2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ........................................................ 4
ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РЕКОНСТРУКТИВНОЙ ТОМОГРАФИИ И ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ЕЕ РЕШЕНИЯ..........................14
§1.1. Прямая и обратная задачи Радона. Реконструктивная
томография .................................................... 14
§ 1.2. Практические методы получения проекционных данных в
трансмиссионных и эмиссионных системах..........................18
§ 1.3. Классификация и области применения томографических
методов исследования............................................26
§ 1.4. Развитие теоретических и экспериментальных
методов решения обратной задачи Радона .........................28
ГЛАВА II. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРТЛИ КАК ЭФФЕКТИВНЫЙ БАЗИС ТЕОРИИ ТОМОГРАФИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ......................46
§2.1. Преобразование Хартли (ПХ). Определение..................46
§ 2.2. Некоторые свойства преобразования Хартли................ 48
§2.3. Псевдосепарабельные свойства преобразования Хартли....... 54
§ 2.4. Сравнительный анализ свойств
преобразований Фурье и Хартли ................................ 58
§2.5. Двумерное преобразование Хартли и соотношения,
используемые в теории реконструкции.............................59
§ 2.6. Дискретное преобразование Хартли для
систем обработки изображений....................................64
§ 2.7. Некоторые из свойств дискретного ПХ (ДПХ) ...............66
ГЛАВА III. ЭФФЕКТИВНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РЕКОНСТРУКТИВНОЙ ТОМОГРАФИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ХАРТЛИ...........................................68
§3.1. Принципы восстановления изображений по
экспериментальным проекционным данным...........................68
§ 3.2. Двухэтапный метод фильтрации "суммарного"
изображения в области пространственных частот ПХ................71
§3.3. Двухэтапный метод линейной фильтрации проекционных
данных (радоновского образа) с обратным проецированием..........75
§ 3.4. Метод томографической реконструкции сечений осесимметричных объектов на основе ПХ...........................84
3
§ 3.5. Влияние реальных оптических систем на качество и точность восстановления томографического
изображения...................................................86
§ 3.6. Регуляризация формул реконструкции изображения на случай неточных исходных данных и реальных систем с пространственно-частотным ограничением ......................89
ГЛАВА IV. ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ РЕКОНСТРУКЦИОННОГО АППАРАТА НА БАЗЕ ПХ В ФИЗИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТ АХ ПО ТОМОГРАФИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКЕ ЛАЗЕРНОЙ ПЛАЗМЫ....................................97
§ 4.1.Оптические методы диагностики в плазменном
эксперименте...................................................97
§ 4.2. Оптические методы диагностики, основанные на измерении величины рефракции зондирующего
луча в плазменной среде.......................................101
§ 4.3. Оптические методы диагностики плазмы, основанные на регистрации изменения фазового
фронта зондирующего излучения.................................107
§ 4.4. Оптические методы диагностики лазерной плазмы, основанные на измерении распределения
коэффициента эмиссии излучения................................109
§ 4.5. Нелинейно-оптические методы томографической диагностики лазерной плазмы на базе процесса
четырехволнового взаимодействия...............................113
ГЛАВА V. ЭКСПЕРИМЕНТ А ЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РЕКОНСТРУКЦИИ ТОМОГРАФИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ..................................................121
§5.1. Применение алгоритма быстрого
преобразования Хартли.........................................121
§ 5.2. Моделирование процесса томографической реконструкции изображения методом фильтрации проекционных данных в области пространственных частот преобразования Хартли.......127
ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................140
ЛИТЕРАТУРА.....................................................142
4
ВВЕДЕНИЕ
Проблема получения изображений внутренней структуры и иной информации о свойствах различных объектов по их проекционным характеристикам возникает в различных областях науки и техники. Одним из важнейших аспектов данной проблемы считается восстановление информации о плотности распределения физической величины в сечении объекта по ее проекционным характеристикам. Эти проекции могут быть получены различными методами (эмиссионными, трансмиссионными - по принципу получения; акустическими, оптическими, радиологическими по типу используемого излучения и т.п.). Данное научное направление получило название реконструктивной томографии (от греч. тороа - слой).
Широкая распространенность лазерного луча как мощного инструмента диагностики в различных областях физики аэро- и гидродинамических потоков [1], молекулярной физике [2] дает возможность использования его в томографических исследованиях качестве трансмиссионного излучения для получения массива проекционной информации об исследуемом объекте. Причем практическое удобство томографического метода проявляется в широких возможностях бесконтактного и дистанционного мониторинга широкого спектра физических характеристик объекта (плотности распределения массы, ионов; показателей преломления и поглощения; компонентного состава плазмы и газовой струи и т.п.).
Одна из основных задач реконструктивной томографии в физических приложениях сводится к проблеме получения двумерного изображения плотности распределения исследуемой физической величины по её линейным интегралам вдоль конечного числа направлений (проекционным характеристикам). При этом возникает широкий круг проблем, связанных с обработкой получаемых в эксперименте данных.
5
Область математики, занимающаяся изучением методов решения подобных задач, известна как интегральная геометрия, базовые исследования в которой начаты с доказательства фундаментальной теоремы реконструкции функции по совокупности ее отображений [3,4,5]. Большинство существующих методов восстановления изображений по проекциям основываются на применении обобщённой проекционной теоремы с использованием Фурье-преобразования. Главной практической трудностью при работе с комплекснозначными преобразованиями типа Фурье (а также Лапласа, Меллина и др.), несмотря на их удобство при аналитических выкладках, становится сложность обработки в вычислительных системах комплексных массивов данных.
Достижение предельных технических и аппаратных возможностей в исследовании таких нестационарных и динамичных плазменных объектов, как лазерная искра, шнуры, требует поиска новых подходов к повышению эффективности математического обеспечения в алгоритмах обработки интегральной проекционной информации, полученной в эксперименте. Основная идея этих подходов - упрощение вычислительных процедур в томографических алгоритмах на различных стадиях работы (регистрация, фильтрация, преобразование и т.п.). В настоящей работе исследованы возможности применения вещественно-значного преобразования Хартли (ПХ) в различных алгоритмах реконструктивной томографии плазменных объектов, которые в свою очередь являются одной из первых попыток применения ПХ к решению данного класса задач. Вместе с тем, несмотря на существенные очевидные преимущества и удобство в практическом плане, применение ПХ к задачам томографии ранее не прорабатывалось, хотя как отмечается в [7], нет такой области, где применяется преобразование Фурье и не может быть использовано ПХ. Поэтому применение ПХ в данной работе преследует также методологическую цель.
Таким образом, целью настоящей диссертации является исследование практической возможности применения в различных областях реконструк-
6
тивной томографии и томографической диагностики плазмы преобразования, предложенного в 1942 г. Ральфом Хартли (Ralph Vinton Lyon Hartley) [6], позже названного в его честь Хартли-преобразованием. Некоторые примеры эффективного использования преобразования Хартли (ПХ) и его основные свойства приводятся в работах Р.Н. Брейсуэлла (R.N. Bracewell) [7, 8, 9] и публикациях некоторых других исследователей по быстрым алгоритмам ПХ [10,11,12,13], интерполяционным алгоритмам на базе ПХ [14, 15], многомерным формам ПХ [16, 17, 18], в теории и системах сжатия информации [19, 20] и в работах научно-популярного характера [21].
Основными задачами диссертации являются:
1. Развитие нового теоретического подхода к решению обратной задачи Радона в томографической диагностике лазерной плазмы на базе обобщенной проекционной теоремы с использованием ПХ.
2. Исследование возможности реконструкции двумерного томографического изображения «двухэтапными» алгоритмами через фильтрацию проекционных данных в области пространственных частот ПХ.
3. Получение взаимосвязи преобразований Радона и Хартли для томографии плазменных объектов с осевой симметрией распределения реконструируемого физического параметра.
4. Исследование возможностей применения реконструкционных алгоритмов на базе ПХ в системах обработки интегральной экспериментальной информации, получаемой в широко распространенных методах диагностики лазерной плазмы, в том числе и нелинейно-оптических методах на основе четырехволнового взаимодействия.
5. Экспериментальная проверка предлагаемых алгоритмов реконструкции с использованием быстрого преобразования Хартли на основе математического моделирования и вычислительного эксперимента.
Таким образом, диссертация посвящена теоретическому исследованию, а также исследованию с помощью вычислительного эксперимента и компью-
7
терного моделирования процесса томографической реконструкции в плазменной диагностике на основе алгоритмов с применением ПХ.
Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что:
1. Впервые доказана возможность применения ПХ к решению обратной задачи Радона в томографической диагностике на базе обобщенной проекционной теоремы.
2. Получен «двухэтапный» алгоритм реконструкции томографического изображения, базирующийся на фильтрации экспериментальных проекционных данных в области пространственных частот ПХ с обратным проецированием.
3. Получен алгоритм реконструкции томографического изображения на основе фильтрации «суммарного» изображения сечения объекта в области частот ПХ, отличающийся от п.2 последовательностью проведения операций обратного проецирования и пространственно-частотной фильтрации.
4. Показана взаимосвязь преобразований Радона и Хартли для случая осесимметричного распределения исследуемого параметра в плазменном объекте.
5. Показана возможность применения реконструктивных алгоритмов на базе ПХ в наиболее часто встречающихся методах диагностики лазерной плазмы, в том числе, нелинейно-оптических на основе четырехволнового взаимодействия, с учетом того факта, что регистрируемая интегральная информация может быть представима в виде радоновского образа, что позволяет применить изложенные в настоящей работе методы томографической реконструкции. Приведены формулы реконструкции на базе ПХ для каждого из рассмотренных методов диагностики лазерной плазмы.
6. Проведено экспериментальное моделирование процесса томографической реконструкции с применением быстрого преобразования Хартли (БПХ). Демонстрируется зависимость качества восстанавливаемых изображений
8
от шага дискретизации регистрируемых проекционных данных (по следствию теоремы Уиттекера-Шеннона).
Структурно диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.
Глава I посвящена обзорному изложению существующего положения в области решения реконструктивных задач в томографии и, в частности, возникающих в физике плазмы. В первом параграфе приводится определение преобразования Радона (или радоновского образа) и рассматривается постановка задачи реконструктивной томографии. Во втором параграфе приводятся основные практически используемые способы получения проекционных данных посредством измерений интенсивностей начального и прошедшего через сечение объекта излучения [22, 23]. В третьем параграфе рассматриваются области применения томографических методов исследования на основе обзора наиболее характерных работ для каждой области применения и существующие подходы к их классификации. Далее, в четвертом параграфе, приведен обзор теоретических и экспериментальных работ, которые посвящены исследованию существующих возможностей решения обратной задачи Радона в физических приложениях. Там же приведены основные методы реконструкции, используемые в томографической диагностике и основанные на них алгоритмы, которые базируются на методах Фурье-синтеза и обратного проецирования, на широком классе итерационных (или алгебраических) методов, а также на прямой инверсии интеграла Радона. Особо рассмотрены методы инверсии интегрального уравнения Абеля, применяемые для реконструкции томографических изображений в объектах с осесимметричным распределением исследуемого параметра, различные подходы к решению которого прорабатывались с начала века и хорошо освещены в работах Преображенского
Н.Г. и Пикалова В.В. С учетом того, что методы инверсии уравнения Абеля особо чувствительны к погрешностям измерения проекционных данных, в обзоре приведены основные существующие методы повышения устойчивости алгоритмов на базе операций "сглаживания” экспериментальных данных
9
путем замены экспериментальной последовательности конечным рядом Фурье, методом наименьших квадратов и кубическими сплайнами.
Определение непрерывного ПХ, его основные свойства для случая одной и двух размерностей, взаимосвязь с преобразованием Фурье представлены в главе II. Там же приведены базовые свойства и соотношения, характеризующие данное преобразование и применимые в теории обработки томографических и иных изображений, которые полностью определяются свойствами специальной тригонометрической саБ-функции. Отдельно рассмотрено важное свойство псевдо-сепарабельности (или разделимости) ПХ. Приводимые соотношения, значительная часть которых получена автором работы, сопровождаются строгими математическими выводами и обоснованиями. Продемонстрированы сравнительные таблицы свойств преобразований Фурье и Хартли. Там же приведены базовые свойства и соотношения, характеризующие данное преобразование и применимые в теории обработки изображений и в томографии. С учетом того факта, что непрерывное ПХ имеет больше теоретическое значение, во второй главе рассматриваются определения и ряд свойств дискретных форм ПХ (ДПХ) для случая одной и двух размерностей, используемых для практических приложений в алгоритмах обработки экспериментальных данных. Обсуждены некоторые особенности свойств ДПХ по сравнению с аналогичными свойствами непрерывного ПХ.
В главе III представлено теоретическое обоснование методов томографической реконструкцими изображения на базе ядра ПХ - саБ-функции, а также даны соотношения, полезные при проведении последующих выводов о возможностях их использования при реконструкции томографических изображений исследуемых объектов. Продемонстрированы возможности применения следующих двухэтапных методов реконструкции двумерных томографических изображений (сечений) с применением ПХ: а) метода фильтрации т.н. "суммарного" изображения в области преобразования Хартли с последующим переходом в пространственную область; б) метода линейной фильт-
рации проекционных данных (радоновского образа) в области пространственных частот преобразования Хартли для подавления интенсивных низкочастотных составляющих проекционных данных объекта с обратным проецированием. Оба вышеотмеченных способа реконструкции отличаются последовательностью проведения операций фильтрации в частотной области ПХ и обратного проецирования. Показана взаимосвязь томографических алгоритмов с использованием ПХ с алгоритмами, основанными на интеграле свертки радоновского образа со специальной фильтрующей функцией. Обосновывается возможность использования ПХ на различных стадиях обработки и фильтрации томографического изображения. Отдельно рассмотрен случай применения ПХ для томографического исследования объектов с осесимметричным распределением изучаемой физической характеристики, что позволяет применять модифицированные соотношения на основе ПХ вместо преобразования Абеля. Для применения реконструкционных соотношений в томографии важную роль играет влияние ограничений в реальных системах регистрации и обработки данных по пространственно-частотному диапазону, что требует учета в этих соотношениях функции рассеяния точки (или иначе - аппаратной функции). В связи с этим особое внимание уделено рассмотрению задачи регуляризации формул обращения на базе ПХ для случая неточных исходных данных. Данный подход продемонстрирован на примере часто встречающейся на практике функции рассеяния точки гауссовского вида, с получением реконструирующей функции с использованием ПХ, свертка радоновского образа с которой приводит к определению истинного изображения объекта. Получено с применением ПХ выражение т.н. р-фильтра для ограниченных по пространственной частоте систем, вид которого хорошо согласуется и соотносится с результатами, полученными ранее Г.Н.Рамачандраном (О.Ы.КашасЬапбгап) и А.В.Лакшминараяном (А.У.ЬаквЬттагауап) [92].
11
В главе IV приводится обоснование возможности практического использования реконструктивных алгоритмов на базе ПХ к конкретным прикладным задачам на примере широко распространенных методов диагностики лазерной плазмы. Лазерное излучение обладает помимо прочего такими необходимыми параметрами, как направленность, высокая пространственная и временная когерентности, яркость, интенсивность, что делает его незаменимым в томографической диагностике плазменных объектов. Свойства и характер взаимодействия зондирующего объект лазерного излучения с электронной, атомной и ионной компонентами плазмы, а также взаимосвязь энергетических характеристик плазмы с регистрируемой экспериментальной (в том числе проекционной) информацией, представимой в виде преобразования Радона, позволяют применять полученные в предыдущей главе реконструк-ционные соотношения на базе ГЕХ к конкретным прикладным задачам диагностики плазмы. В данном ракурсе рассматриваются теневые и шлирен-методы, основанные на измерениях величины рефракции зондирующего луча; интерферометрический метод, в котором регистрируется интегральная величина набега фазы излучения, прошедшего через плазму; эмиссионный метод, основанный на измерении интегральной интенсивности излучения, испускаемого плазменным объектом. Здесь же приведены основные характерные соотношения, связывающие распределение показателей поглощения, эмиссии и преломления с другими характеристиками плазменного объекта (температурой, концентрациями электронов, ионов, атомов), что позволит получить возможность диагностики данных параметров плазмы на базе методов томографической реконструкции с использованием ПХ. Особое внимание уделено возможностям методик, базирующихся на нелинейно-оптическом взаимодействии плазменной среды с суперпозицией зондирующих ее лазерных волн накачки. Некоторые из данных процессов известны как четырехволновые взаимодействия (ЧВВ), сопровождающиеся генерацией сигнала ЧВВ, несущего информацию о разности населенностей активного комбина-
12
ционного перехода. Практический интерес представляет интегральный характер зависимости интенсивности сигнала ЧВВ от параметров исследуемой среды, что позволяет с помощью алгоритмов на основе ПХ реконструировать искомые распределения физических характеристик в плазменном объекте.
В главе V приводятся схематические алгоритмы обработки модельных изображений, формулируются и ставятся численные эксперименты, дающие практическое подтверждение полученным выше теоретическим результатам. Приведены алгоритмы получения модельных радоновских образов для вычислительного эксперимента. В алгоритмах реконструкции модельных томографических изображений вместо непрерывного ПХ использовано модифицированное (быстрое) преобразование Хартли (БПХ), позволяющих ускорить практическое вычисление ДПХ и обработку входного потока данных на ЭВМ. Оцениваются возможности ПХ при реконструкции проекционных данных в томографическое изображение. Подробно рассматриваются способы получения БПХ на случай одной и двух размерностей. Существуют множество различных модификаций быстрых алгоритмов вычисления комплексного дискретного преобразования Фурье (БПФ) [24, 13], которые обладают значительным преимуществом в скорости обработки данных по сравнению с дискретным ПФ. Тем не менее, вследствие своей комплексности и асимметричности БПФ принципиально уступает в скорости обработки алгоритмам БПХ [7, 15, 16, 21], которые применены при проведении вычислительного компьютерного эксперимента. В этой же главе на примере различных модельных изображений продемонстрирован процесс томографической реконструкции на ПЭВМ. Приводится сравнительная оценка восстанавливаемых изображений от шага дискретизации радоновкого образа.
В заключении сформулированы основные выводы по диссертационной работе.
Основные теоретические и экспериментальные результаты диссертации опубликованы в работах автора [25, 26, 27, 28, 29, 189, 194, 195, 196, 198], а
13
также представлялись и докладывались им на следующих международных и
всероссийских конференциях:
1. V-th International conference on laser application in life sciences «LALS-94» (Minsk, Belarus, 1994).
2. VI-th International conference on laser application in life sciences «LALS-96» (Jena, Germany, 1996).
3. XXVI International conference on nonlinear and coherent optics «IC0N098» (Moscow, 1998).
4. Международной конференции «Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах» (ИФ ДНЦ РАН, Махачкала, 1998).
5. Международной научной конференции «Достижения и современные проблемы развития науки в Дагестане» (Махачкала, 1999).
6. Всероссийской конференции «Физическая электроника» (ДГУ, Махачкала, 1999).
7. V-й Международной научно-практической конференции "Оптические методы исследования потоков" (ОМИП-99) (Москва, 1999).
8. Международной конференции «Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах» (ИФ ДНЦ РАН, Махачкала, 2000).
14
ГЛАВА І. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РЕКОНСТРУКТИВНОЙ ТОМОГРАФИИ И ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ЕЕ РЕШЕНИЯ.
§1.1. Прямая и обратная задачи Радона. Реконструктивная томография.
Рассмотрим распределение некоторой двумерной физической величины (например, плотности), которую обозначим как Дх,у), в определённой ограниченной области в неподвижной системе декартовых координат {х,у} (рис. 1.1). Для удобства изложения введём дополнительно вращающуюся вокруг центра систему координат {х'у}.
Рис. 1.1. К постановке задачи реконструктивной томографии.
I - прямая распространения излучения, й -детекторы излучения. {х,у} - неподвижная, а {х'У} - вращающаяся система координат
- Київ+380960830922