Фрактальная параметризация структур в металлах и сплавах

V
VI
1
1
6
10
10
11
12
13
14
17
18
22
24
27
31
32
34
34
36
37
40
41
44
47
49
51
51
52
58
64
68
73
76
Н
Содержание
Список сокращений Общая характеристика работы
Введение. Место мультифрактального формализма в физикоинформационной классификации.
Введение
Информации преобразования
Прямая и обратная информации измерения
ИОПИ и информация Хартли
ИОПИ и информация фон Неймана-Шеннона-Винера Взаимная информация
Статистическая интерпретации физической энтропии, информации фон Неймана-Шеннона-Винера и Хартли, и ИОПИ
Аффинная информация и информационное обоснование принципа инвариантности действии Информации сдвига
Информация Фишера, обобщенная информации Фишера, и характеристическое информационное состояние Вариационные принципы Фридена: принцип минимальной информации Фишера и принцип экстремальной физической информации
Одномерная информация сдвига
Информации Фишера и информация сдвига
Приложение к измеряемым распределениям
Сдвиг во времени, уравнение Лиувилли
Нелинейное уравнение Клейна-Гордона
Система многих частиц, нелинейное уравнение Шредингера
Нелинейное уравнение Клейна-Г ордо на (комплексная мера)
Уравнение Кортсвега-де Вриза
Мулы ифракгальная информации
Стандартный мультифрактальный формализм
Информационное обоснование
Многоточечные корреляции
Заключительные замечания
Фрактальная и мулы ифракгальная параметризации Количественная параметризация
Самоподобие и фрактальная размерность. Модельные структуры
Моделирование естественных фракталов модельными структурами. Стохастические фракталы.
Методы измерения фрактальных размерностей Мультифрактальная параметризация как обобщение фрактальной параметризации Ф-симметрия
Двух параметрические семейства обобщенных неопределенностей
77
77
83
84
85
85
88
92
93
97
102
107
108
119
122
129
135
137
137
140
140
142
144
154
155
155
156
159
161
164
167
169
170
173
Ш
Мультифрактальные меры однородности и упорядоченности Регулярные фракталы, генераторы и аналитическое
вычисление спектров
Частные случаи разбиения охватывающего пространства Выводы к главе 2
Численные методы мультифрактальной и
псевдомультифрактальной параметризации Метод генерации мер огрубленных разбиений и три способа численного определения мультифрактальных спектров Погрешности расчета МФ-спекгров: точность и адекватность Плоские изображения как рельеф поверхностей Мулыифракгальная и пссвдомультифрактальная
параметризации
Базовые алгоритмы автоматизации МФП и ПМФП:выбор масштабов и статистика спектров (неадекватность)
Краткое описание программы МИШгот Тестирование программы МИГЭгот Квадратные ковры Сернинского Прямая линия: выявление геометрической НС Береговая линия Норвегии
Псевдомульгифрактальный анализ геометрической асимметрии как перспективная основа классификации структур
Выводы к Главе 3.
Фрактальная модель усталостного разрушения Дискретность и локальность усталостного разрушения Макроскопическая модель распространения усталостной трещины
Граница пластической зоны
Модель распространения усталостной трещины
Хаотические свойства модели
Фрактальные свойства модели
Заключение
Фрактальная .модель разрушения пластической зоны Температура вблизи вершины усталостной трещины Агрегация, ограниченная диффузией Усталостное разрушение как АОД
Определение локального предела пропорциональности в пластической зоне вблизи вершины усталостной трещины с помощью фрактальной параметризации профилей поверхности УР
Разрушение твердых тел с точки зрения теории критических явлений и доминирующая критическая структура Фрактальные материалы
Мультифрактальная модель повреждения пластической зоны Выводы к главе 4.
175
175
183
193
196
198
201
202
203
205
205
210
211
220
227
241
253
IV
Использование МФП и ПМФП при решении актуальных
задач материаловедения
Краткий обзор ранних результатов но МФП
Оптимизация механической обработки поверхности
молибденовых проволок: демонстрации новой методологии
Селекция структур с низким сопротивлением усталостному
разрушению в стандартных дисках из сплава ВТ-8.
Прогнозирование остаточного ресурса работоспособности
внутреннего покрытия термоядерных реакторов
Идентификация воздействия лазерного излучения на
зеренную структуру тонколистовых медных сплавов
Выводы к Главе 5
Заключительные замечания
Основные результаты работы и выводы
Приложения
Некоторые задачи вариационного исчисления и обобщенный оператор вариации
Метод смены центра для измерения фрактальных
размерностей кривых
Дополнительные возможности генерации меры для расчетов но МГМОР
Класс скрытых марковских моделей для предварительной
обработки изображений
Литература по главам и параграфам
Общий список литературы по алфавиту
Список основных печатных работ автора
V
Список сокращений АОД - агрегация, ограниченная диффузией ИОПИ - информация обратного преобразования измерения ИП - информация преобразования ИПП - информационно-производящее преобразование ИППИ - информация прямого преобразования измерения ИС - информация сдвига ИФ - информация Фишера КдВ - уравнение Кортевега - де Вриза МГМОР - метод генерации мер огрубленных разбиений МФ - мульти фрактальный МФП мультифрактальная параметризация МФФ - мультифрактальный формализм НКГ - нелинейное уравнение Клейна-Гордона НС - нарушенная симметрия НШ - нелинейное уравнение Шредингера ОПИ - обратное преобразование измерения ПМИФ - принцип минимума информации Фишера ПМФП - нсевдомультифракгальная параметризация ППИ - прямое преобразование измерения ПЭФИ - принцип экстремальной физической информации УР - усталостное разрушение ФР - фрактальная размерность
ХИС - характеристическиое информационное состояние
VI
Общая характеристика работы
Данная работа направлена на разработку физико-математических, методологических и методических основ нетрадиционных методов обработки изображений структур в металлах и сплавах. Теоретическое переосмысление предложенных Мандельбротом представлений о (мульти)фракталах на основе введенных в работе понятий мультифрактальной информации и фрактальной симметрии, в практическом плане, открывает новые перспективы развития экспериментальных методов обработки информации о структурах твердых тел и описания связи структуры со свойствами. Автором разработано и доведено до конкретного воплощения в виде компьютерной программы МПШгот (Мультифракталодром) семейство новых методов анализа реальных структур в материалах.
Актуальность проблемы. Широкий круг актуальных проблем современной науки и техники, включая материаловедение, связан с разработкой все усложняющихся методов получения и исследования твердых тел со сверхсложной структурой, во многом определяющей прочностные, физические и др. свойства. Задача описания связи структуры со свойствами требует привлечения нетрадиционных методов исследования и обработки информации. Традиционные количественные методы описания структур твердых тел используют статистический подход. Большинство структур, поддающихся статистическому описанию "в среднем", тем не менее, являются неоднородными, и этой неоднородностью в большинстве случаев определяется пригодность конкретных изделий для тех или иных целей. Современные методы описания структур еще не используют в полной мере универсальное свойство самоподобия (фрактальности) стохастических структур, которое наблюдается в определенном диапазоне масштабов, причем границы этого диапазона несут важную информацию о физических свойствах. Привлечение концепции мультифракталов, основанной на использовании общего понятия меры, позволяет одновременно описывать универсальным образом как самоподобие вместе с его границами, так и неоднородность структур твердых тел самой различной природы, причем неоднородность даже стабильных структур может нести информацию о динамике их формирования или изменения. Структуры современных материалов с новыми необычными свойствами формируются в сильно неравновесных условиях, проходя через несколько стадий чередования устойчивых и неустойчивых (критических) состояний, и при этих переходах (бифуркациях) могут образовываться и распадаться, оставляя реликты, сильно неоднородные промежуточные фрактальные структуры. Использование концепции мул ьти фрактал о в позволяет давать адекватную
VII
количественную оценку не только конфигурации исследуемой структуры в целом, но так же неоднородности распределения на ней геометрических, физических, химических и др. характеристик, соответственно природе изучаемой структуры, что невозможно достигнуть обычными методами. Имеющийся опыт в области численного мультифрактально го описания изображений структур самой различной природы показывает его эффективность при анализе скрытых процессов в металлах и сплавах, т.е. таких процессов, которые нельзя наблюдать непосредственно, но при этом они существенно влияют на характеристики изучаемых систем (см. статьи B.C.Ивановой и В.Ф.Терентьева и др. в сб. [27]. Еще более длительный опыт проведения испытаний на прочность, так же как экспериментальных исследований многих других свойств металлов и сплавов, показывает, что очень часто нельзя соотнести изменения структурно зависимых свойств конкретного материала с изменениями традиционных количественных характеристик его структуры. В связи с этим, возникла проблема разработки универсальной методологии проведения мулътифрактальной параметризации фактических структур материалов, наблюдаемых в реальных экспериментах (поры, зерна, фазы и их границы, поверхности разрушения, реликтовые структуры различной природы и пр.) при помощи стандартных средств их представления - (микро)фотографий.
Усталостное разрушение является основным видом разрушения деталей машин и конструкций и составляет 70% всех случаев разрушения. Для его профилактики необходима разработка моделей усталостного разрушения, позволяющих прогнозировать повреждаемость материалов при циклическом нагружении. Модели микропроцессов разрушения на основе методов молекулярной динамики, Монте-Карло и др. не позволяют следить за динамикой макроскопических усталостных трещин в силу больших затрат машинного времени. Поэтому для решения основной задачи физики разрушения - установления связи микроскопических характеристик материала с его прочностными свойствами - требуются модели т.н. мезоскопического уровня, основанные на статистическом описании повреждения материала при усталостном разрушении. Это требует разработки физически обоснованного подхода к моделированию динамики макроскопических усталостных трещин, который позволил бы объяснить надежно установленные к настоящему времени эмпирические закономерности усталостного разрушения. В настоящей работе предложена модель усталостного разрушения, основанная на современных представлениях о фракталах, как самоподобных структурах, образующихся в критических условиях, в частности , в состоянии предразрушения. Мультифрактальный анализ неоднородного распределения микроповреждений в пластической зоне у вершины усталостной трещины позволяет оценить степень неоднородности этой
VIII
зоны, состояние материала в которой определяет ход процесса усталостного разрушения.
Накопленный к настоящему времени опыт говорит, что в практическом плане данные мультифрактальной параметризации нужны не только для решения задач, связанных с прочностью материалов, но и для управления их свойствами, оптимизации технологических условий получения, диагностики качества изделий, прогнозирования остаточного ресурса конструкций на основе количественной оценки степени
деградации структуры материала в процессе эксплуатации и т.д. Но главные перспективы мультифрактальной параметризации структур твердых тел видятся в использовании информационных свойств
мультифракталов в свете связи нарушения фрактальной симметрии с геометрической асимметрией при разработке интеллектуальных технологий синтеза и обработки материалов, включая оптимизацию процессов, сенсорное восприятие in situ микроструктур и управление технологическими процессами на основе единого процессорного блока.
Основными задачами диссертационной работы были
1. Выявить совокупность общих феноменологических параметров поверхностных структур, имеющих ясный физический смысл, которые могут быть определены из анализа данных микроскопии (оптической, электронной, зондовой) на нано- и микроуровне и могут адекватно характеризовать прочностные и усталостные свойства металлов и сплавов, при выборе в качестве информационной основы представлений о фрактальной симметрии и ее нарушениях (мильтифрактальном и псевдомультифрактальном) в реатьных структурах.
2. Развить модельные преставления о динамике усталостного разрушения (УР) - формирования поверхности УР, при установлении взаимосвязи микропараметров развиваемых моделей и феноменологических параметров мультифрактального формализма, что составляет основу адекватного понимания механизмов (природы) механического разрушения материалов и обоснованного выбора оптимальных способов обработки металлических материалов.
3. Разработать пакет программ для анализа структур реальных материалов.
Основная цель работы. Развить феноменологический подход к выявлению основных физических параметров сложных структур металлов и сплавов на нано- и микроуровнях их организации, имея ввиду, что любое последующее теоретическое моделирование функциональных (прочностных, усталостных, физических и др.) свойств материала должно ориентироваться на знание тех феноменологических параметров, которые могут быть определены в рамках развитого подхода. Разработать алгоритмы для расчета вводимых феноменологических параметров на основе анализа реальных структур металлов и сплавов. Выявить
IX
взаимосвязи определяемых параметров структур с функциональными
свойствами материалов.
Целью диссертационной работы так же являлись
• развитие теоретических и методологических принципов проведения процедур мультифрактальной параметризации на основе информационного обоснования мультифрактального формализма, концепции фрактальной симметрии - Ф-симметрии, и двух типов ее нарушения;
• развитие методологии и методики получения и использования мультифрактальных характеристик структур для их количественного описания (параметризации);
• разработка инструментальных средств в виде компьютерных программ обработки серий изображений структур и расчета их характеристик;
• дать физическую интерпретацию степенных эмпирических закономерностей усталостного разрушения на основе статистического описания динамики повреждений в пластической зоне у вершины устачостной трещины в терминах а1регации, ограниченной диффузией;
• развитие метода моделирования усталостного разрушения итерациями дискретных хаотических отображений.
Научная новизна диссертационной работы:
• Дано информационное обоснование мультифрактального формализма, на основе которого разработана методология параметризации структур, наблюдаемых в металлах и сплавах.
• Введены понятия фрактальной симметрии, Ф-симметрии, количественной меры ее нарушения - мультифрактальной информации, и мультифрактальных мер упорядоченности и однородности.
• В работе выдвинута концепция псевдомультифрактальной параметризации и показана количественно связь нарушений фрактальной и геометрической симметрий, что предложено использовать как основу разработки универсальной классификации реальных структур.
• На основе представления усталостного разрушения в условиях автомодельного роста усталостной трещины как агрегации, ограниченной диффузией, микроповреждений в пластической зоне у вершины трещины дана физическая интерпретация степенных эмпирических закономерностей усталостного разрушения. На основе развитой модели выводится связь фрактальной размерности динамической структуры повреждения материала с показателем закона Пэриса и показателем степенной зависимости (характеризующей диссипативные свойства материала) плотности общей энергии, потраченной на разрушение, от числа циклов до разрушения. Это
X
позволило трактовать указанные показатели как скейпинговые в духе теории критических явлений.
• Разработан метод моделирования динамики усталостного разрушения итерациями дискретных хаотических отображений, позволяющий воспроизводить основные закономерности усталостного разрушения (кинетические диаграммы, устачостные бороздки и др.), а также получать модельные профили поверхностей усталостного разрушения с фрактальными свойствами.
• Для объяснения сильного отличия размерностей критических структур от евклидовой размерности охватывающего пространства вводится понятие доминирующей критической структуры, обладающей максимальным критическим показателем корреляционной длины.
Практическая значимость работы состоит:
• в создании метода моделирования роста усталостных трещин, допускающего обобщение на случай взаимодействия нескольких усталостных трещин, развивающихся одновременно, что важно для создания способов выявления неблагоприятных конфигураций конкретных деталей, находящихся под действием циклических нагрузок, с целью оптимизации геометрии деталей,
• в том, что изложенные в работе представления воплощены в практически используемой программе МИФгот, прошедшей тесты, и позволяющей извлекать как точные абсолютные значения мультифрактальных характеристик, так и статистические данные по наборам мультифрактальных спектров реальных объектов. Разработка конкретного инструментария для измерения физических и др. величин, характеризующих соответствующие физические и др. понятия, с операционалистской бриджменовской точки зрения означает (равносильна) опрсделсние(ю) этих понятий безотносительно к наличию строгого теоретического обоснования их существования. Использование программы МРЯПгот в экспериментальных работах с участием автора позволило решить в рамках данной работы ряд актуальных проблем материаловедения, среди которых наиболее значимыми являются:
1. Феноменологическая оптимизация качества обработки поверхности молибденовой проволоки с целью улучшения ее прочностных свойств.
2. Диагностика промышленных дисков компрессоров, изготовленных из титанового а-Р-сплава ВТ-8 с определением зон неблагоприятного структурного состояния, не выявляемых при использовании традиционных методов микроструктурного анализа. Заключение о неблагоприятных зонах подтверждается прямыми испытаниями на сопротивление росту усталостных трещин. Получен акт о принятии результатов работы к внедрению в качестве основы разработки
XI
прикладной методики неразрушающего контроля структур дисков компрессоров турбореактивных двигателей из сплава ВТ-8.
3. Прогнозирование границы реализации неразрушающих механизмов диссипации энергии (на примере стали Х12Г20В), определяющих срок службы материала при воздействии на его поверхность импульсов дейтсриевой плазмы.
4. Количественное описание изменения зеренной структуры в пластинах из медных сплавов Cu-4%Ni, Cu-10%Ga, Cu-2%A1 толщиной 2 мм в зоне сквозного проплавления под воздействием импульсного лазерного излучения в режиме свободной генерации с длиной волны 1,06 мкм, когда изменения зеренной структуры материалов после лазерного воздействия не могут быть описаны на основе традиционных количественных методов, как, например, по ГОСТ 5639-82 по критериям бальности зерна и др.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Научно-технической конференции "Проблемы синергетики", 4-7 июня 1989, Уфа; на Всесоюзной школе "Диффузия и дефекта", 10-18 июня 1989, Пермь-Куйбышев-Пермь; на XII Всесоюзной конференции "Физика прочности и пластичности металлов и сплавов", 27-29 июня 1989 , Куйбышев; на XIII Всесоюзной конференции по тепловой микроскопии "Структура и прочность материалов в широком диапазоне температур", 24-26 октября 1989, Каунас; на Конференции "EUROMAT 94 TOPICAL", Венгрия, Балатонщеплак, 30 мая - 1 июня 1994 г.; на 6-м Международном конгрессе по усталости «FATIGUE’96», Берлин, Германия, 6-10 мая 1996 г.; на 11-й Европейсткой конференции по усталости, ECF 11, "Mechanisms and Mechanics of Damage and Failure", Poitiers-Futuroscope, Франция, 3-6 сентября 1996 г.; на Симпозиуме "Синергетика. Структура и свойства материалов. Самоорганизующиеся технологии". Москва, 12-14 ноября 1996 г.; на Втором Всероссийском семинаре "Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении" Воронеж, 3-5 февраля, 1999 г.; на Всероссийской научной конференции
"Байкальские чтения по математическому моделированию процессов в синергетических системах". Улан-Удэ, 20-23 июля 1999 г.; на 6-й Международной конференции "Математика, компьютер, образование", г.Пущино, 24-31 января 1999 г.; на Междисциплинарном семинаре "Фракталы и прикладная синергетика" (ФиПС 99), Москва, 18-21 октября 1999 г.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано свыше 40 печатных работ, в том числе более 25 статей в отечественных и зарубежных изданиях и одна монография.
Структура и объем. Диссертация состоит из пяти глав, приложения и перечня основных результатов и выводов. Она содержит 264 страниц
XII
машинописного текста с 93 рисунками, 17 таблицами и списками
литературы по главам и параграфам и по алфавиту из 214 наименований.
Оригинальные результаты автора отражены в выводах к каждой главе.
На защиту' выносятся:
• Информационное обоснование мультифрактального формализма и концепция фрактальной симметрии, Ф-симметрии, как основа введения количественных мультифрактальных мер упорядоченности и однородности носителя меры и представления структур в металлах и сплавах на диаграммах "однородность-упорядоченность".
• Метод генерации мер огрубленных разбиений и способы расчета статистик мультифрактальных спектров с непосредственным вычислением погрешностей определения каждой конкретной мультифрактальной характеристики с использованием различных способов генерации меры на основе метода представления плоских изображений в виде рельефа поверхности в трехмерном пространстве, расчета простейших характеристик внутренней геометрии поверхностей, аналогии между главными локальными кривизнами поверхностей и напряжениями плоской задачи сопромата, и метода нормированного размаха Херста.
• Метод определения (базовые алгоритмы) статистических характеристик мультифрактальных спектров на основе различения двух базовых типов спектров - канонических и псевдоспектров, как основа проведения двух типов количественной параметризации реальных структур мультифрактальной и псевдомультифрактальной параметризации.
• Компьютерная программа МРКВгот как вычислительный инструмент для обработки как отдельных, так и серий изображений.
• Методология практического применения мультифрактальных показателей структур с использованием двух типов параметризации серий изображений реальных структур для решения актуальных задач материаловедения.
• Модель макроскопического роста усталостной трещины по типу I, отражающая основные закономерности усталостного разрушения,
• Фрактальная модель усталостного разрушения, учитывающая дискретность и автомодельность этого процесса, и дающая физическую интерпретацию степенной универсальной' зависимости скорости роста усталостной трещины от коэффициента интенсивности напряжений и степенной зависимости плотности общей энергии, потраченной на разрушение, от числа циклов до разрушения;
1
Глава 1. Введение. Место мультифрактального формализма в физикоинформационной классификации.
Обоснование мультифрактатьного (МФ) формализма (МФФ) -математической основы данной работы - можно провести в рамках простой универсальной схемы, предложенной автором в работах [1,2], рис.1 Л. Данная глава посвящена краткому изложению основных результатов работы [1], где было введено общее понятие информации как результата фундаментального акта сравнения, лежащего в основе любого процесса измерения, ощущения, мышления и пр. Формализация этого определения в виде информации преобразования, как меры нарушения симметрии физической системы, позволила предложить общий подход к унификации методов математического вывода уравнений и распределений ("законов") математической физики. Обоснование МФФ в рамках этой схемы (см. п. 1.6) позволяет ввести количественную меру упорядоченности структур физических объектов как меру нарушения специфической формы симметрии - фрактальной симметрии, Ф-симметрии. Совместно с эффективной мерой однородности физической системы, вводимой на основе стандартной интерпретации МФФ в терминах взаимопроникающих множеств различных сингулярностей, это дает возможность представления структур с помощью диаграмм "однородность-упорядоченность" в целях феноменологической количественной параметризации реальных структур. Предложенная автором теоретическая схема базируется на обсуждении вопроса о том, что такое информация вообще.
1.1. Введение
Можно заметить, что как в популярной, так и специальной литературе понятие информации редко обсуждается до (без) предварительного введения некоторой количественной меры информации, но даже если и так, то большинство моделей в конце концов формулируются в терминах теории вероятностей или теории множеств в контексте определенного класса систем на основе конкретной количественной меры информации [3-24]. Поэтому свойства информации и сфера ее применений зависят от математической формы этой количественной меры, и, в основном, изучаются и используются количественные свойства некоторой частной меры информации, но не само качественное понятие информации. Таким образом, мы имеем противоречие между фундаментальным характером (благодаря многочисленным приложениям) понятия информации, разнообразием ее частных количественных мер (которые фактически используются как различные определения), и, с другой стороны, отсутствием попыток соотнести различные "информации" друг с другом. Проблема частично
2
разрешается (и главным образом затемняется) тем, что информация, как правило, определяется в терминах достаточно общего набора универсальных понятий, таких как вероятность или мощность (множеств), неопределенность, информационные процессы, и пр. Тем не менее, по-прежнему остается неудовлетворенность от отсутствия качественного понимания, что такое информация сама по себе, безотносительно к ее количественным мерам.
Колмогоров [17] различает три возможных подхода к введению базовых понятий информации: чисто комбинаторный, вероятностный, и алгоритмический. Первые два из них часто используются вместе благодаря реинтерпретации отношений комбинаторных величин как относительных частот в испытаниях, или как вероятностей событий некоторых типов. По-видимому необходимо различать еще один подход - алгебраический, который фактически основан на использовании формы информации Хартли, но с заменой вероятностной меры мерой мощности определенного множества событий [23,24].
В [1] предлагается еще один возможный ответ, что такое информация : информация определяется нарушенной симметрией в рассматриваемых системах, все ее известные количественные меры являются мерами нарушенной симметрии. Все объекты, системы, явления или процессы изучаемые той или иной частной научной дисциплиной неизбежно имеют некоторые ограничения на их симметрию (конечность, начальные или граничные условия, геометрическая структура, и т.д.), поэтому они должны содержать в себе некоторую нарушенную симметрию, то есть информацию.
Возникновение нарушенной симметрии (НС) понимается в самом общем смысле [25-27], например. Это может быть изменение внутреннего состояния системы или ее внешних проявлений в силу влияния внешних условий или ее собственной эволюции, или НС может быть проявлением какой-либо неинвариантности уравнений или распределений, описывающих систему, по отношению к некоторым математическим преобразованиям ее характеристик.
Для доказательства этих положений в [1] был выбран эвристический способ изложения в силу того, что обзор всех подходов различных авторов к рассмотрению понятия информации и относящихся к ним вопросов является очень трудной задачей и мог бы составить предмет отдельной книги. Прежде всего вводится новое общее определение информации как совокупности различий, которые могут быть извлечены активным агентом (измерительным прибором, сенсором, наблюдателем, или другим пользователем) в фундаментальном акте сравнения, который не требует необходимого использования понятия вероятности или его комбинаторной интерпретации. Показывается, что такое определение отражает
3
интуитивное понятие информации. Затем мы вводим базовую математическую количественную меру информации - информацию преобразования (ИП). Это понятие связывает обыденное определение информации как различий и более или менее точную математическую формулировку, которая легко может быть соотнесена с нарушенной симметрией. Далее мы показывается, что многие классические меры информации, включая информации Хартли, фон Неймана-Шеннона-Винера, Фишера, энтропии Реньи, взаимную информацию, изменения физической энтропии, могут рассматриваться как (или математически выражены через) частные формы ИП, когда она применяется для описания той или иной частной системы. При этом мы пересматриваем множество основополагающих понятий и соответствующих им результатов в терминах ИП.
ИП отлична от нуля, когда исследуемая система неинвариантна по отношению к преобразованию, использованного для построения ИП. Поэтому она может пониматься, как количественная мера НС в системе. В таком же духе могут пониматься соответствующие классические меры информации, к которым сводится ИП в каждом конкретном случае. Более того, по определению, ИП может быть использована для описания систем, когда информация определяется непосредственно по наблюдаемым величинам без предварительного введения вероятностной меры. Таким образом, мы можем определять и использовать "информацию без вероятности". Показывается, что это может давать разумные результаты, такие как нелинейные уравнения или изменения энтропии при смешении газов [1].
Предложенный подход к введению понятия информации позволяет комбинировать идеи теории информации с идеями инвариантности и нарушенной симметрии, приписывать "смысл" количественным мерам информации в каждом частном случае их использования независимо от формы (формулы) самой количественной меры информации. Например, смысл хорошо известной меры информации фон Неймана-Шеннона-Винера может быть различным, она даже может быть (приблизительной) оценкой информации Хартли, хотя обычно рассматривается как более общая форма количественной меры.
Определение информации как меры различий вообще позволяет вводить количественные меры информации, адекватные рассматриваемым системам. По мнению автора то, что Вигнер назвал "непостижимой эффективностью математики в естественных науках" [28] отчасти обусловлено этим аспектом понятия информации. Наиболее наглядными примерами этого являются адекватное описание многих естественных процессов аппаратом дифференциальных уравнений, компьютерное моделирование с помощью разностных схем, моделирование на основе
4
клеточных автоматов, и пр. Вес эти и аналогичные модели просто воспроизводят эволюцию различий, пространственных неоднородностей, неоднородностей начальных или граничных условий, и т.д.
Замечания или даже частные определения на основе точки зрения, что различия играют определяющую роль, могут быть найдены в обширной литературе. Например, Ауэрбах [29,30] подчеркивал важность различий между физическими величинами и ввел понятие эктропии как характеристику неоднородности распределения энергии, или концентрации энергии в системе. Брэнсон [31] определил информацию непосредственно как функцию различий концентраций по сторонам мембраны при моделировании поведения биологических мембран. В обширной монографии Гущо [32] приводится детальное описание физических процессов (и реальных приборов на их основе), отражающих переменные характеристики сигналов в форме фиксированных поверхностных (неоднородных) рельефов. Исследование физических процессов в ушах млекопитающих показывает [33], что звуковые сигналы обрабатываются таким образом, что их частотные и другие характеристики представляются в виде (пространственного) распределения нейронной активности в мозгу, что напоминает метод рельефографии [32]. Способность различать запахи обусловлена изменениями концентраций и присутствием градиентов концентраций. Более того, рост и развитие органов ощущений определяется наличием "информации" на входе органов [34]. То есть информация управляет организацией живой материи. Есть прямые указания на то, что этот механизм обработки сигналов от органов чувств является универсальным и используется при обработке сигналов всех сенсорных модальностей [35]. Мы упоминали выше, что кибернетика дает много примеров использования различий для управления обратной связью. В часиности, Винер пишет [36]: "Информация, передаваемая управляющему центру, стремится изменить отклонение управляемой величины от управляющей на обратное, но она может самым различным образом зависеть от этого отклонения. Простейшие управляющие системы линейны..." Все эти примеры, так же как и многие другие, которые можно найти в литературе, говорят в пользу универсальности определения информации как различий вообще.
Оригинальные результаты, представленные в первой главе, составляют теоретический базис для проведения количественной феноменологический параметризации структур в металлах и сплавах, разработанной автором и представленной в последующих главах.
Рис. 1.1. Место мультифрактального формализма в физико-информационной классификации
Струтурная
информация
т
Информация как результат акта сравнения -> информация Кульбака; Информация преобразования -> мера нарушенной симметрии
ИИ^И!
Мультмфракгальная информация
Многоточечные корреляции
Двух параметрические семейства информаций и _________энтропий________
Информационное обоснование мультифрактального формализма, количественные меры однородности и упорядоченности
ЗЕ
Информации прямого и обратного преобразований измерения (ИГТПИ и ИОПИ)
Методология мультифракгальной и пссвдомультифрактальнон параметризации структур, программа МПШгот, фрактальная диссиммстрия
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3.
Информация
Хартли
Информация фон Нсймана-Шсннона-Вннера
Изменения
физической
энтропии
Взаимная
информация
ИОПИ субъективная вероятность, Принцип Джейнса
ИППИ, объективная вероятность, Принцип максимального подобия Фишера________________
Информация сдвига Аффинная информация
Информация
Фишера
Линейное
уравнение
Шоеаингеоа
Линейное уравнение Клейна-Фока-Г орлона
Нелинейное
уравнение
Шредингера
N > Принцип инвариантности действия

Обобщенный оператор вариации
Уравнение Лиувилля
Нелинейное уравнение Клейна-Гордона
Нелинейное уравнение Кортевега-де Вриза
м
Результат
ами: Принцип минимума информации Фишера, Принцип экстремума физической информации, распределения Максвелла-Больцмана и Больцмана, волновые уравнения Шредингера. Дирака, Гельмгольца, Уравнения Максвелла э.-м. поля, уравнения Эйнштейна» соотношения неопределенности, игровая интерпретация Принципа экстремума физической информации, и др.
6
1.2. Информация преобразования
Почти за каждым современным научным термином стоит набор характеристик (величин) со своей собственной многоуровневой или иерархической структурой. Но имеется одна общая черта всех научных математических моделей, заключающаяся в том, (физические) модели подразумевают использование (не менее чем) двух множеств: базового множества (пространство, пространство-время, фазовое пространство, множество элементарных событий, узлы кристаллической решетки, и т.д.) и множества "мер интенсивностей" или "меток", приписанных областям или точкам базового множества (поля и их интенсивности, вероятностная мера или другие распределения). Например, в статистической физике базовым множеством является фазовое пространство или пространство состояний, а мерами интенсивности являются вероятности. В гидрогазодинамике базовым множеством является евклидово координатное пространство, а мерами интенсивностей являются распределения плотности, скорости, температуры, давления и других газодинамических параметров. В квантовой механике базовым множеством является координатное пространство или пространство-время, а мерой интенсивностей является волновая функция, квадрат абсолютной величины которой трактуется как вероятность. Хотя такая модель выглядит слишком примитивной, этот "бутерброд" замечательно работает в самой эффективной (по числу приложений) математической теории -теории вероятностей, где он фактически является основой рассмотрения, или даже способом мышления [37,38]. В приложениях нас интересуют, как правило, распределения интенсивностей по базовому множеству.
Как было показано в [1], математическое описание той или иной системы можно получить, сравнивая интенсивности точек или областей базового множества, то есть пытаясь оценить различия областей или точек базового множества, или еще , говоря по-другому, оценивая неоднородность множества мер интенсивностей. Ключевая идея состоит в том, чтобы подходящим образом трансформировать меры интенсивностей (или базовое множество, что влечет трансформацию интенсивностей) и сравнить распределения интенсивностей до и после трансформации, используя в качестве количественной меры их различия информацию преобразования (ИП), рис. 1:2
/Тг = УЫ^П(К?}/ТаИ(Л)), /Тг = (1-1)
где {£} или {к} - базовое множество, непрерывное или дискретное, {/Х£)} или {/4} - интенсивности приписанные к точкам (областям) базового множества, Тар - результат некоторого преобразования Т (сдвиг, вращение, унитарное преобразование, и пр.) интенсивностей, а - параметр преобразования. Информационно производящее преобразование (ИПП) Т
7
может быть локальным или глобальным, но оно не должно искажать однородное распределение интенсивностей (не содержащее информации).
Чтобы не затемнять сути математическими деталями, будем полагать, что все меры и преобразования, которые будут использоваться в дальнейшем для построения ИП, удовлетворяют необходимым требованиям (кусочная непрерывность, неотрицательность, или что-либо еще в зависимости от физической постановки задачи, сценария). Будет подразумеваться так же, что меры и их преобразования удовлетворяют начальным и граничным условиям, наложенным на рассматриваемую систему.
Рис. 1.2. Схематическое представление преобразования модельного "бутерброда".
Необходимо отметить три важных обстоятельства: 1) информация, введенная выше не подразумевает необходимого использования вероятностных мер для описания физических систем, 2) понятие преобразования Т может использоваться не только в математическом смысле, но так же символически, например, чтобы отразить неизвестный механизм эволюции меры или ее преобразования из априорной в постериорную форму в ходе испытаний, 3) мы не предполагаем строгого использования термина "мера интенсивностей", то есть эта мера не обязательно должна быть вещественной и нормированной.
Когда используется вероятностная мера, РОТ является частным случаем информации Кульбака, которая является мерой различия двух вероятностных распределений, не предполагая необходимого наличия связи между ними [13,16,39]. С другой стороны, ИП может применяться к
8
невероятностным мерам. В зависимости от используемого преобразования, в таких случаях ИП может быть соотнесена к классическим мерам информации [1]: когда Т является сдвигом - к информации Фишера IF\ когда Т является "мультифрактапьным преобразованием - к обобщенным размерностям (энтропиям) Реньи Д, ; когда Т является "преобразованием измерения" - к информации Хартли Д, информации фон Неймана-Шеннона-Винера IN$w , или взаимной информации 1М. Соответствующие НС - по отношению к сдвигу, "мультифрактатьному преобразованию", "преобразованию измерения" или перестановкам частиц (или состояний, или событий), см. табл. 1.1, рис. 1.1. Все эти случаи обсуждаются ниже, но в дополнение к этому демонстрируется возможность использования ИП как меры неоднородности невероятностных распределений, то есть, ИП можно непосредственно применять к распределениям физических величин без их статистической интерпретации.
Таблица 1.1. Некоторые меры информации, как меры нарушения симметрии по отношению к соответствующим преобразованиям, и соответствующие вариационные принципы, где IH, If, Insw, ДА) и I(q) -информации Хартли, Фишера, фон Неймана-Шеннона-Винера, сдвига и мультифрактальная информация, соответственно, Dq - обобщенные энтропии Реньи, L(p/x) - функция подобия Фишера, ПЭФИ - принцип экстремальной физической информации Фридена, 1ад- - аффинная информация, НКГ - нелинейное уравнение Клейна-Гордона, КдВ -уравнение Кортевега-де Вриза, AS - изменение физической энтропии, //> -
МЕРА ИНТЕНСИВНОСТИ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ вероятност ь вещественная комплексная
перестановки Iih Insw
сдвиг If, ДА), EPIP, НКГ /(А), КдВ /(А), НКГ, 1ф инвариантност ь действия
мультифрактальное МФФ, m Da I(q)
обратное преобразование измерения Insw> hu принцип Джейнса AS ocJTr по интенсивным переменным
прямое преобразование измерения L(plx), принцип Фишера AS ОСIГг ПО экстенсивным переменным
9
Из определения ИП (1.1) непосредственно видно, что, если даже мера /л (дискретная или непрерывная) неоднородна, но инвариантна при некотором преобразовании Г, соответствующая ИП равна нулю, и ее отличие от нуля должно отражать степень НС по отношению к этому преобразованию Т в системе, описываемой мерой //. Это остается верным так же для всех классических мер информации, к которым сводится ИП в соответствующих случаях. Используя это соответствие, мы можем приписывать соответствующим информациям смысл в силу ИПП, использованного для построения ИП, и выявляющего соответствующую НС. Таким образом, проблема смысла той или иной информационной меры может быть разрешена с единой точки зрения НС.
Необходимо подчеркнуть, что современная литература по теории самоорганизации буквально пропитана идеями НС и теории информации, [19-22,40-43] и многие другие, но существование непосредственной связи между мерами информации и НС не было выявлено. (По необходимо подчеркнуть, что в литературе имеется много прозрачных намеков, особенно в [19,20,42].) С использованием ИП эта связь выявляется непосредственно. Предлагаемый подход к определению смысла информации соответствует тем мыслям, что смысл может быть приписан информации только с учетом ответа системы на внешние воздействия [20], благодаря которым система подвергается дополнительным ограничениям и изменяет свое состояние.
I Гесколько труднее осветить с точки зрения ИП ценностный аспект (который является более специфической особенностью) информации, однако, с самой общей точки зрения, можно положить, что информация не имеет никакой ценности, если только одна ее величина используется для построения математического описания системы (нулевое, экстремальное, и т.д. значение). Если используются все возможные значения информации, то ценность информации равна некоторой ее характерной величине, подобно тому, как это было предложено Харкевичем [15]. Мы могли бы более детально обсудить все аспекты понятия информации, если бы все фундаментальные акты обработки информации были отражены в формальном определении количественной меры информации. Но в форме ИП (1.1) формально отражен (до некоторой степени) только один фундаментальный акт сравнения. Таким образом, с одной стороны, мы ограничены в нашем рассмотрении аспектов информации, с другой стороны, по-видимому, мы имеем возможность выявить наиболее объективные свойства информации, т.к. сравнение является наиболее важной особенностью всех процессов обработки информации.
10
1.3. Прямая и обратная информации измерения
Многие модели в теории вероятностей и, следовательно, в статистической физике, традиционной теории информации и других науках, использующих теорию вероятностей, рассматривают переходы исследуемых систем из одного состояния в другое, причем состояния описываются различными вероятностными распределениями (мерами). В этом параграфе демонстрируется использование ИП для описания изменений распределенных величин на основе рассмогрения подходящих символических преобразований, упомянутых в параграфе 1.2. Такое преобразование называется преобразованием измерения [1], потому что очень часто теоретические модели призваны описывать измерения, реальные или мысленные, или эволюцию системы под действием некоторых внешних воздействий, что с общей точки зрения также можно рассматривать как процедуру измерения, как, например, в квантовомеханической теории процесса измерения. Конкретно, здесь рассматриваются простейшие случаи, когда система может быть описана априори дискретным вероятностным распределением {рк} (нашим "мнением" о системе "на первый взгляд"), которое трансформируется после измерений (испытаний, наблюдений и т.д.) в распределение {р*}, что называется прямым преобразованием измерения (ПЛИ). Обратное к нему (символическое) преобразование называется обратным преобразованием измерения (ОПИ). Соответствующими ИП являются информация прямого преобразования измерения (И ПНИ):
1<Игв£кР*1п (Рк/р'к), (1-2)
и информация обратного преобразования измерения (ИОПИ):
и = *1п (р Урк.). (1.3)
Их интерпретации как мер НС зависят от систем, к которым они применяются. Обе эти информации имеют форму и все свойства информации Кульбака [13,39].
1.3.1. ИОПИ и информация Хартли
Рассмотрим некоторую систему, над которой проводятся испытания (наблюдения) с N априори возможными исходами. N может быть известным для данного класса систем из более ранних наблюдений или взято на основе разумных предположений. До проведения испытаний нам приходится приписывать всем исходам равные вероятности /?*= 1/М, к-\,...,И. То есть, мы сначала описываем системы однородным априорным распределением, соответствующим максимальному беспорядку или полной симметрии исходов. Пусть затем в ходе предварительных испытаний мы видим, что реализуются только М<И исходов. Если это все, что нам нужно, то мы можем описывать нашу систему неоднородной мерой {р'к=\/М, р'к=0, М<к<И) (после подходящей
11
перенумерации, может быть). То есть, мы разделили множество возможных исходов на две различные группы, и наше "мнение" о мере системы преобразуется: {/?*}-»{/>*}. Соответствующая ИОПИ будет иметь вид:
4»= £, р'к\п(рУрк)= Ет^тттг)
к-1 *.1 м VI/ N У
•'"©■'»й-1»?-'«- <14) что в точности совпадает с формулой информации Хартли /я,
[44,10,11,19,20,36] и многие другие. (Мы предполагали в ур. (1.4), что 04п(0)=0 в смысле предела Птх_>0х1п(х)=0, что легко показать.) Эта формула легко может быть модифицирована на случай непрерывного множества "исходов".
N=6 М=3
Рис. 1.3. НС исходов испытаний, характеризуемая информацией Хартли.
Многие авторы при рассмотрении подобных проблем даже не упоминают, что эта форма меры информации была впервые введена Хартли. 1И традиционно интерпретируется таким образом [10,11], что если в начальном состоянии имеются N равновероятных исходов, то извлечение количества информации 1Н уменьшает это число до М. В нашем рассмотрении 1Н становится мерой НС, которая показывает, что не все изначально ожидаемые исходы возможны, не делая различия между возможными исходами, см. рис. 1.3.
1.3.2. ИОПИ и информация фон Неймана-Шеннона-Винера
Рассмотрим теперь более тонкое исследование системы с N возможными исходами испытаний. Для конкретности, пусть системой будет некоторый приемник сообщений, передаваемых с помощью N дискретных символов, и каждое испытание показывает, какой символ принят. До наблюдений мы должны рассматривать все символы как равновероятные, так что наша априорная мера, характеризующая систему,
12
является однородной {рк= 1/ЛҐ, А:=1,...,ЛГ}. То есть нет никаких сведений об НС среди символов, но мы можем подозревать ее присутствие. Вместо того, чтобы просто регистрировать, какой конкретный символ получен, мы можем оценить относительные частоты получения различных символов (в течении достаточно продолжительного времени наблюдений) {р'ь чтобы взять множество этих частот, как новую меру, описывающую систему (на основе принципа максимального подобия Фишера, см. ниже). Соответствующая ИОПИ имеет вид:
1,т = ± р'МрУрк) =£ р*1п№*) =
к-1 кші
=1п(Л') + £ р \\п(р '*) = 1п(Л0 - 1к$ы, (1.5)
где Іжи' является обычной информацией фон Неймана-Шеннона-Винера
[45,10,11,19,20,36], которая в данном случае обобщает форму информации Хартли (1.4).
Рис. 1.4. НС исходов испытаний, характеризуемая информацией фон Неймана-Шеннона-Винера.
Ур. (1.5) показывает непосредственное соотношение между ИОПИ и Они обе могут рассматриваться как индикаторы того факта, что не все символы (исходы) равновероятны (НС), см. рис. 1.4. Поскольку 1п(Л0 является максимальным возможным значением мы можем переписать ур. (4.2.1) в форме общей меры неоднородности дискретного вероятностного распределения {/>*, к-
/»у =1 РкЫКрк) = - /яя* (4.2.2)
1.3.3. Взаимная информация
Пусть имеются две невзаимодействующие системы, каждая со своим дискретным пространством состояний {а}у {/?}, характеризуемых мерами {ра}у {рр}у соответственно. Приводя системы во взаимодействие, мы должны описывать объединенную систему совместной мерой {рар}, характеризующей совместное пространство состояний {ар\. То есть