Математические модели неизотермических турбулентных потоков в каналах

2
Реферат
Рукопись содержит 10 глав и приложение, материал изложен на 392 страницах, имеет 193 рисунка, 11 таблиц и схем процессов, 642 библиографических источника.
Ключевые слова: сдвиговые течения, турбулентность, ламинаризация, рециркуляционная зона, анизотропия, тепломассоперенос, химические реакции, математическое моделирование, напряжения Рейнольдса, турбулентный поток скалярной субстанции.
Диссертационная работа посвящена: исследованию на основе
численного моделирования процессов тепломассообмена во внутренних прямоточных и закрученных, инертных и химически реагирующих средах на базе модели переноса рейнольдсовых напряжений и турбулентных потоков скалярной субстанции (температуры, вещества), предполагающей обращение к транспортным уравнениям для интенсивностей пульсаций температуры и концентрации и использующей в качестве базы уравнения для кинетической энергии турбулентности к и интегрального масштаба турбулентности Ь.
Работа также посвящена оценке достижений моментного подхода к изучению турбулентного тепломассообмена в каналах переменного сечения (скачок сечения, конфузорная часть), верификации модели на данных опытов и применению ее к расчету аэродинамики и теплообмена в вихревой камере сгорания турбореактивных и воздушнореактивных двигателей, определению характеристик тепломассопереноса в устройствах высокоскоростного метания, использующих высокую степень сжатия легкого газа и предварительный подогрев рабочей среды.
Серией предварительных исследований развивающихся турбулентных течений в трубах и каналах определены преимущества используемой низкорейнольдсовой ПРН-А£-модели над известными версиями Н. Симы, К.Ханжалика - Б.Е. Лаундера, С. Элгобаши. Результаты свидетельствуют о том, что учет влияния стенки при аппроксимации членов высшего порядка в уравнениях для напряжений Рейнольдса, турбулентных потоков скалярной субстанции посредством демпфирующей функции от I, а также удачные их модельные формы способны заметно влиять на точность построения решений в пристеночной области, обеспечивают сравнительную простоту численной реализации, относительно низкие затраты ресурсов ЭВМ.
Благодарности
Большая признательность научному консультанту профессору А.М.Бубенчикову за содержательные дискуссии, критику и замечания к работе. Отдельное спасибо профессору Л.В. Комаровскому (НИИ ПММ при ТГУ), который в период выполнения работы заведовал отделом механики жидкости и газа. В этот же период кафедрой теоретической и небесной механики ММФ заведовал доцент В.А. Штанько. Ему спасибо за административную поддержку работ по диссертации, а также за глубокие замечания, касающиеся существа дела. Автор искренне благодарит всех
3
коллег по механико - математическому факультету и особенно но кафедре теоретической и небесной механики, имевших отношение к решению вопросов, поставленных в данной работе. Наконец, хотелось бы выразить благодарность и признательность профессорам Архипову Б.А., Квону В.И., Литвину А.И., взявших на себя труд рецензирования рукописи и сделавших много полезных замечаний.
Диссертация выполнялась в соответствии с планом научно -исследовательских работ ПИИ прикладной математики и механики при ТГУ и ориентировалась на анализ физико - химических процессов в устройствах, близких по форме к КС, и в баллистических установках, работающих в режиме предельных тепловых и динамических нагрузок. Исследования проведены при финансовой поддержке РФФИ (гранты: №94-01-01458а; №97-01 00471 а; №98-01-03017а; №98-01-03010а).
Цель и задачи исследования
Последние достижения при моделировании процессов переноса импульса, тепла и массы в камерах сгорания, а также в камерах сжатия устройств высокоскоростного метания показывают необходимость более ясного понимания структуры турбулентного инертного и химически реагирующего течения, формирующегося в сложных условиях (закрутка течения, пространственная деформация потока, термическая деградация стенки, скачок поперечною сечения и др.). Для улучшения рабочих характеристик конструкции, создания новых устройств требуются достоверные данные о параметрах теплового и динамического взаимодействия турбулентного потока со стенкой канала. Сложность постановки опытов в энергонапряженных системах заставляет определять их характеристики теоретическим путём. Для этого необходимо иметь достаточно гибкую модель турбулентности, хорошо описывающую механизмы переноса в сложных сдвиговых течениях.
В связи с этим в данной работе ставится цель - разработать версию модели турбулентности ПРН-потоки, которая бы действительно обладала необходимой универсальностью на классе течений, осложненных тепловыми нагрузками, вращением среды, горением.
Реализация цели включает следующие задачи:
1. Построить оригинальную версию модели турбулентности, базирующуюся на дифференциальных уравнениях переноса рейнольдсовых напряжений (версию ПРН-модели) и обобщить се посредством включения уравнений для потоков скалярной субстанции (разработать версию модели “ПРН-потоки”) и применить ее для расчета прямоточных и закрученных внутренних ту рбулентных течений с тепломассоперсносом.
2. Изучить пульсационную структуру пристеночных закрученных и прямоточных течений.
3. Провести сравнительный анализ возможностей ряда перспективных ПРН-моделей, включающих в качестве опорных кг- и ^/.-уравнения, а также
4
алгебраических моделей рейнольдсовых напряжений (АМН) с кем Д£-базой и модифицированных двухпарамстрических моделей турбулентности, ориентированных на расчет сложных сдвиговых течений.
4. Построить эффективный численный алгоритм для анализа прямоточных и закрученных инертных и реагирующих течений в каналах сложной геометрии.
5. Проанализировать практические аспекты работы ряда конкретных технических устройств.
В работе уделяется внимание развитию и совершенствованию элементов математической технологии с целью создания пакетов программ широкого применения.
Физическая направленность исследований была связана с решением малоизученных вопросов: об обратном переходе (переходе от турбулентной формы к ламинарной иод действием различных стабилизирующих факторов - ускорения потока, вращения стенки канала, интенсивного нафева рабочей газовой смсси и других); о взаимодействии турбулентности и химических превращений; об интенсификации механизмов переноса в каналах постоянного и переменного сечений (посредством организации крутки потока); об особенностях смешения и горения закрученных смесей в КС. Все материалы работы касаются турбулентных (частично ламинарных) потоков и относятся к представленным случаям.
Научная новизна. Новыми в диссертационной работе являются следующие положения и результаты:
1. Предложенная низкорейнольдсовая версия модели турбулентности “ПРН-потоки”, предполагающая обращение к транспортным уравнениям для интенсивностей пульсаций скалярных величии (температуры, концентрации) и включающая базу из уравнений для кинетической энергии турбулентности и интегрального масштаба турбулентных пульсаций. Версия ориентирована на сквозной расчет течений с теиломассопереносом во всей области движения газа, вплоть до самой стенки канала, включая буферную зону и ламинарный подслой. Разработанная версия имеет существенные преимущества в предсказании турбулентной структуры пристенных сдвиговых течений, а также в отношении материальных затрат на численную реализацию в сравнении с аналогичными моделями, опирающимися на базу из к, е уравнений.
2. Оценки возможности моделей “ПРН-потоки” и упрощенных алгебраических моделей с ке- и кЬ-Сгазом для напряжений и потоков, а также модифицированных двухпараметрических моделей ту рбулентности в анализе внутренних течений с гидродинамической и тепловой деформацией, круткой, нестационарностью и химическими реакциями.
3. Построенная комплексная модель аэротермохимических процессов в вихревой КС.
4. Разработанная компактная кинетическая схема горения пропано -водородно - воздушной смеси и эффективный способ расчета концентраций компонент.
5
5. Полученные результаты анализа турбулентной структуры течений с теплообменом и ламинаризацией, в факеле КС с круткой и без нее, а также при нестационарном течении в камере за ускоренно движущимся поршнем.
6. Представленное обобщение алгоритма Л.М. Симуни на случай движений с закруткой.
7. Обоснованные и внедренные в практику прикладных расчетов критериальные зависимости для определения коэффициентов трения и теплоотдачи в потоках с диссоциацией и ионизацией в камерах устройств, предназначенных для высокоскоростного метания тел.
Практическая ценность. Построенные математические модели и полученные теоретические результаты могут быть использованы в конструкторских разработках по созданию тепловых устройств промышленного назначения, КС ракетных и авиационных двигателей, плазмотронов, а также устройств для проведения аэробаллистических экспериментов.
Разработанный программный комплекс для исследования процессов турбулентного переноса в инертных и реагирующих средах может применяться для расчета вихревых газовоздушных КС и баллистических устройств.
Личное участие автора. Материалы, представленные в диссертации, получены самим автором или при его непосредственном участии. В частности, автором сформулирована представленная в диссертационной работе версия модели турбулентности “ПРН-потоки”. В результате многоэтапного анализа модели на классе “реперных” прямоточных и закрученных движений инертной среды построена комплексная математическая модель аэротермохимических процессов в КС.
Численными расчетами подтверждена перспективность термогазодинамической модели процесса метания, учитывающая диссоциацию и ионизацию рабочей среды.
Внедрение результатов. Разработанные модели процессов переноса в газовых системах составили основу ряда методик расчета реальных нестационарных процессов течения высокоэнталышймых газов в каналах баллистических устройств. В НИИ прикладной математики и механики при ТГУ имеются акты внедрения по договорам: №57/89] от 4.01.82г.; №8/85/3455 - П от 2.01.85г.; “Загадка - РВО” от 11.12.89г.; “Ялбот - РВО” от 25.07.91г.
Ст ру «с гу ра д иссерта ц и и
*
Результаты исследований изложены в 10 главах и приложении. В работе можно выделить две взаимосвязанные части. В первой (главы 1-7), получены основные уравнения переноса турбулентных характеристик (потоков импульса, тепла и массы) и обсуждаются способы их замыкания. Рассмотрены конкретные версии моделей, построенные в рамках моментного подхода. Подробно анализируются допущения и ограничения, а также
6
трудности, возникающие при использовании таких моделей в практических приложениях.
Во второй части работы (главы 8-10 и приложение) рассмотрены конкретные примеры турбулентных течений и тепломассообмена инертных и химически реагирующих сред. Для исследования этих процессов привлекается современная модель “ПРН-потоки”, дополненная транспортными уравнениями для интенсивности пульсаций скалярной величины и интегрального масштаба турбулентных пульсаций.
По главам содержание работы выстроено но следующей схеме.
В первой изложены современные подходы к моделированию турбулентности в сдвиговых потоках. Представлены особенности, определяющие выбор моделей турбулентности, критически оценены их возможности к расчёту сложных сдвиговых течений. Представлена общая классификация методов и способов замыкания определяющих уравнений, отдельно обсуждаются преимущества ^-модели турбулентности. Последняя является базой к предлагаемой в работе модели напряжений Рейнольдса. В таблицах собраны наиболее ценные для приложений версии двухпараметрических моделей.
Вторая глава является вводной в проблему построения сложных моделей с транспортными уравнениями для вторых корреляционных моментов пульсаций скорости и смешанных моментов пульсаций скорости и скалярной субстанции. Детально рассмотрены подходы к замыканию уравнений рейнольдсовых напряжений, показаны наиболее жизнеспособные модельные формы неизвестных членов высшего порядка. Обсуждается проблема построения метода сквозного расчёта пристеночных течений на основе полученных уже замкнутых уравнений.
Третья глава посвящена алгебраическим моделям рейнольдсовых напряжений (АМН). Отмечается целесообразность их использования в свободных прямоточных и закрученных течениях со сдвигом. Проводится систематизация алгебраических моделей рейнольдсовых напряжений (АМН) в соответствии с принципом универсализации. Критически осмыслен материал по замыканиям, представленным во второй главе.
В четвертой главе дана характеристика и классификация современных ПРН-моделей, большей частью ориентированных на анализ турбулентных течений, осложненных круткой и геометрическими особенностями и, вследствие этого, наличием зон возвратных течений и рециркуляции. В этом разделе наряду с разбором текущих задач по моделированию турбулентности на уровне вторых моментов оценены перспективы использования ПРН-моделей и описаны способы решения уравнений для характеристик турбулентности.
В пятой главе рассмотрены подходы к моделированию переноса скалярной субстанции как с помощью простых алгебраических связей посредством использования понятий Prh Sct, так и с применением транспортных уравнений для турбулентных потоков тепла и массы. Подробно анализируются особенности построения модельных выражений
7
неизвестных членов высших порядков в уравнениях для и\&, а также пристеночные эффекты. Обоснована целесообразность использования полной математической постановки задачи о тепломассопереносе, предполагающей обращение к уравнениям для автокорреляций пульсаций скалярной величины. Кроме этого, рассмотрены относительно более простые алгебраические модели для вторых смешанных моментов (и\&) и оценены возможности их использования в рассматриваемых задачах.
В шестой главе сообщается о характере протекания химических реакций в нсизотермических турбулентных течениях и методах описания турбулентных характеристик в сложных нсизотермических движениях газовых смесей. Здесь приведены сведения формальной кинетики химических реакций, данные о коэффициентах молекулярного переноса в реагирующих многокомпонентных системах. Подробно обсуждаются особенности применения модели “ПРН-потоки” к анализу реагирующих течений, в частности, к исследованию процессов турбулентного горения. Обсуждаются модельные формы членов высших порядков в транспортных уравнениях для искомых корреляций.
В седьмой главе излагаются вопросы комплексного моделирования горения и турбулентности как в системах предварительно перемешанных реагентов, так и в несмешанных потоках. Рассмотрены физические аспекты влияния турбулентности на среднюю скорость образования вещества. Изложены подходы к исследованию неравновесных и равновесных течений, описаны способы моделирования эффектов взаимовлияния реакций и турбулентности.
В восьмой главе рассматриваются численные модели течения и теплообмена в каналах переменного сечения (скачок сечения, наличие конфузорио - диффузорных секций). Анализируется теплообмен в течениях с отрывом и присоединениям при ламинарном, переходном и турбулентном режимах прямоточного и закрученного течений. Систематизированы данные по параметрам, влияющим на длину присоединения, турбулентный теплоперенос. Исследуются особенности горения в областях отрыва и присоединения.
Численно решены задачи о пространственной деформации потока в каналах с резким изменением площади поперечного сечения и содержащим конфузорную секцию. При определенных обстоятельствах турбулентные течения в таких условиях сопровождаются сложными явлениями обратного перехода. Эти особенности анализируются на базе разработанной автором версии модели “ПРН-потоки”. Созданный для расчёта широкого класса прямоточных и закрученных течений алгоритм предварительно апробируется на ламинарных движениях. После чего детально изучаются механизмы турбулентного переноса импульса и тепла в каналах постоянного и переменного сечений, механизмы порождения и разрушения турбулентности вследствие воздействия дополнительного градиента давления, появляющегося в конфузорной секции. На примере ПРН-1-модели оценены
8
возможности некоторых двухпараметрических моделей в отношении процесса восстановления турбулентности в релаксационной зоне за конфузорной секцией.
В этой же главе рассмотрено явление ламинаризации течения, обусловленное тепловыми причинами: интенсивным нагревом газа. Подобно случаю действия дополнительного отрицательного градиента давления (конфузорная секция), нахревание и расширение газов вызывает ускорение потока, которое и является причиной его ламинаризации. Здесь дана краткая характеристика этого вопроса, выстроенная по известным публикациям, а далее даны рекомендации к расчёту течения и теплообмена в данных условиях на основе модели турбулентности “ПРН-потоки”, использующей обращение к уравнениям для интенсивности пульсаций температуры и скорости её диссипации и учитывающей, в конечном счете, разномасштабность пульсаций теплового и гидродинамического полей.
Девятая глава посвящена исследованию внутренних закрученных турбулентных потоков. Здесь определяющими являются задачи построения модели турбулентности, адекватной сложному характеру движения, обусловленному проявлением массовых (центробежных) сил в закрученном потоке. Дана постановка задачи о турбулентном изотермическом и неизотермическом закрученных течениях и выполнена её численная реализация. Представлено описание алгоритма для сквозного расчёта, применяемого для изучения течений с произвольной • интенсивностью закрутки потока или стенок каналов. Выявлены особенности влияния крутки на локальные параметры течения и теплообмена.
Десятая глава посвящена разработке комплексной математической модели аэротермохимических процессов в камерах сгорания. Модель турбулентности последовательно протестированная на изотермических и неизотермических течениях в изопериметрических каналах и со скачком сечения используется для решения данной задачи. Термохимическая модель горения описывается четырьмя реакциями [обратимыми, типа диссоциации -рекомбинации и необратимыми (окисления) для восьми компонент смеси]. Подробно описан оригинальный способ расчета компонентного состава реагирующей среды. Для численного решения системы определяющих уравнений использованы неравномерные логарифмические сетки со сгущением узлов в области вязкого подслоя и у оси камеры. Интегрирование осуществляется на основе экономичных неявных конечно-разностных схем, полинейного метода и схем расщепления по физическим процессам.
В приложении даются примеры процессов тепломассопереноса в устройствах высокоскоростного метания, представляющих собой двухступенчатые ЛГУ. В легкогазовой камере (ЛГУ) протекают реакции диссоциации, ионизации рабочей среды. Детально анализируются характеристики турбулентного переноса в камере за движущимся телом, строятся критериальные зависимости, позволяющие рассчитать теплообмен и трение в этих условиях.
9
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ 14
1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ. ПОДХОДЫ И АНАЛИЗ 24
1.1. Модели турбулентной вязкости (МО) 27
1.2. Модели с одним дополнительным уравнением (М1) 28
1.3. Двухпараметрические модели (М2) 29
2. МОДЕЛИ С УРАВНЕНИЯМИ ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ РЕЙНОЛЬДСА 41
2.1. Представление диффузионных членов 43
2.2. Модели диссипативного члена 46
2.3. Аппроксимации перераспределяющего члена 51
2.3.1. Учет влияния стенки • 53
3. УПРОЩЕННЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ РЕЙНОЛЬДСОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ПОТОКОВ 55
3.1. Приближенные алгебраические модели напряжений 56
3.2. Собственно АМН-модсль 58
3.3. Общая система к описанию турбулентности на основе алгебраической модели для рейнольдсовых напряжений 64
3.4. Заключительные замечания 65
4. ПЕРСПЕКТИВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ЗАМЫКАНИЯ НА ОСНОВЕ 11РН-МОДЕЛЕЙ 67
4.1. Модели с полными уравнениями переноса напряжений 67
4.2. Заключительные замечания и выводы к моделированию турбулентности в сложных сдвиговых течениях 82
4.3. Формулировка низкорейнольдсовой версии модели переноса рейнольдсовых напряжений в несжимаемой среде 85
5. СОВРЕМЕННЫЕ ТЕНДЕНЦИИ В МОДЕЛИРОВАНИИ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ СКАЛЯРНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 89
5.1. Особенности распространения скалярной субстанции в турбулентных потоках 90
5.2. Моделирование скалярных турбулентных потоков 94
5.2.1. Уравнение для составляющих турбулентного скалярного потока , ' 95
5.2.2. Моделирование уравнений для и[в' 97
5.3. Уравнения переноса автокорреляций пульсаций скалярной величины 0'2 102
5.4. Модельное уравнение скорости диссипации дисперсии скалярной субстанции 105
10
5.5. Алгебраические модели турбулентности для вторых смешанных
моментов пульсаций скорости и скалярной субстанции и автокорреляции пульсации скалярного ноля 108
5.6. Заключительные замечания к моделированию потока скалярной субстанции 110
5.7. Формулировка модели турбулентного переноса скалярных величин 111
6. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩИХ ПОТОКОВ 113
6.1. Особенности протекания химических реакций в неизотермических турбулентных потоках 113
6.2. Способы осреднения в описании неизотермических реагирующих турбулентных потоков 117
6.3. Математическая модель химических процессов в неизотермических турбулентных многокомпонентных системах с переменной плотностью 118
6.3.1. Переносные свойства реагирующей смеси газов 118
6.3.2. Соотношения но кинетике химических реакций 120
6.4. Проблема замыкания уравнений тепломассопереноса химически реагирующей смеси 123
6.5. Модели для напряжений Рейнольдса 124
6.5.1. Эффекты диффузии 125
6.5.2. Перераспределение напряжений Рейнольдса 126
6.5.3. Вязкая диссипация 129
6.5.4. Добавочные члены от взаимодействия градиентов осредненных полей и пульсирующих по Фавру величин 129
6.6. Турбулентные потоки скалярных величин в среде с переменной плотностью 132
6.6.1. Диффузионные члены 134
6.6.2. Перераспределение 134
6.6.3. Добавочные члены 135
6.6.4. Диссипативные члены 136-
6.6.5. Корреляция пульсаций скорости и скорости образования массовой компоненты 136
6.7. Общая система уравнений для турбулентного течения и
массопереноса с использованием модели “ПРН-потоки” в
изотермических условиях 137
*
7.ТУРБУЛЕН 1 НОС ТЬ И МОДЕЛИ ГОРЕНИЯ 139
7.1. Модели турбулентных течений с горением (предварительно перемешанные реагенты) 139
7.1.1. Общая характеристика во11 роса 139
7.1.2. Модель вихревого распада и некоторые другие модели и подходы 145
7.1.3. Модели конечных скоростей химических реакций перемешанных реагентов 147
7.2. Модели горения неперемешанных реагентов 148
7.2.1. Модели быстрых реакций 148
7.2.2. Модели конечных скоростей химических реакций 149
7.3. Модели турбулентного переноса в реагирующих потоках 149
7.4. Заключительные замечания 151
8. СДВИГОВЫЕ ПРЯМОТОЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ С
ЦИРКУЛЯЦИОННЫМИ ЗОНАМИ 151
8.1. Физическая картина течений с отрывом потока 152
8.1.1. Ламинарные и переходные присоединяющиеся течения 153
8.1.2. Турбулентный присоединяющийся поток 155
8.2. Теплообмен в областях озрыва и присоединения 158
8.3. Основные параметры, влияющие на длину присоединения 162
8.4. Кинематические характеристики отрывных турбулентных течений 164
8.5. Спектральные параметры отрывных течений 165
8.6.Мечод проникновения вихрей (метод обновления поверхности) 166
8.7. Турбулентный теплоперенос в каналах сложной геометрии 169
8.8. Горение в областях озрыва и присоединения потока 172
8.9. Заключительные выводы и рекомендации 173
8.10. Турбулентное течение в каналах с симметричным внезапным расширением и конфузорной секцией 174
8.10.1. Характеристики течения за внезапным расширением канала 175
8.10.1.1. Результаты и их обсуждение 177
8.10.1.2. Заключительные замечания 184
8.10.2. Турбулентное течение в канале с конфузорной секцией 185
8.11. Теплообмен при турбулентном течении в каналах 196
8.11.1. Теплообмен в каналах постоянного сечения 199
8.11.2. Расчет теплообмена в турбулентном потоке при втекании в конфузорную секцию и канал с внезапным расширением 206
8.12. Численное исследование турбулентных течений при подогреве газа стенками канала 212
8.12.1. Вводные замечания 212
8.12.2. Физическая постановка задачи 214
8.12.2.1. Определяющие уравнения 214
8.12.2.2. Модель турбулентности “ПРН-потоки” ' 215
8.12.2.3. Граничные условия и численная схема 216
8.12.3. Результаты и их обсуждение 216
8.12.3.1. Слабый нагрев газа 217
8.12.3.2. Сильный нагрев газа тепловым потоком 220
8.12.4. Заключительные замечания 227
12
9. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАКРУЧЕННЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ
В ПРЯМЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ 228
9.1. Особенности влияния крутки на структуру турбулентного течения в каналах 231
9.1.1. Вращающийся канал 231
9.1.2. Канал со стационарной стенкой 232
9.2. Некоторые выводы по гидромеханике 235
9.3. Теплообмен при турбулентном течении закрученного потока в канале постоянного сечения 236
9.4. Анализ динамических и тепловых характеристик закрученного потока в окрестности входа в круглую трубу 239
9.4.1. Математическая постановка задачи 240
9.4.2. Разностная аппроксимация и схема решения 241
9.4.3. Результаты и их обсуждение 248
9.5. Влияние интенсивности закрутки потока и величины скачка площади поперечного сечения канала на трение и теплообмен 250
9.6. О возможностях некоторых ПРН-моделей в расчетах сложных внутренних течений 255
9.6.1. Математическая постановка задачи 255
9.6.2. Граничные условия и особенности расчета турбулентных движений 259
9.6.3. Результаты и их обсуждение 260
9.6.4. Заключительные замечания 265
9.7. Характеристики турбулентного развивающегося течения в оценках некоторых версий ПРН-моделей 265
9.7.1. Математическая постановка и модельные связи 266
9.7.2. Граничные условия и численный метод решения 268
9.7.3. Обсуждение результатов 268
9.8. Исследование турбулентных потоков, закрученных в области входа в короткий канал 271
9.8.1. Математическая постановка 272
9.8.2. Граничные условия и численный метод решения 278
9.8.3. Результаты и их обсуждение 278-
9.9. Численное исследование турбулентного течения и теплоиерелоса в канале с вращающейся стенкой 285
9.9.1. Математическая модель течения и теплообмена 288
9.9.1.1. Модель турбулентности 288
9.9.2. Граничные условия и схема численного решения 291
9.9.3. Анализ результатов , ' 291
10. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЯВЛЕНИЙ СМЕШЕНИЯ И ГОРЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОМ ЗАКРУЧЕННОМ ПОТОКЕ 299
10.1. Физическая постановка задачи 301
10.2. Математическая постановка задачи 303
10.2.1. Определяющие уравнения 303
13
10.2.2. Модель турбулентности “11РН-потоки” 305
10.2.3. Глобальная модель химической кинетики 311
10.3. Метод решения 314
10.4. Результаты и их обсуждение 316
10.4.1. Прямоточное течение 316
10.4.2. Закрученное течение 318
10.4.3. Химически реагирующий поток 324
10.5. Заключительные замечания 335
ПРИЛОЖЕНИЕ 336
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО ОБМЕНА В ЛЕГКОГАЗОВОЙ КАМЕРЕ 336
1.1. Турбулентное течение и теплообмен диссоциирующего-рекомбинирующего газа 337
1.2. Движение газа с эффектами ионизации 342
1.2.1. Постановка задачи о турбулентном течении высокоэнтальпийных частично ионизованных газов в камере за ускоряющимся поршнем 343
1.2.2. Термохимическая модель течения и теплофизические свойства 344
1.2.3. Метод решения и краевые условия 345
1.2.4. Результаты численных расчетов 346
1.3. Критериальные зависимости для расчета трения и теплоотдачи 350
2. РАСЧЕТ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ ЛГУ С УЧЕТОМ ДИССИПАЦИИ, ИОНИЗАЦИИ И ПОТЕРЬ НА СТЕНКЕ
КАНАЛА 351
ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ 356
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 362
14
ВВЕДЕНИЕ
Почти все течения, представляющие практический интерес, являются турбулентными. Турбулентные движения всегда сложны, трехмерны, неустойчивы в малом, иррегулярны. Главная особенность турбулентности заключена в интенсивном перемешивании, вызванном гидродинамическими пульсациями. Турбулентные флуктуации вносят большой вклад в перенос импульса, тепла и массы и, следовательно, имеют определяющее влияние на распределения скорости, температуры, удельных концентраций во всем поле движения. Турбулентность характеризуется широким спектром частотных характеристик движения. Их непосредственный расчет (т.е. расчет без применения моделей турбулентности) при больших числах Рейнольдса неосуществим даже с использованием суперЭВМ.
В настоящее время в связи с быстрыми темпами совершенствования вычислительной техники интерес к методам моделирования турбулентного переноса значительно вырос. Поскольку турбулентность испытывает влияние многих факторов, то естественно, что простые процедуры расчета, включающие эмпирические формулы, имеют невысокий шанс реалистичного описания. Они полезны только для очень специфических, простых задач и дают только интегральную информацию, но не детали, необходимые для практики.
Полное представление о характеристиках турбулентности может быть получено из многомерных численных расчетов. Однако большинство таких расчетов может быть выполнено лишь с привлечением модельных представлений. Имеются различные возможности для описания турбулентности: прямое численное моделирование (ПЧМ), моделирование крупных вихрей (МКВ) и статистическое моделирование, использующее модели турбулентности.
Турбулентное движение, подобно ламинарному, определяется системой уравнений Навьс - Стокса и неразрывности. Эти уравнения описывают все детали пульсационного турбулентного движения. В случае их численного разрешения можно надеяться на получение детальной картины течения. Однако применение численных методов связано дискретизацией ноля течения разностной сеткой, поэтому могут быть рассчитаны лишь движения с масштабами, большими, чем размеры ячейки. В настоящее время из-за ограничений в - быстродействии и памяти ЭВМ ПЧМ возможно только для потоков с относительно низкими числами Рейнольдса. Однако метод ПЧМ очень полезен для описания турбулентной структуры, так как способен дать полную информацию о картине течения и участвовать в оценке эффективности турбулентных моделей. Особенности применения ПЧМ можно найти В [1,2].
В результате решения проблем, связанных с интегрированием уравнений Навье -Стокса методами ПЧМ, получил развитие метод крупных вихрей (МКВ), в котором масштабы движения, большие размеров ячейки, рассчитываются непосредственно из уравнений, а мелкомасштабные - подлежат моделированию тем или иным способом. Работы, использующие эту идеологию, можно найти в [3, 4]. Такой подход применяется также и при решении практических задач. МКВ дает довольно детальную картину и несомненно имеет хорошие перспективы для развития в ближайшем будущем.
При рассмотрении статистических полей (осредненных полей) искомых характеристик в настоящее время широкое распространение получил моментный подход, а также метод использования приближенных эмпирических соотношений и предположений чисто эвристического характера, достоверность которых не вызывает сомнения в ряде частных случаев. В отличие от МКВ, статистические модели турбулентности охватывают весь спектр турбулентных масштабов течения.
В рамках моментного подхода можно выделить три основных способа моделирования турбулентности. Два используют понятие вихревой вязкости, и котором турбулентные напряжения Рейнольдса и]и\ предполагаются пропорциональными градиентам средней
15
скорости с коэффициентом пропорциональности vf (вихревая вязкость), определяющим интенсивность турбулентного обмена. Третий подход основан на непосредственном определении напряжений Рейнольдса из дифференциальных уравнений и известен в литературе, как полная схема замыкания на уровне моментов второго порядка. Модели первых двух типов составляют модели: нулевого порядка, одно-, двухпараметрические, к третьему относятся многопараметрические модели переноса рейнольдсовых напряжений (ПРИ).
Использование коэффициента вихревой вязкости позволяет строить решения, пригодные лишь в конкретных условиях. Сложные турбулентные движения, часто встречающиеся в инженерных приложениях (камеры сгорания ракетных двигателей, течения в авиационных турбинах, химических лазерах и т.д.), требуют использования более общих приемов в моделировании. Практические потребности в изучении сдвиговых течений способствовали формированию тенденции к построению технологичных моделей турбулентного переноса, содержащих транспортные уравнения для одноточечных корреляционных моментов второго, третьего порядка, а также отдельные уравнения для двухточечных моментов, и позволили перейти от глубоко эмпирических подходов к ПРН-моделям в сущности полуэмпирическим. Такие модели существенно более надежны при изучении явлений в системах и устройствах со сложной геометрией, а также в процессах, осложненных круткой потока. Недостаточная апробация таких моделей определяет необходимость их широкого тестирования. Наибольший вклад в решение этого вопроса был внесен В.Б. Launder, K. Hanjalic, W. Rodi, R.M.C. So, S. Elghobashi, N. Shima, B.A. Коловандиным, А.Ф. Курбацким, Э.П. Волчковым, Ю.В. Лапиным и другими. С точки зрения создания надежных численных методик большинство из моделей не выглядят универсальными. Проблема конструирования многопараметрических моделей сопряжена с расширением банка экспериментальных данных, содержащих сведения о структуре турбулентности, которые в настоящее время противоречивы.
В представленной читателю работе развиваются идеи указанных выше авторов. Вес рассмотренные задачи относятся к классу турбулентных движений инертных и реагирующих смесей газов в каналах, а разрабатываемые математические модели базируются на ' использовании приближения существенно дозвуковых скоростей. В рамках этого подхода пульсации плотности жестко коррелированы с пульсациями температуры.
Этапы построения ПРН-молслей. Основа современных ПРН-моделей была заложена 40 лет назад в работах Дж.К. Ротты [5J, П.Я. Чоу [6] и позднее В.И. Давыдовым [7, 8J. Именно эти исследования определили первый этап формулирования ПРН-моделей, критический анализ которых стал возможен лишь с появлением мощных, подходящих для этих целей компьютеров спустя десять лет. Публикации K.P. Дональдсона [9], К.У. Хирта [10], Б.Дж. Дэйли, Ф.Х. Харлоу [11] определили второй качественно новый этап в работе по замыканию уравнений для напряжений Рейнольдса. Эти исследования убедили, что трудности численного решения всех транспортных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для компонент тензора турбулентных напряжений вполне преодолимы и замыкание определяющих течение осредненных уравнений технически возможно. С этого момента ведется активная работа по усовершенствованию первых версий ПРН-моделей, что, в конечном счете, должно завершиться созданием универсальной и надежной основы для расчета широкого спектра течений, содержащих, в частности, искривление линий гока, отрыв, закрутку, рециркуляционные зоны и т.д.
Этот уровень замыкания действительно обеспечивает большую гибкость и позволяет создать модели, применимые в широких пределах изменения определяющих параметров. За последние годы удалось предсказать некоторые яркие эффекты в сложных турбулентных сдвиговых потоках: появление создаваемых турбулентностью вторичных течений в каналах [12, I3J, чувствительность турбулентного пристеночного течения к продольной кривизне линий тока [14] и др. Однако встречаются работы (например, [15]), в которых делаю гея
16
утверждения о неудовлетворительном описании ПРН-моделями течений с воздействием сил плавучести. Данные результаты говорят о том, что в методологии замыкания необходимо искать новые подходы. В настоящее время некоторые из моделей уже приобретают черты, характерные для нового этапа в проведении такого рода работ. Уже сейчас имеются результаты, позволяющие судить об эволюции рейнольдсовых напряжений в развивающемся сдвиговом течении. Эти результаты получены прямым анализом турбулентного движения на основе использования нестационарных уравнений Навье-Стокса и без привлечения какого-либо осреднения. Имеются также работы, в которых данные по структуре турбулентности получены линейным спектральным анализом корреляционных уравнений, составленных для скоростей, определяющих движение в двух точках потока.
Анизотропный характер турбулентности. Турбулентный перенос оказывает решающий вклад в баланс процессов, определяющих изменение осредненного импульса, тепла и массы, и требует пристального изучения. Как показывает опыт, в среде, турбулизированной естественным образом, наблюдается анизотропия процессов переноса. Поэтому анализ напряженного состояния такой среды целесообразно проводить с привлечением связей, учитывающих процессы энергетического обмена в искомых напряжениях. Такими связями могут быть полные уравнения для и'м’ , выражающие взаимодействия между процессами
конвекции (С;>), порождения (/^), диффузии (£)(/), перераспределения ) и диссипации (е,;) и имеющие следующую структуру:
Су = Ру + А,- + я у — £,у . (1)
Рассмотрим эффект взаимодействия между членами уравнения (1) на примере течения в пограничном слое на плоской пластине. В таком течении цикл, определяющий обмен энергией между компонентами тензора турбулентных напряжений происходит по следующей схеме. Цикл начинается с генерации осевого напряжения (рм'2) членом - ри и'(81)! ду). Остальные нормальные напряжения ри'2 и рм'2 не порождаются сдвигом, а “черпают”
энергию, содержащуюся в ри'2, посредством ее перераспределения в результате взаимодействия между пульсациями давления и пульсациями скоростей деформаций,
описываемых величиной Яу. Механизм перераспределения энергии турбулентности формирует тенденцию, обеспечивающую свободный переход к изотропному состоянию, поэтому он последовательно уменьшаег величину сдвигового напряжения -ри'и', причем
анизотропия остается пока еще высокой. В частности, и'2 является довольно малой величиной из-за демпфирующего действия стенки. Все нормальные напряжения затухают у
стенки с различными скоростями, а действие диссипативных механизмов (Б,у) в конечном
счете преобразует турбулентную энергию в тепло. Напряжение и'2 играет ключевую роль в цикле, способствующем развитию напряжения сдвига рн'о' посредством генерирующего
действия члена -ри2д1/!ду (точное значение генерации). Это последнее звено в цепи определяет одну из важных черт в проблеме турбулентного моделирования: даже если производство напряжения представляется (формально) точно, то уровень пристеночного нормального напряжения довольно слабый и поэтому результат моделирования является
чувствительным К способу, С которым определены Яу И £|; .
Данный пример подчеркивает два важных факта:
1. Верный расчет нормального напряжения - есть решающий момент в отношении правильного представления порождения напряжения сдвига.
17
2. Точные члены производства напряжения содержат только скорости деформации и сами напряжения и этими величинами определяются все условия течения.
Последний факт связан с тем, что уровень любого напряжения должен быть близко соотнесен со скоростью его производства, поэтому необходимо использовать транспортные уравнения (1), учитывающие энергетический баланс и.и. . Данный подход (замыкание на
уровне вторых моментов) есть основа моделирования сложных двух- и трехмерных течений с эффектами тепломассопереноса. Тестирование таких моделей лучше начинать с изотермического случая. Поэтому первоначально рассмотрены проблемы моделирования турбулентного переноса импульса.
Данная работа ориентирована на исследование гак называемых сложных турбулентных течений. Это часто встречающиеся в технике инертные и химически реагирующие закрученные потоки. До настоящего времени в таких задачах (например, о смешении внутренних закрученных струй) применялись только модели турбулентности типа вихревой вязкости. Были предприняты значительные усилия [16-20], направленные на преодоление недостатков моделей скалярной вязкости, главными из которых являются большие погрешности расчетных значений размера и интенсивности рециркуляционной зоны в сильно закрученных потоках [16, 17, 21] и невозможность расчета при помощи различных двухпараметрических моделей наблюдаемого в эксперименте течения, сформированного комбинацией свободного и вынужденного вихрей [16, 17J. В ряду двухпараметрических
моделей особенно популярна кє -модель У.П.Джонса - Б.Е. Лаундера [22] главным образом благодаря своей простоте и малым за їра гам ресурсов ЭВМ при ее реализации. Действительно, многие прямоточные течения, в частности пограничные слои, струи,
движения в каналах с химическими реакциями, с успехом рассчитываются на базе кб -
моделей [23]. Несостоятельность кє -моделей в случае внутренних закрученных течений обусловлена скорее всего ущербностью допущения об изотропном характере турбулентного переноса. В свое время Д.Г. Лилли и H.A. Чигер [24] показали, что в сильнозакрученных потоках вихревая вязкость не может рассматриваться в виде скалярной характеристики.
. Модификации кє -модели, учитывающие эту анизотропию, значительно улучшают точность расчетов [25, 26], но, не обладая универсальностью, они не годятся для расчета трехмерных
течений. Не гак давно были предприняты попытки модификации кє -моделей [27. 28] посредством учета демпфирующего влияния стенок, с тем, чтобы их можно было применять для сквозного расчета пристеночных течений. Уязвимым для критики звеном является здесь набор постоянных, вводимый для учета воздействия стенок, который необходимо всякий раз подбирать в зависимости от вида течения и величины числа Re. Эти трудности при
применении кє -моделей неизбежны.
В связи с наличием отмеченных недостатков кє -моделей и вообще моделей вихревой вязкости целесообразно обратить внимание на работы по моделированию крупных вихрей [29. 30], а также по использованию моделей переноса рейнольдсовых напряжений [31. 32]. В таких моделях турбулентные напряжения находят из решения соответствующих модельных балансовых уравнений, представляющих собой уравнения в частных производных. При этом существенно увеличивается время расчетов. Эго связано с необходимостью дополнительного интегрирования по крайней мере еще шести уравнений. Более простые модели с алгебраическими соотношениями для напряжений (АМН), которые описывают анизотропию без вышеуказанных издержек, смогут в ряде случаев служить промежуточным звеном между
кє -моделью и моделью переноса рейнольдсовых напряжений (ПРИ). Отметим, что применение АМН имеет успех в расчетах тонких сдвиговых слоев, не осложненных эффектами сильной крутки [17, 18]. К настоящему времени известно лишь несколько приложений ПРН-моделей к расчету закрученных течений. В основном они относятся к
18
струям [31, 32], где их применение также не обошлось без проблем. В связи со сказанным необходимо оценить перспективность ПРН-моделей, актуальность разработки и применения алгебраических АМН-моделей [33-37] для расчета внутренних течений с закруткой и без нее.
Некоторые результаты последних исследований российских ученых стоит отметить, учитывая большой вклад отечественной школы в вопросы моделирования турбулентности. Такие исследования разнообразны благодаря огромному числу технических приложений. Литература по этому вопросу исключительно обширна. Здесь (во введении и главах 1-7) изложены результаты последних десятилетий по моделированию турбулентности, отражены достоинства и особенности моментного подхода, моделирования крупных вихрей, прямого численного моделирования с использованием полных уравнений Навье-Стокса, а также на основе подхода с применением обобщенных гидродинамических уравнений (ОГУ).
13 числе указанных направлений, активно развиваемых в последние годы (конец XX века), весьма заметны работы, выполненные Б.В.Алексеевым (618-625], А.М. Липановым [626], О.М. Белоцерковским [627], Ю.В. Лапиным, М.Х. Стрельцом [628-630], А.Ф. Курбацким [631-634], Б.П.Головней [635] и др.
Работами Б.В. Алексеева положено начало оригинальному подходу анализа турбулентности с кинетических позиций, являющихся развитием идей Больцмана. В классическом понимании турбулентность с характерной для нее иррегулярностью изменения теплогидродинамических параметров и широким диапазоном масштабов пульсирующих величин описывается навье-стоксовской моделью. Недостатки такой модели течения связаны с отсутствием в них колмогоровских флуктуаций и, следовательно, определяющие уравнения проблематично считать уравнениями, записанными относительно истинных величин. В этом смысле полученные на основе уравнения Больцмана Б.В. Алексеевым обобщенные гидродинамические уравнения (ОГУ) являются более совершенными и универсальными, так как явно учитывают в спектре пульсаций колмогоровские флуктуации и позволяют моделировать вихревые течения в широком диапазоне чисел Re, включая режимы лампнарно-турбуленгных переходов. Например, в [621] продемонстрированы некоторые возможности численного описания вихревых течений с помощью ОГУ, содержащих физическую вязкость. Отмечается, что в сравнении с данными, полученными по разностным • схемам для уравнений Навье-Стокса, таковые выг лядят более предпочтительными. 13 [622] очерчены перспективы развития кинетической и гидродинамической теории жидкостей с учетом изменения функций распределения на характерном масштабе порядка времени колебания частиц в ячейках, связанных со свободным объемом жидкости. В [623] обобщенная больцмановская кинетическая теория применяется для вывода и исследования дисперсионных уравнений плазмы в отсутствии магнитного поля. В [620] приведена полная система гидродинамических уравнений на уровне обобщенных уравнений Энскога (ОУЭ), в таблицах к [618] даны мелкомасштабные турбулентные флуктуации в рамках модели (ОУЭ), в [624, 625] решены отдельные задачи о распространении скорости звука и затухания, структуре ударной волны.
Несмотря на привлекательность и новизну идей описания турбулентности уравнениями Б.В. Алексеева (ОГУ'), вопросы разрешимости этих уравнений еще слабо изучены и пока нет уверенности в возможностях применения данног о подхода для решения практических задач. Как всякая новая теория она отвергает уже устоявшиеся представления о том, что уравнения 11авье-Стокса являются теоретической базой дня описания турбулентности. Однако, как всегда бывает в таких случаях, после продолжительных споров по этому поводу явно встанет тяжелый вопрос о границах применимости ОГУ и уравнений Навье-Стокса.
В прямом численном моделировании на основе полных уравнений Навье-Стокса значительные успехи достигнуты А.М. Липановым [626], О.М. Белоцерковским [627|. Расчеты при больших числах Re (до 105) для трехмерного канала со скачком площади поперечного сечения на входе с использованием весьма малых шагов по пространству и времени, а также схем высоког о порядка точности.
19
О.М. Белоцерковским в рамках данного направления исследован широкий класс задач о свободных турбулентных течениях в струях, следах с эффектами отрыва, ламинарно-турбулентного перехода и явлений перехода к хаосу.
В последнее время активно развивается моментнын подход в механике турбулентности. Этому подходу уделяется много внимания в группах, руководимых К).В. Лапиным [628-630J, А.Ф. Курбацким |631-634], Б.П.Головней [635], A.B. Старченко [403, 636-638], A.B. Швабом [494, 639-642] и др. Усилиями этих групп определены успехи моделирования
низкорейнольдсовых течений, а также достижения в разработке практических версий моделей турбулентного переноса в различных сложных случаях.
В [62S] Ю.В. Лапиным с коллегами продемонстрированы возможности следующих моделй: алгебраической - Себеси-Смита: полудифференциальных - Джона-Кинга, Хортона: дифференциальных - А.Н. Секундова, Спаларта-Аллмараса; Лаундера-Шарма, Чена (к£ ), Ментора (кед) для класса задач о течениях на плоской или осесимметричной поверхности с знакопеременным (знакопостоянным) градиентами давления в рамках обратного метода решения уравнений турбулентного пограничного слоя. Суть последнего состоит в задании из опыта не скорости на внешней границе пограничного слоя и ее градиента, найденного на основе достаточно точно измеряемого продольного распределения толщины вытеснения поргаиичного слоя. Установлено, что в течениях с благоприятным (отрицательным) градиентом давления наибольшее расхождение между моделями и опытом наблюдается в предсказании продольного изменения коэффициента трения. Здесь лучшие данные имеются у моделей Себеси-Смита, А.Н. Секундова, Монтера.
При неблагоприятном (положительном) градиенте давления выделяются модели Хортона, А.Н. Секундова и Ментера. Модели типа ks непригодны в расчете течений данного класса. Хорошие характеристики в расчете эффектов торможения и отрыва у модели Ментера в сравнении с анализируемыми моделями. Ускоренные или замедленные теченния всеми моделями воспроизводятся лишь качественно, в анализе неравновесных пограничных слоев со знакопеременным градиентом давления выбранные модели не обеспечивают точного описания.
Опираясь на данные исследования в [629] предложена новая алгебраическая модель * турбулентности, здесь же даются результаты ее тестирования на классе течений с неблагоприятными градиентами давления. Эти данные свидетельствуют, что предлагаемая модель не уступает дифференциальным двухпараметрическим моделям (типа к с, к<у) турбулентности.
Ö [630] проанализирована алгебраическая модель реннольдсовых напряжений, представляющая собой АМН-модель Валлина-Йоханссона с кг: -базой Чена и кльбазой Уилкокса в условиях течения с знакопостоянным градиентом давления. В сравнении с классическими моделями Чена, Уилкокса обнаружена высокая чувствительность АМН-моделей к заданию начальных данных, выбору опорной базы. Подчеркивается, что преимущества АМН-моделей касаются прежде всего расчета пульсационных параметров, хотя точность предсказания составляющих кинетической энерг ии турбулентности оставляет желать лучшего.
В [631. 632] Курбацким А.Ф. представлены ПРИ (АМН)-модели и численный метод к расчету структуры турбулентного течения с препятствием в виде уступа на плоской стснкс. К характеристике особых зон (отрыва, присоединения) привлекаются модели, способные воспроизвести анизотропный характер турбулентности, о чем свидетельствуют результаты поведения нормальных компонент реннольдсовых напряжений вблизи стенки. Расчеты показывают, что при использовании замыканий для напряжений Рейнольдса с подходом Буссинеска с моделями “градиентной диффузии” количественные расхождения значительны из-за анизотропии течения и приближенности используемых выражений. Корректного описания тонкой структуры удается добиться привлекая Г! PH-модели.
20
Результатам моделирования статистических характеристик турбулентного поля температуры в каналах в условиях прямоточного и закрученного потока посвящены работы [633, 634]. Анализируются особенности описания процессов переноса тепла и импульса у стенки с включением данных о временных масштабах турбулентности температурного и динамического полей, вопросы построения балансовых уравнений для данных масштабов.
Л
Б.И. Головня в [635] предлагает оригинальную модель типа (/' ,£tik,£) к расчету пристенной турбулентности. Модель имеет демпфирование стенки в турбулентных взаимодействиях, содержит по одной поправочной функции в тепловой и динамической моделях турбулентности, которые совпадают при Рг=1. Модель тестируется на течениях типа пограничного слоя и, как показывают расчеты, вполне корректна в выбранном диапазоне параметров течения.
В настоящее время достаточно плодотворно развивается направление, связанное с использованием моментного подхода и теории взаимопронекающих континуумов в решении практически важных задач по моделированию процессов течения и тепломассообмена в двухфазных многокомпонентных системах “газ-твердые частицы”. Здесь интересные результаты получены A.B. Старченко, некоторые из них отражены в [403, 636-638]. Гак в [636] в рамках континуальной модели движения газодисперстной среды подробно анализируется характер взаимодействия частиц со стенкой канала. Вводится предположение о разделении частиц на фракции падающих и отраженных частиц. Процессы турбулентного переноса описываются с учетом варианта модели JI.B. Кондратьева, обобщенной на случай присутствия в потоке нескольких фракций частиц. Модель позволяет получить корректное описание и по динамическим и по тепловым характеристикам.
В |637] в рамках совместного эйлерово-лагранжевого подхода сформулирована и сопоставлена с данными [626] математическая модель для турбулентного течения газовзвеси в канале. Исследуются вопросы детального моделирования турбулентной структуры несущей среды в пристеночной области на базе популярных двухпараметрических моделей турбулентности. Наконец в [638] на базе разработанной континуальной модели изучены эффекты, связанные с влиянием гравитационных сил на параметры нсизотермичсского турбулентного течения газовзвеси в вертикальном канале в режимах подъема и опуская потока. Детально исследованы механизмы интенсификации теплообмена при опускном течении дисперсной смеси.
Вопросами моделирования тепло- и массообмена в турбулентных потоках при наличии (отсутствии) массовых сил в условиях сложного движения с отрывом и присоединением потока к стенкам активно занимается коллектив исследователей иод руководством A.B. Шваба. Группа продолжает работы в области конструировании новых моделей турбулентности, анализа механизмов ее возникновения в условиях сложного сдвигового течения [639] и горения, начатые в свое время В.А. Швабом [494).
В теоретическом описании турбулентности одной из главных проблем является выбор моделей, методов реализации численных алгоритмов, создание устойчивых численных схем интегрирования многомерных уравнений переноса, конструирование подходящих разностных сеток. По этим вопросам указанными авторами получены новые результаты [640-642], в частности, разработана оригинальная трех параметрическая (k,<y,vt)- модель турбулентности [639J и метод ориентированной псевдоконвекции [640, 601]. Достоинства последнего связаны с простотой и экономичностью расчета установившихся и нестационарных пространственных течений с высокими числамии Re и Ре за счет оригинального представления конвективного переноса конечно-разностной аппроксимацией второго порядка точности.
Авторы [640, 641] отмечают, что предлагаемый способ введения псевдоконвекции позволяет обойти проблемы с численной (схемной) диффузией. Построенный итерационный процесс обеспечивает устойчивость решения при исчезновении псевдодобавки (при
21
сходимости итераций) и позволяет соединить достоинства разностной аппроксимации конвективных членов схемой против потока, имеющей первый порядок точности, с аппроксимацией схемой с центральными разностями второго порядка точности.
Особенности закрученных течении. Закрутка потока широко используется в различных технических устройствах, является объектом пристального внимания исследователей, работающих в области прикладных проблем. В зависимости от назначения промышленных аппаратов часто требуется получать в них интенсифицированные (топки, сушилки, теплообменники) или ослабленные (гидро- и аэроциклоны, сепараторы, плазмотроны) процессы турбулентного переноса. С момента установления факта влияния крутки на процессы теплоиереноса в каналах [38] в течение всего сем и десяти летнего периода остается множество проблем по оценке воздействий центробежных сил на турбулентность. Основные же усилия по изучению закрученных течений сосредоточены на анализе интегрального влияния кругки на характер горения топлива в КС или дуги разряда в плазмотроне.
С целью интенсификации процессов тепломассообмена в гомогенных и гетерогенных средах созданы конструкции аппаратов, контактные элементы которых представляют собой короткие трубы со статическими завихри гелями на входе в виде шнеков, скрученной ленты, а также динамическими - тангенциальная подача газа и так далее [39, 40]. Известно, чго структура течения в канале с высокой степенью закрутки потока весьма сложна, существенно отличается от структуры осевого и влияет на распределение коэффициента вихревой вязкости и касательных напряжений. Информация о турбулентных характеристиках вращающихся течений в каналах является более ограниченной по сравнению с данными о средних скоростях течения [41, 42]. Имеющиеся в литературе сведения теоретического и экспериментального характера [43, 44] часто даюг только качественные представления об умеренно закрученном потоке в длинных трубах, тогда как для практики более интересны случаи сильно закрученного течения на коротком отрезке трубы. В последних тангенциальная составляющая скорости IV соизмерима или больше осредненной осевой скорости и. Их особенностью является возникновение зоны интенсивного обратного тока среды вблизи оси симметрии (или стенки) и высокая степень турбулентности (или ламинаризация). Такие течения мало изучены. В частности, отсутствуют данные о структуре . турбулентности в широком диапазоне изменения параметров крутки и других условий течения. В силу этого в настоящее время для расчета характеристик движения и теплообмена во внутренних закрученных потоках используются эмпирические уравнения, полученные в условиях, отвечающих определенному характеру начальной крутки [45). Эти уравнения не универсальны, поскольку при обобщении опытных данных применялись параметры, не характеризующие гидродинамическое подобие внутренних потоков. В то же время существующие методы расчета аэродинамики и тепломассообмена базируются на конкретных предположениях о структуре турбулентности, требующих экспериментальной проверки.
Отличительные особенности закрученного течения в коротких трубах можно установить и объяснить, зная закономерности распределения полей осредненных скоростей, давления и пульсационных характеристик. Этой задаче и будут посвящены главы 9. 10 настоящей работы.
В настоящее время наблюдается явный дефицит надежных экспериментальных данных, содержащих легальную информацию о закрученных течениях. Эдо объясняется несовершенством существующих методов измерений и способов обработки полученных результатов. Использование традиционных приборов - термоанемометра и трубки 1 (иго - для изучения закрученных течений не гарантирует необходимую точность измерений [46]. Часто эти приборы сами вносят в поток достаточно сильные возмущения. Кроме этого, они малоэффективны при высокой интенсивности турбулентности. В закрученных потоках наблюдаются две, а в сильно диафрагмированных вихревых камерах и более области с разными по знаку аксиальными проекциями вектора скорости, в то же время результаты
22
измерений ничего не говорят о направлении вектора скорости (фиксируется только его величина).
Известно, что при относительно малых величинах тангенциальной составляющей скорости частицы жидкости во всех точках сечения трубы будут только удаляться от начального сечения, однако с ростом значений окружных скоростей такая форма движения становится неосуществимой и при интенсивной закрутке поступающей в трубу среды в ядре потока возникает зона возвратною течения. В этом случае жидкость движется в определенном направлении только по периферии, тогда как в центральной части осевые составляющие скорости направлены в противоположную сторону. Таким образом, можно говорить о двух характерных зонах в поле течения: кольцевая периферийная зона, через которую протекает практически вся жидкость и внутренняя нриосевая зона нулевого расхода, которая представляет ядро закрученного течения. Следует отметить, что параметры потока в периферийной области весьма консервативны по отношению к возмущениям, приходящим из ядра течения. Так, в [47] отмечается, что даже при горении электрической дуги на оси закрученного течения профили осевой и тангенциальной составляющих скорости во внешний зоне течения практически остаются неизменными. Возникновение рециркуляционного ядра обусловлено затуханием вращательного движения жидкости и увеличением давления у оси трубы по мере удаления жидких частиц от начального сечения. Поэтому определение характера затухания кругки по длине канала и нахождение зависимости радиуса рециркуляционного ядра от степени крутки потока являются важными с практической точки зрения вопросами.
Возвратное движение при определенных условиях наблюдается не только в закрученном потоке в трубе, но и в вихревых форсунках [46]. циклонных сепараторах [48]. закрученных свободных струях [49, 50], камерах сгорания [51], являясь характерной особенностью всех этих видов течения.
В ряде работ отмечается, что для закрученного потока определяющей является величина параметра Россби. По-видимому, первым этот параметр ввел P.P. Лонг [52] при исследовании закрученного течения у мощного источника или стока. Разными авторами он вводится по-разному и, например, может быть определен как отношение окружной скорости потока к \у
осевой [53]: S = -Jr , где WH - условная тангенциальная скорость на стенке камеры в данном
сечении (на самом деле все компоненты скорости на стенке равны нулю, а в качестве WH выбирается то значение, которое принимает тангенциальная скорость при экстраполяции
71R2
радиального профиля до г = R - радиуса камеры), Ö - среднерасходная скорость: U =
Q = 2/г jUrdr. о
А.М. Бинни [54], анализируя ламинарный закрученный поток в трубе, установил зависимость решения от двух чисел Рейнольдса: одного, рассчитанного по тангенциальной составляющей скорости, другого - по осевой. Отношение этих чисел и представляет собой число Россби. Уже в ранних работах М.А. Гольдштика, В.Н. Калашникова [55, 56] установлено, что возвратное течение в свободных закрученных струях и в каналах возникает при определенном значении числа Россби, однако до сих пор отсутствуют подробные экспериментальные данные, устанавливающие длину зоны возвратного течения и зависимость безразмерной величины этой длины от критериев подобия.
Использование закрученных течений в камерах сгорания (КС) для целей получения высоких значений коэффициента полноты сгорания топлива, стабилизации горения приводит к необходимости применения завихрителей различной конфигурации (например, с поворотными направляющими лопатками). Часто наличие таких приспособлений усложняет процесс моделирования явлений переноса. Так, в работе [57] отмечается образование на оси
23
канала двух зон противотока, одна из них находится в непосредственной близости от завихрителя, а другая - на некотором удалении от него. Учитывая малость первой зоны противотока и незначительность осевой составляющей скорости в промежутке между зонами, было отмечено, что такая картина течения может определяться только конструкцией завихрителя [51], который широко используется в современных КС. В [58] также показано, что кривизна лопаток завихрителя заметно влияет на размеры зон рециркуляции.
Размеры и расположение зон обратных токов определяют качественные характеристики КС, так как именно в этих зонах сгорает основная часть рабочей смеси. В тех случаях, когда частицы топлива не успевают сгореть в зоне обратных гоков, в КС происходит перераспределение высоких температур, и се режим отклоняется от расчетного. Для того чтобы научиться правильно управлять работой таких устройств, необходимо детально исследовать особенности закрученного течения. Поэтому в настоящее время при изучении течений в КС все шире используется математическое моделирование [59, 60].
Однако течения в реальных КС трехмерны и многофазны, в них осуществляются химические реакции, сопровождаемые излучением. Моделировать комплексно все эти процессы непросто и поэтому часто создаются упрощенные модели [61]. Фактором, повышающим требование к моделированию турбулентного потока импульса в камерах сгорания, является корректный расчет рециркуляционных областей. Эти области характеризуются сильным искривлением линий тока, наличием сложных вихревых структур, высокой интенсивностью турбулентности, обусловленной существованием внутренних сдвиговых слоев. Сложность течения внутри и вблизи области рециркуляции препятствует экспериментальным исследованиям, о чем свидетельствует отсутствие в литературе широких и полных данных измерений. Большая часть имеющихся в настоящее время работ [62] содержит сведения об измеренных интегральных величинах, таких, как длина зоны рециркуляции [63] или коэффициент теплоотдачи по длине испытуемой секции [64]. Стоит заметить, что пристеночный поток в зоне рециркуляции во многом отличается от классического турбулентного потока в пограничном слое: профили пульсационной составляющей скорости не имеют максимума в пристеночной области [65-67]; в профилях средней скорости отсутствует логарифмический участок, где выполнялось бы обычное . соотношение между осредиенной скоростью, расстоянием до стенки и динамической скоростью (так называемый закон стенки [65, 67-70]); значения касательных рейнольдсовых напряжений малы вблизи стенки [68, 71]; порождение и перенос кинетической энергии турбулентности в пристеночной области незначительны [69]. Незначительность касательных рейнольдсовых напряжений предполагает, что касательное напряжение, обусловленное молекулярной вязкостью, играет весьма важную роль. Низкие значения чисел
Кст = ^——рассчитанных по и расстоянию до стенки ут (здесь 11 пр -
максимальное значение средней скорости противотока, ут- расстояние от стенки до точки максимального значения скорости противотока), а также высокие значения коэффициента трения суи (суп- средний коэффициент трения, рассчитанный по 11пр) указывают на
квазиламинарный характер течения в пристеночной области. Значение пульсационной составляющей продольной скорости в пристеночной области имеет тот же порядок, что и местное значение средней скорости [72]. Значение пульсационной составляющей поперечной скорости на порядок меньше [66].
Наличие крутки потока, входящего в камеру сгорания, осложняет и без того непростой характер течения хотя бы тем, что создает сдвиговый слой с интенсивным перемешиванием топлива и воздуха. Крутка оказывает влияние на эффективность горения, на распределение температуры в области течения и характер образования при горении различного рода загрязняющих веществ. В этих условиях понятна актуальность создания успешных методик расчета внутренних реагирующих течений как при наличии крутки, так и без нее. Основой
24
расчета представляющих практический интерес реагирующих потоков может являться адекватная модель турбулентности, дополненная эффективной моделью горения. Такие модели должны точно описывать не только процессы турбулентного переноса количества движения, массы и тепла, но и правильно описывать кинетику химических реакций. Все эти моменты важны для расчетов процессов в КС. Для некоторых приложений переносы массы и энергии являются более важными в сравнении с переносом количества движения. Однако в КС вряд ли можно отделить тепловую часть задачи от динамической.
В то же время применение моделей, ориентированных на представление только количества движения (например, в задаче с тепломассообменом в предположении постоянства турбулентных чисел Прандтля и Льюиса), во многих важных случаях также оказывается необоснованным.
Во введении мы кратко коснулись особенностей прямоточных и закрученных течений (задач, рассматриваемых в данной работе). С учетом большой практической значимости математического моделирования турбулентных движений целесообразно подробнее остановиться на различных аспектах этой сложной проблемы, дать характеристику общих вопросов, возникающих при моделировании сложных сдвиговых течений (см. гл. 1-7), а также частных моментов, связанных с расчетом конкретных примеров движений (см. гл. 8-10). Перейдем к их анализу.
1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ. ПОДХОДЫ И АНАЛИЗ
Под моделями турбулентности понимаются системы соотношений, связывающие напряжения Рейнольдса с осредненными характеристиками течения. Эти соотношения могут быть алгебраическими (в алгебраических моделях турбулентности) или иметь вид дифференциальных уравнений переноса пульсационных характеристик (в двух-, трех- и более параметрических моделях турбулентности). Широко используемые в настоящее время модели турбулентности далеки от совершенства, поскольку основаны на эмпирической информации, относящейся к “простым” слоям сдвига (73).
При теоретическом изучении весьма сложных физических процессов часто применяются двухпараметрические модели. Однако способы моделирования турбулентности при наличии сил плавучести, химических реакций и излучения весьма далеки от совершенства и нуждаются в существенной доработке [51]. Поэтому при рассмотрении таких течений для проверки корректности математических моделей необходимы экспериментальные данные. В настоящее время главным объектом экспериментальных исследований являются плоские и осесимметричные течения.
С. Дж. Кляйн, Б. Кантвелл, Дж.М. Лилли |74] сформулировали критерии, согласно которым сдвиговое течение может считаться простым или сложным. Простое сдвиговое течение характеризуется только одной существенной компонентой тензора скоростей деформации. Течение, на которое наложена дополнительная деформация поля скорости, называется сложным сдвиговым течением. Такое течение возникает под действием дополнительных градиентов давления, а также ряда вторичных факторов, обусловленных кривизной
25
линий тока, кориолисовыми силами и т.д. Известно [75], что даже при малой величине дополнительных скоростей деформации возникают значительные изменения структуры турбулентности, касательных напряжении и профилей средней скорости. Примером сложных течений, рассматриваемых в данной работе, являются течения в каналах за резким расширением поперечного сечения (отрывные течения) и закрученные течения (течения в камерах сгорания). Турбулентность в сложных течениях анизотропна, неоднородна, трехмерна. Поднятая в полном объеме проблема моделирования таких течений является непосильной для реализации, даже с привлечением современных, мощных ПЭВМ.
Цель данного анализа - выявить особенности, определяющие выбор моделей турбулентности в рассмотренных выше условиях, оценить возможности их применения к расчету сложных сдвиговых течений. Например, в течениях с искривленными линиями тока центробежная сила во многих случаях значительно усиливает генерацию турбулентности у стенки канала, интенсифицирует поперечное движение, меняет структуру турбулентности. В итоге направления результирующего напряжения и результирующего градиента скорости не совпадают. Таким образом, даже в двумерном движении может наблюдаться отклонение главных осей тензора напряжений и осей эллипсоида скоростей деформации. В [76] дан анализ влияния вращения на структуру турбулентности в каналах кольцевой турбины. Показано, что кориолисова сила является причиной дестабилизации движения, ведет к перераспределению кинетической энергии турбулентности внутри пограничного слоя, причем интенсивность турбулентных пульсаций в радиальном направлении (в .направлении действия кориолисовых сил) усиливается, а интенсивность пульсаций в направлении основного течения уменьшается.
Как и закрученные потоки отрывные течения являются наиболее сложными движениями и в вычислительном аспекте и в физическом отношении. В отрывном течении внутренний слой существенно отличается но своим свойствам от внутреннего слоя в безотрывном течении. В этой области имеются большие турбулентные пульсации, которые получают энергию от крупномасштабных структур. Считается [77], что для этой области детальное моделирование рейнольдсовых напряжений совершенно необходимо, которые в большей степени определяются здесь переносом турбулентности, а не местными градиентами средней скорости. Такой подход показывает существенную ограниченность моделей, основанных на упрощающих представлениях о сдвиговом слое. Другая особенность, отсутствующая в безотрывном движении, определяется чем, что во внутреннем слое отрывной области вклады нормальных рейнольдсовых напряжений являются доминирующими.
Общая классификация различных методов и способов замыкания уравнений турбулентного движения достаточно подробно изложена в [78-80]. Опираясь на эти результаты, всю совокупность моделей, полученных в рамках моментного подхода, можно разделить на две группы: модели
26
турбулентной вязкости и модели рейнольдсовых напряжений, все чаще используемые в различных исследовательских программах.
К настоящему времени классификация методов замыкания осредненных но времени уравнений течения включает следующие группы.
Модели турбулентной вязкости (МО-модели). В этих моделях используется алгебраическое выражение для турбулентной вязкости V, и не содержится никаких дополнительных дифференциальных уравнений. Иногда их еще называют нульпараметрическими. Поэтому введем для них обозначение МО.
Модели с одним уравнением (М1 -модели). В этих моделях используется дополнительное дифференциальное уравнение с частными производными, чаще всего для к - кинетической энергии турбулентности. Причем принимается V, где I - характерный масштаб длины; V*
- характерный масштаб пульсационной скорости; см - постоянная.
Модели с двумя уравнениями (М2). В этих моделях используются дифференциальные уравнения с частными производными для определения энергии турбулентности и еще одной характеристики турбулентности, например, скорости диссипации турбулентной энергии либо масштаба турбулентности (кг-, кЬ -модели) и т. д.
Модифицированные модели с двумя уравнениями (М3). Известно [80],
что расчеты по моделям с постоянным значением не описывают
некоторых потоков, ограниченных (ленками, в частности, когда граница сложная. На основе физических соображений строится функциональная
зависимость от одного или ряда безразмерных величин. Некоторые из модификаций опираются па упрощенные (алгебраические) уравнения для рейнольдсовых напряжений.
Алгебраическае модели для рейнольдсовых напряжений (АМН или М4-модели). В этой группе анализируются способы сведения уравнений в частных производных для рейнольдсовых напряжений к алгебраическим связям. Имеет место объединение последних с транспортными уравнениями модели двух уравнений.
Модели рейнольдсовых напряжений (ПРН-модели или М5). В случае их использования приводится полная система транспортных уравнений для
тензора турбулентных напряжений (ри)и^). Этот подход наиболее
перспективен при моделировании процессов переноса в сложных сдвиговых течениях и уже сейчас активно применяется, например,, при анализе рециркуляционных движений.
Модели для тройных корреляций скорости (модели третьего порядка или Мб). Они направлены на построение адекватных физическим условиям течения способов описания процесса диффузии напряжений Рейнольдса
вследствие турбулентных флуктуаций скорости. Турбулентный перенос третьими моментами скоростей играет важную роль в балансе
27
напряжений Рейнольдса в области сдвигового течения и поэтому нуждается в достаточно точном учете.
Моделирование крупных вихрей (М7) [81, 82]. Нестационарная (трехмерная) крупномасштабная структура течения определяется на основе численного решения нестационарных уравнений Навье-Стокса, тогда как для описания мелкомасштабной турбулентности используется та или иная простая модель турбулентности.
Заметим, что алгебраические модели турбулентной вязкости и модели с одним или двумя уравнениями часто причисляют к одной группе моделей турбулентной вязкости. Модифицированные модели с двумя уравнениями и алгебраические модели для рейнольдсовых напряжений можно отнести к моделям с турбулентной псевдовязкостыо, т.к. в последних см нс является постоянной, а зависит от локальных характеристик турбулентности и от среднего движения.
Несмотря на то, что в последнее время достигнуты успехи в прямом численном решении нестационарных уравнений Навье-Стокса, единственно возможным способом решения практических задач о турбулентных течениях все еще остается подход, ориентированный на использование уравнений, определяющих статистически осредненные характеристики движения и турбулентности.
1.1. Модели турбулентной вязкости (МО)
Одна из первых моделей турбулентности предложена JI. Прандтлем
[78]. Она основана на применении концепции турбулентной вязкости
(диффузии) о длине смешения и постулирует связь между интенсивностями
турбулентного переноса и градиентами осредненных характеристик течения. Для тонких сдвиговых слоев уравнения этой модели запишутся следующим образом:
—г~, dU —гг, V, 50 /1Л
-uu-v, —; — о 0 - ——, с, = const, (I)
ду ог ду
где согласно прандтлевской гипотезе о существовании пути смешения X , распределение турбулентной вязкости представляется соотношением
v,=a2
зи
(2)
ду
В (2) входит один неизвестный параметр А, распределение которого в ноле течения должно быть задано с использованием эмпирической информации. Обычно принимают X- к у 9 где к = const.
%
В расчетах пограничных слоев успешно работают модели Т. Себеси [83], Б.С. Болдуина - X. Ломакса [84]. Анализ возможностей этих моделей дан в [73].
Рассматриваемые модели относятся к классу изотропных и применимы к гак называемым реперным течениям: хорошо изученным простым
28
двумерным сдвиговым движениям; трехмерным пограничным слоям е малыми вторичными течениями.
МО весьма приближенна в опенке течений с влиянием кривизны линий тока, вращения среды, сил плавучести и отрыва потока, то сеть при наличии неавтомодельности в распределении характеристик турбулентности.
Главный недостаток МО в том, что гипотеза пути смешения исходит из предположения о локальном равновесии турбулентности, поэтому принимается, что в каждой точке потока скорость диссипации энергии пульсационного движения совпадает со скоростью ее генерации, так что учесть влияние генерации турбулентности в других точках области течения или в более ранние моменты времени оказывается невозможным. Таким образом, МО не учитывает конвективный перенос энергии турбулентности и вообще предысторию развития турбулентности.
Неоднократно предпринимались попытки усовершенствовать МО. Гак в [85] дается обобщение на случай пространственного пограничного слоя: ■
ди д\У'
{ дЦ д№ -^=¥(|вв-+в=—
(3)
где аы = 1 - (1 - ТОбйГ р, ах. = (I - Т)^\п р • соэр, = 1 - (1 - 7*)соб2 р,
Т - некоторая постоянная, tgfi =
Недостаток этого подхода состоит в том, что для достижения удовлетворительного согласия с экспериментальными данными величину Т приходится варьировать при переходе от одного случая течения к другому. Модель не дала удовлетворительных результатов.
1.2. Модели с одним дополнительным уравнением (М1) Простейшие модели, учитывающие эффекты переноса и предыстории развития турбулентности, используют транспортное уравнение для подходящей характеристики интенсивности пульсационного движения.. Обычно в качестве такой величины выбирается к - кинетическая энергия турбулентности. Уравнение переноса для к имеет вид
| и дк &
д1 ' д.х) дх.
V, . дк | -гг ди, /л.
•\) дх]
<т к дх,
Это уравнение следует из уравнений Навьс-Стокса и является точным во всех отношениях за исключением диффузионного’члена, в котором поток величины к принимается пропорциональным градиенту к с коэффициентом
пропорциональности —, где а* - есть константа.
ак
В М1 скорость диссипации б обычно определяется по связи
£ = срк1*/1, (5)
29
которая является следствием анализа размерностей, а также предположения о том, что турбулентное движение определяется масштабом скорости 4к и масштабом длины L. Два принципиальных допущения лежат в основе связи турбулентного напряжения («у;) с кинетической энергией А, определяемой из уравнения (4). Первое - исходит из концепции турбулентной вязкости, и тогда анализ размерностей дает соотношение A.II. Колмогорова Л.Прандтля (86, 87]:
v, =си yfk-L. (6)
Второе, сформулированное Буссинеском, - о пропорциональности тензора рейнольдсовых напряжений тензору скоростей деформаций.
П. Брэдшоу [88] отказался от концепции турбулентной вязкости и использовал в расчетах пристеночных слоев преобразованное уравнение для й\У, полученное с использованием связи м'и'»0,3 к. Диффузия к аппроксимируется не градиентным соотношением, а соотношением, постулирующим пропорциональность диффузионного потока к величине расходной скорости. В М2 масштаб L обычно определяется по эмпирическим соотношениям, аналогичным тем, что построены для длины смешения А. Эта связь успешна в расчетах пристеночных слоев [88]. Однако чем сложнее течение, тем труднее подобрать распределение L(x„). Ряд авторов (89] предприняли попытки подбора этой зависимости по конкретным условиям движения, и не без успеха; так, например, для течения в круглой трубе имеются надежные данные Г.С.Глушко 189]. Модификация Ml-модели, введением функций, зависящих от Re,, для точного расчета области непосредственно примыкающей к твердой стенке, позволила С. Хэссиду, Х.Пореху [90], J3.C. Рейнольдсу [91] предсказать течения в пограничных слоях с нулевым и небольшим положительным градиентом давления. Однако по-прежнему оказались тщетными попытки воспроизвести течения с деформацией потока (ускоренные движении в коифузоре, диффузоре). При этом заметно ощущается потребность в пересмотре уже имеющихся моделей [91]. Попытки Д.Л. Джонсона н JI.C. Книга [92] приспособить Ml-модель для сложных течений (отрывной двумерный поток в отсутствии эффектов кривизны поверхности и вращения потока) выделяют ее в группу, промежуточную по отношению к алгебраической модели турбулентной вязкости и моделям с одним уравнением. Данная модель оказывается пригодной в расчетах отрывных диффузорных течений и дает более высокую точность расчета профилей средней скорости в срывной зоне, нежели модель с обычной алгебраической связью для турбулентной вязкости.
В настоящее время признано, что описание турбулентности с помощью одного уравнения переноса для к малоэффективно [93].
1.3. Двухпараметрпческне модели (М2)
В моделях с двумя уравнениями используется фактор большей динамичности физических процессов, недостаточно учитываемый в МО- и Ml-моделях. Масштаб длины подвержен переносу в пространстве и во
30
времени аналогично тому, как это происходит с энергией турбулентности. Чтобы учесть эти процессы, были предложены модели, в которых используется уравнение переноса геометрического масштаба I. Трудности, обусловленные применением формул для задания и вычисления Ь, являются причиной построения уравнений для Т. Имеется несколько вариантов этой модели в зависимости от того, что является зависимой переменной в уравнении из которого определяется I, либо это собственно масштаб длины, либо его комбинация с энергией турбулентности. Наиболее популярны варианты к е [22], к-кЬ [94], к го [95], кЬ [89], использующие связь
£~ к[%5/Ь. (7)
В к е -моделях существенным образом задействована концепция турбулентной вязкости. Последняя выражается через к и е по соотношению А.Н. Колмогорова - Л. Прандтля. При этом напряжения Рейнольдса определяются соотношениями Буссинеска:
эи1+ди)
дх,
1.2,3),
(8)
где м,=см—//1.
£
Для изотропной турбулентности см является скаляром, в анизотропных течениях (вращение потока, искривление линий тока, действие сил плавучести) значение су - вектор. В качестве транспортных уравнений для к
и е с учетом модельных предположений для диффузионных и диссипативных членов, принятых У. Джонсом, Н.Е. Лаундером, Ф.С. Липом и М.А. Лешзинером [22, 96], используются следующие уравнения:
а
дк тт дк
+ 11:----------
дI дх;
де .. дс
— + и-----------
д( } дх;
V
*1 дк
*к) дХ;
.V | дг
\дх;
+ V,
дХ;
дХ;
Э1/; ^ _
1-8-Ф;
СХ;
(9)
,61 ди, ди,
+у'С|/ч1^7 + &г
дО) . е2 _ ,|АЧ
ОХ; к
Ф Ф
причем в модели [96] в уравнении (10) члены порождение 0) и диссипация Ф
х ее ( вь е ^
объединяются В виде — С] —-Со -\ .
к ( е е)
Дадим пояснения обозначений величин, представленных в уравнениях
Ск порождение
(9), (10). Так а*=0,09/це52;5 = ^1
ди, ] ди,
дх. дх,
кинетической энергии турбулентности, оку о,, с, и с2 - эмпирические постоянные, - демпфирующие функции, используемые для
пристеночной формулировки задачи.
ЗІ
Уравнение для к (9) включает член Ф (е = е+Ф), который введен рядом авторов [22, 97-102] для удовлетворения граничному условию с = 0 на стенке. Иначе, когда Ф = 0, zw должно рассчитываться согласно моделям, представленным в табл. 1.1 (см.ниже), где собраны сведения о постоянных и функциях к£-моделей при малых числах Re. Вариант модели для высоких чисел Re [103] (High Re) отличается отсутствием записи в уравнениях (9), (10) членов вязкой диффузии. В целях лучшего представления особенностей течения вблизи стенки в уравнении (10) вводится дополнительный член Е (см. табл. 1.1). Стоит иметь ввиду, что в представленных в табл. 1.1 связях для модели LL [207J принято
= {0,544-[l-0,3expeRtf)]-A1-5expeO,00222>'*2)}/ {.у-[1-ехр(-0,236-/)]Ь в
остальных соотношениях Re, =
к±
V£
к^у * _ УЕ:
V ’ V
Работа по обобщению некоторых моделей из табл. 1.1 на класс сложных течений показала, что модель ИХ (Нагано, Хишида), кроме способности успешно прогнозировать характеристики различных типов сдвиговых течений около стенки, в модифицированном варианте [104], способна удовлетворительно описывать и теплообмен, и наличие положительного градиента давления в пограничном слое, и его влияние на слабоинерционные слои у стенки. В улучшенном варианте НХ-модели учитывается предельное поведение турбулентности
к-у2 , -7/У-У , V, , (*)
которое обеспечивается новым соотношением для /й (см. табл. 1.1), удовлетворяющим условию /й -у'1 вместе со связями (*). Физический смысл
к2
формулы ДЛЯ /м следует ИЗ V, =см/и —. При больших Ке, имеем V, ~ к05Ь,
с
вблизи СТСНКИ V/
.ЗЇ
,У.
Ref = к\; здесь ц= — - микромасштаб или
диссипативный масштаб А.Н. Колмогорова.
Улучшенная версия НХ-модели по виду связи для /2 (см. табл. 1.1) и. по значениям для а£,а4, опирающаяся на результаты согласования по
напряжениям Рейнольдса [145], определяется коэффициентами:
а, = 1,3;
о* = Л =
1 - 0,3ехр
, Re, =»—. ev
Анализ результатов, выполненный в [104] показывает, что улучшенная версия НХ-модели точна не только для предельных случаев течения у стенки, но и в свободной части потока. В сочетании с АМН моделью НХ-модель дает хорошую оценку положения точки отрыва.
В [107] была предпринята попытка анализа ряда версий -модели, а
Постоянные и функции для групп te-моделей
Таблица 1.1
Модель Обозна- чение в. % с, <*. /, /, ф Е
Ляупяср (60] LRc Присте- ночные фмікиик 0.09 1.44 1.92 1.0 1.3 1.0 1.0 1.0 0 0
Джоне-Ллуняер (61) Л. 0 0.09 1.45 2.0 1.0 1.3 CXf _Й] 1.0 l-0.3cxp(-Re,1) ifï Ч0Ї
Хкею* Порех(62] HP 0 0.09 1.45 2.0 1.0 1.3 1 - «т?ф(- 0.0015 Re, ) 1.0 1 - 0,3ехр(- Re,1} *%. -if]
Хоффмаи (63| НО 0 0.09 I.SI 2.0 2.0 3.0 CXJ -1.75 MJ 1.0 1 - 0.3ехр{- Не;) vH У д} 0
Ла>»дер-Шарма [64} IS 0 0.09 1.44 1.92 1.0 1.3 J » ИЇ 1 ) 1.0 1 - 0.3счр(- Re.3 ) if] чш
ДютіЯіі-Млшзр (65) DM 0 0.09 1.35 2,0 0.9 0.95 ■-•““'{-(«У] '•+(51) '-•Ц-fê)’] « -СгШ
Продолжение
М«ХЮЛЬ Обозна- чение с/ ^1 <7, /. А О Е
Чен [66] СИ 0 0.09 1.35 1.8 1.0 и 1-с.\р(- 0.0115.1-*) 1.0 2vX‘
Рейнольде [67) RF. д2к Ч2 о.св •1 1.0 1.83 1,09 1.3 l-exp(-0,0l98Re1) 1.0 Ы-ЭДЬ 0 0
Лэм- Брэмхорст fcSl LB д1к V 0.09 1 44 1.92 1.0 1.3 |l-c4P(-0,0165ReJ)f "Ы 1 - схр(- Re?) 0 0
Нагано- Хишида № N11 о 0.09 1.45 1.9 1.0 1.3 [' 1.0 l-0^e.xp(-Re*) 2Ш М%)
Херрсро [70J НЕ & о* 0.С9 1.44 1.92 1.0 U (l-op(- 0.0006 Rv.ff x(l tJOJtipl- 0.00>> xRc.^Re,) /)- 1-0.7 ехр(- Re.) 0 0
Нагано. Тагавл (206) нт Э'к *V 0,09 1.45 1.9 1.4 1.3 Iй йг) 1,0 0 0
Лин Л сипи мер [207| LL л д2к *V 0.09 1.44 1.92 1.0 1,3 ll-exp<-0,016v')l Ц-счЧ-0.2«/)) '•1 [l-OJex^-Rc-)] 0 0
34
именно: В.Е. Лаундера, Б.И. Шарма [99]; К.К.Дж. Лэма, К. Брэмхорста [27]; Ф.С. Лина, М.А. Лешзинера [96] на предмет описания турбулентных течений по характеристикам турбулентности для одного из примеров сложного сдвигового движения.
Как и ожидалось, удовлетворительное предсказание данного типа течений зависит как от качества, с которым модели описывают турбулентный пограничный слой, особенно его реакцию на градиент давления, так и от точности описания срывных зон (срыв потока с лопаток вращающегося устройства [107]). Из трех моделей, анализируемых в [107], варианты Б.Е.Лаундера - Б.И. Шарма и Ф.С. Лина -* М.А. Лешзинера предпочтительнее. Однако следует заметить, что модели с вихревой вязкостью в принципе неспособны предсказывать сложные эффекты перемежаемости, отрыва потока с лопастей устройств из-за проявления анизотропии турбулентности вследствие неверного уровня генерации турбулентной энергии, определенного по изотропным соотношениям. Однако периодически предпринимались усилия модифицировать Ск в уравнениях к с -модели. В этом отношении показательной является версия М. Като, Б.Е.Лаундера [108].
Отдельные попытки адаптировать двухпараметрическую модель к течениям, учитывающим кривизну линий тока, имели успех в предсказании некоторых турбулентных рециркуляционных течений [109]. Здесь авторы приводят следующую схему учета кь- -моделью изменений в турбулентной структуре при искривлении линий тока.
Определяющие уравнения модели имеют вид:
дк с
дI дХу-
и
+ £_Л 2 Р)
туЩ
-ь,
(П)
1,‘П) дх; С’
2
де д ( —\ £ “т*т диI £“
Т: = Т~Г £1ЧГ с\ Ти‘1Ч я ~сг-Г> о( дxj к * дх! к
к7
где с, =0,09, с, =1,43, с, = 1,92, V, =с —. При этом допущение Буссинеска (о
г.
наличии вихревой вязкости) связывает напряжения Рейнольдса со скоростями деформации осредненного движения [см. (8)].
Удобными замыкающими формами для членов 3-го порядка в уравнении (11) будут простые модели градиентной диффузии, включающие
турбулентный временной масштаб гу = -. Поскольку этот масштаб не связан с
е
особенностями течения, в [109] для учета влияния кривизны'линий тока на корреляции третьего порядка вводится временной масштаб кривизны т. по аналогии с тем, как это было сделано при у чете воздействий сил плавучести на турбулентность. Детали можно найти в [ 110].
Модельные формы членов третьего порядка имеют следующий вид:
где а = 0,12.
Более подробное исследование модели в условиях сложного течения с кривизной линий тока позволило установить значительное изменение масштаба хс 1111]. Это изменение связано с быстрым затуханием диссипативного члена в е- уравнении. Данный эффект предлагается учесть введением в (11) вместо с2 коэффициента С2 = с2 /(1 + Ьту /хс), где значение 6=0,5 установлено согласно компьютерной оптимизации.
В таком виде модель дает хорошее предсказание особенностей течения, связанных с наличием рециркуляционных областей. Авторы модели [110] бесспорно относят это к правильному представлению зависимостей для корреляций третьего порядка от кривизны линий тока.
Решительная попытка расчета анизотропных турбулентных течений на базе Ас-модели предпринята в [25], где исследовалось сильно закрученное течение в круглой трубе. Сопоставлены результаты вычислений по стандартной и модифицированной Ас-модели с анизотропным представлением турбулентности. В отличие от классической версии, в последнем случае предлагается определять вихревую вязкость не как скаляр, а как псевдотензор, имеющий г0-компоненту;
При сравнении результатов расчета с экспериментальными данными были найдены следующие значения коэффициентов, представляющих псевдотензор смешения:
Такая модель, как оказалось, способна при умеренных закрутках успешно описывать поля сложных течений. Однако у нее имеется существенный недостаток, связанный с тем, что она опирается на High Re-версию А*-модели. ,
Расчет же анизотропных потоков в рамках стандартной ке -модели невозможен, так как линейной зависимостью (8) заложен изотропный характер процессов переноса. Простейший способ устранения этого недостатка состоит в добавлении к градиентам средней скорости, в связи (8), нелинейных, квадратичных членов [112]. Если определяющие уравнения имеют вид
и все другие компоненты:
(15)
1)( дх>
VI тЛ “ “V
то для компонент тензора турбулентных напряжений в [112] принимается
2
Ф) = - у/
+ “у/ ) +
(а)
2 к ( / 5>/А ^
(18)
(б)
_ас/,ас/, _і
_ ас. дх. ’ г"' 2
Т ї
(щ ас/, ас/
а*, Г дХ! а,,
о _ диг М, . > “
^ &Г/ ’
2
V/ =с^л/*-1 = сц/ц —, /д =(і + 3,45^,Кс/)-[і-ехр(-//7о)];
/і =
1 - ехр
21
5
^(«,ш)=-6„-5„5/„ + 45т6/»;
(19)
(20)
(21)
ст*=1»4; ос = і,3; с, = 1,4; с2=Н,$; с =0,09; Яе, = —,
ує
где /?,//? - отвечают координатам по нормали к стенке и но течению соответственно.
Дадим характеристику физического смысла дополнительных членов (а) и (б) в соотношении (18). Так, член (а) получен при анализе производства и диссипации кинетической энергии турбулентности и отвечает за анизотропные свойства пульсационных полей, представленные компонентами тензора напряжений Рейнольдса во всем поле течения, кроме непосредственной окрестности стенки. Член (б) найден из условия баланса диффузии и диссипации и обеспечивает соответствие модели требуемому поведению нормальных напряжений Рейнольдса при приближении к стенке. Надо сказать, что запись (а) не зависит от выбора системы координат. В отношении (б) эго утверждение не выполняется. Такая модель имеет отличие от всех предшествующих к 6-моделей.
Анизотропная модель обладает большей общностью, справедлива вплоть до стенки и имеет главное отличие от моделей предшественниц,
37
состоящее в том, что она содержит члены, фиксирующие выраженную анизотропию нормальных напряжений Рейнольдса вблизи стенки [113].
Как следует из результатов расчета [ 112], анизотропная модель определяет верный характер зависимости нормальных напряжений Рейнольдса от расстояния до стенки и воспроизводит распределения всех основных параметров при сложных движениях (вторичные течения в каналах квадратного сечения).
Большие временные затраты в получении точного решения в области стенки по моделям семейства кс привели к созданию подходов, заключающихся в использовании так называемых пристеночных функций. В этих подходах реализуется идея снесения граничных условий с поверхности в точки, расположенные вне области влияния вязкости. В этом случае нет необходимости в моделировании членов “пристеночного эха”.
Реализация метода пристеночных функций сводится к заданию характеристик турбулентности: кинетической энергии, скорости се
диссипации, масштаба турбулентности, а также средних параметров потока -скорости и температуры - в некоторой точке “с”, расположенной за буферной зоной в области логарифмического профиля скорости, где генерация приближенно уравновешивается диссипацией (зона локального равновесия турбулентности). С помощью этих предположений строятся связи между значениями суммарной составляющей скорости вдоль стенки ис> энергией кс, диссипацией е(, масштабом (отвечающими точке ус) и динамической скоростью на стенке //+. В настоящее время накоплен достаточно большой
материал по постановке граничных условий и по реализации метода пристеночных функций применительно к некоторым сложным течениям. Большинство из них сводятся к простым формулировкам вида (см., например,
[79]):
\Я'
\+Щ^-
2 и' (Ьс
К =с;^, 4-=Ло (22)
^■усУ
где индекс “с” - отмечает параметры в точке уе; с, =0,09; к = 0,4; К = 7.7 -
константа закона стенки.
В некоторых работах используется уточненный для буферной зоны метод пристеночных функций [114, 115], приспособленный к расчету течений с большой кривизной линий тока и высоким градиентом давления. Однако вряд ли стоит ожидать успешных предсказаний в расчетах с использованием пристеночных функций для течений с отрывом, реламинаризацией и при малых и переходных числах Рейнольдса.
Полезно заметить, что встречающийся в зарубежной литературе термин “модели турбулентности для малых чисел Рейнольдса” предполагает моделирование вязкостных эффектов в пристеночной зоне. Понятие “малые