Многомерный аналитический сигнал и исследование фазы световой волны

Введение
ВВЕДЕНИЕ
Для исследования окружающей среды оптическими методами необходимы высокоточные элементы и системы. Значение качества оптики возрастает при работе аппаратуры в космосе, где ограничивающим разрешение фактором может быть только дифракционный предел. Среднеквадратичное отклонение поверхности традиционных оптических элементов от номинальной должно быть меньше чем Л/50 для обеспечения углового разрешения астрономического телескопа 0,1”. Резонаторы, интерферометры, спектрометры требуют еще более высокой точности изготовления оптических поверхностей, выше сотой доли длины волны света.
Наиболее точным методом измерения формы поверхностей является интерферометрия. Классика оптического интерференционного контроля отражена в работах Э.Л. Витричеико, М.А. Гана, М.И. Гришина, Г.В. Креопаловой и Д.Т. Пуряева, Ю.И. Островского,
О. Ма1асага и их соавторов [35,36,41,42,45,62,80,213].
Важным этапом процесса контроля, от которого существенно зависит точность восстановления формы поверхности, является демодуляция интерферограмм. Но при традиционной демодуляции, когда измеряют координаты экстремальных линий, теряется информация, заключенная в изменениях интенсивности интерференционной картины, что снижает точность контроля. Недостаточное математическое описание интерферограммы как двумерного модулированного колебания не позволяет отчетливо представить требуемые алгоритмы анализа и область их применимости.
В связи с этим, необходимо эффективное метрологическое обеспечение автоматизированных технологий, содержащее предпосылки для увеличения точности демодуляции. Его возможно создать,
2
Введение
изучая свойства фазы световой волны и развивая необходимый математический аппарат.
Физическая задача состоит в измерении фазы световой волны, отраженной объектом и прошедшей неоднородную среду. История этого вопроса возможно началась в коллективе ИОА СО РАИ, где с участием С.С. Хмелевцова, В.В. Покасова, О.Н. Емалеева, В.П. Лукина был разработан фазометр и проведены первые натурные измерения флуктуаций фазы лазерного излучения, распространяющегося в атмосфере [46,68,90].
С развитием адаптивной оптики впервые была поставлена задача измерения многомерной фазы и фазовой модуляции световой волны при изменении в пространстве и во времени формы оптической поверхности. В определенпной мере эту проблему изучали М.А. Воронцов, D.L. Fried, J. Hardy, В.И. Шмальгаузен [4,40,163].
Но этот совершенно новый для оптики процесс требует формального определения многомерной фазы и его исследования в различных ситуациях. Уравнения электромагнитного поля такого определения не содержат. Оно должно быть конструктивным, непротиворечивым и требует дополнительных предположений о свойствах функций, моделирующих волновой процесс.
Теория аналитического сигнала (АС) и дисперсионных соотношений (ДС), которая дает возможность ввести амплитуду и фазу для колебательного процесса, идейно восходит к девятнадцатой проблеме Д. Гильберта [89], в формулировке которой предполагается аналитичность решений уравнений математической физики. Эта проблема, является ли аналитичность априорным свойством природы, остается открытой до сих пор. Тема аналитического сигнала и дисперсионнных соотношенний в настоящей диссертации связана с работами Д. Габора,
С.Н. Бернштейна, М.В. Келдыша, Л.И. Мандельштама, С.М. Рытова,
3
Введение
Б.Я. Левина, Л.М. Сороко, П. А. Баку та, Г.Б. Велкера, М.А. Fiddy, Д.Е. Вакмана, В.К. Аблекова, Я.И.Хургина, В.II. Яковлева, [1,14,29,52, 67,72,95,100, 161,190].
Теория АС и ДС развивалась в одномерном варианте. В физической оптике - интерферометрии, теории дифракции и распространения волн, адаптивном формировании изображений - эти методы используется недостаточно, хотя и существует постоянный интерес к фазовым проблемам. Пространственные координаты и пространственные частоты не являются аргументами операторов, входящих в АС и ДС.
Кроме того, возникают значительные трудности при практическом применении АС и ДС для обеспечения экспериментов по исследованию фазы, в оптической метрологии из-за недостаточного развития численной реализации необходимых операторов и специфических оптимальных алгоритмов анализа сигналов в присутствии шума. С другой стороны, новые эффективные алгоритмы не являются общедоступными.
Существуют также проблемы описания волновых полей в терминах амплитуды и фазы в условиях сильных флуктуаций, когда появляются действительные нули, фазовые вихри и волна переходит в новое качественное состояние. Фаза при этом уже не может быть непрерывной функцией. При исследовании в этой области приняты во внимание работы, которые опубликовали Т.И. Арсеньян,
Е.Г. Абрамочкин, Н.Б. Баранова, Б.Я. Зельдович, Ю.А. Кравцов,
D.L. Fried, М.А. Fiddy, I. Freund и их соавторы [8,17,60,169,190,195,198].
Таким образом, математическая теория, физическая задача и требования технологии являются источниками новых интересных проблем и обуславливают актуальность данной диссертационной работы.
4
Введение
Цель работы
Цель состоит в том, чтобы дать и исследовать конструктивное определение фазы световой волны в многомерном случае, которое обеспечивало бы совпадение фазы, измеренной в отдельных пространственно-временных сечениях, с единственной четырехмерной функцией фазы. Цель имеет нижеследующую структуру.
Обобщение теории аналитического сигнала и дисперсионных соотношений на многомерный случай.
❖ Аналитическое, численное и экспериментальное исследование действительных нулей световой волны и интерференционной картины в качестве объектов, перспективных для применения АС и ДС.
❖ Разработка оптимальных алгоритмов для численной реализации операторов АС и ДС.
❖ Разработка методов, алгоритмов, программ и аппаратуры для интерферометрии и фазометрии на основе установленных закономерностей.
Вклад автора
Диссертационная работа и все результаты, лежащие в ее основе, выполнена и получены при непосредственном участии автора на всех этапах. Ему принадлежат: постановка задачи исследования, теоретическое описание и анализ численных экспериментов.
Работа выполнялась в Институте оптики атмосферы СО РАН в период с 1974 по 1998 год. В процессе исследований и реализации технических решений автор сотрудничал с учеными и специалистами из Института космических исследований РАН, Специального конструкторского бюро НП “Оптика” СО АН СССР, Томского политехнического института, Государственного оптического института, Ленинградского огггико-механического объединения.
5
Введенис
Автор являлся одним из руководителей НИР 12-84-36 “Интеркон” и ответственным исполнителем по ее разделу “Разработка методов интерференционного контроля оптики, алгоритмов и программ анализа интерферограмм”. В рамках этой НИР в Объединенном институте оптики атмосферы СО АН СССР было разработано программное обеспечение для предприятия Л ОМ О и изготовлена установка для автоматизированного измерения интерференционных картин.
Научная ценность и новизна результатов
Новизна результатов обоснована приоритетом публикаций автора. Научная ценность состоит в том, что в диссертации развита теория многомерного аналитического сигнала и дисперсионных соотношений для описания пространственно-временных оптических полей в терминах амплитуды и фазы. Работа включает нижеследующие новые результаты.
1) Дано определение фазы многомерной световой волны, основанное на инвариантном относительно выбора пространственных координат и времени аналитическом сигнале.
2) Получены дисперсионные соотношения, которые устойчиво и конструктивно связывают в плоскости регистрации фазу и логарифм амплитуды комплексной волны.
3) Установлено соответствие между причинностью спектра Фурье комплексной волны и монотонностью её фазы.
4) Найдена функциональная связь между фазой и амплитудой в окрестности действительного нуля, в области, занимаемой фазовым вихрем.
5) Выяснено, что чем выше порядок азимутальной несущей частоты, тем на трассе большей длины она сохраняется при распространении светового пучка в неоднородной среде.
6
Введение
6) Показано, что среднеквадратичная и максимальная разность двумерных фаз, восстановленных из взаимно ортогональных сечений интерферограммы, линейно связаны с одноименными действительными ошибками оценки фазы.
7) Разработан оптимальный алгоритм вычисления преобразования Гильберта, но которому преобразуемую функцию продолжают, сдвигая её фрагменты за пределы области определения.
Практическая ценность
Часть результатов автора была опубликована ранее или независимо от работ зарубежных авторов, получивших в настоящее время практическое применение в оптическом контроле. Это касается метода Фурье для демодуляции интерферограмм, сканирующего датчика Гартмана и вращательной симметризации шума.
Программное обеспечение автоматизированной системы обработки данных интерференционного контроля было передано для использования в Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова и в Специальное конструкторское бюро научного приборостроения “Оптика” СО АН СССР.
Технические предложения по построению интерференционного датчика волнового фронта были внедрены на предприятии п/я Р-6324 для создания образцов новой техники.
По заказу Ленинградского оптико-механического объединения им. В.И. Ленина, в интересах НИР НСУ-461-81, была разработана система математического обеспечения “Интеркон-02-Скан-1984” и изготовлена в Объединенном институте оптики атмосферы СО АЫ СССР установка автоматизированного измерения интерференционных картин, получившая диплом второй степени Президиума СО АН СССР на выставке “Сибирский прибор — 87”.
7
Введение
Достоверность
Полученные результаты подтверждаются серией замкнутых численных экспериментов с необходимым объемом выборки, малой дисперсией при обработке экспериментальных данных, корректностью математических моделей световой волны, совпадением с известными результатами, актом об использовании и дипломом выставки.
Апробация и публикации
Материалы диссертации докладывались и обсуждались на нижеследующих конференциях, симпозиумах, семинарах.
Всесоюзные и Международные симпозиумы но лазерному зондированию атмосферы и но распространению лазерного излучения в атмосфере (ИОАСОРАН, Томск, 1974, 1975, 1977, 1979, 1981, 1983, 1988, 1995, 1996,1998);
❖ IV Всесоюзная конференция по голографии (ВНИИРИ, Ереван, 1982).
❖ Межотраслевой семинар “СО АН-машиностроению” (Красногорск, 1984).
❖ Всесоюзная научно-техническая школа-семинар по лазерному оптическому и спектральному приборостроению (Минск, 1985).
❖ Всесоюзная конференция “Атмосферная нестабильность и адаптивный телескоп (Крымская АО, 1986).
❖ Всесоюзный семинар “Применение лазерных интерферомет-рических систем для прецизионных измерений” (п. Эльбрус, 1986).
❖ Международные конференции по Адаптивной оптике (ESO, Garching, 1995. OSA, Maui, 1996).
<■ Международный семинар “Адаптивная оптика для индустрии и медицины” (НИТЦЛАН, Шатура, 1997);
По теме диссертации опубликована одна книга, четырнадцать статей, шестнадцать кратких тезисов докладов, получено семь
8
Введение
авторских свидетельств и принята программа в Государственный фонд алгоритмов и программ.
Защищаемые положения
1) Математическая модель световой волны в форме многомерного аналитического сигнала, инвариантная относительно выбора аргумента преобразования Гильберта, при узкополосности временного и пространственного спектров волны и в отсутствии действительных нулей, определяет единственную многомерную фазу. Модель позволяет конструировать алгоритмы измерения фазы в отдельных пространственно-временных сечениях и обеспечивает совпадение фазы в этих сечениях с единственной многомерной фазой.
2) Существует соответствие между причинностью спектра Фурье комплексной волны и монотонностью её фазы. Одномерная комплексная волна с постоянной амплитудой имеет монотонную фазу, если у неё причинный финитный спектр Фурье, а из монотонности фазы следует дисперсионная причинность спектра. Преобразование “растяжение-сжатие” повышает степень причинности спектра и уменьшает среднеквадратичную ошибку оценки фазы в несколько раз.
3) Существуют дисперсионные соотношения, которые устанавливают в плоскости регистрации устойчивую и конструктивную взаимосвязь между фазой и логарифмом амплитуды комплексной волны. Спектр Фурье этой волны расположен в одном замкнутом частотном квадранте. В численных и натурных экспериментах показано, что дисперсионные соотношения в виде гомоморфного фильтра правильно описывают явление интерференции.
9
Введение
4) Алгоритм вычисления преобразования Гильберта, основанный на оптимальном периодическом продолжении преобразуемой функции по критерию минимума ширины ее спектра Фурье путем сдвига фрагментов функции за пределы её носителя, на порядок уменьшает краевые выбросы фазы. Рекурсия продолжения повышает степень причинности и уменьшает среднеквадратичную ошибку оценки фазы более чем в четыре раза.
5) В области, занимаемой вихрем, скалярная волна имеет минимальную фазу на окружности, которая охватывает точку действительного нуля и может иметь сколь угодно малый радиус.
6) Среднеквадратичная и максимальная разность двумерных фаз, восстановленных из взаимно ортогональных сечений интерферо-граммы, линейно связаны с одноимёнными действительными ошибками оценки фазы.
7) Методы интерферометрии высокоточных оптических элементов и алгоритмы демодуляции интерферограмм, которые включают вращательную симметризацию шумов источника, генерацию выборок с различным числом и ориентацией интерференционных полос, локализацию спектра пространственных частот объектного ноля и гомоморфную фильтрацию, уменьшают среднеквадратичную ошибку оценки фазы более чем на порядок по сравнению с традиционной методикой. Время стабильности оптической системы может быть снижено до величины, равной периоду строчной развертки детектора, которым сканируют интерференционную картину.
10
Глава 1
АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФАЗЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ
Представление колебательного или волнового процесса в виде двух величин, амплитуды и фазы, требует непротиворечивого определения этих понятий. Волновое уравнение или уравнение, описывающее колебательный процесс, такого определения не содержат, поэтому необходимы некоторые дополнительные соображения. Имеется значительное количество работ [19,27-31,33,50,57,58,72,75, 78,98-100,146,148,150,153,154,158,159,161,200,214,222,242], в которых рассматриваются проблемы определения амплитуды и фазы применительно к одномерному колебательному процессу.
Существуют различные способы введения амплитуды и фазы, полезные в рамках решаемых задач и используемых математических моделей. Анализ этих способов был проведен в [27-31.33,57]. Выводы можно сформулировать следующим образом.
Для гармонических функций, синуса и косинуса, все определения дают одинаковый результат; это есть необходимое условие правильности определения.
❖ Для узкополосных сигналов результаты различных способов не совпадают, при уменьшении относительной ширимы спектральной полосы сигнала это несовпадение также уменьшается.
❖ Наиболее общее определение амплитуды и фазы можно дать с помощью так называемого аналитического сигнала (АС), который ввел Д. Габор [200].
Для данной действительной функции 17(х) аналитический сигнал \\/(х) строится как комплексная функция
11
Г л а о а 1
ос
W(x) = </(*) + iv(x), FW = lv,p.f^c(s = H(/W. (1.1)
Ж J X - S X
-oo
Здесь несобственный интеграл определен в смысле главного значения по Коши (v.p.) в тех случаях, когда s->±co и при х = s. Мнимая составляющая аналитического сигнала - V(x), она является Гильберт-трансформантой [146] его действительной части U(x), а оператор преобразования Гильберта по аргументу л: обозначен как Н.
X
Затем амплитуда и фаза вычисляются обычным способом:
а(х) = у] U2(x) + V2(x) , (р (х) = arctg 777^.
U(x)
В работе [30] показано, что оператор Н является единственным линейным оператором, для которого справедливо равенство
Hcos (асх + <р0) = sin (асх + <р0),
X
где ас > 0, <р0 — неизвестные константы, имеющие смысл несущей частоты и начальной фазы. Поэтому определение амплитуды и фазы осуществляется одинаково для сигналов с различными спектрами частот. Интересный результат получен в [214], где установлено, что аналитический сигнал следует из предположения о минимальности в среднеквадратичном смысле скорости изменения амплитуды и фазы стационарного случайного процесса. Другие многочисленные свойства преобразования Гильберта обсуждаются в [29,33,37,67,161], приведем некоторые из них, они будут в дальнейшем применяться.
Преобразование Гильберта эквивалентно умножению в частотной области на функцию -isgna, поэтому аналитический сигнал, соответствующий данной действительной функции U(х), получается путем обнуления одной половины, в данном случае левой, частотного спектра этой функции (1.2). Этот односторонний спектр называют еще причинным или каузальным.
12
Глава 1
со
ОС
оо
со
Определяющим свойством для применения АС в теории модуляции [222] является возможность отделить в амплитудно-модулирован-ном сигнале низкочастотное модулирующее колебание по формуле
Здесь Г2(х) и и(х)— действительные функции, преобразования Фурье которых не пересекаются в частотной области, причем 17(х) более высокочастотна, нежели £}(*).
Световая волна является четырехмерной функцией, и это создает проблему для применения АС [116,129]. Возникают вопросы: по какой из координат следует производить преобразование Гильберта, когда это возможно и как различные аналитические сигналы, возникающие при этом, будут соответствовать друг другу. Сохранение единственности определения фазы вызывает необходимость обобщения понятия аналитический сигнал на многомерный случай [140].
В численном эксперименте сравним амплитуду и фазу одномерного нормального случайного процесса, определяемые аналитическим сигналом, когда несущая ас больше полуширины спектральной полосы да, с амплитудой и фазой этого же процесса при перемещении его спектральных полос к нулевой частоте и последующем обмене.
Спектральные полосы занимали в области частот по 20 отсчетов, общее число отсчетов процесса - Аг = 256. Несущая частота асе[-14, +14], а частота Найквиста равнялась 128. Объем выборки был был равен 30. Оценки несовпадения вычислялись как среднее отношение норм в пространстве Л2№) но формулам
(1.3)
х
X
(1.4)
13
Глава 1
где а{ у <р{ - отсчеты амплитуды и фазы исходного процесса, а а<р^ -соответствующие отсчеты для процесса с изменяющимся положением спектральных полос.
Результаты эксперимента приведены на рисунке 1.1. Видно, что в тех случаях, когда спектральные полосы не охватывают точку а- О, оценка га равна нулю. Следовательно, амплитуда одномерного процесса инвариантна относительно смены знака несущей частоты, тогда как фаза изменяет свой знак, при этом значение оценки е^ от нуля переходит к двум. Если точка а=0 попадает внутрь спектральной полосы, то оценка га становится отличной от нуля, а значение е^ от нуля и от двух.
Таким образом, когда ас~ ла возможность применения аналитического сигнала для определения амплитуды и фазы становится проблематичной. Такая ситуация часто встречается в интерферометрии, когда интерференционные полосы существенно изменяют свою ширину и кривизну, когда они имеют вид колец.
1.1. Класс функций для представления модели волны
Основное качество математической модели, ее пригодность для исследования, во многом определяется свойствами тех функций, из которых она составлена. При выборе класса функций для представления физической величины примем во внимание два обстоятельства. Первое, это однозначное описание волны и интерферограммы дискретным рядом отсчетов, необходимых для проведения численного анализа. Второе, — существование преобразования Гильберта, которым вводится аналитический сигнал.
Представление функций в виде дискретного ряда отсчетов осуществляется на основе теоремы Котельникова, при этом дискретизируемая функция должна иметь финитное преобразование Фурье.
14
Г л а в а 1
Несущая частота
Рис. 1.1. Оценки несовпадения фазы и амплитуды комплексной функции, Ер (1) и еа (2), с амплитудой и фазой, которые определены аналитическим сигналом, при изменении несущей частоты. В качестве доверительных интервалов указаны среднеквадратичные отклонения соответствующих величин.
15
Глава 1
По теореме Винера-Пэли для квадратично интегрируемых функций или Винера-Пзли-Шварца [161], если спектр имеет особенности в виде д - функций и их производных, функции, имеющие финитный спектр, являются целыми аналитическими функциями экспоненциального типа (ЦФЭТ). Более того, если рассматривать только ограниченные на действительной оси функции, то такая ЦФЭТ будет еще и функцией класса А по Левину [67] или класса В [221].
Из ограниченности ЦФЭТ следует абсолютная интегрируемость ее преобразования Фурье или спектра, включая случай, когда она сама не является квадратично интегрируемой. Справедливо и обратное утверждение, а так как преобразование Гильберта от ЦФЭТ не нарушает абсолютной интегрируемости ее спектра, то Гильберт-трансформанта также будет ограниченной функцией. Преобразование Гильберта существует и для функций с непрерывной производной и для еще более широкого класса функций, которые удовлетворяют условию Гёльдера [93], но из-за необходимости дискретного представления эти классы функций применяться не будут.
Выясним, что влечет за собой применение ЦФЭТ класса А для представления, например, интерференционной картины. Теорема в [52] позволяет, чтобы модуль разности между действительной непрерывной функцией U(x) и, аппроксимирующей ее ЦФЭТ класса Л, был как угодно мал для всех х, если
lim sup-—€(-1,0), где М(р) =max U'(x)\ при Ы <р. (1.5) ос log/?
Из этого выражения следует ограничение на рост частоты интерференционных полос, который должен быть меньше чем х при X -» со.
Анализ световой волны после ее взаимодействия с неоднородной средой происходит на выходе из среды, в плоскости регистрации оптической системы. Будем считать, что в этой области среда непрово-
16
Глава 1
дящая, однородная и изотропная, что существует линейная и локальная связь между индукциями и напряженностями электрического и магнитного полей в материальных уравнениях. Пусть также в
оптической системе не изменяется поляризация света. При таких
ограничениях уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению с постоянным абсолютным показателем преломления п для квази-моиохроматической скалярной и действительной волны и(х,у,г,£)
д2и . д2и д2и п2 д2и ,Л
дх ду д2 С дг
где с есть скорость света в вакууме.
Для решения волнового уравнения представим функцию
и(х,у,2,0 в виде тройного интеграла Фурье
00 со ос
и(х,у,г,Ь)= J J J5(a,^,a^,г)expi(aз: + (Зу + соО с1ас1р(1а), (1.7)
-со-оо-оо
где а, Д есть пространственные частоты, со - временная частота, 5 -пространственно-временной спектр в плоскости, нормальной направлению распространения волны 2. Подставив этот интеграл в волновое уравнение (1.6), получим дифференциальное уравнение второго порядка для спектра 5(а,/9,а>,^) -
2
' -(k2-a2-p2)S = 0. (1.8)
d $ (іЛ ~2 o2 dz2
Известно общее решение задачи с начальными условиями S(a,/3,a)) при 2 = О для этого уравнения
S(a,py(o,z) = S(a,p,cû)exр± iyz, (1.9)
где у = ^к2 - а2 - р2 , а к - по!с есть волновое число. С учетом этого решения перепишем представление (1.7) для скалярной волны распространяющейся от плоскости г = О
17
Глава 1
со оо ж
U(xfyyz,t) = J J (а, ft,(о)expi(ax + fly ±yz + cot)dadpdco. (1.10)
-00-00-00
Это выражение справедливо в рамках сделанных выше предположений и сводит задачу распространения световой волны в однородной среде к заданию начальных условий для спектра в области пространственных частот aft. Спектр S(a,(3,w) может быть определен как двумерное преобразование Фурье поля, заданного в приближении Кирхгофа. По нему в плоскости регистрации, в пределах апертуры оптической системы, задается иоле, рассеянное объектом, а вне апертуры поле полагается нулевым. Это приближение весьма грубое и не удовлетворяет волновому уравнению там, где оно задается. Но фильтрующие свойства выражения (1.10) при z »Я приводят к подавлению ошибки, вносимой начальными условиями Кирхгофа. Фильтруются плоские волны, а неоднородные волны (evanescent
ООО
waves), для которых справедливо неравенство k <а +/? , экспоненциально затухают. Таким образом, интегрирование по пространственным частотам в выражении (1.10) происходит в финитной области.
Априорно известно о малости относительной ширины временного спектра квазимонохроматической волны U(x,y,z,t), л(о/сос« 1, сос-иесущая частота, дсо -полуширина временного спектра. Скалярное приближение предполагает необходимость рассмотрения задач в параболическом приближении, с узким спектром пространственных частот, &alac«l, а- несущая частота, ta - полуширина спектра пространственных частот. В этом состоят физические основания для предположения о финитности спектров. Но, с другой стороны, какой-либо пространственный объект может считаться вполне финитным, что приводит к аналитичности углового спектра, рассеянной им волны [243]. Два этих свойства несовместны, поэтому должна быть выбрана какая-либо
18
Глава 1
одна возможность для анализа, в данной работе принимается первый вариант.
Рассматриваемые свойства световой волны могут быть наиболее естественно выражены, если и(х,у,г, О будет целой функцией экспоненциального типа каждой из переменных. Тем самым физические свойства, квазимонохроматичность и параболичность, переносятся на аппроксимацию волны и{х,у>г>Ь). Аппроксимация является решением другой задачи, по крайней мере без неоднородных волн, но она будет уже частью определяемых понятий амплитуды и фазы, не следующих из волнового уравнения.
1.2. Способы введения аналитического сигнала
Применим алгоритм (1.2) по переменной t к действительной функции (1.10) и получим аналитический сигнал как частное решение скалярного волнового уравнения, соответствующее распространению квазимонохроматической волны в однородной среде в положительном направление оси 2
оо оо со
\Д/(дг,у,2,0 = ^с1со J ^5(а,^,со)схр{(ах + ^у + уг-(оОс1а(1р. (1.11)
О -эо-со
Как известно [23,49], знак пространственной частоты у выбирается из условия затухания неоднородных волн при 2 -» + со, а частоты со -из условия перемещения фронта волны в том же направлении. Частота у, как и не меняет знака, поэтому функция ТУ(л:,г/,г,£) есть аналитический сигнал не только по переменной t, но и по переменной 2. Условие неизменности знака может быть нарушено из-за появления волн, отраженных поверхностями оптической системы и распространяющихся навстречу основной волне. Но будем считать, что амплитуда встречной волны пренебрежимо мала, так как оптическая система
19
Глава 1
позволяет отделить встречную волну от прямой волны в области пространственных частот а, /3.
Аналитический сигнал на плоскости. Интересен анализ поля в плоскости регистрации, нормальной к оси г. Когда г и £ зафиксированы, спектр Б(аур,со) в общем случае и при всех со будет локализован вокруг начала координат плоскости я/З, поэтому функция \У(х,у}20,Ь0) не является аналитическим сигналом в каких-либо сечениях плоскости ху.
Повернем плоскость регистрации относительно оси х и оси у в точке (0, 0, г о) на некоторый угол в нормально к вектору
{п, Ь Ь-ч2-?}■
В этой новой плоскости р(х,у,г) координата г уже не будет фиксированной, она будет изменяться в соответствии с уравнением
2-2°~77^-
Подставив его в (1.11), получим
оо оо со
И/(/?,0 = ^do)jjs(a>|3,(D)expi[(a)x + (p)y + yz0-cot)dadp, (1.12)
О —сс -оо
где (а) = а--т=Щ—(уЗ)=уЗ--т—2^1—
1-ту2-£2 -£а
Угол 0 и связанные с ним проекции вектора нормали у и £ могут быть выбраны такой величины, что сомножители (а), (/?) у
переменных л: и у не будут изменять знак. Например, когда
77 = С < шах ( |а |, 1/31) (1.13)
при 5(а,/3, со) * 0. Поэтому функции собО?)# и вкКа)*, соь(/3)у и 81п(уЗ)г/ связаны преобразованием Гильберта по х и у, соответственно. Это делает функцию ХМ(х,у,гу 0 в плоскости р(х,у,г) аналитическим сигналом как по х, так и по у (1.12).
20
Глава 1
Оценим численно величину угла 9, необходимую для обеспечения заданного разрешения в плоскости регистрации, для Я = 0,63 10'3мм, Л»104мм‘\ при £ = т/, имея в виду соотношение у = 2л соъв/Х = 2л/т, где г есть пространственный период волны в этой плоскости. Результаты приведены в таблице 1.1.
|| 7] /л:, линии/мм -.V - «•••' ■ -/ті V. ■•■УС Г ’■//, У'. '. « 2000 Л ши « 400 А ААЧ 200 А Л 4 100 1 ^ А АО
т, мм 0,0 0,001 «51 0,000 «83 0,01 «86 « К) у и 2. .. «88
Таблица 1.1. Поворот плоскости регистрации для создания АС
Из таблицы видно, что в пределах геометрической оптики величина угла в близка к 90°. Такой угол может быть реализован в оптической системе для большого числа приложений, например, при интерференционном контроле формы оптической поверхности. Экспериментально угол в устанавливается такой величины, что пучок света, падающий на плоскость регистрации, находится по одну сторону от некоторой нормали к этой плоскости. Этим обеспечивается условие причинности для углового спектра функции \У [р(х,у,г),Ь].
Аналитический сигнал на линии. Пусть заданы параметрические уравнения линии КО в трехмерном пространстве:
х = х0 + г;х(ОЬ, у = у0 + иу(Оь, г = г0 + .
Выясним, при каких условиях волна будет аналитическим сигналом на этой линии. Подставив параметрические уравнения в (1.11), получим
оо со со
\VlKt)] = ^(о J ^(а, р,со)ехрі[(о)і-а)і + <рар]сІасір, (1.14)
0 -00-00
где (о)=аих(0 + Ръу(0 +уи2(0, <Рсф=аХо+ РУо + У^о-
Положим у = гпах ( |а |, \р |, |у |) при 5(а,/?, со) ф О,
21
Глава 1
v = max (\vx(t)\, \vy(t)\, |^(^)|) и найдем max|(o)j < 3rjv. Покажем на численном примере, что величина q - Зщ/(ос = 3vcos0/c < 1, при асо /сос « 1, где о)с- несущая частота временного спектра, асо -полуширина временного спектра. Исходные данные и результаты для сканирования волны в кадре приведены в таблице 1.2.
Из полученной оценки для с/ следует неравенство (о) - со с < 0. Очевидно, что приемлемые параметры сканирования кадра могут быть подобраны и для интервала (сос±ао>).
Таким образом, сомножитель при переменной t в (1.14) знак не меняет, и функция W[l(t)] является аналитическим сигналом на линии с параметром t.
Размер кадра, см тт:::
Число строк в кадре 3x10:1
Время сканирования кадра, сек 1х10-3
0, ° 51
Скорость света в вакууме, см/сек і • 1010
ЗхЮ4
иощая длина скана, см. -—• — - -—-
Скорость сканирования V, /м/сек ЗхЮ7 А /«О
ІІІІІІІііШ: ■ Ш - ж 0,6о І 2 х10‘3 1
Таблица 1.2. Аналитический сигнал на линии сканирования
Аналитический сигнал в интерферограмме. Не являясь аналитическим сигналом, поле может получить это свойство при интерференции. Рассмотрим двумерную интерференционную картину G(x,y) исследуемого поля с плоской единичной опорной волной
G(x,y) = \W(x,y,z0,t0)+expi(r)x + Sy)\2= \ + \y/(x,y,z0,t0)f+
\ 1 .Ю/
+ W*(x, у, z0,t0) exp i (TJX + £y) + W (x, у, z0ito) exp -i (rjx + С у) •
22
Глава 1
Также как и в предыдущем случае, необходимо выбрать величины £ по (1.13). Связанный с ними наклон фронта опорной волны преобразуется в смещение финитных пространственных спектров двух последних слагаемых в (1.15), которые являются сопряженными аналитическими сигналами по обеим координатам х, у.
Амплитуда аналитического сигнала и огибающая параметрического семейства функций. Решение волнового уравнения для вакуума (1.11) может содержать мультипликативную константу, например, в виде exp i<p0 . Изменяясь, начальная фаза <ра создает параметрическое семейство функций W(x,y,z,t)expi<p0 . Функции семейства, возможно, имеют действительную огибающую a(x,y,zft)y которая касается их в отдельных точках и не зависит от начальной фазы.
Выясним, как соотносятся огибающая и амплитуда поля [30,57. 112,222]. Для нахождения огибающей [64] необходимо решить систему уравнений
Re[W(x,y,zft)expi<p0] = а
' д , ч (116)
Re [ W(z, у} z, t) exp i(p0 ] = 0 •
о
Подставив во второе уравнение системы выражение (1.11) и выполнив дифференцирование, найдем
Re[VP(*, y,z,t)expi<p0] = а lm[W(x,y,zft)expi<p0] = 0 •
Умножим второе уравнение системы (1.16) на мнимую единицу и сложим его с первым. Квадрат модуля суммы будет решением системы
a2(x,y,z,t) = | W(x,yfz,t)\2.
В случае монохроматической волны параметром семейства может быть время t. Тогда в выражении (1.11) интегрирование по частоте со будет отсутствовать, что позволяет получить систему уравнений для
23