходимо учитывать взаимодействие излучения, электрического разряда и неравновесной газовой динамики. Более чем за три десятилетия прошедшие с создания С02-лазеров достигнуты значительные успехи в понимании физики явлений, происходящих в СОг-лазерах. Можно выделить фундаментальные работы и монографии С.А.Лосева [242], Дж.Андерсона [40], Е.П.Велихова, A.C.Ковалева и А.Т.Рахимова [96], К.Смита и Р. Томсона [300], В.Виттемана [100], Е.П.Велихова, В.С.Голубева и С.В.Пашкина [94], Ю.А.Ананьева [36], А.А.Веденова [93], Н.Н.Елкина и А.П.Напартовича [183], Ю.П.Райзера [282], Г.И.Гадияка, К.А.Насырова и др. [111,112]. Но тем не менее трудность одновременного учета взаимодействия различных факторов делает актуальной задачей создание самосогласованных математических моделей и методов расчета С02-лазеров.
Целью данной работы является создание математических моделей и методов расчета С02-ГРЛ и С02-ГДЛ и их отдельных устройств, а также
10
проведение численных исследований физических процессов, протекающих в них, и расчет энергетических характеристик. Под этим подразумевается:
— разработка метода расчета колебательно неравновесных течений в сверхзвуковых соплах с учетом вязкости газа и проведение численных исследований влияния формы сопла, учета вязкости газа на распределение параметров в выходном сечении сопла;
— разработка метода расчета неустойчивых телескопических резонаторов и неустойчивых резонаторов с переворотом пучка, исследование их оптических и энергетических характеристик;
— разработка методов расчета тлеющего разряда в одномерной и двумерной постановке и создание на этой основе расчетных моделей С02-лазеров с продольной прокачкой, исследования энергетических характеристик лазеров.
Диссертационная работа состоит из семи глав.
В первой главе даются общие сведения об устройстве газодинамических и газоразрядных С02-лазеров и приводятся их принципиальные схемы. Далее в п. 1.1 приводится модель кинетических процессов в смеси газов С02-Н2-02-Н20(Не). Записываются уравнения колебательной релаксации в данной смеси и кратко излагается метод их решения. Следующий параграф данной главы посвящен расчету функции распределения электронов по энергиям (ФРЭЭ). Записывается уравнение Больцмана и выражения для транспортных коэффициентов через ФРЭЭ.
Вторая глава посвящена математическому моделированию течения газа через плоское сопло Лаваля. В п.2.1 излагается применение метода сопряженных градиентов для расчета сопел. Даны решения задачи в плоскости переменных (х-\у) и в физической плоскости. Применение метода установления для расчета колебательно неравновесного течения в сопле описывается в п.2.2. Расчет сверхзвукового колебательно неравновесного
11
течения в сопле Лаваля изложен в п.2.3. В п.2.4. рассматривается расчет колебательно неравновесного пограничного слоя и процедура сращивания течения в пограничном слое и невязком ядре потока.
В третье главе рассматриваются вопросы математического моделирования неустойчивых резонаторов на основе приближения геометрической оптики. Интегральный метод расчета неустойчивых телескопических резонаторов (НТР), основанный на идее осреднении всех параметров по координатной оси, направленной вдоль оптической оси резонатора, излагается в п.3.1. Проведено сравнение с результатами расчета конечноразностным методом. Получены результаты численного расчета НТР для газодинамического и газоразрядного лазеров. В п.3.2 числено исследуется ряд неустойчивых резонаторов, относящихся к классу резонаторов с переворотом пучка. Проведен сравнительный анализ рассмотренных резонаторов в отношении энергетических характеристик и оптического качества выходного луча.
Четвертая глава посвящена математическому моделированию тлеющего разряда в одномерном приближении. Численное исследование тлеющего разряда в азоте проведено в п.4.1. Рассмотрена как нестационарная задача, так и стационарная. Предложена постановка стационарной задачи, в которой система уравнений тлеющего разряда сводится к одному' обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка относительно квадрата напряженности электрического поля. В п.4.2 рассматривается тлеющий разряд в смеси газов С02-Ы2-Не. Разработаны численные алгоритмы решения стационарной и нестационарной задач для тлеющего разряда с учетом отрицательных ионов. Подробно исследована прилипа-тельная неустойчивость несамостоятельного разряда. Проанализировано изменение структуры разряда при увеличении плотности тока, сопровождающееся переходом от устойчивой формы разряда к неустойчивой, и за-
12
тем снова к устойчивой. Исследованию влияния малых добавок водорода на концентрацию отрицательных ионов в разряде в воздухе посвящен п.4.3. Проведен анализ зависимости эффективности колебательной накачки азота от концентрации водорода. В п.4.4 предложена математическая модель тлеющего разряда в продольном потоке, включающая уравнения тлеющего разряда в электроотрицательном газе и уравнения колебательно неравновесной газовой динамики. Исследован баланс энергии разряда, вложенной в различные степени свободы молекул.
В пятой главе рассматриваются различные математические модели С02-лазеров с продольным разрядом и диффузионным охлаждением. Математическая модель ССЬ-лазера с продольным разрядом, основанная на математической модели тлеющего разряда в продольном потоке электроотрицательного газа, представлена в п.5.1. Численно исследована зависимость энергетических характеристик лазера от плотности тока разряда, скорости и направления движения газа. Проведено сравнение результатов расчета с известными экспериментальными данными. Обсуждено взаимовлияние параметров резонатора и вольтамперных характеристик разряда. В п.5.2 рассматривается математическая модель газоразрядного лазера с продольной прокачкой газа с разрядом в трубе переменного сечения. Для этого предлагается квазиодномерная математическая модель тлеющего разряда, являющаяся обобщением одномерной модели на случаи трубки переменного сечения. Исследованы энергетические параметры лазера с конической разрядной трубкой, расширяющейся или сужающейся вдоль потока. В следующем п.5.3 рассматривается математическая модель ГРЛ с продольной прокачкой, учитывающая вязкость и диффузию зарядов. Для расчета газодинамических параметров в данном случае применяется уравнение “узкого канала”, а тлеющий разряд рассчитывается в приближении квазинейтральной плазмы с учетом амбиполярной диффузии. На основе
13
данной модели в п.5.4 рассмотрен расчет ССЬ-ГРЛ с диффузионным охлаждением.
В шестой главе диссертации рассматривается продольный тлеющий разряд в воздухе как источник озона. В п.6.1 записывается набор плазмохимических реакций. Система уравнений, описывающая тлеющий разряд в воздухе, приведена в п.6.2. Численные исследования плазмохимичских процессов даны в п.6.3. Также исследованы условия максимально эффективного получения озона.
Седьмая глава диссертации посвящена расчету двумерного разряда. В п.7.1 записываются уравнения разряда в физической плоскости и формулы перехода в плоскость потенциал - функция тока (ф-ф). Численный метод решения задачи в плоскости ф-ф приведен в п.7.2. Результаты расчета несамостоятельного разряда в разрядной камере с криволинейными стенками представлены в п.7.3.
На защиту выносятся следующие основные положения:
1. Методы расчета колебательно неравновесных течений транс- и сверхзвуковых течений в соплах Лаваля. Алгоритм сращивания пограничного слоя и невязкого ядра при расчете вязкого колебательно неравновесного течения в малоразмерном сопле Лаваля.
2. Приближенный метод расчета неустойчивых телескопических резонаторов. Численное исследование характеристик неустойчивых резонаторов с переворотом пучка.
3. Численные методы расчета одномерного нестационарного и стационарного тлеющего разряда. Численное исследование закономерности развития прилипательной неустойчивости в несамостоятельном разряде в смеси С02-М2-Не при увеличении плотности тока разряда. Исследование влияния малых добавок водорода на характеристики тлеющего разряда в
14
воздухе. Метод расчета стационарного тлеющего разряда в продольном потоке газа.
4. Математические модели и методы расчета газоразрядных лазеров с продольным разрядом. Численное исследование энергетических характеристик в зависимости от направления и скорости прокачки газа. Квазиод-номерная модель тлеющего разряда в трубке тока переменного сечения. Исследование энергетических характеристик ГРЛ с разрядно-резонаторной камерой в виде конической трубки. Математическая модель СО2-ГРЛ с продольным разрядом с учетом вязкости и амбиполярной диффузии. Математическая модель СО2-ГРЛ с диффузионным охлаждением, учитывающая отрицательные ионы.
5. Математическая модель и метод расчета тлеющего разряда в продольном потоке воздуха как источника озона. Исследование эффективности производства озона.
6. Математическая постановка задачи расчета двумерного тлеющего разряда в плоскости переменных потенциал - функция тока (ф-\|/). Метод решения уравнений тлеющего разряда в плоскости ф-\|/.
Основные результаты диссертации докладывались на: III и IV Всесоюзных конференциях "Оптика лазеров" (Ленинград, 1981, 1983); Республиканской научно-технической конференции "Механика сплошных сред" (Набережные Челны, 1982); 3-й школе-конференции "Кинетические и газодинамические процессы в неравновесных средах" (Москва, 1986); II Республиканской научно-технической конференции "Механика машиностроения" (Брежнев, 1987); Межотраслевом совещании "Лазерные технологические установки и перспективы их применения в промышленности" (Москва, 1988); IV Всесоюзной конференции "Кинетические и газодинамические процессы в неравновесных средах" (Москва, 1988); V
15
Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991); I Всесоюзной конференции "Математическое моделирование физико-химических процессов в энергетических установках" (Казань, 1991); VI и VII Конференциях по физике газового разряда (Казань, 1992, Самара, 1995); на Международных симпозиумах “Технологические лазеры и их применение” ИХ А’93, ПХА’95 (Шатура, 1993, 1995); на XII и XIII сессиях международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 1993, С.-Петербург, 1995); I Поволжской научно-технической конференции "Научно-исследовательские разработки и высокие технологии двойного применения" (Самара, 1995); Х1П сессии международной школы по моделям механики сплошной среды (С.-Петербург, 1995); 1-й региональной конференции "Лазеры в Поволжье (Казань, 1997); V Международном симпозиуме по химии низкотемпературной плазмы высокого давления, НАКОМЕ’96 (Милове, Чехия, 1996); 12-й Международной коференции по газовому разряду и его приложениям, СО’97 (Грейфсвальд, Германия, 1997); Итоговых конференциях Казанского государственного университета (Казань, 1981 -1998); Научных семинарах НИЦТЛ РАН (Троицк, 1986, Шатура, 1990, Шатура, 1999); Научном семинаре ФИАЭ (Троицк, 1986); семинарах отдела газовой динамики НИИММ.
Результаты диссертации опубликованы в работах [44, 45, 48, 126-148, 344-348] В работах [44,45] автору принадлежит разработка методов расчета и участие в постановке задачи и обсуждении результатов. В работах [132,136-148,348] автору принадлежит постановка задачи и участие в разработке методов расчета и обсуждении результатов. В работах [48,133] автору принадлежит разработка метода расчета конфокальных резонаторов и участие в постановке задачи и обсуждении результатов. В работах [134,135] автору принадлежит участие в разработке метода расчета и в об-
16
суждении результатов. Работы [4-10, 28-31] выполнены без соавторов.
Автор считает своим долгом выразить глубокую признательность сотрудникам отдела газовой динамики НИИММ, руководимым в течении долгого времени О.М. Киселевым, в процессе совместной работы с которыми стало возможно появление данной диссертации. Особую благодарность автор выражает своим соавторам С.И. Краснову, Р.Т. Файзрахманову и А.А. Федосову и отдельно - Ш.Ф. Арасланову за любезно предоставленную программу расчета функции распределения электронов по энергиям.
17
Глава 1. Краткие сведения о принципах работы С02-лазеров.
Мысль о возможности получения инверсии населенности колебательных уровней молекул с помощью быстрого охлаждения молекулярного газа впервые была высказана Н.Г. Басовым и А.Н. Ораевским в 1963 году. В 1965 году Герлом и Гертцбергом было предложено использовать сверхзвуковое сопло для быстрого охлаждения газовой смеси. В 1966 году В.К. Конюхов и А.М. Прохоров получили авторское свидетельство на изобретение газодинамического лазера (ГДЛ), использующего сопло Лаваля и работающего на смеси углекислого газа и азота. Первые сведения о создании ГДЛ были опубликованы в 1970 году.
Классическая схема ГДЛ представлена на рис. 1.1. В камере 1 происходит нагрев рабочей смеси, состоящей обычно из смеси газов СОг-Иг-Не. Часто рабочую смесь получают в результате горения углеводородных топлив. В этом случае рабочая смесь - это смесь газов СОг-Нг-Ог-НгО. Из камеры 1 газ под большим давлением поступает в систему сопел 2, где происходит ускорение потока и быстрое неравновесное охлаждение. При этом создается так называемая инверсия населенности колебательных уровней молекул. В оптическом резонаторе 3 происходит вынужденное испускание фотонов при переходе газовой смеси к равновесному состоянию. Через полупрозрачное зеркало световой поток 4 выводится из резонатора. Диффузор 5 необходим для повышения давления газа до внешнего давления окружающей среды и выхлопа в атмосферу. В 70-80-е годы происходило бурное развитие ГДЛ. Были предложены различные конструкции сопловых решеток [208]. Использовались различные газы вместо углекислого для генерации излучения. К принципиальным недостаткам ГДЛ относится малый (не превышающий нескольких процентов) КПД, связанный с тем, что
18
большая часть энергии газа - это энергия его движения, теряемая в диффузоре. К неоспоримым достоинствам ГДЛ можно отнести большую (десятки и сотни кВт) мощность излучения. Подробное описание принципов работы ГДЛ и методы его расчетов можно найти в монографиях [40,245]
Рис. 1.1. Схема газодинамического лазера. 1 - камера сгорания (нагреватель), 2 - сопловая решетка, 3 - оптический резонатор, 4 - излучение, 5 - диффузор.
Газоразрядные лазеры (ГРЛ) - одни из первых лазеров, реализованных на практике. В 1964 году был создан первый газоразрядный ССЬ-лазер с диффузионным охлаждением. СО2-лазеры с диффузионным охлаждением, обычно состоят из газоразрядной трубки, в которой в смеси газов СО2-ЭД-Не при давлении порядка нескольких Тор зажигается тлеющий разряд. Охлаждение рабочей смеси при этом происходит через стенки трубки. Для СО2-ГРЛ с диффузионным охлаждением были достигнуты мощности 60 Вт с погонного метра трубки. Путем объединения большого числа трубок соз-
1
19
даны ГРЛ с диффузионным охлаждением мощностью порядка 1 кВт. Значительно большие мощности генерации получены в СО2-ГРЛ с конвективным охлаждением рабочей смеси. Сообщения о первых подобных лазерах появились в 1967 году.
Принципиальная схема СО2-ГРЛ с конвективным охлаждением с поперечной прокачкой рабочей смеси представлен на рис. 1.2. Газ (обычно смесь СОг-Иг-Не) поступает в разрядно-резонаторную камеру (РРК) 1, где происходит неравновесное колебательное возбуждение рабочей смеси в тлеющем разряде. Тлеющий разряд горит между секционированным катодом 2 и сплошным анодом 3. Катод сделан секционированным для увеличения устойчивости разряда, этим же целям служат балластные сопротивления 6. Многопроходный резонатор образован системой зеркал 4, излучение 5 выводится через полупрозрачное зеркало. Другая схема СО2-ГРЛ -это СО2-ГРЛ с продольной прокачкой. Отличие такого лазера от изображенного на рис. 1.2, заключается в том, что катод и анод располагаются во входном и выходном сечении РРК, так что направление электрического тока - вдоль газового потока.
В С02-ГРЛ с быстрой прокачкой достигнуты большие мощности генерации (десятки киловатт в непрерывном режиме) и достаточно высокий КПД (общий КПД около 10% и электрооптический КПД 20-г30%).
В настоящее время разработаны ГРЛ импульсно-периодического действия. ГРЛ различаются также по типу разряда, применяемого для накачки активной среды. В частности широкое применение, кроме разряда постоянного тока, нашли разряды переменного тока, в том числе высокочастотные разряды. Теории и расчетам СО2-ГРЛ посвящены монографии [100,303].
20
Рис. 1.2. Схема газоразрядного лазера с поперечной прокачкой. 1 - разряд-но-резонаторная камера (РРК), 2 -катоды, 3 -анод, 4 -зеркала резонатора, 5 - излучение, 6 -балластные сопротивления.
Длина волны 10.8 мкм, излучаемая СОг-лазером, соответствует инфракрасному диапазону. Достоинства данного излучения связаны с хорошим пропусканием его атмосферой, оптимальными свойствами при тепловой обработке материалов (резка, сварка, закалка и т.п.). Благодаря этому в настоящее время созданы серийные лазерные установки, широко применяемые в промышленности, медицине [303].
21
1.1. Колебательная кинетика в С02-лазерах.
Математическая модель колебательной кинетики в смесях газов СОг-N2-02-1120(116) подробно описана в монографиях [40,168,242,300]. Будет предполагаться, что неравновесно возбуждены три вида колебаний молекулы СО2 и колебания N2. Колебательная энергия остальных молекул, так же, как и энергия вращательных степеней свободы молекул, находится в равновесии с поступательными степенями свободы. Для описания колебательной энергии используется модель гармонического осциллятора. При этом внутри каждой неравновесной колебательной моды устанавливается больцмановское распределение энергии со своей колебательной температурой. Схема колебательных уровней молекул СО2 и N2 и основные каналы энергообмена представлены на рис. 1.3.
Рис. 1.3. Схема колебательных уровней и энергообмена в молекулах СО2 и N2. Стрелками отмечены каналы энергообмена. Зигзаг - лазерный переход, сопровождающийся излучением.
22
Уровни колебательной энергии СО*(100) и СОг(020) весьма близки между собой, поэтому между первой (симметричной) и второй (деформационной) модами СОг существует весьма быстрый энергообмен (Ферми-резонанс). Таким образом данные моды обычно рассматривают, как одну - объединенную. Ввиду больцмановского распределения энергий по колебательным уровням, можно для количества квантов е; колебательной энергии моды (у,), приходящихся на одну молекулу, записать формулу:
0.1)
Ь
где 0у - характеристическая температура у-й моды. у'= 1,2,3 соответствуют симметричной, деформационной и асимметричной колебательным модам молекулы СО2, у =4,5 - колебательным модам молекул N2 и О2, у =6 - деформационной колебательной моде молекулы Н2О (изменением энергии двух других типов колебаний Н2О пренебрегается). Характеристические температуры различных колебательных мод молекул приведены в таблице
1.1.
Таблица!. 1.
} 1 2 3 4 5 6
е (К) 1920 960 3380 3353 2240 2295
Колебания молекул О2 и Н2О предполагаются возбужденными равновесно, т.е. Т5=Тв=Г. В силу Ферми-резонанса Т\=Тг. Суммарная колебательная энергия единицы массы газа выражается формулой:
е = ^[^1(01^! +202е2 +0зез) + ^2^4е4 + + ^4®6Б6 >]
23
я-
/
где - молярная концентрация, щ - молекулярный вес компонента М3 (М1=С02, М2=Н2, Мз=02, М4=Н20, М5=Не), Ро - универсальная газовая постоянная.
Используемая кинетическая схема включает следующие уравнения с соответствующими временами реакций:
Таблица 1.2.
С02(у2) + М* <-> С02 + М1, Ти
С02(уз) + <-> С02(Зу2) + М{, х2,
С02(у3) + N2 <-> С02 + N2^4), Хз
N2(V4) + Н20 о N2 + Н20, Т4
N2^4) + Не <-> N2 + Не, Т5
Времена релаксации т* приведены в таблице 1.3.
Таблица 1.3.
Значение ([рт]=дин“См 2*с) Источник
РХ 12 1+2500(7’~,/3 - 0.08)2 [242]
РХ п 0.6 /7X12 [242]
рх 13 0.8/7X12 [242]
РХ14 0.003+8(Г"1/3-0.15)2 [242]
РХ15 ехр(28.4Г~1/3- 5.3) [168]
РХ22 44 - 8657* "ш + 4500 Г"2/3 [242]
РХ23 рх22 [242]
РХ21 0.4/7X22 [242]
РХ24 0.055 [314]
24
рт25 ехр( 1377 -4267’ '2Я -8.1) [168]
РХЗ 7У[1780 + 3133(0.001 Г - 1.05)2] [242]
/УС4 1+2000(7~ш-0.09)2 [217]
РЪ ехр(129.5Г|/3- 8.9) [168]
Уравнения колебательной релаксации имеют следующий вид:
(1.3)
(1.4) 0.5)
где 82р и 84р- равновесные значения, вычисляемые по формулам:
1
”* а 9 5=2,4.
ехр^-1
Т
Времена релаксации т\ и т2 определяются следующими выражениями:
— = У— 1 _у %»•
*1 Т Т1' ’ Т2 / Х2> '
йг2
= со2 =Р
^2р~г2 | Зф32Ч
1
2т
2 /
^3 _ _ Фз2 . К 8 4 ” 83
— -со3 =------------------+ ^2-----------
Л т2 т3
*4 =в,4в44^г-^.+§1^1®1
л
4(5)
р._ 0+2е2)2
1 + б82 + б82
ф32 = 63(82 +1)3 82(1 + 83 )ехр
302 — 03
25
Кроме столкновительного колебательного энергообмена, который описывается уравнениями колебательной кинетики (1.3)-(1.5), весьма важны излучательные переходы, которые сопровождаются излучением света определенной длины волны. Для ССЬ-лазеров наиболее важным излуча-тельным переходом, на котором получены самые большие мощности генерации, является переход (00° 1) —► (10°0). На данном переходе излучается квант света с длиной волны 10.6 мкм. Необходимым условием возникновения генерации является наличие неравновесности колебательных мод С02(у3) и N2(^4). Неравновесность такого рода называется инверсией активной среды. Важной характеристикой инверсии является коэффициент усиления слабого сигнала, вычисляемый по формуле:
8=В(р,Т\гъ/ъ-гг/г) (16)
В(р, Т) = 833^рГ -5/2 ехр(-233 / Т)Н(сф)
г _ 1 + 2е2 , _ , в2(1 + е3)
3“(1 + є2)4(1 + Єз)2 ’ 0 + Єг)2
в = 7§£[^+а73^+4з) + 0.44^]
где Н(а, 0) - функция Фойхта, выражаемая интегралом
п +а
(1.7)
Функция Фойхта связана со столкновительным и доплеровским уширением коніура генерации. Поскольку нас интересует генерация в центре линии, соответствующая максимальному коэффициенту усиления, то со=0. При расчетах удобно аппроксимировать функцию Фойхта следующим образом:
26
Я(а,0) = 1-1.1283 8я + я2 -0.752а3 +0.5а4 , я<;0.2,
Я(а,0)-] +ц99а + 018з(а,2 _о.0225а3 ’ 0.2 <й<3.7 , 0-8)
Я(а,°) = -Ьо-~Г + -^), а>3.7,
а>1п 2а 4а 9
В условиях, когда присутствует вынужденное излучение, в уравнениях колебательной кинетики (1.3), (1.4) появляются дополнительные слагаемые, описывающие переход (00°1) -* (10°0):
<*2 _ .. , „ &Т
— 0>2 + р
Л ~ (0з -Э^р’ (1-9)
С&3
СО О -
А 3 (0,-0,)^’ 0-1°)
где £ - коэффициент усиления, I- интенсивность излучения.
Если накачка активной среды происходит с помощью тлеющего разряда, то в уравнениях колебательной кинетики появляются слагаемые, описывающие приток энергии в соответствующие колебательные моды:
с?1Т Ьх1ш
—1 = 00 +р 1----+ 0-^-, (1.11)
А >з -0,)^ * ^гР
</е3 _ gIT 83И?Т
А (9з + (112)
<&4 8ЖТ
^ = Ю4+^’ 0-»)