Содержание
Введение..................................................................4
1. Основные соотношения и уравнения несвязанной термоупругости
геометрически нерегулярных ортотропных пологих оболочек с
термочувствительной толщиной.......................................................11
1.1.Кинематическая модель пологой ортотропной оболочки с термочувствительной толщиной.......................................................11
1.2.Соотношения Коши...............................................................14
1.3.Силовые характеристики ортотропных пологих оболочек с
термочувствительной толщиной.......................................................15
1.4.Функция Лагранжа для термоупругой системы в виде пологой ортотропной геометрически нерегулярной оболочки
с термочувствительной толщиной.....................................................19
1.5.Динамические уравнения линейной теории ортотропных геометрически нерегулярных оболочек с термочувствительной толщиной...............................22
1.6. Динамические уравнения композиций из ортотропных пологих цилиндрических оболочек и пластин, гладко сопряженных между собой............................................................27
1.7.Уравнения теплопроводности композиций из пологих
оболочек и пластин.................................................................31
1.8.Уравнения термоупругого равновесия композиций из ортотропных пологих цилиндрических оболочек и пластин, перекрывающих
косоугольный план..................................................................36
II. Решения задач несвязанной термоупругости пологих ортотропных геометрически нерегулярных оболочек и пластин с термочувствительной
толщиной.................................................................41
2.1.Определение температурных функций для ортотропных оболочек и пластин в условиях конвективного теплообмена через лицевые поверхности с окружающей средой..................................................................41
2.2.Решения термоупругих задач пологих ортотропных оболочек и пластин с термочувствительной толщиной.............................................49
2.3.Решение несвязанной термоупругости геометрически нерегулярной пластинки с теплоизолированными лицевыми поверхностями...................61
2.4.Решение несвязанной термоунругости геометрически нерегулярной косоугольной пластинки на базе модели Кирхгофа - Лява....................67
III. Статическая термоустойчивость ортотропных пологих оболочек и пластин с термочувствительной толщиной.............................................72
3.1.У равнения статической термоустойчивости геометрически нерегулярных
пологих оболочек с термочувствительной толщиной..........................72
3.2.Определение решений уравнений термоупругости ортотропных пластин и
пологих оболочек, находящихся в безмоментном состоянии...................78
3.3.Определение критических температур, при которых возможна скачкообразная смена форм равновесия термоупругой ортотропной системы......................................................83
IV. Решения динамических задач ортотропных геометрически нерегулярных пластин с термочувствительной толщиной...................................96
4.1.Динамические уравнения несвязанной термоупругости геометрически нерегулярных пологих оболочек с термочувствительной толщиной на базе
модели типа Лява.........................................................96
4.2.0иределение областей динамической неустойчивости нагретой ортотропной
ребристой пластинки под действием периодической нагрузки................101
Заключение.............................................................116
Список использованной литературы........................................118
Приложения..............................................................128
4
Введение
Геометрически нерегулярные ортотропные оболочки (ГНО), обширные классы которых представляют композиции из оболочек различных толщин, оболочки и пластинки, гладко сопряженные между собой, ребристые оболочки и т.п., широко используются в различных областях техники. Условия эксплуатации ГНО предусматривают в ряде случаев воздействие стационарных и нестационарных температурных полей со стороны рабочей среды. Нагрев, как показывает практика, приводит к ухудшению прочностных характеристик конструкционных материалов (понижение модуля упругости, предела прочности, предела текучести). При воздействии температурных полей, не приводящих к уменьшению допускаемых напряжений, в ГНО могут возникать термические напряжения, значительно превосходящие напряжения от силовых нагрузок. Возникновение термических напряжений и деформаций приводит к изменению первоначальной геометрии конструкции, что недопустимо, например, в ракетной и авиационной технике, электронном машиностроении по вполне понятным причинам. Следует также отметить, что воздействие температуры приводит к уменьшению сопротивляемости конструкции тина ГНО по отношению к внешним силовым нагрузкам. Поведение ГНО в температурных нолях практически непредсказуемо по причине сложности тепловых и термоунругих процессов, проходящих в сплошных средах в виде ГНО, а, следовательно, и математической сложностью краевых задач термоупругости, успех в решении которых зависит от структуры температурных полей, входящих в правые части сингулярных дифференциальных уравнений несвязанной термоупругости и краевые условия.
Анализ поведения ГНО и пластин в рамках атермической теории упругости на основе модели типа Лява в линейной и геометрически нелинейной постановках содержится в большом числе работ, простое перечисление которых займет не один десяток наименований. Значительно меньше работ касается проблем упругости регулярных и ГНО на базе модели типа Рейсснера
5
[1 - 4], [ЗО], [31], [33], [34], [40], [42 - 44], [48], [53], [56], [59], [64 - 67], [69], [72], [73], [78], [79], [85 - 87], [94], [96 - 100].
Вопросам термоупругости ГНО и пластин на основе модели типа Рейсснера в линейной и геометрически нелинейной постановках посвящено еще меньше работ и объясняется это не малой значимостью проблемы, а прежде всего чрезвычайной математической сложностью краевых задач и трудоемкостью в получении количественных результатов даже в простейших постановках: [9], [12-27], [45], [46], [57], [58], [95].
Незначительное число работ посвящено расчетам элементов конструкций в виде пологих регулярных и геометрически нерегулярных оболочек и пластин, перекрывающих косоугольный план в координатной плоскости. Исследования напряженно - деформированного состояния таких пластин и оболочек на базе атермической теории упругости в рамках модели типа Лява содержатся в работах [5], [85], [101], [102], [103]. Основные соотношения и сингулярные уравнения несвязанной тсрмоупругости оболочек переменной толщины и, как предельный случай, ребристых оболочек, получены в работе [46] в локальной криволинейной системе координат.
В существующих моделях теории оболочек "сквозной” является гипотеза недеформируемости нормали к срединной поверхности, т. е. расстояние между точками, лежащими на лицевых поверхностях, не изменяется, что не согласуется с физической реальностью при нагреве оболочки, и проверка этого факта не требует сложных экспериментов.
Необходимость предельно точного анализа поведения элементов конструкции в виде ГНО иод действием реальных температурных полей, определяемых предварительно путем интегрирования уравнений теплопроводности для рассматриваемого класса конструкций, возникает во многих областях техники - в авиастроении, ракетостроении, электронной технике - при проектировании плат, экранов, оболочек ламп и т. п. Используемые в инженерной практике математические модели ГНО должны
6
отражать известные физико-механические факты и допускать анализ на основе строгих математических методов, позволяющих находить аналитические решения краевых задач теплопроводности и термоупругости ГНО, удобные при количественном анализе с помощью ЭВМ. В связи с этим актуальными, представляющими теоретический и практический интерес, являются исследования гермоупругого поведения ГНО и пластин с учетом реального поведения материала при нагреве.
Этим исследованиям посвящена данная диссертационная работа, целью которой, в связи с вышеперечисленным, является:
1. Разработка на базе симметричной теории упругости кинематической модели ортотропных геометрически нерегулярных оболочек с термочувствительной толщиной. За основу принимается сдвиговая модель типа Рейсснера.
2.Вывод динамических уравнений термоупругости ГНО с термочувствительной толщиной, сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости композиций из пологих ортотропных цилиндрических оболочек и пластин, перекрывающих прямоугольные и косоугольные планы в координатной плоскости исходя из вариационных принципов механики.
3.Определение решений теплопроводности и термоупругости статических и динамических задач ГНО различного класса и пластин, находящихся в условиях конвективного теплообмена через лицевые поверхности с рабочей средой методами двойных тригонометрических рядов, суперпозиции одинарных тригонометрических рядов и многочленов, учитывающих характер неоднородности краевых условий
4. Определение функций прогиба; поля перемещений и тангенциальных усилий, возникающих в ортотропных пластинах и оболочках в безмоментном состоянии при нагреве; критических температур, при достижении которых становится возможным скачкообразная смена форм равновесия термоупругой ортотронной системы; областей динамической термоустойчивости нагретых
7
ортотропных пластин под действием сжимающих, периодических во времени усилий. Сравнение с количественными результатами, полученными с учетом гипотезы неизменяемости нормали.
Все перечисленные результаты являются новыми и выносятся на защиту. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.
В первой главе, на базе модели типа Рейсснера (учитывающей сдвиговые деформации по толщине оболочки), в предположениях: ортотропная геометрически нерегулярная оболочка находится только под действием температурного поля, а компонента тензора полной деформации
?зз =аз0(^1,х2>Хз,/), определяется закон изменения поля перемещений и
по толщине термоупругой системы. Температурное поле, в предположении отсутствия локальных источников тепла внутри оболочки, представляется в виде степенного по ее толщине ряда. Ранее проведенные исследования [6], [7] показали, что в случае ребристой термоупругой системы при значениях
К
параметра — е (0,4) закон изменения температуры по толщине ГНО линеен к
к
по пространственной координате х3 (— - высота ребра от лицевой
2
поверхности оболочки, А - толщина оболочки). Получены выражения в перемещениях и обобщенных углах поворота для функций Лагранжа в случаях композиций из пологих ортотропных оболочек двоякой кривизны различных толщин; ребристой пологой ортотропной оболочки двоякой кривизны и композиции из пологих ортотропных цилиндрических оболочек и пластин, гладко сопряженных между собой. За основу принята секвенциальная теория обобщенных функций, используемых при описании лицевых поверхностей ГИО и срединной поверхности композиции из пологих цилиндрических оболочек и пластин, гладко сопряженных между собой вдоль одной из координатных прямых.
Исходя из интегрального вариационного принципа Гамильтона, получены сингулярные дифференциальные уравнения несвязанной динамической термоупругости ортотропных ГНО указанных классов и естественные краевые условия.
Получены уравнения равновесия композиций из оболочек и пластин в косоугольной системе координат.
Приводятся сингулярные уравнения для определения температурных функций в предположении конвективного теплообмена ГНО через лицевые поверхности с рабочей средой.
Во второй главе решаются задачи несвязанной термоупругости ортотропных пологих оболочек двоякой кривизны, цилиндрических оболочек и композиций из цилиндрических оболочек и пластин с термочувствительной толщиной, находящихся в конвективном теплообмене с рабочей средой через лицевые поверхности. Решения разыскиваются методом двойных тригонометрических рядов. Проводится сравнение результатов с решениями аналогичных задач термоупругости на базе "классической" модели Рейсснера -без учета изменяемости толщины при нагреве.
В случае косоугольной ребристой изотропной пластинки при шарнирном и жестком закреплении двух противоположных краев решение сводится, с помощью процедуры Галеркина, к интегрированию обыкновенных частичновырожденных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в виде обобщенных с> - функций и их производных первого порядка. Проводится анализ корней характеристических уравнений в зависимости от угла наклона двух смежных сторон пластинки. Приводится, в частном случае, сравнение с результатами Тимошенко С. П., Лейтца Г., Лоренца Н. и Менаже А. Полученные количественные результаты представлены в виде таблиц, характеризующих влияние параметров геометрического толка на прогибы оболочек при различных значениях тепловых и упругих постоянных.
9
В третьей главе исследуется статическая термоустойчивость пластин и пологих оболочек. Исходное термоупругое состояние предполагается безмоментным и определяются перемещения и усилия, возникающие в пластине или оболочке путем интегрирования соответствующей краевой задачи. Рассматриваются различные варианты граничных условий. Далее методом двойных тригонометрических рядов разыскиваются решения дифференциальных уравнений, описывающих моментное состояние термоупругой ортотропной системы, строятся определители термоустойчивости, из равенства нулю которых определяются уравнения, связывающие геометрические параметры, упругие постоянные, температуру, при которых становится возможным скачкообразный переход к новым формам равновесия. Проводятся сравнения с решениями на базе модели Рейсснера без учета деформируемости нормали, а также с решениями, полученными с учетом гипотез Кирхгофа - Лява. Отмечается, что гипотеза деформируемости нормали вносит поправки в величины критических температур в сторону их уменьшения.
Четвертая глава посвящена вопросам динамической термоустойчивости геометрически нерегулярных ортотропных пластин, находящихся под совместным воздействием периодических во времени сжимающих усилий и нагрева. Решение сводится к интегрированию уравнений Матье. Строятся области динамической неустойчивости пластинки и проводится сравнение с решениями, не учитывающими деформируемость нормали при нагреве. Обнаружена закономерность, что при заданном значении коэффициента возбуждения области динамической неустойчивости для пластины, рассмотренной по модели Рейсснера, расположены выше областей динамической неустойчивости, построенных с учетом деформируемости нормали.
В заключении приведены общие выводы по результатам исследований.
10
Результаты работы докладывались:
- на научных семинарах кафедры "Теоретическая механика" СГТУ (Саратов, 1996-2001 г.г.);
- на семинаре кафедры "Высшая математика" СГТУ (Саратов, 2001 г.);
- на международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 2001 г.);
- на семинаре кафедры «Математическая теория упругости и биомеханика» СГУ (Саратов, 2001г.).
Основное содержание работы опубликовано в статьях [24], [25], [26], [91].
11
I. Основные соотношения и уравнения несвязанной термоупругости геометрически нерегулярных ортотропных пологих оболочек с термочувствительной толщиной В рамках модели типа Рейсснера рассматриваются геометрически нерегулярные ортотропные пологие оболочки с изменяемой при нагреве толщиной. Динамические уравнения несвязанной термоупругости и краевые условия выводятся из интегрального вариационного принципа Гамильтона. Из тех же посылок получены системы сингулярных дифференциальных уравнений тсрмоупругости композиций из оболочек и пластин, гладко сопряженных между собой, в декартовой и косоугольной системах координат. Приводятся различные начертания уравнений для температурных функций, необходимые при определении реальных температурных полей, действующих на геометрически нерегулярные ортотропные оболочки, находящихся в условиях конвективного теплообмена с рабочей средой через лицевые поверхности.
двоякой кривизны, стандартным образом отнесенную к локальным триортогоиальным координатам. Тензор полной деформации сплошной среды, в рамках геометрически линейной теории, запишем в виде [39], [41], [61],
где V,— ковариантные производные ковариантных компонент поля
1.1 .Кинематическая модель пологой ортотропной оболочки с термочувствительной толщиной
1 2
Рассмотрим нагретую до температуры 0(а ,а 9Х$Л) ортотронную оболочку
[63],[80]
(1.1)
перемещений
Г1 - контравариантный базис тензора полной деформации,
(1.2)
В соотношениях (1.2) - символы Кристоффеля 2-го рода, индекс после
запятой означает производную по соответствующей координате. Так как учитываются деформации оболочек по толщине, то в компонентах ?/з (/ = 1,2,3) тензора (1.1) оставляем производные от третьей компоненты
где g^^ - компоненты основного метрического тензора.
Переходя к декартовым координатам, в случае пологих оболочек, в формулах (1.4) следует ПОЛОЖИТЬ £] ] = £22 = 1 •
На основании предположений: 1) толщина оболочки чувствительна к нагреву [9], [26], [27] и Є33 = ат>®(х\,Х2>Х'$,(); 2) касательные напряжения
изменяются по закону [2], [34], [35] 073 = /(*3из соотношений
(1.3), (1.4), с учетом уравнений состояния [39], [41], [62]
з
поля перемещений по координате а , т.е. И33. Тогда следует записать
е33 - м3,3
(1.3)
(1.4)
Е,
^ а ^7/ ’ , к у I 1,2,3),
(1.5)
получим
К3 = ы(х1,Х2,0 + а3 \®(Ху,Х2^т,,ї)СІХт>,
(1.6)
»,.з-^ = 2А/(,з (,.7,
Р\21 С/3 Ц г/
здесь и> - прогиб срединной поверхности оболочки,
Р1 - радиусы главных кривизн координатных линий,
*=1+3..
А
Полагая температуру линейной по толщине оболочки
©(^,^2,^3,/) = (—)р® Лх\9Х2>() (суммирование по р=0,1),
к
к2 х2
а функцию 1', для определенности, в виде [2], [34], [35] / = — , получим
8 2
из (1.7), после ряда преобразований, выражения для тангенциальных компонент поля перемещений в виде
/ ч <Р1 г 3 ? Л21 2
И/ = М*ь*2>0*/ +7Г-*/[“Л +т1пг/(*
С//3 2 4 2
- 2* + 1п г;)] - ^/^//^[-1 - аг30о - +
(1 8)
+ (1 - аг30о )— + /*(—+1пг,)]—а3®01{?г, х
П 2\
3
X (-1 4- 2 + 1п 2 ) _ ^0 (г2 _ 1 _ 2г/ 1п г ) (/ _ 1>2)
2/ 2 к
Здесь и01(х^х2,0 - тангенциальные компоненты ноля перемещений
срединной поверхности. Формулы (1.6) - (1.8) значительно упрощаются при (г / /?/) «1 и принимают вид
- Київ+380960830922