СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..............................................................5
1 Моделирование динамики литосферной плиты как структурнонеоднородного деформируемого тела....................................26
1.1 Начально-краевые задачи динамической теории упругости..........26
1.2 Постановка динамических задач для блочно-структурированной среды, взаимодействующей с поверхностными объектами.........................32
1.2.1 Задача Коши для уравнений движения массивного тела.......35
1.2.2 Постановка задач для элементов структуры.................36
1.3 Определения теории «вирусов» вибропрочности....................43
2 Факторизационные методы исследования задач для структурированных сред.................................................................49
2.1 О факторизации функций и матриц-функций........................50
2.1.1 Факторизация функций.....................................50
2.1.2 Факторизация матриц-функций..............................54
2.2 Общая схема дифференциального метода факторизации..............65
2.3 Применение факторизационных методов к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений..............................74
2.4 Применение дифференциального метода факторизации к задаче для упругого тела........................................................81
2.5 Применение дифференциального метода факторизации к задаче для блочной структуры....................................................96
2.6 Блочные элементы. Примеры построения блочных элементов........104
3 Метод факторизации исследования динамических задач для слоистоструктурированных сред как «вирусов» вибропрочности различного строения............................................................113
3.1 Построение функциональных уравнений для слоя..................115
3.1.1 Дифференциальный метод факторизации в краевой задаче для слоя............................................................115
3.1.2 Построение граничных уравнений с помощью формулы Бетти... 120
3.2 Построение функциональных уравнений для сплошной-многослойной среды.................................................................129
3.3 Построение функциональных уравнений для многослойной среды, содержащей совокупность трещин........................................138
3.4 Построение функциональных уравнений для многослойной среды, содержащей совокупность включений.....................................149
3.5 Построение систем интегральных уравнений динамических задач для слоисто-структурированных сред........................................157
4 Применение факторизационных методов в моделировании динамических процессов для сред с покрытиями.......................................166
4.1 Постановка задачи для одной модели покрытия.....................167
4.2 Построение систем интегральных уравнений задачи для слоистоструктурированной среды с покрытием...................................172
4.3 Способы построения приближенных решений для полуограниченных и неограниченных покрытий...............................................178
4.4 О моделировании временных покрытий..............................184
5 Метод решения интегральных уравнений динамических контактных задач.................................................................193
5.1 Общая схема метода фиктивного поглощения решения интегрального уравнения в произвольной в плане области..............................194
5.2 Метод фиктивного поглощения решения системы интегральных уравнений.............................................................209
5.3 Метод фиктивного поглощения решения интегральных уравнений для частных случаев областей..............................................213
5.3.1 Метод фиктивного поглощения для одномерного интегрального уравнения.............................................................213
5.3.2 Построение приближенного решения интегрального уравнения для осесимметричного случая...............................................219
5.3.3 Построение приближенного решения интегрального уравнения для пространственной задачи...............................................223
3
5.4 Построение приближенного решения интегрального уравнения с
растущим символом ядра.................................227
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................................233
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.......................239
ПРИЛОЖЕНИЕ А...........................................266
ПРИЛОЖЕНИЕ Б...........................................267
ПРИЛОЖЕНИЕ В...........................................270
ПРИЛОЖЕНИЕ Г...........................................287
4
ВВЕДЕНИЕ
Создание теоретических основ систем сейсмодеформационного мониторинга и методов обработки данных, ориентированных на прогнозирование катастрофических природных и техногенных явлений, является одной из фундаментальных проблем геомеханики и геофизики. Многолетние попытки поиска прогностических признаков землетрясений подтверждают исключительную сложность задачи и необходимость комплексного применения всех возможных геофизических и математических методов, проведения общего анализа материалов сейсмологических наблюдений и расчетов напряженно-деформированного состояния геологической среды.
К настоящему времени накоплены значительные сведения по оценке произошедших землетрясений и закономерностям их повторяемости, последствиям сейсмических событий. Однако достаточно достоверных объяснений проявления признаков нарастания сейсмичности в настоящее время нет. Интенсивное развитие инструментальной базы наблюдательной' сейсмологии, появление новых технических средств измерения важных физико-механических параметров, характеризующих динамику геологических структур (высокоточные ОРБ/ОЬОКАЗ приемники, прецизионные наклономеры высокой разрешающей способности, тяжелые передвижные вибросейсмоисточники, высокоскоростные станции обработки цифровой информации), позволили значительно увеличить объем регистрируемой информации о сейсмических событиях.
Земная кора образует наружную зону литосферы, состоящую из контактирующих литосферных плит. Области контактов характеризуются наибольшим числом очагов сильных землетрясений. Однако в последние десятилетия появилось множество доказательств, позволяющих говорить о постоянных изменениях, происходящих на поверхности и в глубинах Земли не только в сейсмоактивных районах, но и в равнинно-платформенных
областях [156], то есть сейсмические события происходят и в удаленных от глобальных разломов зонах, что указывает на определенную роль разломов сравнительно малой мощности. Это является одной из причин усиления внимания исследователей в различных областях науки к изменению напряженно-деформированного состояния верхней части земной коры. При изучении причин сейсмического события следует анализировать и мелкомасштабные особенности: разломы, включения, неоднородности. Сама литосферная плита при этом может моделироваться горизонтально протяженной и даже неограниченной трехмерной плитой сложного строения.
Другая очевидная причина повышения интереса к исследованию напряженно-деформированного состояния литосферных плит - глобальные масштабы промышленной деятельности человека, связанной с отбором углеводородов из глубинных зон Земли, взрывами большой мощности, имеющими место в очагах военных действий, и т.д., создающей так называемые наведенные геомеханические процессы, способные вызвать техногенные катастрофы. Несмотря на относительно редкие макропроявления сейсмичности в виде техногенных и индуцированных землетрясений, их разрушающее влияние и нанесенный экологический ущерб могут быть велики [3]. Реакция земной коры на техногенные воздействия зависит не только от интенсивности и вида воздействия, но и от характера естественного деформационного процесса, энергонасыщенности структур коры, распределения и величины напряжений в ней.
Физика землетрясения изучается в различных научных центрах на протяжении многих лет. В.В. Кузнецов [153] отмечает работу Х.Ф. Рейда [293] как положившую начало подобным исследованиям.
Несмотря на значительные усилия и очевидные успехи, проблема оценки сейсмичности и прогноза землетрясений далека от полного решения. Оценка сейсмического состояния глубинных слоев Земли является чрезвычайно сложной задачей, решение которой предполагает построение моделей участков земной коры и породных массивов и использование в
данных моделях сейсмологической информации инструментальных наблюдений.
В настоящее время существуют разные модели сейсмичности. Теория распространения сейсмических волн, основанная на линейно-упругой модели, нашла отражение в монографии К. Аки, П. Ричардса [5]. Фундаментальные проблемы динамики земной коры рассматриваются в работах В.В. Адушкина, В.Н. Родионова, М.А. Садовского, В.Ф. Писаренко и других авторов [2, 3, 231, 234, 235, 237, 236]. Важные результаты в области развития методов исследования структуры верхней литосферы и интерпретации данных сейсморазведки принадлежат Г.А. Гамбурцеву, Е.В. Гальперину, Ю.В. Ризниченко [229, 230]. Большой вклад в развитие моделей сейсмических волновых процессов внесли А.О. Глико, A.B. Николаев, У.Ф. Саваренский, Л.Е. Собисевич, A.JI. Собисевич, Ю.К. Чернов [183, 184,233,244,245,257] и др.
Различные подходы к исследованию сейсмических процессов, обеспечивающие известные успехи, отражены в работах A.C. Алексеева, Л.В. Канторовича, Б.В. Кострова, В.В. Кузнецова, С.В. Медведева,. [10, 142, 151, 153, 154, 169], а также в работах других авторов
[145, 147, 156, 180, 215, 228, 251, 257, 266, 268, 274, 275]. Приведенный перечень работ ни в коей мере не претендует на полноту.
При всем разнообразии подходов выполнено немного исследований по анализу сейсмической напряженности с позиции механики разрушения литосферных плит. Известные в этой области работы зачастую связаны с идеализацией строения литосферных плит, в то время как при исследовании напряженно-деформированного состояния геологических сред нельзя не учитывать их сложную структуру, преднапряженность, сильную анизотропию, термоэлектроупругость и пр.
В работах академика М.А. Садовского, уделявшего большое внимание исследованию проблем сейсмичности, приведены многочисленные примеры, свидетельствующие о блочном строении земной коры [234-237]. В настоящее время получены существенные результаты в рамках моделей геофизических
сред, использующих представление о блочном строении коры Земли, обоснованном в работах М.А. Садовского. Активно проводятся исследования строения геофизической среды, состоящей из целого ряда составляющих (упругих и неупругих) в большом диапазоне масштабов.
Однако изучение волновых явлений в коре Земли не позволяет отвергать и ее сплошности, игнорируя процессы, приводящие к «залечиванию» разломов, представляющиеся альтернативными процессам нарушения сплошности земной коры [79]. Учет таких данных приводит к необходимости дальнейшей разработки континуальных моделей сред с неоднородностями, позволяющих исследовать напряженно-деформированное состояние геологической среды в значительных объемах.
Относительные (дифференциальные) смещения блоков геологической среды существенно влияют на ее поведение при внешних воздействиях. Возможность возникновения дифференциальных движений связана в первую очередь со сложной структурой реальной геологической среды. Неоднородность, проявляющаяся в виде естественных структурных нарушений и зон ослабления прочности среды (тектонические разломы, множественные трещины и включения разного масштаба и т.д.), определяет ее деформационные и прочностные свойства, которые играют важную роль в формировании отклика на внешние воздействия.
Наличие подобного рода структур неоднократно отмечалось при экспериментальном изучении условий распространения сейсмических сигналов в реальной геологической среде. В частности, профессором университета Теннеси Р. Вильямсом (США, Ноксвилл) методами вибросейсморазведки были построены горизонты по всей толщине литосферной плиты в штате Огайо. Таким образом, концепция возникновения сейсмических событий, связанная с разрушением сплошности зон коры Земли как деформируемой среды, вполне обоснована. Для ее реализации приходится применять большой арсенал методов механики деформируемого твердого тела.
8
Современные методы исследований геодинамических явлений включают разнообразные экспериментальные и теоретические подходы. Однако необходимость учета множественных внешних факторов, влияющих на напряжённо-деформированное состояние литосферных плит, приводит к значительным трудностям в изучении этих вопросов. Многоплановые и многофункциональные воздействия естественных и техногенных факторов способствуют изменению энергетического и напряженно-деформированного состояния геологической среды и проявляются в изменении характеристик экспериментально измеряемых геофизических полей. К числу таких факторов относятся: глобальные вариации скорости движения в космическом
пространстве всей Солнечной системы, центробежные силы, связанные с вращением Земли, смена времен года и, как следствие, температурные и деформационные изменения, геодинамичсский режим движения литосферных плит, приливные процессы в твердой Земле, солнечная активность, действие 1равитационных полей, выпадение осадков и т.д.
Анализ сейсмической напряженности литосферных плит с позиции механики деформируемого твердого тела приводит к исследованию задач для слоисто-блоковых сред с множественными неоднородностями и оболочек, испытывающих динамические воздействия различной природы. Изучение такого рода задач требует привлечения методов механики контактных взаимодействий деформируемых тел.
Значительный вклад в исследование контактных задач внесли российские и зарубежные исследователи Б.А. Абрамян, В.М. Александров, Ю.М. Амензаде, А.Е. Андрейкив, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, A.A. Баблаян, A.B. Белоконь, Н.М. Бородачев, А.О. Ватульян, И.й. Ворович, Л.А. Галин, И.П. Гетман, Е.В.Глушков, Н.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейн,
A.Г. Горшков, И.Г. Горячева, В.Г. Гринченко, А.Н. Гузь, И.М. Дунаев,
О.Ю. Жарий, В.В. Зозуля, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, В.И. Колесников,
B.Д. Купрадзе, A.C. Космодамианский, Е.В. Ломакин, A.B. Манжиров, В.П. Матвеенко, В.В. Мелешко, Н.Ф. Морозов, В.И. Моссаковский,
Н.И. Мусхелишвили, A.B. Наседкин, В. Новацкий, В.В. Панасюк, В.З. Партон, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, B.C. Саркисян, В.М. Сеймов, М.Г. Селезнев, Л.И. Слепян, Б.И. Сметанин, A.B. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский,
A.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, Л.А. Фильштинский, М.И. Чебаков, Г.П. Черепанов, J.D. Achenbach, A. Ben-Menahem, A.TT.-D. Cheng, D.T. Cheng, W.M. Ewing, W.S. Jardetzky, M.J. Musgrave и другие авторы. В монографиях [15, 22, 51, 93, 94, 112, 138-140, 170, 177, 260] приведены достаточно полные обзоры работ по динамике контактного взаимодействия.
В Кубанском государственном университете и Южном научном центре РАН ведутся работы по созданию новых методов прогноза сейсмичности. Основная идея подхода состоит в исследовании концентраций напряжений в литосферных плитах как деформируемых физико-механических объектах сложного строения. В работах [63, 133] с помощью факторизационных методов исследовано влияние внутренней активности Земли на напряженно-деформированное состояние литосферных гшит.
В макромасштабной модели строения коры Земли литосферные плиты можно рассматривать как покрытия с относительно малой толщиной в масштабах Земли. В другом масштабе литосферную плиту можно моделировать полуограниченным упругим телом с покрытием.
Существенный вклад в развитие теории смешанных задач механики сплошных сред с покрытиями внесли С.А. Амбарцумян, В.И. Авилкин,
B.М. Александров, Н.Х. Арутюнян, И.И. Ворович, И.Н. Векуа, А.И. Лурье,
А.Л. Гольденвейзер, Г.И. Петрашень, а также их ученики и последователи [6, 15, 77, 88, 109]. Различные задачи, нашедшие практические приложения, исследованы в работах A.C. Вольмира, И.Г. Горячевой, Е.В. Коваленко,
A.B. Манжирова, С.М. Мхитаряна, Б.Л. Пелеха и др. Детальный обзор и анализ подходов, применяемых при решении контактных задач для тел с покрытиями, приведен в статье Е.В. Коваленко [170].
При исследовании геологической среды на практике геофизики и механики всегда имеют дело с неоднородными структурами. Используемые
механико-математические модели геофизической среды весьма многообразны, степень их общности и сложности определяется решаемыми с их помощью задачами. Однако существует реальная необходимость разработки моделей, учитывающих слоисто-блочное строение, анизотропность среды, широкий спектр физико-механических характеристик, преднапряженность, наличие совокупностей неоднородностей и т.д.
В настоящее время при решении задач для сред, обладающих различными свойствами, широко используются конечно-элементные подходы [261]. Существует целый набор зарубежных комплексов. Ряд теоретических результатов по конечно-элементным аппроксимациям изложен в монографии
В.Н. Апановича [14]. Эти методы хорошо зарекомендовали себя в задачах изотропной теории упругости, были построены различные типы конечных элементов [296], в многочисленных публикациях метод конечных элементов (МКЭ) получил развитие для новых типов краевых задач, учитывающих разнородность сред и действие различных физических полей (электроупругие, термоэлектроупругие материалы, пьезоэлектрики и т.д.) [64, 65, 181, 188, 264, 265, 269, 273, 276, 295]. Созданию новых технологий МКЭ посвящена работа [73]. Однако для более сложных сред в задачах генерации установившихся гармонических колебаний метод конечных элементов неэффективен ввиду неограниченности области, охваченной возмущением.
Моделированию динамических процессов в упругих ограниченных и полуограниченных телах, содержащих неоднородности, посвящено большое количество работ, обзоры которых приведены в [209, 214, 242, 256, 272]. В работах В.М. Александрова, В.А. Бабешко, А.О. Ватульяна, Е.В. Глушкова,
Н.В. Глушковой, Р.В. Гольдштейна, А.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.В. Михаськива,
Н.Ф. Морозова, Ю.Н. Подильчука, Г .Я. Попова, О.Д. Пряхиной, М.Г. Селезнева, Б.И. Сметанина, A.B. Смирновой, Г.П. Черепанова и других авторов описаны результаты исследований применительно к различным упругим и пластическим материалам в широком диапазоне постановок задач. Так, в [103, 104, 105, 106] изучаются проблемы дифракции волн на трещине, в
[9, 110, 123, 174, 175] исследуются механизмы распространения дефектов и процессы, приводящие к разрушению. В ряде работ, например [111, 120], задачи для тел с трещиной рассматриваются с учетом контактного взаимодействия берегов.
Разнообразие постановок задач для сред с неоднородностями определяет широкий круг методов, применяемых для их решения. Большое число работ посвящено численному решению названных задач [262, 267, 270, 278, 279, 283, 299].
В большинстве публикаций рассматривается динамика одной неоднородности, что не позволяет обнаружить особенности, свойственные их совокупности.
При воздействии внешних сил на неоднородности литосферной плиты могут активизироваться процессы, приводящие к появлению зон разуплотнения (дилатансных зон). Зарождение и развитие зон дилатансии можно связывать с активизацией «вирусов» вибропрочности - совокупностей неоднородностей различной природы (трещин и включений), описанных в работах [26, 17, 18, 24, 25]. На сегодняшний день академиком
A.C. Алексеевым и его учениками установлено, что зарождение и развитие локальных дилатансных структур имеет место на этапе подготовки сейсмических событий в упругих средах.
Локальные изменения сейсмической активности, наблюдаемые в тектонически опасных регионах, указывают на то, что в условиях глобального взаимодействия литосферных плит в слоисто-блоковой геофизической среде имеют место явления, связанные с возникновением резонансных взаимодействий, обусловленных как медленными деформационными процессами, так и групповым взаимодействием деформационных волн разгрузки, распространяющихся из очагов произошедших землетрясений и активизирующих области, резонансные свойства которых способствуют возникновению новых очагов.
Свойство совокупности дефектов при определенных условиях локализовывать волновой процесс в своей окрестности лежит в основе открытия
В.А. Бабешко, И.И. Воровича, И.Ф. Образцова «Явление высокочастотного резонанса в полу ограниченных телах с неоднородностями» [50]. Работы [17, 24-26, 30, 31, 95] содержат теоретическое обоснование явления локализации волнового процесса.
Использование механически и математически строгой теории «вирусов» вибропрочности, систематизация типов неоднородностей, локализующих волновой процесс, вызывая рост деформаций в ограниченной области, позволяет перейти к исследованию моделей, более точно учитывающих свойства геологической среды, и определить условия, при которых происходит локализация волнового процесса. Для «вирусов» различных классов такие условия в виде теорем сформулированы в [17, 24, 25], для систем дефектов различного строения в работах [31, 49, 58, 220, 221, 223, 225, 226] проведено исследование условий локализации.
Традиционные численно-аналитические и численные методы анализа зачастую становятся неэффективными при исследовании динамических задач для сред с дефектами, даже в случае небольшого числа дефектов, поскольку напряженно-деформированное состояние механических систем такого рода зависит от многих параметров. При возрастании частоты колебаний и в протяженных областях многие из методов вовсе неприменимы.
Одним из перспективных направлений является использование методики граничных интегральных уравнений (ГИУ) и опирающегося на нее метода граничных элементов (МГЭ). В основе данной группы методов лежит сведение исходных задач к системам двумерных интегральных (операторных) уравнений первого и второго рода, при этом используются различные подходы. Один из подходов для операторов теории упругости и термоупругости отражен в работах [11, 157-159]. Граничные уравнения для моделей линейной электроупругости даны в [209, 253], разработка конечноэлементных аппроксимаций к такого рода задачам проведена в [287].
Теоретические основы построения фундаментальных решений для операторов в частных производных содержатся в работах [155, 164], в [285, 289-291] использованы известные представления функций Грина.
В работах [18, 51] были построены системы ГИУ первого рода с гладкими ядрами для задач изотропной теории упругости, дальнейшее развитие применение ГИУ с гладкими ядрами получило в работах [74-76]. Кроме того, определенные успехи применения метода ГИУ и основанного на нем МГЭ отражены в [66, 70, 148, 149, 166, 250, 282, 286, 294, 298,299].
Однако усложнение формы области и наличие множественных неоднородностей существенно затрудняет применение указанных методов. Кроме того, вследствие установленной в [24] неединственности решения динамических задач для сред, содержащих совокупность неоднородностей, при некоторых параметрах применение указанных методов следует контролировать аналитическими методами.
Использование широко распространенного в настоящее время МКЭ применительно к решению указанного класса задач представляется эффективным лишь при исследовании задач о нестационарном воздействии на многослойную структуру при относительно малом времени наблюдения. Увеличение последнего приводит к существенному увеличению размеров области, подлежащей разбиению, что увеличивает время счета и снижает его точность [170].
Землетрясение - это разрушение литосферной плиты, происходящее с высвобождением накопившейся в ней упругой энергии. Сейсмический режим как следствие деформационных процессов формируется, как уже было сказано, под действием сил различной природы: тепловой конвекции, гравитации, инерции, приливных воздействий и т.д.
Изучение каждого из указанных явлений представляет собой отдельное, достаточно емкое исследование. Даже краткое описание проблемы показывает, что существует острая необходимость совершенствования прогностических методов геофизических катастроф. Последнее неразрывно
связано с развитием имеющихся и разработкой новых физико-математических методов исследования краевых задач механики деформируемого твердого тела для сред сложного строения.
Практически важным объектом изучения является верхняя часть земной коры, где сосредоточена деятельность человека. Особое внимание в-настоящее время уделяется воздействию на земную кору техногенных источников, например, слабых, но продолжительных по времени механических вибраций (автомобильные и железные дороги, промышленные комплексы), способных приводить к резонансным явлениям на некоторых элементах земной коры [2]. Настоящая работа посвящена изучению влияния поверхностных воздействий на напряженно-деформированное состояние геологической среды и связана с оценкой концентраций напряжений, возникающих в литосфериых плитах, с учетом блочного строения последних и наличия межблоковых нарушений сплошности (трещин, включений), которые определяют в целом деформационные свойства и устойчивость к внешним воздействиям слагающих плиты массивов.
Актуальность проведенных исследований определяется необходимостью создания теоретических основ сейсмодеформационного мониторинга и методов обработки данных, ориентированных на прогнозирование катастрофических природных и техногенных явлений. Не решенная на сегодняшний день проблема прогноза землетрясений требует разработки математического аппарата исследования ключевых механизмов развития сейсмических явлений.
Самостоятельный интерес представляет развитие принципиально новых механико-математических методов диагностики напряженного состояния сложных структур, находящихся в условиях динамических воздействий.
Целью исследования является:
- математическое моделирование динамики литосферных плит в результате воздействия поверхностных факторов;
- изучение напряженно-деформированного состояния литосферных плит, обусловленного воздействиями различного типа на поверхность Земли;
- разработка математического аппарата, основанного на идеях факторизации, для исследования деформационных процессов, позволяющего учитывать сложное строение среды (слоисто-блочную структуру, наличие внутренних концентраторов напряжений и покрытий);
- выявление закономерностей, связанных с поведением литосферных плит различного строения.
Достижение поставленной цели осуществлялось путем решения следующих задач:
- моделирование динамического поведения сред с учетом их блочного строения;
- моделирование динамических процессов в слоистых средах при наличии множественных дефектов типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев;
- моделирование динамических процессов в упругих средах при наличии покрытия;
- развитие математических методов исследования краевых задач, возникающих при моделировании динамических процессов в средах сложного строения;
- применение развитых факторизационных методов к решению задач для слоисто-структурированных сред при наличии дефектов на границах структурных элементов;
- применение факторизационных методов к исследованию процессов формирования покрытий за счет осаждения субстанций на подложку;
- развитие метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений динамических контактных задач.
16
Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:
- математический аппарат, включающий в совокупности теорию «вирусов» вибропрочности, дифференциальный метод факторизации, интегральный метод факторизации, метод блочного элемента, впервые применен к исследованию и решению задач механики деформируемого твердого тела для многослойных сред с множественными неоднородностями и оболочек, испытывающих динамические воздействия;
- предложен новый аналитический метод построения систем интегральных уравнений динамических задач для слоистых и блочных упругих сред с учетом включений и расслоений на контактных границах;
- получены матрично-функциональные соотношения для различных сред, служащие основой для построения систем интегральных уравнений исследуемых задач;
- эффективный метод решения интегральных уравнений динамических контактных задач - метод фиктивного поглощения обобщен на случай невыпуклых в плане областей контакта;
- построены аналитические представления решений краевых задач для блочно-структурированной среды.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением результатов решения простых задач с полученными иными методами, а также сравнением с результатами, полученными другими авторами.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения.
В первой главе даны постановки задач, моделирующих динамику литосферной плиты с позиций механики деформируемого твердого тела с учетом ее строения и наличия внутренних концентраторов напряжения. Приведены определяющие уравнения и соотношения динамики упругого анизотропного тела, обладающего пьезо- и пироэлектрическими свойствами,
17
рассмотрены различные типы начальных и граничных условий, выполнены постановки задач о взаимодействии массивных твердых тел с полуограниченной термоэлектроупругой средой в рамках линейной теории. Здесь же приведены системы уравнений, описывающих динамические процессы в слоистых средах, содержащих внутренние дефекты, при взаимодействии с поверхностными объектами.
В п. 1.3 первой главы сформулированы основные определения и положения теории «вирусов» вибропрочности, используемые при классификации сформулированных задач для слоисто-структурированных сред с дефектами.
Во второй главе изложены сведения о факторизации функций и матриц-функций (п. 2.1), приведена общая схема дифференциального метода факторизации (п. 2.2) и продемонстрировано применение факторизационных методов к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (п. 2.3).
Создание основанного на методах топологической алгебры, функционального анализа, теории представления групп и интегральной геометрии [4, 68, 80, 84, 85, 98, 99, 135, 160, 168, 171, 249, 258, 259] нового математического аппарата исследования блочных структур позволяет изучать особенности напряженно-деформированного состояния литосферной плиты в рамках теории М.А. Садовского. В п. 2.4 рассмотрено применение дифференциального метода факторизации к решению динамической задачи для изотропного упругого тела.
Рассматриваемые в диссертационной работе системы дифференциальных уравнений в частных производных являются весьма общими. Результаты теоретических исследований такого рода систем различными методами отражены в работах [1, 82-87, 141, 157, 161, 165, 168, 248,259] и др.
Ценность дифференциального метода факторизации заключается в его применимости к исследованию краевых задач для дифференциальных
18
уравнений по одному и тому же алгоритму, независимо от типа дифференциальных уравнений. Однако его реализация для задач механики деформируемого твердого тела, порождаемых исследованиями литосферных плит, подверженных поверхностным воздействиям, недостаточно проработана и требует дальнейшего развития.
В представленной работе сделаны дальнейшие шаги в разработке математического аппарата исследования структурно-неоднородных сред в направлении, обозначенном в работах [27, 29-32, 35, 37, 41, 43]. В п. 2.5 дифференциальный метод факторизации обобщен на случай блочной структуры. На основании дифференциального метода факторизации разработан способ сведения краевых задач к псевдодифференциальным уравнениям. В зависимости от размерностей блоков псевдодифференциальные уравнения оказываются дифференциальными, интегро-дифференциальными или интегральными уравнениями.
При исследовании задач для блоков сложной формы предлагается осуществлять их разбиение на составляющие с плоскими границами, названные блочными элементами. В п. 2.6 построены примеры ограниченных [44] и полуограниченных блочных элементов.
Благодаря дифференциальному методу факторизации удалось сформировать алгоритмы теории блочных структур, следствием чего стала возможность введения блочного элемента как альтернативы конечному элементу [14, 261, 296], имеющему свои достоинства и недостатки. Блочный элемент является инструментом, позволяющим распространить методы теории блочных структур на среды с переменными и нелинейными свойствами и открывающим возможность для представления решений во внутренних областях через значения некоторых дифференциальных форм, задаваемых на границах рассматриваемой области и в заданных сечениях областей.
В третьей главе рассмотрены краевые задачи механики деформируемого твердого тела, поставленные для слоистых структур при наличии совокупности внутренних неоднородностей. Предложен новый
19
аналитический метод построения функциональных уравнений и систем интегральных уравнений для слоисто-струк гурированной среды на основе дифференциального метода факторизации.
В п. 3.1 построены функциональные уравнения для упругого слоя на основе дифференциального метода факторизации. Для однородного изотропного слоя к тем же соотношениям, являющимся своеобразной формой записи граничных интегральных уравнений, приводит использование теоремы Бетти [51]. Однако дифференциальный метод факторизации демонстрирует более общий подход, так как переход к уравнениям для анизотропных и электроупругих сред требует дополнительных усилий по построению аналогов формулы Бетти.
На основе полученных соотношений для слоя с использованием элементов алгоритма, предложенного О. Д. Пряхиной [94], построены матрицы Грина и выписаны матрично-функциональные соотношения для пакета слоев и слоистого полупространства, подверженных динамическому воздействию (п. 3.2). В п. 3.3 и 3.4 построены матричные соотношения, соответствующие различным случаям расположения дефектов типа трещин (п. 3.3) и жестких включений (п. 3.4) в слонсто-структурированной среде.
В данной главе рассмотрены упругие задачи для структурированной среды с дефектами. Однако метод факторизации дает возможность исследовать с единых позиций все основные типы краевых задач, возникающих в процессе изучения напряженно-деформированного состояния сред при наличии воздействий внешних полей любой природы, описываемых системами линейных уравнений в частных производных конечного порядка с постоянными коэффициентами. Достоинством предложенного подхода является его тесная связь с методом преобразований Фурье в областях с плосконараллельными границами, кроме того, использование метода факторизации упрощает построение систем интегральных уравнений рассматриваемых задач (п. 3.5).
В п. 3.5 приведены известные асимптотические свойства элементов матриц-блоков символов ядер построенных систем интегральных уравнений, знание которых необходимо для построения приближенных решений, детально исследованные в серии работ О.Д. Пряхиной, A.B. Смирновой [217, 218, 221, 222, 224, 226, 227]. В этих работах проведено также аналитическое исследование корневых и полярных множеств элементов и определителей матриц-символов ряда динамических задач для многослойных сред с неоднородностями.
Полученные в настоящей работе представления матриц-блоков символов ядер систем интегральных уравнений для слоистоструктурированных сред с нарушениями сплошности на структурных границах позволяют реализовать численные алгоритмы построения корневых и полярных множеств их элементов и определителей для широкого круга задач.
В четвертой главе изложен подход к моделированию установившихся колебательных процессов для упругой среды с покрытием. В качестве покрытий рассмотрены пластины, движение которых описывается системой дифференциальных уравнений в перемещениях. Используемая модель покрытия отличается от традиционной модели накладки. В настоящей главе проблема взаимодействия литосферных плит как контактирующих разделенных деформируемых плит, расположенных на деформируемом основании, рассматривается в рамках теории смешанных задач упругости. Кроме того, в другом масштабе литосферную плиту можно моделировать полуограниченным упругим телом сложного строения, имеющим покрытие.
В п. 4.2 построены системы интегральных уравнений, в п. 4.3 рассмотрен метод решения системы для случая двух полуограниченных пластин на упругом основании. Для преодоления трудностей, вызванных степенным ростом элементов матриц-символов ядер полученных систем, использован метод выноса дифференциального оператора. Появляющиеся при этом произвольные функции определяются из дополнительных физических условий.
Продемонстрировано применение интегрального метода факторизации к решению задач расчета временных покрытий, формирующихся за счет осаждения субстанций на разнотипные подстилающие поверхности (п. 4.4).
Пятая глава посвящена развитию теории интегральных уравнений, задаваемых в областях сложной формы.
Метод фиктивного поглощения обобщен для случая невыпуклых в плане областей, занимаемых штампом или дефектом. Достоинство данного метода заключается в возможности описания решения как внутри области контакта, так и в окрестности ее границ. Метод применим для решения контактных задач вибрации штампов, жестких включений или полостей произвольной в плане формы. Предполагается, что невыпуклая область контакта представляет собой объединение ограниченных областей, общими у которых могут быть только граничные множества.
В работе дана модификация указанного метода в части подбора базисных функций (п. 5.1). Использование производных дельта-функций облегчает построение решений. В настоящей главе приведены примеры аналитических представлений приближенных решений для ряда различных областей (п. 5.3 и 5.4).
Метод фиктивного поглощения позволяет использовать весь арсенал методов решения статических смешанных задач. Данный метод, будучи полуаналитическим, устраняет недостатки прямых численных методов. Область применения полученных формул, дающих приближенные решения динамических задач, определяется областью применения решений соответствующих задач для сред с сильным затуханием.
В диссертационной работе проведен комплекс теоретических исследований напряженно-деформированного состояния литосферных плит как сложных деформируемых объектов с неоднородностями. Получил дальнейшее развитие метод факторизации, использующий топологический подход и позволяющий строить представления решений рассматриваемых задач в различных интегральных формах.
Полученные результаты открывают определенные перспективы разработки новых моделей и развития методов, направленных на построение теории деформирования литосферных плит и слагающих их горных массивов с учетом их строения. Совокупность научных положений и результатов, полученных и обоснованных в диссертационной работе, служит развитию нового перспективного научного направления в механике деформируемых тел сложной структу ры.
Научное и практическое значение результатов работы состоит в следующем:
- методы, получившие дальнейшее развитие в диссертационном исследовании, позволяют с единых позиций изучить комплекс проблем сейсмологии, связанных с нарастанием напряжений в литосферной плите;
- результаты проведенных теоретических исследований, построенные модели и предложенные подходы позволяют по-новому подойти к изучению сейсмических событий, разработке методов вибрационного воздействия на очаги концентрации напряжений, постановке экспериментальных работ, связанных с изучением волновых полей в геофизической среде, а также дать правильное толкование наблюдаемым геофизическим процессам и явлениям;
- изучение динамики упругих сред с множественными неоднородностями может найти применение при выборе путей и методов изменения резонансных свойств среды в геофизике и сейсмологии - при разработке методов контроля напряженного состояния горных пород, раннего прогнозирования землетрясений и выявления путей разрядки сейсмичности;
- предложенные методы исследования могут быть использованы при расчетах конструкций и их элементов на прочность, в решении проблем виброзащиты и сейсмостойкости сооружений.
Работа выполнялась в рамках ряда государственных научно-технических программ. Результаты исследований использовались при выполнении проектов, поддержанных отечественными и международными
научными фондами, что также указывает на актуальность и практическую значимость работы.
Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 58 публикациях, в том числе 15 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК.
В работах [49, 57-59, 81] научному консультанту В.А. Бабешко принадлежат постановка задачи, обоснование и выбор метода решения,
A.B. Павловой - аналитический метод исследования динамических краевых задач для полуограниченных сред с неоднородностями при произвольном их количестве и произвольном расположении в слоистой среде, функциональноматричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых моделей со скачками перемещений на берегах трещин и скачками напряжений на границах включений, остальным авторам -обсуждение проблемы, разработка численных алгоритмов, реализация их на ЭВМ, а также анализ полученных результатов.
В работах [45, 128], посвященных приложениям дифференциального метода факторизации, научному консультанту принадлежат постановка задач, диссертантом выполнено построение внешних форм, получено решение динамической краевой задачи, остальными авторами исследованы внешние формы, получено решение статической краевой задачи.
В работах [46, 54], посвященных применению факторизационных методов для изучения блочных структур, научному консультанту принадлежат постановка задач и анализ результатов, диссертанту -построение псевдодифференциальных и интегральных уравнений для контактирующих блоков, остальным авторам - исследование краевых задач для разноразмерных блочных структур, обсуждение возможностей применения теории блочных структур в приложениях.
В работе [130] научному консультанту принадлежит идея метода блочного элемента, диссертанту — построение псевдодифференциальных
уравнений блочного элемента, остальным авторам - построение функциональных уравнений и представления блочного элемента.
В работе [134] A.B. Павловой получен окончательный вид функционально-матричных соотношений для анизотропной полуограниченной среды с трещинами. Остальным авторам принадлежат постановка задачи, обоснование метода решения, обсуждение проблемы, разработка численных алгоритмов, реализация их на ЭВМ, а также визуализация и анализ полученных результатов.
В работах [143, 182, 191-193, 198, 200, 201, 205, 206] содержательная часть принадлежит диссертанту, соавторами выполнены постановочная часть, обзор моделей, реализация численных алгоритмов на ЭВМ и визуализация полученных результатов.
Автор выражает искреннюю благодарность научному консультанту
В.А. Бабешко за определение направления диссертационного исследования, постановку задач и обсуждение результатов.
25
1 Моделирование динамики лнтосферной плиты как структурнонеоднородного деформируемого тела
В настоящей главе приводятся постановки задач, моделирующих динамику лнтосферной плиты с позиций механики деформируемого твердого тела с учетом се строения и наличия внутренних концентраторов напряжения.
Проблема оценки напряженного состояния горных пород является актуальной в геофизике и сейсмологии при разработке методов раннего прогнозирования землетрясений и мониторинга сейсмоопасных районов. Исследованию процессов нарастания сейсмичности уделяется значительное внимание. Но, несмотря на накопленный обширный материал, относящийся к оценке произошедших землетрясений, повторяемости сейсмических событий, местам их традиционного проявления, проведено немного исследований по анализу сейсмической напряженности с позиции механики разрушения литосфсрных плит.
Для горных массивов характерно слоисто-блочное строение. Расчет напряженно-деформированного состояния вблизи выработок требует учета реального строения массива. Один из путей решения проблемы прогнозирования сейсмических явлений — построение модели, адекватно описывающей сложные физико-механические процессы в геологической среде.
Ниже рассматриваются начально-краевые задачи механики деформируемого твердого тела, поставленные для структурированных сред, содержащих совокупности неоднородностей.
1.1 Начально-краевые задачи динамической теории упругости
Уравнения движения анизотропной среды, занимающей объем V и ограниченной поверхностью 5, с учетом сопряженных электрических и температурных полей включают в себя линейные уравнения состояния,
26
уравнения движения в напряжениях, уравнения Максвелла, уравнения теплопроводности и соотношения Коши [94].
Уравнения состояния имеют вид
= СуИ 5к! ~ еук^к Яу в ,
^1 = еШЯи + 8о’Р^к + Р*@ >
»7 = Л£я0+р;Е,+а£.
Здесь - компоненты тензора напряжений упругой среды; с[-у -компоненты тензора упругих постоянных; - тензора деформаций, £, -компоненты вектора напряженности электрического поля; 9 = Т~Т0, 9, Ти Г0 -относительная, абсолютная и начальная температуры соответственно; с1, -компоненты вектора электрической индукции; у — плотность энтропии, е°т -компоненты тензора пьезомодулей; е*:° - компоненты тензора диэлектрических проницаемостей; - температурные коэффициенты механических
напряжений; р\ - пироэлектрические коэффициенты; а. = рс^Т~х, с* -удельная теплоемкость при постоянной деформации; р — плотность материала. Верхние индексы Еу0^ указывают, что соответствующие величины измерены при постоянном 'температурном и электрическом полях
Тензоры постоянных, входящих в уравнения состояния, классифицированы в [124], там же приведены таблицы их значений для различных кристаллов и пьезоэлектрической керамики.
Часто при решении задач механики деформируемых пиро- и пьезоэлектрических сред при записи уравнений движения и граничных условий используется матричная система обозначений Фойгта сш =сар> ето= еша » нумерация парных индексов определяется
соотношениями: у-*а, 11 —> 1, 22->2, 33-»3. Нумерация смешанных
27
- Київ+380960830922