2
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ.................................................
1. ОПИСАНИЕ ДЕМПФИРУЮЩИХ СВОЙСТВ
КОНСТРУКЦИЙ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ПОМОЩИ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 10
1.1. Обобщение гипотезы Релея на вязкоупругие модели с дробными производными..................................................... 10
1.2. ]Методы решения..................................... 21
2. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН 26
2.1. Затухающие колебания линейной вязкоупругой пластинки, динамическое поведение которой описывается одним уравнением 26
2.2. Затухающие колебания линейной вязкоупругой пластинки, динамическое поведение которой описывается тремя уравнениями .... 36
2.3. Затухающие колебания линейной вязкоупругой пологой круговой цилиндрической оболочки.......................................... 45
2.4. Выводы по второй главе.............................. 53
3. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЯЗКО-УПРУГИХ ПЛАСТИН 54
3.1. Постановка задачи.................................... 54
3.2. Способ построения решения............................ 58
3.3. Резонанс два-к-одному................................ 62
3.4. Внутренние резонансы более высокого порядка.......... 77
з
3.4.1. Резонанс один-к-одному........................... 79
3.4.2. Комбинационный резонанс аддитивный............... 92
3.4.3. Комбинационный резонанс разностный............... 99
3.5. Выводы по третьей главе................................ ^
ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................. 107
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК................................. 108
4
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей диссертационной работе изучаются демпфирующие свойства пластин, поведение которых описывается уравнениями, содержащими производную дробного порядка. Для анализа линейных нестационарных колебаний пластин используется метод преобразования Лапласа, а при исследовании нелинейных нестационарных колебаний пластин применяется метод многих временных масштабов с разложением ДГ)0бН0т* ПЛЛЫ'ШЛПИЛЙ пг» мяплш пяпямгггт/
'-'г- Г ----------------—- ✓ д- - | ./
Фундаментальный вклад в решение задач о свободных затухающих колебаниях механических вязкоупругих систем внесли Работнов Ю.Н., Шермегор Т.Д., Мешков С.И., Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Даринский Б.М., Постников B.C., Bland D.R., Bagley R.L., Torvik P.J., Tsai С.S., Mainardi F., Caputo М. и другие отечественные и зарубежные ученые. Применение реологических моделей, содержащих дробные производные и другие дробные операторы в задачах демпфирования динамических систем, рассматривалось в работах Россихина Ю.А., Шитиковой М.В., Цейтлина
А.И., Fenander A., Bagley R.L., Torvik P.J., Hon* В.М., Schmitd L.C.
Актуальность темы. Новейшие исследования по механике материалов показывают, что реологические уравнения, содержащие дробные производные, хорошо описывают экспериментальные данные но релаксации и ползучести многих полимерных материалов. При этом количество параметров дробности в этих реологических моделях может быть минимальным. Данные модели хорошо описывают на только поведение различных материалов, но и поведение конструкций из этих материалов.
Гак, экспериментальные исследования, проведенные на балках и пластинках, показали, что каждая собственная форма колебаний имеет свой коэффициент затухания, который связан с соответствующей собственной частотой колебаний степенной зависимостью с отрицательным показателем
5
степени, меньшим единицы. Только реологические модели, содержащие производные дробного порядка, способны адекватно описать подобные явления, происходящие в механических системах.
Второй, не менее важный, экспериментальный результат состоит в том, что наличие вязкости в механических системах, находящихся в условиях любого внутреннего резонанса, оказывает дестабилизирующее действие на колебательные процессы, протекающие в этих системах. При этом любая подкачка энергии извне приводит систему, находящуюся в подобных условиях, к хаосу. Гилько реологические модели с дробными производными позволяют описать подобные динамические явления.
Основными целями диссертационной работы являются:
1) Анализ затухающих колебаний линейных пластинок, демпфирующие свойства которых описываются реологической моделью, содержащей дробные производные;
2) Анализ свободных затухающих колебаний нелинейных пластинок, вязкоупругие свойства которых описываются реологической моделью, содержащей производную дробного порядка;
3) Исследование зависимостей между коэффициентом демпфирования, временем релаксации (ретардации) и собственной частотой колебаний;
4) Изучение влияния параметра дробности па процесс перекачки энергии, происходящей при нелинейных колебаниях пластинок, находящихся в условиях внутреннего резонанса.
Научная новизна. В процессе проведения исследований были получены аналитические решения и выполнен их численный анализ для следующих задач:
1) О затухающих колебаниях вязкоупругой прямоугольной в плане линейной пластинки Кирхгоффа-Лява и круговой пологой цилиндрической
6
оболочки, динамические свойства которых описываются одним уравнением, а вязкоупругие свойства определяются при помощи дробной производной.
2) О затухающих колебаниях вязкоупругой прямоугольной в плане линейной пластинки Кирхгоффа-Лява, динамические свойства которой описываются тремя уравнениями, а вязкоупругие свойства определяются при помощи дробной производной.
3) О свободных затухающих колебаниях нелинейной прямоугольной в плане пластинки, находящейся в условиях внутренних резонансов ’’один-к-одному , два-к-одному и ,комиинацйонного,>.
Достоверность результатов основана на корректной математической постановке задач. Полученные численные результаты согласуются с традиционными физическими представлениями и проверены решением тестовых задач. При стремлении параметра дробности к единице полученные решения переходят в известные решения для производных целого порядка.
Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при расчете зданий и сооружений на сейсмостойкость, при расчете вибрирующих механических систем, содержащих демпфирующие устройства, при создании современных демпфирующих устройств, при конструировании висячих комбинированных систем и г. д.
На защиту выносятся следующие основные результаты работы:
- Обобщение метода решения динамических задач вязкоупругости, основанного на дробном исчислении, на задачи о затухающих колебаниях пластинок.
- Распространение гипотезы Релея на задачи о затухающих колебаниях пластинки, вязкоупругие свойства которой описываются дробной производной.
7
- Управление процессом перекачки энергии, происходящим при нелинейных колебаниях вязкоупругой пластинки, путем варьирования значений параметра дробности.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались: 1) на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежского государственного архитектурно-строительного университета в 1999-2002 годах; 2) на международной конференции “Математика, образование, экология, гендерные проблемы” в 1 оду б ï. Воронеже; 3) на школ с-семинаре по современным проблемам механики и прикладной математики, посвященном 70-летию профессора Д.Д. Ивлева, в 2000 году в г. Воронеже; 4) на IX международной конференции “Математика. Образование. Экология. Инженерные проблемы” в 2001 году в г. Чебоксары; 5) на школе-семинаре по современным проблемам механики и прикладной математики в 2002 году в г. Воронеже; 6) на 5th International Conference on Vibration Problems в 2001 году в институте машиноведения РАН, г. Москва; 7) на IX конференции “Математика. Компьютер. Образование” в 2002 году в г. Дубне; 8) на 439 Euromech Colloquium “Mathematical Modeling of Dynamic Behavior of Thin Elastic Structures ” в 2002 году в Саратовском государственном университете; 9) на 16th International Symposium on Nonlinear Acoustics в 2002 году в Московском государственном университете. В целом работа доложена на научном семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы представлены в 9 публикациях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 120 страницах
8
машинописного текста, содержит 40 рисунков, список используемых источников из 105 наименований.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ В первой главе дано описание демпфирующих свойств конструкций и их элементов на основе обобщенных моделей, содержащих дробные производные. Описывается процедура применения гипотезы Релея для описания вязкоупругих свойств механических систем. Кроме того, в первой главе описаны аналитические методы решения задач о колебаниях
Г»ГГТТЛ» /ТГТТЛЛ*/-и»» ЛПЛ/ПЛ«
д!-1па1уц-1чжс&см. Для анализа затухающих колебании липсппсп пластинки, вязкоупругие свойства которой описываются дробными производными, применяется метод преобразования Лапласа и метод разложения искомых функций по собственным функциям задачи. Для исследования свободных затухающих колебаний нелинейных механических систем применяется метод многих временных масштабов.
Вторая глава посвящена анализу затухающих колебаний линейных пластинок Кирхгоффа-Лява, динамическое поведение которых описывается одним и тремя уравнениями, а также рассматривается задача о затухающих колебаниях вязкоупругой линейной пологой круговой цилиндрической оболочки. Предполагалась зависимость модального коэффициента затухания от частоты колебаний. Для каждой задачи получены аналитические решения и проанализированы зависимости корней характеристического уравнения от времени релаксации в комплексной плоскости.
Третья глава посвящена исследованию свободных затухающих колебаний прямоугольной в плане вязкоупругой нелинейной пластинки. Рассматриваются четыре типа внутреннего резонанса: один-к-одному, два-к-одному, комбинационный разностный и комбинационный аддитивный. Для каждого типа внутреннего резонанса анализируются три частных случая: коэффициент вязкости равен нулю, параметр дробности равен единице и
9
параметр дробности принимает произвольное значение, меньшее единицы. Исследуется процесс перекачки энергии, протекающий в системе, находящейся в условиях внутреннего резонанса.
10
1. ОПИСАНИЕ ДЕМПФИРУЮЩИХ СВОЙСТВ КОНСТРУКЦИЙ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ПОМОЩИ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
1.1. Обобщение гипотезы Редея на вязкоупругие модели с дробными производными
Известно [1, 43, 99], что вязкоупругие модели, содержащие производные целого порядка, могут описывать как диффузионные, так и волновые промессы, происходящие в твердых телах. Эти модели описываются уравнениями
Л , 7 { Л ,■ Л’4
+ = о е + 1.г<?-7Г
сИ1
/=1
а?
(1.1а)
где с - напряжение, е- деформация, / - время, те и х0 - время релаксации и ретардации соответственно, Е0 - рслаксированный упругий модуль. Полагая т-п, получаем уравнение, которое описывает волновые процессы, а полагая т>п, приходим к уравнению, которое описывает диффузионные процессы.
Уравнение (1.1а) было обобщено в [50] путем замены производных целого порядка на производные дробного порядка
» т п п
а + X -О“' <х = Е0 (е + £ #е), (1.16)
Ы у=1
где (/ = 1,2,...,/?) и р.(у = 1,2,..., /и) - параметры дробности (0 <а(,р{ <0), и б - дробные производные Римана-Лиувилля [40]
д V Л (гЫг
‘'-2>
- Київ+380960830922