Теоретико-полевое описание и компьютерное моделирование критического поведения однородных и неупорядоченных систем

-2-
Содержание
Введение 6
1 Фазовые переходы второго рода и критические явления 14
Введение.................................................................. 14
1.1 Теория Гинзбурга-Ландау.............................................. 15
1.2 Критические индексы. Гипотеза подобия................................ 17
1.3 Метод ренормгруппы и е - разложения.................................. 20
1.4 Динамические критические явления..................................... 25
1.5 Влияние дефектов структуры на критическое поведение.................. 32
1.6 Теоретико-полевой подход к описанию критического поведения........... 37
1.6.1 Теоретико-полевой вариант ренормгруппы......................... 37
1.6.2 Производящий функционал для функций Грина и вершинных функций 42
1.6.3 Уравнение ренормгруппы. Асимптотическое поведение функций Грина................................................................ 44
1.7 Выводы и задачи исследования......................................... 48
2 Исследование критической динамики однородных систем в четырехпетлевом приближении 50
Введение.................................................................. 50
2.1 Модель............................................................... 52
2.2 Производящий функционал. Динамические вершинные функции.............. 53
2.3 Вычисление динамических скейлинговых функций......................... 56
2.4 Суммирование асимптотических рядов................................... 64
2.5 Вычисление динамического критического индекса г ..................... 67
2.6 Анализ полученных результатов и выводы............................... 68
-3-
3 Исследование критической динамики неупорядоченных систем с 8 - коррелированными дефектами 72
Введение..................................................................... 72
3.1 Обобщение формализма динамического производящего функционала на случай неупорядоченных систем................................................... 73
3.2 Вычисление динамической скейлинговой функции для неупорядоченной системы с 6 - коррелированными дефектами........................................ 79
3.3 Методы суммирования двухпараметрических асимптотических рядов и вычисление индекса 7......................................................... 85
3.4 Анализ результатов и выводы............................................. 88
4 Компьютерное моделирование критического поведения неупорядоченных модельных систем методом Монте-Карло 92
Введение..................................................................... 92
4.1 Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченной трехмерной модели Изинга..................................................... 96
4.1.1 Определение модели и основных принципов компьютерного моделирования критической динамики методом Монте-Карло.................. 96
4.1.2 Определение критического индекса г для однородной и неупорядочеи
ной модели........................................................ 98
4.1.3 Обсуждение результатов моделирования..............................106
4.2 Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченной двумерной модели Изинга......................................................108
4.2.1 Методика, условия и результаты моделирования......................109
4.2.2 Анализ результатов моделирования однородной и слабо неупорядоченной двумерной модели Изинга...........................................116
4.2.3 Анализ результатов моделирования сильно неупорядоченной двумерной модели Изинга........................................................118
4.2.4 Исследование влияния конечного размера системы на результаты моделирования неупорядоченной двумерной модели Изинга..................120
4.3 Особенности фазовых превращений в неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга.................................................................122
-4-
4.3.1 Определение модели...............................................122
4.3.2 Методика моделировании...........................................125
4.3.3 Результаты моделирования и их анализ. Фазовые диаграммы 130
4.4 Основные результаты и выводы главы ....................................136
5 Исследование критического поведения неупорядоченных систем с да льнодействующей корреляцией дефектов 139
Введение....................................................................139
5.1 Критическое поведение систем с протяженными дефектами...................143
5.1.1 Модель системы с протяженными дефектами и ее решгичный лагранжиан. Процедура перенормировки модели ..................................143
5.1.2 Фиксированные точки. Критические индексы.........................150
5.2 Теоретико-полевое описание критического поведения систем с дальнодейст-вующей корреляцией дефектов................................................158
5.2.1 Эффективный гамильтониан и производящий функционал модели . . 158
5.2.2 Перенормировка...................................................160
5.2.3 Уравнение Каллана-Симанзика и скейлинговые функции системы с
дальнодейстйующей корреляцией дефектов...........................168
5.2.4 Фиксированные точки и различные типы критического поведения . . 170
5.2.5 Критические индексы. Выводы .....................................176
6 Теоретико-полевое описание мультикритического поведения однородных
и неупорядоченных систем с двумя параметрами порядка 182
Введение....................................................................182
6.1 Теоретико - полевое описание мультикритического поведения однородных систем с двумя параметрами порядка.........................................184
6.2 Исследование влияния неупорядоченности на мультикритическое поведение систем с двумя параметрами порядка.........................................199
6.3 Основные результаты и выводы главы .....................................207
7 Фазовые превращения в пьезоэлектриках, индуцированные системой ди-польных примесных центров 209
Введение....................................................................209
-5-
7.1 Результаты экспериментального исследовании арсенидя галлии в условиях сильного легирования элементами VI группы................................212
7.2 Теоретическая модель сегнетоэлектрического - сегнетозластического фазового перехода в пьезоэлектриках, обусловленного системой дипольных примесных центров................................................................216
7.3 Обсуждение результатов. Выводы..........................................220
Заключение 227
Литература
232
-б-
Введение
Проблема фазовых переходов второго рода и связанных с ними критических явлений является одной из наиболее интересных и актуальных задач физики конденсированного состояния. Из ряда экспериментов известно, что по мере приближения к точке фазового перехода в веществе растут флуктуации некоторых термодинамических переменных. Эти флуктуации простираются на большие пространственные области и медленно затухают. Рост флуктуаций в системе сопровождается эффективным усилением их взаимодействия между собой, приводящим к тому, что любое слабое взаимодействие становится вблизи критической точки настолько сильным, что не позволяет применять теорию возмущений.
Экспериментальные исследования выявили общность свойств фазовых переходов второго рода в различных веществах. Это позволило сформулировать принцип универсальности критических явлений [11, 31, 36,49, 56, 126] и предложить модель, в основе которой лежала гипотеза масштабного подобия флуктуаций [52, 53, 54, 158]. Идеи использования метода ренормализационной группы и последующая их иллюстрация с помощью метода разложения по отклонению размерности системы от четырех (d = 4-е) [13, 236, 237] позволили сделать еще несколько шагов в качественном понимании фазовых переходов и в их количественном описании. Дальнейшее развитие этих идей привело к появлению более надежного теоретико-полевого подхода к описанию критических явлений [20, 93, 111, 199], позволяющему исследовать критическое поведение непосредственно трехмерных систем и дающему более точные количественные результаты при применении методов суммирования асимптотически сходящихся рядов [93, 173].
В критической точке наряду с особенностями равновесных термодинамических переменных сингулярное поведение демонстрируют так же кинетические коэффициенты и динамические функции отклика, что обусловлено аномально большими временами релаксации сильно флуктуирующих величин. Критическая динамика исследовалась ренормгруп-
-7-
повыми методами, совмещенными с е-разложением в работах [95, 110, 133, 134, 135]. Однако, исследование динамических свойств критических флуктуаций сталкивается с трудностями более сложными, чем при описании равновесных свойств. С качественной точки зрения это вызнано необходимостью учета взаимодействия флуктуаций параметра порядка с другими долгоживущими возбуждениями [30, 57, 81, 132. 133, 134, 135, 146]. С количественной точки зрения это обусловлено более плохой асимптотической сходимостью получаемых в динамике рядов по £ и большим числом существенных диаграмм уже в самых низких порядках теории возмущений.
В последние годы для описания критической динамики удалось развить теоретикополевой вариант ренормгруппы, позволяющий исследовать динамику непосредственно трехмерных и двумерных систем без использования е разложения [60, 194]. В этом плане работа автора диссертации [60] явилась пионерской. Однако точность определения динамических критических характеристик достигнутая в рамках трехпетлевого приближения [60] значительно уступает достигнутой точности описания статического критического поведения.
Большой интерес в теории неравновесных явлений вблизи критической точки имеет вопрос о выделении классов универсального поведения различных систем. Если статическое поведение систем полностью определяется их размерностью и симметрией, то в динамике фазовых переходов понятие универсальности приобретает более широкий смысл - становятся существенными также законы сохранения для локальной плотности долгоживущих сильно флуктуирующих переменных.
Большой интерес вызывает проблема исследования влиянии дефектов структуры на критическое поведение. Рассеяние флуктуаций на дефектах структуры, вызывающих нарушение трансляционной инвариантности системы, обусловливает дополнительное взаимодействие флуктуаций параметра порядка через поле дефектов, характеризующееся специфическими законами сохранения. Особенно интересно влияние замороженных дефектов структуры, чье присутствие проявляется или как случайное возмущение локальной температуры (как это происходит, например, в ферромагнитных и антиферромагнитных системах н отсутствие внешнего магнитного поля) или как случайные поля, сопряженные параметру порядка (например, в антиферромагнитных системах в однородном магнитном поле). Наибольших успехов в качественном понимании и количественном описании
-8-
исследователи достигли при изучении влияния точечных ^-коррелированных дефектов с эффектами типа случайной локальной температуры на критическое поведение неупорядоченных систем. Так, в работе Харриса [136] был сформулирован эвристический критерий существенности точечных дефектов, согласно которому присутствие замороженных точечных дефектов изменяет свойства системы вблизи критической точки, если теплоемкость соответствующей однородной системы характеризуется критическим индексом теплоемкости а0 > 0. В противном случае присутствие дефектов не сказывается на значении критических индексов.
Согласно последним исследованиям критических явлений [72, 121, 156, 182, 183], данному критерию удовлетворяют только неупорядоченные системы, эффективный гамильтониан которых вблизи критической точки изоморфен гамильтониану модели Изин-га. Ренормгрупповой анализ с использованием е-разложения [80,128,177,187] выявил, что критическое поведение неупорядоченных изингоподобных систем действительно характеризуется новым набором критических индексов. Однако, асимптотическая сходимость рядов ^-разложения для систем с дефектами еще более слабая, чем для однородных. Поэтому для их исследования был применен теоретико-полевой подход [72,121,156, 182, 183,192], в рамках которого были получены более точные значения критических индексов и доказано, что маргинальная размерность параметра порядка, для которого существенны точечные дефекты, действительно меньше 2 [156].
Эксперимент [100, 226] подтвердил численное отличие статических критических индексов для неупорядоченных систем от их значений для однородных систем и показал хорошее согласие с теоретическими результатами. Однако вопрос влияния дефектов на критическую динамику значительно менее исследован [60, 129, 154, 167]. Критерий Харриса оказывается справедлив как при описании равновесного, так и неравновесного критического поведения. Однако, влияние беспорядка, вызванного присутствием дефектов сильнее проявляется в динамике [129]. К сожалению, по критической динамике неупорядоченных систем осуществлено мало экспериментальных исследований [96]. При этом достигнутая точность результатов низка для достоверной проверки результатов теоретических расчетов. Нет и достаточно обоснованных теоретических оценок динамического индекса г из-за плохой асимптотической сходимости рядов 5 -разложения для неупорядоченных систем.
В последнее десятилетие широкое распространение получили компьютерные мето-
-9-
ды моделирования как статического, так и динамического критического поведения раз личных систем, которые стали альтернативой реальным физическим экспериментам. В результате возникла потребность в более точных значениях критических индексов. В работе автора диссертации [60' впервые было осуществлено теоретико-полевое описание критической динамики неупорядоченной трехмерной модели Изинга в двухпетлевом приближении с применением методов суммирования для возникающих асимптотических рядов по амплитудам взаимодействия флуктуаций параметра порядка. Полученные значения динамического индекса г существенно отличались от значений, получаемых с применением е-разложеиия. В связи с этим возникает потребность в дальнейшем развитии адекватных методов описания неравновесного критического поведения неупорядоченных систем и уточнении значений индекса г в более высоких порядках приближения теории.
Важным представляется исследование влияния неупорядоченности, создаваемой присутствием примесей, на характер фазовых диаграмм систем в окрестности мульти-критических точек. Теоретические модели, соответствующие данным системам, являются многовершинными. Исследование возможных типов устойчивого мультикритического поведения, описываемых данными моделями, в рамках метода е - разложения [38, 42,151] в однопетлевом приближении нельзя считать достоверными. Автором диссертации при исследовании мультикритического поведения однородной системы в [66] наглядно было показано слабое соответствие предсказаний однопетлевого приближения реальному муль-тикритическому поведению. В случае неупорядоченных систем можно ожидать еще более существенных отличий. Поэтому необходимо развитие теоретико-полевого описания мультикритического поведения неупорядоченных систем в более высоких порядках приближения теории с применением эффективных математических методов для суммирования асимптотических рядов, получаемых в реальном пространстве в различных многопетлевых приближениях.
Для неупорядоченных систем остается невыясненным главный вопрос: являются ли критические индексы для примесных систем универсальными, т.е. не зависящими от концентрации примесей вплоть до порога перколяции, или существует линия фиксированных точек, определяющая непрерывное изменение критических индексов с концентрацией. Теоретическое ренормгрупповое описание справедливо лишь для слабо неупорядоченных систем, а систематического экспериментального исследования спиновых систем от области
-10-
слабой неупорядоченности до порога перколяции к настоящему времени еще не проведено. В работах [107, 141, 180], посвященных компьютерному моделированию неупорядоченной трехмерной модели Изинга наблюдалось непрерывное изменение эффективных критических индексов с изменением концентрации примесей, в то время как в работе [220] была подтверждена концепция универсальности критических индексов в рамках погрешности определения их значений. Однако критическая динамика неупорядоченной трехмерной модели Изинга вплоть до 1992 г.. когда была опубликована работа Вакилона А.Н. и Прудникова В.В. [10], не изучалась методами Монте-Карло.
Особенный интерес для исследователей представляют неупорядоченные низкоразмерные магнетики, описываемые моделью Изинга. Из-за равенства нулю индекса теплоемкости а однородной модели влияние беспорядка, вносимого присутствием примеси, становится неопределенным. Детальное рассмотрение этого случая [114, 214] позволило прийти к выводу, что влияние примеси затрагивает талько поведение теплоемкости, в то время как остальные термодинамические и корреляционные функции не изменяют своего критического поведения, за исключением появления логарифмических поправок. Теоретико-полевое рассмотрение релаксационного режима критической динамики слабо неупорядоченных двумерных изинговски-подобных магнетиков показало [60], что оно не отличается от динамики однородной модели. Однако, нет достаточно ясного понимания процессов критической релаксации при больших концентрациях примесей, особенно, близких к порогу перколяции рс. В ряде работ [138, 139] были высказаны идеи нарушения при перколяционной концентрации спинов стандартной формы динамического скейлин-га. Исследование данных вопросов методами компьютерного моделирования критической динамики двумерной модели Изинга при изменении концентрации примесей в широком интервале представляв!' несомненный интерес с точки зрения основ теории критических явлений.
Что касается неупорядоченных спиновых систем с эффектами случайных полей, то несмотря на интенсивные теоретические и экспериментальные усилия в течение последних двадцати лет [26], в настоящее время существует совсем немного надежно установленных фактов о поведении данных систем. В частности, природа фазового перехода в трехмерной модели Изинга со случайными полями все еще остается невыясненной, а получаемые при компьютерном моделировании таких систем результаты являются противоречивы-
-11
ми. Выявление особенностей фазовых превращений н магнетиках со случайными нолями по сравнению с системами со случайной локальной температурой (случайными спиновыми взаимодействиями) методами компьютерного моделирования имеет важное теоретическое и практическое значение.
Смещение исследований в современной физике твердого тела в область микромасштабов вызвало необходимость понимания тонких явлений связанных с наличием протяженных дефектов структуры типа дислокаций, границ зерен, примесных комплексов и т.д. Все эти особенности представляют собой проявление пространственно скоррелированных неоднородностей. Вопрос влияния эффектов дальнодействующей пространственной корреляции замороженных дефектов структуры на статическое и, в особенности, на динамическое критическое поведение несмотря на его важность при описании критического поведения реальных неупорядоченных систем мало исследован, а полученные результаты носят оценочный характер [23, 25,162,164, 233]. Поэтому существует потребность в развитии более надежных методов описания критического поведения систем с дальнодействующей корреляцией дефектов структуры и получении более точных сведений об условиях устойчивости различных типов критического поведения таких систем и характеристиках этого поведения.
В легированных полупроводниках и диэлектриках примесные атомы и собственные дефекты структуры могут образовывать примесные комплексы, характеризующиеся эффективным электрическим дипольным моментом |.9, 18, 22, 238]. В зависимости от собственных поляризационных свойств кристаллов система примесных дипольиых центров может вызывать фазовый переход в состояние динольного стекла для слабо поляризуемых кристаллов или сегнетоэлектрический фазовый переход в сильно поляризуемых кристаллах [14, 16, 17, 71].
Выявленное при экспериментальном исследовании оптических, структурных, акустических и термодинамических свойств кристаллов полупроводниковых соединений А3В5 аномальное поведение ряда характеристик в условиях сильного легирования донорными примесями VI группы [3, 4, 9, 69, 208] может быть обусловлено процессами интенсивного комплексообразования и возникновением примесных комплексов, обладающих свойствами дипольных центров [9]. Однако в отличие от материалов, анализируемых в [16, 18], пьезоэлектрические кристаллы, к которым относятся полупроводниковые соединения А3В5. ха-
-12-
рактеризуются линейной стрикционной связью поля поляризации и упругих деформаций решетки. Исследование влияния эффектов линейной стрикции на коллективные свойства системы дипольных примесных центров представляет интерес как с теоретической, так практической точки зрения.
В связи с этим целью настоящей диссертации является:
1. Исследование критического релаксационного поведения однородных и неупорядоченных изингоподобных систем со случайно распределенными замороженными точечными 6 - коррелированными дефектами структуры. В рамках данного исследования ставится задача провести:
- развитие методики и осуществление теоретика полевого описания критической динамики однородных систем в четырехпетлевом приближении с применением методов суммирования асимптотических рядов;
- разработку теоретико полевого подхода, основанного на формализме динамического производящего функционала, для описания критической динамики неупорядоченных систем и его применение к описанию критической релаксации трехмерной слабо неупорядоченной модели Изинга в трехпетлевом приближении с привлечением методов суммирования асимптотических рядов;
- определение для однородных и неупорядоченных систем динамических скейлинговых функций и вычисление динамического критического индекса гг, задающего температурную зависимость времени релаксации параметра порядка в окрестности критической точки;
- компьютерное моделирование процессов критической релаксации намагниченности в однородных и неупорядоченных трехмерной и двумерной моделях Изинга при изменении концентрации точечных примесей в широком интервале от уровня слабого разбавления до концентраций, близких к порогу перколяции;
- сопоставление результатов теоретико-полевого расчета с результатами компьютерного моделирования критической динамики однородных и слабо неупорядоченных систем;
- выяснение вопроса об универсальности неравновесного критического поведения неупорядоченных систем;
- проверку идеи нарушения при перколяционной концентрации спинов стандартной формы динамического скейлинга.
2. Исследование особенностей фазовых превращений в магнетиках со случайны-
-13-
ми полями по сравнению с системами со случайной локальной температурой методами компьютерного моделирования неупорядоченной антиферромагнитной трехмерной модели Изинга в однородном внешнем поле. Определение природы фазового переходя в трехмерной модели Изинга со случайными полями и построение фазовой диаграммы модели при различных значениях концентрации примеси.
3. Развитие методики и осуществление теоретико-полевого описания мультикрити-ческого поведения систем с двумя параметрами порядка. Исследование влияния неупоря доченыости на характер фазовых диаграмм и свойства систем в окрестности мультикри-тических точек.
4. Исследование статического и динамического критического поведения неупорядоченных трехмерных систем с дальнодействующей корреляцией замороженных дефектов структуры и систем с протяженными дефектами. И рамках данного исследования предполагается провести:
- разработку теоретико-полевого описания систем со случайно распределенными параллельно ориентированными протяженными дефектами в двухпетлевом приближении с при менением методов суммирования асимптотических рядов;
- разработку теоретико полевого описания трехмерных систем с изотропной дальнодействующей пространственной корреляцией дефектов структуры в двухпетлевом приближении с применением методов суммирования асимптотических рядов;
- определение статических и динамических скейлинговых функций;
- определение фиксированных точек ренормгрупповых преобразований и условий устойчивости различных типов критического поведения;
- вычисление статических критических индексов и динамического критического индекса;
- сопоставление полученных результатов с результатами других исследований.
5. Исследование фазовых превращений в пьезоэлектрических кристаллах, индуцируемых системой дипольных примесных центров. Определение природы фазового перехода и структурных особенностей кристаллов за счет эффектов линейного стрикционного взаимодействия поля поляризации и упругих деформаций. Объяснение совокупности наблюдаемых аномальных явлений в полярных полупроводниковых соединениях А3В5 в условиях сильного легирования элементами VI группы и интенсивного комплексообразования.
- 14 -
Глава 1 Фазовые переходы второго рода и критические явления
Введение
Фазовые превращения - широко распространенные явления природы, которые систематически исследуются уже более ста лет. Началом исследований в области физики фазовых переходов, но всей видимости, следует считать экспериментальное изучение Т. Эндрюсом (1869) критической точки жидкость - пар, которое стимулировало появление теории Ван дер Ваальса. Примерно в то же время начались систематические исследования возникно вения в некоторых веществах при понижении температуры спонтанной намагниченности. Важным этапом в понимании этого явления было создание П. Вейсом (1907) теории молекулярного поля. Позже были открыты структурные фазовые переходы, фазовые переходы в бинарных сплавах стехиометрического состава, фазовые переходы в сверхпроводящее и сверхтекучее состояния и др. Некоторые из этих фазовых превращений сопровождаются выделением (или поглощением) тепла и скачкообразным изменением плотности. В соответствии с известной классификацией П. Эренфеста (1933), такие фазовые переходы называются фазовыми переходами первого рода. В отличии от них фазовые переходы второго рода характеризуются скачками, которые испытывают лишь вторые (а не первые) производные термодинамического потенциала, т.е. теплоемкость, восприимчивость и т.д. К фазовым переходам второго родя в известном смысле примыкают также переходы первого рода, близкие к критической точке. Понятие последней впервые ввел Д.И. Менделеев
- 15 -
(1860). Эта точка на фазовой плоскости (например, давление-температура для системы жидкость - пар), в которой оканчивается кривая фазового равновесия. Оказывается, что переходы первого рода, близкие к критической точке, становятся весьма ’’похожими” на фазовые переходы второго рода. А именно скачки первых производных (плотности, теплоты фазового перехода) становятся малыми, но одновременно возникает аномальное поведение вторых производных термодинамического потенциала (теплоемкости, сжимаемости и т.п.), как и в случае типичных фазовых переходов второго рода. Это и определяет физическую общность между фазовыми переходами второго рода и критическими явлениями. Многочисленные исследования разнообразных по своей физической природе фазовых переходов убедительно свидетельствуют об их определенном сходстве и самое удивительное о количественном совпадении некоторых их характеристик. Это дает надежду на возможность построения достаточно общей универсальной теории критических явлений.
В данной главе для лучшего восприятия последующего оригинального материала диссертации введены основные понятия и кратко рассмотрены основные положения и некоторые методы современной теории критических явлений. Основное внимание уделяется так называемым ренормгрупповым методам описания равновесного и неравновесного критического поведения, которые в наибольшей степени соответствуют требованию у ни версальности, что не мешает им оставаться одними из наиболее точных методов.
1.1 Теория Гинзбурга-Ландау.
Первая универсальная феноменологическая теория фазовых переходов второго рода и критических явлений была построена Л.Д. Ландау в 1937г.[35'| Она явилась важным этаном в создании современной теории критических явлений, поскольку позволила с единой точки зрения описать любые фазовые переходы второго рода и критические явления. Ландау удалось выделить ту общую черту, которая объединяет множество казалось 61.1 далеких друг от друга явлений - спонтанное нарушение симметрии, для описания которого он ввел фундаментальное понятие современной теории критических явлений - параметр порядка. Физический смысл параметра порядка может быть различным и зависит от природы фазового перехода. Примерами параметра порядка могут служить: намагниченность при пере ходе ферромагнетик - парамагнетик; разность плотностей жидкости и пара в окрестности
-16-
критической точки системы жидкость-пар; волновая функция сверхтекучей компоненты при А-переходс Не4 в сверхтекучее состояние. Общим является то, что параметр порядка равен нулю в высокотемпературной (неупорядоченной) фазе с более высокой симметрией и отличен от нуля в низкотемпературной (упорядоченной) фазе с более низкой симметрией. Ландау постулировал разложимость термодинамического потенциала Ф(фуТу...) вблизи точки перехода в ряд по степеням параметра порядка ф с коэффициентами - аналитическими функциями температуры Т и внешних параметров. Явный вид этого ряда, а так же число компонент параметра порядка определяются группой симметрии системы в точке фазового перехода [36]. С микроскопической точки зрения теория Ландау является некоторым обобщением метода самосогласованного поля применяемого в частных случаях для описания критического поведения конкретных микроскопических моделей реальных систем, таких как модель йзинга, модель решеточного газа и др. [55, 73, 178] Самым главным и очевидным недостатком этого приближения является то, что оно не учитывает корреляции микроскопических переменных. Теорию Ландау можно обобщить с учетом эффектов корреляции, если учитывать только вклад от степеней свободы, соответствующих большим пространственным масштабам, которые на самом деле являются определяющи ми в окрестности критической точки. В этом случае параметр порядка является почти пространственно-однородным и поэтому может быть представлен как медленно меняющаяся в пространстве функция <£(х) с малыми градиентами. В простейшем случае симметрии 0(пг) это приводит к термодинамическому потенциалу
где ф2(х) = $(*)> (^Ф)2 = который называют эффективным гамиль-
тонианом Гинзбурга - Ландау. Здесь ^ размерность пространства, Л(£) - внешнее поле, сопряженное параметру порядка. В окрестности фазового перехода
ТА - затравочная критическая температура. Следует отметить, что функция ф(х) хорошо определена лишь на расстояниях превышающих некоторую величину А"1, которую естественно ассоциировать с постоянной решетки.Точное решениезадачи с (1.1), т.е. вычисление полной статистической суммы
ЯаьМ = /[g М2(х) + (V*)2) + ^(фг)2 - Л(х)*(х)], (1.1)
r0(i) = Oot, щ (t)= const, t= (Г —ТсУГс,
(1.2)
(1.3)
-17-
и Лг-точечных корреляционных функций
<3^(хХ|...,хЛ) = ^ / Ш<^(х1)...^(хп)ехр(-Ясь[<р]) (1.4)
оказывается невозможным. Поэтому важное значение имеет так называемое гауссово приближение «о = 0, соответствующее пренебрежению взаимодействием флуктуаций параметра порядка и дающее критическую температуру равную затравочной. Хотя получаемая при этом модель не дает ничего нового при изучении термодинамики фазового перехода по сравнению с теорией Ландау, она позволяет в первом приближении исследовать поведение корреляционных функций. Простые расчеты приводят в этом случае к следующему выражению для фурье-образа парной корреляционной функции
= {!^Р) = (1.5)
Обратное преобразование при Л — 3 дает функцию
С<г)(х)=^ехр(-М)! (1.6)
где ( = го1/2 имеет смысл корреляционной длины. Таким образом корреляционная функция в критической точке характеризуется аномальным поведением - не экспоненциальным (степенным) убыванием с расстоянием, а корреляционная длина в этой точке обращается в бесконечность. В рамках этой модели А.II. Леванюком [39] и В.Л. Гинзбургом [19] был получен критерий применимости теории Ландау
«о*?/«о С * < 1 (1*7)
Этот критерий предсказывает существование такой области температур в непосредственной окрестности критической точки, в которой результаты теории Ландау могут быть
не справедливыми. Ширина этой области, называемой флуктуационной, определяется интенсивностью взаимодействия флуктуаций параметра порядка и варьируется в широких пределах, от очень маленьких размеров пока недоступных в эксперименте, например в сверхпроводниках |*| < 10“м, до существенных размеров в некоторых магнитных системах.
1.2 Критические индексы. Гипотеза подобия.
Задолго до того, как появились первые экспериментальные данные, не согласующиеся с теорией Ландау, Л. Онсагером была опубликована работа [198], посвященная исследовя-
-18 -
нию поведения намагниченности и теплоемкости двухмерного ферромагнетика в нулевом внешнем поле (точно решаемая модель), результаты которой оказались в неожиданном противоречии с результатами классической теории. Ландау и другие исследователи, естественно, понимали что роль крупномасштабных флуктуаций по мере приближения к критической точке должна возрастать. Уже к середине 20-х годов была опубликована известная работа Орнштейна Цернике, на основе которой удалось объяснить многие черты критической опалесценции. Фяуктуационные явления изучались в рамках феноменологического подхода в работах Сцилларда, Мандельштама, Леонтовича и др. Но сама идея об определяющей роли флуктуаций для всей проблематики фазовых превращений оконча тельно оформилась к середине 60-х годов. Это было связано, конечно, в первую очередь с прогрессом в области экспериментальных исследований, убедительно продемонстрировавших расхождение реального критическом поведения с предсказаниями теории Ландау. Как уже отмечалось, особенностью критических явлений является сингулярное поведе ние некоторых термодинамических величин в точке перехода. Эксперименты и численные расчеты на моделях убедили исследователей в степенном характере этих особенностей. Показатели степеней получили название критических индексов. Стандартные обозиаче ния для этих величин были введены Фишером [116] и имеют следующий вид, индекс а для теплоемкости:
С-ІГ-ТсГ*, (1.8)
индекс Д для параметра порядка:
ф~\Т-Тс\*, Т<ТС, (1.9)
индекс 7 для восприимчивости:
Х~| Т-ЪГ, (1.10)
индекс 6 для критической изотермы:
Ф(Ь, Те) ~ (1.11)
Для описания флуктуаций параметра порядка ф вводится индекс и, определяющий температурную зависимость корреляционной длины:
£~|Т-Гср,
(1.12)
- 19 -
и индекс г?, определяющий закон убывания корреляционной функции с расстоянием х при
Важность критических индексов в первую очередь определяется тем, что именно они могут быть наиболее просто измерены в эксперименте. Предсказываемые теорией Ландау универсальные значения критических индексов
значительно отличаются от наблюдаемых.
Это говорит о том, что гауссово приближение гх0 = 0 является слишком грубым и адекватная теория критических явлений должна учитывать взаимодействие флуктуаций параметра порядка. Попытка построить какую-либо теорию возмущений наталкивается на значительные трудности. Так например можно построить ряды по степеням «о расклады вал экспоненту в выражениях (1.3) - (1.4). Однако оказывается, что подобные разложения являются лишь асимптотически сходящимися рядами. Доказано [199], что хотя они расходятся, их борелевская сумма существует и равна исходным континуальным интегралам. Другие препятствия связаны с существованием самой критической точки. Во-первых, взаимодействие сдвигает температуру перехода. Эта трудность может быть устранена разложением по ио не при фиксированном г0, а при фиксированном 6г = г0 — г0с, где г0с(но) определяет истинную температуру перехода. Во-вторых, фактический (безразмерный) параметр разложения оказывается пропорциональным щ/6г(4~«0/2 и расходится при 8г ->■ О и с/ < 4. Другими словами, в этом случае взаимодействия оказываются эффективно очень сильными и напротив если & > 4, они не существенны и индексы определяются теорией Ландау. В то же время универсальный характер поведения в флуктуационной области наводит на мысль о том, что он является следствием некоторой симметрии системы в критической точке и что ее выявление и исследование даст возможность определить универсальные характеристики критические индексы. На первом этапе влияние флуктуаций удалось феноменологически описать с помощью гипотезы подобия (масштабной инвариантности), концепция которой была выработана в пионерских работах А.З. Покровского и В.Л. Наташинского [52, 53, 54], В. Видома[234], Л.П. Каданова [158], положивших начало современной флуктуационной теории критических явлений. Суть ее составляет предположение о том, что в окрестности критической точки сингулярная зависимость физических
Т = Те
(1.13)
а = 0 , ,3 = 1/2 , 7 = 1 , <5 = 3, V = 1/2 , г\ = 0.
(1.14)
- 20-
величин от Т - Тс осуществляется только через зависимость от £ , которая расходится при Т —>• Тс. Это приводит к тому, что в окрестности критической точки есть только один существенный параметр длины - £, остальные же микроскопические размеры, например А“1 , не влияют на характер особенности термодинамического потенциала, а значит и на значения критических индексов. В результате этого термодинамический потенциал и кор реляционные функции являются обобщенно однородными, т.е. зависят лишь от некоторой комбинации переменных. Это приводит к существованию так называемых скейлингоных соотношений, отражающих связь между различными критическими индексами
из которых видно, что независимыми являются только два индекса, вычисление которых одна из главных проблем теории критических явлений.
1.3 Метод ренормгруппы и е - разложения.
Метод ренормгруппы, предложенный К.Вильсоном [236, 237], будучи непосредственно связанным с картиной масштабной инвариантности флуктуаций, позволяет последовательно вычислять значения критических индексов, используя разложение по специфическому ма лому параметру е = 4 - Н. Основная идея метода заключается в последовательном исключении большого числа коротковолновых степеней свободы и сведению задачи к вычислению статистической суммы системы крупных блоков. Гамильтониан Н[ф, А] для широкого класса систем в окрестности критической точки можно представить в виде ряда по степеням флуктуаций параметра порядка ф и их производных
В (1.19) совершен переход к фурье-образам 0(х) и интегрирование по qi проводится в области 0 < $ < А. Гамильтониан #(<£,А] полностью определяется совокупностью величин дп и представляется вектором (точкой) g бесконечномерного параметрического пространства коэффициентов дп. Ренормализациопное преобразование гамильтониана определяется
а + - у = 2,
(1.15)
(1.16)
(1.17)
(1.18)
7 = 1/(2 — *?), 7 = ДО - 1),
иН = 2 - а
Я1ФД] = £/■■■( ^«1 ■ ■ • ^9п9п(Я}. • • ■ Ч04>ч-. • • • • (1-19)
-21 -
следующим образом [13]. На первом шаге исключается зависимость Я от коротковолновых гармоник фч с волновыми векторами Л/6 <д<ЛиЬ>1. Эту процедуру можно
л
обозначить как действие оператора 5(6):
-Я[*,А)) П <10,- , (1.20)
9=Л/*>
Очевидно, что ’'сглаженный” таким образом гамильтониан Я приводит к исходной статистической сумме и корреляционным функциям, если рассматривать последние при значениях аргументов, соответствующих достаточно большим масштабам. На втором шаге гамильтониан подвергается действию масштабного преобразования, восстанавливающего прежнее значение параметра обрезания Л
<?-м' = 6<у, (1.21)
и одновременно преобразованию изменения нормировки поля параметра порядка в 2(6) раз
Фч = Фь-у ФV = Щ)Фь-н> = Я(ь)Фч' (1*22)
Совокупность этих двух преобразований гамильтониана можно обозначить как действие оператора Я(6), определенного следующим образом:
6(ь)н[ф,А] = щг(ь)-%м) = Щму (1.23)
Последовательное применение операторов §(Ь) и Я(6) образует ренормализационные преобразование:
Я(6) = £>(6)5(6). (1.24)
В результате, после применения ренормализационного преобразования, ренормированные гамильтонианы описывают флуктуации нового паля ф'ч в исходной области волновых векторов, поэтому их можно изображать точками g, н том же пространстве коэффициентов дп. Таким образом перенормировка щЬ) переводит одну точку параметрического пространства в другую
g, = Я(6)g. (1.25)
1’енормализационные преобразования Я(6) образуют полугруппу при степенной зависимости Z от 6 л ипа 2(6) = 6°, так как в этом случае
Я(6)Я(6') = Я(Ьб'). . (1.26)
ехр(-5(6)Я[<&Л]) = ехр(—Я[ф,Л/6]) = J ехр(
-22-
Ее традиционно называют группой перенормировок или просто ренорм группой, хотя в ней и не определен обратный оператор. Начав с некоторого затравочного гамильтониана Н[ф,А] и многократно применяя к нему процедуру перенормировки Ü(6j), Л(Ь2), Я(Ьз),.. можно получить последовательность гамильтонианов Я[, Н'2, #3,..., о которой обычно говорят, как о траектории исходного гамильтониана, которую он описывает в пространстве коэффициентов дп. Предельные свойства этих последовательностей или траекторий непосредственно связаны с критическим поведением системы. Последовательное применение процедуры перенормировки к гамильтониану системы, не находящейся в критической точке, приводит его к достаточно большим пространственным масштабам, на которых флуктуации параметра порядка будут описываться термодинамической теорией флуктуаций. В этом случае распределение флуктуаций термодинамических величин является гауссовским и поэтому последовательность перенормированных гамильтонианов будет стремиться к конечному пределу вида
= (1-27)
9<Л
R критической точке, характеризующейся аномально сильным взаимодействием флуктуаций, область гауссовски распределенных флуктуаций отсутствует, поэтому возможно существование предельного гамильтониана Н*, описывающего негауссово распределение флуктуаций параметра порядка. Гипотеза о существовании негауссовой фиксированной точки g*, впервые выдвинутая в работе [123], в силу следствий вытекающих из нее (в частности скейлинговых соотношений) эквивалентна гипотезе подобия. Необходимым условием существования фазового перехода второго рода является наличие в пространстве дп поверхности, называемой критической, такой что все ее точки g обладают свойством
g- = lim Ä(6)g. (1.28)
Ь—+00
Предел Я* или фиксированную точку g* ищут, рассматривая инфинитезимальную форму ренормализационного преобразования, что обычно приводит к уравнениям вида
-Йгь = р{я} или | <L29)
представлящим собой уравнения движения в пространстве дп, в которых переменная £ = -In6 играет роль времени. Уравнение
/{g'} = о, (1.30)
-23-
задает фиксированную точку g* ренормализационных преобразований Я(Ь). Уравнения (1.29,1*30) в действительности представляют собой сложные системы нелинейных уравнений для коэффициентов <7« * Общий анализ уравнений ренормгруппы дан в работе Вильсона и Когута [13].
Характеристики критического поведения, в том числе и критические индексы опре деляются скоростью приближения гамильтониана к фиксированной точке под действием ренормализационных преобразований. Для исследования процесса приближения гамильтониана к фиксированной точке, уравнения движения (1.29) линеаризуют в ее окрестности так, что если представить вектор g в виде
8 = 8* + е, (1.31)
то малый вектор отклонения е подчиняется системе линейных уравнений
<9е
щ = Дце, (1.32)
в которой линейный оператор Яь определен следующим образом
Д£(*)=^| . (1.33)
\ё=ё.
и обычно представляется матрицей с рангом, равным числу параметров затравочного га мильтониана.
Важную роль в методе ренормгруппы играют собственные вектора и собственные
А
значения оператора Я/,, определяемые уравнением
Дс(Ь)в£ = —А» в», (1.34)
так как они позволяют исследовать решение уравнений движения в окрестности фиксированной точки g\ Действительно, решение уравнения (1.32) в соответствии с теорий обыкновенных дифференциальных уравнений можно представить в виде
ё(0 = ё* + 5^ Ы = й*ое"д,с, (1-35)
*
где - произвольные постоянные, определяемые начальным положением вектора g в параметрическом пространстве. Это решение с точностью до слагаемых второго порядка
малости соответствует решению точного уравнения (1.29), и поэтому может быть использовано только лишь в непосредственной окрестности фиксированной точки.