Интегрируемые системы с расширенной суперсимметрией

Оглавление
Введение 4
1 Метод ковариантной редукции. Конечномерный случай. 10
1.1 Метод ковариантной редукции в нелинейных реализациях. N—0 конформная механика.................................................................. 17
1.2 N=2,4 суперкокформные механики............................................ 21
1.2.1 N=2 супсрконформная механика..................................... 21
1.2.2 N=4 суперконформная механика..................................... 23
2 Метод ковариантной редукции для бесконечномерных и нелинейных алгебр. 26
2.1 Метод ковариантной редукции в бесконечномерном случае. N=0 уравнение Лиувилля.................................................................. 27
2.2 N=2 и N=4 уравнения Лиувилля........................................... 30
2.3 ІР'з-алгебра и цепочка Тода............................................... Зо
2.3.1 От 1і"з к И'“...................................................... 35
2.3.2 Нелинейные реализации И'з30........................................ 37
2.3.3 *1$ цепочка Тода из ............................................... 40
2.4 Уравнение Буссипеска и нелинейная реализация Иг3-алге6ры.................. 43
2.4.1 Нелинейные реализации И'/0......................................... 44
2.4.2 Уравнение Буссипеска и п[«образования Миуры ....................... 47
2.4.3 Нд симметрии уравнения Буссипеска.................................. 53
2.5 х-уравнение Буссинеска и нелинейная реализация Ид^-алгебры................ 55
2.5.1 Нелинейные реализации И^2' и ,г-уравненне Буссинеска............... 55
2.5.2 5£,(3, Я) цепочка Тода............................................. 62
3 N=2 суиер-\\'3 алгебра. 65
3.1 Суперполевая реализация N=2 супер-Из алгебры.............................. 66
3.1.1 .\г = 2 супер-іі'з алгебра в терминах N — 2 суперполей............. 66
1
3.1.2 Реализации супер-И'з в терминах свободных суперполей............ 68
3.1.3 N=2 суперсимметричное уравнение Буесинеска...................... 70
3.2 Интегрируемость N=2 суперсимметрнчного уравнения Буесинеска .... 72
3.2.1 Законы сохранения .............................................. 72
3.2.2 Пара Лахса...................................................... 75
3.2.3 Первая гамильтонова структура................................... 76
4 N=3 суперсимметричное ураппепие КдФ. 78
4.1 N=3 суперсимметричное уравнение КдФ из N=3 сунерконформиой алгебры 78
4.1.1 (Супер)уравнение КдФ и (супер)алгебра Вирасоро.................. 79
4.1.2 А' = 3 супер КдФ и Л’ = 3 суперконформная алгебра............... 81
4.2 Законы сохранения и гамильтоновы структуры для N=3 суперсиыметрич-ного уравнения КдФ......................................................... 83
4.2.1 N=3 суперсимметричное уравнение КдФ и законы сохранения. . . 83
4.2.2 Гамнльтонова структура нового N=3 сунерсиммегричного уравнения КдФ 86
5 N=2,4 суперсимметричные расширения Нелинейного Уравнения Шредин гера и N=4 уравнение КдФ. 90
5.1 N=2 суперсимметричное НУШ . . ........................................ 90
5.1.1 Минимальное N=2 супер НУШ ...................................... 90
5.2 N=2 НУШ и его связь с N=2 ураввением КдФ............................... 96
5.2.1 N = 2 0(2) супералгебра......................................... 96
5.2.2 Иерархия супер-НУШ как У = 2 фактор-пространство................ 99
5.2.3 Преобразование Бэклунда между супер-НУШ и супер-КдФ 100
5.2.4 Нары Лакса..................................................... 102
5.3 N=4 суперсиммстричпое расширение НУШ.................................. 103
5.3.1 Скрытая N = 4 суперсимметрия N = 2 $1(2) ф«(1) алгебры .... 104
5.3.2 N = 4 инвариантные Гамильтонианы и потоки.......................106
5.3.3 Обобщенная конструкция Сугавары и связь с .V = 4 КдФ............107
5.3.4 Оператор Лакса..................................................110
5.3.5 N = 2 редукции и бозонные подсистемы........................... 111
5.3.6 Еше одна ЛГ = 2 иерархия с $1(2) © и(1) структурой..............112
5.4 N=4 уравнение КдФ и его интегрируемость................................114
5.4.1 N=-1 КдФ в Ш гармоническом супсрпространствс....................114
5.4.2 N=4 КдФ в N=2 суперпространствс.................................124
2
5-4.3 'іакони сохранения в N=2 супериолевой формулировке...............132
5.5 Новые N=2 суперспмметричные иерархии................................. 137
5.5.1 Гибридная N = 2 иерархии НУШ-КдФ.................................137
5.5.2 Расширение Лг — 2 иерархии Вуссинеска............................140
5.5.3 Новая :V = 4 сунсрсимметричная система...........................141
6 N=2 супер Wj2) алгебра. 144
6.1 N=2 супер W™ алгебра в компонентах.................................... 144
6.1.1 Предварительные рассуждения......................................144
6.1.2 Л' = 2 супер-И/з2! алгебра.......................................146
6.1.3 Гибридная реализация на полях и токах............................150
6.1.4 Квантовая IV = 2 cyiiep-Wj2* алгебра.............................152
6.1.5 “Гибридная" полевая реализация.................................. 157
6.2 Супсрполевая реализация N=2 супер-алгебры............................. 158
G.2.1 Л’ = 2 супер-Мз алгебра в терминах N = 2 супертоков............. 158
6.2.2 Супсрполевая редукция к jV = 2 супер-И'з алгебре.................163
6.2.3 Обобщенное N = 2 супер уравнение Вуссинеска......................164
6.2.4 N — 2 квантовая супер-W32' алгебра в суперпространстве...........164
7 \lathematicarw пакет SOPEN2. 169
7.1 Введение ..............................................................169
7.2 Формулы для СОР....................................................... 171
7.3 Руководство для пользователей .........................................174
7.4 Примеры................................................................178
7.4.1 N = 4 суперконформная алгебра....................................178
7.4.2 Миура-подобные реализации Л' = 2 СКЛ.............................179
Заключение 182
Приложения 186
Литература 189
3
Введение
Диссертация посвящена анализу п построению интегрируемых систем с расширенной (ЛГ > 1} супсрсимметрией, выяснению их связи с бесконечномерными и нелинейными (супер)алгебрами и изучению последних. Введение начинается с краткого обзора состояния проблемы на момент написания диссертации. Затем изложены мотивировки проведенного в диссертации исследования и очерчен круг лежащих в его основе идей. В конце дано описание расположения материала по главам.
Вплоть до начала семидесятых годов число известных точно решаемых и интегрируемых, физически важных задач было невелико. Это связано с тем, что подавляющая часть уравнений движения систем по своей природе существенно нелинейна, а математический аппарат для изучения таких систем, по сути дела, включал в себя только теорию возмущений. Ситуация изменилась, когда в 1967 году Гарднером, Гринам, Кру скалом и Миурой было показано [1], что для уравнения Кортевега - де Фриза существует аналитический метод решения задачи Коши. Дальнейшее развитие этого метода, названного методом обратной задачи рассеяния, началось с работы Лакса [2], в которой был выявлен алгебраический механизм, лежащий в основе процедуры, а затем в работах Гарднера [3], Фаддеева и Захарова [4| была построена теория уравнения Кор-тевега - де Фриза, как гамильтоновой системы. В дальнейшем был обнаружен целый ряд важных нелинейных интегрируемых уравнений и разнит соответствующий математический аппарат для их решения (см., папрнмер [5)). Существенный прогресс в понимании теоретико-групповых аспектов интегрируемости был достигнут в работах Леонова и Савельева [б], показавших, что вложения погруппы 51/(2) в произвольную группу С тесно связаны с интегрируемыми нелинейными системами - обобщенными цепочками Топа.
С момента открытия суперсимметрии в пионерских работах Гольфанда и Лихт-мана [7], Волкова к Акулова [8], Весса и Зумино '9] начались многочисленные попытки построения суперсимметричных интегрируемых систем, включающих как бозонные, так и фермионные поля. Подавляющее количество извес тных интегрируемых систем -двухмерные, т.е. все ноля зависят, помимо времени I. только от одной дополнительной
\
координаты х. Поэтому, при рассмотрении суперсимметричных рассширений таких систем приходится иметь дело с двухмерной алгеброй суперсимметрии:
индексы (--}:) обозначают световые координаты в О = 2, а индекс ?' = 1,...,ЛГ нумерует число суперсимметрий (спинорные генераторы преобразуются по некоторому, обычно фундаментальному, представлению группы автоморфизмов, а сама такая су-персимметрия называется Лг-расширенной). Более того, при рассмотрении ряда уравнений (уравнения КдФ, Буссинеска и т.п.), суперсимметризации подвергается только пространственная координата, т.е. реально приходится иметь дело с одномерной суперсимметрией
Естественным языком для описания суперсимметричных теорий является язык суперпространства (10), которое получается добавлением к обычным четных» бозевским координатам нечетных антикоммутирующих г расе маковых координат. Функции на таком суперпространстве называются суперполями. При построении суперсимметричных интегрируемых систем с .V > 2, основными объектами являются /^-расширенные суперполя, г.е. функции, зависящие, кроме бозевскнх координат, от N грассыановых. Таким образом, уже для N = 2 суперсимметрик скалярное бозонное суперполе ф(х,І,0\ ,в?) содержит две бозонные компоненты в разложении по грассмановым координатам - 0-неэависящую, и компоненту при в\ ■ $?. Следовательно, бозонный сектор ЛГ = 2 суперсимметричного уравнения будет содержать систему уравнений на два бозонных поля. Поэтому, если мы хотим построить N = 2 суперсиммстричное расширепне некоторого уравнения, мы с самого начала должны добавить к нему еще одно уравнение, поскольку только система двух бозонных уравнений может допускать ЛГ = 2 суперсим-метрнзапню. Основная проблема поиска новых интегрируемых систем с расширенной суиерсимметрией состоит в том, что априори совершенно не ясно, какие же дополнительные уравнения должны возникать в бозонном секторе. Более того, оказывается что, например, известные N = 2 суперсимметричные расширения уравнения Буссинеска [65] содержат само бозонное уравнение Буссинеска только в очень специальном случае редукции, а /V = 4 суперспмметрпчное уравнение Лиувилля 34, 35] содержит в бозонном секторе, наряду с уравнением Лиувилля, Весс-Зумино-Новиков-Виттеновскую о-модель на группе $Ъ'(2) и может быть равноправно названо .'V = 4 ВЗПВ о-моделью. Необходимо также отметить, что для систем с N >2 суперсимметрией возникает еще
(В.2)
одна, весьма непростая для решения, проблема. Дело в том, что для таких суперсим-метрий простейшие суперполя являются приводимыми и на них необходимо накладывать подходящие дополнительные условия, ограничивающие зависимость суперполей от і рассмановых координат.
Все вышеизложенное с неизбежностью приводит к выводу о необходимости поиска неких новых методов построения интегрируемых систем с расширенной суперсимме-трней, базирующихся на принципиально новых идеях, которые позволили бы найти ответы хотя бы на часть, сформулированных выше, проблем. На сегодняшний лень известно три основных метола, к краткому обсуждению которых мы сейчас перейдем.
Идею исторически первого подхода [41, 42] праще всего понять на примере простейшей, точно решаемой системы - конформной механики (21). Как было показано в нашей работе [24] (см. Главу 1), уравнения конформной механики совпадают с уравнениями геодезических в фактор-пространстве одномерной конформной группы 50(1,2). Геометрические свойства фактор-пространства произвольной (супер)группы О по еб подгруппе // описываются дифференциальными формами Каргана [22]
где ^-элемент фактор-пространства, а <|юрмы в правой части разделены на принадлежащие фактор-лрострапству и подгруппе стабильности. На языке форм Картава выделение геодезических гипер-поверхностей означает занулепие подходящего набора форм Картана на фактор-пространстве
Так как формы Картана на фактор-пространстве преобразуются однородно относительно всей группы С (22], то их заиуление по построению инвариантная процедура. В случае конформной механики необходимо замулить все формы на фахтор-простраястве группы 50(1,2), кроме форм на подалгебре с одним генератором Н0 = + таХ.і-
Результирующая система уравнений, с точностью до переопределений, совпадает с уравнениями конформной механики (Глава 1). Поскольку все построение чисто геометрическое, обобщение на случай суперсимметрии практически очевидно: необходимо вместо группы 50(1,2) рассмотреть подходящие супергруппы, включающие 50(1,2) в качестве подгруппы (чтобы иметь соответствующий бозонный предел), а вместо подалгебры с одним генератором До также рассмотреть некоторую Супералгебру. Именно таким образом в работе [25], были построены уравнения Лг-расшнре»июй конформной механики.
Следует подчеркнуть три принципиально важных момента.
д~'(ід = Л6у// + о»л ,
(В-3)
(В.4)
б
Во-первых. как правило, число параметров параметризующих фактор-пространство С/Я достаточно велико. Часть уравнений (В.4) является чисто кинематическими и сводит число полей к нескольким существенным. Это явление было впервые обнаружено п работе Е. Иванова и В. Огиевецкого [11' и названо там обратным эффектом Хиггса.
Во-вторых, совершенно неожиданно оказалось, что среди уравнений (В.4), при рассмотрении фактор-пространств супергрупп, содержатся и условия неприводимости суперполей! Таким образом, мы одновременно получаем и уравнения движения и необходимые свяэп на суперполя.
И наконец, заметим, что в таком подходе построение общего решения полученных систем является чисто алгебраической процедурой (см. Главу 1).
Все это послужило основанием назвать данный подход методом копариантной редукции [41, 42], основная идея которого состоит в занулении подходящего набора форм Картаиа на фактор-пространстве, что геометрически означает выделение геодезических гимер-поверхностей. В результате коварнаптпой редукции мы получаем явно ковяриат-ные уравнения на галдстоуновсхие поля, параметризующие фактор-пространство, которые с одной стороны позволяют существенно уменьшить число независимых полей (обратный эффект Хиггса [11]), а с другой приводят к динамическим уравнениям на существенные голдстоуновские ПОЛЯ.
Однако, наиболее интересные результаты метод ковариан гной редукции дает в случае бесконечномерных (супер)алгебр и, соответственно, бесконечномерных фактор-пространств. Конечно, в этом случае приходится иметь дело с бесконечным набором голдсгоуновских (супер)полей, параметризующих фактор-пространство Сг’/Я. Как было показано в [41, 42) на примере бесконечномерной конформной группы двумерна, те же связи (В.4), что и в конечномерном случае (которых теперь бесконечно много) позволяют выразить весь бесконечный набор голдсгоуновских (супер)иолей через конечное число существенных, удовлетворяющих, в силу (В.4), уравнениям движения. В случае конформной группы двумерпя, на единственное существенное поле, днлатон, возникает уравнение Лиувилля, а в случае Аг = 1,2,3,4 суперконформных групп - Л'-суперснмметричные уравнения Лиувилля [29. 30, 34. 35. 36, 37, 38, 39, 40]. Более того, такое описание позволяет чисто алгебраически находить общие решения соответствующих уравнений, строить преобразования Бэклунда между решениями одного и того же уравнения и, например, между решениями уравнения Лиувилля и свободного уравнения, и многое другое.
В дальнейшем, метод коварнаптпой редукции был обобщен на случай нелинейных алгебр 50, 51, 52] (Глава 2), для которых не только фактор-пространство, но и подалгебра стабильности бесконечномерные. Таким образом можно построить БЦХ) -
7
цепочки 'Года и уравнение Буссинеска (для И'у алгебр), х-уравиение Буссинесха (для И'з алгебры), их суперсимметричные расширения и т.д. Итак, метод коварнантной редукции позволяет свести проблему построения новых интегрируемых (а зачастую и точно решаемых) уравнений, к, но сути дела, классификационной задаче изучения всевозможных фактор-пространств подходящих (супер)групп.
11оследние результаты в этом направлении связяны с применениями метода ковариантной редукции к описанию протяженных объектов - струн и р-бран [129, 130].
13тч>|мт подход к построению интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией, основан на удивительной связи между уравнением КдФ и алгеброй Вирасоро, установленной Жерве и Неве (76). А именно, если определить следующие скобки Пуассона для бозонного поля и(х)
(и(х), и(у)} = -<Г(х - у) + 4и(х)<5*(х - у) + 2г/(х)(5(х - у), (В.5)
которые для Фурье компонент 1,п
п=+оо
и{х) = Ч/с £ е-пг^,-1/4 (В.б)
П=-»
приводят к алгебре Вирасоро
= — т)£'п4т + ^2П(П* ~ 1)^п+т,0 I (^.7)
•го уравнение КдФ
щ = -п,и + (ти' (' = дх) (В.8)
может быть записано в виде [75]
«< = {«,//}, (В.9)
со скобками (В.5) и Гамильтонианом
Я = - ^ с£хи2 (В. 10)
(везде неявно подразумевается зависимость от времени). Это свойство называется »горой Гамильтоновой структурой уравнения КдФ. Таким способом можно построить бесконечную иерархию нелинейных уравнений, заменяя Гамильтониан II любым нетривиальным полиномиальным сохраняющимся током уравнения КдФ. Отметим, что уравнение КдФ может быть представлено в виде (В.9) со скобкой
{«(*},«(*)} = <Г (В.11)
8
и Гамильтонианом
Я<1> = !/<** [(и1)2 + 2и3] .
(В. 12)
Эта Гамильтонова структура была найдена в [3] и теперь называется первой Гамильто-вой для уравнения Кдф. Таким образом, иерархия уравнений КдФ (т.е. все уравнения, которые могут быть построены из сохраняющихся токов уравнения КдФ, рассматриваемых в качестве Гамильтошшов) тесно связана с алгеброй Вмрасоро, которая является для неё второй Гамильтоновой структурой.
После установления зтого факта, появилось много работ, в которых были рассмотрены различные суперснмметризаиин и обобщения зтого подхода па (супер)алгебры И'-тила. Соответствующие иерархии эволюционных уравнений, допускающие такие (суиер)алгсбры в качестве вторых Гамильтоновых структур были построены и проанализированы. В частности, были построены ЛГ = 1 (77, 78, 79;, N = 2 [72], N = 3 (ИЗ, 83) к Л' = 4 (85) суперсимметричные уравнения Кдф. Пск;ле того, как в работах [48,49) было показано, что классическая алгебра (с ненулевым центральным зарядом) является второй Гамильтоновой структурой для уравпепия Бусспнеска и суперполевое N = 2 суперсимметричное расширение алгебры было сформулировано в суперполях [65] (Лг = 1 суперсимметричное расширение И'з не существует, если ограничиваться конечными мультнплетами), ЛГ = 2 суперсимметричное уравнение Буссинеска было построено в рамках этого подхода (65). Однако, и для N > 2 суперу равнений КдФ, и для Л' = 2 суперсимметричного уравнения Буссинеска соответствующие Гамильтонианы содержат, в отличие от чисто бозонного случая, произвольный нараметр. Детальный анализ показал, что найденные уравнения допускают бесконечные наборы сохраняющихся токов только для трех, фиксированных значений этих параметров как для КдФ (72, 103], так и для уравнения Бусспнеска [114]. Подобным же образом были построены Л' = 2 и ЛГ = 4 суперсимметричные нелинейные уравнения Шредингера (92, 101, 102]. Тем не менее, для всех этих систем необходимо было доказать интегрируемость, что можно было сделать только явно построив соответствующие операторы Лакса.
Совокупность чисто алгебраических методов и подходов, позволяющих явно найтн операторы Лакса, и тем самым доказать интегрируемость, составляет основу третьего подхода к построению сунерсимметричных интегрируемых систем. Ключевым моментом этого подхода является паблюдеиие, что в бозонном случае алгебры связаны (на самом деле, совпадают) со второй Гамильтоновой структурой иерархий Кдф типа (12]. А именно, с аффинной алгеброй можно ассоциировать скалярный оператор Лакса п-го порядка
= дп + ип_2(2)5" ' + ... + и\ {г)д + ио(г)
(В.13)
9
где д = dfdz. Иерархия эволюционных уравнений
1г=И")+'Ч <в“>
называется обобщенной КдФ иерархией А„ | типа. Здесь индекс + означает чисто дифференциальную часть псевдо-дифференпиального оператора LkJn. Иерархия {В. 14) может быть также получена как л-редукция иерархии Кадгшцева-Петвиашвилн [13]. Напомним, что urfz) являются сохраняющимися токами спина (п- і) и генерируют Wu алгебру посредством скобок Гельфанда-Лихого [14]. Бесконечный набор сохраняющихся токов, коммутирующих между собой отн<к:ительно скобок Гельфанда-Дикого, может быть получен следующим образом
/* = |dzRcs (4/п) , (В. 15)
где вычет псенло дифференциального оператора Res' (ід") определен как коэффициент при д■*.
Таким образом, как и в предыдущих подходах, проблема построения А' суперснмме-тричных интегрируемых систем сводятся к чисто алгебраическим задачам обобщения на ^-расширенные суперпространства понятия пссвдо-диффе{>еннциальноіх> оператора, вычетов и уравнения Лакса (Б.14). Первые результаты в этом направлении были получены в [72], где было показано, что для N = 2 суперсимметричного уравнения КдФ
Ф, = _ф'" + 3(Ф0,Д,ФУ + izlp,- 3«Ф2Ф', (В.16)
(здесь D, = Oii) + dfft - снинорные ховариантные производные, Ф - скалярное бозонное А> — 2 суперноле и а-прсовволышй параметр) существуют два оператора Лакса
L = Р +Л,ФА^а + [Аа(/;,Ф)-г*з(1^Ф)]«,
- [Лй(ОіФ) + А2(£>2Ф)] />2 + М А А> Ф) + кг, Ф2 (В.17)
со следующими значениями параметров:
• Решение 1
ki = 2, *3 = -1. к-t = k.t = fcj = 0, о = -2 (В.13)
• Решение 2
fc, = -2, = 0, *3 = —*4 = -Л5 = 1, 0 = 4. (В.19)
10
Уравнения потоков имеют тот же вид» что и в бозонном случае (В. 14). N = 2 супер вычет для суперсимметричных псевдо-дифференциальных операторов вида
Л>0
А= £ (Л+ 7іА+ № + /.£>.£>*)? (В.20)
«=-<»
<иіределяется следующим образом
адл) = /_х , (В-21)
а сохраняющиеся токи задаются как
/* = |сШ91(Ю3КЄ8 (А1/я) . (В.22)
Срачу же отмстим два важных момента.
Во-первых, несмотря на то, что в работе (72) рассматривался наиболее обший .V = 2 супер-псевдо-диффе|>енииальный оператор в качестве анчапа для оператора Лакса, удалось описать только два случая (из грех известных) интегрируемости Л' = 2 уравнения КдФ (В. 16) С- параметрами а = 4 и а = -2. Ето значает, что третья иерархия интегрируемых Л' = 2 уравнений КдФ с о = 1 должна описываться совершенно иначе, с
модификацией либо определения уравнения Лакса (П. 14), либо самого оператора Лакса.
Во-вторых, оператор Лакса (В.17), для случая и = -1 (В.19), воспроизводит только половину известных законов сохранения, откуда следует, что должен существовать другой оператор Лакса, все степени которого (включая сам оператор Лакса) являются псевдо-дифференциал ышм и оиераторами (поскольку оператор Лакса (В.17) является диффе-1>енш!альным. то вычеты (В.21) всех его целых степеней равны нулю и, следовательно, законов сохранения (В.22) с к = т - п, где т-целое число, не существует).
Еще один загадочный результат был получен в нашей работе [114), где было показано, что для одного из интегрируемых N = 2 уравнений Буссинеска существуют вырожденные операторы Лакса. Эти операторы приводят к правильным уравнениям движения, но с их помощью невозможно построить законы сохранения, т.к. вычеты отих операторов и всех их степеней равны нулю!
Ясно, что такое положение вещей было крайне неудовлетворительным и на все эти вопросы требовалось найти ответы. С начала 90-х в этом направлении работало несколько групп. Две группы из Америки - А. Дас и Ж. Брунелли и группа Генрика Ара типа работали преимущественно в терминах N = 1 суперполей, в то время как группы из Европы ( Л. Бонора, С. Беллу чи и Ф. Топпан (Италия), 3. Попович (Польша), Ф. Дельдук и Л. Галло (Франция), Е. Иванов. А. Сорил, А. Пашпев п автор этой диссертации (Дубна)) предпочитали N = 2 суперполевую технику и. в большинстве случаев
И
работая в соавторстве, нашли ответы на все эти вопросы. Поскольку детальное рассмотрение утих проблем составляет часть содержания диссертации (Главы 3-5). здесь ма ограничимся только историей предмета.
В 1993 году 3. Попович показал [15]. что для N = 2 супер уравнения КдФ с параметром а = 1 также существует оператор Лакса в N = 2 суперполях, но с другим определением уравнения Лакса. В дальнейшем оказалось [16], что этот оператор допускает обобщение, являющееся оператором Лакса для N = 3 суоерсимметричного уравнения КдФ. Однако, как было установлено в [17], этот случай является исключительным и выпадает из трех семейств интегрируемых иерархии с А' = 2 1ГЯ супералгебрами в качестве вторых Гамильтоновых структур.
Псевдо-дифференциальный оператор Лахса для Дг = 2 уравнеття КдФ с а = 4, воспроизводящий все законы сохранения, был найден в работе [101]. После построения операторов Лакса для для обобщенной иерархии нелинейных уравнений Шредингера
[18], оказалось, что объединение этих двух операторов дает оператор Лакса для N = 4 уравнения КдФ [107] и его обобщений.
В работах [101, 18] было показано, что в случае вырожденных Аг = 2 суперсимме-тричных псевдо-дцфференциальных операторов Лакса существуют новые определения вычетов, позволяющие и в этих случаях находить законы сохранения.
Оператор Лакса для Л’ = 2 уравнения Бусспнеска был построен в работе [20], а его обобщения, включающие оператор Лакса для квази-АГ — 4 иерархии КдФ [104], в [18]. Наконец, общие операторы Лакса для двух семейств иерархий с ЛГ = 2 И'п супералгебрам и в качестве вторых Гамильтоновых структур, были построены в [106] и (включая матричные раеппцюния) в [18]. Операторы Лакса для третьего семейства интегрируемых иерархий, совершенно отличные от первых двух семейств, найдены в
[19]. Таким образом, к концу 90 годов в рамках этого подхода удалось описать три семейства интегрируемых N = 2 суиерсиммегричыых иерархий. Среди них оказались практически все известные интегрируемые системы, как с N = 2 суперсимметрией, так и с АГ > 2. Более того, были найдены новые системы, включая матричные, анализ которых еще далеко не закончен.
Следует подчеркнуть, что большинство из вышеупомянутых результатов, удалось получить только с интенсивным использованием вычислительной техники и соответствующих программ [115, НО].
Итак, все три рассмотренных подхода позволяют строить новые интегрируемые системы с расширенной суперсимметрией исходя из связей между свойством интегрируемости и симметрией относительно бесконечномерных (супер)алгебр.
Выше мы попытались довольно подробно проследить логику направлений, развива-
12
емых в диссертации. Перейдем теперь к обзору содержания диссертации. Основные результаты по теме диссертации содержатся в работах (16, 24, 25, 29 , 30], [34]-[45], (50, 51, 52, 57, 65, 83. 84, 92, 101, 102, 103, 107, 114, 115], [120]-[123], (129, 130]. Диссертация включает, кроме введения, семь глав, заключение, два приложения и список литературы. Все главы разбиты па разделы и начинаются с аннотаций, поэтому описание включенною в них материала здесь будет достаточно кратких».
Глава 1 посвящена формулировке основных принципов метода ковариантной редукции. В разделе 1.1 развит метод ковариантной редукции для конечномерных алгебр, который затем применяется для анализа бозонной (N=0) конформной механики. В разделе
1.2 метод ковариантной редукции обобщается на случай конечномерных супергрупп и затем применяется к построению и анализу jV = 2,4 суперконформных механик.
Во второй Главе рассмотрены нелинейные реализации (супер)конформной группы двумерна и ее простейших нелинейных обобщений - W3 к групп. В разделе 2.1, на примере обычной бозонной конформной группы показано, как применять метод ковариантной редукции к бесконечномерных» группам. В частиотн, продемонстрировано, что после наложения связей обратного эффекта Хиггса, весь бесконечный набор полей, параметризующих фактор-пространство конформной группы, выражается через единственное существенное поле теории - дилатон u(i), которое удовлетворяет либо уравнению Лиувилля, либо Свободному уравнению. В разделе 2.2 развитый метод построения инвариантных уравнений применяется к N = 2,4 суперконформным группам. Там же построены ЛГ = 2 и .V = 4 суперснмыетричные расширения уравнения Лиувилля, изучены условия неприводимости, следующие из условий ковариантной редукции, и рассмотрен вопрос построения общего решения этих уравнений. Применению метода ковариантной редукции к нелинейных» П’-алхебрам иосвяшены разделы 2.3-2.5. Подходящий выбор подгруппы стабильности, совместно с условиями ковариантной ре-духции позволяют и в этих случаях свести бесконечные наборы голдстоуновских полей к конечному числу существенных, подчиняющихся известным бозонным уравнениям к найти их суперсимметричиые рассширения.
В третьей Г лаве построена суперполевая реализация N = 2 супер-Wj алгебры и найдены её реализации на свободных суперполях (раздел 3.1). В этом же разделе построены гамильтоновы потоки на N = 2 супер-И'з алгебре и найдены обобщенные Лг = 2 иерархии Буссинеска, для которых эта алгебра является второй гамильтоновой структурой. Затем, в разделе 3.2 показано, что высшие законы сохранения существуют только для трех значений свободного параметра о = —2, —1/2,5/2 и построен оператор Лакса для случая а = -1/2. Использование .V = 2 суперполевого формализма позволяет не только существенно упростить вычисления, но и представить результаты в явно Дг = 2 супер-
13
симметричной форме.
В Главе -1 построено одно-параметрическое семейство N = 3 су перспмметри веских расширений уравнения КдФ, как Гамильтоновых потоков на Аг = 3 суперконформной алгебре и покачано, что оно не-пнтегрируемо для любого выбора свободного параметра (раздел 4.1). Затем, в разделе 4.2, предложено модифицированное N = 3 супер уравнение КдФ, которое обладает высшими чаконами сохранения и таким образом является кандидатом на интегрируемую систему. После редукции к N = 2, это уравнение сводится к интегрируемой версии .V = 2 суперсимметримного уравнения КдФ. В этом же разделе приведена Гамильтонова формулировка нового N = 3 супер уравнения КдФ, как потока на некоторой контракции прямой суммы двух АГ = 3 суперкопформных алгебр.
В пятой Главе изучаются суперсимметрнчные рассшнрения Нелинейного уравнения Шредингера (НУШ), АТ = 4 уравнение КдФ и строятся новые интегрируемые системы с У = 2 и АГ = 4 суперсимметрией. В разделе 5.1 показано, что известное АГ = 1 НУШ обладает IV = 2 суперсимметрией, и таким образом это фактически АГ = 2 НУШ. Вторая суперсимметрия скрыта в терминах, обычно используемых Дг = 1 суперполей, по становится явной после перехода к .V = 2 су периодам. В терминах новых переменных, вторая Гамильтонова структура суперсимметрического НУШ совпадает с АГ = 2 суперконформной алгеброй, а само АГ = 2 НУШ принадлежит .V = 2 а = 4 иерархии КдФ. Здесь же построен КП-подобпый, пссвдо-дифференциальный оператор Лакса в терминах АГ = 2 суперполей, который воспроизводит все законы сохранения для соответствующей иерархии.
В разделе 5.2 обсуждается связь между супер-НУШ и Л1 = 2 суперсимметрич-ным уравнением КдФ с параметром а = 4. Показано, что существует преобразование Бэклунда, которое отображает супер-НУШ во второй поток иерархии, связанной с
= 2, а = 4 уравнением КдФ.
В разделе 5.3 доказывается, что АТ = 2 расширение аффинной алгебры а1(2) © и(1) обладает скрытой глобальный У = 4 суперсимметрией и обеспечивает вторую Гамильтонову структуру для новой АГ = 4 суперс.имметрпчной интегрируемой иерархии, определенной на Лг = 2 аффинных супертоках. Эта система является Лг = 4 расширением сразу двух иерархий. N = 2 НУШ и АГ = 2 мКдФ. В этом же разделе найдена аффинная иерархия для другой интегрируемой системы, с АГ = 4 СКА в качестве второй Гамильтоновой структуры - "квази" У = Л иерархии КдФ. Она имеет только ЛГ = 2 суперсимметрию. Для обеих новых иерархий построены скалярные операторы Лакса.
В разделе 5.4 представлены результаты анализа свойств интегрируемости ДГ = 4 су-персимметри веского уравнения КдФ. Для того чтобы прояснить структуру этого уравнения и соответствующей Гамильтоновой структуры, оно сформулировано в обычном
14
N = 4 к далее в N = 2 суперпространствах. В N = 2 сунерпространствс это уравнение сводится к связанной системе уравнений движения для общего Лг = 2 суперполя и двух ки|>алм!мх и антикиралькых суперполей, к включает два независимых вещественных параметра, о и Ь. Здесь же построены первые шесть законов сохранения и показано, что они существуют тольхо для следующих выборов параметров: (4) а = 4, Ь = 0; (и) о = -2, Ь = -6; (Ш) а = -2, Ь = б.
Наконец, в разделе 5.5 построены новые N = 2 суперсимметричные интегрируемые системы, путем объединения псевдо-дифференциал ьных операторов Лакса для а = 4, Л’ = 2 КдФ и многомерной N = 2 иерархии НУШ. Как важный частный случай, получен оператор Лакса для ЛГ = 4 супер уравнения КдФ.
В Глане 6 иост{юены ЛГ = 2 суперрасширения И^21 алгебры Полякова-Бершадского с произвольным центральным зарядом, как в компонентах (раздел 6.1), так и в супер-полях (раздел 6.2). Эта супералгебра содержит, ках не пересекающиеся подалгебры, ЛГ = 2 суперконформную алгебру п п может рассматриваться как нелинейное замыкание этих двух алгебр. Представлена гибридная, включающая токи и поля, реа лизания Л’ — 2 супер-И^2* алгебры. Также рассмотрена суперполевая редукция ЛГ = 2 супер-Ид2' алгебры к Л' = 2 супер-И'з и построено семейство Л’ = 2 уравнений, для которых ЛГ = 2 супер-И']21 обеспечивает вторую Гамильтонову структуру.
В заключительной седьмой Главе описан МаНютаиса77"’ пакет для вычисления Супернолевых Операторных Разложений (СОР) в мсроморфных ЛГ = 2 суперхонформных теориях поля. Приведены два примера использования пакета: построение "маленькой” Лг = 1 суперконформной алгебры в ЛГ = 2 суперполях и нахождение реализации Л’ = 2 супсрконформной алгебры в терминах хиральных и антикиральиых фермионных суперполей.
В Приложениях приведены некоторые полезные тождества и доказана Лемма, мс пользующаяся в Г лаве 5.
В Заключении суммированы основные результаты диссертации и сформулированы открытые в ней новые направления.
15
Глава 1
Метод ковариантной редукции. Конечномерный случай.
В этой главе сформулированы основные принципы метода ковариангной редукции, состоящего в наложении подходящих ковариантных связен на 1-формы Картана. Геометрически, этот метод означает выделение определенных геодезических кривых (в бесконечномерном случае геодезических поверхностей) в фактор-пространствах соответствующих (сунер)групп. При таком подходе, координаты фактор-пространства интерпретируются как координаты пространства-времен и и поля, зависящие от них, а сами уравнения ковариантных связей естественным образом распадаются на два класса: кинематические и динамические. Роль кинематических уравнений исключить несущественные поля, выразив их через поля (и производные от них) низшей размерности (обратный эффект Хиггса [11]), в то время как динамические уравнения -»дают уравнения движения существенных нолей. Важной особенностью предложенного подхода является тот факт, что динамические уравнения оказываются эквивалентными условиям нулевой кривизны на оставшиеся формы Картана, что необходимо для построения интегрируемых систем. Таким образом, метод ковариантной редукции позволяет свести проблему построения новых уравнений, допускающих представление нулевой кривизны и тем самым являющихся кандидатами на роль интегрируемых систем, к, по сути дела, классификационной задаче изучения всевозможных фактор-пространств подходящих (супер)групп.
В разделе 1.1 мы применим метод ковариантной редукции для анализа простейшей системы бозонной (N=0) конформной механики. При этом уравнения конформной механики подучают интерпретацию па языке 1-форм Картапапа фактор-лространстве 11 = 1 конформной группы 50(1,2), подчиненных условиям ковариантной репукпин.
10