1
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...........................................................6
1. Основная концепция диссертационной работы.......................6
2. Краткий обзор исследований по теории взрыва на ранней ударно-волновой стадии...........................................10
3. Краткий обзор исследований по теории взрыва на завершающей конвективно-вихревой стадии......................................13
4. Краткий обзор исследований по моделированию природных и антропогенных катастроф, приводящих к образованию в атмосфере крупномасштабных вихревых течений......................16
5. Структура диссертации..........................................19
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ...................................31
1.1. Применение уравнений Навье-Стокса для исследования некоторых классов задач аэрогидродинамики..................................31
1.1.1. Основные положения, лежащие в основе физической модели.....31
1.1.2. Уравнения Навье-Стокса как математическая модель аэро-гидродинамических процессов.................................32
1.1.3. Универсальные численные методики...........................38
1.2. Неявная конечно-разностная методика, в основе которой лежит
схема расщепления по координатным направлениям и функциям ....43
1.2.1. Дискретизация дифференциальных уравнений...................43
1.2.2. Исследование схемы на устойчивость.........................48
1.3. Явная конечно-разностная методика, в основе которой лежит схема
расщепления по физическим процессам -.......................55
1.4. Методы регуляризации численных решений........................60
1.5. Контроль точности вычислений..................................65
1.6. Применение современных вычислительных систем для решения
многомерных задач аэрогидродинамики..........................68
Выводы.............................................................71
ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЗРЫВА......................................74
2.1. Сильная стадия взрыва без учета излучения.....................74
2.2. Сильная стадия взрыва с учетом излучения или притока
энергии на фронте ударной волны..............................79
2.3. Фаза взрыва при умеренных значениях давления на фронте
ударной волны................................................93
Выводы............................................................103
ГЛАВА 3. ВЗРЫВ ПРИ НАЛИЧИИ ПОДСТИЛАЮЩЕЙ
ПОВЕРХНОСТИ.............................................105
3.1. Отражение сферической взрывной волны от земной поверхности... 105
3.2. Дифракция сферической ударной волны на плоскости
при наличии на ней слоя нагретого газа .....................110
3.3. Обращенное маховское отражение при сферическом взрыве
над плоской поверхностью ..................................121
3.4. Дифракция сферической ударной волны на плоскости при
наличии над ней слоя нагретого газа.........................129
Выводы...........................................................136
ГЛАВА 4. ОДИНОЧНЫЕТЕРМИКИ И ВИХРЕВЫЕ КОЛЬЦА 138
4.1. Упрощенные модели терминов и тороидальных вихрей............138
4.1.1. Некоторые закономерности движения одиночного термина, выводимые путем анализа размерностей.............................138
4.1.2. Модели терминов метеорологического и взрывного происхождения................................................ 141
4.1.3. Модели конвективных и динамических вихревых колец в приближении несжимаемой жидкости.................................143
4.2. Модель термина в приближении сжимаемой вязкой жидкости......150
4.3. Моделирование приповерхностных терминов. Эффект присутствия подстилающей поверхности.........................................157
4.4. Дрейф терминов в стратифицированных воздушных потоках.......166
4.4.1. Простейшая модель термина в потоке со сдвигом ветра.......166
4.4.2. Подъем термина в вязкой сжимаемой среде при умеренных значениях числа Рейнольдса (Яс < 500)............................167
4.4.3. Подъем термина в вязкой сжимаемой среде при больших значениях числа Рейнольдса (Яе > 1000)...........................173
Выводы.......................................................... 179
ГЛАВА 5. ПАРЫ ТЕРМИКОВ И ВИХРЕВЫХ КОЛЕЦ..........................181
5.1. Движение тандема соосных вихревых колец.....................181
5.1.1. Динамические кольца в идеальной жидкости..................181
5.1.2. Динамические кольца в вязкой несжимаемой жидкости.........184
5.2. Подъем двух коаксиальных терминов в вязкой сжимаемой
среде..................................................... 184
5.2.1. Случай умеренных значений числа Рейнольдса (Яе < 500).....185
5.2.2. Случай больших значений числа Рейнольдса (Яе > 1000)........191
5.3. Подъем пары терминов, разнесенных в пространстве по
горизонтали..................................................196
5.3.1. Случай умеренных значений числа Рейнольдса (Яе < 500).......197
5.3.2. Случай больших значений числа Рейнольдса (Яе^ЮОО)...........199
5.4. Подъем пары терминов, произвольно расположенных в
пространстве.................................................205
5.5. Дрейф пары терминов в поле фонового ветра....................206
Выводы............................................................209
ГЛАВА 6. АНСАМБЛИ ТЕРМИНОВ И ВИХРЕВЫХ КОЛЕЦ........................211
6.1. Движение цугов вихревых колец и терминов.....................211
6.1.1. Упорядоченное и хаотическое движение системы трех тонких соосных вихревых колец в идеальной жидкости........................212
6.1.2. Подъем системы трех коаксиальных терминов в атмосфере
при учете вязкости и сжимаемости.............................215
6.2. Подъем группы четырех приземных терминов в атмосфере.........220
6.3. Подъем конгломерата из семи приземных терминов в атмосфере...229
Выводы............................................................238
ГЛАВА 7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПАР ОБЪЕКТОВ: ТЕРМИК-УДАРНАЯ ВОЛНА, УДАРНАЯ ВОЛНА - УДАРНАЯ ВОЛНА...............................240
7.1. Прохождение через термнк плоской ударной волны взрывного
профиля.................................................... 240
7.2. Лобовое столкновение сферических ударных волн при парном взрыве
в атмосфере................................................ 247
Выводы
256
ГЛАВА 8. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИРОДНЫХ И АНТРОПОГЕННЫХ КАТАСТРОФ, ИНИЦИИРУЮЩИХ В АТМОСФЕРЕ КРУПНОМАСШТАБНЫЕ ВИХРЕВЫЕ ТЕЧЕНИЯ...........................259
8.1. Всплывание облаков аварийных взрывов....................259
8.1.1. Упрощенные модели развития аварийных взрывов на начальной стадии ( стадии огненного шара )............................259
8.1.2. Численная модель подъема и дрейфа облаков аварийных взрывов.....................................................263
8.2. Природные атмосферные вихри большой интенсивности.......271
8.2.1. Упрощенные модели торнадо-смерча......................272
8.2.2. Численная модель зарождения и развития торнадо-смерча.273
Выводы......................................................282
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................283
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
287
6
ВВЕДЕНИЕ
В представленной диссертации исследованы вопросы математического моделирования газодинамических течений взрывного и конвективного типов и их приложений к проблемам аэродинамики окружающей среды, а также изложены принципы построения эффективных конечно-разностных схем, для решения многомерных эволюционных задач, относящихся к этой тематике, и приведены примеры двух конкретных схем, разработанных автором. Основная цель диссертационной работы состояла в создании отвечающих современному уровню численных методик для изучения широкого круга задач газовой динамики - сюда относится выбор исходных физических и математических моделей, разработка численных методов и проверка их эффективности в ходе вычислительных экспериментов.
1. Основная концепция диссер гацнонной работы.
В диссертации отражено современное состояние теории термиков и вихревых колец, изложены многие аспекты теории взрыва, а также рассмотрены некоторые вопросы теории крупномасштабных пожаров и атмосферных вихрей. Все эти проблемы изучены в рамках единой концепции, суть которой - выполнение принципа разумной достаточности, заключающегося, в данном конкретном случае, в интерпретации всех исследуемых здесь явлений и процессов на основе "чисто" газодинамических моделей, с усложнением в дальнейшем математических постановок без привлечения дополнительных физических факторов.
Другими словами, при интерпретации результатами расчетов исследуемого реально объекта (течения) при помощи цепочки: физическая модель -
7
математическая модель - вычислительная модель - программа, разрабатывались и модифицировались три последние звена цепочки при "замораживании" первой.
Так, физическая модель строилась по возможности наипростейшим образом: воздух рассматривался как "сухой" политропный газ, факторы турбулентности течений имитировались заданием постоянных эффективных значений чисел Рейнольдса и Прандтля, земная поверхность трактовалась как абсолютно жесткая плоскость, излучение учитывалось в приближении лучистой теплопроводности со степенной зависимостью коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры и плотности и т.п.
Математическая же модель строилась, исходя из других критериев. За основную математическую модель выбиралась полная система нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого теплопроводного газа -модель чрезвычайно сложная, для которой недоказано ни теоремы существования решения, ни теоремы единственности ( даже при простейших краевых условиях ), и не относящуюся ни к гиперболическому, ни к эллиптическому, ни к параболическому типу.
Такой выбор моделей преследовал две цели. Одной из целей было выяснение вопроса о возможности воспроизведения исследуемых течений при помощи упрощенных физических моделей, учитывающих только лишь газодинамические факторы, с оценкой степени точности результатов путем сравнения с результатами, полученными при расчетах. на основе моделей, учитывающих достаточно аккуратно те или иные сопутствующие» физические процессы, или с экспериментальными данными. Другой - выяснение приоритетов, что доминирует в исследуемых течениях, дополнительные физические факторы или дополнительная размерность?
Как показали вычислительные эксперименты, "чисто" газодинамическая модель, базирующаяся на полной системе многомерных эволюционных уравнений Навье-Стокса, для всего круга рассматриваемых проблем дает вполне приемлемые результаты, качественно идентичные и количественно близкие результатам для более сложных физических моделей, а также опытным данным. Некоторая разница в результатах проявлялась в основном в структурных аспектах, при одновременно хорошей корреляции для интегральных характеристик. Причем даже на основе такой упрощенной модели был подтвержден ряд известных ранее эффектов, присущих изучаемым течениям, полученных опытным путем, и выявлен широкий спектр новых.
Приведем несколько примеров воспроизведения достаточно тонких эффектов, полученных в ходе расчетов на основе выбранной модели:
1) при надлежащем подборе эффективных значений чисел Рейнольдса и Прандтля на основе "чисто" газодинамической модели удалось сымитировать все стадии подъема термика и сопутствующие ему процессы: возникновение поверхностной пелены (вызванной неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца), свертку термика в вихревое кольцо, возникновение на верхней кромке волновой ряби (инициированной неустойчивостью Рэлея-Тейлора), колебание около положения равновесия с генерацией внутренних волн в атмосфере и т.п. Учет свойств реального воздуха, влажности атмосферы, излучения, турбулентности и пр. дал лишь небольшие количественные отклонения в интегральных характеристиках и незначительные качественные отличия в структурном строении от результатов, полученных для нашей упрощенной модели;
2) при соответствующем выборе начального расстояния между двумя коаксиальными термиками был воспроизведен после их трансформации в кольцевые вихри весьма сложный процесс (с трудом реализующийся в
лабораторных опытах ) - "чехарда" вихрей. Задний вихрь, уменьшаясь в
размерах, нагоняет передний и обгоняет его, проскакивая через внутренний створ последнего, а затем этот процесс повторяется;
3) при использовании эффективного монотонизатора удалось рассчитать задачу о лобовом столкновении двух сферических ударных волн взрывного профиля, и с удовлетворительной точностью воссоздать регулярную и нерегулярную (с образованием маховской структуры) стадии их интерференции, качественно совпадающую по картине конфигурации фронтов (выделенных посредством дифференциальных анализаторов) с соответствующей экспериментальной картиной, полученной при взаимодействии двух лазерных пробоев, и с допустимым количественным отклонением (< 5-8%) получить газодинамические фронтальные величины;
4) при удачном выборе начальных условий также удалось, используя "чисто" газодинамическую модель, воспроизвести процесс зарождения из мезоциклона интенсивного атмосферного вихря с вертикальной осью вращения -торнадо-смерча. В итоге была получена воронкообразная спиральная вихревая структура, идентичная по строению и количественным характеристикам натуральному смерчу.
Таким образом, получен ответ и на вопрос о приоритете - переход к трехмерности в задачах этого класса важнее уточнения физической модели. (Следует отметить, что, хотя большинство сопутствующих физических процессов самим соискателем не рассматривалось, ссылки на работы, в которых важнейшие из них учитывались, приведены в соответствующих местах текста ).
10
2. Краткий обзор исследований по теории взрыва на ранней ударно-волновой стадии (с включением некоторых сопутствующих вопросов, связанных с взаимодействием взрыва с различными объектами ).
Теория точечного взрыва как раздел механики сплошных сред, изучающий движения, вызываемые кратковременным и локализованным выделением в среде большого количества энергии, возникла в середине прошедшего столетия в связи с работами но созданию ядерного оружия. Первые публикации, заложившие основы теории точечного взрыва, принадлежат Дж.Тейлору [1] и Л.И.Седову [2]. Л.И.Седов [2-4] первым получил в аналитическом виде классическое решение автомодельной задачи о точечном взрыве. Независимо решение этой задачи было найдено также К.Л.Станюковичем [5].
Большой вклад в развитие теории взрыва внесли отечественные ученые: Л.И.Седов, К.П.Станюкович, Г.Г.Черный, М.А.Садовский, Я.Б.Зельдович, О.М. Белоцерковский, Е.И.Забабахин, С.А.Христианович, Д.Е.Охоцимский,
В.П.Коробейников, А.С.Компанеец, С.С.Григорян, Э.И.Андрианкин,
И.В.Немчинов, Г.И.Покровский, Л.А.Чудов и другие, и зарубежные ученые: Дж.Тейлор, Дж.фон Нейман, Г.Л.Броуд, Ч.Мейдер, М.Уилкинс, Р.Коул и другие.
Ниже приводится краткий обзор работ по теории взрыва в атмосфере, близких к теме диссертации, в которых решение задач проводилось в основном с применением численных методов.
Остановимся сначала на работах, рассматривающих развитие взрыва в безграничной среде. Началом широкого применения вычислительных машин для решения таких задач можно считать исследования, проведенные в середине 50-х годов Г.Л.Броудом [6], Г.Гольдстайном, Дж.фон Нейманом [7] и Д.Е.Охоцимским с соавторами [8]. Рассматривалась задача о точечном взрыве в однородной
11
атмосфере с учетом противодавления. Наиболее полное ее исследование (для показателя адиабаты, равного 1,4 ) было выполнено в [8]. В последующие годы многие авторы решали одномерную задачу о взрыве с противодавлением с другими видами симметрии и значениями показателя адиабаты. Это, например, работы В.П.Коробейникова, Н.С.Мельниковой, Е.В. Рязанова [9] и Х.С.Кестенбойма, Г.С.Рослякова, Л.А.Чудова [10].
Дальнейшее развитие теории взрыва происходило главным образом по двум направлениям: исследовались одномерные задачи в усложненных физических постановках и квазидвумерные задачи. К первому направлению относится, например, работа Э.И.Андрианкина [11], ко второму - ДЛаумбаха, Р.Пробстина [121-
Появление более мощных ЭВМ позволило перейти от приближенных постановок к подлинно двумерным для описания взрыва в неоднородной атмосфере ( см. работу К.И.Бабенко с соавторами [13] и упомянутую выше монографию [10]).
В двумерной постановке с детальным анализом влияния на течение различных физических и геометрических факторов (гравитация, электропроводность среды, несимметричность энерговыделения и пр.) задача о взрыве была рассмотрена в работе В.П.Коробейникова [14].
Также в двумерной постановке с учетом излучения задача была решена в работе Л.В.Шуршалова [15].
Дальнейший прогресс в развитии численных методов и вычислительных систем привел к возможности изучения трехмерных задач теории взрыва (см., например, работу В.В.Демченко, И.В.Немчинова [16], в которой решена задача о симметричных множественных лазерных пробоях (суть взрывах)).
12
Упомянем теперь некоторые работы по численному исследованию взаимодействия ударных волн (в основном взрывного происхождения) с различными объектами. Наибольший интерес из этого круга задач вызывали (в связи с проведением приземных ядерных испытаний) задачи об отражении сферических взрывных ударных волн от плоской поверхности.
Начало этим исследованиям положили работы О.С.Рыжова,
С.А.Христиановича [17], М.М.Васильева [18], Б.И.Заславского, Р.А.Сафарова [19], в которых на модельном уровне изучалась ранняя стадия дифракции ударных волн на твердой поверхности.
Первые двумерные расчеты приземного ядериого взрыва были проведены, по-видимому, Г.Л.Броудом [20].
В более поздних двумерных численных исследованиях В.В.Подлубного,
А.С.Фонарева [21], Х.С.Кестенбойма, А.И.Шуринова [22] был детально проанализирован процесс отражения сферической ударной волны, возникшей в результате точечного взрыва, с подробным изучением перехода от регулярного к маховскому отражению и процессов вторичных взаимодействий, вызванных отраженной ударной волной.
В работе В.В.Подлубного [23] изучалось отражение волн взрывного профиля от плоскости, конуса и сферы, а также решалась обратная задача определения формы поверхности отражения по характеристикам дифрагированной волны.
Большой интерес вызывают задачи о множественных взрывах и, в частности, задачи о взаимодействиях ударных волн взрывного профиля. В связи с этим следует упомянуть работы Э.И.Андрианкина, H.H. Мягкова [24.25] о двойном взрыве в одной точке пространства и на одной оси, работы Р.Я.Тугазакова, А.С.Фонарева [26], И.В.Красовской, М.П.Сыщиковой [27] о
13
встречном столкновении двух плоских взрывных волн и уже упомянутую выше работу [16] о столкновении шести сферических ударных волн.
Численные исследования прохождения ударных волн через области газовой неоднородности проводились в работах М.В.Эванса, Ф.Х.Харлоу, В.Д.Мейхнера [28], В.В.Подлубного [29], П.А.Войновича, А.И.Жмакина,
A.А.Фурсенко [30], А.Е.Кима, Д.К.Раевского [31] и многих других.
Изменение структуры плоской ударной волны, распространяющейся вдоль стенки с прилегающим к ней слоем горячего газа, обнаруженное ранее экспериментально, было подтверждено расчетами, выполненными
B.И.Бергельсоном, И.В.Немчиновым, Т.И.Орловой и др. [32], а также П.А.Войновичем, Н.В.Евтюхиным, А.И.Жмакиным и др. [33].
Аналогичное изменение структуры было получено также при решении задачи о распространении вдоль сильно нагретой проволоки сферической ударной волны ( см. работу В.И.Артемьева, В.И.Бергельсона, И.В.Немчинова и др. [34]).
В работе В.Н.Ляхова, Д.К.Раевского, С.М.Харитонова [35] численно моделировался процесс воздействия ударной волны на сферическое тело, окруженное слоем горячего или холодного газа.
3. Краткий обзор исследований по теории взрыва на завершающей конвективно-вихревой ст адии.
Рассмотренные выше работы относятся к ранней стадии взрыва, когда основным объектом изучения являются ударные волны. На его заключительной стадии, когда ударно-волновые факторы настолько ослабевают, что абсолютно доминирующую роль начинают играть конвективные процессы, объектом исследования становится ог ненный шар, всплывающий в
14
атмосфере и постепенно трансформирующийся в вихревой тор. Таким образом, на этой стадии для изучения взрыва следует переходить к методам теории тсрмиков и вихревых колец ( коими и являются огненные шары и вихревые торы соответственно).
Пионерскими в этой области были работа С.А.Христиановича [36], в которой была рассмотрена начальная фаза конвективного процесса - подъем огненного шара, и работа А.Т.Онуфриева [37], в которой изучалась вторая фаза процесса - всплывание и расширение вихревого тора вплоть до его зависания на высоте равновесия. Хотя в этих работах было много постулирующих допущений, позволивших свести проблему к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений с не вполне определенными управляющими параметрами, но с их помощью удалось получить оценочные значения некоторых динамических и теплофизических интегральных характеристик этого сложного процесса, что само но себе было важно из-за скудности опубликованных данных ядерных испытаний.
Следующим шагом в изучении конвективной стадии взрыва стала работа Ю.П.Глаголевой, В.А.Жмайло, В.Д.Мальшакова и др. [38]. в которой подъем термина - огненного шара моделировался численно на основе двумерных уравнений Эйлера. Такой подход позволил не только получить интегральные характеристики подъема огненного шара и вихревого тора, но и выявить внутреннюю структуру вихревого движения.
Дальнейшим продолжением исследований в этом направлении стали работы Ю.А.Гостинцева, А.Ф.Солодовника, В.В.Лазарева, Ю.В.Шацких [39] и Г.М.Махвиладзе, О.И.Мелехова, С.Е.Якуша [40]. В них на базе более совершенных математических моделей в двумерных постановках детально изучены процессы подъема в атмосфере облаков взрывов природного и
антропогенного происхождения (атомные и вулканические взрывы, крупномасштабные пожары и т.п. ) с учетов широкого круга дополнительных физических и химических факторов.
В работе О.М. Белоцерковского [41) приведены результаты расчета турбулентного термика с постоянными эффективными значениями коэффициентов переноса, приближающих турбулентность.
В работе Конюхова A.B., Мещерякова М.В., Утюжникова С.В. [42] исследовалось всплывание крупномасштабных осесимметричных турбулентных термиков в приближении "k-е" модели.
Большой вклад в теорию движения вихревых колец (торов) внесли работы Б.А.Луговцова [43] и Ф.Б.Капланского [44], в которых, абсрагировавшись от конкретного источника происхождения динамических и конвективных колец, был получен ряд автомодельных решений задач в двумерных постановках, имеющих как самостоятельную ценность, так и являющихся прекрасными тестами для проверки методик других авторов.
Следующим этапом в продолжении развития теории, естественно, стал переход к трехмерным постановкам. Так, в работе Д.Ж.Фокса [45] известная осесимметричная задача о подъеме в атмосфере одиночного термика в методических целях исследовалась с помощью программы, разработанной для решения трехмерных задач.
В работе В.Е. Прахта [46] был сделан дальнейший шаг по усложнению проблемы - в ней численно исследовалась пространственная задача о взаимодействии двух облаков газа ( разнесенных по горизонтали), образованных в результате парного ядерного взрыва. Более подробное изучение взаимодействия пары термиков, произвольно разнесенных в пространстве, проводилось в работе С.Х.Брехта, Дж.Р.Ферранте [47].
16
4. Краткий обзор исследований по моделированию природных и антропогенных катастроф, приводящих к образованию в атмосфере крупномасштабных вихревых течений.
Поскольку природные катастрофы преследовали человечество всю его историю, попытки предсказать и осмыслить причины стихийных явлений начались с глубокой древности. Не устраивая исторический экскурс, хочется сослаться только на одну работу Плиния мл. [48], в которой приводится достаточно подробное описание эруптивного (взрывного) извержения Везувия в 79г., когда погибли гг. Помпеи и Геркуланум (именем автора на настоящее время определенный тип извержений в вулканологии называется плинианским).
Огромное количество фактического материала о глобальных катастрофах различной природы ( извержения вулканов, падение болидов, ураганы, шквалы, торнадо, ядерные взрывы и т.п. ) и их последствиях приведено в монографиях Д.В.Наливкина [49], Б.Питтока, Т.Акермана, П.Крутцена и др. [50], М.И.Будыго, Г.С.Голицына, Ю.А.Израэля [51], М.Л.Асатурова, М.И.Будыго, К.Я.Винникова и др. [52], в обзорной статье И.В.Немчинова, О.П.Попова, А.В.Тетерева [53] и др. Все эти стихийные явления совершенно разной физической природы объединяет тот момент, что в ходе их эволюции в атмосфере формируются крупномасштабные разрушительные вихри.
В работах Дж.Пеннера, Л.Хазельмана, Л.Эдвардса [54], Г.С.Голицына, Ю.А.Гостинцева, А.Ф.Солодовника [55], И.Ф.Музафарова, С.В.У гюжникова [56] численно исследовалось образование над большими пожарами конвективных колонок и струй, сопровождаемое возникновением интенсивных вихревых течений.
В работах Б.Мортона, Г.Нейлора, С.'Гэрнера [57], Ю.А.Гостинцева, Н.П.Копылова, А.М.Рыжова, А.М.Хасанова [58,59] в двумерных постановках
17
решались задами о конвективном переносе продуктов сгорания в атмосфере над большими пожарами. В [58] определялась зависимость высоты зависания облака примеси от размера очага возгорания.
Малоизученный феномен - огненный смерч (шторм), чрезвычайно редко встречающаяся разновидность катастрофического пожара (описанная, например, в работах К.Эберта [60], Х.Брунсвига [61]) изучалась в работе Г.Карриера, Ф.Фенделла, П.Фельдмана [62] и, в упомянутой выше, работе [59].
Большое внимание уделялось за последние 50 лет численному исследованию природных атмосферных вихрей, обладающих большой разрушительной силой -ураганов, тайфунов, шквалов, торнадо-смерчей (ниже приводятся ссылки только на работы, изучающие торнадо-смерчи, поскольку в диссертации рассматривался только этот вид вихрей).
До середины 20-го века не было какой-либо целостной модели, хотя бы приближенно объясняющей феномен смерча. Единственное общее положение, к которому пришли исследователи, это вывод о том, что для данного явления выполняется закон сохранения азимутального момента импульса ( см., например, работы Д.Брента [63] и В.Н.Оболенского [64], в которых в рамках теории идеальной несжимаемой жидкости смерчи трактовались как сингулярные вихревые нити).
Первая достаточно сложная теоретическая модель стационарного смерча, учитывающая «многие физические факторы была построена, повидимому, Л.Н.Гутманом [65]. Ему впервые удалось физически правильно и математически корректно поставить задачу о стационарном смерче с учетом горизонтального турбулентного перемешивания воздуха и вертикальной влажнеустойчивости атмосферы и довести ее до численного решения, которое хорошо описывает основные черты явления.
На настоящее время исследователями предложено очень много моделей смерчей. Некоторые из них очень просты, это, например, модель выпадения из облака потока жидкости более тяжелой, чем окружающая среда, в виде непрерывной закрученной струи ( см. работу К.Е.Кенион, Д.Л.Кенион [66]), или модель сливающейся массы в приближении мелкой воды (см. работу П.Н.Свиркунова, М.В.Калашника [67]), или упрощенная стационарная модель, в которой решение для конусообразного спиралевидного потока получено в аналитическом виде (см. работу В.М.Мальбахова, А.Д.Дробышева, Ф.Ф.Брюханя,
В.Н. Погрябняка [68]). Другие более сложны - это, например, стационарные модели М.А.Гольштика, В.Н.Штерна [69] и Ю.Л.Якимова [70]. Интересна работа
A.A.Соловьева [71], в которой смерч трактуется как самоорганизующаяся система, в которой в результате когерентной генерации инерционногравитационных волн происходит формирование интенсивного упорядоченного вихря. Самой совершенной на данное время стационарной моделью, наиболее полно отражающей характерные свойства течений типа смерча и отличающейся четкостью математической постановки, является модель, разработанная
B.В.Сычевым [72].
Разрабатывались на основе аналитических и численных методов и нестационарные модели смерча (см., например, работы В.М.Мальбахова [73] и Ю.К. Краснова [74]. В последней прослеживалась вся эволюция течения, начиная от стадии зарождения и кончая этапом гибели вихревых структур в нем).
В заключение обзора следует отметить, что на многие работы, не вошедшие в него, ссылки будут сделаны непосредственно в определенных местах текста. Такое дробление ссылок соискателю показалось весьма целесообразным по двум причинам - во-первых, чтобы избежать тавтологий, во-вторых, чтобы
19
читателю было сразу из текста видно, а что собственно нового сделано в диссертации по сравнению с предыдущими работами.
5. Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, в котором приведены основные выводы работы, и перечня цитируемой литературы.
В первой главе излагаются основные принципы разработанного математического аппарата для решения задач, рассматриваемых в остальных -предметных главах диссертации.
В п. 1.1 обосновывается выбор в качестве исходной, полной системы уравнений Навье-Стокса для сжимаемого теплопроводного газа при исследовании взрывных и конвективных процессов, рассматриваемых в диссертации, и указываются рамки ее применимости. Выписываются соответствующие системы дифференциальных уравнений, используемые для решения двумерных осесимметричных и трехмерных задач в размерном и безразмерном виде. Перечисляются наиболее употребляемые в настоящее время универсальные численные методики для решения задач математической физики и, в частности, газовой динамики.
В п. 1.2 приводится конечно-разностный метод переменных направлений, разработанный соискателем для решения пространственных эволюционных задач механики сплошных сред, в основе которой лежит неявная схема расщепления по функциям и координатным направлениям. На примере уравнения для одной из компонент скорости выписаны разностные операторы, аппроксимирующие исходные дифференциальные аналоги. На уровне модельных уравнений теплопроводности предложенная схема исследуется по методу Фурье на устойчивость, доказывается се безусловная устойчивость для двумерных
20
уравнений и условная - для трехмерных. Найдена приближенная оценка на ограничение шага по времени на уровне модельного уравнения теплопроводности с конвективными членами.
В п. 1.3 приводится конечно-разностная методика, разработанная диссертантом для численного интегрирования двух- и трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса, базирующаяся на явной схеме расщепления по физическим процессам. В качестве примера выписываются разностные операторы, дискретизирующие соответствующие дифференциальные для одной из составляющих скорости на всех трех этапах расщепления. Проведена модификация схемы, сводящая ее к схеме типа ТУО.
В п. 1.4 перечислены методы регуляризации численных решений: сглаживание, введение искусственной вязкости, использование специальных схем. Показана эквивалентность демпфирующего воздействия на решения (при определенных условиях) двух первых методов. Приведены четыре конкретные процедуры сглаживания, использующиеся в вычислениях в настоящей работе и позволившие удовлетворительно рассчитывать сквозным способом сложные процессы дифракции и интерференции ударных волн, удерживать ударные фронты на малом числе узлов сетки, подавлять нефизические осцилляции в зонах больших градиентов искомых функций и т.д.
В п. 1.5 обосновывается необходимость создания многоступенчатого механизма проверки правильности полученных численных решений (с помощью неконсервативных схем ), который, по возможности, не только контролирует аппроксимационные способности разработанных методик, но и проверяет адекватность используемых физико-математических моделей описываемым физическим процессам. В разработанный аппарат контроля входят следующие методы проверки решений: сравнение результатов счета задачи, имеющей
21
аналитическое решение, с точным решением; сопоставление расчетных величин с соответствующими экспериментальными данными (в случае наличия последних); решение посредством трехмерных программ осесимметричных задач и сопоставление с результатами двумерных расчетов; контроль за выполнением законов сохранения; проверка решений путем вариации числа узлов сетки и др.
В п. 1.6 указываются причины, по которым при переходе к расчетам многомерных нестационарных задач газовой динамики на современных вычислительных системах с параллельной обработкой информации целесообразно использовать явные конечно-разностные методики.
Во второй главе рассматриваются некоторые задачи теории точечного взрыва в неограниченном пространстве.
В п.2.1 как пример для сравнения с последующими задачами (а также служащая в качестве начальных условий для многих из них) приведена классическая автомодельная задача о сильном взрыве Л.И.Седова, для которой аналитическое решение в конечном виде получается из анализа размерностей.
В п.2.2 исследуется модифицированная задача о сильном взрыве с учетом потери энергии (например, вследствие излучения) или притока энергии (например, вследствие химической реакции) на фронте ударной волны. Эта задача также оказывается автомодельной, но ее решение получается не из анализа размерностей, а путем прямого численного решения исходной системы уравнений в частных производных с соответствующими краевыми условиями, или численного решения нелинейной задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Ее решение в отличие от классического аналитического не имеет сингулярности для температуры в центре взрыва.
22
В п.2.3 рассматривается задача о промежуточной стадии взрыва в верхних слоях тропосферы, когда интенсивность ударной волны уже не очень велика, а область возмущенного взрывом воздуха имеет достаточно большую протяженность, так что следует учитывать такие дополнительные физические факторы как противодавление, неоднородность атмосферы и гравитацию. Кроме того, в приближении лучистой теплопроводности учитывается излучение. Как показали результаты расчетов, на этой стадии эволюции взрыва начинается закручивание потока воздуха в горячей центральной зоне, что приводит в дальнейшем к формированию вихревого кольца (тора).
В третьей главе исследуются задачи о точечном взрыве над подстилающей поверхностью в отсутствие и при наличии на/над ней тонкого слоя нагретого газа.
В п.3.1 приводятся некоторые результаты расчета отражения сферической взрывной волны от жесткой плоской поверхности в отсутствие теплового слоя. Рассматривается модель взрыва с простым механизмом диссипации энергии - учитывается излучение в приближении лучистой теплопроводности. Получены распределения давления на поверхности для регулярной и нерегулярной стадий отражения и пространственно-временные картины течения в области распространения падающих и отраженных ударных волн.
В п.3.2 исследуется задача о дифракции сферический ударных волн взрывного профиля на жесткой поверхности в присутствие протяженного приземного слоя горячего газа. Выявлены эффекты частичного запирания ударных волн в тепловом слое и более раннего перехода от регулярного отражения к маховскому. Подробно изучен процесс образования предвестника и интенсивного вихря за ним. Определено, что полученный режим распространения головной структуры фронта близок к автомодельному с
23
постоянным во времени углом наклона предвестника к поверхности, зависящим только от температуры газа в слое.
В п.3.3 представлены результаты численного эксперимента, в ходе которого установлено, что при взаимодействии сферических взрывных волн с плоской поверхностью при наличии на ней тонкого слоя нагретого газа, имеющего определенные протяженность и температуру, возможны реализация всех видов маховского отражения: прямого, стационарного и обращенного, и их переход друг в друга.
В п.3.4 рассматривается задача о взаимодействии сферических ударных волн с тепловыми слоями, расположенными над твердой плоской поверхностью. С целью контроля точности получаемых результатов расчеты велись как по разработанной неявной, так и по явной разностным схемам. В ходе численного эксперимента варьировались интенсивность ударных волн, температура теплового слоя, а также геометрические характеристики: толщина теплового слоя, его расстояние до поверхности, высота подрыва. Вариация этих параметров показала их заметное влияние на структуру течения в целом. Получено, что при достаточно высоких температурах газа в надповерхностном тепловом слое, он служит хорошей преградой от воздушных ударных волн, значительно понижая их интенсивность при выходе на подстилающую поверхность.
В четвертой главе исследуются задачи о распространении и эволюции одиночных термиков и вихревых колец.
В п.4.1 рассматриваются упрощенные модели термиков, разрешаемые с помощью анализа размерностей, аналитических методов (модели метеорологических термиков Андреева-Панчева ) и численных подходов, в рамках решения обыкновенных дифференциальных уравнений (модели термиков: огненного шара Христиановича и вихревого тора Онуфриева). Приводятся
24
примеры моделей конвективных и динамических колец в приближении несжимаемой жидкости ( идеальной и вязкой ).
В п.4.2 решается задача о всплывании крупномасштабного термика в стандартной атмосфере с учетом сжимаемости и вязкости среды. Прослежен процесс трансформации термика в конвективное вихревое кольцо, и выход последнего на автомодельный режим подъема Z ~ 1т и расширения Я ~ 11/2. Полученная при этом величина тангенса угла раствора dRJdZ = tg а=п«0,22-0,25, хорошо согласуется с опытными данными для крупномасштабных термиков. На примере этой задачи проводилось тестирование трехмерной программы, показавшее хорошую корреляцию как интегральных, так и локальных результатов двумерных осесимметричных и трехмерных расчетов.
В п.4.3 исследуется задача о подъеме приповерхностного полусферического термика, примыкающего в начальный момент времени к подстилающей плоскости, в приближении вязкого сжимаемого газа. Из анализа результатов расчетов обоснован выбор на поверхности примыкания граничных условий прилипания. Выяснено, что подстилающая поверхность не оказывает влияния на динамику подъема термика вплоть до касания им поверхности.
В п.4.4 решается задача о дрейфе термика в атмосфере при наличии бокового стратифицированного по высоте ветра. Учет трехмерности позволил выявить ряд новых интересных эффектов. Так, установлено, что в вязком газе при умеренных значениях числа Рейнольдса (1<е < 300) в ветровом потоке под действием сил Магнуса-Жуковского происходит разворот оси образовавшегося вихревого тора навстречу потоку, приводящий в итоге к замедлению его подъема. Чем больше скорость ветра и его стратификация, тем этот эффект сильнее проявляется. При больших же значениях числа Рейнольдса (И.е > 1000) этот эффект не имеет места и траектория термика - суть суперпозиция его
25
вертикального подъема за счет силы плавучести и сноса как целого в горизонтальном направлении ветровым потоком. Здесь же рассматривается задача о движении термика в интенсивных встречных воздушных потоках. Установлено, что процесс вихреобразования в нагретых облаках - терминах настолько устойчив, что ему не могут воспрепятствовать ни односторонние, ни встречные воздушные потоки со скоростью ветра, значительно превышающей скорости в самой вихревой структуре.
В пятой главе с помощью аналитических и численных подходов изучаются аспекты взаимодействия пар термиков и вихревых колец.
В п.5.1 решается задача о движении двух коаксиальных вихревых колец в несжимаемой жидкости. Исходная система уравнений Эйлера сводится к гамильтоновой системе, имеющей в случае идеальной среды для тандема тонких колец два независимых первых интеграла: один, выражающий закон сохранения энергии, второй - аналог закона сохранения импульса. Этих интегралов движения достаточно (по Лиувиллю) для интегрируемости системы в случае двух колец. Получено решение в виде так называемой чехарды вихрей, когда кольца попеременно с некоторым периодом меняются местами бесконечное число раз. При движении пары динамических вихревых колец в несжимаемой вязкой среде (в этом случае система уравнений неинтегрируема, поскольку имеет место только один независимый первый интеграл для импульса) реализуются два режима взаимодействия в зависимости от начального расстояния между ними: слияние в моновихрь после первого же догона переднего кольца задним и та же чехарда вихрей, но ограниченная во времени по причине диффузии завихренности.
В п.5.2 рассматривается задача о всплывании и взаимодействии двух соосных термиков в вязкой сжимаемой среде. В этом случае гоже осуществляются два режима взаимодействия: слияние в монообразование и чехарда вихрей для
26
колец, в которые трансформировались термики, ограниченная во времени из-за диффузии завихренности. Обнаружено, что заднее кольцо в тандеме изменяет асимптотику движения - его подъем происходит не по закону Ъ ~ \}п (как для одиночного кольца), а по закону Ъ ~ I2.
В п.5.3 исследуется трехмерная задача о подъеме и взаимодействии двух терминов, разнесенных в пространстве по горизонтали. В зависимости от начального расстояния между ними реализуются различные режимы. При не слишком больших расстояниях это слияние в единый вихрь, который или оказывается устойчивым и всплывает до высоты зависания или оказывается неустойчивым и разваливается (течение при этом переходит из замкнутого циркуляционного в расходящееся струйное). При больших расстояниях термики не взаимодействуют между собой и всплывают как одиночные аналоги.
В п.5.4 изучаются особенности подъема пары терминов, разнесенных в пространстве произвольно.
В п.5.5 рассматривается задача о всплывании и взаимодействии двух терминов, разнесенных на небольшое расстояние по горизонтали, в поле бокового стратифицированного по высоте среднестатистического ветра. Выяснено, что в этом случае действие ветра не приводит к ускорению или замедлению подъема монообразования, а также не оказывает влияния на максимальную температуру, а только приводит к неравномерному распределению температуры по периметру всего теплового объекта и его сносу как целого в направлении ветрового потока.
В шестой главе аналитическими и численными методами исследуются задачи о движении и взаимодействии цепочек и ансамблей терминов и вихревых колец.
27
В п.6.1 выяснено, что при аналитическом и численном решении задачи о движении цугов из трех тонких вихревых колец в приближении идеальной жидкости реализуются две возможности эволюции течения - упорядоченное и хаотическое (осуществление последнего режима связано с тем обстоятельством, что такая система колец весьма чувствительна к хаотизации во времени по причине сильной нелинейности исходных уравнений Эйлера и вытекающей из них динамической гамильтоновой системы). Причем заранее предсказать какой режим реализуется в той или иной ситуации невозможно, поскольку даже малое изменение одного из управляющих параметров задачи тут же приводит к переходу от одного режима к другому. При решении аналогичной задачи в приближении вязкого сжимаемого газа хаотичность не проявлялась, и также в некоторых случаях реализовывалась чехарда вихревых колец, ограниченная во времени из-за диффузии завихренности.
В п.6.2 решается задача о всплывании и взаимодействии четырех крупномасштабных приземных термиков в атмосфере. При выбранном начальном расстоянии между ними происходило слияние квартета вихревых колец, в которые трансформировались исходные термики, в одно кольцо, которое поднималось по известному автомодельному закону до высоты зависания. Выяснено, что при объединении в монообразование происходит аннигиляция внутренних и слияние внешних фрагментов каждого из четырех колец.
В п.6.3 исследуется задача о подъеме в атмосфере конгломерата из семи равных крупномасштабных приземных термиков, шесть из которых расположены равномерно на окружности, а один - в ее центре. Получено, что такой ансамбль термиков после их свертки в вихревые кольца через некоторое время сливается в одно кольцо большего размера, при этом происходит разрушение внутренних фрагментов периферийных колец и полное разрушение внутреннего кольца.
28
Замкнутое циркуляционное течение в объединенном кольце оказывается неустойчивым и вскоре разваливается, оставляя после себя только центральную восходящую вертикальную струю.
В седьмой главе рассматриваются задачи о взаимодействии ударных волн с термином и друг с другом.
В п.7.1 изучаются проблемы воздействия на сферический термик плоской ударной волны взрывного профиля. В ходе численного эксперимента подтверждены многие опытные данные и выявлено большое число новых эффектов, в том числе, например, возникновение интенсивного струйного течения по оси симметрии системы и явление кумуляции. Обнаружено сильное изменение режима остывания термика по сравнению с невозмущенным аналогом и стремление термика, сплющенного ударной волной, принять первоначальную сферическую форму после прохождения через него ударного фронта.
В п.7.2 исследуется задача о парном взрыве в атмосфере. Получена исчерпывающая информация о всех трех стадиях взаимодеГ.ствия: ударно-
волновой, промежуточной и конвективной. Подробно изучены оба этапа встречного столкновения сферических ударных волн - регулярный и нерегулярный (с формированием маховской конфигурации); прохождение ударных фронтов через границы горячих центральных областей взрывов (контактные разрывы), сопровождаемые образованием вторичных волн сжатия и разрежения; взаимодействие этих вторичных волн и разрывов друг с другом. Исследована промежуточная стадия, когда, помимо ударно-волновых движений, в результате воздействия гравитации внутри возмущенного взрывами газа начинают развиваться вихревые течения. Изучена заключительная стадия процесса, когда головные фронты уходят на большие расстояния от центров взрывов и вырождаются, вторичные ударные взаимодействия практически
- Київ+380960830922