Нелинейные неравновесные процессы во вращающемся сферическом слое жидкости и в земной атмосфере

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение..............................................................6
В.1. Актуальность проблемы и ее состояние............................10
В.2. Структура и краткое содержание диссертации......................38
В.З. Научная новизна, практическая и теоретическая ценность результатов; основные положения, выносимые на защиту; апробация результатов.......................................................59
ГЛАВА 1. Основные закономерности нелинейной динамики и линейной устойчивости проблемы СТК — сдвигового течения несжимаемой вязкой жидкости между концентрическими коаксиально вращающимися сферами............................................................. 64
1.1. Математическая постановка задачи о движениях, формирующихся в сферических слоях несжимаемой вязкой жидкости под воздействием вращения граничных сфер......................................... 64
1.1 ,а. Формулировка нелинейной проблемы СТК...................... 68
1.1 ,б. Формулировка задачи об устойчивости СТК по отношению к
малым возмущениям......................................... 74
1.1 ,в Спектральный состав течений в сферических слоях........... 77
1.2. Общие закономерности нелинейной динамики и устойчивости осесимметричного СТК в случае вращения одной внутренней сферы 82
1.2,а. Зависимость СТК от толщины слоя жидкости; три стадии развития основного течения.......................................... 82
3
1.2.6. Устойчивость СТК по отношению к малым возмущениям 88
1.2,в. Нелинейная динамика СТК в тонких слоях; вторичные течения и их неединственность........................................... 93
1.3. Особенности осесимметричного СТК в случае вращения обеих граничных сфер в одну или разные стороны с постоянными угловыми скоростями............................................................100
1.3,а. Основное течение и области существования вторичных кольцевых режимов.......................................................100
1.3.6. Вторичные периодические течения со сменой топологии; их
нелинейная динамика и линейная устойчивость.................104
ГЛАВА 2. Специфика нелинейной динамики СТК в толстом слое; устойчивость основного течения и формирование трехмерных вторичных режимов.............................................................110
2.1. Общие закономерности нелинейной динамики основного течения в толстом слое в случае вращения одной внутренней сферы............110
2.1 ,а. Эволюция основного течения с ростом числа Рейнольдса........111
2.1.6. Перераспределение углового момента в жидкости и формирование вязких пограничных и сдвиговых слоев..........................114
2.1 ,в. Спектральный состав основного течения; соотношение между
меридиональной и азимутальной составляющими.................116
2.2. Устойчивость основного течения по отношению к малым трехмерным возмущениям..................................................117
2.3. Упорядоченные нелинейные трехмерные вторичные течения 122
2.3,а. Зависимость вторичного течения от толщины слоя..............122
2.3.6. Физический механизм неустойчивости СТК в толстом слое.......124
ГЛАВА 3. Воздействие тепловых и динамических граничных условий и
свойств жидкости на структуру глобальной циркуляции во вращающихся сферических слоях...........................................127
4
3.1. Влияние сжимаемости жидкости и стратификации плотности на сдвиговое течение во вращающихся сферических слоях.............132
3.1 ,а. Влияние сжимаемости жидкости на характер течения в сферическом слое с вращающимися границами...............................134
3.1.6. Влияние стратификации плотности на характер течения в сферическом слое с вращающимися границами.............................138
3.2. Влияние неоднородных по широте граничных условий на движение слабо сжимаемой вязкой жидкости в покоящемся или однородно вращающемся сферическом слое...................................143
3.2,а. Постановка задачи в приближении Буссинеска..................144
3.2.6. Влияние динамических граничных условий на формирование движений в покоящемся или однородно вращающемся сферическом слое...................................................... 146
3.2,в. Воздействие центрально-симметричного потока тепла изнутри слоя и неоднородных напряжений сдвига на границах..................149
ГЛАВА 4. Основные закономерности нелинейной временной изменчивости процесса ЮКЭН — важного компонента термодинамики системы
океан - атмосфера..................................................153
4.1. Структура глобальной циркуляции атмосферы и явление Эль-Ниньо......................................................154
4.1,а. Основные характеристики явления Эль-Ниньо и глобальной
климатической аномалии Южное Колебание (ЮК)................155
4.1.6. Некоторые особенности системы циркуляции океана и атмосферы тропических широт в годы с Эль-Ниньо и без него 156
4.2. 500 лет из жизни Эль-Ниньо......................................163
4.3. Нелинейная динамика изменчивости характеристик процесса
ЮКЭН...........................................................167
4.3,а. Мультимасштабная структура индекса ЮК.......................167
4.3.6. Стохастичность процесса ЮКЭН................................171
5
ГЛАВА 5. Выявление связей долговременной изменчивости природных катастроф разного масштаба (ЮКЭН и ГТЦ) с другими характеристиками термодинамической активности атмосферы.......................176
5.1. Иерархическая структура изменчивости коллективной вихревой активности атмосферы — интенсивности глобального тропического циклогенеза..................................................176
5.1 ,а. Иерархическая структура интенсивности ГТЦ................178
5.1.6. Региональные особенности ГТЦ.............................180
5.2. Процессы ЮКЭН и ГТЦ в цепочке гелио- геодинамической активности........................................................182
5.2,а. Изменчивость приземной температуры воздуха, глобальной и
региональных..............................................184
5.2.6. Структура временной изменчивости солнечной активности....189
5.2,в. Нелинейная изменчивость географических параметров........191
ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................194
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ...............................................198
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Способы преобразования нелинейных частей уравнений.............................................................227
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Основы локализованного спектрального анализа, базирующегося на математическом аппарате вейвлет-преобразования 239
6
ВВЕДЕНИЕ
Во введении обоснованы актуальность, научная ценность и новизна темы диссертации. Сформулированы цели проведенных исследований, обоснован выбор проблем и некоторые детали постановки задач. Кратко излагается история формулировки и изучения рассматриваемых в диссертации проблем и отражается место полученных результатов среди исследований, проведенных другими авторами. Описана структура и дано краткое содержание диссертации. Приведены сведения о научной новизне и практической и теоретической ценности полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, а также сведения об апробации результатов работы.
В последние годы огромный интерес вызывают проблемы упорядоченного поведения неравновесных систем: проблемы образования, устойчивости и разрушения упорядоченных временных и пространственных структур в сложных неравновесных системах самой различной природы. Такие проблемы возникают во многих, казалось бы не так уж тесно связанных областях науки: в социологических, экономических, биологических, медицинских, химических, астрофизических, термогидродинамических и других системах. Хорошо известны, ставшие уже классическими и вошедшие в монографии и учебники, примеры возникновения упорядоченных структур: реакция Белоусова-Жаботинского в химии, спиральные галактики в астрофизике, в гидродинамике — это шестиугольные ячейки Бенара и тороидальные вихри Тейлора.
7
Настоящая работа посвящена исследованию общих свойств и закономерностей нелинейной динамики и процессов формирования упорядоченных временных, пространственных и пространственно-временных структур в таких неравновесных системах, как сферический слой вязкой жидкости при подводе тепла и (или) углового момента и земная атмосфера. Интерес к этим исследованиям связан с проблемами теории гидродинамической устойчивости, с проблемами моделирования процессов в астро- и геофизических объектах, а также с необходимостью изучения изменчивости и упорядоченного поведения геофизических процессов.
В большей своей части работа является продолжением и развитием исследований начатых соискателем еще в 1970-х гг. по инициативе академика Г.И. Петрова и направленных на изучение нелинейной динамики, общих свойств и закономерностей сдвигового течения вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях методами численного моделирования. В слое вязкой жидкости, заключенной между коаксиальными концентрическими сферами, под действием вращения граничных сфер формируется сдвиговое течение, которое по аналогии с цилиндрическим течением Куэтта (ЦТК) принято называть сферическим течением Куэтта (СТК). По сравнению со своими более простыми классическими аналогами, сдвиговыми течениями в плоском и цилиндрическом слоях, СТК является течением более общего типа. Топология и устойчивость СТК, формирующегося в естетсвенным образом замкнутой области, определяется тремя параметрами подобия (И.е, 5, со)*; уже при малых значениях числа Рейнольдса Ие основное течение зависит от двух координат и имеет все три компоненты скорости; при различных значениях параметров подобия в сферических слоях реализуются большинство типов движений, пограничных и сдвиговых вязких слоев, физических меха-
* Яе — число Рейнольдса, 5 — толщина слоя жидкости, <о — отношение угловых скоростей вращения граничных сфер.
8
механизмов неустойчивости и сценариев перехода к турбулентности, которые наблюдаются во вращающейся жидкости. Задача об СТК может послужить основой для изучения и прогнозирования любых природных и технологических движений и процессов, форму и устойчивость которых определяют, в основном, два физических фактора: сферическая геометрия области течения и вращение объема.
Тепловая конвекция является неотъемлемым процессом геофизических объектов; она влияет на глобальные движения в атмосфере, океанах и мантии Земли. Взаимодействие конвекции с вращением, нелинейный обмен теплом и угловым моментом, оказывает влияние на топологию и масштабы течений, заметно усложняет и обогащает спектр движений, формирующихся в сферических слоях. Реальные движения в геофизических объектах неизмеримо более сложны, они определяются большим числом нелинейно взаимодействующих природных процессов. Численное моделирование, являясь удобным инструментом исследования многопараметрических систем, позволяет выделить определенные физические факторы и рассмотреть их влияние на основе ясной математической постановки и с минимальным числом основополагающих допущений. Задача о движениях вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях при различных динамических и тепловых воздействиях может послужить основой для изучения крупномасштабных термодинамических природных процессов, формирующихся под определяющим влиянием трех основных факторов: сферической геометрии планеты, ее вращения и процессов переноса тепла.
Геофизические процессы протекают в открытой нелинейной системе взаимосвязанных геосфер планеты, формируясь в результате большого набора природных процессов энергообмена и массопереноса (в широком диапазоне интенсивностей и с разными пространственными и временными масштабами). Сложность нелинейных неравновесных процессов в атмосфере отражается в структуре данных натурных наблюдений. Определение основ-
9
ных свойств и закономерностей временной изменчивости гидрометеорологических параметров, характеризующих энергетику и динамику наиболее влиятельных атмосферных процессов с разными пространственно-временными масштабами, важно для оценки степени упорядоченности поведения атмосферы. В этой связи особый интерес представляет изучение крупномасштабных природных процессов, оказывающих заметное воздействие на транспортные и диссипативные свойства атмосферы, нарушающих нормальный цикл циркуляции в системе океан-атмосфера и приводящих к широкомасштабным аномалиям всего климатического процесса планеты.
Проведенное в диссертационной работе исследование является важным вкладом в изучение упорядоченного поведения неравновесных систем. Диссертационная работа является первым последовательным теоретическим исследованием общих свойств и закономерностей нелинейной динамики и устойчивости движения вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях, принадлежащего к классу самых распространенных движений в природе и в технологических процессах — сдвиговым движениям вязкой жидкости. Полученные общие закономерности, результаты и выводы можно классифицировать как крупный вклад в развитие современных представлений о гидродинамической устойчивости, они: ♦ могут быть полезны для понимания физических механизмов, ответственных за нелинейную динамику и устойчивость процессов во вращающихся сферических слоях и в реальных геофизических условиях; ♦ могут способствовать построению моделей, адекватно описывающих основные особенности нелинейной динамики атмосферных процессов (глобальных движений и изменчивости климатических характеристик); ♦ могут дать новый взгляд на проблему прогнозирования климата и на проблемы диагностики и прогнозирования крупномасштабных природных атмосферных катастроф.
10
В1. Актуальность проблемы и ее состояние
Интерес к обозначенным выше исследованиям связан: ♦ с проблемами общей теории гидродинамической устойчивости и турбулентности; ♦ с потребностями изучения и моделирования крупномасштабных термодинамических процессов в астро- и геофизических, а также в технологических объектах; ♦ с необходимостью выявления степени упорядоченности и изменчивости природных процессов (например, с проблемой изменчивости климата). Этот интерес определяется важностью выявления общих закономерностей в процессах образования, устойчивости и разрушения организованного поведения, возникающего в открытых системах, в нелинейных неравновесных системах различной природы, в результате внешнего воздействия или собственных внутренних неустойчивостей.
• Открытые системы, в отличие от идеализированных изолированных систем, могут обмениваться с окружающей средой энергией, веществом и информацией. Эволюция систем — очень общее понятие. Если в изолированной системе существуют неоднородности (температуры, концентрации, скорости), то вызванные ими неравновесные процессы (теплопроводности, диффузии, вязкости) будут стремиться к устранению различий и установлению состояния равновесия. В результате эволюции открытых систем в них возможны как процессы деградации (переход в стационарное состояние в гидродинамике), так и процессы организации упорядоченного поведения с образованием последовательности более сложных структур. Организованное поведение в неравновесной системе может возникнуть по причине внешнего воздействия (вынужденная организация) или в результате собственных внутренних неустойчивостей (самоорганизация).
Процессы организации упорядоченного поведения занимают особое место среди эволюционных процессов: они возможны лишь в нелинейных системах и происходят только в диссипативных системах. Нелинейность яв-
11
ляется источником широкого спектра разнообразных сложных движений, а без участия диссипации невозможно образование устойчивых пространственно-временных структур (Климонтович, 1990).
Интерес к изучению нелинейных диссипативных систем очень велик и связан, в частности, с их чрезвычайно широким спектром — от физического вакуума и экономики до социологических и биологических систем (,Николис, Пригожин, 1963, 1979; Хакен, 1985). В гидродинамике наиболее часто цитируемые примеры нелинейных неравновесных систем: ♦ проблема Релея-Бенара — конвекция в подогреваемом снизу плоском слое жидкости (с формированием упорядоченных структур в виде шестиугольных ячеек Бенара) и ♦ проблема Тейлора-Куэтта — сдвиговое течение вязкой жидкости в слое между коаксиально вращающимися цилиндрами (с формированием упорядоченных вторичных движений в виде тороидальных вихрей Тейлора). Примером нелинейной неравновесной системы является также и проблема СТК — сдвиговое течение вязкой жидкости в слое между концентрическими коаксиальными сферами, формирующееся под воздействием вращения граничных сфер.
При анализе и сопоставлении сложных движений важен выбор управляющих параметров, изменение которых определяет характер процесса. В гидродинамике в зависимости от типа течения роль управляющего параметра могут играть числа Рейнольдса Яе, Релея Яа, Тейлора Та. С ростом управляющего параметра возникают бифуркации — переходы от одного режима течения к другому — качественные изменения в решениях системы уравнений гидродинамики или в лабораторном эксперименте. Прослеживая по мере квазистатического роста управляющего параметра последовательность бифуркаций можно дойти до непериодического хаотического решения, т. е. найти весь сценарий перехода к хаосу. На практике такая задача чрезвычайно сложна и в настоящее время нет надежных численных расчетов последовательности бифуркаций, приводящей к хаосу в реальных течениях, опи-
12
сываемых уравнениями Навье-Стокса: как правило, используются маломодовые, двумерные и другие приближения.
Следует отметить, что после появления теории детерминистского динамического хаоса (Ruelle ScTakens, 1971; Newhouse et. al., 1978) экспериментальные исследования показали возможность развития стохастических процессов при конечном значении управляющего параметра после небольшого числа бифуркаций (Belyaev et. al., 1985; Brandstater&Swinney, 1987; Brand-staler et al., 1983), a теоретические — в системах обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений относительно невысокого порядка. Однако по прошествии 1-2-х десятилетий стало ясно, что необходимыми свойствами реальной турбулентности являются и временная и пространственная стохас-тичность. Это повышает значимость изучения стохастических режимов и сценариев перехода на основе системы уравнений гидродинамики — нестационарных нелинейных уравнений Навье - Стокса (что тем более важно в свете теоремы о центральном многообразии), а также подчеркивает необходимость развития методов, адекватных таким задачам, в частности, очень перспективных, на наш взгляд, полуспектральных методов.
Можно разбить проблему поиска сценария перехода на два этапа: ♦ изучение перестроек ламинарного течения при квазистатическом изменении управляющего параметра и ♦ изучение характеристик хаотических течений и переходов между ними с дазьнейшим ростом Re. Изучение перестроек течения и сравнение полученных результатов с известными теоретическими сценариями перехода (удивляет их небольшое число) и имеющимися результатами экспериментальных исследований представляет большой интерес; причем и их согласие, и отличия между ними одинаково интересны.
Наши исследования показали эффективность изучения сценариев перехода в сферическом течении Куэтта на первом этапе на основе численного решения полной системы нелинейных нестационарных уравнений Навье-Стокса полуспектральными методами. Второй этап связан с гораздо больши-
13
ми математическими и вычислительными трудностями, однако, и на этом этапе решение уравнений Навье-Стокса представляется перспективным.
Наиболее полное экспериментальное исследование сценариев перехода к турбулентности проведено к настоящему времени в классических проблемах: течении Тейлора-Куэтта (Smnney&Gollub, 1987) и конвекции Релея-Бенара (Gollub&Benson, 1980; Gollub&Swinney, 1975; Roux et al., 1983). Сейчас уже можно говорить о большом экспериментальном материале, накопленном при изучении сферического течения Куэтта. Наиболее последовательное исследование и практически все основные результаты по изучению сценариев перехода к турбулентности в проблеме СТК получены в серии экспериментов Ю.Н. Беляева и И.М. Яворской (1980, 1984,1985,1991,1995).
Отметим, что в проблеме СТК обнаружено четыре различных сценария переходов к турбулентности: через последовательную синхронизацию — десинхронизацию колебаний двух частот; путем генерации субгармоник одной частоты; через квазипериодический режим с тремя частотами; через перемежаемость квазипериодического и непериодического режимов.
• Изучение свойств сдвиговых течений вязкой жидкости остается актуальным для развития общей теории гидродинамической устойчивости на протяжении длительного времени (Stokes, 1845; Rayleigh, 1916; Taylor, 1923; Heisenberg, 1924). Следует отметить, что огромное число работ было посвящено и посвящается изучению устойчивости плоских течений Пуазейля и Куэтта и аналогичных течений в трубах разного сечения и в цилиндрических слоях и довольно мало (всего несколько работ до 1970-х гг.) — устойчивости течений в сферических слоях. Это объясняется сложностью задачи и для теоретического, и для экспериментального исследования. Тем не менее, большой интерес к движениям в сферических слоях позволил в последние 20-25 лет заметно продвинуться изучении их устойчивости. Интерес к сдвиговым течениям связан и с проблемами общей теории гидродинамической устойчивости и с прикладными геофизическими задачами и определяется, в частно-
14
сти, большой распространенностью этого типа движений в природе и в технологических процессах (.Бэтчелор, 1973; Гринспен, 1975; Джозеф, 1981; Монип, 1978, 1986). Именно астро- и геофизическими приложениями стимулировались работы по изучению устойчивости движения жидкости, возникающего из-за наличия горизонтального градиента температуры, во вращающихся кольцевых цилиндрических сосудах, см., например, обзоры (Должанский и Голицын, 1977). В настоящее время в линейной теории устойчивости наибольший интерес вызывает рассмотрение течений, отличных от стационарных и плоских, а также течений, формирующихся под влиянием нестандартных граничных условий. Нелинейность реальных движений и процессов объясняет постоянный интерес к нелинейной теории.
Для примера приведем лишь несколько последних из огромного количества работ, посвященных экспериментальному и теоретическому изучению сдвиговых течений вращающейся жидкости (с разными тепловыми и динамическими воздействиями и в объемах разной формы: плоских, цилиндрических, конических, сферических). Неустойчивость экмановского типа изучается в слое между вращающимися дисками в присутствии градиента давления, моделирующего сквозной поток (НоДтапп&Виззе, 2001). Линейная устойчивость ЦТК изучается в случае, когда цилиндры осциллируют в фазе или противофазе (Аошс1е}&Могтапс1, 2000). Экспериментально и численно изучается устойчивость ЦТК, когда одна из горизонтальных крышек объема вращается с внутренним цилиндром, а вторая покоится с внешним (Ми1Ип&В1оИт, 2001). Устойчивость тейлоровских вихрей в ЦТК изучается в случае вращения цилиндров в одну сторону; рассматривается переход к закрученным или волнисто закрученным вихрям (Атощоап&Вапскег* 2000). Наступление конвекции в ЦТК изучается в случае, когда высота объема зависит не только от расстояния от оси, но и от азимутальной координаты (Неггтапп&Виззе, 1998). Численно решается проблема Тейлора-Бенара в случае, когда дифференциально вращающиеся коаксиальные цилиндры под-
15
держиваются при разных температурах; рассматривается предельный случай узкого зазора (Auer&Busse, 1998). Наступление конвекции в вертикальном вращающемся цилиндрическом объеме изучается в присутствии радиальной гравитации и подогрева изнутри; численно решается задача на собственные значения в случае, когда есть плоская крышка с условиями без проскальзывания или свободная от напряжений (Alonso et al.y 1999). Устойчивость течения вязкой жидкости между дифференциально вращающимися конусами изучается в приближении тонкого слоя (Hoffmann&Bussey 1999). Изучается спектральная зональная анизотропия двумерной турбулентности на сфере, формирующаяся вследствие ее вращения (Nozawa&Yodeny 1997а, Ь); результаты сравниваются с полученными в приближении бета-плоскости. Экспериментально изучается переход к хаосу в СТК; сценарии перехода квалифицируются как сценарии типа Рюэля-Такенса-Ньюхауза (Wulf et al.y 1999). Численно изучается тепловая конвекция в быстро вращающемся сферическом слое в присутствии магнитного поля для исследования динамо эффекта (Grote&Bussey 2001).
Наиболее полно изученными сдвиговыми течениями являются классические проблемы Куэтта-Пуазейля (рис. В1) и Тейлора-Куэтта (рис. В2). Несмотря на формальную простоту классических течений (одномерность профиля и зависимость от Re только амплитуды основного течения*) и тот факт, что за более чем полуторавековую историю исследования сдвиговых течений они удостаивались внимания ученых с очень громкими именами, история их изучения далеко непроста.
* Основное течение — единственное течение, существующее при Re < Reo (Ree — глобальный предел устойчивости), к которому стремятся при t —*■ со все нестационарные течения с любыми начальными данными.
16
и0(Ь)
Рис. В1. Проблема Куэтта-Пуазейля. Вид области течения и профили скорости течений Куэтта, Пуазейля и Куэтта-Пуазейля (слева направо).
U0(r)Re ?
\
\
S
?
Re
I_J
□
□
Re = (0|Г,2Д, ш = 0)2/(0|
Рис. В2. Проблема Тейлора-Куэтта. Вид области течения, основное (а) и вторичное (б) течение и определяющие параметры задачи.
Так, плоскопараллельное течение Куэтта с линейным профилем Uo(h)Re согласно всем проводившимся вычислениям линейно устойчиво при любых конечных значениях числа Рейнольдса (доказательство этого факта пока не опубликовано). В то же время, из экспериментов известна его неустойчивость по отношению к конечно-амплитудным возмущениям, подтвержденная приближенными вычислениями (Ellingsen et al., 1970).
Известна линейная устойчивость плоского течения Пуазейля с параболическим профилем Uo(K)Re в идеальной жидкости и знаменитый теперь Гейзенберг вызвал бурю негодования, когда обнаружил нормальную бифуркацию течения Пуазейля в вязкой жидкости (Heisenberg, 1924), поскольку в те времена вязкости полагалось быть сглаживающим фактором и уж никак не дестабилизирующим. Спустя 20 лет также знаменитый теперь Линь Цзя Цзяо численно подтвердил (Lin, 1945) линейную неустойчивость течения Пуазейля в вязкой жидкости. Однако их обоих опровергают результаты экспериментальных исследований, поскольку в эксперименте потеря устойчивости течения происходит при значениях числа Рейнольдса ReE, которые значительно ниже критического числа Рейнольдса ReL линейной теории. Позднее неустойчивость течения Пуазейля по отношению к конечно-амплитудным воз-
17
мущениям была подтверждена численно (Reynolds&Portex, 1967; Pekeris&-Shkoller, 1967).
Цилиндрическое течение Куэтта (сдвиговое течение жидкости в слое между бесконечными коаксиально вращающимися цилиндрами) определяется двумя параметрами подобия (Re, со) — число Рейнольдса и отношение угловых скоростей вращения граничных цилиндров; основное течение в ЦТК Uo(r)Re зависит только от радиальной координаты и с ростом Re меняется лишь его амплитуда. Релей (Rayleigh, 1916) показал, что при выполнении ус-
л
ловия d(rU) /дг<0 течение идеальной жидкости между вращающимися цилиндрами становится неустойчивым. В вязкой жидкости ЦТК независимо от толщины слоя б становится линейно неустойчивым относительно монотонных осесимметричных возмущений (за исключением случая больших отрицательных со). После потери устойчивости основного течения в результате центробежного механизма неустойчивости и с соблюдением принципа смены устойчивости формируется стационарное осесимметричное вторичное течение в виде бесконечной стопки кольцевых вихрей (см. рис. В2) — тороидальных тейлоровских вихрей, названных именем Тейлора, который первым получил их численно в приближении тонкого слоя {Taylorу 1923). С ростом Re на тороидальных вихрях также в результате нормальной бифуркации Хопфа появляются азимутальные моды (Gollub&Smnneyy 1975). Дальнейшее увеличение Re после нескольких переходов (вихри с волной — вихри с двумя независимыми частотами - вихри с двумя зависимыми частотами и т. д. (Fen-stermacher et ai, 1979; Andereck et al.9 1983;)) приводит к формированию турбулентного течения. Особняком стоит случай больших отрицательных со — здесь ЦТК теряет устойчивость относительно периодических неосесимметричных возмущений (Krueger et al.у 1966).
• Сферическое течение Куэтта — сдвиговое движение вязкой жидкости, формирующееся в слое между коаксиальными концентрическими сферами под воздействием вращения граничных сфер (на рис. ВЗ показана об-
18
ласть течения). СТК — более сложное течение, чем его классические анало ги, в отличие от них СТК:
■ происходит в естественным образом замкнутой области, а известно {Сорокин, 1961), что явления неустойчивости в замкнутых и незамкнутых областях различны;
* топология течения определяется всеми тремя параметрами подобия (это число Рейнольдса Яе, толщина слоя жидкости 5 и соотношение между угловыми скоростями граничных сфер со); причем устойчивость течения не только от числа Рейнольдса, но и от двух других параметров, 5 и со, зависит критическим образом.
■ уже при малых значениях Яе основное течение зависит от двух независимых переменных (радиуса г и широтного угла 0) и имеет все три компоненты скорости; каждая частица жидкости участвует и в меридиональном, и в азимутальном движениях (рис. В4), совершая винтовую намотку на тороподобную «поверхность тока»;
■ с ростом Яе меняется не только амплитуда, но и форма основного течения; этот факт и отсутствие аналитического решения для основного течения заметно усложняют изучение линейной устойчивости СТК.
и0(г, 9, Яе, 5, м)
Яе - со,г,2/у,
5 = (г2“г|)/г1>
О) = 0)2/(0,
Рис. ВЗ. Вид области течения между вращающимися сферами и определяющие параметры задачи.
19
Re
2,5-D
6)
Рис. B4. Проекции линий тока на меридиональную плоскость Т = const (далее будем называть их линиями тока) и линии уровня угловой скорости Q = const (в нижней полусфере) основного течения Щг, 0, Re) в СТК (а) при вращении одной внутренней сферы (со = 0). Показаны изменения, происходящие с ростом числа Рейнольдса: вид вторичного течения после первой бифуркации в тонком слое (б) и трансформация основного течения в толстом слое (в).
Сложность основного течения Щг, 9, Re, 8, со) = {U, V, W} приводит к тому, что в СТК наблюдается большинство типов движений, вязких слоев (пограничных экмановских и свободных сдвиговых), физических механизмов неустойчивости и сценариев перехода к турбулентности, характерных для вращающейся жидкости. Применение для суждения об устойчивости СТК критериев, относящихся к плоскому или цилиндрическому течениям, приводит к качественно неверным выводам. Так, например, развитие основного течения с ростом Re в сферических слоях зависит от толщины слоя (см. рис. В4), в результате чего, механизмы неустойчивости и форма вторичного течения в СТК различны в тонких и толстых слоях. Напомним, что форма основного течения и его устойчивость в плоском и цилиндрическом сдвиговых течениях не зависят от толщины слоя жидкости.
В общем виде проблема СТК описывается начально-краевой задачей для системы нелинейных нестационарных уравнений Навье - Стокса, реше-
20
ние которой представляет собой весьма сложную задачу даже при современном уровне вычислительной техники. Вследствие этого долгое время проблема СТК изучалась лишь в предельных случаях, когда задача имеет малый параметр и можно упростить уравнения.
Стокс первым дал строгую математическую постановку СТК в частном случае медленного вращения сферы в безграничной жидкости Ь —> оо, Re « 1 и описал структуру течения (Stokes, 1845). Отметим, что эта задача и экспериментально (Sawatzki, 1970) и численно (Dennis&lnghamf 1979) была решена только более 100 лет спустя.
В случае малых значений числа Рейнольдса Re « 1 метод регулярных возмущений позволяет искать решение в виде бесконечного ряда по целым положительным степеням Re
U = £u„-Ren (B.l)
и свести задачу к последовательности систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Четные члены разложения (1) описывают азимутальное, а нечетные — меридиональное движение в слое. Нулевой член разложения описывает азимутальное движение в случае, когда инерционные силы малы по сравнению с силой вязкости, и представляет собой дифференциальное вращение жидкости — движение по концентрическим окружностям со скоростью (Кочин и др., 1963)
а,1+8. (В.2)
Это классическое приближение Uj = jo,0,&o rsin б}называют течением Стокса. Характер меридиональной циркуляции, описываемой первым членом
ряда (Langlois, 1964)
показан на рис. В5. Это может быть одновихревое меридиональное течение с направлением* циркуляции, зависящим от того, влиянием какой из граничных сфер определяется течение, и двухвихревое меридиональное течение с расслоением циркуляции по радиусу при смешанном влиянии граничных сфер. Результатами многих работ продемонстрировано, что для описания основного течения в тонких слоях б « 1 можно пользоваться приближенным аналитическим решением (В.1), учитывая лишь несколько первых членов ряда, при достаточно больших И.е (до 103 и даже более).
Рис.В5. Типы .меридиональной циркуляции основного течения при разных значениях со.
В случае быстрого почти твердотельного вращения Ие » 1 и |со-1|«1 обнаружено удивительно красивое течение Стюартсона-Праудмена. В этом предельном случае вязкие напряжения на сферических границах вызывают слабое дополнительное к твердотельному течение. Решение линеаризованных уравнений (Ргоисітап, 1956) показало, что вертикальный цилиндр, охватывающий внутреннюю сферу, разделяет области с разными характеристиками течения: вне цилиндра жидкость вращается как твердое тело, внутри него в невязком ядре характеристики течения зависят
* Положительным принято считать направление циркуляции против часовой стрелки, т. е. направление циркуляции, которая формируется при доминирующем влиянии вращения внутренней сферы.
а
а
а
22
только от расстояния от оси вращения. На рис. В6 показаны линии тока меридионального течения и структура цилиндрического сдвигового слоя, которая оказалась очень сложной. Методом сращиваемых асимптотических разложений Стюартсон показал, что вертикальный сдвиговый слой состоит из нескольких слоев разной толщины, выполняющих разные физические функции (Stewartson, 1957, 1966). В одном из них осуществляется поток жидкости между пограничными экмановскими слоями на сферах; в другом происходит сглаживание разрыва азимутальной скорости; в слое между первыми двумя сглаживаются разрывы во второй производной азимутальной скорости и в нормальной оси вращения компоненте меридиональной скорости.
Отметим, что тенденция к образованию вертикального сдвигового слоя Стюартсона-Праудмена при почти твердотельном вращении сферического слоя подтверждена (jBonnet, 1975; Bonnet&Roquefort, 1976) подробным численным решением задачи и в лабораторных экспериментах.
В предельном случае очень топкого слоя 5 « 1 изучалось не только основное течение, но и его устойчивость по отношению к малым возмущениям (Walton, 1978; Hocking, 1981; Soward&Jones, 1983). Отметим, что попытки
Рис. В6. Течение Стюартсона-Праудмена: меридиональная
циркуляция (а) и структура свободного сдвигового слоя (б).
23
изучения устойчивости СТК на основе этого и других асимптотических решений для основного течения не привели к верным результатам.
В случае средних значений определяющих параметров, когда нет малого параметра и невозможны асимптотические разложения, для решения задачи использовались различные численные методы: разностные или спектральные. Отметим здесь лишь несколько интересных по тем или иным причинам работ. В первой и очень удачной работе по численному моделированию СТК методом конечных разностей (Pearson, 1967) изучалось основное течение в толстом слое в случае вращения одной из граничных сфер и почти твердотельного вращения. Конечно-разностными методами с использованием подробных сеток (Bonnet&Roquefort, 1976; Greenspan, 1975; Schultz&Greenspan, 1979) получены решения в толстом слое, согласующиеся между собой и с результатами Pearson'a. При близких значениях определяющих параметров задача решалась методом Галеркина с базисом из собственных функций задачи о возмущениях равновесия жидкости в сферическом слое (Якушин, 1968,а; 1968,а); однако базис из 12 функций оказался недостаточным для адекватного описания течения.
Использование полупрямых методов для решения проблемы СТК поначалу не принесло желаемого результата. Полупрямой метод, основанный на разложении искомых функций в ряды по целым положительным степеням полярного угла 0 (Ritter, 1973), оказался малоперспективным, поскольку сходимость этого метода, по утверждению автора, хорошая везде, кроме приэкваториальной области, а именно там и происходят наиболее интересные явления и в основном течении и при потере устойчивости СТК. Полуспектральные методы применялись для моделирования СТК в толстом слое (Munson&Joseph, 1971,а), где функция тока и угловой момент представлялись в виде рядов по полиномам Лежандра, и (,Dennis&Singh, 1978), где решение представлялось в виде рядов по функциям Гегенбауэра; использо-
24
ванных авторами семи и восьми членов ряда, соответственно, оказалось недостаточно для качественно верного описания основного течения.
Впервые полуспектральный метод с представлением решения в виде рядов по присоединенным функциям Лежандра был удачно использован (Астафьева и др., 1985,в) для изучения основного течения, нахождения пределов устойчивости и вторичных осесимметричных течений; специальное исследование показало, что для адекватного описания течения в сферическом слое необходимо гораздо большее число базисных функций, чем предполагалось другими авторами.
Все численные методы оказываются достаточно трудоемкими, поскольку течение необходимо описывать с подробной дискретизацией. Это объясняется спецификой задачи, где имеется три или даже более линейных масштаба*, вследствие чего в сферических слоях одновременно могут существовать и нелинейно взаимодействовать движения, очень различающиеся по масштабу и интенсивности. В результате, использование конечноразностных методов приводит к необходимости подробных пространственных сеток, а использование спектральных или полуспектральных методов — к большому числу базисных функций.
Существует довольно много работ, содержащих неверные результаты численного исследования проблемы СТК, именно по причине пренебрежения необходимостью подробной дискретизации решения. В некоторых работах приводятся качественно неверные картины линий тока, полученные при неточном описании решения из-за того, что было оставлено недостаточное число членов ряда (В.1), использовались разностные сетки с недостаточно подробной дискретизацией или спектральные методы с недостаточным числом функций, описывающих зависимость течения от широты. Практически
* Это естественные геометрические масштабы области течения: радиус внутренней сферы, толщина слоя жидкости и длина экваториальной окружности, а с ростом числа Рейнольдса формируются экмановские пограничные и свободные сдвиговые вязкие слои со своими толщинами.
25
все попытки изучения линейной устойчивости СТК вплоть до 1985 года (Астафьева, 1985а, б, в) оказывались неудачными, в основном, по двум причинам: ♦ во-первых, из-за вполне естественного при решении такой громоздкой задачи желания сэкономить на дискретизации либо основного течения, либо возмущения; ♦ во-вторых, в тех же целях завышалась степень симметрии возмущения и изучалась устойчивость по отношению к осесимметричным возмущениям или к трехмерным, но симметричным по отношению к плоскости экватора или монотонным возмущениям.
Исследование СТК в общем случае на основе начально-краевой задачи для системы нелинейных нестационарных уравнений Навье - Стокса начато соискателем в 1970-х гг. по инициативе академика Г.И. Петрова. Проблема СТК привлекала внимание многих исследователей, поскольку по значимости для общей теории гидродинамической устойчивости СТК стоит в одном ряду с классическими проблемами Релея-Бенара, Куэтта-Пуазейля и Тейлора-Куэтта. Однако, наиболее полное и последовательное изучение нелинейной динамики осесимметричного (2,5-0) монотонного СТК с применением методов численного моделирования было проведено в работах соискателя. В этом плане диссертационная работа является продолжением и развитием исследований по изучению общих свойств и закономерностей нелинейной динамики и линейной устойчивости течений во вращающемся сферическом слое — трехмерных (З-Э) и нестационарных. Отметим, что примеры численного решения трехмерных задач вообще довольно редки, а работы, исследующие трехмерное СТК, отсутствовали.
Практически все основополагающие результаты в этой проблеме получены соискателем впервые: неустойчивость СТК, упорядоченные вторичные режимы, зависимость физического механизма неустойчивости от толщины слоя, сценарии переходов между вторичными режимами и неединственность течения. На редкость удачным обстоятельством является возможность сравнения результатов численного эксперимента с полученными в лабораторном
26
физическом эксперименте, особенно в такой сложной проблеме, как проблема СТК. Эта возможность была у соискателя в течение двух десятилетий работы, благодаря экспериментальным исследованиям И.М. Яворской и Ю.Н. Беляева, проводившимся в Институте механики МГУ им. М.В. Ломоносова.
Полученные в диссертационной работе результаты имеют большое значение для теории гидродинамической устойчивости и для выявления общих закономерностей организованного поведения в нелинейных неравновесных системах; их можно квалифицировать как крупное достижение в развитии этого научного направления. Кроме того СТК может послужить основой для понимания отдельных явлений и управляющих физических механизмов в геофизических процессах (Philander, 1971), которые определяются в основном двумя физическими факторами: сферическая геометрия и вращение объема. Полученные в работе результаты могут найти применение в инженерных задачах: при прогнозировании технологических процессов, включающих вращение и кривизну поверхности, например, происходящих в поплавковых гироскопах и шаровых подшипниках (они уже применялись в теории смазки).
• Все природные процессы и явления звездной или планетной гидродинамики и термодинамики предстают в астро- и геофизических объектах не изолированными, а в сложном, как правило, нелинейном взаимодействии друг с другом. Такие физические факторы, как магнитные поля и гравитация, сферическая геометрия объема и вращение, сжимаемость и стратификация плотности, градиенты температуры и процессы выделения, поглощения и переноса тепла и многие другие оказывают влияние на глобальные движения в оболочках и недрах звезд и планет, в частности, в атмосфере, океанах и жидком ядре Земли. Необходимость глубокого понимания взаимодействия этих физических факторов и их влияния на явление в целом вызывала и вызывает