Математические основы метода линий уровня с приложениями к задачам механики жидкости и газа

Оглавление
1. Введение
Первая часть. Математические основы метода линий уровня Глава 1. Монотонность решений квазилинейных систем
2. Монотонность решений однородных квазилинейных
эллиптических систем
3. Преобразование неоднородных и однородных
систем и однородные системы
4. Свойства монотонности 1>ешений уравнений двумерных течений жидкости и газа
5. Построение однородных систем уравнений
газовой динамики для компонент вектора ускорения Глава 2. Геометрия линий уровня и качественные свойства двумерных до- и сверхзвуковых течений
6. Метод линии уровня для сверхзвуковых и смешанных потенциальных течений Иллюстрации к разделу 6.
7. Геометрические свойства линий уровня плос ких
вихревых течений газа
8. Геометрические свойства линий уровня осесимметричных потенциальных течений газа
9. Геометрические свойства линий уровня плоских потенциальных течений газа, зависимые переменные которых являются функциями компонент вектора ускорения
Вторая часть. Исследование течений жидкости и газа с помощью метода линий уровня Глава 3. Асимптотики, особенности течения и структура линий уровня в плоских и осесимметричных дозвуковых течениях
10. Предварительная постановка задачи построения асимптотик для плоских течений
11. Построение асимптотик для тол, обтекаемых с созданием подъемной силы
4
13
13
14
20
23
32
38
40
48
50
57
01
69
09
72
75
2
Иллюстрации к разделу 11 78
12. Асимптотики и структура линий уровня
ирц обтекании симметричных тел 79
Иллюстрации к разделу 12 90
13. Критерии подобия асимптотик и структура линий
уровня при обтекании осесимметричных тел 91
14. Асимптотики и некоторые особенности течения для полубесконечных тел н каналов
с цилиндрической образующей 90
Иллюстрации к разделу 14 101
15. Асимптотики для замкнутых тел вращения
с одновершинной образующей 102
Иллюстрации к разделу 15 100
16. Использование асимптотик для анализа возможных граничных условий при численном моделировании течений 107 Иллюстрации к разделу 16 111 Глава 4. Дозвуковые вихревые точения
в локальных областях между
обтекаемым телом и ударной волной 112
17. О возможных режимах обтекания заостренных тел конечной толщины при произвольных сверхзвуковых скоростях набегающего потока 110
Иллюстрации к разделу 17. 124
18. Некоторые свойства дозвукового течения за ударной волной, возникающей при сверхзвуковом симметричном
и несимметричном обтекании тел конечной толщины 125
Иллюстрации к разделу 18. 133
19. Обтекание конечного клипа с изломом образующей 135
Иллюстрации к разделу 19. 138
Список литературы 140
1. В ведение
Математические основы метода линий уровня для двумерных течений базируются на использовании монотонного изменения одной из рассматриваемых функции вдоль линии уровня другой функции. Первой работой данного направления является статья А. А. Никольского и Г. И. 'Гаганова [21], в которой для дозвуковых плоских потенциальных течений газа было установлено свойство монотонности модуля вектора скорости <i и угла наклона вектора скорости 0, состоящее в монотонном изменении каждой из этих функций при движении вдоль линии уровня другой функции. И в этой же работе данное свойство было эффективно использовано для доказательства несуществования безударных локальных сверхзвуковых зон, примыкающих к твердой стенке при наличии на ее сверхзвуковом участке сколь угодно короткою прямолинейного отрезка, а также ряда других интересных утверждений. После этого указанные результаты прочно вошли в учебники по газовой динамике как теоремы А. А. Никольского и Г. И. Таганов а.
По здесь уместно отметить одно досадное недоразумение. В известном руководстве [10] на стр. 170 ошибочно утверждается, что при движении вдоль звуковой линии монотонно меняется угол между вектором скорости и звуковой линией. Если исправить доказательство, приведенное на этой же странице, то рассматриваемое утверждение перейдет в теорему А. А. Никольского п Г. И. Таганова о монотонном изменении угла наклона вектора скорости. Это ошибочное утверждение было включено в [10] в издание 1048 г. и но все последующие издания.
В 1949 г. А. А. Никольский [22] установил свойство монотонности функций /> (давление) и 0 для ппхревых дозвуковых течений и с его помощью показал, что при сверхзвуковом обтекании заост|>енного тела потоком с числом Маха М«, < 1,7 может реализоваться лишь присоединенная ударная волна слабого семейства. При этом естественно предполагалось, что угол 0 в каждой точке стенки не превосходит про-дольпый угол ударной поляры. К сожалению, этот важный 1>езультат в открытой печати был опубликован лишь в 1981 г.
Работы [21,22] важны еще и тем, что в них естественным образом были заложены основы направления, которое может быть названо ”Ис-
4
следование качественных свойств течений жидкости и газа с использованием свойства монотонности функций р и 0”. С математической точки зрения зто направление является одним из разделов “Качественной теории уравнений с частными производными”, в котором основную роль играет совместный анализ линий уровня рассматриваемых функций и граничных условий.
И авторитетных монографиях свойство монотонности функций р и О впервые было рассмотрено в 1950 году в книге [50], что также способствовало последующему использованию этого свойства в различных задачах механики жидкости в газа.
Указанные свойства монотонности, помимо отмеченных работ, не* пользовались также в [59.60] и в ряде других работ. Кроме того, почти в каждой работе, в которой рассматривается звуковая линия в плоском потенциальном течении, используется отмеченная выше теорема
А. А. Никольского и Г. И. Тага нова.
Представляемая работа ”Математические основы метода линий уровня с приложениями к задачам механики жидкости и газа” обобщает деятельность автора в обсуждаемой проблематике, в которую он активно включился в 1989 году. Его первые работы в данном направлении. посвященные в основном исследованию дозвуковых вихревых течений между телом и ударной волной при сверхзвуковом обтекании заостренных и затупленных тел [29 32,34,35], непосредственно развивали работу [22]. Помимо чисто газодинамических результатов, характеризующих различные свойства изучаемых течений, данные работы, а также статья (33], посвященная обтеканию тел дозвуковым потоком, поставили перед автором ряд вопросов, без решения которых дальнейшее развитие и совершенствование метода линий уровня было бы затруднено. Речь идет о следующем:
1. Какие иные функции или комбинации функций, кроме р и в, обладают свойством монотонности в плоских дозвуковых течениях?
2. Какова связь между структурой линий р = соп*1, в = сопst на бесконечности и асимптотиками при дозвуковом обтекании тел?
3. Распостранпмы ли свойства монотонности на осесимметричные течения, а если не распостранпмы, то какие преобразования зависимых
5
переменных необходимы для возможности такого распостраиепия?
4. Возможно ли вовлечение в метод линий уровня компонент вектора ускорения или некоторых их комбинаций?
5. Насколько принципиально условие о дозвуковых скоростях течения для работоспособности метода линий уровня с функциями /> и в или с другими возможными парами функций?
6. Решения каких систем и в каких областях обладают свойством монотонности?
Разработке данных и смежных с ними вопросов посвящен цикл работ автора [36 40,42,44 49]. Полученные результаты, их связь с его предыдущими результатами, а также с результатами А. А. Никольского и Г. И. Таганова, Э. Г. Шифрина, и с целым рядом других фактов, относящихся к качественной теории урвнепий с частными производными и к общим разделам механики жидкости и газа, инициировали написание данной обобщающей работы.
Основной структурной единицей монографии является раздел. Нумерация формул, теорем и рисунков двузначная, состоящая из двух чисел, разделенных точкой. При зтом первое число соответствует номеру раз дела. Иллюстративный материал помещен в конце соответствующего раздела. В работе 19 разделов, которые, за исключением Введення, по тематическим признакам собраны в четыре главы, которые, в свою очередь, составляют две части. Список литературы приведен в конце работы.
Первая часть "Математические основы метода линий уровня" состоит из двух глав. В главе 1 "Монотонность решений квазилинейных систем", содержащей разделы 2 5, изучаются свойства ікчпений однородной квазилинейной эллиптической системы двух уравнений первого порядка. Данная система, ее неоднородный аналог, а также легко сводящееся к квазилинейной системе уравнение второго порядка активно используются в различных руководствах при изучении свойств эллиптических и гиперболических уравнений [3.7,13.16,20, 25,-51]. В разделе 2 показано, что каждая из двух рассматриваемых функций монотонна вдоль линии уровня другой функции. Более детальный анализ показал, что эллиптичность является .тишь достаточным, но не необхо-
(>
днмым условием свойства монотонности. Необходимым условием, как показано, является знакопостоянство якобиана преобразования плоскости независимых переменных на плоскость решения, при этом область эллиптичности является составной частью одной из областей знакопо-стоянства якобиана. В разделе 3 построен алгоритм преобразования неоднорюдных и, в частности, однорюдных систем в новые однородные системы. Алгоритм основан на использовании двухпараметрических решений исходной системы. На примере систем уравнений для плоских и осесимметричных течений жидкости и газа в разделе 4 продемонстрированы возможности алгорштма. Особое внимание уделено построению однородной системы с зависимыми переменными, являющимися рациональными функциями компонент вектора ускорения (раздел 5). Данное построение основано на использовании известного точного ]н*шення для плоских потенциальных течений, являющегося суперпозицией течения от источника и потенциального вихря. Речь идет о "спиральном’ течении. Материалы первой главы содержатся в работах [36 -40,44,45].
В главе 2 ’'Геометрия линий уровня и качественные свойства двумерных до и сверхзвуковых течений газа", включающей разделы 6 9. свойства монотонности и структура линий уровня течений жидкости и газа изучаются с единых позиций как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых течений. Исследуются плоские потенциальные и вихревые, осесимметричные потенциальные, а также плоские течения с завис имыми переменными, являющимися комбинациями компонент вектора ускорения. Во всех четы]>ех случаях уравнения течения практически совпадают, что связано с выбором зависимых переменных. Характерно, что в сверхзвуковой области условия совместности для четвертого случая сводятся к известным транспортным уравнениям [23]. Показано, что с точки зрения свойств монотонности вея область течения состоит из областей лишь двух типов, определяемых знаком якобиана пери-хода с плоскости течения на плоскость решения. В каждой из областей зависимые переменные обладают свойством монотонности, а для них справедлив принцип максимума. Границы областей являются линиями одновременного касания линий урювпя и одной из характеристик. Для плоских потенциальных течений эти линии ранее изучались по другому поводу, и они известны как линии ветвления [2,19,68]. Получен ряд ин-
7
тересных равенств и неравенств, характеризующих геометрию линий уровня. Так, в частности, показано, что в сверхзвуковых плоских потенциальных и вихревых течениях тангенс угла Маха есть среднее геометрическое тапгопсов углов, которые изобара и изоклина образуют с вектором скорости. Отметим также результат для дозвуковой области: "Косинус угла между изобарой и изоклиной не превосходит местное число Маха”. Есть все основания ожидать, что результаты главы 2 будут и далее активно использоваться при изучении до и сверхзвуковых течений. Материалы главы 2 содержатся в работах [41,43,45,48].
Вторая часть Исследование течений жидкости и газа с помощью метода линий уровня” также состоит из двух глав. Основное внимание в главе 3 ” Асимптотики, особенности течения и структура линий уровня в плоских и осесимметричных дозвуковых течениях” (разделы 10 16) уделено изучению поведения решения на большом удалении от тела, обтекаемого дозвуковым потоком. При построении асимптотик и для плоских, и для осесимметричных течений определяющую роль играет строгое вычисление с помощью метода линий уровня числа нулевых изоклин, уходящих от тела на бесконечность. Асимптотики для плоских тел. создающих подъемную силу, как и следовало ожидать, совпадает с известным решением [66] (Film R.. Gilbarg I).), но представленный в настоящей работе метод более прост и нагляден. Асимптотики для плоских симметричных (раздел 12) и для осесимметричных (разделы 14, 15) тел являются новыми. Существенную роль ь указанных асимптотиках играют введенные понятия площади вытеснения и объема вытеснения. Так, под первым понимается площадь между линией тока на всем ее протяжении и ее асимптотой (линией тока исходного, невозмущенного течения). Как оказывается, при удалении расматрн-ваемой линии тока от тела на бесконечность площадь вытеснения для плоского симметричного тела стремится к конечному пределу, п этот предел (предельная площадь вытеснения [49]) входит в виде сомножителя в асимптотики. Аналогичная ситуация имеет место и для осесимметричных течений [48]. В разделе 12 также изучаются и некоторые другие вопросы. Так. для достаточно широкого класса плоских симметричных тел и, в частности, для выпуклых тел показано отсутствие в области течения точек ветвления изобар и изоклин [33,38,49].
8
Б разделе 13 вводится и обосновывается критерий подобия асимптотик. При построении асимптотик для симметричных тел данный критерий позволяет использовать известные точные решения для несжимаемой жидкости [6.9] при условии, что через бесконечно удаленные ТОЧКИ исследуемого и эталонного (для несжимаемой жидкости) обтекания проходит равное число нулевых изоклин. Критерий подобия асимптотик особенно прост и нагляден для осесимметричных течений.
В разделе 16 демонстрируются возможности метола линий уровня для критического анализа часто используемых форм записи граничных условий при численном исследовании обтекания тел.
Глава 4 ’’Дозвуковые вихревые течения в локальных областях между обтекаемым телом и ударной волной” с разделами 17 19 посвящена изучению свойств дозвуковых вихревых течений в локальной области между телом, отошедшей или присоединенной ударной волной И звуковой линией. Исследуются возможные |»ежимы обтекания, взаимосвязь между формой тела и формой ударной волны, положение точки выхода звуковой линии на обтекаемое тело. По данным вопросам имеется относительно мало строгих результатов, хотя в руководствах по газовой динамике [2,4 6,8.10,11,14.18,19,23,50.58.63] они и составляют основу разделов, посвященных сверхзвуковому обтеканию тел. Более того, при обсуждении возможных режимов обтекания заостренных тел в указанной литературе прямо указывается на допустимость двух режимов обтекания.
Сложность перечисленных задач состоит в наличии криволинейных ударных волн, и. как следствие, областей впхревого дозвукового и сверхзвукового течений. При математической постановке этих задач необходимо продуманное включение в их формулировки некоторых допущений и предположений, основанных на использовании тех или иных строгих фактов. Поясним это на следующем примере. В работе А. А. Никольского [22] по умолчанию предполагалось, что выходящая с ударной волны на тело звуковая линия может нер<ч:екать и линии тока, прошедшие через сверхзвуковую ветвь ударной волны. Полное давление на этих линиях тока больше, чем на линиях тока, прошедших через дозвуковую ветвь ударной волны. Это привело к упомянутому выше ограничению Л/,*, <1,7 на число Маха набегающего потока. Несколько лет
9
спустя О. М. Белоцерковский [1] строго показал, что по крайней мере в оК1>естностп звуковой точки ударной волны звуковая линия пересо-каст лишь тс лпнпп тока, которые проходят через дозвуковую потпь ударной волны. Заранее данный результат был далеко не очевиден. Так, для осесимметричных течений известны противоположные примеры [4]. Использование результата О. М. Белоцерковского позволило автору настоящей работы снять отмеченное ограничение на число Маха набегающего потока при рассмотрении возможных режимов обтекания заостренных тел. Так, в разделе 17, базирующемся на работах [‘29-31,34,38], показано, что если углы наклона стенки на головной части плоского симметричного обтекаемого тела не превосходят предельный угол ударной поляры, то обтекание возможно лишь с присоединенной ударной волной слабого семейства. Далее, в разделе 18 для широкого класса плоских симметричных тел доказано, что ударной волне верхней половины течения отвечают точки лишь правой частп ударной поляры. Кроме того, для четко оговоренного класса симметричных и несимметричных тел. включающего в себя и тела с вогнутой, вогнутовыпуклой, предельно наклоненной головными частями, доказана выпуклость всей дозвуковой части ударной волны. Также для широкого класса тел показано отсутствие в дозвуковой области между телом н ударной волной точек ветвления изобар и изоклин. Укажем также, что выпуклое в традиционном понимании тело фактически является вогнутовыпуклым; при его обтекании поворот вектора скорости против часовой стрелки осуществляется в точке растекания. Этим исследованиям предшествовала работа Э. Г. Шифрнна [60], в которой для симметричных выпуклых тел показано, что некоторая часть ударной волны в окрестности оси симметрии является выпуклой. Подчеркнем, что раздел 18 содержит существенно переработанный и дополненный материал статей [31,32-35,38].
В заключительном разделе изучается вопрос о положении звуковой точки на поверхности конечного клина, сопрягающегося в точке излома с горизонтальной стенкой. Ранее эта задача рассматривалась в монографии Гудерлея К.Г. [8], при этом существенную роль играли ряд ошибочных предположений, на которые было указано еще редакторами перевода [8]. Так, в частности, в [8] предполагалось, что вся звуко-
10
вая линия находится в области влияния сверхзвукового отрезка стенки, примыкающего к звуковой линии. Но позже в уже отмеченной работе С). М. Белоцерковского было строго показано, что при А/со > 1,69 примыкающая к ударной волне часть звуковой линии находится вне указанной области влияния, что делает доказательство [8] неправомерным. Кроме того, в [8] не учитывалась непзоэнтропичность течения за ударной волной, использовались условия совместности для потенциальных течений. В разделе 19. основанном на работах [31,32,34,38], с учетом всех перечисленных факторов показано, что звуковая линия выходит строго из точки излома образующей тела.
На различных стадиях выполнения работа полностью или частично докладывалась и обсуждалась на семинарах Г. Г. Черного. Л. В. Овсянникова, К). Л. Шмыглевского, на конфеі>снцнях "Современные проблемы механики жидкости и газа’’ (1989, рук. Г. Г. Черный). "Модели механики сплошных сред" (1989, В. 11. Мясников). "Всесоюзный съезд по теоін*тической и прикладной механике” (Москва, 1991. Г. Г. Черный, В. Я. Нейланд, А. II. Крапко), ”Аналитические методы газовой динамика” (1992. А. Ф. Сидоров), ''Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (конференция им. И. Г. Петровского, МГУ. 1995, 1990, 1998, О. А. Олейник), ’’Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике” (1991. 1996, 1998. М. М. Лаврентьев). "Сибирская школа "Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика"" (1990, 1997, К). Г. Решетник), "Современные методы и достижения в механике сплошных сред” (Москва, 1997, Г. Г. Черный, В. А. Садовничий), ’’Математика в приложениях” (Новосибирск 1999. А. Ф. Сидоров), ”Анализ и геометрия” (Новосибирск 1999, А. Д. Александров. О. А. Ладыженская, С. II. Новиков) и на ряде других. Кроме участников н руководителей этих семинаров и конференций автор считает своим приятным долгом поблагодарить С. К. Годунова, В. И. Арнольда. П. И. Плотникова. Г\ А. Тирского, Ю. Б. Лифшнца, В. В. Сычева, Л. М. Блохина, С. И. Чернышенко, Г. ІО. Степанова, В. В. Серебрякова,
В. А. Топоногова, Е. В. РалксБпча, В. А. Александрова, В. II. Гребенева. Л. И. Кононенко за полезные обсуждения, сов<ты и помощь на различных этапах выполнения работы.
11
Автор также считает необходимым поблагодарить редакцию жу|>-нала ПММ, в котором опубликованы почти все результаты данной работы, и одна из статей автора в числе первых была отмечена премией журнала ПММ за лучшую статью 1992 года.
Значительная часть работы выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 95-01-00958 и 97-01-00833).
12