Нестационарные режимы тепломассообмена в пористой среде

Оглавление
Введение...............................................................6
Общая характеристика работы...........................................22
Глава I: Конвекция в замкнутой области пористой среды при наличии
бокового просачивания жидкости и модуляции силы тяжести...............28
§1.1. Постановка задачи.............................................29
1.1.1. Двумерная постановка. Плоские возмущения...................29
1.1.2. Трехмерная постановка. Пространственные возмущения.........31
§ 1.2. Решение уравнений для малых возмущений.......................34
1.2.1. Метод решения и общие замечания............................34
1.2.2. Неоднородная линейная задача для уравнений, описывающих плоские возмущения.............................................35
1.2.3. Неоднородная линейная задача для уравнений, описывающих пространственные возмущения....................................38
1.2.4. Слабонелинейный анализ для уравнений, описывающих плоские возмущения.....................................................41
1.2.5. Параметрический резонанс в длинноволновом приближении........
..................................................................46
§ 1.3. Численный анализ нелинейных амплитудных уравнений в рамках двумерной постановки задачи........................................50
1.3.1. Фазовое пространство.......................................50
1.3.2. Характерные режимы поведения...............................53
1.3.3. Континуум циклов (вырожденный случай)......................55
1.3.4. Переход континуума к одному режиму эволюции................58
1.3.5. Анализ отображений фазового угла...........................60
§ 1.4 Численное исследование уравнений для пространственных возмущений при конечных значениях волнового числа..................63
1.4.1. Анализ стационарных уравнений..............................63
2
1.4.2. Анализ нестационарных уравнений. Общие замечания............66
1.4.3. Метод естественного базиса..................................67
1.4.4. Обсуждение результатов......................................70
§ 1.5. Заключение....................................................76
Глава 2: Моделирование диффузии в насыщенной пористой среде с учетом
эффектов прилипания примеси к скелету..................................79
§ 2.1. Фрактальная модель мобильно немобильных сред (MIM)............83
2.1.1. Фрактальная MIM модель как асимптотика скачкообразного процесса.......................................................83
2.1.2. Аналитический метод решения задачи Дирихле для уравнений М1М модели.....................................................84
2.1.3. Уравнения в терминах потока концентрации....................86
2.1.4. Аналитический метод решения задачи с граничным условием на потоки для уравнения MIM модели. Задача Неймана................87
2.1.5. Численное решение. Конечные разности........................90
2.1.6. Численное решение. Консервативная схема.....................91
2.1.7. Методы решения одномерных задач.............................95
2.1.8. Одномерная задача Дирихле..................................101
2.1.9. Одномерная задача со смешенными граничными условиями 109
2.1.10. Одномерные задачи с локализованными начальными расределениями. Моделирование «sand box» эксперимента.........112
§ 2.2. Эмпирический подход. Двухфазная кинетическая модель.........116
2.2.1. Линеаризация уравнений....................................117
2.2.2. Схема разделения переменных для линеаризованных уравнений 118
2.2.3. Численная схема решения уравнений двухфазной модели 1 19
2.2.4. Задача Дирихле аналитическое решение.......................120
2.2.5. Задача Дирихле численное решение...........................121
2.2.6. Задачи с локализованными начальными распределениями. Моделирование «sand box» эксперимента.........................124
§ 2.3. Сравнение моделей............................................129
г
§ 2.4. Заключение.................................................135
§3.1. Концентрационная конвекция, уравнения и возмущения...........137
3.1.1. Общий вид уравнений ....................................137
3.1.2. Двухфазная и М1М модели..................................139
3.1.3. Стационарное решение......................................140
3.1.4. Монотонные возмущения стационарного решения...............141
3.1.5. Конвекция в прямоугольной полости. Линейная устойчивость равновесия ...................................................142
§ 3.2. Конвективная устойчивость диффузионного фронта..............144
3.2.1. Основное решение в классической модели. Глубина проникновения..................................................145
3.2.2. Двухфазная модель диффузии. Основное состояние............146
3.2.3. Фрактальная М1М модель диффузии. Основное состояние 148
3.2.4. Возмущения. Метод замороженных коэффициентов..............148
3.2.5. Распределение концентрации и расчет глубины проникновения. 151
3.2.6. Нейтральные кривые........................................156
3.2.7. Наиболее опасные возмущения..............................160
3.2.8. Дополнительное обоснование применимости метода замороженных коэффициентов..................................................166
3.2.9. Заключение................................................169
§ 3.3. Конвективная устойчивость однородного просачивания примеси в замкнутой полости насыщенной пористой среды при учете прилипания примеси к скелету..................................................172
3.3.1. Постановка задачи.........................................172
3.3.2. Стационарное решение......................................173
3.3.3. Уравнения для возмущений. Двухфазная модель..............174
3.3.4. Уравнения для возмущений. М1М модель......................176
3.3.5. Нейтральные возмущения в двухфазной модели................176
3.3.6. Метод построения фундаментальной системы решений..........178
3.3.7. Нейтральные возмущения в М1М модели.......................179
4
3.3.8. Нейтральные кривые........................................181
3.3.9. Нейтральные кривые. Двухфазная модель.....................181
3.3.10. Нейтральные кривые. М1М модель.........................187
3.3.11. Заключение...............................................193
Заключение...........................................................194
Список литературы....................................................200
5
Введение
В данной работе рассматриваются конвективные течения в пористой среде, вызванные неоднородностью температуры или концентрации примеси. Тепловая и концентрационная конвекция в пористой среде представляют интерес как с точки зрения прикладных задач фильтрации различного рода жидкостей и смесей (например, течение грунтовых под, охлаждение реакторов, обогащение почв, распространение загрязнений и.т.д.), так и с точки зрения математической физики (явление косимметрии, субдиффузия) [1-3].
Течение в пористой среде, закон Дарси, фильтрации
В задачах о течении жидкостей в пористых средах мы имеем дело со сложной структурой твердого скелета и тем, как эта структура влияет на процессы тепло- и массопсрсноса (в том числе, на диффузию в случае смесей). В общем случае механизмы этих процессов зависят как от деформируемости твердого скелета, так и от его пространственной структуры, которая может быть как упорядоченной, так и неупорядоченной. Из двух классов неупорядоченных сред: микроскопически неупорядоченных, но макроскопически однородных и микроскопически неупорядоченных и макроскопически неоднородных - в настоящей диссертации рассматриваются только среды первого класса, причем скелет также полагается макроскопически изотропным и недеформируемым.
При протекании однофазной жидкости через макроскопически однородную изотропную пористую среду во многих реальных ситуациях инерционные эффекты несущественны и справедлив закон Дарси [4]:
Дарси получил одномерный вариант закона; в трехмерном случае закон выглядит следующим образом:
У = ~УР (1.2)
V
где V - скорость фильтрации жидкости, к - проницаемость пористой среды, Г] - коэффициент динамической вязкости, Р - давление. Проницаемость среды к измеряется в единицах площади и очень мала; для природных материалов она изменяется в пределах от /с —10“7лг (гравий) до ?с~\0~20м2 (глина). Для случая несжимаемой жидкости уравнение (1.2) было получено теоретически в работе [5]
Использование уравнения (1.2) в качестве закона сохранения импульса понижает порядок дифференциальных уравнений относительно производных по пространственным координатам по сравнению со случаем течений в однородной вязкой жидкости (без твердого скелета). Это находит снос отражение, в том числе, и в изменении граничных условий для поля скорости (см., например, [6]), когда, кроме прочего, условие прилипания па твердой границе теряет смысл, поскольку жидкость точно так же прилипает и к стенкам твердого скелета во всем объеме пористой среды.
Конвекция в пористой среде
Движение жидкости в пористой среде может быть обусловлено различными причинами. В настоящей диссертации рассмотрены задачи, в которых движение происходит благодаря силе тяжести. Явление конвекции подразумевает неоднородность плотности, которая может быть обусловлена различными причинами. В случае наличия силы тяжести в уравнение (1.2) необходимо добавить соответствующее слагаемое [6]:
Р = ~{7Р-р§) (1.3)
V
7
где р - плотность жидкости, ускорение свободного падения. Плотность жидкости является функцией термодинамических переменных. В диссертации рассмотрены задачи, в которых жидкость считается несжимаемой (т.с. плотность не зависит от давления), а неоднородность плотности возникает из-за неоднородности концентрации или температуры.
Тепловая конвекция
Рассмотрим явление тепловой конвекции в пористой среде. В этом случае плотность является функцией температуры. В рассматриваемых в диссертации задачах предполагается выполненным приближение Буссинеска
[7), в котором плотность считается линейной функцией температуры:
р = ро[1-0{Т'-То)] (1.4)
где У’7-температура жидкости, р0 - плотность жидкости при температуре Т0, Р - коэффициент теплового расширения. Уравнение (1.4) применимо при небольших перепадах температур, а именно:
/Зе«\ (1.5)
где 0 - характерный перепад температуры. Подставим выражение (1.4) в уравнение (1.3):
1у = -Чр + р0рТ3у (1.6)
К
где Т отклонение температуры от Т0, у — единичный вектор, направленный вертикально вверх, р - конвективная добавка к гидростатическому давлению. Добавив к уравнению (1.6) условие несжимаемости жидкости и уравнение баланса температуры, получим систему уравнений конвективной фильтрации в пористой среде в виде [8]:
8
1у = -Ур + ро/Зт8у
/С
сИуУ = 0 (1.7)
(Р°Сг)с^ + М^Т=*‘АТ
где (Роср) >{Роср) ~ теплоемкости единицы объема твердого скелета
насыщенного жидкостью и жидкости соответственно, эффективная
теплопроводность среды, насыщенной жидкостью. Здесь в теплоемкости НС учитывается зависимость плотности от температуры в силу условия (1.5).
Тепловая конвекция в горизонтальном цилиндре
В настоящей диссертации рассмотрены задачи о двумерной конвекции в горизонтальном цилиндре. Приводимый обзор не касается смежных задач (например, исследования конвекции в слое пористой среды и.т.д.)
Впервые исследование тепловой конвекции в замкнутой области пористой среды произведено в работе [1], получены условия механического равновесия и исследована его устойчивость. Нижний уровень неустойчивости оказался двукратно вырожденным. Эксперименты [2| подтвердили справедливость выводов [1]. В работе [3] показано, что обнаруженное в [1] вырождение является следствием явления ко си м м етр и и.
Позднее в работах [9-11] производилось численное и аналитическое исследование для полостей различной формы. В этих случаях возможно механическое равновесие, которое становится неустойчивым при достижении критического значения концентрационного числа Рслея-Дарси, причем, реализуются только монотонные возмущения, а критические значения числа Релея зависят сложным образом от геометрии области.
Обзор исследований но устойчивости равновесия жидкости в бесконечном цилиндре в отсутствие пористой среды проведен в монографии
[8]. Теоретические исследования, выполненные методом Галсркипа, показали, что наиболее опасными являются пространственные возмущения, а
критическое число Релея в коротковолновом пределе пропорционально четвертой степени волнового числа. Эксперименты Г.Ф. Шайдурова [12|, подтвердили теоретические выводы
В работе [13] произведено численное моделирование конвекции в цилиндрах конечной длины, заполненных пористой средой. Показано, что при небольших длинах цилиндра (отношение радиуса к длине меньше 0.86) наблюдается двумерный двух- или трехвихревой режим конвекции, а при больших длинах движение становится трехмерным.
В работе [14] исследованы динамические свойства двумерной конвекции в пористой среде при слабых нарушениях условий реализации вырождения. Выяснено, что малый боковой нагрев, конечная теплопроводность границ и слабое просачивание жидкости через границы полости снимают вырождение. Построены фазовые диаграммы, проанализирован механизм снятия вырождения. Для случая слабого однородного просачивания жидкости через границы полости показано, что не существует стационарных нетривиальных режимов просачивания, и после потери устойчивости состояния однородного просачивания в системе реализуется колебательный режим. •
В работе [15] исследованы нелинейные уравнения для системы при слабом однородном просачивании жидкости через полость. В этом случае реализуется динамика на горе, которая после нескольких бифуркаций переходит в сложную хаотическую динамику.
Если ввести модуляцию скорости просачивания жидкости, как это сделано в работе [16], то в системе наблюдается квазипериодический режим. Параметрический резонанс не возникает.
Параметрическое возбуждение конвекции
В связи с колебательной' неустойчивостью, вызванной влиянием . просачивания жидкости, представляет интерес параметрическое возбуждение конвекции.
10
Вибрационное воздействие на гидродинамические системы (включая термоконвективные) имеет самые разнообразные приложения: например, вибрационный контроль процессов тепло- и массоперепоса в теплообменниках, смесителях, сепараторах минеральных веществ и системах для выращивания кристаллов. Эти приложения обусловили большой теоретический интерес к задачам тепловой конвекции при периодической модуляции параметров во времени (например, вибрациях). Общее представление об исследованиях в данной области можно составить в первую очередь, на основе монографии [17], а основные ранние исследования в этом направлении отражены, например, в обзоре [18] и монографиях [8, 19].
Исследование влияния модуляции силы тяжести на конвекцию в замкнутой области пористой среды проводилось в работах [20-22], где показано, что вибрации приводят к стабилизации равновесия. В работе [23] проведен линейный и слабонелинейный анализ устойчивости, показано, что области неустойчивости определяются уравнением Матье. Появляется возможность мягкого и жесткого возбуждения конвекции. В работе [24] проведен анализ на основе осредненных и полных уравнений, показано что в осредненной модели возможно предсказание только синхронных возмущений, субгармонические можно предсказать только на основе полной модели.
В серии работ [25-29] рассмотрен случай низких частот модуляции проведен линейный и нелинейный анализ, получены области синхронного и субгармонического поведения, показана принципиальная возможность конвективного течения при нагреве сверху.
Концентрационная конвекция
Третья глава диссертации посвящена концентрационной конвекции в пористой среде. Эти задачи имеют весьма разнообразные приложения, такие
11
как, обогащение почв, распространение загрязнений, разработка месторождений различных растворимых веществ и.т.д.
При решении задач концентрационной конвекции в качестве закона сохранения импульса используется уравнение (1.3):
Неоднородность плотности создается за счет неоднородности концентрации более тяжелой (легкой) компонент примеси, то есть:
плотность жидкости, с- концентрация. Подставляя выражение (1.9) в уравнение (1.8) получим, аналогично (1.6):
где у - единичный вектор направленный вдоль поля тяжести, /;- добавка к гидростатическому давлению.
Для получения полной системы уравнений концентрационной конвекции в пористой среде уравнение (1.10) должно быть дополнено условием несжимаемости и уравнением для концентрации примеси. Полная система выглядит следующим образом:
где К - коэффициент диффузии. В системе (1.11) использована классическая модель диффузии, обычно, для пористой среды считают, что диффузия
К=-£(?/>-р$)
(1.8)
р = р,{\ + сРс\
(1.9)
коэффициент концентрационного расширения, р1 -
-У = -^Р-Р,РСС8?
К
(1.10)
-V = -Чр- Рсск?р,
К
сИуУ = 0
—+КУ с = КАс д/
(1.11)
12
происходит медленнее, чем в чистой жидкости, и просто увеличивают коэффициент диффузии. Подобное построение теории для многофазных течений можно найти в монографии [8]. Уравнения (1.11) математически эквивалентны уравнениям (1.7), поэтому считается, что нет смысла отдельно рассматривать концентрационную конвекцию, поскольку уравнения те же, только процессы идут медленнее.
Однако использование такой модели противоречит экспериментальным данным, например [29-31 ].
Диффузия в пористой среде
Пористая среда имеет достаточно сложную пространственную структуру. Дрейф частиц в такой среде не всегда подчиняется гауссовому распределению, поскольку частицы примеси прилипают к твердому скелету (адсорбируются), а их траектории становятся намного более извилистыми и длинными, чем в чистой жидкости. Эти эффекты приводят к явлению субдиффузии в пористой среде.
Выделяется две основных причины субдиффузии в пористой среде, пространственная и временная. Первая связана с удлинением траектории частицы по сравнению со случаем чистой жидкости при переносе. Удлинение траектории происходит из-за сложной пространственной организации среды, и математически проявляется в виде изменения
пространственного оператора сИу(^КЧс — Ус): либо коэффициент диффузии
становится тензором, зависящим от координат [32], либо вместо оператора V вводятся пространственные производные порядка С, < 1 [33-34]. В
диссертации не рассматриваются пространственные эффекты, все задачи рассмотренные во второй и третьей главах связаны с явлениями адсорбции и десорбции, то есть временными эффектами.
Адсорбция-десорбция (прилипание-отрыв частиц), тормозят диффузию, поскольку примесь некоторое время проводит на стенке. Как
13
отмечалось выше, прилипание жидкости к скелету пористой среды происходит непрерывно1 по всему объему. Эффект не слишком существенен для мелких частиц, вроде молекул воды или двух- трехатомной примеси. Однако, достаточно крупные объекты, такие как молекулы большинства органических веществ, полимеры, кристаллические структуры, бактерии могут адсорбироваться достаточно активно, что приводит к существенному замедлению диффузии.
Прилипание чаще всего описывается либо в терминах случайных величин - М1М модель [35], либо с помощью двухфазных кинетических моделей с некоторой кинетикой перехода примеси между фазами [36]. ^
При рассмотрении явления диффузии со статистической точки зрения, как ансамбля частиц, отличия от классического случая проявляются для различных типов примесей, это могут быть пассивные частицы, живые организмы, а также частицы коллоида. Такие частицы могут распространяться с плотностью, второй момент которой не пропорционален времени.
Иногда второй момент и вовсе не существует. Подобные особенности обнаруживают решения дифференциальных уравнений, содержащих частные производные нецелого порядка по пространству или времени, как линейных [37-40] так и нелинейных [41].
Классическая модель адвекции-дисперсии, следующая из закона Фика для потоков, не подтверждается множеством весьма точных экспериметов. Такая модель является гидродинамическим пределом класса моделей, описывающих малые масштабы и связанных с броуновским движением. Теоретический переход к гидродинамическому пределу, полученный в [42], был проиллюстрирован в [43] экспериментами, демонстрирующими траектории частиц. Более общий класс моделей составляют модели с уравнениями, содержащими частные производные дробного порядка. Эти модели являются гидродинамическим пределом моделей, учитывающих пространственные распределения с «тяжелыми хвостами», а также с
14
интервалами ожидания между прыжками частиц. Они часто используются для описания экспериментальных данных, полученных для неоднородных сред. Строгое доказательство прямой связи моделей, использующих дробные производные, с моделями, описывающими малые масштабы, дано в работах [38,44], в предположении, что длины прыжков и времена ожиданий вместе с их суммами являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами. Тот факт, что суммы распределены, так же, как и сами величины, доказывается с помощью центральных предельных теорем [45-48]. Прямая проверка этих гипотез достаточно трудна. Однако, если говорить о вероятностных законах распределения длин прыжков и интервалов времени между прыжками, то асимптотики этих законов напрямую связаны с порядком производных в соотвечствующих макроскопических моделях. Поэтому такие модели могут быть полезны для описания экспериментов, направленных на получение асимптотик распределения частиц, плохо описываемых теорией-до сих пор. Конечно, в некоторых ситуациях независимость повторяющихся событий не сохраняется, в этом случае использование обеих моделей (дробной модели и классической) не приводит к адекватному описанию и необходимы другие подходы [41].
Уравнения с дробными производными достаточно широко используются для описания явлений переноса в пористых средах. В монографиях [49-51] рассмотрены наиболее общие классы уравнений, описывающих явления переноса в ггерколяционных и фрактальных, в том числе пористых средах. Диссертация [52] посвящена численному моделированию явлений переноса в пористых средах на основе решения уравнений для плотности вероятности или стохастических уравнений для ансамбля частиц.
Стоит заметить, что при описании явления дисперсии с помощью макроскопической модели с дробными производными, необходим учет случайного прилипания частиц к скелету пористой среды. Прилипание
выхзатывает частицу из потока на некоторый интервал времени, что влияет как на среднее течение, так и па флуктуации. Ыа макроскопическом уровне такая ситуация соответствует кривой выхода примеси, обладающей «тяжелым хвостом», когда концентрация спадает со временем по степенному закону с отрицательной степенью, но большей чем минус два. Подобные особенности характерны для диффузии примесей в насыщенных (или ненасыщенных) пористых средах, со скелетом, обладающим областями захвата примеси или примесью, имеющей тенденцию к прилипанию [49J, в том числе при рассеянии пассивных (не прилипающих) частиц в ненасыщенной пористой среде [54,55] и сорбции частиц коллоида на твердой матрице пористой среды [56].
Для описания подобных ситуаций часто используются различные модели, включающие интегродифференциальные уравнения с памятью, как например [57], однако более обоснованным и многообещающим кажется класс моделей, использующих дифференциальные уравнения с дробными частными производными, называемых моделями «fractal Mobile Immobile Medium» (фрактальных мобильно-немобильных сред) (fractal MIM) [35]. Это расширение простой MIM модели [58], учитывающей наличие двух фаз примеси: мобильной (движущейся в потоке, частицы совершают прыжки) и немобильной (прилипшей к скелету), а также обмен частицами между фазами, описывающийся кинетикой первого порядка. Фрактальная версия такой модели лучше описывает поведение «тяжелых хвостов» кривых выхода примеси. Фрактальная модель без первой производной по времени подобна известному дробному уравнению Фокксра-Планка [59,60], решение которого на больших временах обладает аналогичными свойствами.
Теоретическое исследование диффузии в рамках MIM модели для неограниченных массивов пористой среды было проведено в работах [61,62J, были получены «хвосты» распределений, которые удовлетворительно согласуются с хвостами кривых выхода примеси, полученными в экспериментах [54,63].
16
Другим подходом к описанию эффектов прилипания являются двухфазные кинетические модели диффузии. При их использовании предполагается наличие двух фаз примеси, прилипшей (адсорбированной) примеси и примеси, дрейфующей с потоком. Для примеси, дрейфующей с потоком, записывается классическое уравнение диффузии со стоковым слагаемым, которое описывает приток примеси в неподвижную фазу. Зависимость притока примеси в неподвижную фазу от концентраций двух фаз описывает кинетику «фазового перехода».
Модель такого типа впервые предложена в работе [64], а спустя несколько месяцев в [65]. В этих статьях в качестве кинетического закона выбрано линейное соотношение (с = £я) между концентрацией адсорбированной (#) и свободной (с) примесей. Такой подход позволяет описать замедление процесса диффузии, но достаточно поверхностно, так как в этом случае происходит уменьшение коэффициента диффузии в 1 + £ раз. Такая ситуация плохо описывает экспериментальные данные, что было отмечено еще в 1976 году в работе [66].
Впоследствии было предпринято несколько попыток построения моделей с использованием хорошо известных изотерм адсорбции Фрейндлиха и Ленгмюра, которые достаточно хорошо описывают равновесную ситуацию при адсорбции газов и примесей из растворов малой концентрации [67-70]. Полученные модели лучше описывают ситуацию, по сами по себе изотермы соответствуют установившемуся режиму адсорбции (когда достигнуто динамическое равновесие между адсорбантом и адсорбентом).
Ясно, что для описания изменения концентрации адсорбированной примеси нужно некоторое кинетическое уравнение, описывающие динамику процесса. Простейшей моделью такого рода стала модель с кинетикой первого порядка, когда скорость адсорбции линейно растет с концентрацией свободной примеси, и линейно уменьшается с ростом концентрации
17
адсорбированной примеси. Такая модель, при достижении равновесия дает изотерму Ленгмюра, решение уравнений такой модели в случае одномерной диффузии впервые приведено в работе [58]. Модель с кинетикой первого порядка тоже неудовлетворительно описывает экспериментальные данные, по-видимому, это связано с тем, что в ней не учтен тот факт, что место па адсорбантс ограничено, и концентрация осевшей на нем примеси не может превышать некоторый предел. Это обстоятельство впервые учтено в работе [36], сформулированная модель получила название модели с кинетикой второго порядка.
В более сложных случаях, когда учитывается гетерогенность скелета среды, или некоторые геометрические и химические свойства адсорбента, достаточно часто используются модели более высокого порядка (см, например, [71]). В случае протекания химической реакции при соприкосновении примеси со скелетом также возможно использование кинетической модели. К примеру, при протекании реакции разрушения примеси (осаждения на стенку в виде нерастворимого продукта реакции), возможно использование кинетического уравнения, в котором скорость адсорбции не зависит от концентрации адсорбированной- примеси, простейший случай кинетики первого порядка рассмотрен в работе [72].
Таким образом, наиболее общей и широко применимой моделью является модель с кинетикой второго порядка, которая и будет рассматриваться в качестве альтернативы фрактальной М1М модели.
Существует множество экспериментальных данных, которые подтверждают применимость обеих моделей [54,73]. Болес того, в некоторых случаях результаты, получаемые с помощью обеих моделей схожи, а отличия проявляются лишь на очень больших временах (времена, порядка десятка характерных диффузионных времен, что зачастую соответствует годам). Пример задач обоих типов приведен в третьей главе диссертации.
18
Аномальная диффузия
Вторая глава диссертации посвящена исследованию свойств моделей аномальной диффузии- и построению методов решения соответствующих уравнений. Аномальная диффузия отличается от нормальной диффузии прежде всего тем, что ширина диффузионного пакета растет со временем по закону ta, где аФ 1/2, процессы в которых а> 1/2 называют супердиффузией, ос<\/2 - субдиффузией. В этих случаях нормальная форма диффузионного пакета может и не сохраняться, и для ее изучения необходима дополнительная информация о процессе (процессы с памятью).
Упоминание об аномальной диффузии впервые встречается в работах Ричардсона 1926 года по турбулентной диффузии [74]. В рамках теории переноса- аномальная диффузия изучалась с конца 1960-х. Тогда же Леви предложил свою модель аномальных блужданий (Levy flights) [75]. Теоретическое исследование аномальной диффузии было в значительной степени спровоцировано Монтроллом [76] при описании дисперсионного переноса в аморфных полупроводниках - системе, для которой традиционные методы не работают.
Подход [76] к непрерывным во времени случайным блужданиям очень отличался от его броуновского аналога и был призван, объяснить многие физические явления [77]. В монографии [78] аномально-диффузионные и близкие к ним явления рассматриваются при исследовании диффузии и рассеяния* лучей и- волн в статистически неоднородных, слоистых и турбулентных средах,' с использованием различных методов, таких как решение стохастических дифференциальных уравнений, метод возмущений, теория многократного рассеяния волн и др.
В настоящее время диапазон явлений физической; биологической и другой природы,характер протекания> которых определяется аномальной диффузией, довольно широк [79-87] и постоянно растет: В таких процессах, как перенос носителей заряда.-в аморфных, полупроводниках [77, 88-92], диффузиометрия ядерного магнитного резонанса в фильтрующих [93,94] и
'• ’ .'У ' - ./'• • • 1‘ V 19