Влияние переменных силовых полей на нелинейные конвективные режимы

-2-
Содержание диссертации:
Введение......................................................6
Глава I. Обзор литературы. Уравнения термовибрационной конвекции...................................................12
1.1. Современное состояние исследований по влиянию модуляции параметра на конвективные системы.............12
1.2. Осредненные эффекты в высокочастотном пределе..........22
1.3. Уравнения термовибрационной конвекции для однокомпонентной жидкости...............................34
Глава II. Устойчивость наклонного слоя жидкости относительно пространственных возмущений....................39
2.1. Постановка задачи......................................40
2.2. Состояние механического квазиравновесия................42
2.3. Линейная задачи устойчивости...........................43
2.4. Обсуждение результатов расчетов........................45
а) Поперечные слою вибрации.............................45
б) Вертикальные вибрации................................48
2.5. Численное моделирование валиковой конвекции
в наклонном слое........................................54
а) Малые углы наклона .-................................57
б) Область больших углов наклона........................62
2.6. Устойчивость вибрационно-конвективного течения
в наклонном слое при подогреве сбоку....................67
Глава Ш. Свободные колебания капиллярного моста.............69
3.1. Исходные уравнения.....................................70
-3-
3.2 Равновесное состояние капиллярного моста...................74
3.3. Задача устойчивости......................................75
3.4. Методика и результаты расчета равновесной формы...........77
3.5. Методика расчета собственных частот осесимметричных возмущений.....................................................79
3.6. Неосесимметричные возмущения..............................83
3.7. Результаты расчетов
3.7.1. Осесимметричные возмущения.........................85
3.7.2. Собственные частоты для трехмерных возмущений 88
Глава IV. Влияние вращающегося магнитного ноля
на термокапиллярную конвекцию в цилиндрической
жидкой зоне....................................................92
4.1. Вращающееся магнитное поле в жидкой зоне.................93
4.2 Сила Лоренца в расплаве.................................. 101
4.3. Визуализация и обсуждение результатов....................102
4.4. Влияние различных магнитных полей на конвекцию
в жидкой зоне.............................................104
4.5. Вращающееся магнитное поле и условия нагрева
жидкой зоны...............................................107
4.6. Термокапиллярная конвекция в жидкой зоне.................111
4.7. Результаты расчетов и обсуждение.........................113
4.8. Зависимость течения в расплавленной зоне
от электропроводности твердых торцов......................116
4.9. Влияние вращающегося магнитного поля на распределение примеси в расплаве............................................118
Глава V. Нелинейные режимы вибрационной конвекции
в ячейке Хеле - Шоу...........................................126
• 5.1. Свободная тепловая конвекция в ячейке Хсле — Шоу........128
I
V
1
1
а) Экспериментальные данные...............................128
б) Результаты численного моделирования....................130
5.2. Переходные режимы в ячейке Хеле - Шоу....................136
5.3. Модификации пульсационного течения.......................142
5.4. Влияние неоднородности вязкости жидкости на конвекцию
в ячейке Хеле - Шоу.......................................144
5.5. Воздействие высокочастотных вибраций. Состояние механического квазиравновесия и задача устойчивости 148
5.6. Надкритические движения. Горизонтальные
вибрации..................................................152
а) Идеально теплопроводные границы.......................152
б) Полость с другим соотношением сторон.................. 157
в) О вариативности четырехвихревого течения с перезамыка-нием вихрей в ячейке Хеле - Шоу.......................162
г) Идеально теплопроводные широкие грани..................168
5.7. Метод конечных разностей. Малые значения вибрационного числа Рэлея.................................173
5.8. Вертикальные вибрации....................................181
5.9. Прикладные аспекты. Сейсмический датчик на основе
ячейки Хеле - Шоу....................................... 188
Глава VI. Свободная конвекция бинарных смесей в связанных каналах...........................................205
6.1. Конвекция бинарных смесей с учетом явления термодиффузии............................................206
6.2. Постановка задачи. Механическое равновесие...............214
6.3. Стационарная конвекция бинарной смеси с разными
знаками термодиффузии.....................................218
6.4. Нестационарные движения в связанных каналах..............224
-5-
Глава VII. Вибрационная конвекция бинарной смеси в связанных каналах............................................235
7.1. Уравнения вибрационной конвекции для бинарных
смесей.....................................................235
7.2 Механическое квазиравновесие в связанных каналах..........239
7.3. Влияние вертикальных вибраций на стационарную тепловую конвекцию бинарной смеси в связанных каналах..............240
7.4. Численное моделирование методом конечных
разностей..................................................244
Глава VIII. Влияние высокочастотных вибраций на конвекцию бинарной смеси в ячейке Хеле - Шоу...................252
8.1. Свободная тепловая конвекция бинарной смеси
в ячейке Хеле - Шоу........................................253
8.2. Вибрационная конвекция бинарной смеси в ячейке
Хеле - Шоу. Вертикальные вибрации..........................260
Заключение....................................................264
Список литературы..............................................269
-6-
Введсние
В настоящее время понятие устойчивости в физике представляется одним из центральных и ключевых при описании картины мира в целом и частных явлений [1]. Наблюдаемые пространственные структуры, воспроизводимое временное поведение физических систем, так или иначе, характеризуются свойством устойчивости. Наверное, остановиться на каком-то узком определении устойчивости при таком разнообразии сторон физического мира просто невозможно. При изучении различных явлений, процессов, устойчивых структур приходится сталкиваться с переходными стадиями, а также с физическими системами, находящимися в метаста-бильных состояниях, но их описание по-прежнему является неотъемлемой частью науки об общем свойстве систем характеризоваться, некоторой степенью устойчивости. Тем не менее, в первую очередь описанию подлежат воспроизводимые, т.е. в определенном смысле устойчивые состояния и структуры, т.к. именно они-отражают картину мира на каждом промежутке времени. В книге [2] устойчивость определяется как “свойство системы быть невосприимчивой к малым возмущениям”. Это значит, что основополагающее значение имеет вопрос об эволюции возмущений: система устойчива, если возмущения затухают со временем [3,4]. В некотором смысле данная диссертация тоже посвящена обсуждению вопросов устойчивости различных физических процессов и явлений, а.именно, динамике однородных жидкостей и смесей, пространственным структурам, тепло- и массопереносу в конвективных системах при наличии дополнительного воздействия, со стороны переменных силовых полей различной природы. К их числу можно отнести различные вибрационные воздействия, переменные или вращающиеся электрические и магнитные поля, переменный нагрев границ полости и т.д. Несмотря на разнообразие ситуаций, наложение переменного силового поля на конвективную систему,
-7 —
чаще всего приводит в высокочастотном пределе к некоторому отличному от нуля осреднепному действию [5]. В частности высокочастотные колебания полости, заполненной жидкостью, при наличии пространственной неоднородности температуры могут вызывать регулярные осредненные движения даже в невесомости. В настоящее время этот результат действия вибраций принято называть явлением термовибрационной конвекции [6, 7]. Возникающее при этом конвективное течение состоит из двух компонент - колебаний с частотой вибраций и осредненного течения. Если период колебаний много меньше всех гидродинамических и тепловых времен, а амплитуда смещения в некотором смысле мала, то может быть применен метод осреднения [8], который позволяет получить замкнутую систему дифференциальных уравнений для осредненных полей скорости, температуры и давления. В теории тепловой конвекции этот метод был впервые развит в работе С.М. Зеньковской>и;И'.Б; Симоненко [9] для изучения влияния высокочастотных вибраций на конвективную устойчивость равновесия горизонтального подогреваемого снизу слоя жидкости. При определенных условиях, когда “медленная” составляющая скорости равна нулю возможно состояние механического квазиравновесия. Находясь в состоянии квазиравновесия, жидкость в среднем неподвижна, однако, вследствие вибрационного воздействия имеют место пульсации скорости, температуры и давления. Если неоднородность температуры достаточно велика, то квазиравновесие становится неустойчивым и в жидкости пороговым образом может возникать некоторое осредненное конвективное течение; • ■ • . 1 ; ••
' Вне зависимости от природы высокочастотного переменного силового поля его осредненное действие, как правило, нельзя игнорировать в ходе реализации различных технологических процессов [10], а также, при проектировании технических устройств [11], в которых присутствует конвективный тепломассоперенос.
-8-
Таким образом, в данной диссертации предпринята попытка рассмотрения с единых позиций влияния различных высокочастотных переменных силовых полей на конвективные процессы в широко используемых гидродинамических системах. Диссертация состоит из восьми глав, включая литературный обзор, 96 иллюстраций и списка литературы из 202 наименований, который, конечно, не исчерпывает всего разнообразия различных ответвлений рассматриваемой тематики.
В первой главе производится обзор теоретических и экспериментальных работ по влиянию переменных силовых полей на различные гидродинамические системы, в том числе, рассматриваются работы по вибрационной конвекции. Во второй части I главы методом осреднения выводятся уравнения термовибрационной конвекции для однородных жидкостей.
Результаты исследования, устойчивости наклонного слоя жидкости относительно произвольных пространственных возмущений, полученные с помощью уравнений термовибрационной конвекции, представлены в главе II. Рассматриваются два варианта высокочастотного вибрационного воздействия: вертикальные и поперечные слою вибрации. Производится расчет валиковой конвекции для разных углов наклона слоя и анализируется смена конвективных режимов при увеличении надкритичности. Обсуждаются результаты численного исследования устойчивости плоскопараллельного течения в наклонном слое при подогреве сбоку относительно плоских и спиральных возмущений.
В главе III разработана численная методика и в невязком приближении выполнен расчет спектра собственных частот капиллярного моста. Найденные значения резонансных частот использовались позднее при попытке разработки методики управления процессом выращивания кристаллов по методу расплавленной зоны при помощи высокочастотных вибраций.
-9-
В главе IV изучается влияние вращающегося магнитного поля на конвективные течения в цилиндрической жидкой зоне. В первом параграфе получены аналитические выражения для компонент вектора магнитной индукции и силы Лоренца для произвольных частот вращения магнитного поля. Найдены ограничительные рамки диапазона параметров, когда магнитное поле в жидкой зоне можно считать однородным в каждый момент времени. В пределе относительно высоких частот получены выражения для осредненной силы Лоренца. Для расчета конвективных течений внутри расплава выведена формула, значительно упрощающая вычисление силы Лоренца в приближении однородного поля.
Во втором параграфе четвертой главы излагаются результаты расчета термокапиллярного конвективного течения в цилиндрической жидкой зоне, находящейся во вращающемся магнитном поле в условиях невесомости. Расчеты, выполненные численно методом сеток, показали, что вращающееся магнитное поле приводит к появлению азимутального движения в расплаве, при этом интенсивность конвективного движения в меридиональной плоскости уменьшается. Выяснены особенности влияния вращающегося магнитного поля на распределение примеси в жидкой зоне, в том числе, вблизи движущегося фронта кристаллизации.
В пятой главе представлены результаты исследования свободной и термовибрационной конвекции в ячейке Хеле - Шоу при подогреве снизу. Изучены устойчивые и переходные режимы тепловой конвекции в полости с разным соотношением сторон. В широком диапазоне значений управляющих параметров задачи построены карты устойчивости конвективных режимов. Теоретически подтверждено существование новых типов устойчивых конвективных режимов, которые были названы пульса-ционными течениями. Изучены различные причины нарушения симметрии типичного четырехвихревого режима с перезамыканием вихрей.
- 10-
Бол ыиое внимание уделено переходным течениям. Рассмотрены прикладные аспекты теории вибрационной конвекции.
В главе VI теоретически исследовано влияние на тепловую конвекцию в связанных каналах, оказываемое наличием примеси в жидкости. В широком диапазоне управляющих параметров численно методом конечных разностей изучены переходные режимы и установившиеся конвективные течения. Показано, что в зависимости от величины надкритично-сти в бинарной смеси возможны как стационарные, так и колебательные установившиеся режимы тепловой конвекции. В рамках предложенной модели удалось теоретически описать “перебросовые” колебания, наличие которых демонстрирует достаточно “сложное” поведение гидродинамической системы при малых надкритичностях. Особое внимание было уделено расчету распределения концентрации примеси поперек каналов. В-ходе расчетов было показано, что именно явление термодиффузии ответственно за колебательный характер конвекции вблизи.порога.
Исследование влияния высокочастотных вибраций на порог конвекции и форму надкритических движений бинарной смеси в связанных каналах при подогреве снизу проводится в VII главе. В первую очередь рассматривается влияние вертикальных вибраций на колебательные течения вблизи порога. В VIII главе численно и аналитически рассмотрено влияние вертикальных высокочастотных вибраций на тепловую конвекцию бинарных смесей в ячейке Хеле - Шоу, имеющей широкие грани высокой теплопроводности. Проведена аналогия между явлениями, наблюдавшимися в связанных каналах и ячейке Хеле — Шоу. В заключении перечислены наиболее ценные с точки зрения автора научные результаты, полученные в ходе работы над диссертацией.
Основные результаты исследований изложены в 93 различных печатных работах, в том числе, в 16 статьях, опубликованных в реферируемых журналах, учитываемых ВАК при защитах докторских диссертаций.
-11 -
В подавляющем числе публикаций [141-143], [153], [155], [157], [167], [168], [175], [176], [183-187], [189], [190], [195-200], [202] представлены результаты совместных экспериментальных и теоретических исследований. Все эксперименты выполнялись соавторами: И.А. Бабушкиным или
А.Ф. Глуховым. В постановке некоторых экспериментов принимал участие Г.Ф. Путин. Вся теоретическая часть в этих работах принадлежит автору диссертации. Работы [90-92], [113], [154] были сделаны без соавторов; [120], [151], [152], [156], [166], [170] подготовлены совместно со студентами, выполнявшими дипломные и курсовые работы. В теоретических работах [86], [89], 1104], [112], [122], [132] автор участвовал в постановке задач, выполнял расчеты и проводил обобщение результатов. Материалы диссертации докладывались на многочисленных научных конференциях, конгрессах и симпозиумах. Кроме того, автор неоднократно выступал с докладами на Пермском-городском гидродинамическом семинаре под руководством проф. Г.З; Гершуни (1994, 1995, 1996, 1997), и Д.В. Любимова (2002, 2004, 2005, 2006, 2008, 2009), а также в Институте механики сплошных сред УрО РАН на семинаре под руководством проф. А.Ф. Пшеничникова (2005).
Автор глубоко благодарен своему учителю - Г.З. Гершуни за вовлечение в науку и незабываемые минуты общения. Также особую признательность хотелось бы выразить заведующему кафедрой теоретической физики Д.В. Любимову, благодаря чуткому руководству которого у автора сложились условия, способствовавшие работе над диссертацией. Автор выражает признательность И.А. Бабушкину, А.Ф. Глухову и Г.Ф. Путину за плодотворное сотрудничество в плане предоставления возможности теоретику соприкоснуться с условиями реального эксперимента и огромное спасибо всем членам Пермской гидродинамической школы за неоценимую моральную поддержку, благодаря которой смогла состояться данная диссертация.
- 12-
Глава I. Обзор литературы. Уравнения термовибрационной конвекции
1.1. Современное состояние исследований
Вопросам, связанным с описанием влияния переменных силовых полей на различные конвективные процессы, сегодня посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ. Современное состояние исследований в этой области таково, что просто невозможно в кратком литературном обзоре цельно рассмотреть все стороны данной тематики. Таким образом, чтобы правильно расставить акценты и получить возможность дальше излагать основную часть диссертации, в первую очередь необходимо провести некоторую классификацию работ по обсуждаемой тематике. Как и в большинстве случаев, можно органично классифицировать подходы, в том числе к решению проблемы, связанной с воздействием переменных силовых полей на различные конвективные системы, рассмотрев историю данного вопроса. Наверное, не будет ошибкой утверждать, что изучение эффектов, связанных с влиянием переменных силовых полей на конвективные движения жидкостей, началось с задач, в которых имеется зависимость одного из управляющих параметров от времени. Такими параметрами могут быть различные характеристики переменных внешних воздействий (вибраций, электрического или магнитного полей, меняющихся с течением времени условий нагрева полости и т.д.). В качестве примера можно привести известную работу Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого [12], в которой впервые было исследовано влияние периодической модуляции температуры границ на конвективную устойчивость плоского горизонтального слоя жидкости. Далее, следуя [12], рассмотрим случай нестационарных условий подогрева слоя, когда температура на границах, а также и её равновесный градиент, пе-
-13-
риодически меняются со временем. Несмотря на то, что температура меняется со временем по закону, который определяется условиями подогрева, зависящими от времени, в жидкости допускается существование “нестационарного” равновесия. Границы слоя предполагаются свободными и
хорошо проводящими. В пределе достаточно низких частот (со0 « х/1? ,
X - температуропроводность жидкости, Ь - толщина слоя) система уравнений гидродинамики [13] для возмущений может быть сведена к уравнению второго порядка для амплитуды с периодическими коэффициентами:
/ + 2в/ + [1-Яа + г<КП]/ = 0. (1.1.1)
Здесь Ка- число Рэлея, е- безразмерный параметр, который играет роль коэффициента трения (2е = (\ +Рг)/\[Рг ), г - безразмерная амплитуда колебаний, - прямоугольная (ступенчатая) функция* Рг - число Прандтля. Дифференциальные уравнения такого типа (называющиеся уравнениями Хилла [14]) часто встречаются в физике. Анализ уравнения (1.1.1) применительно к данной задаче показывает, что устойчивость равновесия жидкости определяется не только средним градиентом температуры, но и сложным образом зависит от температуры и частоты модуляции.
При Ка < 1 (подогрев сверху) имеются лишь области резонансного возбуждения, а при Ка > 1 (подогрев снизу) появляется также основная-полоса неустойчивости. Модуляция температуры, в зависимости от амплитуды и частоты, может приводить как к повышению, так и понижению устойчивости равновесия жидкости. Оказалось, что в области параметрического возбуждения конвекции могут существовать колебания с частотой, равной частоте модуляции (целые области), и с частотой, равной половине частоты модуляции (полуцелые области).
Дополнительные исследования устойчивости плоского слоя жидкости под влиянием гармонической температурной модуляции проводились
- 14-
в [15]. Условия подогрева определялись средним постоянным значением температурного градиента А, частотой модуляции со0 и амплитудой а0:
ЧТ0=-А(\ + 7]ъта)ог)у 9 где т)-а0)А - относительная амплитуда модуляции; у - единичный вектор, направленный вертикально вверх. Как оказалось, в случае гармонического закона модуляции качественные особенности структуры областей устойчивости, отмеченные при обсуждении прямоугольной модуляции, не меняются.
Имеется также другой способ параметрического воздействия на конвективную устойчивость [15, 16]. Пусть полость, заполненная жидкостью, совершает вертикальные гармонические колебания с частотой со0 и амплитудой Ь0. В системе отсчета,.связанной с полостью, ускорение свободного падениЯ'Заменяется в соответствии с формулой:
g->g(\+т}sma)0t). (1.1.2)
Здесь г] = со0~Ь0/^ - безразмерный-параметр модуляции. Задача о влиянии модуляции поля тяжести на конвективную устойчивость горизонтального слоя жидкости рассмотрена для двух типов граничных условий. В случае свободных изотермических границ уравнения для возмущений сводятся к уравнению Хилла (1.1.1). Это означает, что задачи о конвективной устойчивости с модуляцией вертикального градиента температуры и поля тяжести математически эквивалентны. Для слоя с твердыми границами уравнения для возмущений приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами с помощью метода Канторовича. Если жидкость заполняет полость произвольной формы, то задача с помощью метода Канторовича также может быть сведена к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера рассмотрен бесконечный вертикальный круговой цилиндр, совершающий колебания вдоль своей оси. В пре-
- 15-
дельном случае высокочастотных колебаний полости границы устойчивости, выражающие зависимость критического числа Рэлея от параметров модуляции, получены с помощью метода осреднения [8].
Для исследования решения уравнения типа (1.1.1) В.И. Юдович и Г.С. Маркман в работе [17] применяли несколько иной подход. Решение находилось путем разложения амплитуды в ряд Фурье в сочетании с алгоритмом цепных дробей. В [18] на основе полных нелинейных уравнений методом Ляпунова — Шмидта изучались периодические течения с “полуцелой” частотой, появляющиеся после потери устойчивости. В линейном приближении по малому параметру найден критерий устойчивости такого рода течений. В [19] показано, что имеет место и нелинейная устойчивость в классе возмущений той же периодичности.
Учет неоднородности распределения температуры в бесконечно глубоком массиве жидкости при температурной модуляции произведен в [20]. Температура поверхности жидкости гармонически изменяется со временем. Вглубь жидкости распространяется температурная волна, амплитуда которой экспоненциально уменьшается по мере удаления от поверхности. Для приближенного решения краевой задачи использовался интегральный метод Кармана - Польгаузена, применяемый в теории пограничного слоя [21]. Расчеты произведены как для случая свободной, так и твердой верхних границ жидкости. Равновесие жидкости, оказывалось неустойчивым при определенных условиях. Получена оценка границы “основной” области неустойчивости.
Работа [22] посвящена влиянию вертикальных вибраций конечной частоты (1.1.2) на конвективную устойчивость горизонтального слоя жидкости при нагреве сверху. В ней показано, что в системе отсчета, связанной со слоем, состояние покоя теряет устойчивость при превышении числом Рэлея некоторого критического значения. Для исследования устойчивости вторичного режима применялся метод Ляпунова-Шмидта. Вторич-
- 16-
ный режим мог быть как устойчивым, так и неустойчивым по отношению к малым возмущениям в зависимости от параметров. В области устойчивого вторичного режима модуляция силы тяжести приводила к тому, что направление вращения валов через некоторое время менялось на противоположное.
В.А. Брискману и A.A. Черепанову удалось выявить параметрическую стабилизацию неустойчивого равновесия жидкости в сообщающихся сосудах [23]. Трубки, имеющие квадратные сечения, соединяются друг с другом своими верхними частями, но открыты снизу. Уровни жидкости в обоих коленах одинаковы. Параметры системы (коэффициент поверхностного натяжения а и плотность р жидкости, а также поперечный размер трубки d) подобраны так, что в отсутствие параметрического воздействия равновесие системы абсолютно неустойчиво. Предполагается, что потеря равновесия может определяться, во-первых, неустойчивостью Рэлея- — Тэйлора, во-вторых, перемещением жидкости, при котором поверхность изгибается как мембрана с закрепленными краями, причем смещения жидкости в разных коленах связаны между собой, и, в-третьих, движением жидкости как целого (жидкость в одном колене поднимается, а в другом опускается без искривления поверхности). Заметим, что движение жидкости как целого аналогично движению перевернутого маятника. Положение равновесия такого маятника абсолютно неустойчиво [24]. В качестве стабилизирующего фактора рассматриваются вертикальные колебания системы сосудов.
Авторы исходили из предположения, что подобная стабилизация равновесия возможна в области высоких частот. Амплитудное уравнение усреднялось (эта процедура уже упоминалась) и находилось условие невозрастания решений. Оказалось, что, начиная с некоторого порогового значения, амплитуды колебаний возмущения перестают нарастать. Таким образом, высокочастотная вибрация может подавлять неустойчивость
- 17-
любого из выше перечисленных видов возмущений. Однако, оценки показывают, что модуляция параметра в области рассматриваемых частот может вызвать новый вид неустойчивости - параметрический резонанс: капиллярные волны начинают нарастать при достаточно большой амплитуде колебаний. Поэтому, существует ограничение на амплитуду сверху. Заметим, что такая ситуация специфична для задач об устойчивости равновесия тяжелой жидкости налитой поверх легкой. Несмотря на ограничения, численные данные показывают, что параметрическая стабилизация вполне достижима в эксперименте. Для глицерина в сосуде с длиной Ь = 10 см и поперечным размером с? = 2 см амплитуда колебаний а = 1.9 см,
частота со = 70. 7 с-1, для анилина а = 1.56* 10-3 см, со = 9. ЫО4 с"1.
В [25] описывается параметрическое воздействие на конвективную устойчивость равновесия проводящего слоя жидкости; который находится-в скрещенных электрическом и магнитном полях, перпендикулярных вертикальном^’ градиенту.температуры; На элемент жидкости вследствие зависимости проводимости от температуры действует сила, аналогичная архимедовой в обычной тепловой конвекции. Подъемная сила электромагнитного происхождения модулируется путем периодического изменения электрического поля:
Е = Е3 +есо$<уог. (1.1.3)
Кроме того, слой совершает гармонические колебания вдоль вертикальной оси, так что ускорение свободного падения периодически модулируется в соответствии с формулой (1.1.2). Таким образом, в работе исследуются эффекты, обусловленные одновременной модуляцией двух параметров.-Определение границ “основной” области-устойчивости производится методом Галеркина. Показано, что при наличии средней составляющей электрического поля Е3 увеличение числа Гартмана приводит к пониже-
- 18-
нию критического числа Рэлея. В случае, когда средняя электромагнитная сила отсутствует, порог устойчивости повышается.
Отметим также работу Ю.С. Юркова [26], в которой численно исследовалась конвекция в квадратной полости с модулированными внутренними источниками тепла. Верхние границы предполагались теплоизолированными, а боковые - идеально теплопроводными. На фоне внешнего равновесного вертикального градиента температуры плотность источников тепла в каждой точке полости менялась по гармоническому закону. Методом конечных разностей найдены карты устойчивости; в надкритической области произведены расчеты полей скорости и температуры. Показано, что в области неустойчивости в результате переходного процесса устанавливается режим стационарных колебаний. Отметим, что различные модификации конечно-разностных методов позволяют изучать всевозможные характеристики течений и имеют в настоящее время широкое распространение [27-29] в том числе в виде пакетов прикладных программ.
В работах Г.И. Бурдэ [30-31] излагаются результаты численного исследования нелинейных режимов, возникающих в жидкости в результате модуляции поля тяжести при подогреве снизу.
Им рассматривалась полость квадратного сечения, верхняя и нижняя 1раницы которой поддерживались при постоянных разных температурах. Боковые стенки предполагались теплоизолированными. Полные нелинейные уравнения нестационарной конвекции решались методом конечных разностей. Наблюдения за нарастанием или затуханием возмущений позволили определить значения параметров, разделявшие области устойчивости и неустойчивости. В нижней полосе неустойчивости устанавливались колебания по форме близкие к синусоидальным с периодом равным периоду модуляции Т0. Колебания в верхних резонансных областях имели
более сложный спектральный состав и происходили либо с периодом Т0
- 19-
(целые области), либо с периодом 2Т0 (полуцелые области). Установлено, что в отличие от колебаний нижней полосы в резонансных областях неустойчивости для границ целой области характерно “мягкое” возбуждение, в то время как на верхней границе первой полуцелой области возбуждение может быть “жестким”. Также были исследованы надкритические движения более сложной структуры, возникавшие лишь при достаточном удалении от порога устойчивости (рассматривалось двухвихревое критическое движение). Показано, что модуляция уменьшает число Грасгофа, при котором возможно существование двухвихревого режима конвекции.
В работе [31] изучаются плоские нестационарные конвективные движения жидкости в полости квадратного сечения, появляющиеся при наличии периодических колебаний температуры на'горизонтальных границах. Рассматриваются два способа изменения температуры границ со временем. В'Первом случае температура на* границах меняется одинаково по закону (1/2)08т#о£, т.е. разность.температуры границ остается равной нулю в любой момент времени (колебания в фазе). Заметим, что при колебаниях температуры в фазе жидкость стратифицирована устойчиво в одной части полости и неустойчиво в другой. При втором способе возбуждения температура границ меняется в нротивофазе: на нижней границе по закону - (1/2)0$\п соа1, а на верхней - по закону +(1/2)08т4)о£ . Несмотря на то, что в обоих случаях средняя по времени стратификация отсутствует, в жидкости имеет место параметрическое возбуждение конвекции. Приведены карты устойчивости, полученные методом конечных разностей, и некоторые одновихревые и многовихревые типы конвективных течений.
В [32] для исследования конечно-амплитудной параметрической конвекции, возникающей в подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости при наличии модулированного поля тяжести, применяется мо-
-20-
дифицироватшый метод разложения по степеням амплитуды. Метод позволил определить границы конвективной неустойчивости (первое приближение) и амплитуду установившихся конвективных колебаний (следующие приближения). Из полученных результатов видно, что в зависимости от параметров задачи возможно как “мягкое” так и “жесткое” возбуждение конвективных колебаний, что подтверждает косвенно закономерности, полученные ранее численно для квадратной области.
В несколько иной постановке B.C. Авдуевским с соавторами изучалось возбуждение конвекции в жидкости, заполнявшей цилиндрическую область [33]. Предполагалось, что вектор ускорения силы тяжести g вращается в плоскости сечения цилиндра, оставаясь неизменным по величине, с угловой скоростью со. Задача решалась численно, использовались полные нелинейные уравнения конвекции: Получены формы конвективных движений и характеристики, конвекции-в зависимости от параметров задачи. Рассматривались также эллиптическая и линейная поляризации вектора g.
Также среди работ по модуляции параметра необходимо отметить статьи Г.З. Гершуни, И.О. Келлера и Б.Л. Смородина [34, 35], в которых изучалась устойчивость вибрационно-конвективного течения, возникающего под действием продольных вибраций конечной частоты в плоском слое жидкости. В этих работах рассматривался слой, имеющий твердые изотермические границы, в котором поддерживается поперечная разность температур. Устойчивость основного течения исследовалась в. [341 для случая невесомости. В: [35] задача устойчивости решалась с учетом поперечной стратификации, появляющейся в-слое за счет статического поля тяжести. •'
Как в случае невесомости [6, 7], так и при наличии поля тяжести в пределе высоких частот со —> со основное решение, соответствующее
-21 -
плоскопараллельному течению, переходит в квазиравновесие, а расчеты устойчивости совпадают с численными решениями, полученными ранее на основе осредненных уравнений. В другом предельном случае низких частот имеется медленно осциллирующее течение, состоящее из двух встречных потоков с кубическим профилем и точкой перегиба на границе потоков. В отличие от высокочастотного предела, когда вибрационный механизм всегда является дестабилизирующим, при конечных частотах в связи с параметрическим воздействием возможны как дестабилизация равновесия, так и его стабилизация в зависимости от амплитуды и частоты.
В числе последних работ, непосредственно связанных с рассматриваемой тематикой и опубликованных разными авторами в 2008 - 2009 годах, выделим статьи [36-38].; .
Так, в [36] изучены- нестационарные процессы протекания тока и-формирование зарядовых структур в слабопроводящей полярной жидкости, находящейся в электрическом поле горизонтального конденсатора. Предполагается, что свободные заряды в жидкости образуются только за счет униполярной инжекции с анода, которая возникает, когда напряженность поля на аноде превышает пороговое значение. Проанализировано пространственно-временное распределение заряда, плотность тока через конденсатор и напряженность поля на аноде в зависимости от времени. Показано, что промежутки времени между двумя: инжекциями заряда в переменном поле (периоды, инжекции) могут варьироваться« в зависимости от периода внешнего поля; Получены зависимости плотности тока через конденсатор от частоты и амплитуды внешнего поля;
Параметрическая конвективная неустойчивость горизонтального слоя однородной магнитной жидкости под влиянием переменного магнитного поля исследована в [37]. Для слоя с твердыми границами найдены пороги конвекции. Установлено, что в переменном магнитном поле,
среднее значение которого равно нулю, возмущения имеют синхронный характер и могут принадлежать разным классам, поскольку зависят от разности температур на границах слоя, его толщины, частоты и амплитуды переменного внешнего поля, а также от физических свойств магнитной жидкости.
В [38] рассмотрено влияние пространственно однородного высокочастотного бегущего осевого магнитного поля на нестационарный процесс выращивания кристаллов вертикальным методом Бриджмена в земных условиях. Расчеты проведены методом конечных разностей для германия легированного галлием. Установлено, что осевое бегущее магнитное поле ослабляет конвекцию в расплаве и тем самым уменьшает перенос примеси вблизи фронта кристаллизации, однако кривизна фронта при этом увеличивается. К слову, существуют разные способы выращивания полупроводниковых кристаллов: методы плавающей.зоны* [39], Бриджмена [40], Чохральского [41] и их различные модификации. Магнитные и электрические поля активно используются для управления технологическими процессами выращивания полупроводниковых кристаллов.
1.2. Осредненные эффекты в высокочастотном пределе
Как уже было отмечено во введении, при воздействии высокочастотных вибраций на неоднородно нагретую полость в жидкости возникают специфические гидродинамические явления (состояние механического квазиравновесия, явление термовибрационной конвективной неустойчивости и т.д.), которые требуют разработки дополнительных теоретических подходов. Одна из возможностей - описание вибрационно-конвективных явлений на основе осредненных уравнений гидродинамики.
Если частота вибраций много больше характерных обратных гид-
? о
родинамических и тепловых времен {О » У/Ь", то в неоднородно
нагретой жидкости возникают как “быстрые” движения с характерным
-23-
временсм порядка 1/Д так и “медленные”, характерные времена которых
2 2
порядка v/L, //IT. Интересуясь медленным движением жидкости, можно усреднить уравнения так, чтобы получилась замкнутая система уравнений в частных производных для осредненных полей скорости, температуры и давления, не содержащая “быстрое” время в явном виде.
Впервые для задач конвекции уравнения, не содержащие время в явном виде, были получены С.М. Зеньковской и И.Б. Симоненко с помощью метода осреднения в [9]. В этой работе рассматривался неоднородно нагретый горизонтальный слой жидкости, на который кроме силы тяжести действуют еще вибрационные силы. Плоский слой жидкости, подогреваемый снизу, мог совершать вертикальные вибрации. Расчет границы устойчивости основного состояния позволил сделать вывод: наличие вертикальных вибраций приводит к стабилизации квазиравновесия (состояния-“относительного-покоя”). В выведенных уравнениях, впервые появляется вибрационный критерий Rav (вибрационный аналог числа Рэлея). Аналогичная задача решалась в [42] вариационным способом.
Строгое математическое обоснование метода было дано в [43], где доказывается, что при О —> со решения исходной и осредненной систем уравнений как угодно мало отличаются друг от друга.
В работах Л.М. Бравермана [44, 45] анализируется специальный случай механического квазиравновесия плоского слоя в невесомости для различных взаимных ориентаций фадиента температуры и оси вибрации. Г.Ф. Путин с соавторами впервые экспериментально подтвердил наличие, наряду с термофавитационным, специфического- термовибрационного механизма тепловой конвекции [46]. В лабораторных условиях было показано, что переменные инерционные ускорения способны индуцировать конвективный тепло- и массообмен в невесомости, где обычная термофа-витационная конвекция невозможна. Вертикальный слой, подофеваемый
-24-
сбоку, совершал продольные горизонтальные вибрации. В эксперименте удалось разделить термогравитационный и термовибрационный механизмы: было получено вибрационное течение, предсказываемое в работе [6J для условий невесомости. Прямое экспериментальное подтверждение закономерностей, связанных с наличием термовибрационной конвекции, было получено в реальных условиях микрогравитации во время 46-ой кампании но параболическим полетам, организованной Европейским космическим агентством [47].
В кандидатской диссертации [48] в общем виде определяются квази-равновесныс конфигурации полости для однородной жидкости, в которой поддерживается постоянный градиент температуры. Показано, что границы области, в которой содержится находящаяся в состоянии квазиравновесия жидкость,, должны быть, кривыми, второго порядка. Представлены некоторые результаты расчетов- устойчивости квазиравновесия жидких бинарных смесей. Для условий невесомости изучается -вибрационноконвективная неустойчивость плоского слоя бинарной смеси. Предполагается, что постоянные по величине градиенты концентрации и температуры ориентированы произвольно относительно слоя. Показано, что задача устойчивости допускает точное решение в виде простых гармоник, что позволяет построить нейтральные кривые для монотонной и колебательной мод. Для некоторых характерных направлений градиентов концен-. трации и температуры приведены границы устойчивости на координатной плоскости (Rap Rav). Здесь Rac- концентрационное число Рэлея.
Однако как показывают различные эксперименты, которые подтверждаются расчетами, в подобных термо-, вибрационно- концентрационных задачах представляется необходимым учет явления термодиффузии [49, 50J. Все дальнейшие результаты по влиянию вибраций на тепловую конвекцию в связанных каналах или ячейке Хеле - Шоу, представленные в данной диссертации, подтверждают этот факт.
-25-
Вибрационно-конвсктивная неустойчивость квачи равновесия горизонтального слоя жидкости, в котором неоднородность температуры вызвана внутренним тепловыделением, изучается в [51-52]. Опишем вкратце результаты работы [52]; в ней предполагается, что ось вибрации ориентирована произвольно по отношению к слою. Задача решается для двух типов граничных условий. В первом случае обе границы поддерживаются при определенных постоянных температурах, принимаемых за начало отсчета. Во втором случае верхняя граница поддерживается при постоянной температуре, а нижняя граница теплоизолирована. Задача устойчивости решалась на основе линеаризованной системы осредненных уравнений методом Рунге - Кутта - Мерсона. Приведены карты устойчивости на плоскости (Rciq, Rav). Здесь безразмерный параметр Raq - число Рэлея,
характеризующее конвекцию, обусловленную внутренним* тепловыделением в статическом поле тяжести; Rclv- вибрационный; аналог, числа Рэлея. За исключением продольного и перпендикулярного слою направлений оси вибраций конвективная неустойчивость имеет осциллирующий характер (мнимая часть декремента Л,- не равна нулю). Экспериментальные данные [53] подтверждают предсказания теории. Специальный случай горизонтального слоя жидкости, в котором происходит экзотермическая реакция типа Аррениуса, исследован в [54].
На базе осредненных уравнений гидродинамики А.Н. Шарифулин в [55] исследовал линейную устойчивость конвективного течения в вертикальном плоском слое с границами разной температуры при наличии продольных вибраций. Вследствие подогрева сбоку в основном состоянии в жидкости имеется- “медленное” течение с кубическим профилем. Определены границы устойчивости течения, относительно монотонных возмущений в области чисел Прандтля 0 < Рг< 10. Обнаружено, что вибрации оказывают дестабилизирующее влияние на конвективную устойчивость.
-26-
Также оказалось, что задача для пространственных возмущений может быть сведена к плоской задаче. Пересчет диаграмм устойчивости показал, что для всех значений числа Прандтля 0 < Рг < 10 плоские возмущения оказываются наиболее опасными.
Помимо этого можно показать, что поперечные вибрации оказывают стабилизирующее влияние на устойчивости плоскопараллельного течения в вертикальном слое.
Расчет конвекции в плоском слое жидкости, равномерно вращающемся вокруг горизонтальной оси, производится в работе С.Я. Герцен-штейна и А.И. Рахманова [56] на основе полных и осредненных уравнений с помощью метода Галеркина. Исследование устойчивости течения в линейном приближении показало хорошее согласие результатов расчетов при решении полных и осредненных уравнений уже при сравнительно небольших угловых скоростях вращения (Рг= 1, Тг> 300; где Тг = 2ОсГ/у-
число Тэйлора), расхождение составляет всего 6%. С увеличением скорости вращения это расхождение уменьшается. В рамках нелинейных неос-редненных уравнений расчеты показали, что с надкритичностыо (2?а > /?а*) при фиксированном числе Тэйлора возмущения выходят на периодический но времени режим с периодом, равным периоду вращения. Приведены профили скоростей, иллюстрирующие картину периодического перестроения течения. Показано, что осредненные уравнения являются адекватной моделью для описания-конвекции при наличии высокочастотных вибраций.
Если касаться конвективных экспериментов с вращением, то стоит упомянуть работу [57]. В ней экспериментально изучены структура течения и теплообмен в горизонтачьном подогреваемом снизу слое жидкости, границы которого могут вращаться с одинаковыми и разными угловыми скоростями. Исследовалась относительная роль сил плавучести и центро-
-27-
бежных сил в формировании структуры течения жидкостей с Рг = 16 и 2700. Численное моделирование конвекции подтверждает результаты экспериментов.
В экспериментальных работах А.А. Ивановой и В.Г. Козлова [58], [59] изучается влияние вертикальных вибраций на конвективную устойчивость цилиндрического слоя жидкости, образованного двумя горизонтальными коаксиальными цилиндрами кругового сечения, имеющими различную температуру. В отсутствие вибрации в интервале чисел Рэлея Иа = 3000 ч- 80000 в цилиндрическом слое реализуется ламинарное двухвихревое течение, состоящее из потоков, восходящих вблизи нагретого внутреннего цилиндра и нисходящего вблизи холодной внешней стенки. При постепенном увеличении вибрационного воздействия в результате переходных автоколебательных процессов наблюдается перестроение двухвихревого термогравитационного движения в многовихревое, которое имеет вибрационную природу. Смена структуры происходит критическим образом и приводит к резкому возрастанию теплопереноса. Теоретическая часть исследования была выполнена А.Н. Шарифулиным и
В.И. Чернатынским [60-61]. В работе [60] была решена задача о вибрационной конвекции в цилиндрическом слое в отсутствие поля тяжести. Для малых вибрационных чисел Грасгофа решение было найдено аналитически. В случае произвольных Оги структура течения находилась численно методом конечных разностей. В [59] показано, что экспериментальные и теоретические данные хорошо согласуются. В [61] проанализировано влияние толщины цилиндрического слоя на симметрию течения при больших вибрационных числах Грасгофа.
Влияние вертикальных вибраций на конвекцию в цилиндрической полости при внезапном понижении температуры границы цилиндра экспериментально изучается в [62]. Проведенные для различных частот экс-