2
Содержание
Введение 5
1 Обзор методов исследования динамики упругих конструкций с жидкими и вязкоупругими средами 12
1.1 Обзор методов решения задачи собственных значений больших матричных систем........................................ 12
1.2 Обзор методов исследования динамики конструкций с жидкостью ..................................................... 18
1.3 Обзор методов исследования динамики конструкций с вязкоупругими средами 21
1.4 Цель и задачи работы .................................. 27
2 Метод решения проблемы собственных значений больших матричных систем 30
2.1 Теоретические основы метода частотной конденсации .... 30
2.2 Алгоритм метода.........................................35
2.3 Сегментирование фронтальных матриц......................41
2.4 Выбор основных и вспомогательных степеней свободы ... 45
2.5 Надёжность метода...................................... 50
2.6 Точность метода........................................ 52
2.6.1 Критерии для оценки точности...................... 52
2.6.2 Исследование точности метода на примерах решения задач собственных колебаний............................ 53
2.6.3 Исследование точности метода на примерах решения задач вынужденных колебаний............................ 62
2.7 Быстродействие метода.................................. 74
Выводы
3
76
3 Метод исследования динамики конструкций с жидкостью 78
3.1 Основные уравнения и модели описания свойств жидкости . 78
3.1.1 Основные соотношения метода конечных элементов
для задач динамики конструкций с жидкостью .... 78
3.1.2 Симметричные матричные уравнения колебаний упругой конструкции, содержащей несжимаемую жидкость ................................................... 82
3.1.3 Симметричные матричные уравнения колебаний упругой конструкции, содержащей сжимаемую жидкость или газ.................................................. 83
3.1 .4 Симметричные матричные уравнения колебаний системы ” упругая конструкция - жидкость - перемещения свободной поверхности жидкости”...................... 84
3.2 Модальный метод решения матричных уравнений колебаний конструкций с жидкостью................................... 86
3.3 Нахождение собственных значений и собственных векторов 87
3.4 Сравнение результатов с известными решениями..................................91
3.5 Схема приближенного учёта сжимаемости жидкости .... 95
3.6 Об эффективности вычислений собственных частот и форм конструкций с жидкостью........................................98
3.7 О точности схемы приближенного учёта сжимаемости жидкости ........................................................100
3.8 Выводы.......................................................................111
4 Метод исследования динамики конструкций с вязкоупругими средами 113
4.1 Основные уравнения и модели вязкоупругих материалов . . 113
4.2 Идентификация вязкоупругой модели............................................122
4.3 О влиянии температуры на вязкоупругие свойства материала!27
4.4 Собственные колебания конструкций с вязкоупругими средами .........................................................129
4
4.5 Вынужденные колебания конструкций с вязкоупругими средами .......................................................134
4.6 Экономичная схема метода обобщенных комплексных форм . 139
4.7 Сравнение результатов, полученных методом обобщенных комплексных форм, с решениями, найденными другими методами .....................................................142
4.8 Исследование вынужденных колебаний конструкций, вязко-упругие свойства которых описываются двумя функциями . 155
4.9 Выводы..................................................158
5 Практическое применение разработанных методов 161
5.1 Исследование продольных колебаний топливных баков жидкостных ракет...............................................161
5.2 Исследование динамического поведения РДТТ...............166
5.3 Исследование колебаний конструкций с демпфирующими покрытиями ...................................................177
Заключение 188
Литература 190
Приложение
203
Введение
5
Одним из основных направлений развития современного промышленного производства является широкое применение ресурсосберегающих проектных решений и технологий, что непосредственно связано с уменьшением материалоёмкости конструкций. С другой стороны, развитие современных конструкций в направлении повышения рабочих скоростей, их усложнение за счет применения новых материалов и конструктивнокомпоновочных схем предъявляет высокие требования к их надежности и требует совершенствования методов расчёта конструкций за счёт более полного моделирования свойств материалов и большего приближения расчетной модели к реальной конструкции. Вязкоупругие материалы, к которым относятся полимеры и композиты, металлы при повышенных температурах, бетон и т. п., находят сегодня широкое применение в промышленности. Особенности поведения жидких сред, таких как нефтепродукты, различные виды жидкого ракетного топлива, необходимо учитывать при разработке новых образцов техники в аэрокосмической, нефтегазодобывающей, транспортной промышленности и т.д. Баки для хранения токсичных и горючих жидкостей, топливные баки жидкостных ракет, транспортные поезда и танкеры, перевозящие большие объёмы жидкости, ракетные двигатели на твердом топливе, конструкции с демпфирующими покрытиями - все это примеры конструкций с жидкими и вязкоупругими средами.
Особое место в инженерных расчетах занимают методы исследования вибронагруженности конструкций при различного рода динамических воздействиях. Эксплуатация конструкций при интенсивных ударных и вибрационных воздействиях может привести к их разрушению либо нарушению заданных режимов работы. Динамические нагрузки, действующие на ракету при разделении ступеней импульсом избыточного давления, являются не только опасными для приборов системы управления, но и определяют прочность корпуса приборного отсека, корпуса и узлов крепления боевых блоков, топливного заряда и т.п. Для оборудования нефтегазопро-мыслов и нефтегазопереработки серьезную опасность могут представлять
G
различного рода вибрационные и ударные нагрузки, такие как ветровые, сейсмические, воздействие ударной волны при взрывах, падение тяжёлых предметов (элементов бурового оборудования массой до 20 т. и т.д.) при проведении ремонтных работ и др. Подробная и оперативная информация о режимах динамического нагружения требуется на всех этапах процесса проектирования, так как по ней определяются геометрические размеры и материал несущих элементов конструкции. Актуальность темы возрастает ещё и в связи с тем, что интенсивная и продолжительная вибрация оболочек топливных емкостей, цистерн для перевозки токсичных и горючих жидкостей может приводить к авариям и экологическим катастрофам. Большие объёмы перевозимых ’’экологически грязных жидкостей” предъявляют особые требования к прочности и надёжности транспортных средств, поскольку последствия загрязнения окружающей среды становятся все более необратимыми, а расходы на их устранение и восстановление естественных природных условий всё обременительнее.
Задачами исследования динамики тонкостенных конструкций с жидкими и вязкоупругими средами занимались многие видные российские и зарубежные ученые. Большой вклад в разработку теоретических основ современных методов расчета тонкостенных конструкций внесли работы ILA Алфутова, H.A. Амбарцумяна, Л.И. Балабуха, В.В. Болотина, А.Н. Гузя, И.И. Гольденблата, В.Т. Лизина, И.Ф. Образцова, В.И. Усюкина и многих других. Успешное исследования динамики конструкций возможно, если решены две задачи. Первая задача заключается в создании модели конструкции, вторая - в решении уравнений движений, полученных для разработанной модели. Модель конструкции должна учитывать геометрическую форму всей конструкции и отдельных ее элементов, реальные изменения механических и массовых свойств, позволять увеличивать степень ее детализации и сложности в процессе проектирования, позволять находить не только кинематические параметры, но и характеристики напряженно-деформированного состояния элементов конструкции. Наиболее полно этим требованиям удовлетворяют модели, построенные на основе метода конечных элементов (МКЭ). Широкому распространению, теоретическому обоснованию и развитию МКЭ способствовали ра-
7
боты российских и зарубежных ученых Постнова В.А. [72], Розина Л.А. [74], Корнеева В.Г.[31], Зенкевича О. [28, 29], Стренга Г., Фикса Дж. [76], Галагера Р. [19] и др. В указанных работах установлена связь МКЭ с другими численными методами, разработана общая методология построения конечно-элементных моделей. Использование конечно-элементных моделей, учитывающих особенности динамического взаимодействия тонкостенных конструкций с жидкими и вязкоупругими средами, позволяет повысить надежность проектируемых конструкций, снизить их материалоемкость и повысить качество всего процесса проектирования. Расчет динамического нагруженности конструкций является составной частью таких сложных проектных задач как: многовариантный анализ, оптимизация, структурный синтез. В этих случаях расчет динамической нагруженности конструкции приходится выполнять многократно. При этом высокая эффективность используемых методов исследования динамики конструкций есть необходимая предпосылка успешного выполнения многовариантного проектного анализа и оптимизации сложных технических объектов. Анализ наиболее распространенных конечно-элементных программ, используемых при проектировании конструкций, показывает, что в большинстве из них возможности расчета колебаний конструкций с жидкими и вязкоупругими средами либо отсутствуют либо ограничены и не обладают достаточной надежностью и эффективностью, что объективно отражает состояние развития методов исследования в данной области.
Целью работы является разработка эффективных методов исследования динамики конструкций, содержащих жидкие и вязкоупругие среды, на основе конечно-элементных моделей.
Задачи моделирования динамического поведения топливных баков ракетных конструкций в полете и при наземной эксплуатации, ёмкостей и цистерн при транспортировке больших объёмов жидкостей, оборудования нефтегазопромыслов приводят к необходимости исследовать колебания системы: ” упругая конструкция - жидкость - поверхностные вол-ны”. Решение задач динамики конструкций с жидкостью рассматривалось в работах как российских учёных И.Б. Богоряда, A.C. Вольмира,
А.Г. Горшкова, М.А. Ильгамова, К.С. Колесникова, Г.Н. Микишева, H.H.
8
Моисеева, Ю.С. Павлюка, Б.И. Рабиновича, В.В. Румянцева, К.В. Фролова, Ф.Н. Шклярчука, В.П. Шмакова, так и зарубежных - H.N. Abramson,
H.F. Bauer, D.D. Капа, О.C. Zienkiewicz и др.
Одна из основных проблем, возникающих при построении моделей твердотопливных ракет, оболочек с демпфирующими покрытиями, конструкций из полимеров и пластмасс и т.п., связана с тем, что элементы этих конструкций обладают вязкоупругими свойствами. В настоящее время теория вязкоупругости достаточно хорошо разработана в трудах российских и зарубежных ученых Работнова Ю.Н. [73], Москвитина В.В.
[65], Кристенсена Р.М.[39], Бленда Д. [14], Колтунова М.А. [41] и др., в которых для описания вязкоупругих свойств используется широкий набор моделей, базирующихся на интегральном и дифференциальном исчислении. Решение некоторых задач расчета конструкций из вязкоупругих материалов приведено в работах К.Д. Джонсона, Д.А. Кинхольца, В.Д. Майбороды, М.И. Мирсаидова, В.Г. Пальчиковского, Я.С. Садикова, И.Е. Трояновского и др.
Важным элементом динамического анализа является решение уравнений, описывающих в рамках выбранной модели колебания конструкции. Основные трудности здесь обусловлены высоким порядком матриц, полученных при конечно-элементной дискретизации конструкции. Из существующих в настоящее время методов решения матричных уравнений наиболее часто применяется модальный метод, использующий разложение вектора перемещений конструкции в ряд по собственным формам. При этом задача сводится к проблеме нахождения собственных значений матричных уравнений большого порядка. Решению этой проблемы посвящены работы Кандидова В.П. [32], Кислоокого В.Н. [36, 37], Банах Л.Я.[9, 10], Бате К.Д. и Вилсона ЕЛ.[11], Гайана Р [18], Андерсона JT.P. и Халлоуэра В.Л. [2] и др. В отличие от упругой задачи матрицы, получаемые при исследовании конструкций с вязкоупругими и жидкими средами, являются неположительно определенными, что предъявляет к надежности метода нахождения собственных значений довольно жесткие требования.
Программная реализация методов исследования является одной из наиболее сложных и трудоемких задач. Программы, реализующие мето-
9
ды исследования динамики конструкций с жидкими и вязкоупругими средами, необходимы для испытания разработанных методов, определения их точности, надежности и эффективности.
Исходя из вышеизложенного, основными направлениями диссертационной работы являются:
- создание метода решения проблемы собственных значений больших матричных систем, возникающих при конечно-элементной дискретизации конструкций с вязкоупругими и жидкими средами;
- создание эффективного метода исследования динамики конструкций с жидкостью:
- разработка метода исследования динамики конструкций с вязкоупругими средами;
- создание программ, реализующих разработанные методы;
- испытание разработанных методов и программ с целью определения точности, достоверности и эффективности получаемых решений.
Для решения задачи собственных чисел и векторов больших матричных систем разработан метод частотной конденсации, представляющий как самостоятельный научный интерес, так и имеющий большое значение для решения задач динамики упругих конструкций с жидкими и вязкоупругими средами. Основой метода является алгоритм понижения порядка матриц, который позволяет получать т - мерное матричное уравнение эквивалентное исходному п - мерному ( т С п) в том смысле, что собственные значения этих уравнений совпадают в заданной частотной области с заданной точностью. Алгоритм понижения порядка матриц базируется на фронтальном подходе и эффективной процедуре выбора удерживаемых и исключаемых степеней свободы. Для снижения требований к оперативной памяти предлагается использовать сегментирование фронтальных матриц.
При решении задач динамики конструкций с жидкостью используется конечно-элементная дискретизации конструкции методом Лагранжа,
а жидкости методом Эйлера, полученные уравнения приводятся к симметричной матричной форме и решаются с помощью разложения в ряд по собственным формам. Рассмотрены различные модели поведения жидкости: несжимаемая, сжимаемая, с учетом волн на свободной поверхности. Для нахождения собственных значений матричных уравнений построены различные математические схемы метода частотной конденсации, учитывающие сингулярность гидродинамических матриц и позволяющие снижать трудоемкость вычисления собственных частот конструкций, содержащих сжимаемую жидкость.
Для решения задач динамики конструкций, содержащих вязкоупругие среды, разработан метод обобщенных комплексных форм. Метод использует дифференциальную форму связи напряжений и деформаций для описания вязкоупругих свойств материала, а для решения полученных уравнений разложение в ряд по обобщенным комплексным формам. Показывается, что дифференциальный оператор с шестью коэффициентами позволяет описывать свойства реальных вязкоупругих материалов с хорошей для практических расчетов степенью точности. Движение вязкоупругой конструкции описывается расширенной системой дифференциальных уравнений второго порядка. Расширение системы обусловлено увеличением числа степеней свободы вязкоупругих конечных элементов. Привлекательность разработанного метода состоит в том, что он позволяет достаточно простым способом строить и решать уравнения движения конструкции, деформируемые элементы которой обладают различными вязкоупругими свойствами.
Новыми результатами в диссертации, которые автор выносит на защиту, ЯВЛЯЮТСЯ: Г . Г. . .V.
1. Метод частотной конденсации, позволяющий определять собственные значения в заданном интервале и соответствующие им собственные векторы больших матричных систем, возникающих при решении задач динамики с жидкими и вязкоупругими средами.
2. Метод обобщенных комплексных форм для решения задач ди-
11
намики конструкций с вязкоупругими средами, основанный на конечно-элементной дискретизации конструкции, описании свойств вязкоупругих сред дифференциальными операторами и решении полученных уравнений движения с помощью разложения по обобщенным комплексным формам конструкции.
3. Схема приближенного учета сжимаемости жидкости, позволяющая снизить трудоемкость решения задач динамики систем ’’упругая конструкция - сжимаемая жидкость” в области низкочастотных колебаний.
Практическая ценность работы заключается в создании комплекса программ ДИАС, позволяющего решать широкий круг задач по исследованию динамического поведения широкого класса конструкций при различного рода внешних воздействиях. Разработанный комплекс программ использовался
- при оценки динамической нагружснности твердотопливных и жидкостных ракет в Государственном ракетном центре ”КБ им. академика
В.П.Макеева,”
- для определения динамических характеристик топливных баков ракето-носителя ’’Энергия” в Волжском филиале НПО ’’Энергия” (г. Самара),
- при проектировании энергонапряженных машиностроительных конструкций в КБ ПО ’’Полет” (г. Омск), КБ ’’Арсенал” (Санкт-Петербург) и других предприятиях.
Данная работа поддержана грантами Министерства общего и профессионального образования РФ по фундаментальным исследованиям в области транспортных наук (96-10-4.1-15), машиностроения (97-24-12.3-1 ), в области фундаментальных проблем охраны окружающей среды и экологии человека (проект 1-21).
Глава 1
Обзор методов исследования динамики упругих конструкций с жидкими и вязкоупругими средами
1.1 Обзор методов решения задачи собственных значений больших матричных систем
*
Исследование сложных неоднородных конструкций, подвергающихся различного рода динамическим воздействиям, с использованием МКЭ приводит к необходимости решать уравнения достаточно высоких порядков. При этом решение обычно сводится к обобщенной задаче собственных значений больших матричных систем. Эта задача не тривиальна, и выбор оптимального метода для её решения совсем не прост. Чаще всего оказывается , что метод паи лучший для решения задачи, полученной при расчётах одних конструкций, оказывается совсем непригоден при расчётах других, и этот факт ведёт к чрезмерному обилию методов и необходимости уметь ориентироваться в этом изобилии.
Любой численный метод должен в той или иной мере удовлетворять взаимно несовместимым требованиям из следующего списка. Во-первых, метод должен быть надёжен, т.е. у инженера, возлагающего на него некоторые надежды, должна быть гарантия того, что метод выдаст какое-то решение, а не даст сбой из-за своеобразия предлагаемой ему информации. Во вторых, метод должен не просто получать решение, но и гарантировать нужную инженеру точность. Отметим, что принятие разумного
13
уровня точности может определять эффективность всего процесса проектирования в целом. И наконец, важны моменты, связанные с эффективностью метода: быстродействие и величина требуемой оперативной памяти ЭВМ.
Метод решения задачи собственных значений матричных уравнений, возникающих при исследованиях конструкций с вязкоупругими средами, жидкостью и газом, должен обладать хорошим быстродействием при работе с матрицами высокого порядка, учитывать их симметричность и вычислять все собственные значения, принадлежащие заданному интервалу, и соответствующие им собственные векторы. Но самое главное, метод должен быть надежным, т.е. уметь эффективно работать с неположительно-определенными и полу определенными матрицами.
В настоящее время можно выделить два основных направления решения проблемы собственных значений больших матричных систем: итерационные методы и методы конденсации.
К итерационным методам относятся методы, позволяющие находить собственные значения и соответствующие собственные векторы с помощью какой-либо итерационной схемы. Наиболее эффективными среди итерационных методов являются метод Ланцоша и метод итераций в подпространстве [11, 69]. Метод итераций в подпространстве представляет процедуру, позволяющую находить только наименьшие собственные значения [11]. Метод использует редуцированное подпространство, приводящее к проблеме собственных значений меньшей размерности. При этом размерность подпространства должна быть больше, чем число векторов, которые нужно вычислить в действительности. Метод Ланцоша представляет естественный способ реализации процедуры Релея-Ритца для последовательности подпространств Крылова. На каждом шаге процедуры размерность подпространства возрастает на единицу, и обычным образом могут быть вычислены наилучшие приближённые собственные векторы в подпространстве. Когда же рассматривается не одно, а последовательность подпространств Крылова, универсальная и довольно дорогостоящая процедура Релея-Ритца чрезвычайно упрощается. Однако в процессе сходимости к точному решению из-за ошибок округления теряет-
14
с я ортогональность собственных векторов. Поэтому метод Ланцоша требует дополнительно процедуры ортогонализации собственных векторов, и её эффективная реализация является достаточно сложной задачей [69].
Методы, понижающие порядок матриц, или методы конденсации основаны на предположении о зависимости одних (вспомогательных) переменных от других (основных), что позволяет исключить вспомогательные степени свободы. Методы конденсации являются приближенными в том смысле, что собственные числа, рассчитанные по уравнениям с уменьшенным порядком, отличаются от собственных чисел исходного матричного уравнения на величину погрешности. Суть большинства методов конденсации заключается в отыскании такого преобразования матриц, при котором вектор основных степеней свободы и погрешность собственных значениях имели бы наименьший размер.
Первоначально понижение порядка матриц осуществлялось по схеме Гаусса. В качестве основных задавались степени свободы небольшого числа узлов, в которых сосредотачивалась вся масса конструкции [101]. Выбор узлов выполнялся инженером-исследователем и зависел от его интуиции и опыта, а также максимального размера памяти ЭВМ. Такой метод сокращения матриц называют методом концентрации масс, а иногда методом статической конденсации, так как связь основных и вспомогательных переменных носит статический характер. Метод концентрации масс развивался в работах [36, 37, 68], в которых основное внимание было уделено вопросу построения матрицы преобразования. В общем случае для построения матрицы преобразования необходимо сформировать систему линейно-независимых векторов. В [68] при построении матрицы преобразования выбирается произвольный вектор и по методу Ланцоша строится система ортогональных к нему и между собой векторов. В работе [36] матрица преобразования определяется в результате расчета исходной системы произвольно выбранных (базисных) узлов в направлении основных степеней свободы. Этот подход был улучшен в работе [37], в которой в качестве основных выбираются не перемещения базисных узлов, а их комбинация. Положительной чертой метода концентрации масс является то, что уменьшение числа степеней свободы не приводит к потере лен-
15
точных свойств матриц. Точность решения зависит от того, насколько удачно будет сосредоточена масса. Вычисленные собственные числа могут быть как меньше так и больше собственных чисел исходной задачи. В большинстве случаев для получения требуемой точности необходимо связывать массы с половиной или большим числом степеней свободы, поэтому применение процедуры концентрации масс часто приводит к образованию все еще большой системы уравнений, решение которой требует больших затрат времени и памяти ЭВМ [11].
В работе [32] описан прием для уменьшения числа степеней свободы одновременно во всех узлах оболочечных конструкций. Идея сокращения базируется на том, что кинетическая энергия выражается через пространственные производные поля перемещений более низкого порядка, чем потенциальная энергия.
Наибольшее распространение среди методов понижения порядка матриц получил метод Гайана [18, 5], который по своей сути аналогичен методу концентрации масс. Но в отличие от него метод Гайана приводит к потере ленточных свойств матриц, а вычисленные собственные числа оказываются всегда выше собственных чисел исходной задачи. Отмечается, что метод Гайана эквивалентен сплайн интерполяции, в которой в качестве интерполирующей функции используется форма статического прогиба [95]. В работе [35] изложены допущения, используемые при понижении порядка матриц по Гайану, и даны соотношения для восстановления полных собственных векторов с учетом инерционных членов. Метод понижения порядка матриц, основанный на использовании матрицы податливости, описан в [34]. Предложенный метод аналогичен методу Гайана, но при исключении вспомогательных степеней свободы обращается не матрица жесткости, а матрица податливости. При этом, как показывают авторы, приходится обращать матрицу меньшей размерности, а это приводит к тому, что метод работает быстрее метода Гайана. В [88] отмечается, что для незакрепленных конструкций подход работы [34] не пригоден, и предлагается в этом случае использовать помимо матрицы податливости формы движения конструкции как твердого целого.
В методах статической конденсации (метод Гайана, методы кон-
16
центрации масс) ключевыми являются вопросы о количестве основных степеней свободы и точности полученных результатов. Вопросы повышения точности различных методов статической конденсации обсуждаются в [90]. Отмечается, что понимание механизма конденсации дает ключ к систематическому улучшению точности. Попытка повысить точность метода Гайана была предпринята в [26]. Однако предлагаемая процедура понижения порядка матриц приводит к нестандартной задаче на собственные значения. В работах [45, 17] при уменьшении порядка матриц используется преобразование, связывающее основные и вспомогательные степени свободы при некоторой специально выбранной частоте колебаний (частоте конденсации). В частном случае, когда частота конденсации равна нулю, метод динамической (или параметрической [17]) конденсации эквивалентен методу Гайана. Метод динамической конденсации используется либо в сочетании с методом подконструкций [17], либо в сочетании с методом суперэлементов [17]. Требуемая точность результатов, полученных в этих работах, достигается благодаря применению итерационной схемы, что существенно увеличивает время счета. На первом шаге итерации собственные числа определяются для нулевой частоты конденсации. Полученные результаты используются для выбора частоты конденсации на последующих шагах итерационной процедуры. В [119, 121] были сделаны попытки повысить точность метода Гайана путем учета инерционных членов матрицы масс при вычислении вспомогательных степеней свободы- Однако точность демонстрируется только на примерах расчета собственных частот, а погрешность собственных векторов не анализируется.
Решение вопросов о том, какое количество основных степеней свободы необходимо для обеспечения приемлемой точности при вычислении заданного количества собственных значений и какие степени свободы требуется оставлять в качестве основных после того, как принято решение о количестве этих степеней, в большинстве случаев возлагается на инженера-исследователя и зависит от его интуиции и опыта [36, 37, 101, 17]. Неудачный выбор основных степеней свободы может привести к появлению больших погрешностей в вычисленных собственных значениях и собст-
17
венных векторах. В работе [114] сравнивается пять различных вариантов понижения порядка матричного уравнения с 60 степеней свободы до 15. Результаты расчета показывают, что диапазон разброса собственных чисел для рассмотренных вариантов изменяется от 0,1% для первого тона до 28% для пятого. В ряде работ делается попытка автоматизировать процесс выбора основных и вспомогательных степеней свободы. Так в работах [122, 10] процедура уменьшения порядка матриц строится на исключении всех степеней свободы, парциальные частоты которых выше некоторого, заранее выбранного числа (частоты среза). Однако, вопрос о том, во сколько раз частота среза должна превышать парциальные частоты для достижения требуемой точности, остается открытым, так как для разных конструкций эти значения оказываются разными.
Таким образом, недостатки, присущие методу Гайана, привели к тому, что в современных конечно-элементных программах ведущее положение занимают итерационные методы. В пакете АКБУБ - это метод итераций в подпространстве, в пакете МвС^АвТНАК - метод Ланцо-ша. Однако, при выборе метода решения проблемы собственных значений больших матричных систем, возникающих при исследовании динамики конструкций с жидкими и вязкоупругими средами, необходимо учитывать следующие обстоятельства. Метод Ланцоша и метод итераций в подпространстве требуют положительной определённости хотя бы одной из матриц, что, естественно, сужает область применения этих методов в основном до области задач упругих конструкций. Методы конденсации обладают более широкой областью применения, чем итерационные методы, так как не накладывают никаких ограничений на матрицы. Однако на пути развития методов конденсации долгое время стоял некоторый психологический барьер, связанный с тем, что выбор основных и вспомогательных степеней свободы выполнялся инженером и зависел от его интуиции и опыта. Разработка эффективного метода понижения порядка матриц возможно только при создании формализованной процедуры выбора основных и вспомогательных степеней свободы.
18
1.2 Обзор методов исследования динамики конструкций с жидкостью
Динамика систем, состоящих из упругих тел и переносимых ими жидкостей, исследовалась как российскими учеными Л.И. Балабухом, В.В. Болотиным, A.C. Вольмиром, А.Г. Горшковым, М.А. Ильгамовым, К.С. Колесниковым, Г.Н. Микишевым, H.H. Моисеевым, Б.И. Рабиновичем,
В.В. Румянцевым, К.В. Фроловым, Ф.Н. Шклярчуком, В.II. Шмаковым, так и зарубежными - Abramson H.N., Bauer H.F., Kana D.D., Zienkiewicz O.C. и др.
Колебания бесконечно длинной цилиндрической оболочки в потоке сжимаемой жидкости рассмотрены в [16,102]. Колебания цилиндрической оболочки конечных размеров с жестким и упругим днищем исследованы в работах [16, 6, 46, 51, 50, 96, 97], а колебания сферической оболочки -в работах [3, 7, 70, 75, 98]. Решения задач получаются, как правило, с использованием метода Бубнова-Галеркина, метода Ритца или их модификаций. При этом в качестве координатных функций используется система ортогональных функций, которые в общем случае не удовлетворяют граничным условиям. Поэтому к координатным добавляются функции с неизвестными коэффициентами, число которых равно числу граничных условий. Применение процедуры минимизации функционала или невязки приводит к бесконечной системе уравнений. Приближенные аналитические методы могут использоваться, если длина акустической волны или велика, или мала по сравнению с размерами тела. Также возможно получить хорошие решения, когда поверхность колебания незначительно отличается от поверхности, для которой известно аналитическое решение. Для любых приближенных методов существуют серьезные ограничения на тип проблемы, которая может быть ими решена. В большинстве работ задача расчета колебаний сводится к построению и исследованию бесконечной системы линейных уравнений. До числовых результатов были доведены сравнительно простые задачи. Поэтому для решения большинства проблем с произвольной геометрией, различными граничными условиями и диапазонами частот требуются численные методы (метод конечных раз-
19
ностей, метод граничных элементов, метод конечных элементов (МКЭ)).
Наиболее подходящим для тел с простой геометрией является метод конечных разностей, однако нерегулярные границы создают трудности при использование этого метода [92, 99]. Кроме того, метод чувствителен к ошибкам вычисления.
Конечно-элементные подходы, на основе которых могут быть получены решения задач динамики конструкций с жидкостью, обычно связывают с именами Эйлера [120] и Лагранжа [123]. При описании по Лагранжу жидкость моделируется набором конечных элементов с узловыми перемещения в качестве неизвестных. При этом условия совместимости и равновесия на границе раздела ” конструкции-жидкость” удовлетворяются автоматически. В одной из первых работ [93] в качестве неизвестных задавались смещения граней конечных элементов. В дальнейшем потенциальная и кинетическая энергии конечных элементов представлялась как функции узловых смещений и скоростей элементов [86]. Преимуществом данного подхода является то, что полученные конечные элементы жидкости могут быть легко включены в конечно-элементные программы общего назначения. Недостатком подхода является то, что гидродинамические матрицы являются сингулярными и это существенно затрудняет решение полученного матричного уравнения. В [124] обсуждаются способы устранетгия сингулярности гидродинамических матриц. Трехмерная вариационная формулировка задачи гидроупругости рассмотрена в [105]. Выполнен расчет гидроупругих колебаний в улиткообразном канале на входе в главный двигатель космического аппарата ”Шатл”. Для исключения ”паразитных” форм вращательного движения идеальной жидкости была введена дополнительная штрафная функция, представляющая циркуляцию жидкости.
При описании по Эйлеру жидкость моделируется набором конечных элементов с узловыми давлениями в качестве неизвестных. Поведение конструкции описывается через узловые перемещения конечных элементов конструкции. Существуют различные подходы к решению полученной системы уравнений. В работах [112, 104] используется способ, который базируется на раздельном решении уравнений для конструкции и жид-
20
кости и учете их взаимодействия с помощью метода итераций. Однако, как правило, уравнения для жидкости и конструкции решаются как одна система, которая в общем случае является несимметричной. Для решения такого матричного уравнения можно использовать подпространст-венное итерирование в сочетании с (^-алгоритмом [100]. В большинстве работ система уравнений сводится к симметричному виду путем перехода к потенциалу перемещений (в сочетании с уравнениями для давления жидкости)[106, 108, 117, 110]. В работе [106] рассматривается проблема взаимодействия конструкции с жидкостью с учетом волн на свободной поверхности. Вариационная формулировка, которая явилась основой для разработки и приложений метода конечных элементов к акустическим колебаниям, рассмотрена в [124]. Работа [111] является одной из первых попыток анализа пространственных акустических систем с помощью метода конечных элементов. МКЭ дает возможность учесть любую вариацию геометрической формы тела и граничных условий. Для сложных конструкций часто необходимо использовать элементы высоких порядков и различные приемы уменьшения размерности матриц, чтобы привести задачу к виду, пригодному для вычислений. В [108] используется метод жестких границ для синтеза форм колебаний конструкций с жидкостью. Различные подходы, позволяющие уменьшить размерность системы уравнений при решении задачи взаимодействия '’конструкция- жидкость”, обсуждаются в [108]. В работе [117] представлен приближенный метод расчета конструкций с жидкостью. Метод основывается на предположении, что собственные частоты ’’сухой” конструкции выше, чем соответствующие собственные частоты конструкции с несжимаемой жидкостью, которые, в свою очередь, выше соответствующих частот конструкции со сжимаемой жидкостью.
При описании жидкости по Лагранжу ранг матрицы жесткости во несколько раз меньше её порядка и поэтому решение уравнений вызывает существенные трудности[86, 124]. При описании поведения жидкости по Эйлеру в каждом узле конечно-элементной модели задается только одна степень свободы - гидродинамическое давление. Описание поведения жидкости по Эйлеру более предпочтительно из-за преимуществ, которы-
21
ми обладают получаемые при этом уравнения с точки зрения создания эффективных методов их решения.
1.3 Обзор методов исследования динамики конструкций с вязкоупругими средами
В настоящее время теория вязкоупругости достаточно хорошо разработана в трудах российских и зарубежных ученых Работнова Ю.Н. [73], Москвитина В.В. [65], Кристенсена Р.М.[39], Бленда Д. [14], Колтунова М.А. [41] и др., в которых существует много различных, но эквивалентных по смыслу, способов выражения механических характеристик, входящих в определяющие соотношения между напряжениями и деформациями. Среди наиболее известных подходов можно назвать использование ядер наследственности со слабой особенностью (сингулярностью) в нулевой момент времени, применение непрерывного или дискретного набора экспоненциальных ядер, прямое использование комплексного модуля.
Наиболее простым способом описания вязкоупругих свойств в задачах динамики конструкций является использование комплексного модуля, который может быть получен непосредственно из динамических испытаний вязкоупругого материала. Корректность подхода обосновывается свойствами соотношения, связывающего деформацию и напряжение при их синусоидальном изменении. Деформация отстает по фазе от напряжения, и мнимая часть комплексного модуля адекватно описывает это явление. В работах [77, 78, 79, 80] получила развитие концепция комплексного внутреннего трения, которая базируется на использовании комплексной константы вместо модуля упругости при исследовании колебаний вязко-упругих тел. Такую модель часто называют моделью Сорокина. Достоинство подхода состоит в том, что он позволяет корректно и довольно просто исследовать широкий круг задач об установившихся колебаниях систем с частотно-независимой диссипацией энергии колебаний. Ограниченность подхода обусловлена тем, что он дает корректные уравнения движения только для расчета установившихся колебаний вязкоупругих конструкций. В работах [67, 103] показано, что применение концепции комплексно-
22
го трения в задачах неустановившихся колебаний конструкций приводит к нарушению принципа причинности.
Применение ядер наследственности при описании вязкоупругих свойств является в настоящее время универсальным средством описания вязко-упругих свойств [73, 41]. Имеются две точки зрения на то, какие ядра наследственности следует использовать в инженерных расчетах [89]. Согласно одной из них [73, 41], ядро ползучести должно обладать слабой особенностью (сингулярностью) в нулевой момент времени. Необходимость такого ядра объясняется тем, что при ступенчатом нагружении процесс ползучести в начальный момент времени протекает с бесконечно большой скоростью (ё = оо при £ = 0). Поэтому в качестве ядра ползучести К(£) предлагается выбирать сингулярную функцию, которая обладает особенностью при £ = 0 (К(0) = оо). Использование сингулярных ядер позволяет представить информацию о вязкоупругих свойствах материала в компактной форме, так как ядра содержат небольшое число расчетных параметров. Наибольшее распространение получили ядро Ржаницына-Колтунова [41, 44, 42] и ядро Работнова [73, 30].
С другой стороны, широкое применение нашли операторы с непрерывным или дискретным набором экспоненциальных ядер [73, 39, 14]. При использовании экспоненциальных ядер достигается наиболее высокая точность аппроксимации экспериментальных данных, а интегрирование уравнений в большинстве случаев достигается с минимальными затратами машинного времени [89]. Применение набора экспоненциальных ядер не стесняет свободы и не нарушает общности описания релаксационных свойств реальных полимерных материалов. В полимерных материалах колебательное движение механических сегментов, элементарных звеньев и боковых г рупп, обуславливающее образование вязкоупругих деформаций, осуществляется с периодом порядка 10"4 сек[89]. Следовательно, нагружение хевисайдонского тина есть не что иное, как математическая идеализация, и случай ё = оо при £ = 0 физически не оправдан [43].
Часто при моделировании вязкоупругих свойств используется дифференциальная форма связи напряжений и деформаций [39, 14, 4, 1, 116, 118], которая необходимым образом приводит к закону наследственности
23
с дискретным набором экспоненциальных ядер. Обычно применяется модель Фойхта или модель стандартного вязкоупругого тела, которые описываются дифференциальными уравнениями второго или третьего порядка соответственно. В работе [12] при моделировании вязкоупругих свойств предлагается использовать дифференциальные операторы с производными дробного порядка. Привлекательность подхода состоит в том, что он требует небольшого числа параметров для описания свойств вязкоупругого материала. Численные значения параметров определяются из условия наилучшего среднеквадратического приближения характеристик модели и вязкоупругих свойств материала. Негативной чертой такого описания вязкоупругих свойств является большой порядок получаемых уравнений движения, что делает возможность решения даже простых задач весьма проблематичной.
Существующие в настоящее время методы решения задач динамики вязкоупругих конструкций можно условно разбить на несколько групп: методы комплексных собственных значений, методы прямого вычисления частотных характеристик, методы, использующие собственные формы упругой конструкции.
В методах комплексных собственных значений задача сводится к нахождению собственных чисел и векторов, которые являются комплексными. Для описания вязкоупругих свойств используется либо простейшая форма дифференциального оператора (модель Фойхта), либо модель Сорокина. Такие модели приводят к }гравнениям с действительными (модель Фойхта) либо комплексными (модель Сорокина) матрицами. Поскольку собственные векторы, найденные в результате решения задачи на собственные значения для таких уравнений, удовлетворяют условию ортогональности, разложение в ряд по комплексным формам приводит к несвязанным дифференциальным уравнениям. Недостатком данного подхода является то, что вязкоупругие свойства должны описываться либо моделью Фойхта, либо моделью Сорокина, т. е. модуль накопления вязкоупругих материалов должен быть постоянным по частоте, а модуль потерь - либо линейно изменяться, либо быть постоянным по частоте. Реальные вязкоупругие материалы просто не обладают такими удобными свойст-
24
вами.
Использование прямых методов вычисления частотных характеристик, как правило, обусловлено естественным желанием учесть реальные свойства вязкоупругих материалов, которые являются комплексными и изменяются по частоте. При этом наиболее подходящим оказывается метод Фурье, позволяющий преобразовать уравнение движения из временной области в пространство частот колебаний. В работах [82, 83] определяются резонансные частоты радиальных колебаний двухслойной конструкции, состоящей из упругой цилиндрической оболочки и вязкоупругого цилиндра. Вязкоупругие свойства цилиндра описываются комплексным модулем, составляющие которого могут существенно зависеть от частоты. В основу расчета положены номограммы, которые получаются из решения частотного уравнения радиальных колебаний упругого двухслойного цилиндра. К прямым методам можно также отнести и метод решения с помощью преобразования Лапласа, который используется, если вязкоупругие свойства описываются стандартной вязкоупругой моделью или моделью с дробными производными [12]. Так описание вязкоупругих свойств моделью стандартного вязкоупругого тела и решение полученных уравнений с помощью преобразования Лапласа используется при исследовании иеустановившихся колебаний материала наследственного типа [116], круговой пластинки [118], цилиндрической оболочки [1], вязкоупругого цилиндра, скрепленного с упругой оболочкой [4]. В работе [12] при описании вязкоупругих свойств предлагается использовать дифференциальные операторы с производными дробного порядка. Привлекательность подхода состоит в том, что он требует небольшого числа параметров для описания свойств вязкоупругого материала. Численные значения параметров определяются из условия наилучшего среднеквадратического приближения характеристик модели и вязкоупругих свойств материала. Решение уравнений движения осуществляется путем их расширения с последующим ортогональным преобразованием расширенных уравнений. Негативной чертой подхода является то, что система уравнений движения в зависимости от дробной степени производных может быть расширена в десятки и даже сотни раз. Это делает возможность
- Київ+380960830922