Расширенная суперсимметричная квантовая механика, обратная задача рассеяния и высшие спины

)главление
»едение 4
Расширенная Суперсимметричная Квантовая Механика в Суперполе-вом и Компонентном Подходах 20
1.1 Суперсимметричная Квантовая Механика и Спонтанное Нарушение Суперсимметрии на Квантовом Уровне........................................,..................................... 20
1.1.1 Введение ....................................................... 20
1.1.2 Общие и кнральные суперполя................................... 21
1.1.3 Пример - 0(3)- и 0(2,1)- суперсимметричныс о- модели............ 24
1.1.4 Квантование - проблема упорядочения............................. 27
1.2 Одномерная Суперсимметричная Квантовая Механика с Лг > 2 29
1.2.1 Введение ....................................................... 29
1.2.2 Действие в терминах N = 2 суперполей ........................... 30
1.2.3 СКМ с произвольным четным N .................................... 32
1.3 Суиерполевое Описание N = 4 Расширенной Одномерной Суперсимме-тричной Квантовой Механики............................................ 34
1.3.1 Введение ...................................................... 34
1.3.2 Суперполя в суперпространстве (1,4) .............................34
1.3.3 Лагранжиан, Гамильтониан и Суперзаряды.......................... 36
1.4 Частичное Нарушение Суперсимметрии в /V = 4 Расширенной Супер-симметричной Квантовой Механике ............................. 40
1.4.1 1. Введение..................................................... 41
1.4.2 Супсрполевос действие N = 4, (I = 1 модели СКМ.................. 42
1.4.3 Компонентное действие, Гамильтониан и алгебра суперсимметрии
N = 4 СКМ....................................................... 47
1.4.4 Фазы с точной и нарушенной суперсимметрией...................... 49
1.4.5 Частичное спонтанное нарушение суперсимметрии................... 52
1.5 Трехмерная N = 4 Расширенная Суперсимметричная Квантовая Механика ................................................................. 57
1.5.1 Введение ....................................................... 58
1
1.5.2 Нетривиальное представление N = 4 расширенной суперсимметрии 58
1.5.3 Квантование модели..................................................... 62
1.5.4 Пример................................................................. 65
1.6 О Структуре N = 4 Расширенной Суперси.мметричной Квантовой Механики в!) = 2........................................................... 66
Суперсимметричная Квантовая Механика и Обратная Задача Рассеяния 70
2.1 Суперсимметричная Квантовая Механика и Перестройка Спектров Гамильтонианов ........................................................ 70
2.1.1 Перестройка спектра гамильтониана и эквивалентные гамильтонианы ................................................................ 70
2.1.2 Группа преобразований.................................................. 76
2.2 Лг = 4 Суперсимметричная Квантовая Механика и Обратная Задача Рассеяния .............................................................. 77
2.2.1 Общая структура N = 4 СКМ.............................................. 78
2.2.2 Связь с обратной задачей рассеяния..................................... 79
2.2.3 Алгебра преобразований суперпотенциала................................. 82
2.3 Одномерная Расширенная Суперсимметричная Квантовая Механика . . 83
2.3.1 Общая структура суперзарядов и гамильтониана........................... 83
2.3.2 Пример безотражательных потенциалов.................................... 88
Суперсимметричная Квантовая Механика, Суперчастицы, Спиновые Частицы и Суперструны 91
3.1 0 Суперсимметричном Лагранжиане для Частиц в Собственном Времени 91
3.1.1 Введение .............................................................. 91
3.1.2 Действие............................................................... 92
3.1.3 Квантовый спектр....................................................... 94
3.2 N = 4 Суперполевое Описание Релятивистской Спиновой Частицы ... 96
3.2.1 Действие .............................................................. 97
3.2.2 Квантование............................................................100
3.2.3 Альтернативное квантование.............................................101
3.3 N = 4 Спиновая Частица в Нетривиальном Фоне ..................................102
3.4 О Суперполевых Формулировках И = 2,3,4. С и 10 Суперчасгиц.........104
3.4.1 Сравнение действий.....................................................105
3.4.2 Лагранжиан ............................................................106
3.4.3 Возможные обобщения ...................................................108
3.5 Твистороподобная Суперструна Типа II и Бозонная Струна.............110
3.5.1 Введение ..............................................................110
— 2—
3.5.2 Суперчастица и ее группа симметрии.............................111
3.5.3 п = (1,0) Суперструна в N = 2 расширенном суперпространстве . 114
3.5.4 Твистороподобное Описание Суперструны с (2. 0) и (4,0) Мировой
Суперсимметрией.................................................118
Дискретная Струна как Модель для Описания Неприводимых Высших Спинов 123
4.1 Релятивистская Система Взаимодействующих Точек как Дискретная Струна 123
4.1.1 Введение ......................................................123
4.1.2 Действие и связи для дискретной струны ........................124
4.1.3 Двухчастичная система..........................................125
4.1.4 Трехчастичная система..........................................127
4.1.5 Заключение.....................................................131
4.2 Составная Система и Теория Поля Свободной Траектории Редже .... 131
4.2.1 Введение ......................................................132
4.2.2 Структура лагранжиана..........................................132
4.2.3 Введение зависимости массы от спина............................136
4.2.4 Приложение.....................................................138
Лагранжево Описание Частиц с Высшими Спинами в Пространстве -
Времени Произвольной Размерности 140
5.1 Введение .............................................................140
5.2 Массивные приводимые представление группы Пуанкаре....................144
5.2.1 Связи во вспомогательном пространстве..........................144
5.2.2 Безмассовый случай и размерная редукция........................145
5.2.3 Примеры........................................................149
о.З Безмассовые неприводимые представления группы Пуанкаре................151
5.3.1 Игрушечная Модель..............................................151
5.3.2 Неприводимые безмассовые высшие спины..........................154
5.4 О различных БРСТ конструкциях для данной алгебры Ли...................158
5.4.1 Описание связей................................................159
5.4.2 Общий метод....................................................162
5.4.3 Построение вспомогательных представлении данной алгебры . . . 164
5.4.4 Пример.........................................................166
5.4.5 Построение вспомогательных представлений алгебры с помощью
ее модуля Всрма.................................................167
5.4.6 Заключение.....................................................170
жлючение 172
1тература 174
— 3—
введение
/уиерсимметрия - симметрия между бозонными и фермионными степенями ободы физической системы - имеет множество разнообразных проявлений в временной теоретической физике.
Сама но себе идея суперсиммегрии привлекательна тем, что она объединаяег ча-ипы с различной статистикой в супермультиплеты, что позволяет рассматривать зоны и фермионы как частицы, имеющие одинаковую природу. Однако симметрия жду четными и нечетными переменными, описывающими соответственно бозоны и фмионы, рассматривается не только в физике элементарных частиц. В квантовой ории поля суперсимметрия оказалась удобным инструментом при доказательстве ренормируемости теории Янга - Миллса. В статистической физике, также как в квантовой теории поля, фиктивные нечетные степени свободы применяются при гчислении якобианов при замене переменных интегрирования в континуальных ин-гралах. Имеется много примеров суперсимметрии и в нерелятивистской квантовой ханикс. В различных квантовомеханических моделях суперсимметрия является либо ально наблюдаемой симметрией, либо мощным вспомогательным инструментом для шения физических проблем.
Одним из наиболее распространенных и интенсивно изучаемых примеров супер-мметрии является расширение группы Пуанкаре сшшорными (нечегиыми) ге-раторами, которые подчиняются антикоммутационному соотношению
{<Э«,ф = 2^Р„, (В.1)
е Рд генератор трансляций в четырехмерном пространстве - времени [1] - [6]. Су-ралгебра Пуанкаре - пример градуированных алгебр, то есть алгебр, которые ряду с коммутаторами содержит также и антикоммутаторы. Генераторы су-ргруппы Пуанкаре реализуются на супсрпространстве, которое, кроме координат в ычиом пространстве - времени содержит грассмановы кооордипаты 9м и 0(‘. По-бное расширение группы Пуанкаре является единственным исключением из теоремы прета [7], согласно которой группа Пуанкаре может быть нетривиальным образом сширена только в виде прямого произведения на группу внутренних симметрий.
Основываясь на требовании инвариантности теории относительно супергруппы Пу-
4
каре построено множество теоретики - полевых суперсимметричных версий Стан-ртной Модели [8] - [10] и Моделей Великого Объединения [11] - [13]. Привлекательнось персимметричных реалистических физичесих моделей обусловлена в основном тем, •о суперсимметрия естественным образом устраняет проблему квадратичных расхо-мостей, которая возникает в несуперсимметричных теориях (см., например [14]). Это стоятельство существенно упрощает рассмотрение проблемы “иерархии масс”, так к, введя различные массовые парметры для различных полей в исходный лагранжиан, нужно проводить “тонкую настройку” массовых параметров в каждом порядке тео-и возмущений из - за сокращения квадратичных расходимостей. Кроме того, сунер-мметричные теории дают множество интересных экспериментальных предсказаний, частности на величину массы частицы Хиггса, поиски которой в настоящее время тенсивно ведутся.
Тем не менее, суперсимметричнные стандартные модели и модели Великого Объ-инения не лишены недостатков. Из рассмотрения представлений алгебры суперсим-трии следует, что каждая элементарная частица обладает суперпартнером - частицей семи же самыми квантовыми числами (электрнчесий заряд, гиперзаряд, масса и т.д.) с противоположной статистикой и спином, отличающимся на половину [14]. Однако эксперименте существование подобных частиц пока не обнаруженпо. Это означает, о суперсимметрия Пуанкаре должна быть спонтанно нарушена, причем таким разом, чтобы не портилось ультрафиолетовое поведение теории. Механизм спонтан-го нарушения суперсимметрии на сегодняшний день до конца не выяснен и остается крытым.
В физике частиц для разрешения этой проблемы было предложено несколько различ-гх механизмов. Один из них состоит в добавлении к лагранжиану так называемых И -и Е - членов, инвариантных относительно преобразований суперсимметрии и приво-щих к ее спонтанному нарушению вследствие возникающего ненулевого вакуумного еднего соответствующих вспомогательных полей. Другой механизм состоит во введе-и в лагранжиан некоторых “мягко нарушающих” суперсимметрию массовых членов, горые, тем не менее, не приводят к нарушению теоремы о неперенормируемости су-рсимметричной теории поля. Этот маханизм был успешно применен для построения персимметричных расширений Стандартной модели (см. [15]-[1б] и ссылки там). Спеющий механизм - это динамическое нарушение суперсимметрии за счет инстантонов л., например, [17] и ссылки там). В этом случае энергия туннелирования между раз-чными вакуумами приводит к появлению ненулевой энергии физического вакуумного стояния, что является главным критерием спонтанного нарушения суперсимметрии, наконец, механизм частичного спонтанного нарушения А,? = 2 суперсимметрии в тени ноля был предложен шдавно в работе [18]. Этот механизм основан на включении шгранжиан членов Файе - Иллиопулоса двух типов - электрического и магнитного, о приводит одновременно и к соответственной модификации алгебры N = 2 супер-
— 5—
мметрии [19]. Аналогичный механизм частичного спонтанного нарушения Лг = 4 персимметрии в квантовой механике ранее был обнаружен в работе [42], вошедшей в ссертацию.
Современные исследования показывают, что в присутствии протяженных объектов персимметрия может быть нарушена в 2 раза, в 4 раза и т.д.. При этом вблизи ризонта таких решений, как экстремальные черные дыры, динамика суперчастиц исывается N = 2 суперконформной квантовой механикой [24], [78], представляюшей 5ой частный вариант одномерной модели еуперсимметричной теории поля - супер-мметричной квантовой механики (СЖМ) [20] - [28]. Помимо того, что она дает ясное нимание многих эффектов релятивистской теории, суперсимметричная квантовая ме-ннка адекватно описывает различные физические задачи, возникающие в обычной антовой механике.
Математическая основа суиерсимметрии - суцерматематика была разработана в ра-тах [29] - [30]. В дальнейшем был построен формализм классической механики для зонных и фермионных степеней свободы [31], [60]. Квантовомеханичесое описание по-бных систем строится аналогично квантовому описанию систем, которые содержат лько бозонные переменные путем замены классических величин на квантовые опера-ры и обобщенных канонических скобок Пуассона на градуированные коммутаторы, гласно принципу соответствия.
Суперсимметричная квантовомеханическая система без центральных зарядов со-оит из N операторов которые коммутируют с гамильтонианом Я и удовлетворяют
отношениям
{<?<><?Л = (• = 1,2...А?) (В.2)
шмеры суперсимметрии в квантовой механике известны давно: рассмотрение движе-я электрона в магнитном поле приводит к наличию “нечетного ” интеграла движения
= е(р~ еЛ), (В.З)
о соотвстсвует сохранению угла между спином и скоростью электрона во время премии. Если магнитное ноле направлено вдоль одной из координатных осей и про-зольным образом зависит от двух других координат, например Вт = Ву = 0 и = Вг(х,у), или магнитное поле обладает определенной четностью (В(х) = В(—х)) существует еще один интеграл движения
<22 = гсг(р - еЛ)(73, (В.4)
горый вместе с величиной является суперзарядом N = 2 суперсимметричной кванзой механики.
Из алгебры (В.2) можно сделать важный вывод, что энергия в суперсим-
тричной квантовой механике неотрицательна, так как гамильтониан является
-6—
адратом эрмитовых операторов. Последнее обстоятельство дает также возможность неарпзовать уравнение Шредингера с нулевой энергией и заменить его на систему •авнений первого порядка на вектор состояния |^>)
<?#) = 0. (В.5)
ьким образом задача о нахождении основного состояния для систем, которые обладают персимметрпей, сильно упрощается.
Вследствие того, что гамильтониан коммутирует с генераторами суперсимметрил, ждое неприводимое представление алгебры (В.2) характеризуется его собственным ачением. Размерность пространства физических состояний, которое инвариантно носительно преобразований суперсимметрии и обладает нулевой энергией, одиозно, если, конечно, не вырождено относительно дополнительной внутренней группы мметрии. Кратность вырождения ненулевых энергетических уровней можно йти, перенормировав генераторы суперсимметрии qi = Вновь введенные опе-торы образуют алтобру Клиффорда, неприводимые представление которой хорошо учены. В частности, размерность неприводимого представления алгебры Клиффорда я четных N равна 2^. Для нечетных N имеются два неприводимых представления, ждое из которых имеет размерность 2‘Т).
Методы суиерсимметричной квантовой механики существенно облегчают изучение .ханизма спонтанного нарушения суперсиметрии [20] - [21]. Для сохранения суперсим-гтрии в классическом приближении необходимо, чтобы минимальное значение клас-чесского потенциала равнялось нулю. Существование квадратично интегрируемого шения системы уравнений (В.5) означает, в свою очередь, отсутствие спонтанного рушения с.уперсимметрии на квантовом уровне. Следовательно, в системе со снон-нно нарушенной суперсимметрией пет состояния с нулевой энергией. Спонтанное рушение суперсимметрии на “древесном уровне” означает, что суперсимметрия оста-тся нарушенной во всех порядках теории возмущения, так как квантовомеханические правки к энергии могут быть только положительными. С другой стороны, если су-рснмметрия сохраняется на классическом уровне, го квантовомеханически она может [ть динамически нарушена неиертурбатквными эффектами [20], [33] - [36]. Рассмотрс-е данного механизма в рамках квантовой теории поля положило начало интенсивным следованиям вопроса нарушения сунерсимметрии инстантонами Янга - Миллса 1 - [39).
В рамках N = 2 СКМ предположение о спонтанном нарушении суперсимметрии и помощи инстантонов было исследовано в [33] - [36]. Однако физически наиболее тересным является случай N = А суиерсимметричной квантовой механики, возника-цей, в частности, после размерной редукции N = 1 суиерсимметричной теории поля 1етырех измерениях.
Впервые одномерная N = 4 СКМ была построена в работах [40] - [42]. В ее рамках
— 7—
ервые также был обнаружен эффект частичного спонтанного нарушения суиерсимме->ии [42] с механизмом, аналогичным предложенному позднее в N = 2 суперсимметрич-•й теории поля [18]. Определяющим в этом механизме является появление в алгебре персиммстрии центральных зарядов, в отсутствие которых, согласно теореме Вит-на [20], частичное спонтанное нарушение суперсимметрии невозможно.
Одной из наиболее интересных особенностей суиерсимметричной квантовой меха-:ки является её связь с точно решаемыми квантовомеханическими моделями. В ра-тах [32], [44] - [45] было показано, что использование суперсимметрии как вспомога-льного механизма дает возможность определить полный энергетический спектр для ех известных на сегодняшний день точно решаемых квантовомеханических моделей 3], а также был установлен широкий класс моделей, для которых можно найти энергический спектр с помощью суперсимметрии.
В общем случае гамильтониан одномерной суиерсимметричной квантовой механики исывает две задачи с потенциалами и+(х) и С/_(х) (см. далее (2.1.2), (2.1.3)), вы-женными через одну функцию - суиерпотенциал IV (ос). Совершенно замечательным ляется тот факт, что для всех потенциалов 1/-(х), для которых квантово - механиче-ая задача имеет точное решение, задача с потенциалом £/+(х), связанным с £'_(х) при мощи соотношений (2.1.2), также имеет точное решение и является, по существу, той г самой задачей [44]. Такая тесная связь между потенциалами точно решаемых задач, зможно, имеет место и в многомерных задачах
Как показано в работах [95]-[96[, [Г20]-[121], преобразование суперсимметрии, связы-ющее две задачи с потенциалами 1)+(х) и 6г-(х), является ничем иным, как хорошо вестным преобразованием Дарбу. Изучению связей су перс и м м ет р и ч ц ой квантовой осаники с преобразованием Дарбу к с обратной задачей рассеяния посвящено мно-;ство исследований. Толчком к этим исследованиям послужила работа Абрахама и озеса [119], которые применили хороню известный математикам метод обратной за-чи рассеяния к изучению перестройки потенциала и волновых функций при наперед данном изменении дискретного спектра исходного гамильтониана. При этом было мечено существование в потенциалах с фиксированным спектром некоторого набора •оизвольных констант с^, так называемых нормировочных констант, каждая из кого-гх может быть связана с определенным дискрстпым уровнем - факт, неизвестный до давнего времени большинству физиков.
Впервые связь суперсимметричной квантовой механики с обратной задачей рассе-ия была отмечена Нието [110], который показал, что связь между потенциалами в персимметричной квантовой механике допускает однопараметрическую свободу, со-ветствуюшую свободе в определении нормировочной константы основного состояния. >лее полное изучение связи между двумя подходами было предпринято в работах [95]->], [120]-[Г21]. В этих работах был предложен метод построения изоспектральных тенциалов, состоящий в многократном применении процесса добавления или удале-
я основного состояния. Было показано [95], что результаты работы [119], соответ-вующие удалению, добавлению или перенормировке низшего состояния, могут быть лучены двукратным применением основных методов преобразования в рамках супер-мметричной квантовой механики. Однако полученные результаты становятся непри-нимыми, если речь заходит о преобразовании какого-либо возбужденного состояния. В работах [80[-[81] показано, что использование .V = 4 расширенной суперсимме-ичиой квантовой механики позволяет более полно установить соответствие с обрат-й задачей рассеяния. При этом в отличие от Лг = 2 суперсимметрии все дискретные стояния теории оказываются равноправными, что отражается в полной идентично-и формул, связывающих между собой гамильтонианы и волновые функции в обоих дходах. Кроме того, N = 4 суперсимметричная квантовая механика позволяет найти «рокую группу таких преобразований суперпогенциала, для которых гамильтонианы феобразованным и исходным потенциалами связаны друг с другом при помощи пре-разования Дарбу. Алгебра генераторов этих преобразований суперпогенциала явля-ся положительной частью алгебры Каца-Муди группы 5Т/(2).
В настоящее время проводится широкое исследование классических систем, кото-[е наряду с обычными динамическими переменными содержат также антикоммути-ющие грассмановы переменные. Большой интерес к этим системам объясняется тем, о они представляют собой классический предел (Д -> 0) соответствующих квантовых стем, содержащих Бозе- и Ферми-переменные.
Использование динамических грассмановых переменных позволило также дать по-едовательную формулировку классического предела для операторов едина как в не-лятивистском, так и в релятивистском случаях. В применении к спиновым степеням эбоды процедура квантования таких систем, состоящая в замене грассмановых ие-менных матрицами Паули (или матрицами Дирака в релятивистском случае), была ормулирована впервые в работах [123]-[124] и рассматривалась большим числом ав-ров [60], [125]-[13б]. Несмотря на большое формальное сходство использования грас-ановых величин для описания Ферми-переменных и переменных спина имеется также ществсниое различие между этими двумя случаями, которое состоит в принадлеж-сти грассмановых переменных к спипорным представлениям группы Лоренца для фми-переменных и к векторным представлениям для переменных спина.
Большой интерес к модели спиновой частицы, соответствующей векторным пред-авлениям грассмановых координат, обусловлен различными аспектами ее связи с те-етико - полевыми и струнными моделями. Действия для частиц спина 1/2 и 1 вариантное при преобразованиях суперсимметрии мировой линии были предложены 102], [125]-[126] и обобщены для произвольного спина в [127] и позже в [128]. Также казано, что эти действия обладают с! - мерной конформной инвариантностью [128
1 понятие спина вводится для (1=4 пространства - времени
29] и что все конформные волновые уравнения возникают в результате квантования язей спиновой частицы [129]. Механика частицы, описывающей тензорные антисим-пгричные поля рассматривалась в [130], где модель частицы спина 1 с п = 2 локальной перконформной симметрией на мировой линии была обсуждена подробно в суперпо-вом и компонентном подходах. В ряде статьей 131]-[139] механика сшшовой частицы ша рассмотрена в присутствии глобальной суперсимметрии пространства - времени, были построены модели так называемой спиновой суперчастицы, обладающей инте-сными особенностями. Хотя изучение спиновых частиц было выполнено достаточно убоко, некоторые проблемы все еще ожидают решения. Среди них - детальный ана-:з альтернативных процедур квантования и упорядочения операторов, вопрос спино-й динамики частицы в нетривиальном калибровочном фоновом ноле , также как п асширенное суперполевое описание динамики частиц спина п/2 для п > 2. Послед-я проблема, как известно, не решена для d - мерных суперсимметричных полевых орий, и можно надеяться, что ее решение в случае одномерных полевых теорий, ко-рыми являются модели спиновых частиц, может дать ключ к лучшему пониманию у чаев высших размерностей.
В работе [234] была создана база для N = 4 суперполевого описания СКМ в про-ранствах произвольной размерности, позволившая более подробно исследовать во->осы частичного спонтанного нарушения сулерсиммегрии в квантовой механике [234]-
15] и решить вопрос введения гравитационного фона в модель спиновой частицы со ином 2 [236]. При этом было показано, что SU(2)local х SU(2)glcb(li Аг = 4 суперкои-)рмная симметрия действия требует, чтобы этот фон обладал свойством, аналогич-iM “вещественной” кэлеровости, т.е. чтобы метрика физического пространства, была едставима в виде
Smn(x) = (в-6)
котором вся функциональная зависимость от координат заключена в одной произ-льной функции - суперпотенциале А(х). Особо интересным оказался тот факт, что 4-1- мерные пространства Анти де Ситтера, играющие ключевую роль в современной [зике бран и струн, принадлежат к этому классу пространств.
В работах [137]-[138], [142]-[145] была подложена дважды суперсимметричная тви-ороподобная версия N = 1 суперчастицы Бринка-Шварца в D = (2), 3,4, б и 10 из-рениях, которая инвариантна относительно N = 1 преобразований объемлющего су-рпространства, так же, как и относительно локальных п = D - 2 суперконформ-[X преобразовании в суперпространстве мировой линии (для D = 10 известно только = 1 действие [137]-[138], [142]). В этих специфических размерностях пространства -емени 2 такая формулировка позволяет придать хорошо известной к- симметрии [145]-
2 Отметим, что D = 3,4,6,10 близко связаны с критическими размерностями пространства - времени я классической суперсгруиы Грина-Шварца с одной стороны и твисторов с другой.
— 10—
16] ясный геометрический смысл, как проявление на массовой поверхности локальной перконформной симметрии в суперпространстве собственного времени, параметризу-дем траекторию суперчастицы. Соответствующие N = 1 ,п = 0 — 2 суперполевые йствия для D = 3,4 суперчастицы была построены в [137]-[1.38 , [142] и компонентное йствие для Б = б, случая было обсуждено в [139]. Отметим, что дважды суперсимме-ичные теории были впервые обсуждены в [147]-[150], и дважды суперсимметричное йствие для так называемой спиновой суперчастицы было предложено в [131]-[ 136].
В статье [143] другая суиерполевая версия О — 4, п = 2 суперчастицы в искривлен-м объемлющем суперпространстве была предложена и обобщена на случай О — б , = 4. Основная геометрическая идея, которая позволила авторам выполнить эту про-амму, состояла в том, чтобы ввести свойства двойной киральности (в О = 4 ,п = 2) двойной гармонической аналитичности (в О = б, п = 4) в дополнение к двойной су-рсимметрии рассматриваемой динамики частицы. Отметим, что эти понятия были зависимо предложены в [144], где, в частности, было обсуждено действие в суперполях я массивной N = 1,0 = 2 суперчастицы.
Ряд интересных статьей [151]-[154] прояснил связь твистороподобного подхода [137]-58], [142], [143], [146], [155]-[156] к динамике суперчастицы с Лореиц-гармоническим дходом, разработанным параллельно с ним (см. [153]-[154], [157]-[160] и ссылки там), эжно надеяться, что это позволит преодолеть О = 10, п = 8 барьер и решить проему ковариантного квантования О = 10 суперчастицы Бринка-Шварца, путем по-роения ее гармонической суперполевой версии.
Необходимо отметить также интересную геометрическую интерпретацию версий иерчастицы в работе [137]-[138], [142] и некоторых других твисторных формулиро-к суперчастицы [155]-[156], [160], [163]-[164] как суперсимметричной механики Черна-ьймонса, предложенной Ховом и Таунсендом [165].
Работа по построению твистороподобного действия для О = 10, тг = 8 суперчастицы се велась [151]-[152] и, как было показано в [172]. двойная аналитичность не является обходимой, и было построено действие, которое имеет одинаковый вид для всех раз-рностей О — 3,4,6,10 с п = 1,2,4,8. Это действие напоминает прямое обобщение йствия для О = 3 п = 1 случая [138].
Во всех рассмотренных примерах к- симметрия суперчастицы была связана с дольными сунерконформными преобразованиями, которые являются подгруппой группы пердиффеоморфизмов соответствующего внутреннего пространства суперчасгипы (су-рмировой линии). Первые шаги в построении твистороподобной формы суперструны ►ина - Шварца [175] были сделаны в суперконформной калибровке [167] -[168], где кже была сформулирована и проблема нахождения ропараметризационно инвариант-го действия . Частично эта проблема была решена для гетеротической суперструны различных подходах [169], [179] -[180]. Все действия в этих статьях содержат поля 2-рного мультиплета супергравитации, чтобы гарантировать репарамегризационную
— 11—
вариантность. Эти результаты затем были обобщены на случай гетеротической су-рструны [151]-[15б], [167]-[169*, [172], [178]-[180], [181]-[185] в гравитационном и Янг-
и.тлсовском полях в тех же размерностях а также для 11 - мерной сулермембраны с = 8 мировой суперсимметрией.
Если не имеется никаких дополнительных полей, как в статье [144], только одно из ух условий Вирасоро выполнено, а вторая часть репараметризационных преобразо-ний нарушена. Для восстановления репараметризационной инвариантности в [180] лючено одно дополнительное поле двумерного мультиплета супергравитации и по-роено твистороподобное действие в И = 6 с п = (4,0) суперсимметрией на мировом сте.
В работе [182] построено твистороподобное действие для суперструны Грина - Шварца па II [175] с п = (1,0) супермировой поверхностью, заиараметризованной двумя бо-нными (времени - подобной и пространственно - подобной) и одной грассманновой ординатами. Включение второго спинорного грассманнова суперполя, которое явля-ся необходимым для описания суперструньт тип?. II, ведет к довольно нетривиальному следствию: несмотря на отсутствие полей мультиплета двумерной супергравитации, истороподобное действие классически эквивалентно действию Грина - Шварца для перетруны типа II [175].
Коммутирующие спинорные переменные, естественным образом возникающие в тви-ороподобных моделях как суперпартнеры просгрансгвеннных Грассмановых спинор-IX координат 0, играют центральную роль в установлении условия массовой новерх-сги для суперчастицы и одной из связей Вирасоро для гетеротической струны. Чтобы лучить в суперструне оба условия Вирасоро на равном основании необходимо вшхгти полнительный набор коммутирующих спиноров. Как было показано в [182] новые ммутирующке спиноры в действительности являются суперпартнерами второй грас-ановой спинорной координаты в2 для суперструны типа II и оба условия Вирасоро зникают на равных основапиях. В работе 182] для описания суперструны типа II пользовалась гетеротическая мировая поверхность суперструны с (1,0) суперсимме-•ией. Это значит, что только одна из к суперсимметрий описывалась с геометрической чки зрения.
Рассмотрение в работе [184] для суперструны тина II мировой поверхности с (1,1) персимметрией позволило полностью описать к суперсимметрию в И = 3. Однако пытки использовать тот же формализм в Г) = 4. 6,10 оказались безуспешными, т.к. которые из множителей Лагранжа оказывались динамическими.
В работе [183] получен лагранжиан для суперструны типа II в плоском суперпро-ранстве с гетеротической (2,0) и (4,0) суперсимметрией на мировом листе. Это позлило половину к преобразований описать геометрически. Результирующие комио-нгные лагранжианы оказываются классически эквивалентными лагранжиану Грина Пварца [175] с п = 2 суперсимметрией в соответствующей размерности.
— 12—
В последнее время большое количество исследований посвяшено теории поля струн, лью которой является ковариантное описание как свободной, так и взаимодействую-^й (супер) струны. Особенностью такой теории поля является наличие в ней бесконеч-го числа полей, преобразующихся по всевозможным представлениям группы Лоренца. >ебование отсутствия духов среди бесконечного числа физических состояний приво-т к наличию огромной группы калибровочных преобразований, так что часть полей рает вспомогательную роль и спектр физических состояний в пределе выключенного аимодействия совпадает со спектром свободной струны. В этом спектре присутствует сконсчное количество эквидистантно отстоящих друг от друга траекторий Редже, ж включении взаимодействия каждая из этих траекторий Редже взаимодействует с ждой. В итоге амплитуды взаимодействия в полученной модели совпадают с ам-итудами взаимодействия в соответствующих дуально-резонансных моделях. Таким разом, теория ноля струн описывает взаимодействие друг с другом бесконечного се-•йства траекторий Редже.
Возникает вопрос, в какой мере непротиворечивость этого взаимодействия связана эесконечностью числа траекторий Редже? Возможна ли непротиворечивая модель, исывающая взаимодействие (самодействие) одной траектории Редже или какого либо бора высших спинов и как эта возможность зависит от типа пространства - плоское и с кривизной. Ответы на эти вопросы требуют дополнительных исследований, часть торых освещена в ряде современных обзоров [187]-[188] (см. также ссылки в них).
В настоящее время для построения свободной теории поля широко используется ме-д БРСТ-квантования. Сущность этого метода заключается в использовании БРСТ-ряда первично-квантованной теории для построения свободного действия для по-й [196]-197]. При этом вся процедура хорошо отработана, если алгебра связей на рвично-квантованном уровне остается замкнутой.
Простой моделью, описывающей в свободном случае одну траекторию Редже, явля-ся модель двух- или трехчастичной составной системы, действие для которой подуется из действия струны цутем дискретизации параметра о на струне. Возможность именения модели струны к описанию составных систем обсуждалась неоднократно, работах [189]-[190', [221] такая возможность реализуется путем рассмотрения опреде-нных классов движения струны, а именно движений, при которых струна ведет себя к прямолинейный жесткий отрезок. Отметим также подход, связанный с заморажи-нием на струне всех высших возбуждений [191].
В работах [198], [222] для описания N - точечной составной релятивистской системы ша предложена модель дискретной струны, т. е. струны, у которой непрерывный па-метр о (параметр, характеризующий точки на струне) заменен параметром зг, пробе-ющим целочисленные значения от единицы до N. Таким образом, дискретная струна исывается координатами х^{т,п) = ж^(г), т.е. фактически представляет собой набор точек, движущихся в пространстве-времени по своим траекториям, параметризуе-
— 13—
.ш единым собственным временем т.
Существенным моментом в этой модели является наличие связей второго рода, по-элякнцих выделять неприводимые представления группы Лоренца при каждом знании массы. Вследствие этого квантовая алгебра связей не является замкнутой и про-цура построения нильпотентного БРСТ-заряда сильно усложняется [199].
Неотъемлемым атрибутом при построении БРСТ-заряда является использование [ктивных фермионных степеней свободы появляющихся в методе Фаддеева - Попова 5] - [47] для квантования полей Янга - Миллса [48]. Этот метод заключается в расши-нии конфигурационного пространства дополнительными переменными - “духами”, с лью устранения интегрирования по полевым конфигурациям, которые связаны между бой калибровочными преобразованиями в функциональном интеграле, что ведет к его сходимости. Полный лагранжиан теории содержит наряду с обычным лагранжиа-м для полей Янга - Миллса Дя.м. = , член фиксирующий калибровку и член
исивающий взаимодействие янг - миллсовых полей с “духами” Фаддеева - Попова.
£ = Тя м, + Тф.к. 4- £ф.„. (В-7)
юмогря на то, что последние два члена не являются по отдельности калибровочно -вариантными, полный лагранжиан калибровочно инвариантен, что связанно с инва-нтностью Ь относительно преобразований суперсимметрии специального вида, кого-ге называются ироебразованиями Бекки, Рюэ, Сторы и Тютина (БРСТ) [49] - [50]. ^СТ преобразования существенно упрощают доказательство тождеств Славнова -;йлора и являются основой метода БРСТ квантования Баталина - Фрадкина - Вил-виского [53] - [55], суть которого состоит в следующем. Рассмотрим динамическую стему, которая описывается гамильтонианом Но(дА, рл) и связями первого рода ,(<7'4,рд),а = Т ...2т, где qл , рд - канонические координаты и импульсы, которые мо-т быть как четными, так и нечетными. Функции Са также могут быть как четными, к и нечетными и находятся в инволюции с гамильтонианом
{с„, <?„};> = {щ,са}Р = с,у1 (в.8)
тем фазовое пространство расширяется дополнительными степенями свободы (р^Ф«) ютностью, противоположной четности функций <7в. Динамика в расширенном фазо-м пространстве определяется гамильтонианом
Я* = Но + РЛУ - У-(В.9)
торый зависит от произвольной нечетной функции ^(яа,ра, Г)(\ Ра). Выбор конкрет-го вида этой функции соответствует условию фиксации калибровки для теории Янга Лиллса. Гамильтониан Я* вместе с нильпотентным БРСТ зарядом
<3 = Са,Г + 1(-1)»-7’,Я'6г, V, (В.10)
— 14—
е
0 ДЛЯ четных Є а,
1 ДЛЯ нечетных Са,
разуют одномерную абелеву супералгебру:
{П, £2}р = 0 {Н*,П}р = 0.
(В.11)
»гласно теореме Баталина - Фрадкина - Вилковиского, производящий функционал в сширенном фазовом пространстве
зависит от функции Ф. Иными словами метод Баталина - Фрадкина - Вилковиского ет правильное выражение для Э - матрицы, сохраняя при этом произвол в выборе 'нкции Ф, что делает его применимым для квантования весьма широкого класса фи-ческих систем, в том числе и для квантования полей Янга - Миллса.
Различные квантовые операторы Гамильтона, которые соответствуют различным (борам функции Ф в производящем функционале, связаны между собой соотношением:
ледствии того, что матрица перехода не зависит от выбора оператора Ф, физичесикий <тор теории выделяется условием:
- за нильпотентности БРСТ заряда любое состояние вида должно быть физиче-им. Однако, как следует из эрмитовости оператора £2, подобные состояния обладают левой нормой, и должны быть исключены из физического сектора. Следовательно, зический сектор теории определяется с точностью до преобразования
горое вместе с соотношением (В. 13) называется квантовыми калибровочными нре-разованиями. Условие БРСТ (В.14) квантования вместе с соотношением эквива-гности (В. 15) устраняют нефизические степени свободы из расширенною фазового остранства.
Уравнения (В.13) - (В.14) следуют из действия
(В. 12)
я' = я + {Ф,<2}.
(ВІЗ)
<3|Физ) = 0,
(13-14)
|Физ) ~ |Физ) ■+ <2|£)>
(В-15)
(В-16)
— 15