Вихревые движения вязкой жидкости в полости вращающегося тела

Оглавление
Введение.....................................................5
Глава I. Колебания пластины в вязкой жидкости...............37
§ 1. Нестационарный пограничный слой на вращающейся пластине................................................ 37
§ 2. Продольные квазигармонические колебания пластины 41
§ 3. Структура пограничных слоев..........................44
§ 4. Вектор касательных напряжений........................47
§ 5. Осцилляторные решения................................49
§ 6. Колебания вязкой несжимаемой жидкости над пористой
пластиной с учетом вдува (отсоса) среды...................52
§ 7. Движение пластины с постоянным ускорением............57
Глава 11. 1 ^установившееся движение неоднородной по температуре вязкой жидкости между вращающимися параллельными
стенками.................................................. 61
§ I. Точные решения уравнений Навье-Стокса................61
§2. Поле скоростей потока, индуцированного заданным движением пластины...........................................66
§ 3. Структура пограничных слоев..........................68
§ 4. О движении вязкой жидкости в поле градиентов температуры ...................................................71
§ 5. Колебания неоднородной по температуре вязкой жидкости во
вращающейся щели..........................................79
§6. Поле скоростей потока, индуцированного заданным движением пластин щели.......................................84
§ 7. Структура пограничных слоев и'некоторые особенности волнового движения жидкости в щели.........................86
2
Глава Ш. 1 ^установившееся движение вязкой жидкости между
вращающимися параллельными пористыми стенками................91
й 1. Постановка задачи.....................................91
§ 2. "Нормальные” колебания вязкой жидкости во вращающейся
щели при наличии внешнего потока жидкости.................93
§ 3. Неустановившееся движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками при наличии поперечного
потока....................................................95
§ 4. Неустановившиеся пограничные слои на пористых пластинах
вращающейся щели при наличии вдува (отсоса) среды 102
§ 5. Поток вязкой жидкости в щели, индуцированный затухающими гармоническими колебаниями пластин щели и вдувом
или отсосом среды........................................ 108
Глава IV. Инерционные колебания вязкой несжимаемой жидкости,
заполняющей вращающийся сосуд...............................115
$ 1. Малые колебания вязкой жидкости, полностью заполняющей
сосуд..................................................... 115
§ 2. Малые колебания вязкой жидкости, частично заполняющей
сосуд....................................................123
§ 3. Асимптотическое интегрирование уравнений Навье-
Стокса...................................................131
§ 4. Сравнение асимптотического решения с точным..........141
Глава V. Ротационные движения твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость..................................... 144
§ I. Уравнения возмущенного движения тела с полостью, содержащей вязкую жидкость ...........:.......*..............145
3
§ 2. Коэффициенты инерционных связей твердого тела с жидкостью (цилиндрическая полость).........................155
§ 3. Колебания вязкой несжимаемой жидкости в полости вращающегося мела........................................... 162
§ 4. Момент сил внутреннего трения в жидкопанолнепном гироскопе.................................................. 169
§ 5. Устойчивость жидконаполненного гироскопа............ 175
Г лава VI. Ротационные движения тела с полостью, содержащей
жидкость со свободной поверхностью..........................187
§ 1. Постановка задачи.................................... 187
§ 2. Теория длинных волн в задаче о ротационном движении тела
с полостью, частично заполненной идеальной жидкостью 191
§ 3. Уравнения движения твердого тела с полостью, снабженной
демпферами колебаний жидкости.............................201
ÿ 4. Устойчивость волчка, содержащего жидкость со свободной
поверхностью..............................................21 1
Глава VII. Моделирование фильтрационных процессов в роторных
системах...................................................221
S I. Моменты сопротивления па валу барабана...............223
§ 2. Регрессионный анализ тормозных характеристик вращающегося барабана.........................................227
$ 3. Математическая модель процесса обезвоживания.........236
ÿ 4. Экспериментальное исследование процесса фильтрации .. 244
Заключение..................................................255
Литература..........................*......'................259
я
Введение
Задачи колебаний ограниченного объема жидкости возникли как задачи теории стоячих волн еще в XIX веке. Их исследование было начато Стоксом [1] (1842-1847), продолжено Гельмгольцем [2] (1860), Ламбом [3] (1873), а также Нейманом [4] (1883), который изучал движение твердых тел в жидкости. Общая постановка задачи динамики твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость, была поставлена Н.Е.Жуков-ским [5] (1885). Было доказано, что потенциальное движение жидкости в полости определяется движением тела, а само движение тела совершается так, как если бы жидкость была заменена эквивалентным твердым телом. При этом для определения движения жидкости в полости необходимо решить некоторые стационарные краевые задачи, зависящие лишь от формы полости. Решения этих задач (потенциалы Жуковского) позволяют найти для данной полости компоненты тензора присоединенных масс. Движение тела с полостью, содержащей идеальную жидкость при потенциальном движении, оказывается эквивалентным движению твердого тела, тензор инерции которого складывается из тензора инерции исходного твердого тела и тензора присоединенных масс для данной полости.
Таким образом, задача динамики тела с жидкостью разбивается на две части.
Первая часть задачи, зависящая только рт геометрии полости, сводится к решению краевых задач и к расчету тензора присоединенных масс. Вторая часть задачи — это обычная задача
динамики твердого тела, сводящаяся к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Анализ задачи обнаружил целый ряд трудностей, делавших бесперспективными попытки получить численные результаты аналитическими методами. Поэтому после первых успехов теория колебаний жидкости почти перестала развиваться, тем более, что непосредственных технических приложений у этой теории долгое время не было.
Дальнейшее продвижение этой теории связано с проблемой сейш. Внимание исследователей привлекли удивительные явления, названные сейшами. Вода в больших озерах совершает периодические движения, похожие на приливы и отливы в океане. Но объяснить эти явления с точки зрения приливов и отливов оказалось невозможным, т.к. сейши в каждом из озер имели свой собственный период. Только в XX веке стала ясной связь явления сейш с теорией стоячих волн. Развитие эффективных методов расчета периодов сейш внутри таких сложных водоемов, какими являются озера и мелководные моря, оказалось возможным благодаря использованию различных упрощающих предположений (например, “теория мелкой воды"). Одновременно с использованием этих упрощений начинается развитие различных методов численного анализа.
Следует отметить, что задачи механики сплошных сред и
гидродинамики всегда служили стимулом развития новых
направлений математики и математической физики. Иллюстрацией
♦
к сказанному может служить поток новых идей в теории нелинейных дифференциальных уравнений, а также установление
поразительных связей между, казалось бы, различными отраслями математики, что последовало за изучением уравнения Кортевега -де Фриза для волн на мелкой воде.
Оказалось, что эти задачи, обладающие большим теоретическим содержанием возникающих здесь проблем, очень важны с практической стороны. Так, задачи теории колебаний жидкости привлекают внимание инженеров-гидростроителей и специалистов по строительству портовых сооружений. Подобные задачи возникают в связи с изучением сейсмостойкости различных резервуаров для хранения жидкости. Аналогичные задачи возникаю!' в теории движения корабля, подводной лодки, самолета.
Интерес к исследованиям в этой области заметно усилился в связи с развитием ракетной и космической техники. Большое количество жидкого топлива, имеющегося на борту ракет, спутников и космических кораблей, в ряде случаев может оказывать существенное влияние на движение этих летательных аппаратов.
Кроме того, изучение динамики волновых движений различных жидкостей связано с проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, а также с проблемами изучения и охраны окружающей среды.
Так, например, задачи динамики вращающихся тел с полостями, содержащими жидкость, находят свое применение при изучении динамики космических аппаратов, которые для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания
9
искусственной силы тяжести и других целей равномерно закручиваются на орбите вокруг некоторой оси. Эти задачи
актуальны также при проектировании быстровращающихся роторов, центрифуг, гироскопов, имеющих внутри себя полости, заполненные жидкостью. Наконец, поведение жидкости в условиях невесомости или малой гравитации будет влиять на поведение космического корабля и т.п.
Таким образом, рассматриваемые в работе задачи имеют несомненное прикладное значение.
Одновременно с изучением задачи о движении тела с полостью, содержащей жидкость, встала проблема устойчивости такого движения. Так, в опытах Кельвина [6] было установлено, что вращение волчка будет устойчиво, если полость сжата в направлении оси вращения, и неустойчиво, если волчок имеет слегка вытянутую форму. Теоретическое исследование этой задачи проводилось в работах Гринхилла [7], Хафа [8], Пуанкаре [9] и других. Авторы этих работ рассматривали движение твердого тела с полостью эллипсоидальной формы, заполненной идеальной жидкостью. Жидкость совершала движение специального вида (однородные вихревые движения).
Хаф [8] исследовал характеристическое уравнение для малых колебаний твердого тела с жидкостью вблизи равномерного вращения, при этом полостью являлся эллипсоид, а жидкость внутри полости идеальна и совершала однородное вихревое движение.
С.Л.Соболев [10] рассмотрел движение тяжелого симметричного волчка с полостью, содержащей идеальную жидкость. Уравнения движения линеаризовались около равномерного вращения волчка. С.Л.Соболев установил некоторые
общие свойства движения, в частности, некоторые условия устойчивости. В [10] были рассмотрены два частных случая полостей: эллипсоид вращения и круговой цилиндр. Та же задача была рассмотрена другим методом в работе А.Ю.Ишлинского и М.Е.Темченко [11]. Экспериментальные исследования этой задачи представлены в [12]. В работе Стюартсона [13] исследована устойчивость тяжелого волчка с полостью в виде цилиндра, содержащего жидкость со свободной поверхностью.
Исследование уравнений движения вращающейся жидкости показало (Пуанкаре [9]), что эти уравнения обладают рядом специфических особенностей, отличающих их от обычных уравнений математической физики. Различные математические вопросы, связанные с уравнениями вращающейся жидкости, рассматривались в работах Р.А.Александряна [14], С.Г.Крейна [15] и других авторов.
В большом количестве работ, посвященных этой тематике, можно выделить три основных направления:
• исследование линеаризованных уравнений движения, применение методов теории малых колебаний и спектральной теории операторов; этот способ использован в ряде перечисленных выше работ, а также во многих других;
• исследование полных нелинейных уравнений движения, основанное на применении и развитии второго метода Ляпунова;
• экспериментальные исследования.
Наибольшее число работ посвящено. различным аспектам линейной теории. Прежде всего, следует выделить вопросы малых колебаний около положения равновесия твердого тела с идеальной
жидкостью. Именно этот наиболее простой раздел нашел широкое практическое применение. Здесь до конца выяснены вопросы, возникающие в связи с разрешимостью соответствующих математических задач, определена структура спектра, доказана разрешимость задач Коши и т.п. Выяснен целый ряд механических особенностей колебаний тела с жидкостью. Например, установлено, что для устойчивости колебаний такой системы необходима и достаточна устойчивость некоторого твердого тела. Получил развитие и вычислительный аспект этой теории. Доведено до уровня стандартных программ решение многих задач теории колебаний.
Более сложным является случай, когда жидкость подвержена действию сил поверхностного натяжения. Эти силы существенно влияют на равновесие и движение жидкости в случае, когда массовые силы малы, что имеет место в условиях, близких к условиям невесомости. Поэтому задачи динамики жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения, представляют прикладной интерес в некоторых задачах космической техники. В работе [28] и в [68-75] рассмотрены задачи равновесия и движения жидкости в сосудах при наличии сил поверхностного натяжения. В частности, колебания идеальной жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения, рассматривались в [70], колебания вязкой жидкости - в [75]. В работе [71] изучалась динамика твердого тела с полостью, наполненной идеальной жидкостью с пузырем воздуха. Методом Шварца показано, что движение такой системы может быть описано обыкновенными дифференциальными уравнениями. Чисто математические вопросы
теории малых колебаний не представляют особой сложности: задачу удается свести к операторному уравнению с вполне непрерывным самосопряженным оператором. Однако вычислительный аспект теории разработан слабо. По второму из указанных направлений следует отметить работу Н.Г.Четаева [16], работы В.В.Румянцева [17-24], Г.К.Пожарицкого [25,26], Н.Н.Колесни-кова[27] и другие. В этих работах получен ряд результатов об устойчивости движения твердого тела с полостями, полностью или частично заполненными жидкостью. Рассматривался как случай идеальной, так и случай вязкой жидкости, а также влияние сил поверхностного натяжения (см. [24]). Следует отметить, что
B.В.Румянцевым были получены достаточные условия устойчивости движения тяжелого твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. Эти условия согласуются с результатами
C.Л.Соболева [10]. А именно, при вращении свободного твердого тела с жидкостью вокруг его центра инерции для устойчивости движения достаточно, чтобы ось вращения была осью наибольшего центрального момента инерции всей системы [28]. Этот результат дополняет теорему Жуковского Н.Е. [5].
При постановке задачи об устойчивости движения твердого тела с жидкостью, представляющих систему с бесконечным числом степеней свободы, принципиальным является вопрос об определении понятия устойчивости. Предложено три основных подхода к исследованию устойчивости в нелинейной постановке задачи. Если движение жидкости в полости характеризуется конечным числом переменных, то задача устойчивости приводится к задаче устойчивости по Ляпунову для систем с конечным числом
степеней свободы.
Если же состояние системы описывается бесконечным числом переменных, то задачу об устойчивости движения необходимо поставить по отношению к конечному числу переменных при введении некоторых величин, интегральным образом характеризующих движение жидкости. При этом таюке возможно применение метода функций Ляпунова.
Третий подход связан с идеями Ляпунова в теории фигур равновесия вращающейся жидкости и приводит к обобщению теорем Лагранжа и Рауса. При этом задача устойчивости равновесия или стационарного движения приводится к задаче минимума некоторого функционала.
Большое число работ посвящено динамике твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость со свободной поверхностью. Эти задачи имеют важное значение для приложений. Кроме вопросов устойчивости, здесь интересно изучение совместных колебаний жидкости и тела с жидкостью, а также разработка эффективных численных методов расчета движения таких систем. Эти задачи рассматривались, главным образом, в линейной постановке. Общая задача о колебаниях тела с полостью, частично наполненной идеальной жидкостью, исследовалась в ряде работ H.H.Моисеева [29-32], Д.Е.Охоцим-ского [33], Г.С.Нариманова [34], Б.И.Рабиновича [35], С.Г.Крейна и Н.Н.Моисеева [36] и других.
Оказалось, что для описания малыхч колебаний тела с
I
полостью, содержащей тяжелую идеальную жидкость со свободной поверхностью, требуется, кроме потенциалов Жуковского, решить
еще задачу на собственные значения. Эта задача, зависящая только от формы полости, представляет собой задачу о собственных колебаниях жидкости в неподвижном сосуде. Определив потенциалы Жуковского и собственные колебания жидкости, можно найти коэффициенты, характеризующие взаимное влияние тела и жидкости в полости при колебаниях. Движение всей системы может быть описано счетным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых определяются указанным выше образом. Задача и здесь разбивается на две части.
Первая часть задачи, зависящая от геометрии полости, сводится к решению некоторых краевых задач и задач на собственные значения для линейных уравнений с частными производными, а затем к расчету гидродинамических коэффициентов. Эта задача может быть решена аналитически лишь для небольшого числа форм полостей. В случае сложных форм полостей для ее решения применяются различные численные и приближенные методы. Этим вопросам посвящено большое число работ. Например, сборник статей [37], работы [38], [39].
Вторая часть задачи при изучении колебаний тела с полостью, содержащей идеальную жидкость, - это исследование и решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В задачах практики обычно можно ограничиться учетом лишь нескольких главных форм колебаний жидкости, поэтому число уравнений, соответствующих жидкости, оказывается небольшим. Эта задача
9
может решаться численно.
В случае, когда колебания жидкости в сосуде нельзя считать
малыми, задача становится нелинейной. Некоторые нелинейные задачи о движении жидкости со свободной поверхностью внутри полости твердого тела рассматривались в работах [40,41].
Третье из указанных направлений связано с экспериментальными исследованиями. В работе [42] исследованы свободные колебания жидкости в сосуде, при этом измерено влияние вязкости и поверхностного натяжения на колебания. В [43] изучаются экспериментально колебания тела с жидкостью.
Задачи динамики твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость, значительно сложнее, чем в случае идеальной жидкости. Этим задачам посвящено меньшее число работ. Задачи рассматриваются, главным образом, в линейной постановке. В этих работах, в основном, рассматриваются либо вопросы устойчивости, либо изучаются частные случаи движения тел с полостями специального вида.
В работе Б.Н.Румянцева [46] рассмотрены задачи о движении тела с полостью, содержащей вязкую жидкость при малых числах Рейнольдса. Некоторые приближенные решения задач о движении вязкой жидкости во вращающейся полости содержатся в [3] и [45].
В случае больших чисел Рейнольдса (малая вязкость жидкости) надежным методом решения уравнений гидродинамики является метод пограничного слоя [47,48]. Математическое обоснование этого метода для некоторых линейных краевых задач было дано М.И.Вишиком и Л.А.Люстерником [49]. Н.Н.Моисеев предложил вариант метода пограничного слоя для исследования
I
малых колебаний вязкой жидкости [50], который был использован П.С.Краснощековым [51] в задаче о малых плоских колебаниях
маятника с осесимметричной полостью, заполненной маловязкой жидкостью. Применение метода, изложенного в [50], к различным задачам о колебаниях вязкой жидкости со свободной поверхностью реализовано в работах [53], [54], [55].
Некоторые общие теоремы о свойствах собственных колебаний тяжелой вязкой жидкости в полости твердого тела установлены С.Г.Крейном [58] методами функционального анализа. О.Б.Иевлева [59,60] рассмотрела некоторые задачи о движении твердого тела со сферической полостью, заполненной вязкой жидкостью. Решения в этом случае удалось выразить через обобщенные сферические; функции.
Особое решение системы уравнений для стационарных осесимметричных автомодельных движений вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса рассмотрено Ю.Л.Яки-мовым в [202]. Решение качественно описывает смерчи и другие аналогичные природные явления, в которых закрученность потока и вязкость являются наиболее характерными свойствами.
В работе [212] рассмотрена задача о нелинейном динамическом поведении жидкости в сосуде цилиндрической формы, совершающем угловые гармонические колебания вокруг центра масс системы. Исследованы стационарные режимы резонансных, в том числе пространственных волновых форм движений свободной поверхности жидкости.
Численное моделирование ламинарных закрученных течений
вязкой несжимаемой жидкости в осесимметричных каналах
#
произвольной формы рассмотрено в [216]. Уравнения Навье-Стокса записаны в произвольной криволинейной системе координат в
универсальном виде, пригодном для описания как плоского, так и осесимметричного случая при наличии закрутки потока.
Результаты экспериментального исследования структуры течения первоначально вращающегося столба жидкости, после того как через него было пробуксовано тело в направлении, параллельном оси вращения, представлены в [197]. Установлено, что общим качественным результатом такого воздействия на вращающуюся жидкость является образование в ней системы циклонических и антициклонических вихрей с колебательным характером движения жидкости в них.
Ряд работ, посвященных движению вязкой жидкости в полости вращающихся твердых тел, принадлежит исследователям из разных стран. Следует отметить работы Стюартсона и Робертса [61], Гринспена и Ховарда [62], Гринспена [63,64], Стюартсона [65] и другие. В этих работах движение тел предлагается заданным. Рассматривается либо равномерное движение (работы [62-65]), либо регулярная прецессия [61]. В этих работах широко применяется метод пограничного слоя (метод двухмасштабного разложения). В работе [63] отмечается совпадение результатов расчетов по методу пограничного слоя с данными экспериментов. Наиболее общие результаты по методу асимптотического интегрирования получены Ф.Л.Черноусько [67].
В [192] рассмотрена динамика вихря в' идеальной несжимаемой жидкости. Изучен сход вихря с острой кромки и след в виде вихревой дорожки. Линейная модель, экмановского слоя, устанавливающая связь скорости течения с циркуляцией вихря, представлена в [184]. Показано, что при малых числах Экмана
(отношение толщины экмановского слоя к радиусу трубы отсоса жидкости) радиус вихря близок к радиусу трубы отсоса и не зависит от чисел Экмана и Рейнольдса.
В работе [207] решается задача о течении вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными вращающимися дисками. Рассмотрены три случая: 1) бесконечные диски вращаются со слегка различными скоростями; 2) бесконечные диски вращаются с одной и той же скоростью, но имеется просачивание жидкости через один из них; 3) конечные диски с боковой кольцевой стенкой, скорость которой мало отличается от скорости дисков. Результаты получены для уравнений Навье-Стокса, линеаризованных относительно состояния равномерного вращения.
Результаты теоретического исследования неустановившихся колебаний жидкого топлива КА в условиях невесомости приведены в [218]. Колебания поверхности раздела между паром и жидкостью обусловлены центробежными силами, силами поверхностного натяжения и отклонениями ускорения свободного падения от номинала. Скорость течения жидкости во вращающемся сосуде рассчитана путем решения начально-краевой задачи для уравнений Навье-Стокса, записанных с учетом вращения сосуда. На стенках заданы условия непроницаемости. Алгоритм численного интегрирования, основанный на применении преобразования Фурье, программно реализован на ЭВМ.
Установлены условия возникновения незатухающих бегущих
волн на свободной поверхности жидкости.
»
Следует отметить возросший интерес к задачам динамики стратифицированных жидкостей. Даже в рамках линейных моделей
' 17
их математические постановки весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам [243]. Стратификация плотности, как показывают экспериментальные наблюдения, оказывает наиболее существенное влияние по сравнению с другими видами стратификации на динамические свойства жидкости, на процессы распространения в ней волновых движений.
Приведенный выше краткий обзор по динамике тел с полостями, содержащими жидкость, не претендует на полноту. Например, в нем не упоминаются работы, посвященные колебаниям жидкости в полости с упругими стенками. Более полные обзоры, а также обширная библиография имеется в работах [28, 37, 39] и в обзорных статьях [21,44, 66].
Из приведенного обзора видно, что для задачи о движении твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость, разработана как общая теория, так и эффективные методы расчета. Это относится к случаю потенциального движения жидкости, которая либо целиком заполняет полость, либо имеет свободную поверхность, но совершает малые колебания.
Вопросы движения тел с полостями, содержащими вязкую жидкость, изучены значительно меньше, хотя они представляют интерес, например, в динамике космических и других летательных аппаратов, при расчетах движения аппаратов относительно центра масс, в задачах стабилизации и управления подобными объектами. Например, представляет интерес учет демпфирующего действия, оказываемого вязкой жидкостью в полости на движение твердого тела. Влияние вязкости жидкости оказывается довольно тонким: она может приводить как к стабилизации движения твердого тела,
так и, наоборот, к потере им устойчивости.
Конечно, для детального описания широкого круга физических явлений, связанных с динамикой тел, наполненных вязкой жидкостью, необходимо исходить из достаточно развитых математических моделей, которые, как правило, оказываются весьма сложными, нелинейными, многопараметрическими, и для их полного исследования эффективны лишь численные методы, основанные на использовании современных электронно-вычислительных машин. При таком подходе потребуется, параллельно с интегрированием уравнений движения твердого тела, решать краевую задачу для уравнений Навье-Стокса, описывающих движение жидкости. Такой путь решения чрезвычайно трудоемок и едва ли осуществим. Кроме того, с прикладной точки зрения наибольший интерес представляют не детали движения жидкости в полости, а интегральные характеристики ее движения и влияние жидкости на динамику твердого тела. Поэтому представляет интерес разработка эффективных методов анализа и расчета движения тела с жидкостью.
В данной диссертации развивается универсальный метод
декомпозиции по базовым типам движения и взаимодействия,
который может быть формально выражен в виде разложения задачи
динамики твердого тела с полостью, содержащей жидкость, на две
части. Разработка такого метода является важным и актуальным
делом. При этом, с одной стороны, выясняется общность
теоретических принципов, которые используются при его
#
построении, с другой стороны, появляется возможность эффективного решения сложных задач, возникающих в различных
областях. Кроме того, в диссертации важное место занимает последовательный учет возможной неоднородности жидкости по температуре, что приводит к появлению теплового скольжения вдоль границы двух фаз (жидкой и твердой). Это в определенной степени учитывает реальную физическую картину, усложняет математическую сторону задачи и важно в практических приложениях.
Таким образом, решение задач динамики тела с жидкостью в рассмотренных случаях разбивается на две части, которые могут выполняться независимо. Первая, гидродинамическая, часть задачи сводится к решению некоторых стационарных краевых задач, зависящих от геометрии полости и не зависящих от движения тела, и затем к расчету коэффициентов, характеризующих влияние жидкости на движение тела. Вторая, динамическая, часть задачи сводится к решению уравнений движения тела. Такое разбиение позволяет существенно упростить исходную задачу. Ход решения оказывается подобным тому, который имеет место для идеальной жидкости. Указанный подход эффективно применен для важного класса движений тела с жидкостью (вращательные движения). Декомпозиция исходной задачи на две части позволила использовать для каждой из них эффективные методы решения. Для подзадачи о движении жидкости в полости вращающегося тела в качестве таких методов использованы: метод пограничного слоя, метод теории возмущений, метод конечых элементов, теория длинных волн, метод интегральных преобразований и т.п.
Для подзадачи о движении тела использованы: метод редуцирования к конечной системе дифференциальных уравнений,
20
аналитические методы и численные методы решения.
В работе развит универсальный метод учета вязкости для различных классов движений твердого тела с вязкой жидкостью. С использованием этого метода выведены уравнения движения тела, содержащего вязкую жидкость.
Полученные результаты могут служить для анализа и расчета различных конкретных задач динамики твердых тел с полостями, содержащими жидкость.
Изложим краткое содержание работы.
Первые три главы ;посвящены изучению развития течения вязкой несжимаемой жидкости на поверхностях, имеющих плоскую геометрию.
Так, в первой главе рассматриваются колебания пластины в вязкой жидкости. В § 1 приводится точное решение начальнокраевой задачи для неустановившегося потока вязкой жидкости, индуцированного продольными колебаниями плоской стенки, вращающейся вместе с жидкостью с постоянной угловой скоростью. Жидкость заполняет полупространство, ограниченное стенкой.. V
С помощью специальных подстановок система уравнений Навье-Стокса, описывающая развитие течения жидкости, "расщепляется" на две подсистемы, одна из которых служит для определения поля скоростей потока, другая - для определения давления. В этом же параграфе определяется вектор касательных напряжений, действующий со стороны жидкости на стенку. Показывается, что в отсутствие вращения результат совпадает с известным [45].
*' 21
В § 2 настоящей главы исследуются продольные квазигар-монические колебания пластины в вязкой жидкости. Показано, что в этом случае поле скоростей и вектор касательных напряжений выражаются через специальные функции. В § 3 изучается структура пограничных слоев, примыкающих к пластине. При этом поле скоростей потока представляет суперпозицию двух волн с волновыми числами и частотой со, которые распространяются
вдоль оси Оу навстречу друг другу и экспоненциально затухают на расстояниях порядка 8у соответственно. Отмечен резонансный
случай, когда частота колебаний пластины совпадает с удвоенной частотой вращения системы стенка плюс жидкость. В этом случае волна, набегающая на пластину, отсутствует, хотя решение затухает вглубь жидкости, если только коэффициент затухания а*0. Если же а = 0, то решение становится непригодным, т.к. толщина одного из пограничных слоев неограниченно возрастает. Подобный эффект обсуждался в [128], где было отмечено отсут-. ствие колебательного решения при со = 20.
Важный вывод состоит в том, что затухание обеспечивает "нужное" решение и играет в определенном смысле ту же роль, что и отсос жидкости с поверхности пористой стенки, рассмотренный в [132].
В § 5 настоящей главы рассматривается важный случай, когда скорость продольных колебаний пластинки зависит от времени посредством множителя ехр(^/)> гДе комплексное число. В
этом случае вместо системы уравнений в частных производных
получается система обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение этой системы существует при \ * ±2/(з0,5у); пограничный
слой на пластине имеет структуру слоя Стокса.
В резонансном случае \ = ±и(<Ъ0,ёу) поле скоростей носит
колебательный характер, но, оставаясь ограниченным, не стремится к нулю при у ->оо, т.е. решение не удовлетворяет граничным
условиям на оо.
В § 6 задача о колебаниях пластины в вязкой жидкости
обобщается на случай пористой стенки при наличии вдува (отсоса)
среды, который производится по нормали к поверхности пластины.
С помощью специального вида подстановок система уравнений
Навье-Стокса приводится к уравнениям параболического типа,
которые решаются методом преобразования по Лапласу. Неустано-
вившееся поле скоростей вязкого потока выражается посредством
специальных функций.
В заключительном параграфе первой главы рассмотрен
важный для приложений случай движения пластины с постоянным
ускорением. В конечном виде получена формула для поля
скоростей вязкой жидкости, окружающей движущуюся пластину.
Вторая глава посвящена изучению развития течения вязкой
несжимаемой жидкости между вращающимися параллельными
стенками. Жидкость вместе с ограничивающими ее стенками
вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью.
Неустановившееся движение жидкости реализуется под действием
внезапно начинающихся продольных колебаний стенок. Стенки
составляют произвольный угол с осью вращения.
В § 1 рассматривается случай, когда одна из стенок
»
неподвижна в относительном движении, а другая совершает продольные колебания со скоростью и{(). Выбор определенного
23
типа решений позволяет расщепить систему уравнений, описывающих неустановившееся движение вязкой жидкости, на две подсистемы, одна из которых служит для определения поля скоростей, а другая- для определения поля давлений внутри жидкости. Кроме того, специальная подстановка убирает' роторный член из уравнений и приводит систему уравнений к уравнению типа теплопроводности, что дает возможность получить решение в виде суммы бесконечного ряда. В § 2 изучаются поля скоростей потока вязкой жидкости, индуцированные квазигармоническими колебаниями стенки. Показано, что в частном случае гармонических колебаний и предположении о перпендикулярности оси вращения плоскости стенки результаты исследования совпадают с [128]. Кроме того, показано, что при / ~»со (неподвижная стенка удаляется на бесконечность) поле скоростей переходит в соответствующее поле для полупространства [134].
В § 3 изучается структура пограничных слоев, примыкающих к стенкам. При /-^оо поле скоростей вязкой жидкости представляет суперпозицию волн, распространяющихся по оси у
навстречу друг другу и экспоненциально затухающих на расстояниях 8. соответственно. При этом решение равномерно
пригодно во всей области как в нерезонансном, так и в резонансном
случаях (о) = 2£}). Далее во второй главе рассматривается
неустановившееся движение вязкой жидкости между
вращающимися параллельными стенками с учетом теплового
скольжения вдоль одной из них. Эффект теплового скольжения газа
%
вдоль неоднородно нагретой поверхности известен достаточно давно^ и широко представлен в многочисленных публикациях
24
[138-141], [146-153]. Результаты теоретических исследований и экспериментальные разработки показали, что скорость теплового скольжения в неоднородных по температуре полях пропорциональна градиенту температуры, причем коэффициент пропорциональности зависит от взаимодействия газовых молекул с молекулами твердого тела поверхности. Позднее эффекты теплового скольжения были обнаружены в неоднородных по температуре жидкостях [142-144]. Кроме того, в экспериментах Макнаба и Мейсона [145] для крупных латексных частиц в различных жидкостях было установлено, что эффект теплового скольжения имеет' место и в жидкостях, если на поверхности твердого тела, контактирующего с жидкостью, поддерживается градиент температуры. Формула для скорости теплового скольжения в жидкой среде остается той же, что и в случае газа, но коэффициент теплового скольжения для различных жидкостей оказался постоянным и равным 0,13. При одном и том же градиенте температуры на поверхности стенки скорость теплового скольжения газа на два порядка больше скорости теплового скольжения для жидкостей. Однако в сильных температурных полях (УГ ~ 105 град/см) скорость теплового скольжения жидкости вдоль равномерно нагретой поверхности будет составлять заметную величину. Полная система уравнений, описывающая возмущенное движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками, включает граничные условия на стенках. Для одной из пластин, которая в момент / >0 начинает колебаться со скоростью м(/), граничным условием является условие
прилиоания. Другая пластина покоится в относительном движении,
25
но на нее подается температурный градиент. Вследствие температурной неоднородности на стенке возникает слой Кнудсена. В этом слое среда начинает скользить со скоростью Ут,
причем эта скорость будет иметь такое значение, что суммарный поток импульса через поверхность стенки будет равен нулю. Поэтому в качестве граничного условия необходимо задать значение скорости среды на внешней границе слоя Кнудсена, но т.к. толщина слоя Кнудсена мала, то значение скорости скольжения можно снести на поверхность стенки. С помощью подстановок § 1 настоящей главы система уравнений, описывающая развитие течения вязкой жидкости между двумя параллельными стенками, приводится к неоднородной системе дифференциальных уравнений, решение которой получается в виде разложения в ряд по собственным функциям начально-краевой задачи. В конце главы рассмотрены соотношения между параметрами движения пластины и скоростью скольжения вязкой среды.
В третьей главе изучается нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости между вращающимися параллельными пористыми стенками, через которые производится вдув или отсос среды. Задача рассматривается в полной постановке. В начале третьей главы рассматривается задача о развитии течения вязкой жидкости между параллельными стенками при наличии внешнего потока такой же жидкости, который с постоянной скоростью проникает по нормали к пористой пластине 0,1 внутрь щели и налагается на внутренний поток жидкости. Рассматриваются
I
"нормальные" колебания вязкой жидкости, когда поле скоростей жидкости и скорости продольных колебаний пластин зависят от