Оглавление
Введение 4
1 Дифференциальная формулировка задачи нескольких частиц 9
1.1 Кинематика системы трех тел...................................... 9
1.2 Модельное описание тримера гелия................................ 11
1.3 Редукция уравнений.............................................. 14
1.4 Представление оператора Фаддеева в декартовых и гиперсфериче-
ских координатах ............................................... 17
2 Численные методы решения уравнений Фаддеева 21
2.1 Обзор методов дискретизации оператора Фаддеева.................. 21
2.2 Метод ортогональных коллокаций и дискретизация оператора Фад-
деева........................................................... 28
2.3 Метод Арнольди для дискретизованного оператора.................. 34
2.4 Ускорение сходимости и тензорная факторизация................... 41
2.5 Модификации уравнений для исследования систем с короткодействующим отталкиванием............................................... 53
3 Расчеты тримера гелия 62
3.1 Вычисление волновой функции, функции плотности и средних значений наблюдаемых.................................................... 62
3.2 Потенциальные модели взаимодействия атомов гелия................ 67
3.3 Свойства связанных состояний тримера гелия...................... 70
2
Заключение Приложения Список таблиц Список рисунков Список литературы
Введение
Основным объектом исследования настоящей работы являются небольшие кластеры атомов гелия - связанные состояния Не2 и Нез. Количество работ, посвященных таким кластерам, быстро растет в последние годы. Этот интерес стимулируется несколькими обстоятельствами. Сделанные в начале 80-х годов |1) предсказания существования кластеров Не2 получили в начале 90-х годов экспериментальное подтверждение [2, 3] в наблюдении кластеров Не2 и Ые3 независимыми группами. С другой стороны, наметился существенный прогресс в создании построенных на основе первопринципов потенциалов межатомного взаимодействия [4, 5). Оценка точности теоретического описания взаимодействия атомов гелия на сегодняшний день столь высока, что было предложено использовать теоретические результаты для калибровки экспериментального оборудования (С]. Таким образом, в настоящий момент теоретическое исследование малых гелиевых кластеров представляется наиболее точным методом исследования этих объектов. Для физики нескольких тел кластеры гелия представляют собой уникапъный пример системы, особенности взаимодействия в которой (большая длина рассеяния, исключительно малая энергия связи в двухчастичной системе) позволяют рассматривать кластер Не3 (тример) с точки зрения наблюдения в нем эффекта Ефимова |7. 8, 9, 10].
В технике исследования квантовых состояний нескольких частиц в последние годы также наблюдается существенный прогресс. В значительной мере он связан с развитием техники численного решения уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве. На сегодняшний день уравнения Фаддеева в конфи-
4
гу рацион ном пространстве нашли широкое применение в исследовании систем нескольких нуклонов, в моделировании многих атомных ядер, ядерных реакций, в исследовании систем заряженных частиц. Основой широты и успешности применения уравнений Фаддеева явилась строго математически обоснованная квантовая теория рассеяния систем нескольких 'тал [11], в значительной мере опирающаяся на формализм уравнений Фаддеева. Одной из привлекательных особенностей уравнений Фаддеева является простота численной аппроксимации их решений по сравнению с аппроксимацией волновых функций. В то же время системы уравнений Фаддеева эквивалентны уравнению Шредингера, и волновая функция может быть однозначно восстановлена но их решениям. В начало 90-х годов были предложены новые эффективные методы решения задач нескольких частиц. Наиболее существенными для настоящей работы являются метод уравнений Фаддеева в представлении полного момента [12], метод тензорной факторизации (tensor ( rick) (13, 14] и метод декартовых координат [15, 16). Метод декартовых координат позволяет корректно учесть поведение трехчастичной волновой функции на больших расстояниях от центра масс системы, что особенно важно для исследования слабосвязапных систем, подобных гримеру гелия. Использование уравнений Фаддеева в представлении полного момента позволяет выполнить редукцию уравнений, сохранив, в отличие от разложения по бисферическому базису, локальную структуру оператора Фаддеева. При дискретизации уравнений эта локальная структура приводит к разреженной структуре матриц, что позволяет эффективно совместить преимущества метода декартовых координат и использовать алгоритм тензорной факторизации. Другим важным преимуществом представления полного момента является возможность более качественно чем при использовании других представлений передать угловое поведение компоненты Фаддеева.
Несмотря на широкое распространение уравнений Фаддеева в качестве инструмента теоретического исследования и численного моделирования систем иу-
5
клопов, легких ядер и систем заряженных частиц, применение уравнений Фад-деева в численном моделировании молекулярных систем ограничивается лишь отдельными редкими работами. Одной из причин редкого использования уравнений Фаддеева в исследованиях молекулярных систем можно назвать необходимость учитывать не только я-вол новой вклад во взаимодействие в системе, что часто оказывается достаточным в ядсрных задачах, но и вклады от взаимодействия частиц в состояниях с более высокими угловыми моментами. Основой для решения этой проблемы могут служить результаты работы |12), в которой разработан метод парциального анализа, позволяющий легко учесть вклады всех парциальных волн. Другой причиной, сдерживавшей применение уравнений Фаддеева в задачах молекулярной и химической физики, были отмеченные в литературе [10. 17] сложности использования разработанных на сегодняшний день численных методов решения уравнений Фаддеева к системам нескольких атомов. Эти сложности связывают с характерными особенностями модельных потенциалов межатомного взаимодействия. В качестве таких особенностей называют медленное, степенное убывание потенциалов на больших межатомных расстояниях, что приводит к необходимости построения аппроксимации решений в больших областях конфигурационного пространства, и исключительно сильное короткодействующее отталкивание, приводящее к потере стабильности широко используемых сегодня методов численного решения уравнений Фаддеева.
Главной целью настоящей работая была разработка методов решения уравнений Фаддеева пригодных для использования в численном моделировании систем трех атомов. Разрабатываемые методы применялись для расчета характеристик связанных состояний трех частичного кластера гелия. Будучи интересным объектом физического исследования сам по себе, тример гелия является также исключительно привлекательным объектом с точки зрения отработки вычислительных методов решения задачи трех тел. Для этой системы существуют надежные модели межатомного взаимодействия, показана высокая реалистичность аиирокси-
6
мации потенциала системы суммой парных потенциалов, что позволяет рассчитывать на высокую физическую достоверность результатов моделирования системы. С другой стороны, наличие сильного короткодействующего отталкивания и большая по сравнению с эффективным радиусом взаимодействия длина рассеяния в двухчастичной системе создают существенные трудности для численных расчетов, что и делает тример гелия привлекательным объектом с точки зрения отработки численных методов. Таким образом, второй целыо настоящей работы было исследование связанных состояний трех атомов гелия на основе разрабатываемых методов численного решения уравнений Фаддесва в конфигурационном пространстве.
Для достижения поставленных целей решались следующие задачи:
• анализ применимости существующих численных методов для исследования тримера гелия;
• реализация наиболее перспективных схем в виде компьютерной программы;
• анализ трудностей, возникающих при использовании избранных вычислительных схем;
• модификация существующих методов, позволяющая избежать проблем, возникающих в стандартных схемах;
• реализация предлагаемых модификаций в компьютерной программе;
• выполнение численных расчетов тримера гелия.
В результате были построены алгоритмы, позволяющие с наибольшей доступной на сегодняшний день точностью получить энергии связи и волновые функции системы трех слабосвязанных частиц сильно отталкивающихся на малых расстояниях. Для различных модельных потенциалов выполнены расчеты основного и возбужденного состояний тримера гелия. Произведено сравнение полученных
7
результатов с результатами исследований гримера гелия, выполненных другими методами |9, 10, 18, 16, 19, 20, 21, 22]. Дано объяснение некоторого расхождения в оценке энергии связи основного состояния, полученной в рамках настоящей работы, с результатами других авторов. Результаты работы |22] воспроизведены как частный случай в рамках предложенного метода.
Работа состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе описан формализм дифференциальных уравнений Фаддеева для решения задачи на связанные состояния, представление полного момента для уравнений Фаддеева, обсуждаются симметрии входящих в уравнение операторов и решений уравнения. Во второй главе обсуждаются численные методы решения уравнений Фаддеева, приведено описание метода тензорной факторизации и метода декартовых координат, дано обоснование выбора эффективного метода решения задачи на связанные состояния, обсуждаются особенности применения предложенного метода для систем с сильным короткодействующим отталкиванием, предложены модификации рассмотренного метода. В третьей главе обсуждаются результаты численных расчетов димера и тримера гелия. Основные результаты работы суммированы в заключении.
8
- Київ+380960830922