2
Оглавление
Введение................................................................5
Глава 1. Состояние вопроса. Формулировка задачи.......................11
1.1. Обзор исследований, посвященных постановке и методам решения задач теории упругости и ползучести неоднородных
тел. Методика решения задач ползучести........................11
1.2. Обзор областей применения и известных решений задач термоупругости для неоднородных полимерных цилиндров..............17
1.3. Применение численных методов к решению задач механики деформируемого твердого тела......................................23
1.4. Цели и задачи исследования. Формулировка задачи термоунругости неоднородных тел в цилиндрических координатах. Основные соотношения механики
у11ругорелаксирую щей среды...................................32
Глава 2. Одномерные плоские задачи термовизкоупругости для неоднородных полимерных тел............................................39
2.1. Вывод разрешающих уравнений. Граничные и начальные
условия.......................................................40
2.2. Равнонапряженный цилиндр. Обратная задача для радиально неоднородного цилиндра............................................45
2.3. Алгоритм расчета.............................................49
2.4. Плоское напряженное состояние многослойного неоднородного
полимерного цилиндра..........................................51
3
2.5. Плоское деформированное состояние многослойного неоднородного полимерного цилиндра................................53
2.6. Решение с использованием метода конечных элементов............66
2.7. Выводы по главе 2.............................................71
Глава 3. Центрально-симметричная задача теории упругости в сферических координатах................................................74
3.1. Вывод разрешающих уравнений...................................74
3.2. Ползучесть соляного массива со сферической полостью...........77
3.3. Напряженное состояние многослойного неоднородного полимерного сферического тела.....................................82
3.4. Выводы но главе 3.............................................86
Глава 4. Прогнозирование прочности адгезионных соединений
при осевом растяжении..................................................87
4.1. Ползучесть адгезионных соединений.............................87
4.2. Тонкостенная трубка...........................................97
4.3. Выводы по главе 4.............................................99
Глава 5. Осесимметричная задача термовязкоупругости для полого полимерного цилиндра с учётом двумерной
неоднородности материала..............................................100
5.1. Постановка краевой задачи термоползучести для двумерного неоднородного цилиндра...........................................100
5.2. Конечно-разностная аппроксимация краевой задачи термоползучести.........................................104
5.3. Методика решения разностных уравнений. Использование
решения упругой задачи......................................112
4
5.4. Решение модельных задач....................................115
5.5. Решение задачи теплопроводности вариационно-разностным методом..................................................119
5.6. Тестовая задача расчета теплового экрана....................122
5.7. Релаксационный процесс в полимерном цилиндре, находящимся
под воздействием переменного температурного поля.............127
5.8. Выводы по главе 5...........................................141
Выводы по диссертационной работе.....................................142
Условные обозначения и сокращения....................................143
Библиографический список.............................................145
Приложение 1. Документы о внедрении результатов работы...............159
Приложение 2. Формулы для коэффициентов системы
уравнений (5.23).....................................................164
При ложение 3. Программа расчетов на ЭВМ.............................173
5
Введение
Надежное и экономичное проектирование конструкций и сооружений в первую очередь связано с определением напряженно-деформированного состояния и оценкой прочности элементов конструкций и всего сооружения в целом при различных режимах нагружения и учетом реальных свойств материалов. Стоящая перед конструкторами задача выбора рациональных конструктивных форм, обеспечивающих требуемую несущую способность и жесткость сооружений при минимальном расходе материалов, требует, возможно, более точного описания напряженно-деформированного состояния.
При длительном действии постоянной нагрузки, во многих материалах (металлы при высоких температурах, полимеры, полимербетоны, бетоны) наблюдается развитие деформаций во времени (явление ползучести).
Прогнозирование поведения конструкций и их элементов во времени является важным направлением механики, и поэтому не случайно к нему приковано внимание многочисленных исследователей как у нас в стране, так и за рубежом.
Характерной особенностью многочисленных конструкций, материал которых обладает свойством ползучести, является его неоднородность, как
✓
естественная, так и технологическая (косвенная), появляющаяся в процессе изготовления, обработки и эксплуатации отдельных узлов.
В механике неоднородной вязкоупругой среды рассматриваются три основных типа неоднородности: непрерывная, кусочно-однородная и стохастическая. Функции, описывающие изменение механических свойств материала, являются соответственно непрерывными, кусочно-постоянными и случайными. Задачи первого типа неоднородности приводят к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами, во втором случае вопрос заключается в стыковке решений на границах областей с однородными
6
свойствами или решаются задачи с осредненными механическими характеристиками, в последнем случае используется аппарат математической статистики.
В данной диссертационной работе рассматривается неоднородность первого типа, когда упругие и релаксационные параметры материала являются непрерывными функциями координат. Неоднородность указанного вида возникает в процессе сооружения конструкций (затвердение бетона, цементирование, полимеризация), при облучении радиационными потоками, при наличии температурного поля.
Конструктивные элементы в виде полых цилиндров являются одними из широко распространенных деталей в конструкциях реактивных двигателей, где они могут имитировать заряды РДТТ (ракетные двигатели на твердом топливе), тепловых защит, реакторных установок и многих других элементов, использующихся в различных областях техники.
Исследованию влияния упругой неоднородности на н.д.с. полых цилиндров посвящены работы Б.И. Биргера, П.М. Василенко, Я.М. Григоренко,
Н.Д. Панкратовой, В.А. Ломакина, М.А. Колтунова, С.Г. Михлина,
С.Г. Лехницкого и других авторов.
В связи с вышесказанным представляется актуальной проблема расчета непрерывно неоднородных цилиндров, находящихся под длительным воздействием температурных полей и статических нагрузок, как в одномерной (плоская осесимметричная задача), так и в двумерной постановках (осесимметричная задача в цилиндрических координатах).
В соответствии с поставленной целью решены следующие задачи:
• Проведено теоретическое исследование релаксационных явлений в гомогенных и гетерогенных полимерных цилиндрах при некоторых условиях температурного и силового нагружения в осесимметричном и центрально симметричном случаях.
7
• Теоретическими исследованиями было показано существенное влияние релаксационных процессов на величины температурных напряжений при двухосном напряженном состоянии.
• На базе применения вариационно-разностного метода разработана методика решения, алгоритм численной реализации и программа расчета на ЭВМ осесимметричной задачи теплопроводности ц термоупругости конечного цилиндра с учетом зависимости теплофизических характеристик материала от температуры и двумерной неоднородности деформационных свойств материала при произвольных граничных условиях на торцовых поверхностях.
Рассмотрена задача о процессе охлаждения изделия в форме полого цилиндра в условиях ползучести с учетом температурной зависимости механических характеристик. Для определения температурного поля решается задача теплопроводности. На основе вариационно-разностной постановки решается задача о напряженно-деформированном состоянии цилиндра с учетом высокоэластических деформаций.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- проведено решение задачи термовязкоупругости для многослойного цилиндрического тела в плоской осесимметричной постановке с учетом непрерывной неоднородности и термовязкоупругости каждого слоя;
- проведено решение задачи термовязкоупругости для многослойного сферического тела в плоской центрально-симметричной постановке с учетом непрерывной неоднородности и термовязкоупругости каждого слоя;
- разработана на базе применения вариационно-разностного метода методика решения осесимметричной задачи термовязкоупру-
8
гости с учетом двумерной неоднородности материала при произвольных граничных условиях на торцовых и образующих поверхностях;
- разработана и реализована в пакете программ на ЭВМ методика расчета двумерно неоднородных полимерных цилиндров в условиях термовязкоупругости.
Достоверность полученных результатов обеспечивается:
- сравнением результатов при решении задач для однородного материала с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.
- проверкой выполнения всех граничных условий, дифференциальных и интегральных соотношений;
- сравнением результатов с решениями независимыми методами (МКР, МКЭ).
Практическая ценность работы. Решена практически важная технологическая задача для неоднородного полимерного цилиндра, находящегося в стадии охлаждения с учетом деформаций ползучести. На основе разработанных методов и алгоритмов расчета проведен анализ влияния на напряженно-деформированное состояние различных физических факторов, в том числе нелштейного деформирования материала.
Решена практически важная задача расчета клеевого соединения, с учетом деформаций ползучести, двух цилиндрических тел.
На защиту выносятся алгоритмы, методики и результаты, представляющие научную новизну.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены на выступлениях:
• Ш-я международная научно-практическая конференция (Нальчик, 2007);
9
• IV-я международная научно-практическая конференция (Нальчик, 2008);
• У-я международная научно-практическая конференция (Нальчик, 2009);
• «Строительство-2007» - международная научно-практическая конференция (Ростовский Государственный Строительный Университет).
Публикации. Основные содержания диссертации опубликовано в двух монографиях, десяти статьях и материалах конференции; из них одна - в журнале ВАК РФ.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы, 3 приложения, изложена на 200 страницах машинописного текста, содержит 37 рисунков, 7 таблиц.
В первой главе дан краткий обзор состояния проблемы расчета непрерывно неоднородных цилиндров в упругой постановке и на ползучесть. Здесь же приводится некоторые сведения о теориях ползучести. Приводятся основные уравнения механики неоднородных тел, формируются краевые задачи теории ползучести неоднородных тел относительно перемещений в цилиндрических координатах и рассматриваются некоторые частные случаи.
Во второй главе приводятся решения одномерных плоских многослойных осесимметричных задач, имеющих как вспомогательный характер для апробации методов и программ расчетов на ЭВМ в последующих главах, так и самостоятельное значение.
Третья глава диссертации посвящена центрально-симметричной задаче теории упругости в сферических координатах. Здесь представлен вывод разрешающих уравнений и рассматривается модельная задача ползучести соляного массива со сферической полостью; также приводится решение неоднородной многослойной полимерной сферы.
10
В четвертой главе рассматривается практические значимая задача расчета клеевого соединения цилиндрических тел, приводятся методы прогнозирования свойст адгезионных соединений без длительного нагружения.
В пятой главе рассматривается задача в которой исследуются технологические напряжения, возникающие на стадии охлаждения изделия в форме полого цилиндра. Приводится решение задачи теплопроводности и термоползучести для конечного цилиндра с учетом двумерной неоднородности материала. Разностная схема построена методом аппроксимации функционала полной потенциальной энергии системы. Дан краткий анализ влияния неоднородности на напряженное состояние цилиндра в условиях термовязкоупругого отверждения.
Приложение к диссертации содержит документы, подтверждающие внедрение результатов работы, а также исходные модули программ расчетов и формулы для коэффициентов системы уравнений (5.23).
Результаты данной работы могут быть использованы при проектировании элементов конструкций в виде полых многослойных цилиндров из различных материалов и расчетах их на долговечность.
Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет».
11
Глава 1. Состояние вопроса. Формулировка задачи
1.1. Обзор исследований, посвященных постановке и методам решения задач теории упругости и ползучести неоднородных тел. Методика решения задач ползучести
Теория упругости неоднородных тел берет свое начало с середины 30-х годов. К настоящему времени в научно-технической литературе появилось достаточно большое число работ [10, 13, 14, 30, 46, 47, 52, 60, 73, 78, 79, 91, 94, 113, 129], в которых даны основные понятия теории упругости неоднородных тел, поставлено большое количество краевых задач, а также приведены общие и частные варианты их решения. Подробный перечень этих и других работ представлен в библиографическом указателе отечественной и иностранной литературе Г.Б. Колчина и Э.А. Фавермана [69, 70], что избавляет от необходимости рассмотрения здесь соответствующих работ.
Исследования напряженно-деформированного состояния неоднородных цилиндров, находящихся в условиях упругой и вязкоупругой деформации, продолжают оставаться одной из актуальных задач механики деформируемого твердого тела. Это объясняется тем, что конструктивные элементы в виде полых цилиндров распространены в самых широких областях техники.
В работе [85] впервые были получены разрешающие уравнения для плоской задачи теории упругости неоднородных тел. Затем в работах [68, 78, 79] были получены подобные уравнения с учетом вынужденных деформаций, объемных и поверхностных нагрузок. Вывод разрешающих уравнений зачастую производится аналогично классической теории упругости либо с использованием функций напряжений, либо в перемещениях, при этом полу-
12
чается дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка с переменными коэффициентами. В работе [79] даны разрешающие уравнения относительно функции напряжений в декартовых и полярных координатах. Кроме описанных выше случаев получения разрешающих уравнений для плоской задачи теории упругости неоднородных тел можно использовать и другие функции напряжений в качестве основных неизвестных [115].
Относительно одномерных задач теории упругости неоднородных тел следует сказать, что они являются частным случаем плоской задачи, поэтому разрешающие уравнения можно получить просто путем устранения второй координаты, но большей частью они выводятся независимо. При этом для любых разрешающих функций - радиальное перемещение [12, 104], функции напряжений [64] или непосредственно напряжения [13, 85] - задача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами. Так, в работе [79] при расчете на растяжение длинного сплошного неоднородного цилиндра получено разрешающее уравнение, в котором искомой функцией является функция напряжений IV. д2\н
дг2
1 fl рд(1\ 2/1 d/л dw
rl dr\EJ (1 — 2ц2) дг\ дг
1 + Ецг(1 + ц) -Цр (J) г (1 + 2*0 %
1 — ц2 1 — ц2
дц (1.1)
_ r“ дг
г 1 - ц2‘
здесь р = д(г); Е = E(r); w = w(r); ar = w/r; o0 = dw/dr\
Не трудно догадаться, что в полярно симметричной задаче vv(r) — просто производная по г от функции Эри, записанной в полярных координатах.
Граничные условия в данном случае записываются для напряжений и имеют вид:
где г = а, Ь - поверхности цилиндра.
Как правило, параметры разрешающих уравнений имеют сложный вид закона изменения, вследствие чего решение уравнения не удается получить в замкнутом виде; в этом случае используются численные методы, в основном МКР, МКЭ [2, 86,90, 107, 108].
При решении пространственной и осесимметричных задач для неоднородных цилиндров используются различные разрешающие функции. В соответствии с этим вид, структура и количество основных разрешающих уравнений и функций существенно отличаются. Так, к примеру, в [13] в случае осевой симметрии используется одна функция перемещения (и), а в работах киевской школы [47] для решения пространственных задач применяется шесть неизвестных функций, при этом задачи сводятся к системам из шести дифференциальных уравнений первого порядка. Другие функции напряжений и соответствующие уравнения приведены в работе [115].
В монографиях [22, 24] приводится большое количество справочного материала о параметрах конструкционных материалов, применяющихся в ракетостроении и других областях техники. Здесь же предлагается методика расчета твердотопливных ракетных двигателей со скрепленными зарядами. Поставленные задачи термоупругости решаются в напряжениях методом возмущений и коллокаций. В работе [42] рассматривается решение для полого цилиндра в одномерной постановке методом сопряжения с использованием функции комплексного переменного. Определение термоупругих напряжений аналитически с учетом неоднородности материала в конструкциях РДТТ и космических аппаратов приведено в работе [30].
14
Представляют важный теоретический и практический интерес работы исследователей, где даны результаты решения задач для термонагруженных цилиндрических конструкций и сооружений ядерной энергетики. В работе [52] рекомендуются данные о защитных конструкциях современных АЭС, ядерных реакторах из предварительно-напряженного железобетона, в форме цилиндра и находящихся под воздействием ионизирующего излучения и температурного поля. Здесь же приводятся методы расчета реакторных и защитных конструкций АЭС на действие статических нагрузок.
Необходимо отмстить, что в большинстве перечисленных выше работ содержатся постановка и решения задач термоупругости и теплопроводности в цилиндрических координатах.
Говоря о методах решения задач теории упругости и вязкоупругости неоднородных тел, логично начать с наиболее простых уравнений, получающихся в одномерных задачах. Структура коэффициентов и правой части этих уравнений в сильной степени зависит ог вида функций, описывающих изменение упругих и релаксационных постоянных вдоль радиуса. Наиболее простой вид уравнений получается в случае несжимаемого материала. Иногда при решении одномерных задач при выборе функции физико-механических параметров в специальном виде удается получить замкнутые решения, например, в функциях Бесселя, в гииергеометрических рядах Куммера и т.д. [13].
Следует отметить работы, в которых развиваются новые аналитические точные и приближенные методы решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Это введение новых специальных функций [82], применение методов инвариантного погружения [128] и сплайн-коллокации [61].
Все чаще используют такие методы, как теория комплексного переменного [6].
15
Одним из эффективных способов приближенного аналитического расчета при решении плоской задачи теории упругости неоднородных тел является метод последовательных приближений [68, 79], при использовании которого полагают, что первое приближение соответствует решению поставленной задачи в случае однородного материала. Последующие итерации дают поправку на неоднородность в решении.
Говоря о методах решения пространственных задач следует упомянуть и метод разделения переменных. Он сводит определение н.д.с. цилиндра к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений для каждого члена ряда. Однако область применения данного метода ограничивается задачами с одномерной неоднородностью, т.е. изменением физикомеханических характеристик только в направлении по одной из осей координат [13]. Кроме того, метод разделения переменных требует наличия согласованных граничных условий. Так, например, при решении задач о неоднородном цилиндре конечной длины разделение переменных возможно только при условии, что на торцах цилиндра выполняются следующие граничные условия:
IV = ггг = 0 при 2 — О, Я, (1.3)
где - смещение по оси г; Н - высота цилиндра.
В работах [12, 13, 14] приводится метод решения в перемещениях, а в [45] в качестве разрешающих функций выбраны перемещения и напряжения. Для однородного цилиндра впервые этот метод был применен в [140], и методика, изложенная в [13, 14], является его дальнейшим развитием.
Основные результаты решения задач по определению температурных полей и применяемые при этом методы изложены в работах [26, 27, 65, 73, 78,94, 97, 107].
Перейдем к рассмотрению пространственных задач для конечного неоднородного цилиндра. Необходимо отметить некоторые известные решения
16
для цилиндра из однородного материала. Дело в том, что в ряде работ были использованы методы, позволяющие производить учет неоднородности и ползучести материала. Другая причина заключается в том, что при апробировании применяемых численных методов наиболее надежным способом является сравнение результатов с известными аналитическими решениями. Большинство из решений пространственной задачи термоупругости связано с использованием численных методов таких, как МКЭ [13, 78] и МКР, ВРМ [2, 9, 13, 30, 43, 44, 107, 108, 113, 122, 127, 132]. Хотелось бы сделать акцент на один факт, заключающийся в следующем: при решении задач термоупругости неоднородных тел довольно сложно делать какие-либо обобщения или заключения о влиянии неоднородности материала на н.д.с конструкции. Это вытекает из того, что для различных реальных материалов, при действии конкретных температурных нагрузок учет неоднородности может приводить как к уменьшению действующих, напряжений, так и к их увеличению [13].
В настоящем разделе не представляется возможным дать исчерпывающий обзор по вопросам деформирования неоднородных вязкоупругих сплошных сред. Отметим только, что весьма подробный и исчерпывающий библиографический обзор по данной тематике сделан в [17, 54]. Остановимся лишь на некоторых исследованиях ползучести неоднородных цилиндров.
В первую очередь, отметим работу [122], где автор приводит разрешающие уравнения, экспериментальные и теоретические результаты для температурных напряжений в осесимметричных задачах. Заслуживают внимание работы [54, 135]. В [135] автор рассматривает задачу об отыскании осесимметричного распределения напряжений в конечном цилиндре.
Для решения задач термовязкоупругости с учетом влияния градиента температуры на свойства среды предложены методы разложения по малому параметру (Б.Е.Победря, А.Д. Коваленко и В.Г.Карноухов), метод возмущений (В.Г.Громов), метод упругих решений (Б.Е. Победря). Все эти методы
17
приводят решение к последовательности задач для однородного вязкоупругого тела.
Известно, что в большинстве случаев любую квазистатическую задачу можно свести к ряду упругих задач для каждого дискретного шага по времени, типа "шаг за шагом". Исследование шаговых алгоритмов и применение их к конкретным задачам изложены в работах П.И. Васильева, И.Е. Прокоповича, В.В. Рекшы, Ж.С. Ержанова, Б.М. Наймарка.
1.2. Обзор областей применения и известных решений задач термоупругости для неоднородных полимерных цилиндров
Исследование напряженно-деформированного состояния неоднородных цилиндрических тел, находящихся под действием различных статических нагрузок и температурных воздействий, продолжает оставаться одной из актуальных задач строительной механики. Это объясняется тем, что цилиндрические элементы конструкций широко распространены в таких важных для народного хозяйства областях техники, как машиностроение, авиация, ракетная техника и космонавтика, энергетическое строительство и др. В монографиях, в которых приведены расчеты конструкций, применяющихся в перечисленных областях техники, большое внимание уделяется рассмотрению цилиндрических тел. В работах [22, 42, 125] приводятся основные конструктивные схемы, методы расчета и результаты решения некоторых задач строительной механики применительно к конструкциям ракетных двигателей. Большое внимание уделяется определению температурных напряжений в конструкциях ракетных двигателей, а также учету влияния неоднородности материала на напряженно-деформированное состояние. В работе [125] изложены решения, полученные как по теории тонких оболочек, так и с позиций
18
классической теории упругости. Отмечается важность определения деформированного состояния конструкций, в том числе и с учетом развития пластических деформаций, так как данный фактор оказывает решающее влияние на работоспособность подобных конструкций. В монографии [22] приведено большое количество справочного материала о физико-механических характеристиках конструкционных материалов, применяющихся в ракетостроении и других областях техники, о влиянии на них температурных воздействий, а также методики расчета твердотопливных ракетных двигателей со скрепленными зарядами. Дано решение задачи термоупругости в напряжениях для неоднородного полого цилиндра в плоской осесимметричной постановке методом возмущений и коллокапий. Решение аналогичных задач применительно к расчету ракетных двигателей методами малого параметра и сопряжения, использующими функцию комплексного переменного, приведено в работах [42, 87]. Определение термоупругих напряжений с учетом неоднородности материала в конструкциях ракетных двигателей и космических аппаратов аналитическими и численными методами изложено в работах [30, 32]. В [32] к расчету осесимметричных тел вращения применен МКЭ в форме метода перемещений. Показано, что в случае несимметричной нагрузки последняя представляется в виде ряда Фурье но азимутальной координате, и решение исходной задачи сводится к решению ряда осесимметричных задач. Подобный прием широко используют и другие авторы при расчете осесимметричных тел вращения на несимметричную нагрузку [109].
В настоящее время существует большое количество работ, в которых приводят конструкции и расчет объектов ядерной энергетики. В монографиях [42, 52] дан обширный справочный материал о конструкциях современных АЭС с реакторами корпусного и канального типов, физико-механических свойствах материалов, применяемых в реакторостроении и строительных конструкциях АЭС, а также о методах расчета данных конструкций. В рабо-
- Київ+380960830922