Электродинамический анализ сложных волноводных структур с диэлектрическим заполнением и плоско-поперечными неоднородностями

2
Оглавление.
стр.
Введение........................................................6
Глава 1. Электродинамический расчет электромагнитных полей в волноводах сложных сечений с однородным диэлектрическим заполнением................................23
1.1. Постановка краевой задачи...........................36
1.2. Граничные условия и классификация типов волн в волноводах сложных сечений...............................40
1.3. Расчет Н-волп методом частичных областей с учетом особенности электромагнитного поля на ребре..............45
1.4. Расчет Е-волн методом частотных областей с учетом особенности электромагнитного ноля на ребре..............54
1.5. О сведении инте1рального уравнения к конечной СЛАУ при решении электродинамических краевых задач................................................... 58
1.6. Особенности численной реализации алгоритма и анализ сходимости метода расчета.........................65
1.7. Графическое моделирование на ЭВМ электромагнитных полей в критическом режиме........................78
1.8. Моделирование на ЭВМ пространственной структуры силовых линий электромагнитного поля................95
1.9. Анализ результатов расчетов критических волновых чисел волн в различных волноводах сложных
сечений............................................ 103
1.10.11араметры полых волноводов сложных сечений 118
1.10.1. Определение характеристического сопротивления...! 18
1.10.2. Определение предельной передаваемой мощности... 122
1.10.3. Расчет постоянной затухания.................... 123
Выводы................................................. 125
Глава 2. Применение МЧО с учетом особенности на ребре к расчету некоторых частных видов сложных волноводных структур....................................... 127
2.1. Расчет электромагнитных полей и критических волновых чисел в прямоугольном волноводе с
одним и двумя Т - выступами........................ 127
2.2. Анализ модового состава Н-волн несимметричных желобковых волноводов...................................135
3
стр.
2.3. Расчет критических волновых чисел Н-волн в симметричных экранированных одножелобковых волноводах с продольными тонкими диафрагмами.. 145
2.4. Исследование модового состава желобковых волноводов с бесконечно протяженными
боковыми областями............................... 149
Выводы............................................... 159
Глава 3. Электродинамический расчет структуры электромагнитных полей и критических волновых чисел в волноводах сложных сечений со слоистым
диэлектрическим заполнением....................... 161
3.1.1 Остановка краевой задачи и некоторые особенности собственных волн слоистых волноводов........................................... 164
3.2. Расчет квази Н-волн методом частичных областей
с учетом особенности поля на ребре............... 166
3.3. Расчет квази Е-волн методом частичных областей
с учетом особенности поля на ребре............... 170
3.4. Моделирование и визуализация пространственной структуры квази 11- и квази Е-волн на ЭВМ 172
3.5. Анализ результатов численных расчетов и влияния диэлектрического заполнения в критическом режиме................................... 176
3.6. Расчет параметров О-образного волновода и его различных модификаций со слоистым диэлектрическим заполнением.......................... 183
Выводы............................................... 198
I лава 4. Электродинамический расчет электромагнитных полей и постоянных распрос транения гибридных типов волн в волноводах сложных сечений со слоистым диэлектрическим заполнением.......................200
4.1. Постановка краевой задачи, граничные условия
и классификация гибридных типов волн..............200
4.2. Представление электромагнитных полей при слоистом диэлектрическом заполнении...................203
4.3. Алгебраизация задачи и определение постоянных распространения г ибридных типов волн.................206
4
стр.
4.4. Моделирование и визуализация структуры электромагнитных полей гибридных типов
волн на ЭВМ..................................... 212
4.5. Анализ результатов и влияния диэлектрического заполнения при расчете постоянной распространения......................................235
Выводы............................................. 244
Глава 5. Плоско-поперечные неоднородности в одномодовых
волноводах сложных сечений........................246
5.1. Векторная постановка дифракционной задачи.......250
5.2. Изложение метода анализа и вывод аналитических выражений для расчета параметров плоско-поперечных неоднородностей в волноводах сложных сечений......................................252
5.3. Анализ параметров плоско-поперечных неоднородностей с помощью матрицы рассеяния...................256
5.4. Исследование сходимости метода расчета и точности полученных результатов......................258
5.5. Анализ результатов расчетов параметров тонких диафрагм в волноводах сложных сечений................267
5.6. Исследование параметров торцевых сочленений волноводов сложных сечений...........................277
5.7. Исследование параметров плоско-поперечных сдвигов волноводов сложных сечений...................288
Выводы...............................................296
Глава 6. Электродинамический анализ параметров плоско-поперечных неоднородностей в волноводах сложных сечений в многомодовом режиме......................298
6.1. Векторная постановка дифракционной задачи 300
6.2. Расчет параметров плоско-поперечных неоднородностей в волноводах сложных сечений в многомодовом режиме..................................301
6.3. Использование многомодовой матрицы рассеяния
для анализа плоско-поперечных неоднородностей... 305
6.4. Исследование параметров тонких диафрагм в многомодовом режиме..................................310
5
стр.
6.5. Исследование торцевых сочленений волноводов
в многомодовом режиме............................321
6.6.11араметры плоско-поперечных сдвигов волноводов в многомодовом режиме................................325
Выводы...............................................329
Глава 7. Анализ селективных свойств и синтез устройств на плоско-поперечных неоднородностях в волноводах сложных сечений............................................331
7.1. Постановка задачи и основы методики исследования селективных свойств сложных структу р на плоско-поперечных неоднородностях....................333
7.2. Селективные свойства узлов на тонких диафрагмах
в волноводах сложных сечений.....................338
7.3. Селективные свойства узлов на плоско-поперечных стыках волноводов сложных сечений....................344
7.4. Селективные свойства узлов на плоско-поперечных сдвигах волноводов сложных сечений...................349
7.5. Синтез полосно-пропускающих фильтров на плоскопоперечных неоднородностях в гребневых и желоб-ковых волноводах.....................................360
Выводы...............................................374
Заключение................................................ 376
Литература.................................................382
6
Введение.
В современной технике сверхвысоких частот (СВЧ) важное место занимают элементы и узлы со сложной формой поперечного сечения. За последние два десятилетия развития техники антенно-фидерных устройств внимание специалистов привлекли волноводы П-, Н-, Г-, Т-, 0-, Ш-, крестообразных, одно- и двухжелобковых, гантелеобразных, лу-нарных, секторных, треугольных, бицилиндрических, трапецеидальных, прямоугольных с одним и двумя Ь- или Т-выстуиами и других сложных сечений, что объясняется рядом их преимуществ перед другими линиями передачи [I -7]. Так, по сравнению с волноводами простейших сечений, то есть прямоугольными и круглыми, одни из них имеют большую рабочую полосу частот на низшей волне (до трех-пяти октав), меньшие габариты и массу, более низкое волновое сопротивления (до десятков Ом) при малой дисперсии, другие позволяют передавать большие мощности, имеют вырожденные волны с разным расположением плоскостей поляризации, третьи не критичны к точности изготовления и характерны практическим отсутствием продольных токов и т. д. Благодаря комплексу определенных преимуществ волноводы сложных сечений (ВСС) позволяют создавать СВЧ элементы и узлы, работающие в разных частотных диапазонах от дециметровых до субмилпимет-ровых, отвечающие современным требованиям и превосходящие по своим параметрам их аналоги на традиционных прямоугольных и круглых волноводах.
В практике создания радиоэлектронной аппаратуры уже пройден путь от полного построения СВЧ систем на ВСС до широкого их использования как конструктивных элементов антенно-волноводных узлов и электронных приборов СВЧ. В частности, ВСС используются в качестве широкополосных секций вывода СВЧ энергии, для согласования твердотельных полупроводниковых приборов с волноводным трактом, в конструкциях генераторов КВЧ диапазона, в виде антенн бегущей волны [8].
В последние годы все более широкое применение в радиотехнических системах различного назначения находит диапазон миллиметровых волн [8 - 12]. В этом диапазоне характеристики радиоэлектронных систем во многом определяются параметрами используемых антеннофидерных устройств, которые существенно зависят от типа используемого волноведущего тракта. Создание антенно-фидерных устройств на
7
основе одномодовых волноведущих структур, таких как прямоугольные волноводы, полосковые, микрополосковые и волноводно-щелевые линии, даже в длинноволновой части миллиметрового диапазона, ограничено из-за больших потерь, малых размеров поперечного сечения и нереализуемых требований к точности изготовления. Использование ВСС для создания элементной базы и основных типов устройств миллиметрового (КВЧ) диапазона позволяет решить многие существующие проблемы.
Как показывает анализ патентной и рекламной информации в нашей стране и за рубежом, интерес к данной тематике постоянно растет, ряд промышленных фирм уже давно освоил выпуск широкого комплекса волноводных элементов на ВСС. Так, фирмы “Litton” »“Phillips”, “Waveline”, “Logus Microwave” и ряд других производят комплекты широкополосных СВЧ-элементов на Н-образных волноводах [13 -15].
Развитие прикладной электродинамики связано с постоянным возрастанием уровня требований к параметрам современной СВЧ аппаратуры, освоением новых частотных диапазонов и расширением функциональных возможностей аппаратуры, особенно при работе в нестационарных, в частности космических, условиях. Удовлетворение этих требований приводит к значительному усложнению элементной базы аппаратуры, созданию волноводных систем, характеризующихся более сложной геометрией границ. Отсутствие, в большинстве случаев, точных решений сложных волноводных структур создает новые проблемы, связанные с созданием адекватных математических моделей краевых и дифракционных задач, разработкой более точных аналитических, численно-аналитических и численных методов их решения и анализом физических процессов распространения, взаимодействия, поглощения и излучения волн в различных волноводных трактах [16 -19].
Следует заметить, что современная экспериментальная отработка СВЧ узлов на ВСС, в отличие от их аналогов на прямоугольных волноводах, является дорогостоящей, трудоемкой, требует наличия аппаратуры для автоматизации эксперимента и значительного времени на ее выполнение, а в диапазоне миллиметровых волн и малоэффективной. В некоторых случаях она принципиально не может обеспечить заданную точность результата. Поэтому наличие достаточно точных расчетных формул и алгоритмов не только упрощает разработку СВЧ элементов и
8
узлов на ВСС, но и очень часто является определяющим при их проектировании и изготовлении. Эффективная замена натурного эксперимента моделированием на ЭВМ возможна только в случае применения строгих электродинамических моделей и мощных методов вычислительной математики. В этом случае адекватность математической модели реальному радиотехническому устройству позволяет проводить строгие исследования на качественно более высоком уровне, глубже понять природу радиофизических явлений и обнаружить новые эффекты в рамках используемой математической модели.
Опыт работы показывает, что теоретические исследования распространения электромагнитных волн в ВСС приводят к значительно более сложным электродинамическим задачам, что обусловлено сложной формой границ и граничных условий, а при наличии плоско-поперечных, объемных, диэлектрических и других неоднородностей - существенно векторным характером электромагнитного поля. Их решение с достаточной для практики точностью требует разработки новых теоретических подходов, применения мощных современных методов вычислительной электродинамики и использования ЭВМ, как на этапе проектирования, так и на этапе численной реализации [20 - 23].
К настоящему времени в прикладной электродинамике СВЧ накоплен определенный опыт решения скалярных и векторных задач такого уровня и приоритет в этой области принадлежит российским ученым. Большой вклад в развитие теоретических методов электродинамики СВЧ внесли российские ученые Вайнштейн JI.A. [24 - 26], Каце-неленбаум Б.З. [27, 28], Никольский В.В. [29 - 31], Шестопалов В.П. [32, 33], Михалевский B.C. [2, 34], Седых В.М. [1], Ильинский A.C. [35 - 37], Нефедов Е.И. [19, 38], Сазонов Д.М. [39, 40], Васильев Б.И. [16, 41], Мериакри В.В. [42], Сивов А.Н. [43, 44] и др., а также сотрудники их научных школ.
В последнее время наметилась тенденция к созданию в рамках систем машинного проектирования СВЧ устройств на ВСС систем пространственного, плоскостного и временного моделирования электромагнитных полей и волновых процессов [45]. Успешное решение задач автоматизированного проектирования СВЧ устройств, моделирования и визуализации электромагнитных полей и волновых процессов в них невозможно без разработки высокоэффективных алгоритмов расчета на ЭВМ базовых элементов: продольно-регулярных ВСС с однородным и слоистым диэлектрическим заполнением, плоско-поперечными
9
неоднородностями и узлов на их основе. Имеющиеся приближенные результаты расчетов параметров ряда ВСС с диэлектрическими и плоско-поперечными неоднородностями уже не всегда удовлетворяют современным техническим требованиям.
В этом аспекте одним из важных является вопрос об обобщении и развитии удобного и эффективного в вычислительном плане достаточно строгого метода для решения векторных внутренних краевых задач электродинамики СВЧ для сложных областей с острыми ребрами и слоистым диэлектрическим заполнением, позволяющих разбиение на ряд смежных прямоугольных областей с разными граничными условиями. Представляет научный интерес разработка методов электродинамического моделирования и визуализации на ЭВМ пространственных и плоскостных картин электромагнитных полей различных типов волн, в том числе и гибридных, в ВСС в любой точке частотного диапазона. Разработка методов и алгоритмов электродинамического анализа одиночных плоско-поперечных неоднородностей, типа тонких диафрагм, стыков и сдвигов ВСС, в том числе и многомодовом режиме работы. Разработка алгоритмов анализа и методики синтеза различных селективных устройств на плоско-поперечных неоднородностях в ВСС. Исследование волн в некоторых ВСС, в частности в одно- и двух-желобковых экранированных и с бесконечно протяженными областями, Н-, 0-образных, прямоугольных с одним и двумя Т-выступами и в других волноводах с однородным и слоистым диэлектрическим заполнением.
Все эти вопросы как в научно-теоретическом плане, так и в исследовательско-вычислительном не достаточно полно были освещены в известной литературе. Отсутствие результатов таких исследований связано с одной стороны с громоздкостью, аналитической и вычислительной сложностью рассматриваемых структур, плохой сходимостью и недостаточной точностью существующих алгоритмов расчетов, с другой стороны отсутствием мощных аппаратных и программных средств вычислительной техники. Необходимы определенные наработки в методах и средствах, чтобы появилась возможность решения векторных краевых и дифракционных задач такого уровня сложности с наперед заданной точностью.
Таким образом, вопрос о разработке методов и алгоритмов решения векторных краевых и дифракционных электродинамических задач, методов моделирования и визуализации электромагнитных по-
10
лей для ВСС с диэлектрическими и плоско-поперечными неоднородностями является важным и актуальным.
Цель настоящей диссертационной работы состоит в развитии эффективного аппарата вычислительной электродинамики для решения векторных краевых и дифракционных задач для сложных волноводных структур с острыми ребрами и слоистым диэлектрическим заполнением или плоско-поперечными неоднородностями, пространственного и плоскостного моделирования и визуализации электромагнитных полей различных типов волн, анализа и синтеза сложных селективных устройств, как основы для систем автоматизированного проектирования на ВСС устройств СВЧ и КВЧ диапазонов волн и применение развитых электродинамических методов к исследованию новых и используемых на практике элементов и узлов сложных конфигураций.
Исходя из указанных целей, сформулированы основные задачи научных исследований:
- обобщение и развитие эффективного электродинамического метода решения скалярных и векторных электродинамических краевых задач, метода частичных областей (МЧО) с учетом особенности электромагнитного поля на ребре, для сложных областей с однородным и слоистым диэлектрическим заполнением.
- разработка методов и алгоритмов моделирования и визуализации пространственных и плоскостных структур электромагнитных полей различных типов волн в ВСС в любой точке частотного диапазона.
- разработка методов и алгоритмов решения векторных дифракционных задач для расчета плоско-поперечных неоднородностей типа тонких диафрагм, стыков и сдвигов ВСС в одно- и многомодовом режимах работы.
- разработка методов и алгоритмов решения задач электродинамического анализа и синтеза селективных СВЧ устройств на плоскопоперечных неоднородностях в ВСС.
- применение разработанных электродинамических методов и созданных алгоритмов для моделирования, расчета и исследования параметров новых и используемых на практике сложных волноводных структур.
Объем работы. Диссертация содержит 261 страниц текста, 24 страницы таблиц, 96 страниц рисунков, список литературы из 404 наименований. Общий объем работы - 414 страниц.
II
Структура работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы.
В первой главе получил развитие эффективный метод решения внутренних краевых задач электродинамики СВЧ для сложных волноводных структур. МЧО с учетом особенности поведения электромагнитного поля на ребре обобщен на сложную область поперечного сечения волновода с однородным диэлектрическим заполнением и разными типами граничных условий на контуре области, состоящую из ряда смежных прямоугольных областей, что позволяет рассчитывать различные сложные волноведушие структуры типа гребневых и желоб-ковых волноводов, волноводно-щелевых и полосковых линий. Проведена классификация типов волн для различных ВСС в зависимости от вида граничных условий на контуре сложной области. Интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода, ядра которых содержат в неявном виде логарифмическую особенность, решены методом Галеркина с базовыми функциями в виде взвешенных полиномов Гегенбауэра или Чебышева, вес которых определяет особенность электромагнитного поля на соответствующем ребре. Рассмотрен вопрос о сведении интегрального уравнения к конечной СЛАУ, ее квазирегулярности и сходимости приближенного решения. Разработаны алгоритмы и программы расчета на ЭВМ критических волновых чисел и компонент электромагнитных полей Н- и Е-волн в П-, Н-, Г-, Т-, 0-, Ш-, крестообразном и желобковых волноводах. Проведен анализ особенностей численной реализации разработанных алгоритмов и сходимости численных результатов, сравнения результатов расчетов с имеющимися теоретическими и экспериментальными данными. Разработаны методики и алгоритмы плоскостного и пространственного моделирования и визуализации на ЭВМ электромагнитных полей Н- и Е-типов волн в ВСС в критическом режиме и на рабочей частоте. Представлены результаты расчета и моделирования электромагнитных полей большого количества Н- и Е-волн в одно- и двухжелобковых волноводах в критическом режиме. Приведены результаты расчета и моделирования пространственных структур и их ортогональных проекций электромагнитных полей различных типов Н- и Е-волн в П-, Н-, Т-, крестообразном и желобковом волноводах в критическом режиме и на рабочей частоте. Рассчитаны критические волновые числа и проанализирован модовый состав Н- и Е-волн П- и Н-волноводов, критические волновые числа основных рабочих Н- и Е-волн одно- и двухжелобковых волноводов,
12
основной волны доя прямоугольного волновода с тонким Г-выступом в зависимости от размеров волноводов. С высокой точностью определены электрические параметры различных ВСС. Даны научно-методические рекомендации по применению разработанных методик и алгоритмов для решения других задач прикладной электродинамики, а также по использованию полученных результатов расчетов и моделирования сложных структур в СВЧ технике.
Во второй гпаве МЧО с учетом особенности электромагнитного поля на ребре применен к расчету различных сложных волноведущих структур нетрадиционных конфигураций с однородным диэлектрическим заполнением. Рассчитаны электромагнитные поля и критические волновые числа доя прямоугольного волновода с одним и двумя Т-выступами конечной толщины. Разработан и реализован алгоритм расчета электромагнитных полей и критических волновых чисел Н-волн для несимметричных экранированных желобковых волноводов. Исследована модовая структура Н-волн в одно- и двухжелобковых волноводах при различных видах их несимметрии. Представлены результаты моделирования основной распространяющейся волны открытого одно-желобкового волновода в случае несимметрии боковых областей. Проведено исследование основных Н-волн симметричных экранированных одножелобковых волноводов с продольными тонкими металлическими диафрагмами, расположенными вертикально или горизонтально на острых ребрах желобов. Разработан алгоритм расчета критических волновых чисел, постоянных распространения и электромагнитных полей для одножелобковых волноводов с бесконечно протяженными боковыми областями. Установлены интервалы волновых чисел, в пределах которых критические волновые числа распространяющихся волн имеют действительные значения. Даны рекомендации разработчикам СВЧ аппаратуры по выбору оптимальных размеров ЖВ.
В третьей гпаве на основании МЧО с учетом особенности электромагнитного поля на ребре разработан алгоритм расчета электромагнитных полей квази Н- и квази Е-волн в ВСС со слоистым диэлектрическим заполнением в критическом режиме без потерь. Метод обобщен на сложную область поперечного сечения волновода с разными типами граничных условий на контуре области, состоящую из ряда смежных частичных прямоугольных областей с кусочно-однородным изотропным диэлектрическим заполнением. На границах частичных областей учтена особенность электромагнитного поля вблизи идеально
13
проводящих металлических ребер, окруженных разными диэлектрическими слоями. С высокой точностью рассчитаны критические волновые числа и плоскостные структуры электромагнитных полей квази Н- и квази Е-волн в одно и двухжелобковых волноводах со слоистым диэлектрическим заполнением. Представлены результаты проверки “сшиваемости” г-ой компоненты магнитного поля на границе разных диэлектрических слоев. Подробно исследован модовый состав ЖВ и рассмотрено влияние на него размеров и диэлектрического заполнения. Полученные данные могут быть использованы в качестве справочных материалов. Проведено моделирование и визуализация плоскостных картин электрических полей для квази Н-волн и магнитных полей для квази Е-волн в одно- и двухжелобковых волноводах в критическом режиме. Рассчитаны параметры О-образного волновода и различных его модификаций с однородным и слоистым диэлектрическим заполнением. Решение внутренней краевой задачи проведено в приближении Т-волны, в результате МЧО с учетом особенности поля на ребре применен к решению уравнения Лапласа для скалярного потенциала электрического поля. Значения потенциалов с особенностями вблизи острых ребер на границах разных диэлектрических слоев аппроксимировались полными системами взвешенных полиномов Гегенбауэра. Проведен анализ внутренней сходимости метода на примере расчета симметричной прямоугольной экранированной и квадратной коаксиальной линий. Определены критерии использования приближений метода для численных расчетов различных типов линий. Представлены результаты расчетов харакгеристического сопротивления для симметричной экранированной прямоугольной линии с диэлектрической подложкой, квадратной коаксиальной, трехплоскостной симметричной, желобковой линии. Проведено сравнение результатов расчетов с результатами работ других авторов. Представлены результаты расчетов критических волновых чисел высших типов Н- и Е-волн для Сообразного волновода с воздушным заполнением.
В четвертой главе на основе применения МЧО с учетом особенности электромагнитного поля на ребре разработаны методика и алгоритм расчета постоянных распространения и электромагнитных полей гибридных типов НЕ- и ЕН-волн в сложных волноводных структурах со слоистым диэлектрическим заполнением. Метод обобщен на сложную область поперечного сечения волновода, состоящую из 5 прямоугольных частичных областей с кусочно-однородным диэлектри-
14
ческим заполнением. Проведена классификация гибридных типов волн в ВСС с учетом разных типов граничных условий на контуре поперечного сечения. Использование суперпозиции ЬЕ- и ЬМ-волн позволило без значительных трудностей рассчитать компоненты полей гибридных НЕ- и ЕН-волн в ВСС на рабочей частоте. При учете особенности на ребре на границе разных диэлектрических слоев нормальная к ребру компонента электрического поля аппроксимировалась полной системой функций как в случае квази Н-волн, а тангенциальная - как в случае Е-волн. Разработана методика и представлены результаты моделирования и визуализации пространственных структур электромагнитных полей гибридных НЕ- и ЕН-волн в одно- и двухжелобковых волноводах со слоистым диэлектрическим заполнением. Построены аксонометрические картины полей и их ортогональные проекции (вид спереди, сверху, сбоку) большого числа гибридных волн вблизи критического волнового числа и вдали от него. Исследованы процессы распространения, преобразования гибридных волн и влияния на них размеров, частоты и диэлектрического заполнения. Представлены результаты расчета постоянных распространения гибридных НЕ- и ЕН-волн в одно- и двухжелобковых волноводах при различных размерах и расположении диэлектрических слоев и разной величине диэлектрической проницаемости.
В пятой гпаве в результате решения векторной дифракционной задачи разработана методика расчета параметров одиночных плоскопоперечных неоднородностей в сложных волноводных структурах в одномодовом режиме. На основании метода интегрального уравнения и вариационного метода для комплексной шунтирующей проводимости, характеризующей плоско поперечную неоднородность в месте ее расположения, построен функционал, стационарный относительно малых вариаций вектора поперечного электрического поля на апертуре неоднородности. Использование метода Галеркина позволило получить неоднородную СЛАУ для нахождения неизвестных коэффициентов разложения векторного поля на апертуре неоднородности, а также рассчитать комплексную проводимость в любом приближении вариационного метода. Для анализа физических свойств плоско-поперечной неоднородности были определены элементы нормированной матрицы рассеяния в случае падения с двух сторон на неоднородность основной распространяющейся волны. Для повышения точности расчетов на ЭВМ при неточном определении поля на апертуре неоднородности для коэффициентов прохождения волны построены стационарные функцио-
15
налы относительно малых вариаций векторного поперечного электрического поля на апертуре неоднородности. Даны рекомендации по использованию приближений метода в случае точных и инженерных расчетов. Показана достоверность разработанной методики на примерах внутренней сходимости метода и сопоставлении с известными результатами расчетов. В качестве собственных функций ВСС и апертуры неоднородности использовались электромагнитные поля и критические волновые числа Н- и Е-волн ВСС, определенные МЧО с учетом особенности поля на ребре во второй главе. Представлены результаты расчетов параметров большого количества различных тонких диафрагм, торцевых стыков и сдвигов гребневых и желобковых волноводов в одномодовом режиме работы в зависимости от размеров ВСС и размеров неоднородностей. Сделан вывод об использовании определенных видов неоднородностей в качестве элементной базы при конструировании фильтров на плоско-поперечных неоднородностях в ВСС.
В шестой главе разработана методика расчета параметров плоско-поперечных неоднородностей типа тонких диафрагм, стыков и сдвигов ВСС в случае падения на неоднородность одновременно нескольких волн ( многомодовый режим работы). С помощью вариационного метода для комплексной проводимости в месте неоднородности получен функционал, стационарный относительно малых вариаций поперечного векторного электрического поля на апертуре неоднородности для любой падающей на неоднородность, распространяющейся или нераспространяющейся, волны и учитывающий все возбуждаемые по обе стороны от неоднородности распространяющиеся и нераспространяющиеся типы волн. Расчеты комплексной проводимости можно проводить в любом приближении вариационного метода. Рассмотрено описание плоско-поперечной неоднородности с помощью обобщенной нормированной многоволновой матрицы рассеяния, элементы которой являются коэффициентами отражения и прохождения всех типов волн, распространяющихся и нераспространяющихся, падающих с двух сторон на неоднородность. Для коэффициентов отражения и прохождения всех типов волн получены выражения в виде функционалов, стационарных относительно малых вариаций векторного электрического поля на апертуре неоднородности. Представлены результаты исследований емкостных, индуктивных и резонансных свойств различных тонких диафрагм, плоско-поперечных стыков и сдвигов ВСС при падении на них нескольких волн в режиме распространения и в режиме
16
отсечки. ) [оказано, на каких видах плоско-поперечных неоднородностей в ВСС эффективнее реализовывать селективные СВЧ устройства.
В седьмой главе на основании каскадного соединения многополюсников и метода расчета многоволновой матрицы рассеяния разработан алгоритм расчета и проведено исследование селективных свойств устройств на последовательно расположенных плоско-поперечных неоднородностях в ВСС. Использование обобщенных многоволновых матриц рассеяния для анализа селективных устройств позволяет учесть взаимодействие между неоднородностями как по распространяющимся, так и по высшим нераспространяющимся волнам. Представлены результаты расчетов характеристик различных каскадных соединений нескольких неоднородностей типа гонких диафрагм, стыков и сдвигов П-волноводов в одномодовом режиме, представляющих интерес для использования в качестве проходных резонаторов в СВЧ фильтрах. Разработана методика синтеза СВЧ фильтров на проходных резонаторах, образованных двумя последовательно расположенными плоскопоперечными неоднородностями в гребневых и желобковых волноводах, с четвертьволновыми связями. В качестве неоднородностей использовались плоско-поперечные сдвиги П-волноводов б горизонтальной плоскости и тонкие диафрагмы в одножелобкоьом волноводе. В про-Пэамме анализа при расчете многоволновых матриц рассеивания учитывалось взаимодействие между неоднородностями ПО высшим типам волн. В алгоритме синтеза на последнем этапе была реализована последовательная коррекция исходного задания данных прототипа. Разработанный алгоритм синтеза реализован при проектировании нескольких полосно-пропускающих фильтров (ППФ) на семи проходных резонаторах. Разработанный программный комплекс анализа и синтеза фильтров на ЭВМ может реализовывать различные СВЧ фильтры с четвертьволновыми и непосредственными связями, а также рассчитывать параметры сложных ступенчатых волноводных переходов.
В заключении представлены основные результаты и выводы, полученные в работе, указаны перспективы их практического использования и пути дальнейших исследований для развития сформулированного в работе соответствующего научного направления в области радиофизики СВЧ.
Таким образом, на основании выполненных в диссертационной работе научных и прикладных исследований сложных волноводных структур с диэлектрическим заполнением и плоско-поперечны ми неодио-
17
родностями, додомиых м развитых эффективных методов и алгоритмов решения двух и трехмерных краевых и дифракционных задан электродинамики разработаны теоретические положения, которые в своей совокупности можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии научного направления радиофизики СВЧ, связанного с созданием систем компьютерного проектирования нового поколения сложных волноводных устройств СВЧ и КВЧ диапазонов.
Научная новизна диссертации определяется целью работы, кругом поставленных задач, методами их решения и результатами, полученными впервые:
1. На основе обобщения и развития МЧО с учетом особенности на ребре разработана единая методика и составлены алгоритмы решения скалярных и векторных электродинамических краевых задач для сложных волноводных структур с разными фаничными условиями и слоистым диэлектрическим заполнением, допускающих разбиение на прямоугольные области с кусочно-однородной диэлектрической средой. Разработанный алгоритм позволил впервые строго исследовать Н-, Е-, квази Н-, квази Е-, гибридные НЕ- и ЕН-волны в широком спектре сложных волноводных структур. Предложена единая методика классификации типов волн в ВСС с однородным и слоистым диэлектрическим заполнением, учитывающая симметрию электромагнитного поля волн.
2. С помощью разработанной универсальной методики моделирования и визуализации впервые фафически отображены на ЭВМ структуры электромагнитных полей: плоскостные картины в критическом режиме Н-, Е-, квази Н-, квази Е-волн, пространственные (аксонометрические и ортогональные проекции) на рабочей частоте Н-, Е-, гибридных НЕ- и ЕН-волн в различных ВСС с однородным и слоистым диэлектрическим заполнением, что позволило исследовать процессы возникновения и распространения волн.
3. Впервые в строгой постановке исследован модовый состав, структуры и постоянные распространения различных Н-, Е-, квази Н-, квази Е-волн, гибридных НЕ- и ЕН-волн в симметричных одно- и двухжелобковых волноводах с однородным и слоистым диэлектрическим заполнением, с бесконечно протяженными боковыми областями, несимметричных, с тонкими ребрами. Определены полоса пропускания одномодового режима, первая высшая распространяющаяся волна, типы волн в открытых ЖВ, выявлено влияния диэлектрического запол-
18
нения, размеров и расположения диэлектрика на структуру поля и волновые числа, установлено, что введение диэлектрика приводит к значительной нелинейности дисперсионных характеристик, изменению дисперсии и спектра волн желобковых структур.
4. На основании решения векторной дифракционной задачи разработан метод и алгоритмы расчета параметров широкого класса плоско-поперечных неоднородностей в ВСС в многомодовом режиме работы, позволяющий проводить исследования в любом приближении вариационного метода и определять с заданной точностью обобщенные многоволновые матрицы рассеивания различных неоднородностей. В методе отсутствуют ограничения на формы ВСС и апертуры неоднородностей.
5. Впервые произведены численные исследования большого количества различных видов одиночных тонких диафрагм, торцевых стыков и сдвигов в различных плоскостях гребневых и желобковых волноводов в одно- и многомодовых режимах работы, сходимости вариационного метода и точности результатов расчетов.
6. Впервые произведено теоретическое исследование селективных свойств СВЧ узлов, созданных на основе ряда плоско-поперечных неоднородностей типа тонких диафрагм, стыков и сдвигов в ВСС, обобщена и развита методика анализа и синтеза таких селективных устройств, с помощью которых созданы ППФ на плоско-поперечных сдвигах П-волноводов и тонких диафрагмах в желобковых волноводах.
Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием строгих, хорошо зарекомендовавших себя, математических методов решения граничных задач электродинамики СВЧ, выбором математических моделей, адекватно отражающих реальные физические объекты. Основные результаты работы подтверждены анализом внутренней сходимости используемых методов решения, контролем точности вычислений на ЭМВ, сравнением с экспериментальными результатами и результатами других авторов. Достоверность полученных результатов подтверждается также успешным внедрением и использованием.
В рамках сформулированной в работе проблемы на защиту выносятся следующие результаты и положения:
1. Развитие МЧО с учетом особенности электромагнитного поля на ребре применительно к решению скалярных и векторных внутрен-
19
них краевых задач электродинамики для сложных волноводных структур, с разными 1раничными условиями и слоистым диэлектрическим заполнением, допускающих разбиение на прямоугольные области с кусочно-однородной диэлектрической средой.
2. Разработанная универсальная методика и алгоритмы моделирования и визуализации на ЭВМ пространственных (аксонометрические и ортогональные проекции на рабочей частоте) и плоскостных (в критическом режиме) структур электромагнитных полей различных типов Н-, Е-, квази Н-, квази Е-, гибридных НЕ- и ЕН-волн в сложных волноводных структурах, позволяющие наглядно исследовать процессы распространения, трансформации и излучения волн в любой точке частотного диапазона.
3. Электродинамический метод и алгоритм решения векторной дифракционной задачи для определения характеристик одиночных плоско-поперечных неоднородностей типа тонких диафрагм, стыков и сдвигов ВСС в одно- и многомодовом режимах работы. Методика определения элементов обобщенной многоволновой матрицы рассеивания при падении как распространяющихся, гак и нераспространяющих-ся типов волн на плоско-поперечную неоднородность в ВСС, повышающая точность расчетов на ЭВМ.
4. Обобщение и развитие методов и алгоритмов для решения задач анализа и синтеза селективных СВЧ уаройств на последовательности плоско-поперечных неоднородностей в ВСС.
5. Новые теоретические, физические и численные результаты и закономерности, установленные при электродинамическом исследовании электромагнитных полей, критических волновых чисел и постоянных распространения различных типов волн и одиночных плоскопоперечных неоднородностей в сложных волноводных структурах, полученные на основе развитых, разработанных или используемых в работе методов и алгоритмов.
6. Результаты моделирования и графического отображения структур электромагнитных полей широкого спектра волн в различных ВСС, анализа и синтеза селективных устройств на плоско-поперечных неоднородностях в гребневых и желобковых волноводах.
Научная и практическая значимость диссертационной работы вытекает' из актуальности темы и полученных результатов.
Диссертационная работа охватывает более чем двадцатилетний период деятельности автора в области вычислительной элсктродина-
20
МИКИ сложных волноводных структур и отражает современное состояние применения строгих и приближенных электродинамических методов для решения скалярных и векторных внутренних краевых и дифракционных задач, анализа и синтеза структур сложных сечений и неоднородной средой.
Все изложенные в диссертации результаты исследований получены автором в процессе выполнения госбюджетных и договорных НИР, проводимых в РГУ по программам АН, министерств и ведомств СССР и РФ.
В работе наибольшую научную значимость имеет обобщение и развитие МЧО с учетом особенности на ребре к решению широкого круга векторных краевых задач для сложных волноводных структур со слоистым диэлектрическим заполнением, математический аппарат исследования и моделирование гибридных типов волн, метод электродинамического анализа различного вида плоско-поперечных неоднородностей в сложных волноводных структурах в многомодовом режиме, объединяющий метод интегрального уравнения, метод Галеркина, вариационный метод и метод многоволновой матрицы рассеяния и являющийся результатом решения трехмерной задачи дифракции. Все предложенные и используемые вычислительные методы пригодны для решения широкого круга внутренних и внешних краевых задач, имеющих граничные поверхности с острыми ребрами разного вида, моделирования различных волновых процессов, решения векторных дифракционных задач в струкгурах сложных конфигураций с некоординатными границами.
Разработанные, развитые и используемые автором в работе методы и алгоритмы реализованы в виде большого количества программ, из которых практически важными являются следующие:
- прщраммный комплекс для расчета критических волновых чисел и моделирования электромагнитных полей Н-, Е-, квази Н-, ква-зи Е-волн в критическом режиме в ВСС с однородным и слоистым диэлектрическим заполнением;
- программный комплекс для расчета постоянных распространения и моделирования электромагнитных полей гибридных типов НЕ-и ЕН-волн на любой рабочей частоте в ВСС со слоистым диэлектрическим заполнением;
21
- программный комплекс для расчета параметров одиночных плоско-поперечных неоднородностей, типа тонких диафрагм, стыков и сдвигов ВСС в одномодовом и многомодовом режимах работы;
- программный комплекс для расчета параметров селективных устройств, фильтров, волноводных переходов на ряде плоско-поперечных неоднородностей в ВСС;
- программный комплекс для синтеза фильтров на плоско-поперечных неоднородностях в ВСС.
Разработанные программные комплексы предназначены для использования в системах автоматизированного проектирования элементов, узлов и устройств радиоаппаратуры специального назначения СВЧ и КВЧ диапазонов волн, совместно с ИРЭ НАН Украины (г.Харь-ков) и Таганрогским НИИ Связи. Результаты электродинамического анализа ВСС и моделирования на ЭВМ нашли применение в НИР различного назначения, выполняемых на предприятиях министерства радиотехнической промышленности, часть результатов исследований была передана для использования в НИИ “Исток” и Ростовский НИИ радиосвязи. Ряд результатов включен в обзор по электронной технике [3]. Внедрение программ и результатов исследований подтверждено соответствующими документами.
Результаты работы включены в программы ряда лекционных курсов и специальных практикумов, читаемых и проводимых на физическом факультете РГУ и филиале кафедры прикладной электродинамики и компьютерного моделирования в Ростовском НИИ Радиосвязи.
Кроме того, теоретические и численные результаты, полученные в диссертации и программы, вошедшие в данные пакеты, могут применяться самостоятельно для разработки самых различных СВЧ элементов и устройств на базе сложных волноводных структур и совершенствования этих разработок с целью их практического применения в радиотехнических, радиолокационных, радионавигационных комплексах и системах радиосвязи.
По теме диссертации опубликована 61 печатная работа, в том числе 3 монографии (в соавторстве), 32 статьи, 26 текстов и тезисов докладов. Кроме того, ряд материалов диссертации представлен в научно-технических отчетах по НИР РГУ, а также отражен в учебно-методических работах автора.
22
Личный вклад автора. В работах, выполненных в соавторстве автору принадлежит выбор и постановка задач исследования; выбор, математическое обоснование и вывод основных аналитических выражений; основные идеи алгоритмов расчета; участие в составлении программ, обсуждении и интерпретации полученных результатов; формулировка основных выводов и положений работ.
Материалы диссертации докладывались и обсуждались на VII и X Всесоюзных симпозиумах по дифракции и распространению волн. (Ростов-на-Дону, 1976г.; Винница, 1990г.), на VIII, IX и X Всесоюзных научно-технических семинарах по методам решения внутренних краевых задач электродинамики (Новороссийск, 1984г., 1986г.; Вильнюс, 1988г.), на Всесоюзной научной конференции “Машинное проектирование устройств и систем сверхвысоких частот” (Тбилиси, 1979г.), на Всесоюзной научно-технической конференции “Перспективы развития техники СВЧ” (Киев, 1981г.), на Всесоюзном научно-техническом семинаре “Эффективность машинного решения краевых задач” (Куйбышев, 1982 г.), на Всесоюзной научно-технической конфеденции “Элементы и устройства СВЧ волноводных трактов” (Киев, 1982г.), на Всесоюзном научно-техническом семинаре “Развитие машинных методов и средств решения краевых задач” (Донецк, 1983г.), на Всесоюзном научно-техническом семинаре “Машинные методы решения краевых задач” (Рига, 1985г.), на Всесоюзном научно-техническом семинаре “Объемные интегральные схемы СВЧ” (Запорожье, 1985г.), на межвузовской научно-практической конференции “Интегральные волноводные и полосковые СВЧ элементы систем связи” (Куйбышев, 1987г.)( на I Всесоюзной научно-практической конференции “Устройства и методы прикладной электродинамики” (Одесса, 1988г.), на Всесоюзном научно-техническом семинаре “Математическое моделирование физических процессов в антенно-фидерных трактах” (Саратов, 1990г.), на Всесоюзном научном семинаре “Математическое моделирование и применение явлений дифракции” (Москва, 1990г.), на Республиканской научно-технической конференции “Теория и практика измерений параметров электромагнитных колебаний и линий передачи” (Харьков, 1991г.), на Всесоюзной научно-технической конференции “Автоматизация инженерного труда разработчиков СВЧ-аппаратуры” (Таганрог, 1991г.), на I Всеукраинском симпозиуме “Физика и техника мм и субмм радиоволн” (Харьков, 1991г.), на Международной научно-технической конференции “Современные проблемы применения СВЧ энергии” (Саратов, 1993г.), на Международных научно-технических конференциях “Актуальные проблемы электронного приборостроения” (Саратов, 1996г., 1998 г.), на III Международной научно-технической конференции “Антенно-фидерные устройства, системы и средства радиосвязи” (Воронеж 1997г.), оп the International Simposium on Electromagnetic Thtoiy (URSI, Greece, Thessaloniki, 1998), а также на областных научно-технических конференциях НТО РЭС им. А.С.Попова (Ростов-на-Дону, 1980-19-93 г.), на объединенных семинарах кафедр прикладной электродинамики, радиофизики физического факультета и лаборатории электродинамики СВЧ НИИ Физики Ростовского госуниверситега.
23
Глава 1. Электродинамический расчет электромагнитных полей в волноводах сложных сечений с однородным диэлектрическим заполнением.
К настоящему времени в нашей печати и за рубежом опубликовано значительное количество работ, посвященных различным исследованиям сложных волноводных структур, составляющих элементную базу устройств СВЧ и КВЧ диапазонов волн. С учетом большого разнообразия конфигураций поперечных сечений волноводов, используемых видов их заполнений и неоднородностей, в этих работах представлено большое число методов расчетов и результатов их теоретического анализа.
Многообразие методов и результатов исследований регулярных ВСС, различающихся подходом, точностью, эффективностью, возможностями реализации, границами применимости обобщены и систематизированы в работах [1-4, 19, 37, 46-49]. Учитывая, что в этих публикациях сделан достаточно подробный обзор основных методов решения двух и трехмерных граничных задач электродинамики СВЧ с учетом их развития, особенностей, достоинств и недостатков, ограничимся перечислением и кратким анализом основополагающих работ, непосредственно связанных с тематикой проводимых исследований.
В развитие различных методов расчета ВСС большой научный вклад внесли работы ученых отечественной школы Дерюгина Л.Н. [50], Малова H.H. [51], Патрушева B.JI. [52, 53], Яшкина АЛ. [54], Маш-ковцева Б.М. [55, 56), Ильинского A.C., Свешникова А.Г. [57 - 59], Белуги И.Ш. [60], Седых В.М. [1], Веселова Г.И. [61], Шестопалова В.П. [32, 62], Вольмана В.И. [63, 68, 69], Никольского В.В. [20, 29], Синявского Г.П. [2, 48, 64, 65], Jlepepa А.М. [49, 66, 67] и многих других.
Чаще всего для расчета регулярных ВСС, поперечное сечение которых можно представить в виде суперпозиции простых частичных областей, для которых известно решение волнового уравнения, использовались методы, в основе которых лежит декомпозиционный подход: альтернирующий метод Шварца [2, 48, 64, 65, 70 - 78]; метод Шварца для областей, сопряженных без налегания [65, 79 - 81]; близкий им метод частичных пересекающихся областей [82, 83] и метод частичных областей (МЧО) [1,2,19, 20, 48-51,84 - 90].
Декомпозиционный подход, используемый в современных методах автоматизированного проектирования сложных объектов техники
24
СВЧ, начинается с выделения пространственных подобластей (объемов или площадей), поэтому он восходит в этом смысле к МЧО [30], появившемуся в прикладной электродинамике свыше пятидесяти лет назад [91]. Фактически перечисленные в предыдущем абзаце методы расчета электромагнитных полей в ВСС представляют собой различные модификации МЧО. Этот метод, удобно использовать при теоретическом анализе сложных волноводных структур, представимых в виде простых смежных или перекрывающихся частичных областей, для каждой из которых решение может быть получено методом разделения переменных. В работе [48] показано, что если известны функции Грина в, и 02 первой или второй краевой задачи для двух простых областей и 02, образующих своим частичным перекрытием сложную область О и возможно однозначное определение полей в этих областях на всех частотах, кроме собственных, с помощью функций на границах простых областей Ь, и Ь2, то задавая координаты точки наблюдения (х,у) в одном уравнения на контуре другого, получаем систему интегральных уравнений (ИУ) относительно неизвестных функций Ф,(х,у) и Ф2(х,у) на границах областей. Решение полученной системы ИУ методом последовательных приближений [70] есть применение альтернирующего метода Шварца к решению краевой задачи для сложной области Э [70 -78].
Можно аналитически исключить из системы ИУ одну из неизвестных функций и решать получившееся интегро-дифференциальное уравнение (ИДУ) методом последовательных приближений или сводить его к системе линейных однородных алгебраических уравнений (СЛАУ). В этом случае мы имеем, так называемый, метод частичных пересекающихся областей [82, 83].
Если области и Э2 сопряжены без налегания, то осуществляя одновременное “сшивание” различными способами (по точкам, непрерывное) на общей границе частичных областей тангенциальных компонент электрического и магнитного полей, получим ИУ с ядром (в,-02) относительно неизвестной функции на линии сшивания, в которое переходит основная система ИУ, при условии совпадения границ Ь, и Ь2 [48, 79 - 81]. Возможны и другие модификации МЧО.
Однако, во всех случаях применения МЧО, решение внутри подобластей ищется в виде наложения решений дифференциальных уравнений исходной задачи, образующих полные системы только на границах “сшивания”, на которых задаются граничные условия [30]. “Сши-
25
вание” решения на общих границах частичных областей, приводит в общем случае к некоторому операторному уравнению (ОУ) (49). ОУ может быть получено в виде СЛАУ 1-го или 2-го рода, парных сумматор ных (ПСУ) или парных ИУ (ПИУ), ИУ Фредгольма 1-го рода или ИДУ. Неизвестными в уравнениях являются тангенциальное электрическое поле или ток на границе сшивания частичных областей в ИУ и ИДУ, их преобразования Фурье в ПИУ и ПСУ. На этапах численного решения ИУ, ИДУ, ПИУ, ПСУ чаще всего используется метод Галерки-на [92] с базисными функциями в виде собственных функций одной из частичных областей (метод Трефтца [20], тригонометрических функций [1, 20, 30], кусочно-определенных функций (сплайнов) [93]). На конечном этапе МЧО решается однородная или неоднородная СЛАУ.
Если говорить о характеристике методов, то альтернирующий метод Шварца [2, 70] дает возможность получать достаточно простые аналитические выражения для электромагнитных полей в ВСС, которые можно использовать при расчете некоторого типа неоднородностей. Уже первый шаг итерационного процесса дает неплохую точность для его практического применения (не хуже 5% для Н-волн и не хуже 7% для Е-волн) [64, 73]. Однако в тех случаях, когда требуется большая точность при расчете полей, его применение становится неэффективным. Использование высших приближений метода сопровождается усложнением аналитических выражений для численного расчета полей и критических волновых чисел, а также ведет к существенному возрастанию времени их счета на ЭВМ.
Метод Шварца для областей, сопряженных без налегания [79-81] удобно использовать, когда невозможно разбиение сложной волноводной области на простые пересекающиеся частичные области, например, при неоднородном заполнении диэлектриком ВСС. В отличие от альтернирующего метода Шварца, в этом случае, переход к высшим приближениям не сопровождается значительным усложнением вычислений. Однако, конечным итогом решения задачи является итерационный процесс, на каждой итерации которого необходимо решать систему трех уравнений, два из которых линейны. При этом присутствует необходимость в двухсторонних оценках полученного результата с использованием стационарных функционалов [94, 95]. Метод менее точен, чем альтернирующий метод Шварца, недостаточно хорошо отработан и не нашел широкого применения при решении внутренних краевых задач электродинамики.
26
Как альтернирующий метод Шварца, так и метод Шварца для областей, сопряженных без налегания, может быть применен для решения различных дифракционных задач в ВСС [76, 96].
Остановимся подробнее на реализации МЧО, когда области D, и D2 сопряжены без налегания. В этом случае обычный МЧО (метод Тре-фтца) является эффективным методом и применяется при решении широкого класса электродинамических краевых и дифракционных задач [1,84,85. 97-100]. Однако, он не всегда обеспечивает требуемую точность результатов. Например, при определении критического волнового числа основной Н-волны в ВСС он дает хорошее совпадение с экспериментом. При определении же критических волновых чисел высших типов волн в ВСС, в первом приближении, точность резко ухудшается, в частности для Е-волн ошибка достигает 25-30% [48, 64]. При расчете компонент электромагнитных полей МЧО в первом приближении [97] дает 60-процентную ошибку сшивания полей на границах раздела частичных областей. Увеличение точности расчетов может быть достигнуто при использовании высших приближений метода [101, 102], то есть с увеличением порядка определителя N системы (N=25-40) при соблюдении необходимых расчетных соотношений [18, 84|. Однако, использование высших приближений метода сопровождается возрастанием затрат при расчетах на ЭВМ (требуется больший объем оперативной памяти при большем времени счета) и не всегда улучшением результата. Как было показано в работе [100], при увеличении только порядка определителя системы наблюдается значительное увеличение расхождения теоретических и экспериментальных результатов.
С одной стороны, это связано с точностью производимых вычислений на ЭВМ, когда вследствие накопления ошибок вычисления и плохой сходимости рядов в матричных элементах, мы можем получить значение определителя, как угодно отличающееся от истинного [103].
С другой стороны, плохую сходимость МЧО применительно к скалярным и векторным краевым и дифракционным задачам электродинамики можно связать с вырожденностыо и неограниченностью операторов преобразования электромагнитных полей в сложных волноводных структурах. От этого эффекта можно избавиться, если ввести в постановку задач дополнительную информацию о поле на острых кромках частичных областей [84].
Таким образом, для задач о собственных волнах в ВСС, для которых характерно наличие острых ребер, плохую сходимость можно
27
физически объяснить тем, что компоненты электромагнитного ПОЛЯ, имеющие для рассматриваемых задач определенную особенность поведения вблизи острых ребер, аппроксимируются функциями, не учитывающими этой особенности [104-107]. А, как известно из теории рядов Фурье, это приводит к их медленной сходимости. Можно значительно улучшить сходимость метода, аппроксимируя поле на границе “сшивания” функциями, учитывающими имеющуюся особенность [66, 108]. Такой подход дает тот же эффект, что и метод сингулярного ИУ [84].
Установлено, что при численной реализации обычного МЧО на современных ЭВМ присутствует такое явление, как эффект относительной сходимости [18, 109]. Для уменьшения влияния этого эффекта и получения верного решения необходимо при увеличении порядка решаемых СЛАУ соблюдать определенные соотношения между порядком редуцированной системы N и числом членов М. учитываемых в рядах, входящих в матричные элементы системы. В простейших случаях такие соотношения известны, в более сложных случаях их получение затруднительно, а в некоторых случаях невозможно вообще [18, 48].
Физической причиной явления относительной сходимости является неучтенная особенность поведения электромагнитного поля на концах линии “сшивания”, то есть на ребрах граничной поверхности [17, 104, 110]. В работах [48, 49] и автора показано, что учет особенности электромагнитного ноля на острых металлических ребрах поверхности путем соответствующего выбора функций, аппроксимирующих распределение поля на линии “сшивания”, позволяет строить высокоэффективные алгоритмы решения двух и трехмерных краевых и дифракционных задач электродинамики.
Так, если на концах интервала Ь(1е[-1, 1]) поле имеет особенность вида
&р/&1=0(1-1)°\ I —> 1; бф/бД = О(1 + 0р, 1->-1, (1.0.1)
то решение задачи необходимо искать в виде разложения в ряд по полной системе ортогональных полиномов
а<р/ ап = (1 -1)“(1+о>2и„р„аЧ1), (1.0.2)
п
где р* 40- полиномы Якоби [114]; ии - неизвестные коэффициенты; I -обобщенная координата.
В частном случае, когда поле на концах линейного интервала “сшивания” имеет особенности одного вида а=Р=у-1/2, полиномы Якоби переходят в ортогональные полиномы Гегенбауэра С*(0; при особенности сх=р=-1/2 - в полиномы Чебышева 1-го рода Тп(0; при осо-
28
бенности а=р=1/2 - в полиномы Чебышева 2-го рода Un(t). Таким образом, поле на границе “сшивания” представляется в виде разложения по ортогональным полиномам с весом, отвечающим характеру особенности на ребре.
Решения ИУ с учетом особенности на ребре, достаточно широко используются в теории упругости [112, 113]. В одном из способов решения РІУ Фредгольма 1 -го рода с логарифмическим ядром сводится к ИУ Фредгольма 2-го рода в результате обращения интегрального оператора с логарифмическим ядром. Решение ИУ Фредгольма 2-го рода ищется в виде разложения в ряд по взвешенным полиномам Чебышева. При решении электродинамических задач аналогичный метод был применен в [114]. Одними из первых работ, в которых учитывалась особенность на ребре, являются [115, 116], в которых использовался метод Галеркина с базисными функциями в виде полиномов Чебышева. МЧО с учетом особенности на ребре при расчете регулярных ВСС впервые был применен в работах [66] (прямоугольный волновод с тонким Т-выступом), [67, 348, 350] (ВСС с прямоугольным металлическим ребром).
В [197] при решении ИУ используется метод Галеркина в спектральной области. Разложение проводится по базису преобразования Фурье неизвестной функции, определяемого условием на ребре. Полученная СЛАУ полностью тождественна СЛАУ при обычном методе Галеркина с базисом в виде взвешенных полиномов Чебышева или Гегенбауэра. Метод имеет преимущество, когда неизвестно аналитическое представление базиса в координатном пространстве.
В ряде случаев И У с логарифмической особенностью может быть сведено к сингулярному ИУ с ядром типа Коши, теория которого хорошо разработана. Метод сингулярных ИУ, в которых решение удовлетворяет условию на ребре часто применяется в электродинамике СВЧ [198, 199].
Известны различные подходы к выбору аппроксимирующих функций |66, 107, 108, 117-129]. Так, для бесконечно тонкого ребра использовались функции Бесселя полу цел ого индекса [108,118] или cos(njtx) / Jl— х2 . В работе [117] для прямоугольного металлического ребра использовались для Н-волн функции вида (l-x2)’1/3cos (плх) и для Е-волн - (1-х2)1 7sin (плх). Сравнение способов аппроксимации, проведен-
29
ное в работе [124], показало, что для бесконечно тонких металлических ребер оптимальной является аппроксимация поля полиномами Чебышева. При расчете критических волновых чисел Е-волн П-волновода с воздушным заполнением в работе [117] использование функций (1-х2)’1/3яп(плх) приводит к значительной погрешности в результатах,
тогда как разложение по взвешенным полиномам Гегенбауэра в работах автора [348, 350] дает в этом случае высокую точность. В теоретическом плане это объяснимо, поскольку только полиномы Якоби, Гегенбауэра, Чебышева дают возможностью полностью учитывать физическую особенность электромагнитного поля, проводить разложение по полной и ортогональной с нужным весом системе функций, что ликвидирует явление относительной сходимости и приводит к хорошо обусловленным СЛАУ с быстрой сходимостью.
В работе [107] при решения задачи на собственные значения для секторного волновода методом нулевого поля (МНП) было показано, что и в этом методе, который был рекомендован для расчета волноводов с произвольной формой поперечного сечения, точность вычисления волновых чисел заметно увеличивается, если поверхностная плотность тока учитывает сингулярность на остром угле поперечного сечения. Проведено сравнение с методом точечного сшивания (МТС) и МНП с представлением поверхностной плотности тока вдоль контура в виде тригонометрического ряда. Погрешность расчета критического волнового числа Е-волны в МТС - 2% (осциллирующая), МНП без учета особенности - 1,5% (зависимость погрешности М'2, М-порядок определителя), МНП с учетом особенности - 0.08% (М"14). Видно, что результат такой же как и в МЧО с учетом особенности поля на ребре.
Сингулярность поля на металлодиэлектрическом ребре показана в работе [110]. Рассмотрены острые ребра вида: диэлектрический клин, прямой металлический угол на диэлектрической плоскости, смежные прямоугольные диэлектрические и металлические углы, смежные прямоугольные металлические и из магнетика углы и др. Рассмотрены картины перпендикулярных к ребру компонент поля, их поведение вблизи ребер, приведены формулы для определения существующих особенностей при произвольном угле. Результаты могут быть полезны при решении многих электродинамических задач.
В работе [49] ИУ и ИДУ решены методом Галеркина с базисными функциями в виде собственных функций, соответственно, интегрального и интегро-дифференциального операторов, ядра которых имеют
30
логарифмическую особенность и являются главной частью ядqэ исходных уравнений. Учитывается особенность поля вблизи металлических и диэлектрических ребер с помощью взвешенных полиномов Чебышева и Гегенбауэра Разработаны эффективные быстросходящиеся алгоритмы исследования планарных и диэлектрических структур. Показано, что улучшение сходимости в рядах и интегралах матричных элементов эквивалентно переходу от СЛАУ 1-го рода к СЛАУ 2-го рода.
Ряд работ посвящен использованию краевой особенности в задачах дифракции. Так, учет краевой особенности в методе Галеркина в виде взвешенных полиномов Якоби, удовлетворяющих краевым условиям применен в работе [130] при решении задач рассеивания на диафрагмах в круглом волноводе. Отмечена быстрая сходимость метода и универсальность подхода. Особенность на сингулярном ребре в задачах дифракции на неоднородностях с гиротропной средой использована в работе [131].
МЧО с учетом особенности на ребре также нашел широкое применение при решении ряда дифракционных волноводных задач. Так в работах [86, 126,127] он был применен к расчету параметров различных тонких диафрагм, стыков и сдвигов прямоугольных волноводов в одно- и многомодовых режимах. В работе [126] сделана попытка дать функционально-теоретическое обоснование МЧО с учетом особенности на ребре ддя двумерных скалярных задач дифракции на плоскопоперечных неоднородностях в прямоугольных волноводах. В работе [86] разработаны методики расчета параметров различных резонаторов с поперечным сечением сложной формы, равномерно-изогнутых волноводов. Итоги работы [86] нашли дальнейшее продолжение в интересных работах [128, 129]. В них показано, что использование базисных функций в методе Галеркина, полученных на основе кваз и статического метода Швингера [142] при расчете волноводно-щелевых линий, приводит к отсутствию зависимости сходимости приближений от размера щели, получены квазистатическим методом явные выражения для токов на тонких диафрагмах, отмечено, что при построении эффективных аппроксимирующих базисов следует принимать во внимание не только наличие краевой особенности, но и область в которой она проявляется [129], показано применение для улучшения сходимости МЧО с учетом особенности на ребре дополнительных базисных функций при расчете антиподальной волноводно-щелевой линии с тонким изоляционным слоем [128].
31
МЧО с учетом особенности на ребре получил развитие и применение в работах [143-146]. Разработаны алгоритмы расчета, с помощью которых исследованы с заданной точностью сложные трехмерные структуры, содержащие металлодиэлектрические, резистивные и полупроводниковые элементы [143], диплексер на запредельном прямоугольном волноводе с канавочными фильтрами [146], фильтры на запредельных волноводах и Е-плоскостных системах планарных металлических диафрагм в прямоугольном волноводе [144, 145]. Используемый учет физических особенностей электромагнитного поля обеспечил высокую точность и хорошее совпадение с экспериментальными результатами.
В составе алгоритмов решения двух- и трехмерных краевых и дифракционных электродинамических задач различного уровня сложности часто используется метод моментов, как уже отмечалось, его частный случай метод Г'алеркина, другие проекционные методы. Обзор развития метода моментов, впервые опубликованного в [147], метода Галеркина, а также их связь с методом Рэлея-Ритца и методом возмущения представлен в работе [148]. Рассмотрены вопросы особенности перечисленных методов, использования систем пробных функций, весовых коэффициентов, способы построения вычислительных алгоритмов.
Развитию эффективного математического аппарата для решения широкого класса краевых и дифракционных задач с потерями в частично заполненных, гофрированных и оптических волноведущих системах посвящены работы [149-152]. В них для несамосопряженных краевых задач детально разработано применение неполного метода Галеркина и ортогонального метода Г'алеркина. Предложенная в работах [34, 37] схема неполного метода Галеркина при решении краевой задачи, описываемой дифференциальными уравнениями, обладает тем преимуществом, что конечные уравнения разрешены относительно производных и приводят к разреженным системам. В работе [141] создана схема неполного метода Галеркина, предназначенная для решения внутренних электродинамических краевых задач. В частности, можно попытаться использовать ее для анализа нерегулярных сложных волноводных структур. Эффективность разработанных математических методов показана на примерах решения самых разнообразных волноводных задач с диэлектрическим, ферритовым и полупроводниково-диэлектрическим заполнением с учетом влияния потерь в веществе и конечной проводимости стенок.
32
Для получения быстро сходящихся СЛАУ, при решении дифракционных задач МЧО с учетом особенности на ребре, можно осуществлять выделение в ядре ИУ существующую в неявном виде логарифмическую особенность, что фактически является применением метода регуляризации к ИУ Фредгольма 1-го рода. В результате, получаем ИУ Фредгольма 2-го рода и, как следствие, хорошо сходящуюся СЛАУ с малой размерностью результирующих матриц. Такая регуляризация для трехмерных электродинамических задач успешно проведена в работах [153, 154] при анализе сложных микрополосковых структур с использованием метода Галеркина и учете особенности на ребре.
Однако, учет собенности поля на ребре в решении ИУ Фредгольма 1-го рода с ядром, имеющим интегрируемую логарифмическую особенность при совпадении аргументов, является саморегуляризацией алгоритма [200]. Устойчивость и сходимость метода сформулированы и доказаны в [201] для замкнутых контуров и логарифмической особенности ядра.
В работах [155-158] авторами предложено в задачах дифракции на неоднородных диэлектрических телах [155], волноводных неоднородностях [156-158] использовать метод полу обращения, названный гак по аналогии с широко применяемым методом в задачах дифракции волн на различных решетках [159]. Это - численно-аналитический метод расчета трехмерных дифракционных задач. Он основан на обращении главной сингулярной части ОУ и реализован методом Галеркина с использованием собственных функций граничных задач. Метод обладает быстрой внутренней сходимостью, высокой точностью, универсальностью и может быть применен к расчету сложных волноводных структур. Результаты, полученные методом полуобращения находятся в полном соответствии с известными точными результатами.
Эффективный декомпозиционный подход для моделирования СВЧ процессов в конфигурационно сложных и протяженных структурах предложен в [20, 30, 160, 161]. Он был детально развит и нашел отражение в разработанных методе автономных многомодовых блоков (АМБ) и методе минимальных автономных блоков (МАБ) и применен к различным задачам электродинамики, в том числе к задачам о собственных волнах в продольно-регулярных линиях [161] и нерегулярностях в них [162]. Применение АМБ при алгоритмизации электродинамических задач возможно только в классе конфигураций, совпадающих с однородными подобластями моделируемой области. В частности.
33
методом АМБ были рассчитаны собственные волны регулярного 11-волновода [30]. Метод МАБ является развитием метода дискретизации на декомпозиционной основе. Для него характерны простота вычислительной схемы, универсальность и возможность расчета устройств значительной сложности, например нерегулярных и с неоднородным заполнением. Дискретизационные методы, построенные на декомпозиционной основе получили дальнейшее развитие и применение в работах многих авторов, в частности в работе [163].
Интересный метод электродинамического анализа сложных антенно-фидерных устройств предложен в работах [164-167]. В методе используется топологический синтез структуры, методики дискретизации и декомпозиции, эвристические процедуры и предпосылки, например, геометрическое смещение концентраторов в пределах выделенного элементарного объема и допущение скорости движения электромагнитной энергии в цепях до двух скоростей света в непрерывном вакууме. Разработанные программы позволяют наблюдать на экране ЭВМ последовательные состояния всех шести координатных компонент электрического и магнитного полей на клеммах пространственной сетки как в переходном, так и в стационарном процессах. Данный метод прошел апробацию при моделировании параметров двухвходовых плоских антенных решеток для систем спутниковой связи, построенных на основе многомодового Т-волновода с излучателями сложных Т-, П-, 7^, кресто-, г антелеобразной и других форм поперечного сечения [167]. Новая технология электродинамического моделирования позволяет при исследовании во временной области не расчленять задачу на внутреннюю и внешнюю, а также переключить внимание исследователя с математических проблем на проблему поиска конструктивных решений. Трехмерная электродинамическая задача для произвольных линий передачи с неоднородностями на основании такого подхода успешно решена в [168]. Однако, применение данного метода анализа требует определенной профессиональной подготовки, пространственного мышления, принятия и понимания эвристических предпосылок и опыта работы с декомпозиционными и сеточными методами.
Кроме выше перечисленных в большом количесве моделей и методов, используемых при определении электромагнитных нолей в ВСС, присутствуют метод основанный на решении ИУ Вольтерра 1-го либо 2-го рода в комплексной плоскости [63], метод конформных отображений [169-173], метода поперечного резонанса [174, 175], метод
54
разложения по малому параметру [62, 176, 177], метод R-функций [178], метод, основанный на теории возмущения [179], вариационный метод [29, 190], метод эквивалентных схем [191], метод коллокации и метод дискретных переизлучагелей [180-182] и др. Каждый из них обладает определенными достоинствами и недостатками по точности, сходимости, устойчивости, широте и возможности использования и сыграл положительную роль в развитии электродинамических методов анализа структур сложных сечений.
При исследовании электромагнитных полей в сложных волноводных структурах также используются сеточные методы, метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ), относящиеся к прямых численным методам [5, 45, 183-189, 192, 193]. Эти методы позволяют с хорошей точностью рассчитывать параметры ВСС, используя только алгебраизацию краевой задачи. При этом необходимо уметь эффективно представлять граничные условия и реберные особенности. Так, в [185] исследуются и сравниваются принципиальные формулировки (МКЭ), применяемые для анализа собственных волн в волноводах. Введены критерии формулировок и по ним оценены различные постановки задачи. Показано использование весовых функций при сведении основных уравнений к матричной форме. Анализируются регулярный волновод с частичным диэлектрическим заполнением, Н-волновод, диэлектрический брусок в волноводе. В работе [184] представлены результаты расчета МКЭ по программе [183] формы поля, критических частот, волновых сопротивлений и затухания желобкового волновода. Расчеты проводились на сетке с числом узлов 64*64. В работе [5] для антенных решеток (АР) МКЭ (сетка « 1000 узлов) успешно расчитаны собственные волны крестообразного, квадратного четырехгребневого, круглого четырехгребневого волноводов. Эффективное использование сеточных методов требует наличия быстродействующих ЭВМ с большим объемом оперативной памяти и математических моделей адекватных реальным физическим объектам. Присутствуют трудности при расчете открытых граничных задач и их практически невозможно использовать при решении трехмерных задач.
В современном представлении все электродинамические методы расчет ВСС можно разбить на три большие группы, так называемые численные, аналитические и численно-аналитические методы [49]. К численным методам относятся прямые численные методы МКР и МКЭ [192. 193], метод линий [194], методы АМБ и МАБ [30, 160 ], методы,
35
основанные на решении интегральных уравнений, например, с помощью метода моментов или метода Галеркина [18, 20, 36, 195), или на вариационной формулировке [29,142, 196] и др. Более эффективны аналитические методы, однако областью их применения являются или простейшие структуры, в которых возможно решение методом разделения переменных, либо структуры, в которых возможно замкнутое решение методом факторизации [17, 25]. Численно-аналитические методы занимают промежуточное положение между прямыми численными и аналитическими методами. В них на промежуточном этапе проводится ряд аналитических преобразований и полученные в конечном итоге матричные уравнения имеют лучшую внутреннюю сходимость и физическую наглядность. К ним относятся модификации метода факторизации [17, 18, 25, 36], варианты метода полуобращения, в основе которых лежит обращение главной сингулярной части ОУ [32, 33, 155-159], МЧО с выделением лшарифмической особенности в ядре ИУ [40, 153, 154]. В этих методах возможно проведение оценки погрешности результата.
Учитывая рассмотренные методы решения, можно сделать вывод, что использование МЧО со строгим учетом особенностей электромагнитного поля на всех острых ребрах граничных поверхностей приводит к устойчшзым быстросходящимся алгоритмам при решении двух- и трехмерных краевых и дифракционных задач для сложных волноводных структур, позволяющих разбиение на простые частичные области, в которых решение может быть найдено методом разделения переменных. Кроме того, аналитические выражения для электромагнитных полей, получаемые в этом случае, эффективны и удобны для дальнейшего их использования в методах расчета плоскостных и пространственных неоднородностей в ВСС. Метод не требует наличия мощных ЭВМ и специального программного обеспечения.
В данной главе рассматривается решение МЧО с учетом особенности поля на ребре внутренней электродинамической краевой задачи дня сложной области поперечного сечения, состоящей из большого числа смежных прямоугольных областей с однородным диэлектрическим заполнением и изменяющимися граничными условиями на контуре сложной области. Проведена классификация типов волн в ВСС. Изложен алгоритм расчета Н- и Е-волн в ВСС. Рассмотрен вопрос о сведение И У к конечной СЛАУ, ее квазирегулярности и сходимости приближенного решения. Изложена методика плоскостного и пространственного моделирования электромагнитных полей Н- и Е-волн в ВСС в
36
критическом режиме и на рабочей частоте. Проведено исследование электромагнитных полей и критических волновых чисел различных типов волн в ВСС. Рассчитаны электрические параметры некоторых ВСС.
1.1. Постановка краевой задачи.
Постановка краевой задачи о собственных волнах регулярных ВСС с однородным диэлектрическим заполнением, поперечное сечение которых изображено на рис. 1.1.1, наиболее часто применяемых в современной технике СВЧ и КВЧ диапазонов волн связана, в первую очередь, со сложной формой поперечного сечения волноводов, наличием острых ребер на граничной поверхности, отсутствием точных решений краевых задач и удобной классификации типов волн.
Учитывая сложности структуры в поперечном сечении рассматриваемых волноводов, наличие плоскостей симметрии, возможности представления сложных областей в виде простых прямоугольных частичных областей, сопряженных без налегания, ограничимся анализом области Е), изображенной на рис. 1.1.2. Считаем, что потери в металле и в однородном изотропном диэлектрике отсутствуют. Задавая определенные граничные условия типа электрической или магнитной стенки на контуре области Т) можно смоделировать любой конкретный волновод из представленных на рис. 1.1.1.
В качестве метода анализа электромагнитных полей в ВСС, граничные поверхности которых имеют острые ребра, используем МЧО с учетом особенности поля на ребре [66, 67].
МЧО легко реализуется в краевых и дифракционных задачах в случае возможности представления сложной области с координатными граничными поверхностями, в которой ищется решение поставленной задачи, суперпозицией простых частичных областей, в каждой из которых решение волнового уравнения может быть записано в известных функциях. Однако при численной реализации на ЭВМ большинство алгоритмов, основанных на МЧО. сопровождаются эффектом относительной сходимости. Такое название получил факт зависимости сходимости решения от относительного числа функций, используемых при приближенных вычислениях [18, 84, 109]. Оказывается при решении конечной СЛАУ для получения наилучшего приближения к точному решению необходимо соблюдать определенное соотношение между по-
37
Поперечные сечения симметричных волноводов сложных сечений с однородным диэлектрическим заполнением
а. П-волновод
г. Г -волновод
б. Н-волновод в. Крестообразный
/У 77- -
77 77
д. О-волновод (прямоугольный коаксиал)
е. Квадратный коаксиальный
ж. Ш-волновод з. Т-волновод
и. Одножелобковый экранированный к. Двухжелобковый экранированный
и-п
л. Одножелобковый открытый м. Двухжелобковый открытый
Рис. 1.1.1
38
рядком редуцированной системы (N) и числом членов в рядах матричных элементов (М), что не всегда можно сделать.
Как было отмечено, физической причиной явления относительной сходимости является особенность поведения электромагнитного поля на острых ребрах граничной поверхности. Б работах [202, 203] аналитически показано, что численное решение сходится к точному результат только в случае выполнения требуемого соотношения (N/М), и что лишь при таком выборе полученное решение будет удовлетворять условию на ребре. Так как острые ребра граничной поверхности находятся на концах интервала сшивания, то учет особенности электромагнитного поля в этих точках путем соответствующего выбора функций, аппроксимирующих распределение поля на линии сшивания, позволяет строить эффективные алгоритмы решения на ЭВМ различных краевых задач прикладной электродинамики [17, 104].
Теоретически показано [17, 104], что наличие острых ребер на граничных поверхностях приводит к неоднозначному решению уравнений Максвелла (не удовлетворяются все граничные условия), из которых только одно решение наиболее адекватно описывает исследуемое физическое явление. Для обеспечения единственности решения необходимо ввести дополнительное физическое ограничение на поле, известное как условие на ребре [104]. В широком смысле - это требование
J (е|Ё|2+ц|Й j2) dv=0( (1.1.1)
У-»0
Оно заключается в требовании конечности энергии электромагнитного поля, запасенной в конечном объеме пространства V в ближайшей окрестности ребра.
Из этого условия следует, что в окрестности ребра (р- расстояние до ребра) ни одна составляющая электромагнитного поля (Ё,Н) не может возрастать быстрее, чем
р~т при р -> 0, 0<т>1. (1.1.2)
Для обеспечения единственности решения достаточно выполнения условия на ребре в широком смысле (1.1.1). Однако, для создания эффективных численных алгоритмов необходимо использование априорной информации об условии на ребре в узком смысле, например, полученной из решения электростатической задачи о поведении электромагнитного поля на остром проводящем клине. То есть, необходимо точное знание величины х. Априорную особенность мы и будем в дальнейшем использовать.
39
В частности, для идеально проводящего острого ребра (полуплоскости) имеем
х = 1/2; Е2, Н2 ~р2; ЕР,НР~р2 ; (1.1.3)
Для идеально проводящего прямого угла
х = 2/3; Е2,Н2~р*; ЕР,НР ~р^ ; (1.1.4)
Рассматриваемая краевая задача - расчет критических волновых чисел и электромагнитных полей в ВСС с однородным диэлектрическим заполнением, заключается в определении решения двумерного волнового уравнения Гельмгольца в И области (рис.1.1.2, = е2 =...= сг) для ъ-
ой составляющей электрического Пе=(0,0,Пе) или магнитного Пш=(0,0, Пш ) векторов Герца:
ох су
где кс = ~- собственные числа волнового уравнения; А,с- критическая
длина волны в волноводе; у = ш для Н-волн и у = едля Е-волн.
Электрическое и магнитное поля определяются при этом следующими формулами:
Ё = -^0.гсЙ*,
Н = к2еПш+§гааЛуПт, У )
Е = к2еПе + §гаё сЬуП*,
Н^—гс*П\ (|ЛЛ)
для Н - волн
для Е - волн
где к = — - волновое число свободного пространства; 20 = у1^0/£0 -X
376,71 Ом; е0, ц0 - электрическая и магнитная постоянные; с -относительная диэлектрическая проницаемость среды.
Зависимость от времени принята в виде ехр^аД).
Граничные условия на контуре области О имеют следующий вид: дТГ
ГГ = 0, —— = 0, если стенка электрическая; ш
дП'
Пш = 0, —- = 0, если стенка магнитная.
да
Для исследования конкретных типов Н- и Е-волн в симметричных Ш-образном, двухжелобковом волноводах и волноводно-щелевых линиях необходимо, воспользовавшись соображениями симметрии, пе-