Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости

СОДЕРЖАНИЕ
2
ВВЕДЕНИЕ 6
РАЗДЕЛ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ СРЕДЫ 19
1.1. Оцениваемые величины 19
1.2. Поиск параметров асимптотического интегрирования в случае естественного малого параметра 26
1.3. Поиск параметров асимптотического интегрирования в случае формального малого параметра 30
1.4. Связь между асимптотическим анализом и теорией групп 38
1.5. Выводы 44
РАЗДЕЛ 2. УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА 46
2.1. Нахождение параметров асимптотического интегрирования 46
2.2. Построение процедур последовательных приближений 50
2.3. Прифронтовая асимптотика 54
2.4. Медленноизменяющиеся асимптотики 66
2.5. Выводы 69 РАЗДЕЛ 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ 71
3.1. Введение параметров асимптотического интегрирования 71
3.2. Поиск параметров асимптотического интегрирования 76
3.3. Построение процедуры последовательных приближений 86
3.4. Обобщенное плоское напряженное состояние 88
3.5. Уточненное плоское напряженное состояние 94
3.6. Классические уравнения изгиба пластины 101
3.7. Уравнения изгиба пластины с учетом сдвига и инерции вращения 106
3.8. Уравнения типа Тимошенко 116
3
3.9. Выводы 118
РАЗДЕЛ 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЕРЕХОДНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ТОНКОМ СЛОЕ 120
4.1. Асимптотико-групповой анализ уточненных дифференциальных уравнений плоского напряженного состояния 120
4.2. Решение задачи о распространении продольной одномерной волны з слое 125
4.3. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений изгиба пластины с учетом сдвига и инерции вращения 137
4.4. Решение задачи о действии внезапно приложенного изгибающего момента на торец полубесконечной пластины 143
4.5. Решение задачи о действии внезапно приложенной перерезывающей силы на торец полубесконечной пластины 160
4.6. Решение задач в рамках классической теории изгиба пластины 171
4.6.1. Вычисление вспомогательных интегралов 171
4.6.2. Действие внезапно приложенного изгибающего
момента 174
4.6.3. Действие внезапно приложенной перерезывающей силы 185
4.7. Решение задач в рамках теории типа Тимошенко 192
4.8. Выводы 202 РАЗДЕЛ 5. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В
КРИВОЛИНЕЙНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 204
5.1. Введение параметров асимптотического интегрирования 204
5.2. Поиск параметров асимптотического интегрирования 210
5.3. Построение процедуры последовательных приближений 214
5.4. Коэффициенты уравнений теории упругости в специализированной системе координат 216
5.5. Вывод динамических уравнений теории оболочек 218
5.6. Безразмерная форма динамических уравнений теории оболочек 228
5.7. Коэффициенты уравнений теории упругости в произвольной системе координат 231
5.8. Динамические уравнения теории оболочек в произвольной системе координат 232
5.9. Выводы 239
РАЗДЕЛ 6. АСИМПТОТИКО-ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ УТОЧНЕННЫХ
УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 241
6.1. Построение процедуры последовательных приближений 241
6.2. Прифронтовые асимптотики 245
6.3. Быстроизменяющиеся напряженно-деформированные состояния 250
6.4. Уравнения изгиба пологой оболочки 254
6.5. Варианты безмоментных уравнений оболочки 257
6.6. Квазиодномерные уравнения изгиба оболочки 265
6.7. Выводы 267
РАЗДЕЛ 7. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ
ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 269
7.1. Уравнения цилиндрической оболочки 269
7.2. Решение задач о действии внезапно приложенных изгибающего момента и продольного усилия на торец полубесконечной оболочки 272
7.3. Решение задачи о действии внезапно приложенной перерезывающей силы на торец полубесконечной оболочки 277
7.4. Исследование прифронтовых зон 281
7.5. Приграничная асимптотика для случая продольной нагрузки 285
7.6. Приграничные асимптотики для случаев изгибных нагрузок 291
7.7. Выводы 301
5
ВЫВОДЫ 302
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 306
ВВЕДЕНИЕ
6
В теории дифференциальных уравнений - как обыкновенных, так и в частных производных - видную роль играют два подхода. Один, основанный на использовании каких-либо соображений симметрии и математически связанный с применением теории групп; другой, основанный на упрощении рассматриваемых уравнений и известный как асимптотический анализ.
Как известно, применение теории групп к проблеме решения алгебраических уравнений произвольной степени в радикалах связано, в первую очередь, с именем Э. Галуа. В дальнейшем работы Э. Галуа были продолжены и развиты К. Жорданом.
Ученик К. Жордана С. Ли рассмотрел задачу применения методов теории групп к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. С. Ли были заложены основы теории непрерывных групп преобразований. Широкий класс непрерывных групп известен ныне под его именем.
Однако в дальнейшем получили развитие, в первую очередь, теоретические аспекты теории групп 174,94,1041. Те же результаты, которые касались связи теории групп с исследованием дифференциальных уравнений, были временно забыты.
Как указывает Л.В. Овсянников |б7], это объясняется несколькими обстоятельствами. Во-первых, задача нахождения группы преобразований, допускаемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, оказалась, вообще говоря, не проще, чем задача интегрирования этой системы. Во-вторых, аппарат С. Ли не позволял решать краевые задачи теории дифференциальных уравнений, поскольку изучению в нем подвергались только локальные свойства семейства решений в окрестности некоторой точки. В-третьих, оказалось, что хотя теория С. Ли применима не только к изучению обыкновенных дифференциальных уравнений, но и к изучению дифференциальных уравнений в частных произ-
7
водных, произвольно взятая система таких уравнений не допускает обычно никакой группы преобразований, кроме тривиальной, состоящей из одного тождественного преобразования.
Задачу возрождения теории С. Ли применительно к конкретным системам дифференциальных уравнений, возникающим в прикладных вопросах, поставил перед собой Л.В. Овсянников 167-70]. Оказалось, что имеется целый ряд проблем, решение которых может быть плодотворным при помощи методов теории групп. Это, в первую очередь, относится к изучению дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в различных задачах механики и физики.
Уравнения, описывающие какие-либо конкретные физические процессы, как правило, допускают нетривиальные группы преобразований, позволяющие глубже изучить свойства этих уравнений. Основным результатом Л.В. Овсянникова было развитие теории инвариантно-групповых решений. В рамки этой теории попадает большинство ранее известных частных решений уравнений механики; были найдены также некоторые новые решения задач гидроаэромеханики. В дальнейшем ряд результатов был получен и для задач теории упругости и пластичности 19].
Тем не менее, чаще всего оказывается, что и при изучении конкретных задач группа преобразований, допускаемая заданной системой уравнений, является сравнительно “бедной” и сведения, полученные о системе уравнений с помощью методов теории групп, не являются новыми или даже носят тривиальный характер.
В работе |68] Л.В. Овсянников отметил, что упрощенные системы уравнений, используемые для моделирования некоторой заданной системы, допускают, как правило, более широкие группы преобразований, чем исходная система. Там же была поставлена задача нахождения общих принципов моделирования данной системы уравнений более простой
8
системой, допускающей более широкую группу по сравнению с исходной системой.
Иными словами, Л.В. Овсянников поставил задачу о нахождении связи между теорией групповых свойств дифференциальных уравнений и методами асимптотического анализа.
Под асимптотическим анализом понимается очень большая область исследований, связанная с теми или иными упрощениями, производимыми в процессе решения уравнений (см., например, [57]). Совершенно невозможно дать в рамках настоящего введения обзор всех вариантов асимптотического анализа, поэтому остановимся очень кратко только на некоторых вопросах, связанных с теорией пластин и оболочек.
Уравнения оболочек содержат естественный малый параметр, равный отношению толщины оболочки к какому-либо из ее радиусов; это позволяет во многих случаях использовать упрощенные уравнения — моментные, безмоментные, полубезмоментные и так далее. Применение таких уравнений широко распространено, поэтому можно считать, что теория оболочек и асимптотический анализ неразрывно связаны (6,7,21 — 24,27,29,46.56.65.66.75,89-91,93,95,109,110.112,119-122,1241.
Особо выделяется современное направление обоснования уравнений пластин и оболочек при помощи асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости [15,43,109,110,112,113,121,122, 1241. Здесь следует особо отметить труды А.Л. Гольденвейзера [25-28] и представителей его школы [31,37-41,111].
Все применения асимптотического анализа к теории оболочек (как и к другим теориям) отличаются общей особенностью. Оценки весов тех или иных членов уравнений производятся, как правило, на основе интуитивных соображений, требующих значительной предварительной информации об искомом решении. Такой подход оправдывает себя в относительно простых случаях (относительно, потому что простых задач здесь не бывает), но приводит к значительным проблемам с увеличением
9
сложности задач. Труднопреодолимые проблемы возникают даже тогда, когда целью асимптотического анализа является не получение новых результатов, а обоснование уже известных, например, уравнений пластин и оболочек, полученных на базе каких-то гипотез.
Теоретическим вопросам, связанным с обоснованием ряда проблем, возникающих при асимптотическом анализе, посвящены работы [17-20].
Выделим особо класс динамических задач, поскольку в них все указанные проблемы обостряются.
Как известно, классические динамические уравнения изгиба пластин и оболочек являются уравнениями параболического типа, то есть им соответствует бесконечно большая скорость распространения возмущения.
После того как С.П. Тимошенко вывел уравнения изгиба балки, учитывающие эффекты сдвига от перерезывающей силы и инерции вращения ]90], с целью уточнения высоких частот колебаний, было замечено, что эти уравнения имеют гиперболический тип, то есть описывают распространение возмущений с конечной скоростью.
Появились работы, например, [92,106-108], посвященные исследованию распространения нестационарных волновых процессов в балке типа Тимошенко.
Я.С. Уфлянд ]92] и Р. Миндлин [117] применили идеи С.П. Тимошенко к выводу уточненных уравнений динамики пластин. Это стимулировало дальнейшие исследования в области получения уравнений пластин и оболочек типа Тимошенко [1,2,123], а также еще более точных уравнений [33, 43,75,78-82,88].
Значительный вклад в исследования нестационарных задач пластин и оболочек внесла научная школа под руководством H.A. Алумяэ [1-6,10-14,48,58-64], В качестве основного инструмента решения задач в ней были приняты интегральные преобразования. Асимптотические методы применялись в процессе обращения искомых функций.
10
Особо здесь следует выделить исследования У.К. Нигула [48,58-64[, рассматривавшего вопросы обоснования динамических уравнений пластин и оболочек при помощи решения трехмерных уравнений теории упругости с применением различных аналитических и численных методов.
Интегральные преобразования как основной инструмент решения задач применялись также в работах Л.И. Слепяна |88|.
Подробные обзоры исследований по динамике пластин и оболочек можно найти, например, в работах [3,30]. Остановимся на некоторых из существующих здесь проблем.
Использование интегральных преобразований, даже в сочетании с асимптотическим анализом, приводит к своим трудностям. В докладах
H.A. Алумяэ 15] и У.К. Нигула [64] было указано на отсутствие прогресса в решении двумерных задач теории оболочек, то есть таких, в которых решение зависит от двух пространственных координат. В качестве актуальных указывались задачи о распространении упругих волн от точки приложения сосредоточенной силы или от края кругового выреза в цилиндрической оболочке типа Тимошенко.
Для решения подобных задач нужны были новые идеи. Отметим, в связи с этим, работы Л.И. Маневича [50-55], который один из первых обнаружил, что ситуации типа основного состояния и погранслоя могут возникать в самых различных задачах, далеких от традиционных областей применения асимптотического анализа. Он же выяснил, с позиций асимптотического анализа, необходимость совместного применения асимптотического анализа и теории групп.
Дело в том, что в асимптотическом анализе отсутствует четкий критерий упрощения, достигаемого при отбрасывании тех или иных членов уравнений. Легко можно представить ситуацию, когда отбрасывание каких-то членов может испортить уравнения, а не упростить их.
11
В связи с этим Л.И. Маневич предложил считать критерием истинного упрощения при асимптотическом анализе уравнений расширение допускаемой группы преобразований [53]. Более того, он предложил считать расширение допускаемой группы преобразований целью асимптотического анализа, поскольку это создает новые возможности при решении уравнений. Отметим также широкое использование в работах Л.И. Маневича критерия минимального упрощения.
Таким образом, подход Л.И. Маневича можно считать встречным по отношению к подходу Л.В. Овсянникова в проблеме сочетания теории групповых свойств дифференциальных уравнений и асимптотического анализа.
Именно использование идей Л.И. Маневича позволило автору достичь эффективных результатов при решении одномерных и двумерных задач о распространении нестационарных волновых процессов в рамках теории пластин и оболочек типа Тимошенко. Сочетание методов асимптотического анализа и теории групп [96-99] позволило, в частности, решить и задачу, поставленную Н.А. Алумяэ и У.К. Нигулом.
Здесь нужно отметить, что в принципе, все методы решения дифференциальных уравнений так или иначе основаны на теории групп. В работе [16] показано, что все широко распространенные элементарные и специальные функции связаны с представлениями некоторых групп преобразований.
Использование тригонометрических функций в интегральных преобразованиях опирается на группы переносов по пространственным координатам и времени. Такие группы допускаются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Но при этом в основу кладутся стационарные частные решения уравнений; решения нестационарных задач строятся в виде суперпозиций решений стационарных задач, что и порождает соответствующие проблемы.
12
В отличие от этого, решение всех задач в работах [96—991 ищется в виде рядов функций, инвариантных относительно растяжений пространственной координаты и времени (автомодельных). При этом уже в первом приближении определяются разрывы на фронтах распространяющегося возмущения, а последующие приближения позволяют описать и зоны, удаленные от фронтов, вплоть до нагруженной границы.
Для дальнейшего развития предложенного метода необходимо было преодолеть некоторые проблемы. Во-первых, оказалось, что малоперспективно тратить усилия на исследования прифронтовых зон в рамках теории типа Тимошенко. Результаты многочисленных трудов различных исследователей привели, к этому времени, к пониманию того, что уравнения типа Тимошенко, несмотря на свой гиперболический тип, непригодны для описания принципиально трехмерных прифронтовых зон. Они дают как неправильные скорости распространения фронтов, так и неверные картины распределения напряженно-деформированного состояния по толщине слоя.
Во-вторых, предложенное сочетание методов теории групп и асимптотического анализа требовало более глубокого обоснования и разработки технологии применения для менее очевидных случаев, чем исследование прифронтовых зон.
Естественным было применение асимптотико-группового анализа вначале для вывода уравнений пластин и оболочек, более точных, чем уравнения типа Тимошенко, а затем уже для решения этих уравнений с исследованием как быстроизменяющихся прифронтовых зон, так и медлен ноизмен я ющихс я приграничных и других зон с полным охватом всей возмущенной области.
Решению этих задач и посвящена данная работа.
Главное препятствие, которое пришлось преодолевать при синтезе теории групп и асимптотического анализа оказалось, как ни странно, связанным с сильной развитостью этих двух теорий. Их самостоятельное
13
развитие привело к значительным результатам, но осуществлялось в формах, мало пригодных к стыковке.
Поэтому для совместного применения методов теории групп и асимптотического анализа пришлось, фактически, создать заново простейшие варианты этих методов. Особенно это касается теории групп. Применяемые здесь группы преобразований являются, чаще всего, даже не локальными группами Ли, а просто группами алгебраических преобразований. При этом исследуемые дифференциальные уравнения рассматриваются как алгебраические, а дифференциальные операторы воспринимаются как числовые множители.
Именно такие упрощения и позволили решить поставленные задачи. При этом появилась возможность алгоритмизации асимптотикогруппового анализа с решением такой сложной задачи, как поиск параметров асимптотического интегрирования, формальным методом с применением ЭВМ.
Несмотря на относительную простоту, предлагаемый здесь метод обладает высокой эффективностью. С его помощью удалось как получить новые, асимптотически обоснованные варианты динамических уравнений пластин и оболочек, так и продемонстрировать достоинства этих уравнений путем решения, на их основе, ряда задач. Во всех случаях решения разыскиваются как инвариантно-групповые и результаты доводятся до наглядных графических представлений и замкнутых асимптотических формул для прифронтовых и приграничных зон.
Указанная выше простота применяемого аппарата облегчает его восприятие. От читателя практически не требуются специальные знания в области теории инвариантно-групповых решений и асимптотического анализа; все необходимые сведения весьма просты и излагаются по мере применения.
14
Актуальность темы
Несмотря на значительное развитие в настоящее время численных методов решения задач с применением ЭВМ, аналитические методы сохраняют большое значение. Совместное применение методов теории групп и асимптотического анализа позволяет значительно увеличить возможности решения сложных задач математической физики при помощи аналитических методов, а также совместного применения аналитических и численных методов. Особенно эго относится к задачам, в которых имеются зоны с различной изменяемостью искомых величин по пространственным аргументам и времени, например, зоны типа основного состояния и пограничного слоя.
Применение разработанных методов решения задач уже нашло и может найти дальнейшее применение в расчетах на прочность в авиационной и космической технике и в других современных наукоемких областях техники.
Связь работы с научными программами, планами, темами
Работа производилась в соответствии с планом госбюджетных работ № 21-1 Г/95 Министерства образования Украины.
Цель и задачи исследования
- построение синтетического метода, объединяющего методы теории групп и асимптотического анализа.
- получения, при помощи предлагаемого метода, асимптотически обоснованных вариантов динамических уравнений теории пластин и оболочек па базе трехмерных уравнений теории упругости
- решения конкретных задач об излучении нестационарных упругих волн в пластинках и оболочках с использованием как известных, так и вновь предлагаемых уравнений и сравнения получаемых по различным теориям результатов.
Научная новизна полученных результатов
Научная новизна работы состоит в следующем:
15
- разработан синтетический метод, объединяющий основные идеи теории групп и асимптотического анализа и позволяющий повысить степень практической применимости теории групп и теоретической обоснованности асимптотического анализа;
- при помощи предложенного метода построены уточненные варианты двумерных динамических уравнений теории пластин и оболочек, отличительной особенностью которых является то, что скорости распространения фронтов волн всех видов, в соответствии с этими уравнениями, совпадают со скоростями распространения фронтов аналогичных волн в соответствии с трехмерными уравнениями теории упругости.
- последовательное применение асимптотико-группового анализа позволило решить ряд нестационарных задач об излучении упругих волн как в рамках известных, так и вновь предлагаемых уравнений.
- проведен сравнительный анализ полученных решений; показано, что решения на основе вновь предлагаемых уточненных уравнений демонстрируют ряд качественных эффектов, не фиксируемых известными уравнениями и позволяющими глубже изучить картину распространения нестационарных волновых процессов в тонком слое.
Практическое значение полученных результатов
Главным результатом работы является построение методики асимптотико-группового анализа, которая может найти применение к решению самых разнообразных задач, в которых применяются алгебраические и дифференциальные уравнения, как минимум, всех, в которых применяются известные ранее методы асимптотического анализа.
Благодаря сочетанию с теорией групп вновь предлагаемая методика значительно облегчает решение ряда принципиальных вопросов асимптотического анализа: поиск параметров асимптотического интегрирования; указание асимптотически обоснованных границ применения получаемых упрощенных уравнений; построения решений упрощенных урав-
16
нений; проверки соблюдения всех асимптотических оценок для построенных решений.
Построенные уточненные динамические уравнения пластин и оболочек могут найти применение к решению как теоретических, так и практических задач.
Проведен асимптотический анализ не только вновь предлагаемых, но и известных уравнений теории пластин и оболочек, что позволило уточнить сферы обоснованного применения этих уравнений.
Личный вклад соискателя
Идея обоснования асимптотического анализа при помощи методов теории групп была впервые сформулирована Л.И. Маневичем (53]. Соискателю принадлежит практическая разработка этой идеи и ее воплощение в решение реальных задач. При этом рассматривались два главных типа задач. Во-первых, вывод двумерных уравнений теории пластин и оболочек на основе асимптотико-группового анализа трехмерных уравнений теории упругости. Во-вторых, решение задач об излучении нестационарных упругих волн на основе как ранее известных, так и вновь полученных уточненных уравнений.
Некоторые из приведенных в диссертации задач легли в основу кандидатской диссертации И.А. Скрыпник [83], выполненной под руководством В.И. Пожуева и автора.
Апробация результатов диссертации
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 111 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (1968г., Москва), на VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок (1969г., Днепропетровск), на 1-м Украинско-польском научном семинаре по механике материалов и конструкций (1993г., Днепропетровск), на международной научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» (1995г., Мелитополь), на городском семинаре по механике г. Таллинна
17
под руководством проф. Нигула У.К., на семинаре Института проблем механики АН СССР под руководством проф. Гольденвейзера А.Л., на семинаре Московского государственного университета под руководством акад. Работнова Ю.Н., на семинаре Вычислительного Центра АН СССР под руководством акад. Моисеева H.H., на семинаре Московского Института стали и сплавов под руководством проф. Треногина В.А., на семинаре Ленинградского государственного университета под руководством проф. Товстика П.E., на семинаре Ленинградского государственного университета под руководством проф. Баранцева Р.Г., на семинаре Ленинградского педагогического института под руководством проф. Матвеева Н.М., на семинаре Института Гидродинамики СО АН СССР под руководством проф. Ибрагимова Н.Х., на семинаре Института Гидродинамики СО АН СССР под руководством проф. Аннина Б.Д. В целом диссертация докладывалась на научных семинарах кафедр: программного обеспечения и математического моделирования Запорожской государственной инженерной академии (1996г.), теоретической механики Днепропетровского государственного университета (1996г.), семинаре Днепропетровского университета под руководством акад. НАН Украины Мосса-ковского В.И. (1996г.); на семинаре Института гидромеханики ПАН Украины под руководством проф. Селезова И.Т. (1997г.). на семинаре Харьковского политехнического университета под руководством акад. НАН Украины Рвачева В.Л. (1997г.) и на семинаре Киевского государственного университета под руководством член.-корр. НАН Украины Улитко А.Ф. (1997 г.); на семинаре Института механики НАН Украины под руководством акад. НАН Украины Григоренко Я.М. (1998 г.); на семинаре Института математики НАН Украины под руководством д.ф.-м.н. Никитина А.Г. (1999 г.); на семинаре Института проблем механики РАН под руководством проф. Александрова В.М.
18
Публикации
Материалы диссертации практически полностью опубликованы в монографии [103]. Основные материалы диссертации опубликованы также в работах [51-55,71-73,76,77,84-87,96,98-1031.
19
РАЗДЕЛ 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ СРЕДЫ
В работе [521 метод асимптотического анализа был применен к дифференциальным уравнениям теории упругости для ортотропной среды. При этом параметры асимптотического интегрирования разыскивались на основе интуитивных соображений. В работе [101] был изложен автоматизированный метод поиска параметров асимптотического интегрирования. Здесь, в обобщение указанных работ, показана связь асимптотического анализа и теории групп, а также связь между естественными параметрами и формальным малым параметром.
1.1. Оцениваемые величины
Рассмотрим дифференциальные уравнения плоской задачи теории упругости для ортотропной среды [49]:
B,a*u + Gd*u + (B,|i2 + G)dxdyv = О (1.1.1)
П2д]у + Gdxv + (В2д, +■ С)оДи = 0
Здесь х} у - декартовы координаты; дх=д/дх, су-д!ду; u.v -
компоненты вектора перемещений; Bl9 В2- жесткости на растяжение-
сжатие, G - жесткость на сдвиг; р]5 р2- коэффициенты Пуассона;
Bjp2 = B2Pj -
Веса слагаемых в (1.1.1) зависят от постоянных коэффициентов, величин искомых функций и дифференциальных операторов. Оценим каждую из указанных величин:
u~b|, v~b2, ax~b3, 3y~b4, Bj-bj, Из~b6, G~b7,В,м,ч<3=ВэЦ, +G~bj, (1.1.2) Здесь - некоторые константы. Дня постоянных коэффици-
ентов эти константы являются самими коэффициентами, а для перемен-
20
ных величин всегда возможны локальные оценки вида (1.1.2). При этом также предполагается, что действие операторов дх и ду приводит к одинаковым относительным изменениям обеих искомых функций и И V.
Возьмем некоторую величину б<1 и выразим константы Ь|,...,Ь8 в
виде:
Ь, = 8**' (1 = 1....,8), (1.1.3)
получая вместо (1.1.2):
и~8р|, у~8р2, Зх ~ 8Рз, ду ~ 8р4, В, ~ 8Р5, В2~8р6 (1.1.4)
О ~ 8Р7, В,ц2 + в = В2ц, + в ~ 8Р*
Подобная замена оценок вида (1.1.2) на (1.1.4) позволяет перейти в уравнениях (1.1.1) от мультипликативных величин Ь],... ,Ь8 к аддитивным величинам Р],...,Р8. Преобразуем (1.1.4) к форме:
и = 8Р|и*, V = 5р2у*. дх = 5Рздх, ду = 8р,а*. В, =8р5В* (1.1.5)
В2=6р‘В;, й = 8р7С*, В,ц2 + в = В2ц, + в = 8р8(В,ц2 + О*
и*~1, V* —1? Э*х~1, 5* ~1, В;~1, В2 ~ 1, 0*~1, (В,ц2 + 0)*~1 (1.1.6)
Преобразования (1.1.5) - это обычные преобразования растяже-ния, хорошо известные в теории групп. Если представить величину б в
виде 5 = ет(т<0), то и форма записи этих преобразований совпадет с общепринятой в теории групп [67].
В результате преобразований (1.1.5) уравнения (1.1.1) приобретают вид:
5Р,+2Эз+э5В*^и* + §р1+2Э4+р70*^*2и* + §р2+Эз+Э4+р8(В1^2 +0)*д*хд*у\* = О (1.1.7) бр2 +2Р4 +Р6 в*д'2^ + 5Р2-2Рз +Р7+ §Э| ^ + С)*£*0*Д1* = °
В соответствии с (1.1.6) вес каждого члена в каждом из уравнений (1.1.7) полностью определяется тем коэффициентом в виде некоторой степени б, которую этот член приобрел в результате преобразований
(1.1.5).
21
Найдем, в первую очередь, те преобразования вида (1.1.5), относительно которых уравнения (1.1.1) инвариантны. Эти преобразования не изменяют относительных весов членов уравнений. Их поиск производится очевидным образом путем приравнивания между собой показателей степени 6, соответствующих каждому из уравнений (1.1.7):
р1 + 2рз + Рб = р! + 2р4 + р7 = р2 + Рз + р4 + Р8 (1.1.8)
Р2 + 2Р4 + р6 = р2 + 2р3 + р7 = р! + Рз + Р4 + р8
Решая четыре уравнения (1.1.8) относительно восьми искомых величин р,,...,р8 получаем следующую фундаментальную систему решений: 1. р1=р2 = у]> Рз =...= (38 = 0 . 2. Рз=Р4=У2, Р] = р2 = Р5 =...= р8 = 0.
З.р5 =...= р8 = Уз» Р1 =...= р4 = 0. 4. р, =-~Р4 =у4, Р5 =~Рб = _2у4, р2 = Рз = = Р7 = р8 =
Этим четырем решениям соответствуют четыре вида преобразований растяжения:
и = и*, V = 671 V*, дх ду В, = В^В2 = В2,0 = О* (1.1.9)
ВI р. 2 + С = (В^ + О)*
и = и*,у = у*,ах =5^6*,ау =5У2а;,в, = в;,в2 = в;,о = с* (1.1.10)
В1р2+0 = (В1р2+0)*
и = и*,у = у*,0х = а;,ау = а*, в, =8^в;,в2=5^в*2 (1.1.11)
О - 8**0*, В,р2 + О = 8*а(В,ц2 + Ст) *
и = бу< и*, V = V*, ах = а’,ау = б~'/4а^, в, = 8~2у4в* (1.1.12)
В2 = 82*4В2, С = С*, В,р2 + С = (В,р2 + О)*, относительно которых инвариантны уравнения (1.1.1).
Пусть теперь заданы преобразования (1.1.5) с произвольными значениями Р,,...,Р8, приводящие к соотношениям (1.1.6). Выполним последовательно преобразования (1.1.5) и (1.1.9),...,(1.1.12), приходя к их суперпозиции:
ц = §Рі+гі+ї4 и\ V = у\ дх =6^а;,ау = 5^“^ (1.1.13)
В! = 6^-2у<В;,В2 =б^'Уз+2у-,В2,С =5^^Сч-в = 5^43^2 + С)*
Поскольку преобразования (1.1.9),...,(1.1.12) не изменяют вида уравнений (1.1.1) (после сокращения на возникающие общие множители), то не изменяются, в результате этих преобразований, и асимптотические оценки весов членов этих уравнений. Отсюда следует, что кроме решения, приводящего в результате преобразований (1.1.5) к соотношениям (1.1.6) и соответствующего каким-то фиксированным значениям (3,,...,р8, существует бесконечное множество других решений, связанных с исходным при помощи преобразований (1.1.9),...,(1.1. і2) и дающих те же относительные веса членов уравнений (1.1.1). Однако для произвольного решения из этого множества соотношения (1.1.6) уже не выполняются. В самом деле, выполнение, вслед за преобразованиями
(1.1.5), преобразований (1.1.9),...,(1.1.12) заменяет (1.1.6) на соотношения:
и* - 8“*-*«, V* ~ Г* , - 5~у2, д* ~ 5-^4 э В; - §-уз+2ї4 (1.1.14)
в; ~ 8-Уз-2У4 ? о* ^ §-7з, (В,р2 + О* - 8‘*
Таким образом, преобразования (1.1.5) и соотношения (1.1.6) заменены эквивалентными для целей асимптотического анализа преобразованиями (1.1.13), приводящими к соотношениям (1.1.14) с произвольными у,,..„у4.
Исключим из (1.1.13) и (1.1.14) величины уь...,у4, переходя, таким образом, к инвариантам четырехпараметрической группы преобразований (1.1.9),.. .,(1.1.12):
23
а, = Р, - Р2 + 0.25(Р5 - рб), а2 = р3 - р4 + 0.25(р5 -р6) (1.1.17)
а3 = Р7 - 0.5(Р5 + Р6), а4 = р8 - 0.5(р$ + Р6)
Таким образом, фактически при асимптотическом анализе следует подвергать оценкам не исходные величины, входящие в уравнения, а инварианты группы растяжений, допускаемой уравнениями. При этом количество оцениваемых величин уменьшается на число допускаемых однопараметрических подгрупп растяжений. В данном случае вместо восьми исходных величин оцениваются четыре инварианта (1.1.16). (Здесь следует отметить, что форма представления инвариантов (1.1.16) неединственна. Любая комбинация инвариантов дает вновь инвариант, что позволяет представлять инварианты в различных видах. Неизменным остается только количество независимых инвариантов - в данном случае четыре.)
Если бы уравнения (1.1.1) были алгебраическими, то есть величины дк и ду являлись просто числовыми множителями, то можно было
бы легко перейти из восьмимерного пространства исходных величин в четырехмерное пространство инвариантов, представляя уравнения в виде:
1,1|+1,1з+1г14 =0; 1 + 1|1, + 1,1214=0 (1.1.18)
Для дифференциальных уравнений такой непосредственный переход лишен смысла, однако, сохраняя прежнюю форму уравнений (1.1.1), можно для целей асимптотического анализа работать с инвариантами, а не с исходными величинами. Для этого, пользуясь произвольностью величин у1,...,у4, подберем их значения так, чтобы в каждом из инвариантов (1.1.16) подвергалась растяжению только одна из входящих в инвариант величин, а остальные оставались неизменными. Пусть, например, в инварианте ^ растягивается только величина и, в 12-дх, в 13 - в, и в + а остальные величины остаются неизменными. Тогда, в
24
соответствии с (1.1.13), нужно положить: (32+У1 = 0? Р4+у2-у4=0, Р5+Тз-2У4 = 0, (36 + У} + 2у4 = 0, откуда:
У, = -Р2, У2 = -Р4 + 0.25(р5 - р6),уз = -0.5(р5 + р6), у4 = 0.25(р5 -рб) (1.1.19) В силу (1.1.19) преобразования (1.1.13) примут вид: и = 5а‘и*, V = V*, дх =6а2д^ду = д*у9Вх = В;,В2 = В2 (1.1.20)
в = 6а>С*, В]Р2 + С = 6а* (В,р2 + О * с прежними значениями аь...3а4 (1.1.17).
Преобразования (1.1.20) эквивалентны преобразованиям (1.1.15), однако преобразуются теперь не инварианты, а часть из исходных величин. Величины у,ду. В, и В2 не подвергаются преобразованиям, служа
как бы эталонами для преобразуемых величин. При этом соотношения I* ~ 1 (1 = 1,...,4) из (1.1.15) целесообразно представить в форме:
u* ~ ^ v*’ э* ~ ]1¥ д'у' ~ ’(В|Й2+G)* ~ ( 1 '121}
Таким образом, окончательно получаем, что для оценки весов членов уравнений (1.1.1) необходимо применять преобразования (1.1.20), требуя, чтобы выполнялись соотношения (1.1.21).
Рассмотрим еще один, промежуточный вариант между уравнениями вида (1.1.1) и вида (1.1.18). Среди инвариантов (1.1.16) два - 13 и 14 величины постоянные, что позволяет свободно оперировать с ними, несмотря на наличие в уравнениях (1.1.1) дифференциальных операторов. В двух других инвариантах -1, и 12 можно легко выполнить замены переменных с целью упрощения вида этих инвариантов. Введем обозначения:
U = ^11, V = V, Х=х, Y = Jfi-y, а=1,. Ь = 14, (1.1.22)
получая из (1.1.1) уравнения:
25
д^\] + аду и + Ьдхду V = 0; д\V + ад*У + Ьдх0уи = 0 (1.1.23)
Уравнения (1.1.23) содержат наименьшее возможное количество параметров-коэффициентов по сравнению с уравнениями (1.1.1). Для них преобразования (1.1.20) принимают вид:
и = 5а,и*, У = У*, дх=&*дх9 ду=ду, а = 8аэа*, Ь = 5а4Ь* (1.1.24) В силу этих преобразований должны выполняться соотношения: и*~У*, дх-ду, а* ~ 1, Ь*~1 (1.1.25)
Таким образом, частичный переход к инвариантам позволил записать наиболее простую форму как уравнений, так и выполняемых преобразований растяжения и соответствующих асимптотических соотношений.
Покажем еще один вариант перехода к уравнениям (1.1.23). В преобразованиях (1.1.9), (1.1.10) подвергаются растяжениям только переменные величины. Поэтому переход к их инвариантам Т, = и / V, ]2 = дх/ду в дифференциальных уравнениях (1.1.1) лишен смысла. Для преобразований (1.1.11), (1.1.12) инварианты будут:
Кг = ,, К,.*, 0.1.26)
Замены (1.1.22) и означают, фактически, переход к этим инвариантам. Использовав две .подгруппы растяжений (1.1.11), (1.1.12), мы снижаем на два размерность пространства величин, в которых записаны дифференциальные уравнения; две подгруппы (1.1.9) и (1.1.10) остаются, принимая в преобразованных величинах вид:
И = б71 и*, V = V*, дх = дх, ду = ду, а = а*,Ь = Ь * (1.1.27)
и = 1Р\У = У*,дх = ЬУ2д*Хчду = 8Г2ду, а = а*,Ь = Ь* (1.1.28)
Они используются в (1.1.24) и (1.1.25), позволяя преобразовывать и сравнивать не каждую из величин и, У,дх,су в отдельности, а только относительные значения величин У и V, а также дх и ду.
26
Таким образом, для целей асимптотического анализа используются все четыре подгруппы преобразований (1.1.9),...,(1.1.12), однако способы их использования могут быть разными по форме.
1.2. Поиск параметров асимптотического интегрирования в случае естественного малого параметра
Предположим, что в уравнениях (1.1.23) из физических соображений известно, что коэффициенты а и Ъ являются величинами одного порядка и при этом значительно меньше единицы. Тогда один из этих коэффициентов может быть взят в качестве естественного малого параметра е:
Ь~а = е<1 (1.2.1)
При этом оценки весов членов уравнений (1.1.23) можно выполнять при помощи преобразований:
и = 8а'и*, У = У*, дх=еа‘дх, ду=ду, (1.2.2)
приводящих к соотношениям:
и*-У*, д*х~ду (1.2.3)
Здесь, в отличие от преобразований (1.1.24) и соотношений (1.1.25), учтено, что веса коэффициентов а и Ь заранее известны. Однако, как и прежде, рассматриваются не абсолютные значения искомых функций и дифференциальных операторов, а их сравнительные величины.
Выполняя преобразования (1.2.2) получим, в силу (1.2.3), что вес каждого члена уравнений (1.1.23) будет оцениваться возникающим множителем в виде некоторой степени 8. Не выписывая самих преобразованных уравнений, приведем только показатели степени 8, располагая их в том же порядке, что и соответствующие члены уравнений (1.1.23): а, + 2а2,а1 + 1,а2 + 1; 0,2а2 + 1,а, -ьа2 +1 (1.2.4)
27
Чем меньше какой-либо показатель степени в таблице (1.2.4), тем больше соответствующий член в том или ином уравнении. Таким образом, таблица (1.2.4) дает полную информацию о весах членов уравнений
(1.1.23) в зависимости от значений параметров а, и а2.
Рассмотрим два способа отыскания значений параметров асимптотического интегрирования, в данном случае, «ьа2. Первый из них, наиболее распространенный, основан на какой-то предварительной информации об искомом решении. Например, при и<У будет а,>0, а при
и > V - «| < 0; при 8Х < ду будет а2 > 0, при дх>ду -а2<0. Таким образом, знание искомого решения или, по крайней мере, какие-то интуитивные соображения о его характере могут помочь в отыскании значений ОфС^.
Применим здесь другой способ, не использующий никакой предварительной информации об искомом решении, а основанный на формальных рассуждениях. Рассмотрим плоскость аьа2 (рис 1.1). Произвольному выбору изображающей точки на этой плоскости будет соответствовать, в общем случае, таблица (1.2.4), в которой все показатели степени как в первой, так и во второй строке будут различными. Наименьшему из них в первой строке будет соответствовать наибольший член первого из уравнений (1.1.23), а наименьшему показателю во второй строке -наибольший член второго уравнения. Оставляя наибольшие члены и отбрасывая второстепенные, мы получаем в упрощенных уравнениях по одному члену.
Рассмотрим случаи равных весов двух членов. Соотношения:
сц+2а2 =а,+ 1<а2 + 1 (1.2.5)
задают луч на плоскости а]5а2, любой точке которого соответствуют равные веса двух первых членов первого из уравнений (1.1.23) с преобладанием над третьим членом. Аналогично, соотношения:
28
Рис. 1.1. Графическая иллюстрация к поиску параметров асимптотического интегрирования в случае естественного малого параметра
а, +2а2 =а2 + 1<а, + 1 (1.2.6)
задают луч, соответствующий преобладанию первого и третьего членов над вторым, а соотношения:
а) + 1 = а2 +1 <(*! + 2а2 (1.2.7)
- луч, соответствующий наибольшим весам второго и третьего членов.
Соответствующий веер из трех лучей изображен на рис. 1.1. Вершиной этого веера является точка с координатами а, = 0.5, а2 = 0.5, со-
29
ответствующая равным весам всех трех членов первого из уравнений
Аналогично строится веер и для второго уравнения. Его вершина имеет координаты а1 = -0.5, а2 = -0.5.
Кроме вершин вееров привлекают внимание точки пересечения лучей, принадлежащих разным веерам. Всего получается четыре точки, соответствующие случаям наименьшего упрощения исходных уравнений. Вершины вееров - точки III и IV на рис. 1.1 - соответствуют случаям, когда в одном из уравнений в упрощенном варианте остаются все три члена, а в другом - только один. Точки пересечения лучей - 1 и II - соответствуют случаям, когда в каждом из упрощенных уравнений остаются по два слагаемых.
Рассмотрим точки I и II подробнее.
Случай I: а1 = -1.5,а2 = 0.5. Таблица (1.2.4) принимает вид:
соответствующие преобладанию и над V и более медленному изменению искомых функций по координате X, чем по У.
Случай II. СЦ = 15,а2 = -03. При помощи таблицы (1.2.4):
(1.1.23).
-0.5, -0.5, 1.5; 0, 2, 0
Ей соответствуют упрощенные уравнения:
5|и + ас^и=0, 5|У + ЬахЗуи = 0
Из (1.2.2) и (1.2.3) вытекают асимптотические оценки:
и~е',5у, ах~£055у,
(1.2.8)
(1.2.9)
(1.2.10)
0.5. 2.5, 0.5; 0, 0. 2
(1.2.11)
получаем упрощенные уравнения:
5xU + — 0, c?y V + adxV = О
Асимптотические оценки здесь будут: U ~ B,’5V, ox-s'05ay
(1.2.12)
(1.2.13)