Переходные процессы в трубопроводном транспорте

Введение.
Одна из основных проблем современности - топливная проблема. Среди всех видов топлива наибольшее значение имеют нефть и газ. Транспортировка нефти и газа от мест добычи до потребителя происходит по трубопроводным системам. Увеличение протяженности трубопроводов с одновременным усложнением структуры грубопроводных систем, повышение мощности трубопроводного оборудования, интенсификация производственных процессов усугубляют последствия любых нарушений
производственного процесса. Выход из строя оборудования, разрушение труб линейных участков могут привести не только к экономическому ущербу от недопоставки продукта, но и к авариям с тяжелыми последствиями для окружающей среды. В связи с этим большое значение приобретает повышение надежности и эффективности работы магистральных трубопроводов в условиях значительной протяженности. Важное значение имеет проблема управления работой нефтепроводов при переходных режимах. Неустановившиеся процессы в магистральном нефтепроводе, вызванные изменением гидравлического режима перекачки (остановка или пуск насосных агрегатов, регулирование давления и расхода, отключение или подключение попутного сброса или подкачки) сопровождаются распространением от источника возмущения волн повышенного или пониженного давления по всей трубопроводной системе. Перераспределение давления, нарушая работу насосных станций, нередко приводит к остановке работающих в подпорном режиме станций или всего эксплуатационного участка, к динамическим перегрузкам линейной части трубопровода, которые в отдельных случаях могут превысить предел прочности труб, а также привести к перегрузке оборудования насосных станций или к кавитации в насосах. Для предупреждения последствий возмущения нефтепроводы оснащаются системами автоматической защиты, регулирования и сглаживания волн повышенного или пониженного давления. Практика эксплуатации магистральных трубопроводов в условиях современной технологии перекачки и функционирования ставит новые гидродинамические задачи по расчету систем автоматического регулирования и защиты трубопроводов. Решение этих задач служит обеспечению надежной эксплуатации систем транспорта жидкости по трубам при переменных гидравлических режимах. Получить простые расчетные формулы для сложной трубопроводной системы не всегда возможно, особенно в случаях, когда речь идет о волновом нестационарном течении. Именно эти проблемы решены в настоящей работе. Цель работы и основные задачи исследований. Цель работы - исследование переходных процессов в сложной трубопроводной системе и получение аналитических решений для
1
класса гидродинамических задач течения жидкости в трубах, основанных на
математической модели, предложенной профессором И.А. Чарным.
Задачи:
• исследование гидродинамических процессов, происходящих при заполнении трубопровода;
• исследование интерференции попутных отборов-подкачек жидкости в трубопроводе;
• получение расчетных формул неустановившегося течения жидкости в трубопроводе при наличии насосных станций и попутных отборов-подкачек жидкости;
• исследование влияния попутных отборов и подкачек жидкости на перераспределение давления и расхода жидкости в трубопроводе при наличии компрессорных станций;
• разработка метода решения задач течения жидкости в трубопроводе с учетом решения, получаемого при I -> со (модифицированный метод Фурье разделения переменных);
• получение приближенных расчетных формул переходного режима течения жидкости, основанное на методе 1 алеркина решения задач массообмена.
Научная новизна результатов исследован и я.
• В работе использовано выделение решения для установившегося продолжения задачи (решение при / -»ос), для которого основные формулы расчета получены, минуя этап получения решения для неустановившегося режима течения, что сильно облегчает решение большого круга задач неустановившегося течения жидкости в сложной трубопроводной системе предложенными в работе методами.
• Разработай метод решения задач неустановившегося течения жидкости, основанный на использовании решений, полученных для предельного случая мри / —> со.
• Исследован вопрос о взаимодействии попутных отборов и подкачек жидкости, выявлено влияние на процесс течения не только мощности и мест отборов и подкачек, но также порядка их расположения относительно головной насосной станции.
• Впервые исследованы случаи, когда среднее давление газа (жидкости) не изменяется в процессе переходного режима.
• Исследован вопрос о влиянии утечки (или отбора) жидкости из трубопровода на работу насосной станции.
Достоверность исследований.
Работа основана на использовании известных уравнений И.А. Чарного и М.А.
Гусейнзаде, для решения которых применяются классические математические методы. Для
ряда случаев проведено сопоставление решений, полученных с помощью предложенного в
работе метода с решениями, полученными классическими методами интегральных преобразований Фурье и Лапласа.
I фактическая значимость результатов работы.
Полученные автором результаты, касающиеся взаимодействия попутных отборов и подкачек жидкости, а также влияния утечки на работу насосной станции, и другие могут быть использованы при составлении проектов строительства и эксплуатации нефтепроводов (газопроводов). Расчетные формулы для установившихся процессов могут быть использованы при исследовании гидравлического удара. Многие из них уже вошли в книгу М.А. Гусей нзаде "Особенности волнового течения жидкости в трубах. Гидравлический удар".
11оложения. выносимые на защиту.
• Применение асимптотической теоремы операционного исчисления исследовании систем на возможность существования в них установившихся процессов, являющихся конечным результатом физического взаимодействия сложных переходных процессов.
• Использование видоизмененного метода разделения переменных, а также метода Галеркина для получения расчетных формул неустановившегося течения жидкости в трубах.
• Рассмотрение вопроса одномоментного воздействия на трубопроводную систему нескольких внешних факторов.
• Получение результатов исследований по интерференции попутных отборов и подкачек, а также влияния попутных отборов (утечек) жидкости на эффект работы насосных станций.
Апробация работы. Основные научные результаты исследований по теме диссертации докладывались:
• на II конференции молодых ученых, специалистов и студентов но проблемам газовой промышленности России «Новые технологии в газовой промышленности», МИН Г, 1997 (доклад занял второе место);
• на конференции «Математика. Компьютер. Образование», Дубна, 1998 (организатор МГУ);
• на 3-ей научно-технической конференции, посвященной 70-летию Российского Государственного Университета им. И.М. Губкина, 1999;
• на научном семинаре нефтегазовой и подземной гидромеханики РГУ НГ им. И.М. Губкина, 1999;
3
• на научном семинаре кафедры высшей математики РГУ 11Г им. И.М. Губкина, 2000.
По результатам исследований опубликовано 8 научных работ.
Публикации. Основные положения диссертации изложены в восьми научных статьях.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, профессору кафедры высшей математики. Гусейнзаде МЛ. за постоянную помощь в работе; коллективу кафедры высшей математики, а также кафедры нефтегазовой и подземной гидромеханики за внимание и интерес к работе.
Обзор методов решении задач неустановившегося течения
нефтепродуктов.
Задачи движения жидкостей по трубам многокомпонентны. Учесть все факторы, влияющие на процесс движения, невозможно. Для решения задачи строится математическая модель, которая в той или иной мере отражает реальные процессы.
Исследования нестационарных процессов движения жидкости в трубах относятся к последней четверти девятнадцатого века. Фундаментальный вклад в решение этой проблемы внес Н.Е. Жуковский [18J классической работой о гидравлическом ударе в водопроводных трубах. Н.Е. Жуковский создал теорию напорного неустановившегося движения идеальной упругой жидкости, до сих пор лежащую в основе исследований в этой области. Для анализа процессов, возникающих при изменении расхода воды, протекающей через трубу, Н.Е. Жуковским были выведены дифференциальные уравнения одномерного движения капельной слабосжимаемой жидкости с учетом упругости стенок грубы и проинтегрированы для некоторых случаев по методу Римана. Работа Н.Е. Жуковского послужила началом большого числа исследований но напорному неустановившемуся движению жидкости с использованием более сложных физических моделей, учитывающих вязкость перекачиваемого продукта, значительную деформацию стенок трубы, нелинейные зависимости упругих деформаций жидкости и материала стенок грубы от напряжений и так далее
В усовершенствование математических моделей неустановившегося течения при различных допущениях относительно гидродинамических характеристик потока и механических характеристик трубы внесли большой вклад работы И.А. Парного [49], Д.М. Волкова, М.А. Гусейнзаде [11, 12, 13, 14], Г.Д. Розенберга [1, 41, 42], З.Т. Галиуллина [4J, С.Г. Щербакова, С.А. Бобровского [53], Ь.И. Ксенза [8], В.А. Юфина [17], Е.И. Яковлева |8] и другие. Проблема многомерности, порожденная структурой напорных гидравлических
4
систем, применительно к магистральным нефтегазотранспортным системам нашла наиболее эффективное разрешение благодаря математической модели, разработанной С.Л. Бобровским, С.Г. Щербаковым, М.А. Гусейнзаде, В.А. Юфиным [3. 17]. Для описания изотермических течений сжимаемой жидкости широко используется детерминированная модель И.А. Парного и ее модификации. Преимущество метода, предложенного в [3], заключается в том, что наличие промежуточных насосных (компрессорных) станций, попутных отборов и подкачек, а также их работы учтены в динамическом уравнении и уравнении неразрывности с помощью функций Дирака и Хевисайда.
Выбор методов решения задач анализа нестационарных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, определяется структурой транспортной системы, возможностями описания ее технологических элементов, а также соображениями оперативности и точности расчетов. Наряду с классическими методами (Фурье, характеристик) решения краевых задач использованы эффективные методы интегральных преобразований Лапласа, Фурье, Меллина, преобразования типа свертки в работах З.Т. Галлиулина, М. А. Гусейнзаде, Б.Л. Кривошеина 127,28], Г .Д. Розенберга, О.Н. Петровой [33], А.М. Сгаина [44], М.Ф. Степановой [16|, В.А. Юфина, Е.И. Яковлева и другие
Используя операционные методы, нетрудно получить решения в области изображения, переход же к оригиналу бывает сложен. В таких случаях авторы используют либо численные методы обратного преобразования, основанные на разложении в комплексной плоскости функций в степенные ряды по полиномам Лежандра, Лагерра, Чебышева, либо методы аппроксимации в области изображений (вариационные методы Ритца, Галеркина), либо известные асимптотические соотношения для малых и больших времен и комплексного параметра преобразования.
Операционные методы, приводящие к аналитическим результатам, применимы к линейным задачам. Ввиду ограниченности возможностей строгого аналитическою решения зачач ио расчету движения жидкостей в напорных системах в условиях нестационарного режима из-за нелинейности члена, отражающего влияние силы трения, в динамическом уравнении исследователи упрощают математическое описание. Математическое описание по модели И.А. Чарного обычно упрощается путем получения автомодельных решений или линеаризации нелинейных уравнений движения. Автомодельные решения позволяют в основном делать выводы качественного характера и могут быть использованы для оценки точности приближенных методов решения задач динамики.
5
Некоторые задачи нестационарного режима течений в гидротранспортных системах решаются численными методами, которые в основном являются модификациями метода сеток и метода характеристик. Этот метод развит в работах Л.В. Полянской, М.Б. Лурье, Г.И. Мелконяна, Л.М. Муравьевой и другие. Численные методы позволяют получить искомые решения задач с любой наперед заданной степенью точности. Это сопряжено, как правило, только с увеличением затрат времени расчетов на ЭВМ.
, В группе приближенных методов решения задач движения жидкости или газа важными являются вариационные. Эти методы выгодно отличаются как широтой круга задач, где они могут быть использованы, так и быстротой сходимости приближенных решений. Применение вариационных методов приводит к решениям, которые записываются в виде простых формул. Одним из распространенных вариационных методов является метод Галеркина [24, 54|, который использован и в данной работе.
6
Глава 1.
Необходимое и достаточные условия существования установившегося продолжения задач трубопроводного транспорта.
Гидродинамические расчеты неустановившегося течения жидкости или газа в трубопроводах в настоящее время проводятся, как правило, е помощью решения уравнений параболического типа (например, уравнения тина теплопроводности) или же гиперболического типа (волнового уравнения в случае, когда не учитывается трение жидкости или телеграфного уравнения в случае учета силы трения жидкости о стенки трубы). Хотя эти уравнения принадлежат к числу хорошо изученных линейных уравнений математической физики, однако при рассмотрении конкретных физических задач неустановившегося течения жидкости в трубах иногда возникают трудности практической реализации решения. Проблемы возникают из-за начальных и граничных условий задачи. Для некоторых простых граничных условий указанные выше уравнения могут быть решены методом интегральных преобразований Фурье или Лапласа, а иногда даже методом разделения переменных Фурье, с которым основная масса нефтяников и газовиков знакома. Решение уравнения, определяющее переменное давление, имеет вид
Р(х, о = ф) + £ Vn (*> 0 (1 • 1)
«=i
где i//n(x.t) удовлетворяют однородным граничным условиям, а функция <р (х) обеспечивает выполнение заданных граничных значений.
В случае, если (1.1) есть решение волнового уравнения, то оно означает колебание системы (без затухания) около постоянного значения <р(х). Эти колебания происходят без внешних сопротивлений (без учета трения жидкости о стенки грубы) и могут быть остановлены лишь воздействием внешней силы. В отсутствии внешней силы процесс не установится во времени и решение (1.1) будет являться функцией, зависящей от времени при любых значениях t (в том числе и при
Если же (1.1) есть решение уравнения типа теплопроводности, которым описывается плавное (без колебаний) течение жидкости в трубопроводе, или телеграфного уравнения, которое имеет место при волновом течении жидкости в трубе с учетом трения жидкости о стенки трубы (и, следовательно, затухания амплитуды колебаний), то функции ср (х) и if/n(x,t) играют другие роли в решении (1.1): функции y/n(x,t) со временем убывают, ослабляя свое влияние на процесс, и со временем (математически при t->x) основную роль
начинает играть функция <р(х), определяемая исключительно граничными условиями.
7
Волновое движение реальной жидкости в трубопроводе возможно лишь в начале нестационарное™, пока влияние трения жидкости о стенки трубы не очень заметны и им можно пренебречь при составлении математической модели, то есть формулой (1.1), являющейся в данном случае решением волнового уравнения, можно пользоваться лишь в начале нестационарное™. Если же учитывается влияние диссипативных сил, то решением (1.1) (решением параболического или телеграфного уравнений) можно пользоваться как при переходном неустановившемся режиме течения жидкости 1>0, так и при его продолжении при {—>сс. то есть при последующем (после переходного режима) установившемся режиме, который в работах [12,15] называется установившимся продолжением задачи. То есть наличие диссипативных сил является необходимым условием существования установившегося продолжения задач. Оно может быть достаточным лишь при определенных граничных условиях, о которых будет идти речь в представленной работе и будут указаны граничные условия, позволяющие получать решения для установившегося продолжения задач. Именно такие задачи, имеющие установившееся продолжение, возможно решать методом разделения переменных и вариационным методом Галеркина.
Следует особо отметить, что каждое установившееся течение жидкости в трубопроводе мы рассматриваем как продолжение имеющегося перед этим нестационарного течения (переходного режима).
Нестационарное течение жидкоста по линейному участку трубопровода может быть описано линеаризованными уравнениями [49].
-д± = д-Я-+7ад
’ где
д! С сх
Р - осреднешюе по поперечному сечению трубы давление жидкости (или газа);
(Ясо\
2а= - приведенный коэффициент линейного т рения;
IЯЯ )ср
Я - коэффициент гидравлического сопротивления;
(о - осредненная по поперечному сечению трубы скорость потока; в- гидравлический радиус потока;
0~ро) - осредненная массовая скорость; р - плотност ь жидкости; с - скорость звука в данной среде; л' - координата;
8
/-время.
В представленной работе мы будем рассматривать не приведенную систему уравнений, а одно уравнение относительно переменного давления Р(х,1), получаемое из данной системы путем исключения переменной (Л то есть уравнение
д2Р 1 д2Р 2а дР 8х2 ~ с2 811 + с2 дГ
являющееся уравнением гиперболического типа (в литературе - телеграфное уравнение), описывающим волновое течение жидкости с затухающей амплитудой.
Задачи, не учитывающие сопротивления среды (примером может служить задача о колебании струны в безвоздушном пространстве или рассмотренная Н.Е. Жуковским задача о гидравлическом ударе [18]), описываются уравнением вида
д2Р 1 д2Р
дхг с2 с*2 ’
(1.2)
2 а дР
получаемым из предыдущего уравнения путем оторасывания слагаемог о —г и имеющим
с?2 дI
о>
решение вида Р(х,1) = <Р\(х) + У](С1п соъап1 +С2п вто^О^Л.*.
п=\
Если же учитывается грсние жидкости о стенки трубы, то, как было указано выше, уравнение процесса имеет вид [14]
д2Р 1 д2Р 2а дР „
—т = —5------~ ---- (ЕЗ)
дх с~ дг с~ с(
при волновом течении и
*■-н
при плавном течении (без колебания), получаемое из уравнения (1.3) при пренебрежении инерцией жидкости. Решение уравнения (1.3) имеет вид
Р(х, 1) = <р2 (х) + е-' £(B,„ cos ft,/ + Вг„ sin //„Osin Лпх.
л»!
При этом амплитуда колебаний затухает и система стремится к значению pj(x) при 1—хзо., то есть имеет место Р{х,1)\(_^ = <рг{х) в качестве решения задачи при се установившемся продолжении. Решение же уравнения (1.4) имеет вид
Р(х,t) = (р2 (х) + ^Аяе~Pl‘ sin Лпх,
0-1
которое стремится (плавно, без колебания) к тому же значению .P(.v,/)],_,* =</>2(.v), то есть задачи, решенные с помощью уравнений (1.3) и (1.4), имеют одинаковое установившееся
9
продолжение. Значения начальных условий входят в коэффициенты В,„ и А„. Слагаемые, содержащие эти коэффициенты, стремятся к нулю при 1->со.
Б этой главе будут сформулированы задачи, показаны условия возможности существования установившегося продолжения задач и приведены формулы, описывающие распределения давления и скорости жидкости при установившемся продолжении.
Гидродинамические процессы, происходящие при заполнении трубопровода (предполагается наличие первоначального непрерывного потока нефтепродукта в трубопроводе, то есть под заполнением подразумевается увеличение давления внутри имеющегося потока).
Заполнение трубопровода длиной / может происходить при закрытии одного из конечных сечений (например, сечения х=1) и осуществлении закачки жидкости или газа в другое сечение (х=0). При этом закачка может начаться как в условиях отсутствия течения в трубопроводе, то есть начальное давление жидкости в трубопроводе было постоянным Ро = сотI , так и в условиях наличия установившегося течения жидкости. Так как мы рассматриваем реальную жидкость, то влияние начальных условий будет ослабевать со временем и исчезать при установившемся продолжении задачи. Однако, если заполнение трубопровода происходит при поддержании постоянного расхода Р'0„ в начальном сечении трубопровода, то, как будет показано в следующей главе, такая задача не имеет установившегося продолжения (это также очевидно из соображений физики явления).
Заполнение возможно, если в начальном сечении поддерживать убывающий во времени расход жидкости где к>0, или же закачка 1?()н осуществляется лишь до
какого-нибудь конечного момента времени, например Ь'()и[ст(/> — сг(/ —/,)], где
Так, например, если в начальном сечении поддерживать убывающий расход ГО„е~'\ то задача будет иметь установившееся продолжение
0-0 = 0 при/>0 сг(1) - сг(1 -/,) = - 1 - 0 = 1 при 0 < / < /, .
1-1=0 при/>/,
(1.5)
где Т=1/к имеет размерность времени.
Следует отметить, что формула (1.5) получена из выражения
(1.6)
10
при 1—>со. Если н выражение (1.6) подставить значение к-0 (случай идеальной жидкости), то есть в начальном сечении поддерживается расход РО„е''‘ \ к-0 = FQHУ то будем иметь
Р\,^„ =/>, + С-0^- 1І1П— = Р + ^-1,
" / &-*о к I
то есть задача не может иметь установившегося продолжения.
Следует отметить, что если при заполнении трубопровода имеет место попутная утечка О жидкости и, если закачиваемая в начальное сечение трубы жидкость полностью утекает, то есть то задача будет иметь установившееся продолжение, определяемое
аО7 2сЮ \х при * й х,
соотношением
/Г р
х, прих>х,
то есть Р\ = Рп + ~ (I - 2х) при х<х,
г
=р„ +у-(1-2х1) = С0ПЗ( прих>х7 (1.7)
Па рис.1.1 показан график распределения давления, определяемого формулой (1.7).
Если в начальном сечении трубопровода имеется закачка Л а в сечении
х~Х1 утечка О, причем С=Ю„, то задача имеет установившееся продолжение, определяемое
формулой Р\I = Р„ + Т + — (/ - 2х) при х <х/
I Р
Р2\,^ = Рн +^-Т + ^-(1 -2х^ = сот! прих>х; (1.8)
где Т=1\к, а Р„ - начальное давление жидкости в трубопроводе.
На рис. 1.2 дан график распределения давления, определяемого формулой (1.8) при установившемся продолжении процесса.
Если же закачка РО,< жидкости в начальном сечении х-0 трубопровода и утечка О в сечении х=х/ начинаются не одновременно (с отставанием на конечное время /у), то возможно наличие установившегося продолжения. Так, например, если закачка РО„ начинается в момент времени (=0 (начало нестационарности), а утечка Сю(Ы1) - в момент времени и имеет место С /‘р*, то распределения давления жидкости в трубопроводе при установившемся продолжении определяется формулой
=рп (/-2х) ПРИХ<Х/
= р>, +^(/_2Х1) = С0ПМ прих>х/ (1.9)
/ г
11
Рис 1.1. Распределение давления жидкости при установившемся течении, определяемое формулами (1.7).
РО„ - закачиваемая в начальном сечении трубопровода жидкость,
0=/'фу - утечка в единицу времени в сечении
Рис 1.2. Распределение давления жидкости при установившемся течении, определяемое формулами (1.8).
ЩО.н+ЧкС к') - закачиваемая в начальном сечении трубопровода жидкость - расход на участке (0,хО,
- утечка (в единицу времени) в сечении х=Х{.
12
На рис. 1.3 приводится график распределения давления, построенный на основании формул (19).
Теперь рассмотрим вопрос о заполнении трубопровода путем закрытия конечного сечения трубопровода х=1 и поддержания постоянного давления Р„ в его начальном сечении х-0. При этом, если нет попутной утечки жидкости из трубопровода, то со временем давление жидкости в трубопроводе будет расти, стремясь к значению Рн. При этом расход жидкости в начальном сечении будет убывать. В конце полною заполнения трубопровода давление жидкости в нем станет равным Рн, а закачка жидкости в начальном сечении автоматически прекратится. Так как получение решения такой задачи не представляет труда (например, методом, указанным в третьей главе настоящей работы), то мы его приводим
-со - (2п-\)лх
4(р — р ) 00 е о/
готовым. /»(*,0 »/> + -^----------—У------------^---, (1.10)
Л ti 2п -1
где Ро есть начальное постоянное давление жидкости в трубопроводе, а
(2п-\)л с
а„ ------------=.
2/ yJ2a
Если же до закрытия конечного сечения трубопровода в нем имело место установившееся течение по закону
Р -Р
то решение задачи имеет вид
. (2п -1 )/tv
? (UI)
Л (2п — 1)
При проверке выполнения начального условия в решении (1.10) и (1.11) следует учесть, что
. ЧП&.-ЛУ
m Х--2 2I. ■
ГГ 2/?-1 4
. (2п-\)у sin “ о/—
у ------------~— =
(2п -1)
Из решений (1.10) и (1.11) легко видеть, что
^и=Л,;
=0-
2а дх
л л ^ л
— у, если < у < -
4 2 У 2
/Т / ч я ^ ^ эл
— (л - у), если — < у <
4 /h 2 2
13