2
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение...........................................................4
Глава I. Исследование распространения светового излучения
в случайно-неоднородных средах с двух-направленной индикатрисой рассеяния...................................28
1.1. Распространение стационарного светового излучения в полу-бесконечной гомогенной среде. Функция Грина при двух-нап-равленной индикатрисе рассеяния.............................29
1.2. Одномерное стационарное блуждание фотона в полубесконеч-ной гомогенной среде........................................36
1.3. Нестационарное одномерное блуждание фотона в случайной среде.......................................................46
1.4. Основные результаты................................ 58
Глава 2. Распространение светового излучения в случайно- неоднородных двумерных средах с полинаправленными индикатрисами рассеяния..............................................59
2.1. Уравнение переноса светового излучения и индикатрисы
рассеяния в 20- среде....................................60
2.2 Распространение стационарного светового излучения в полу-бесконечной гомогенной 20- среде при нормальном падении излучения на её поверхность.............................65
2.3. Расчет временных характеристик отраженного излучения при облучении 20- среды с 4-х направленным законом рассеяния широким световым потоком.............................. 79
2.4. Основные результаты.................................... 85
Глава 3. Применение метода разделенных потоков и принципа
инвариантности в линейной теории распространения скалярного светового излучения в нсунорядочненных средах...................................................86
3.1. Постановка задачи. Метод разделенных потоков............ 87
3.2. Вывод уравнений для парциальных функций отражения.......94
3.3. Вычисление полной и парциальных функций отражения
и коэффициентов отражения при двухнаправленной индикатрисе рассеяния..........................................100
3.4. Метод угловых функций Грина в адьбедных задачах линейной теории переноса светового излучения........................105
3.5. Квази-направленные индикатрисы рассеяия................111
3.6. Вычисление угловых спектров ограженного излучения в приближении “обратных столкновений”....................^.......120
3.7. Основные результаты....................................134
3
Глава 4. Отражение нестационарного пучка света от поглощающей среды с крупномасштабными расссеивающими центрами при скользящем падении излучения на её по-
верхность................................................ 135
4.1. Постановка задачи. Нестационарная функция Грина в проблеме малоуглового отражения фотонов......................... 140
4.2. Отражение 5 -импульсного светового сигнала............. 145
4.3. Исследование переходного режима........................ 150
4.4. Расчет временной зависимости обратно-рассеянного излучения при облучении поверхности модулированным световым сигналом.....................................................153
4.5,Основные результаты..................................... 161
Выводы........................................................... 162
Приложение 1. Расчет и временной анализ нисходящего излучения
в модельной 2D- среде с 3-х направленным законом рассеяния..............................................164
Список литературы................................................ 167
4
ВВЕДЕНИЕ
Большинство природных сред или сред искусственного происхождения (атмосфера Земли или других планет, межзвездная пыль, космическая плазма, воды морей. Мирового океана и речных бассейнов, биологические ткани, фотографические материалы, жидкие кристаллы и. т.д.) содержат хаотические неоднородности различных размеров и формы, рассеивающие в той или иной степени проходящее через них электромагнитное излучение. Проходящее и отраженное от таких случайных сред световое излучение в различных частях спектра содержит важную информацию о свойствах таких сред. Этот факт способствует неуклонному возрастанию количества теоретических и экспериментальных научных исследований, посвященных анализу процесса распространения светового излучения в случайнонеоднородных средах. Так, например, электромагнитное излучение оптического диапазона широко используется в океанографических исследованиях [1-3], при разработке систем подводного оптического наблюдения [ 3, 4-6 ], при исследовании оптических свойств атмосферы Земли [ 6-9 ], для мониторинга экологии водных бассейнов и атмосферы [6,10], в астрофизике [9.11,12]. Лазерное излучение, а так же излучение в ближнем ИК диапазоне, позволяет использовать оптические методы для контроля и диагностики внутренних органов и биологических тканей животных и чедовека[13-16]. Безусловно актуальны работы по транспорту светового излучения в вопросах оптической связи , дистанционного зондирования и обнаружения различных природных и искусственных образований [2,5,6,15.]. Оптические методы исследований достаточно универсальны, обладают высокой точностью. Их важной особенностью является неразрушающее воздействие на предмет исследования [17].
Для вычисления световых полей как внутри среды, так и вышедшего из неё излучения, необходимо решить транспортное уравнение Больцмана с соответствующими граничными условиями. (Кинетическое уравнение Больцмана было сформулировано в 1872г.) Однако, данная теория возникла примерно столетие назад , ещё до Больцмана, в основном благодаря трудам Хвольсона (1852-1934) [18,19] и независимо Ломмеля (1837- 1899) [20]. В их работах было впервые сформулировано интегральное уравнение с А -оператором ( т.е. с разностным ядром на полубесконечном интервале) для определения плотности световой энергии в плоском слое конечной толщины при изотропном законе однократного рассеяния, т.е. одно из основных уравнений астрофизики и нейтронной физики. В современных обозначениях уравнение Хвольсона записывается так:
В{х) = В,ех£-х I СО50О) + -^/£Г,(|т - х'\)В(х')с1х' (В.1)
& 0
Здесь В(т) = йюр(т) - плотность энергии светового поля; т - оптическая глубина; р(т)- плотность фотонов на глубине т; Л - вероятность выживания кванта; £,(т)- интегральная показательная функция; б0 - угол падения широкого светового пучка на поверхность слоя вещества с оптической толщи ной т0.
Не имея в то время в своем распоряжении методов решения такого рода
уравнений, Хвольсон и Ломмель решали (В.1) методом иттераций по А, т.е. по числу актов рассеяния. Выражение для интенсивности однократно рассеянного света от плоской среды, наз. законом Ломмеля-Зеелигера . Однако. в отличие от Ломмеля. Хвольсон не ограничивается изучением вклада в поле излучения рассеяний первых двух порядков, но и обсуждает асимптотическое поведение решения в глубоких слоях, т.е. впервые исследует глубинный режим [2,6,21,22], когда В(т) = Лехр(-кт), где к- глубинный показатель ослабления. В те годы в физике безраздельно господствовали дифференциальные уравнения. Основополагающие работы Вольтера (1896), Фредгольма (1903), атак же Шмидта (1907) и Гильберта (1912) по интегральным уравнениям были ещё впереди - а Хвольсон не только использует интегральное уравнение для решения физической задачи, которое в принципе не-может быть сведено к дифференциальному уравнению, но и изучает вопрос об асимптотическом поведении решения! Уже тогда им было сформулировано уравнение для определения глубинного показателя ослабления которое имеет первостепенное значение не только в теории распространения светового излучения, но и в нейтронной физике [23]. В частности, впервые в истории теории переноса им было показано, что асимптотика решения уравнения (В.І) для слоя вещества конечной толщины вдати от границ определяется решением оОнороОного уравнения для полного пространства (-со < т < +со):
Однако работы Хвольсона и Ломмеля прошли почти незамеченными. Интегральные уравнения с А-оператором вновь появились спустя четверть века в связи с задачами о переносе светового излучения в атмосферах Земли и Солнца. Вторым рождением (1914г.) они обязаны Карлу Шварцшильду [24] - выдающемуся астрофизику - теоретику, (в 1916г. им было найдено точное решение уравнений тяготения Эйнштейна для сферически-симметричного случая - отсюда гравитационный, или шварцшильдский радиус). О работах Хвольсона и Ломмеля Шварцшильд, не знал. Он указал более простой способ вывода уравнения с А-оператором, основанный на формальном решении интегро-дифференциального уравнения переноса Больцмана. Поэтому его работа [24] на долгое время стала стандартной ссылкой. Милн, в связи с изучением солнечной атмосферы, в 1921г. ввел и затем исследовал ( ссылки см. в [25]) однородное интегральное уравнение (В.1) для непоглощающей (А = 1) полубесконечной среды. Поэтому неоднородное интегральное уравнение (В.1) с А-оператором для полубесконечной среды, обычно наз. уравнением Шварцшильда-Милна. Решение уравнения
5(т) = Л|К(т--г')5(т')<*', где К(т)= АГ(-т); /К(т)Л = 1, (В.З)
когда 0 < А < 1, составляет обобщенную задачу Милна. В зависимости от вида ядерной функции К(т) её решение может существовать либо при
(В.2)
о
6
всех значениях (0 < Л < 1), либо в консервативном случае (Л = 1). либо не существовать вовсе. Решение проблемы Милна ( т.е. фактически уравнения Хвольсона (В. 1)) было получено лишь спустя полвека методом Виннера-Хопфа [26.27.28]. Однако, современные серьезные исследователи не предали забвению работы Хвольсона. Так, в известнейшей многотомной монографии Ван де Хюльста [29], которая является настольным пособием многих исследователей, имеется конкрегная ссылка [29. vl. part 2, p.150] на работу Хвольсона , касающаяся вопроса об определении глубинного показателя затухания.
В отличие от строгой теории, исходящей из уравнений Максвелла для света [30-33 ], или уравнения Шредингера для заряженных частиц [34,35] линейная теория переноса светового излучения [2,6-9,11, 21,22, 36 ] оперирует только с переносом энергии в среде, не учитывая когерентные эффекты, связанные с интерференцией и дифракцией эл. м. волн. Эффекты дифракции и интерференции учитываются только при описании характеристик рассеяния и поглощения отдельными рассеивающими центрами [ 2. 37- 40 ].
Если специально не интересоваться поляризационными эффектами, т.е. рассматривать распространение скалярного светового излучения, то оптические свойства среды определяются следующими величинами: коэффициентом поглощения об , коэффициентом рассеяния а и законом однократного рассеяния , т.е. индикатрисой рассеяния x(cosy). (у -угол однократного рассеяния). Транспортное уравнение является линеаризованным кинетичечским уравнением Больцмана [35], т.е. интегро-дифференциаль-ным уравнением, ядром которого как раз и является %(cosy). Основные трудности аналитического изучения транспорта скалярного светового излучения в основном определяются следующими факторами: (.Исключительно ограниченными возможностями получения его общего решения при произвольном виде закона однократного рассеяния x(cosy).
2. Выделение из общего, только того единст венного, которое удовлетворяет соответствующим граничным условиям рассматриваемой задачи.
3. Мерностью среды.
4. Геометрией рассеивающей среды и падающего на неё излучения.
Что касается последнего пункта, то в настоящей работе исследуется транспорт светового излучения только в наиболее распространенных средах с плоской геометрией.
Реальные индикатрисы рассеяния имеют самый причудливый вид [2,6]. В подавляющем большинстве случаев их явное аналитическое выражение определяется экспериментально при натурных измерениях. Ситуация осложняется еще и тем, что реальная геометрическая форма рассеивающих центров может быть самой причудливой и не иметь ничего общего с шарообразной, а их внутренняя структура может быть неоднородной ( например, взвешенные частицы в морской воде, планктон, кристаллики льда в облаках и т.д.). Строгой теории рассеяния света на таких частицах не существует. Поэтому при вычислении x(cosy), приходится делать целый ряд радикальных допущений, заменяя реальную среду более простой физической моделью.
ОСНОВНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РА1ЛИЧИЫХ CPEJ (6]
1. Естественные среды:
АТМОСФЕРА
Оптические Безоблачная Облачная МОРЕ
параметры Видимая область Видимая область И К область
х0 =(сх + k)L„ - 0.5 1-10 1-100 00
а + к 0.5-1.0 0.98-1.0 0.3 - 0.8 0.5 - 0.9
(cosy) 0.67 - 0.83 0.8 - 0.97 -0.83 0.73 - 0.97
И (0.66) - 0.34 (0.4) - 0.06 — (0.54) - 0.06
2. Искусственные среды:
Оптические параметры Фотографический материал Модельная среда
непроявленный проявленный молоко латекс
т0=(а + к)Ь0 1 - со о 1 о 0 -оо 0 -оо
Л= а с + к 0 1 о 0.95-1.0 0-1.0 0-1.0
(cosy) 0.33 - 0.97 0.67 - 0.93 0.83 - 0.9 0.17-0.9
И (1.34)-0.06 (0.66)-0.14 0.34 - 0.2 (1.63)-0.2
Обозначения: т0- оптическая толщина слоя; Л - вероятность выживания кванта; (cosy) - средний косинус угла однократного рассеяния;
(у2)« 2(1 - cosy) - средний квадрат угла однократного рассеяния.
8
Большинство авторов используют одну из самых распространенных моделей - модель эквивалентных сфер, когда среда предполагается моно-оисперсной. В монодисперсной среде рассеивающие свет частицы считаются однородными сферами одинакового радиуса а. Если заданы диэлектрическая и магнитная проницаемость, то амплитуда рассеянных парциальных волн на таких сферических частицах зависит от двух параметров - относительного показателя преломления пп1 и дифракционного параметра р = 2па I X ( X- длина световой волны). Задача о рассеянии световой монохроматической волны на таких рассеивателях была решена аналитически в начале века независимо А. Ляхом (1899) и Ми (1908). Формулы Ми [ 41] имеют сложный вид рядов по присоединенным полиномам Лежандра и функциям Ганксля #,(р) и Определить конкретный вид инди-
катрисы рассеяния по этагм' формулам можно только с помощью ЭВМ. Анализ формул Ми показывает [ 2, 38 ] , что если Х»ау то рассеяние практически изотропно. Ситуация значительно усложняется, когда длина световой волны существенно меньше характерных размеров рассеивателей, так, что р = д/Х»1. т.е. при распространении света в различных естественных и искусственных средах : капельки воды в облаках, дымы, туман, аэрозоли, планктон и различные взвеси в морской и речной воде и т. д. В этом случае эффективный угол однократного рассеяния уе/«Х/д«1 и
рассеяние имеет резко выраженный анизотропный характер: (1 - cosy)«1 .
В точные формулы Ми для поля рассеянной волны входит бесконечное число парциальных волн. Однако, как показал Дебай [ 42] если р »1, то при разложении такой индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра
* 21 + 1 }
X(cosy) = £——x,^(cosy); 2п\x(cosy)siny<fy ->Xo=I- (в-4)
/=о 4Я 0
можно ограничиться только первыми 0 < / < 1тм = 1.2р»1 слагаемыми. Водные / > /тах имеют малые амплитуды и ими можно пренебречь. Расчеты рассеянных полей по формулам Ми достаточно сложны, т.к. при больших значениях р»I, необходимо учитывать много парциатьных рассеянных волн, причем каждую с высокой точностью [2].. Например, для типичной биологической частицы в воде а* 10 мкм при X«0.546мкм. дифракционный параметр р »115 ив сумме (В.4) нужно удержать 140 членов ряда!
Но даже когда с приемлемой правдоподобностью рассеиватели можно считать сферическими, ситуация резко осложняется тем, что реальные среды являются полидисперсными ( 2,6 ]. Имеется значительный разброс размеров рассеивателей в достаточно широких пределах от а < X до а» X. Это существенно влияет на реальную картину рассеяния физически бесконечно малым объемом среды. Например, в то время как при а» X (т.е. р »1), индикатрисы рассеяния на отдельных сферических рассеивающих центрах имеют целый ряд максимумов и минимумов [ 2,4,6 ], в реальных полидисперсных средах из-за разбросов по размерам происходит сглаживание интерференционных лепестков. Поэтому, реально наблюдаемые индикатрисы рассеяния становятся гладкими функциями у. ( см. рис. B.lC.ct).
9
Чем рассеивающие частицы .меньше и оптически мягче ( i п„, -1 ! << I ). тем
более плавными оказываются усредненные индикатрисы рассеяния. Если известна функция распределения сферических частиц по размерам f(a) . то величины о(я), x(cosy;a) необходимо усреднить по размерам частиц:
Результаты расчета усредненных индикатрис рассеяния представлены в подробных таблицах [39]. Вид х(со$у) конечно зависит от выбора функции распределения по размерам частиц /{а). Например, большое распространение получили обобщенное и простое (В.6) Гамма- распределение [2.6..]:
Здесь ат- мода Г- распределения, т.е. точка его максимума; а - средний радиус рассеивателей. Ширина Г- распределения зависит от параметра с . Т.о. Г - распределение имеет два свободных параметра а и <;. Важная особенность Г- распределения - его асимметричность: при а» ат имеется длинный спадающий “хвост”, определяющий концентрацию аномально больших частиц. Такая форма распределения гораздо лучше соответствует фактическим данным, чем простейшее симметричное гауссово распределение. Г - распределение широко используются для расчета оптических характеристик полидисперсных систем как в атмосферной оптике, так и в оптике Океана [2,6]. Уже в 1930 г. И.Рокар [2] использовал (В.6) с параметром $=2 при расчете атмосферных индикатрис. Помимо Г - распределения используются и многие другие: нормальное, распределение Кзптейна, степенное, распределение Юнге и т.д. [2]. Из-за недостаточной информации о распределении по размерам рассеивателей /(а), возникает большая степень произвола конкретного вида закона рассеяния х(соБу). На рис. В.1а.Ь представлены индикатрисы рассеяния морской взвеси для различных значений дифракционного параметра р= 0.3; 1.2; 10 и для различных значений относительного показателя преломления (п^ -т- 1.02 и ш= 1.15) в монодисперс-ной среде. На рис. В.1с,<! изображены усредненные индикатрисы в поли-дисперсной среде для тех же значений пк1 =т. Из рисунков видно, что после усреднения исчезли интерференционные максимумы и минимумы - кривые х(созу) стали монотонными (за исключением “горба” в радугах) [2].
Поскольку х(со$у) является ядром уравнения переноса, то сложность решения этого уравнения в первую очередь определяется видом именно индикатрисы рассеяния. Представляется очевидным, что ни в настоящее время, ни в обозримом будущем не удастся аналитически решить уравнение переноса при произвольном законе однократного рассеяния х(соэу).
условие нормировки
(В.5)
(В.6)
10
Рис, ВЛа-B.ld
Самым простым является изотропный закон рассеяния: в 3D- среде X*"(cosy) “ 1 /4тс; в 2D- среде /“"(cosy ,) = 1 / 2тс. В этом случае. , используя метод Виннера-Хопфа, удается рассчитать угловой спектр отраженного излучения от полубесконечной гомогенной среды без каких либо ограничений на углы падения (0 < 0:) < тс / 2) и рассеяния (0 < 0 < тс). Для решения этой задачи можно так же использовать метод сингулярных собственных функций, предложенный Кейзом [22]. Вычисление распространения излучения в изотропно рассеивающей среде в теории переноса играет такую же фундаментальную роль, как расчет атома водорода в квантовой механике.
Но, в большинстве задач по переносу светового излучения в естественных и искусственных средах рассеяние на отдельных центрах не является изотропным. В этом случае не удается найти точного аналитического решения уравнения переноса. Поэтому используют самые разнообразные приближенные методы, число которых исключительно велико. Только в самом простом случае, стандартного малоуглового приближения (СМП), когда не учитываются флуктуации длин путей фотонов из-за многократного рассеяния, удается получить аналитическое выражение для интенсивности света при произвольном виде x(cosy) ( функция распределения Мольер
[2, 6,21, 35...]. В обзоре [43] исследована функция распределения Мольер дтя различных индикатрис в ЗО-среде: гауссовской, экспоненциальной, Хеньи-Гринстайна, дифракционной, резерфордовской и двухпараметрической индикатрисы обобщенно-степенного вида. Там же приведен обширный список литературы. В [44] исследуется та же проблема в 2D- средах.
Значительно более широкий круг задач решен в приближении Фокке-ра- Планка по угловым переменным ( диффузионное приближение в пространстве углов) [2,6,21,35]. В приближении Ф-П процесс рассеяния определяется некоторой средней величиной - коэффициентом угловой диффузии D. В 3D- среде D = o{ 1 - cosy)/2 . В 20-средах D = a( 1 -cosy,) [44].
Рассчитаны не только интенсивность излучения в стандартном малоугло-вом диффузионном приближении (СМДП) в слабо поглощающих средах (99 < D)) когда не учитывается флюктуации длин путей фотонов [6, 35], но и пространственно - угловые спектры проходящего излучения в условиях сильного поглощения ( 26 > D) в малоугловом диффузионном приближении (МДП). В МДП учитывается взаимное влияние процессов многократного рассеяния и поглощения света друг на друга. Определена интенсивность излучения внутри среды при нормальном падении пучка на по-верхноегь вещества, как при облучении вещества стационарным, так и импульсным световым потоком [2,6,45-48]. Целый цикл работ посвящен проблеме распространения света в сильно поглощающей среде при наклонном падении (О^0о£1) широких световых пучков (стационарных и импульсных), когда угол отклонения от наиболее вероятного направления движения фотонов( O<0w/(z)<0o ) на глубине z является малым. При наклонном падении возникает эффект “поворота тела яркости”: на большой глубине “выживают” только те фотоны, которые движутся вглубь среды преимущественно под малым углом к направлению нормали (вдоль оси z)
12
независимо от начального угла паления 0,: ->сс)-» 0[49-53]. Суще-
ственно. что во всех этих работах предполагалось, что отраженное излучение полностью отсутствует.
В приближении Ф-П удалось решить так же значительно более сложную проблему .малоуглового отражения. Аналитически рассчитаны угловые спектры обратно- рассеянного излучения как света ( так и быстрых заряженных частиц и ионов средних энергий) при скользящих углах падения (тс/2 — 0„<< 1) излучения на поверхность полубссконечного (0<г<«э) рассеивателя, когда фотоны или частицы вылетают из вещества гоже под скользящими углами ( (я / 2 - 0 «1), так. что полный угол рассеяния оказывается малым: (0 - 0:|): + ф* « 1 [54- 57]. Была решена ещё значительно более сложная задача о малоугловом отражении и прохождении широкого светового пучка через консервативный слой вещества конечной толщины ( 0 < г < Ь) [58,59,60]. Показано [60 ], что из-за сильной корреляции между отраженным и прошедшим световым потоком, возникает явление “поворота тела яркости' даже в отсутствие поглощения в веществе. В [61] рассчитано малоугловое распределение упруго-отраженных фотонов при скользящем падении излучения на плоский слой конечной толщины при наличии отражающей нижней границы. Однако, во всех перечисленных выше работах, соответствующие аналитические расчеты угловых спектров обратно- рассеянного излучения были выполнены только для стационарного облучения поверхности. В настоящем исследовании этот пробел восполнен - проведены расчегы временной зависимости отраженного излучения, при скользящем падении на поверхность нестационарного светового потока. Т.о. в приближении Ф-П достаточно полно исследована проблема как малоуглового прохождения, так и малоуглового отражения света.
Однако, следует иметь ввиду, что приближение Ф- П может быть использовано только в тех задачах, где индикатриса рассеяния спадает с увеличением угла однократного рассеяния у быстрее чем резерфордовская, т.е.
быстрее чем у '4 в ЗЭ-среде [ 43, 62-64] и быстрее чем |ул| в 20-среде [ 44].
В реальных средах из за их полидисперности индикатрисы убывают с увеличением угла рассеяния как правило медленнее чем резерфордовская. Но самое главное состоит в том, что из-за непреодолимых математических трудностей, аналитическое решение уравнения переноса при произвольных углах рассеяния даже в приближении Ф - П до сих пор не получено.
Естественное желание выйти за рамки малоуглового приближения породило много приближенных методов расчета интенсивности светового излучения, как внутри среды, так и отраженного от неё излучения. Например, различные многопараметрические модификации хорошо известного ещё с начала века двухпотокового приближения Шварцильда-Шустера, которые позволяют вычислять только интегральные характеристики излучения [6,11,29]. Однако, уравнения для световых потоков / (т),/г(т) не могут быть получены регулярным образом из уравнения переноса. Приходится вводить априорно неизвестные коэффициенты, значения которых опреде-
ляются эмпирически, в основном из условия совпадения расчетных величин с данными экспериментальных наблюдений или результатами компьютерного моделирования. Следует отметить, что поскольку этот простейший подход к решению задач теории переноса развивался десятилетия с участием многочисленных исследователей, его можно считать достаточно законченным. а искусство подбора соответствующих коэффициентов достигло виртуозного мастерства [6].
Значительное место в ряду различных приближенных методов решения задач о транспорте излучения в случайно-неоднородных средах занимает хорошо известное /^-приближение ( 2,6,21,23]. Это приближение основано на предположении, что при определенных условиях интенсивность /(г,0.) являегся "плавной" функцией 0. Поэтому, при разложении её в ряд по полиномам Лежандра можно сохранить лишь первые две гармоники:
К--;0) = Ш Р,(совв) = -Лш + 3/,(.-)со5е] (В.7)
1.о 4л 4л1 ■*
После столь радикальных упрощений получается уравнение пространственной диффузии хая плотности излучения р(г) = /„(гХ/гсос)'1 на глубине г:
- $:Р(Т) = 0, где т = (с+2е)г и 5: = 3(1 - А)[1 — А(со$у)] (В.8)
Естественно, что Р] - приближение весьма заманчиво: с одной стороны, не приходится вводить какие-либо ограничения на углы рассеяния фотонов; с другой стороны, решение уравнения пространственной диффузии (В.8) хорошо известно. Однако, Р} - приближение обладает одним очень серьезным недостатком: оставив в бесконечном разложении (В.7) только первые два слагаемых, полностью исключается возможность точно удовлетворить граничным условиям. Разными авторами был предложен целый “арсенал” способов приближенного удовлетворения граничных условий ( граничное условие Маршака, и т.д.). Однако, ни один из известных подходов [6,23,65] не может претендовать на совершенство. Поэтому, точность расчета во многом зависит о г выбора того шли иного из них.
Чтобы обойти эти трудности используют, например, так наз. “транспортное приближение”. Это приближение очень часто применяют для расчета радиационных полей излучения света (и заряженных частиц) в средах с резко выраженным анизотропным законом рассеяния [6, 66-67]. В основе этого приближения лежит предположение о том, что свет, “рассеянный вперед”, по своим свойствам не отличается от нерассеянного излучения. Поэтому можно часть острого “пика вперед” реальной, сильно вытянутой индикатрисы рассеяния отнести к нерассеянной компоненте, [6]:
К г
Х(со$у) = (1^) гКсоэу) +—5(1 -соБу); 2п\х(созу)$тус*у = 1 (В.7)
2л ^
Здесь g- доля света, рассеянного под очень малыми углами. Индикатриса Х*(со$у) аппроксимирует реальную индикатрису х(созу) при немалых значениях у . Важно, что х*(со5у) значительно более плавная функция, нежели Х(со$у). Точность расчегов во многом зависит от выбора парамегра^ [6].
В простейшем варианте этого приближения полагают x(cosy)= 1/4т. Тогда g = (cosy) - среднее значение истинного косинуса угла однократного рассеяния. Именно так решается задача в транспортном приближении, разработанном первоначально в теории переноса нейтронов [67]. В таком приближении в уравнение переноса вместо а будет входить величина о,, = о(1 - cosy) - транспортный показатель рассеяния среды, а вместо вероятности выживания кванта Л будет входить величина
Af/ = A(l -cosy)[l - А(і - cosy)] ' (B.9)
В дальнейшем характеристики световых полей находятся по формулам для изотропного рассеяния [2,6-8,21,36] с заменой сг->с,г, А-»Л<Г. Цель столь
радикального упрощения истинной индикатрисы рассеяния состоит только в том, чтобы свести реальную задачу переноса излучения в средах с резко анизотропным рассеянием ((1 — cosy)«I) к более простой и хорошо изученной задаче о распространении излучения в среде с изотропным рассеянием, когда известно точное аналитическое решение, точно удовлетворяющее граничному условию на поверхности полубесконечной среды. Однако, транспортное приближение имеет весьма ограниченную область применимости. Его рекомендуется применять для вычисления только интегральных по угловым переменным характеристик поля. Для расчета угловых зависимостей эта методика менее пригодна [6, с. 103]. Кроме того, используя это приближение не удается с той же простотой, что для полубесконечной среды, решить проблему об отражении и прохождении излучения через плоский слой конечной толщины ( эта задача не решается аналитически даже при изотропном рассеянии).
Как отмечалось выше, сложность получения аналитического решения уравнения переноса в немалой степени зависит и от мерности среды. В
обычной ЗЭ-среде направление распространения излучения Q определяется двумя углами: полярным 9и азимутальным <р, так, что = sinOcoscp;
Qy = sinGsincp; Q: =cos0 (ось z перпендикулярна поверхности вещества и
направлена в глубь среды). За счет этого оказывается достаточно сложным
выражение для косинуса угла рассеяния у из состояния СУ —> Q
cosy = COS0•COS0, + yj(\-cos2)-(1-cos20') xcos(cp-(p'), от которого зависит
индикатриса рассеяния х(Й'-»Й) = X(cosy), являющаяся ядром интеграла столкновений. Более того, зависимость интенсивности 1(г;0,ф) от <р вносит серьезные трудности даже тогда, когда расчет световых полей осуществляется в приближении Фоккера- Планка, хотя в этом приближении индикатриса x(cosy) вообще не входит в уравнение переноса. Наглядным примером трудностей, связанных с наличием азимутального угла (р могут служить упомянутые выше задачи о малоугловом отражении света при скользящих углах падения. Так, для вычисления в приближении Ф-П углового распределения обратно-рассеянного излучения от полубесконечной среды безотносительно к азимуту (1(г =0;9 > тг / 2,ф)^ = IT(z = О;0), доста-
точно использовать известный метол решения интегральных уравнений с однородным ядром с помошью преобразования Меллина ( О.Б. Фирсов 1966г. [68.35]). Решение той же задачи в полном объеме, т.е. вычисление зависимости спектра обратно-рассеянного излучения по обоим углам 0,(р,
потребовало использования более тонких математических методов ( решение интегрального уравнения с использованием разложения по полиномам Гегенбауэра) гг было получено значительно позже ( 1980г. [54.57]). Ещё более сложной оказалась проблема малоуглового отражения от консервативного слоя конечной толщины: 0<г<Е [58,59]. Достаточно сказать, что до сих пор не удалось в этом случае вычислить зависимость отраженного и прошедшего излучения от азимутального угла (р. Это не позволило решить ту же задачу для поглощающей среды (Д <1), т.к. вычисление азимутальной зависимости и учет поглощения в приближении Ф-П по сути одна и та же математическая проблема [54-57].
Поэтому значительный интерес представляет изучение распространения светового излучения в более простых 20- средах, где при некоторых условиях зависимость от (р отсутствует. Как отмечалось выше, во многих природных и искусственных оптических средах форма рассеивающих центров может бьгть далека от шарообразной. Изучение оптических свойств анизотропных сред, содержащих частично или полностью ориентированные несферические частицы - важная часть многих задач атмосферной оптики и астрофизики. Поскольку рассчитать характеристики электромагнитного излучения, рассеянного на несферических частицах произвольной формьг и ориентации практически невозможно, определенное значение приобретает аппроксимация этих частиц простейшей несферической частицей, для которой задача рассеяния решена точно- бесконечным цилиндром кругового сечения [69-71]. Разумеется такая аппроксимация достаточно грубая, однако в природе встречаются частицы сильно вытянутой формы, для которых это приближение дает хорошие результаты. Такими, например. являются ледяные иглы в земных кристаллических облаках, достигающие в длину Эмм при диаметре до 150 мкм [69]. Приближение бесконечных цилиндров часто используется при изучении оптических свойств межзвездных пылинок, имеющих в основном несферическую форму и частично ориентированных, о чем свидетельствует факт межзвездной поляризации света [72,73]. В облаках межзвездной пыли и атмосферах некоторых планет отмечается ориентация несферических частиц. При изучении оптических свойств таких сред часто используется модель бесконечных цилиндров, ориентированных либо в некоторой плоскости [69,70,72], либо полностью ориентированных вдоль некоторого выделенного направления [70]. Кроме того, двухмерное рассеяние имеет место при прохождении света через искусственные средьг с мононаправленньгми нитевидными искусственными оптическими волокнами. Бесконечные цилиндры произвольного сечения обладают тем свойством, что при падении плоской электромагнитной волны перпендикулярно их оси, рассеянная волна на больших расстояниях является цилиндрической, плоскость рассеяния - перпендикулярной оси цилиндра. Поэтому задача становится двумерной по геометрии. В этом случае имеется зависимость характеристик рассеянного излучения только
- Київ+380960830922