г
О Г Л А В Л S Я и Е
В в е некие ...............................................с.
Глава!, Дискретные симметрии, Пуассон<шы структуры и соотзетству юцие иерархии <1+1) интегрируемых систем.
I. Построение инвариантных пуассомовых структур относительно некоторых типов интегрируемых
п ре образований. ................................ с.
АЛ. 'je рархия не лине иного ире динге ра се з производном. с. Ä.2. Иерархия модифицированного нелинейног > Щрединге-
оа.....................................................с.
X
А.З. Иерархия лунда-Рэджа......................................с.
А.4. иерархия в классической области.................с.
АЛЛ Невырожденный случая.......................................с.
А Л. 2 Вырожденный случай. ^\ :........................с.
А.5 Иерархия нелинейного Lipe дингера с производном....с.
2. Интегрируемая подстановка Лотки-Во ль те рра в Л+1)
случае и соответствующая иерархия интегрируемых
с метем.. . . ..........................................Ç-
Глава II. Интегрируемые системы с точки зрения групповых свойств их дискретных симметрий в (I+I) и (1+2) случаях.
1. двумерные ин те трируемне пре образования...............с.
I Л Преобразование дароу-Тоды...............................с.
1.2 Преобразование Лотки-Вольтерра..........................с.
2. Одномерные интегрируемые преобразования.................с.
2.1 Преооразевание модифицированного нелинейного
Il ре дин ге ра........................................с.
з
2.2 Преобразование Лунда-Рэджа............................с.
ГЛАВ л III. Интегрируемые системы и Гамильтрнов формализм в случае шекомдг, тативнгх переменных.
3.1 Иерархия нелинейного матричного Средингера с.
3.2 Иерархия нелинейного матричного Средпвгера с
п роизз одной.........................................с.
3.3 Иерархия Лунда- Рэажа в матричном случае..........с.
Глава . =2 супе ринтегрируемая пед^гоновка
Лерми-Годы и иерархия супе р-не линейного Шредмигера в
I 2) суперпространотве.
*{ .1 - 2 су пе рсимме три чьая п о дета я озка ~>е рми- Годы. .с.
д * 2 с і/іі?іі'чЄ гри г\ $ ра вне н ия симметрии....... ............ ..с.
Список ос н о в и о й и с я о л ь з два н н ) й л и т е р а ту рн............................................с.
до недавнего времени основное внимание в теоретической и математической физике .уделялось симметриям вариационного или Ьётеровского типа, д ля таких симметрий Лагранжев либо Гамильтонов функционалы остаются инвариант-
ными по отношению к действиям соответствующих групп преобразований Ли. Основой ол а геющу ю роль в этом случае играет
теорема З.Нётер, устанавливающая фундаментальную связь межд> вариационными симметриями и законами сохранения соответствующих уравнений Эйлера - Лагранжа либо уравнений
Гамильтона.
Ситуация радикально изменилась после того, как стало ясно что наиболее важные свойства интегрируемых систем .включая ЯВНЫЙ вид их солытонных решений, являются прям&м следствием дискретных симметрий стих систем. Все интегрируемые системы, которые оудут рассмотрены в диссертации »являются
инвариантными относительно дискретных обратимых подстано -вок вида :
образом через новые Ц и их производные.
С 2 )
- преобразована
обратное к преобразований (I ).
Функции им , зависящие от X , и , производных от. И по X ьо некоторого произвольного, но конечного порядка обладающие непрерывными частными производными любого порядка ио всем своим аргументам, будем называть дифференциальными функциями. Множество дифференциальных функций образу -ет некоторую алгебру, которую будем обозначать через . Пространство наборов из С дифференциальных функций обозначается з дальнейшем через . Подстановки ^ ^
принадлежат Л'* .
Согласно Г]-
производной Ф Р £ Ж £, соответствующей НеКО'ГОтг рой функции , называется линейный
оператор ^ : Л?—->Л , определённый еле .дующим образом:
М&=^Р1Ычм]
для любой функции =°У[и]€й*
Нетрудно видеть, что производная Фрешз, как следует из этого определения, представляет собой линейный матричный дифференциальный оператор размера £К$ с компонентами
(и, =Еу-<т. ^ (3)
I Т
Мы будем обозначать производную Фреше, соответствующую подстановке ' I ), через Пи] .
Рассмотрим теперь уравнение :
Р[ї[и]]=<Ґ[«]Р[и] СО
которое, будучи записанным в несколько иных обозначениях, впервые было рассмотрено в работе £зJ . -неиз-
вестный 5 -;^рный вектор, компоненты которого являются
6
диффз ре нциа л ьн ыми фун кциями.
Уравнение ( 4 ) обладает очевидным тривиальным решением
£,[и] = и1 для произвольной подстановки Н* . Для того, чтобы доказать этот факт, достаточно продифференцировать уравнение ( I ) по любой из пространственных переменных. Если уравнение ґ ) обладает некоторым другим решение к:
' для данной подстановки ^ ), отличным ;т тривиального ,
то в дальнейшем мы будем называть такую подстановку интегрируемой. Еще раз подчеркнём, что уравнение ' * ) содержит две неизвестные вектор - фу ИЛЬИ и ед и ОД и только для достаточно узкого класса интегрируемых подстановок оно обладает нетривиальными решениями для функций •
Принципиальная проблема .связанная с основным уравнением, заключается в том, чтооы отыскать такую подстановку что уравнение ■ # ) оудет обладать хотя са одним нэтриви-альнум решением. Зта проблема не рассматривается в нашей работе. Мы рассматриваем лишь конкретного вида интего/.руемые подстановки как в одномерном , так и двумерном случаях.
С каждым из решений Р[.^] /равнения ( ч) мы можем свя -
зать систему уравнений эволюционного типа :
«С -Р[и]
которое судет, очевидно, инвариантные относительно прессра -з ования ' 1 ).
Уравнение ( 1\ ) будем в дальнейшем называть основным функционально- дифференциальным соотношением. Ввиду всего этого основное уравнение ( 4 ) занимает центральное место во всей диссертации.
Её первая глава посвящена целиком ( 1 + I ) вполне интегрируемым системам, наиболее характерное свойство которых
7
можно описать следующим образом.
Каждая такая система обладает бесконечном набором инволю-лютньнвх законов сохранения, которые можно записать в следующем виде ;
зависящими от пространственной переменной X и производных
1 * 5
от функций И , . . . , СС по Х,х-
(И)
Каждая плотность закона сохранения Хр может сыть рассмотрена в качестве плотности Гамильтонова функционала. Зта
плотность вместе с соответствующей скобкой Пуассона образует вполне интегрируемую систему. Совокупность таких уравнений образует иерархию интегрируемых систем. Для того, что -Оы найти явный вид ^иерархии, необходимо знать все сохраняющиеся величины / . Существуют два основных метода
—о
поиска таких величин. Один из них, основанный на обратной задаче рассеяния, состоят в рассмотрении рекуррентного соотношения, позволяющего последовательно получать сохраняющиеся величины, начиная с нескольких начальных. Другой метод основан на том, что люсея вполне интегрируемая система уравнений может быть записана с пом )щью различных скобок Пуассона и различных Гамильтоновых оуккшкйяалов. Различные скобки Пуассона строятся посредством соответствующих операторов Гамильтона, аная два Гамильтоновых опера -
тора образующих Гамильтонову пару, мы можем найти все
сохраняющиеся .величины, начиная снова с нескольких на ча ль -
ных [I ,2] .
Бое эти факты были известны достаточно давно.
з
Тем не менее не существовало простых конструктивных мето -дов нахождения интегралов и Гамильтоновых пар. Ситуация с построением операторов Гамильтона существенно изменилась после того, как стал > ясно, что все наиболее важные свойст -Еа вполне интегрируемых систем можно получить из свойств
их дискретных симметрий. Стало ясно, что требование шва -
риантиости оператора Гамильтона по отношению к дискретной
симметрии представляет собой мощный метод построения соответствующей иерархии Гамильтоновых структур.
3 статье Ц условие инвариантности было использовано для формулирования конструктивной процедуры поиска коэффициентов разложения Гамильтонова оператора по степеням оператора полной производной [) . Исходным пунктом вычислений была
фиксация максимальной положительной степени оператора ц Предложенный метод позволяет, в принципе , последовательно
находить все требуемые коэффициенты. При этом необходимо
(ч)
знать поведение сохраняющихся величин 7*^ под действием дискретного преобразования.
Основной акцент в первой главе делается на то, чтобы, исходя из анализа работы , понять общую
структуру операторов Гамильтона, их связь с сохраняющимися величинами, получить явные выражения для них в случае б .1 I ) интегрируемых систем.
Для дальнейшего рассмотрения чрезвычайно важным являются решения следующих уравнений :
ал)
?'Си]Л«№ТЫ = Ш[и]] а-2)
9
Над. 7ад представляют собой неизвестные матричные операторы размера 5x5 , матричные элементы которых явля-
ются полиномами некоторого конечного порядка относительно оператора дифференцирования [)
'Аз и*1/ сразу следует следующее утверждение :
Д.СЛИ ивллется некоторым решением основного
уравнения (4) , тогда Н^[н] Рц[ц] ( Р - произвольное
натуральное число ) также является решением уравнения
N •
Решение второго уравнения (1.2) при дополнительном тресовании кососимметричности оператора т/ад может быть связано с Пуассоновой структурой, которая инвариантна относительно преобразования дискретной симметрии. Кососимметрические )пе -раторы тад известны в качестве Гамильтоновых.
Два различных решения уравнения (х.2) ( если возможно их
отыскать ), например, тад - т ад в комбинации жсг'ад л ибо щты дают решение уравнения (1.1). Операторы
ЛЫЛЬШч] шхъим Я В Л Я К) Т С Я ре ше н И Я М И
уравнения (х.2) и так далее. Этим путём обычно и возникают Гамильтонова операторы в теории интегрируемых систем. Оператор над , удовлетворяющий у раже И ИЮ (1.x), будем
называть оператором симметрии.
Впервые для построения операторов Гамильтона уравнение
(1.2) было использовано в работе
Согласно можно ожидать, чти некоторые частные решения
уравнения (1.2) имеют вид ;
7М=14№7+1/1;Д‘ “•
40
где представляют собой С - мерные векторы,
пі - некоторая матрица размера , компоненты кото-
рой являются дифференциальными функциями. Еолее детальну^ информаций о свойствах иктегро- дифференциальных операт )ров такого типа можно найти в работе [5] . для того, чтооы понять эту структуру, рассмотрим действие оператора на решение я* ад основного уравнения
( 4 ). [«моем ;
({'^]-Ри[и]-^1[ц]Р^[ц]-1-С1д +сг 1)г + . . . =
~Ри[^[и]] +С,$ +С2/)г + . . .
Отсюда сразу жз следует, что, если оператор ^Т[ы] выбран в виде :
ладі адад'Л' м ад л* # о .о
и,*»' £ ; /л
то для произведения операторов \ [и]*ТМ¥ [и] получаем
^мімг'и-і тФ^Л^ШЛі й‘
л, и' *
и второе уравнение (1.2) эквивалентно равенствам :
Ъсфам«]]
Всё вышесказанное позволяет п >лучить сравнительно простые явные выражения для операторов ш да , ДЯ/1 построения которых, как правило, необходимо использовать кроме тривиальных решений Ц, уравнения ( Ц ) некоторые другие решения низших порядков.
Л силу того, что комбинации У^[ц][ц~\ ИЛ VI [и]
у довлетворяют у равнэнию (І.1), т.е. п ре детаиляют сое ои операторы симметрии, на протяжении все1; первой г я а-ВЫ мЫ уделяем особое внимание получений необходимых И
н
достаточных условий того, что операторы вида (1.4) улов -летворямт уравнения» г±.'1). При этом производная Фреде имеет определённые ограничения на свои компоненты, накладываемые исходя из виды определённых типов интегрируемых подстановок
м .
Основной результат п е р в о й главы состоит в получении именно таких условий для определённых типов интегрируемых подстановок £5J , которые позволяют получать в явном виде Гамильтоновы операторы ад. ад удовлетворяющие уравнению (І.2) и , как следствие, операторы Ц[ц] , удовлетворяющие уравнению (1.1). Для конкретных подстановок принадлежащих к определённым типам, проведены конкретные вычисления и приводятся в явном виде выражения для опера-
то?ов 7оЭД5 УМ ■ НМ .
Сравним теперь уравнение (Д)( с определением линейного представления некоторой группы ' для бесконечномерных
групп ).и ) :
<Щх)=Т($)Ф(х)
где ^ является групповым элементом, Ч ($) “ Групп О ШЙ
оператор для некоторого представления. *р(дС) ~ зектор соот-взтствуютего пространства представления.
Очевидное соответствие возникает после сравнения ' 5 ) и
Ри[и] - решение уравнения / 4 ), зависящее от производных /"£ - го порядка.
Итак, основное уравнение ' Ч ) (с данной интегрируемой
п одетановкой ) является определением некоторого
линейного представления группы интегрируемых подстановок.
- Київ+380960830922