Струна КХД и конституэнтные степени свободы в адронах

Содержание
1 Введение
2 КХД в двух измерениях. Некоторые точные результаты
2.1 Введение...........................................................
2.2 Двумерная КХ Д в модифицированной калибровке Фока-Швингера . .
2.3 Гамильтонов подход к КХД в1+1......................................
2.3.1 Диагонализацня в одночастичном секторе......................
2.3.2 Диагонализацня в мезонном секторе...........................
2.4 Киральные свойства, модели т: Хоофта...............................
2.4.1 Киральный конденсат.........................................
2.4.2 Киральный пион..............................................
2.4.3 Пионная константа распада ..................................
2.4.4 Соотношение Гелл-Манна-Оакса-Реннера и масса, пиона.........
3 Потенциальная и непотенциальная динамика кварков в 3+1. Лорен-цева структура конфайнмента
3.1 Петля Вильсона и закон площади. Метод вакуумных корреляторов . .
3.2 Лоренцева структура конфайнмента. Потенциальная и иеиотенциальная динамика тяжелых кварков ..............................................
4 Метод релятивистских гамильтонианов и кварковые модели в двух-и четырех мерной КХД
4.1 Адронные функции Грина.............................................
4.2 Релятивистская квантовая механика в формализме вспомогательных полей ...................................................................
4.2.1 Отделение движения центра инерции в системе двух свободных релятивистких частиц. Координата Ньютона-Вигнера...................
4.2.2 Каноническое квантование четырехмерной прямолинейной струны
4.3 Струна с кварками на концах в 1+1..................................
4.3.1 Калибровка собственного времени.............................
4.3.2 Калибровка светового фронта.................................
4.3.3 Классическая и квантовая эквивалентность калибровки собственного времени и калибровки светового фронта. Обсуждение результатов .........................................................
3
5
5
7
14
15
17
22
22
24
25
25
27
27
29
38
38
40
40
50
55
56
59
60
1
4.4 Вращающаяся струна КХД и мезонные траектории Редже............... 63
4.4.1 Гамильтониан кварк-антикварковой системы .................. 63
4.4.2 Квазиклассический мезонный спектр.......................... 68
5 Заключение 75
6 Приложения 82
2
1 Введение
В настоящее время нет никаких сомнений в том, что КХД является "правильной" теорией сильных взаимодействий, причем, одним из ее наиболее красивых свойств является формирование глюонным полем цветовой трубки с постоянным натяжением между цветными зарядами, что подтверждается решеточными расчетами, основанными непосредственно на фундаментальном лагранжиане квантовой хромодинамики. Необходимость учета непертурбативных эффектов, а также неабелев характер взаимодействия заметно осложняют теоретико-полевые аналитические расчеты в КХД, приводя к необходимости построения достаточно простых но, вместе с тем, достаточно реалистичных моделей адронов.
Среди моделей, мотивированных КХД, кварковые конституэнтные модели занимают особое место благодаря своей наглядности и ясной физической интерпретации. Еще предстоит осознать глубокую причину, по которой эти механистические модели адронов прекрасно описывают многие экспериментальные факты. Однако ясно, что потенциальный подход неприменим для описания легких адронов, и, следовательно, необходимо обобщение нерелятивистских результатов, что может потребовать введения дополнительных эффективных степеней свободы, описывающих динамику глюонов. Одним из способов введения таких степеней свободы является струнная модель, согласно которой кварки внутри адрона, связаны релятивистской струной, обеспечивающей невылетание.
Простейшим примером релятивистской струны является струна Намбу-Гото. Несмотря на то, что данный объект не может быть непротиворечиво ироквантоваи в четырех измерениях из-за иезамкиутости операторной алгебры и присутствия в спектре тахионной моды, он все же остается достаточно привлекательным для применения в феноменологии адронов ввиду своей относительной простоты и возможности квантования эффективной теории в усеченном пространстве, исключающем нежелательные моды.
Интерпретация адрона как струны с кварками на концах приводит к ряду примечательных следствий. Во-первых, помимо чисто кварковой динамики вклад в свойства адрона вносят также струнные, т.е. глюонные, моды. Во-вторых, нерелятивистский предел струны Намбу-Гото дает линейно растущий с расстоянием потенциал, то есть воспроизводит нерелятивистскую кварковую модель. Наконец, гибридные адронные состояния могут быть интерпретированы как определенного рода возбуждения стру-
3
бы, доступные для аналитического или численного изучения.
Ввиду выше сказанного представляется особенно интересной возможность переформулирования струнных степеней свободы в виде дополнительных адронных конституэнтов или через модификацию межкваркового взаимодействия. Чрезвычайно полезным в этой связи оказывается опыт, накопленный при рассмотрении точно решаемых моделей, таких как модель ’т Хоофта для двумерной КХД в пределе бесконечного числа цветов. Помимо явления конфайпмента цветных объектов в данной модели присутствует и другое важное свойство, присущее четырехмерной КХД, спонтанное нарушение киралыюй симетрии. Примечателен тот факт, что уравнение ’т Хоофта для мезонного спектра, выведенное из теории поля суммированием диаграмм, совпадает с уравнением, вытекающим из модели струны с кварками на концах после канонического квантования. Кроме того, модель ’т Хоофта может быть явно переформулирована в терминах эффективных мезонных степеней свободы, причем, в лидирующем по числу цветов порядке теория описывает свободные мезоны, тогда как взаимодействие между ними содержится в следующих порядках по Ne-
Таким образом, изучение вопросов связанных со струнными возбуждениями в двух И четырехмерных теориях сильных взаимодействий, а также их учет в кварковых конституэптных моделях представляются крайне интересными и важными для феноменологии адронов.
В качестве основных проблем, решаемых в данной диссертации следует упомянуть:
1. Построение гамильтонова подхода к КХД в двух измерениях и изучение ее хиральных свойств.
2. Изучение лоренцевой структуры конфайпмента КХД в 3+1, а также вопроса о потенциальности кварковой динамики на примере тяжело-легкой системы.
3. Каноническое квантование некоторых релятивистских систем со связями, представляющих физический интерес, таких как открытая струна или струна с кварками на концах, а также изучение вопроса об эквивалентности классических и квантовых теорий, отвечающих различным способам фиксации инвариантностей по репараметризационной группе исходной теории.
4. Изучение спектра легких мезонов, в -том числе роли собственной динамики струны в формировании реджевских траекторий с наклоном, совпадающим с экспериментальным значением.
4
2 КХД в двух измерениях. Некоторые точные результаты
2.1 Введение
В данной главе мы обращаемся к случаю точно решаемой модели двумерной КХД
в пределе бесконечного числа цветов N с, предложенной 'т Хоофтом в 1974 году [1].
Данная модель описывается лагранжианом, полностью аналогичным лагранжиану
КХД.,1
*(*) = —аПЛ*)ПА*) + Я(*)(<£ - тШ (2.1.1)
& = № - гдА1*а)Ъу
но обладает рядом существенных упрощений по сравнению с четырехмерной КХД:
• глюон в двух измерениях не является динамическим, и переносимое им взаимодействие мгновенно;
• в любой аксиальной калибровке остается лишь одна из двух компонент глюона, что приводит к отсутствию трех- и четырех-глюонных вершин, т.е. теория становится эффективно абелевой;
• предел бесконечного числа цветов выделяет лишь планарные (без самопересечений глюонных линий) диаграммы, тогда как непланарные диаграммы подавлены степенями Ус-
Несмотря на вышеперечисленные упрощения теория не является тривиальной и
обладает рядом свойств, присущих КХД в 3+1:
• кулоновское взаимодействие р в 1+1 приводит к линейно растущему с рассто-яним потенциалу, обеспечивая невылетание;
• мезонный спектр теории нетривиален, причем, при больших числах возбуждений он воспроизводит линейное реджевское поведение;
• теория обладает свойством спонтанного нарушения киральной инвариантности, давая ненулевое значение кирального конденсата. Кроме того, в киральном пределе в спектре теории содержится безмассовый мезон — киральный пион.
1 Следуя [2] мы выбираем -/-матрицы в виде: 70 = <г3, 71 = г<т2, 75 = (?\-
5