Содержание
Введение. 6
1 Негиперболический хаос. Диагностика и свойства. 43
1.1. Численное исследование гиперболичности хаотических
траекторий..............................................44
1.2. Свойства иогиїторболических аттракторов. Влияние шума. 49
1.3. Исследование распределения вероятностей на иегипор-
болнвеских аттракторах в присутствии шума.............56
1.4. Границм аттрактора и среднее время пребывания па аттракторе її системе с ограниченным и гауссовским шумом. G5
1.5. Особенности процесса установления стационарного рас-
пределения вероятностей на хаотических аттракторах в присутствии шума........................................72
1.5.1. Процесс установления стационарного расірхїдс-леиия вероятностей и характеристики скорости перемешивания в системе Лоренца. Влияние шума.......................................................75
1.5.2. Процесс установления стационарного распределения вероятностей и характеристики скорости перемешивания в системе Росслера. Механизм влияния шума fia скорость перемешивания.....................79
1.6. Выводы.................................................88
-3-
2 Спиральный хаос. Особенности взаимодействия. 93
2.1. Особенности поведения фазовых траекторий и спектр колебаний в режиме спирального хаоса...................... 94
2.2. Синхронизация спирального хаоса. Захват характерных частот и мгновенных фаз...................................104
2.2.1. Синхронизация в присутствии сбоев мгновенной фазы, вызванных шумом или переходом в режим винтового хаоса.......................................113
2.3. Влияние диссипативного линейного осциллятора па хаотический автогенератор. Эффект затягивания средней частоты хаотических колебаний.............................110
2.4. Выводы................................................125
3 Особенности динамики нелинейных систем с квазипе-
риодическим возмущением. 130
3.1. Модельные системы с дискретным временем и методы диагностики режима СНА....................................132
3.2. Возникновение и эволюция нерегулярных режимов в отображении кольца с квазипериодическим воздействием. 130
3.2.1. Механизмы разрушения двухчастотных квази периодических колебаний и возникновение СНА. . . 137
3.2.2. Положительные локальные ляпуновские показатели на СНА...........................................149
3.2.3. Воздействие шума на систему в режиме странного нехаотического аттрактора........................154
3.3. Фазовая мультистабильность и синхронизация СНА в системах с квазипериодическим воздействием........102
3.4. Нерегулярная динамика цепочки отображений окружности с однонаправленным взаимодействием..............175
3.4.1. Пространственное развитие нерегулярной динамики вдоль цепочки.....................................177
3.4.2. Исследование установившихся вдоль цепочки режимов и соответствующих пространственных структур....................................................184
3.5. Выводы................................................192
Коллективное поведение ансамблей локально взаимодействующих автогенераторов и стохастических осцилляторов. Эффекты синхронизации. 195
4.1. Эффекты синхронизации в цепочке квазигармонических
осцилляторов в присутствии случайных и гармонических воздействий......................................................19G
4.1.1. Влияние случайных сил па структуру частотных кластеров в неоднородной цепочке осцилляторов. 199
4.1.2. Управление кластерной синхронизацией посредством точечного внешнего воздействия...................207
4.1.3. Кластерная синхронизация в цепочке осцилляторов, описываемых только фазовыми уравнениями....................................................208
4.1.1. Вынужденная синхронизация цепочки квазигармонических генераторов.................................212
4.2. Вынужденная синхронизация цепочки хаотических автогенераторов 221 -
4.2.1. Область глобальной синхронизации................224
4.2.2. Характеристики динамического режима цепочки
в области фазового захвата.......................228
4.3. Эффекты синхронизации в цепочке стохастических бистабильных осцилляторов................................232
4.3.1. Диффузионное взаимодействие.....................236
4.3.2. Однонаправленное взаимодействие.................243
4.4. Выводы.................................................247
Заключение. 250
Литература.
257
- 6-
Введеште
В нелинейных динамических системах кроме простых (регулярных) колебаний, к которым можно отнести периодические и квазипериоди-ческие, широко распространены так называемые нерегулярные колебания. Нерегулярные колебания могут порождаться непосредственно самой динамической системой без каких либо случайных воздействий па нее. Хорошо известным (но не единственным) примером нерегулярных колебаний служит динамических хаос - колебательный режим, широко распространенный в сильно нелинейных системах с размерностью фазового пространства N > 2. Возможность существования сложных, нерегулярных движений в детерминированных системах конечной размерности предсказывалась математиками еще начиная с работ А.Пуанкаре [1, 2, 3). Подобного рода колебания наблюдались и в некоторых экспериментах с радиотехническими цепями [4]. Однако, нерегулярные колебательные режимы по-настоящему оказались в центре внимания ученых, работающих в самых различных отраслях науки, только в последней четверти XX века. Причиной этому стало развитие вычислительной техники, сделавшее возможной визуализацию нерегулярных колебаний. Компьютерное моделирование нелинейных процессов, начиная с известной работы Э.Лоренца |5], выявило типичность нерегулярных колебаний, что послужило стимулом для дальнейших теоретических исследований. В работах математиков [б, 7, 8, О, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 10. 17,18, 19| были заложены основы теории динамических систем с нетривиальным поведением фазовых траекторий. Широкое использование методов компьютерного моделирования во взаимодействии с натурными экспериментами и теоретическими подходами, способствовало возникновению таких новых направлений в пауке, как теория динамического хаоса, синергетика и теория диссипативных
-7-
структур [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33].
Математическим образом установившегося режима в диссипативных системах (автономных, или сводимых к автономным) является притягивающее предельное множество траекторий в фазовом пространстве, называемое аттрактором. Большую роль в развитии теории колебаний в первой половине XX века сыграло понятие предельного цикла Андронова -Пуанкаре - предельного множества, соответствующего периодическим автоколебаниям [34]. На плоскости предельный цикл является единственным аттрактором, соответствующим колебательному режиму. Другим типом аттрактора в системах с регулярной динамикой служит тороидальная поверхность (в общем случае гиперповерхность), являющаяся образом квазипериодических колебаний. С открытием динамического хаоса в диссипативных системах было введено понятие странного аттрактора [11], названного так из-за сложной структуры предельного множества. Однако строгое общепринятое определение того, что следует называть странным аттрактором до настоящего времени отсутствует. Имеется некоторая разница в понимании и применении этого термина у разных научных школ.
Истинным хаосом с точки зрения строгой теории, является так называемый грубый гиперболический хаос, обладающий однородной топологически устойчивой структурой. Условия грубой гиперболичности означают, что касательное подпространство в каждой точке рассматриваемого множества можно разложить на гладкие инвариантные многообразия одной и той же размерности, одно из которых соответствует направлениям экспоненциального схождения, а другое -направлениям экспоненциального разбегания. Эти условия могут выполняться во всех точках фазового пространства (У-системы Аносова) [8, 12, 35] или же на так называемых базовых множествах (си-
-'8 -
стсмы, удовлетворяющие аксиоме А) [6, 7, 36, 37]. Притягивающие предельные множества, обладающие свойством грубой гиперболичности, как раз и были первоначально названы странными аттракторами или аттракторами Смейла. Однако, большинство “странных аттракторов”, наблюдаемых в конкретных моделях не являются таковыми в строгом смысле этого слова, так как не обладают свойствами грубой гиперболичности [37, 38, 39, 40]. Кроме того, у разных авторов “странность” аттрактора может указывать как на фрактальную геометрическую структуру, так и на неустойчивое поведение траекторий на аттракторе. Однако исследования последних лет показали, что взаимосвязь между геометрическими свойствами аттрактора и характером устойчивости траекторий не всегда однозначна [41, 42].
Будем называть аттракторы, соответствующие нерегулярным колебаниям диссипативных динамических систем, нерегулярными аттракторами, и рассмотрим классификацию аттракторов с точки зрения современных представлений нелинейной динамики. Странные аттракторы (СА)- это притягивающие предельные множества траекторий в фазовом пространстве динамических систем, имеющие фрактальную структуру и дробную метрическую размерность. Иначе говоря, СА не является ни совокупностью конечного числа точек ни кусочно- дифференцируемым множеством [41] Хаотические аттракторы (ХА) - это притягивающие предельные множества, характеризующиеся экспоненциальной неустойчивостью фазовых траекторий. Чаще всего свойства “странности” и “хаотичности” сопутствуют друг1 другу. В этом случае можно говорить о странных хаотических аттракторах (СХА). Однако возможны нерегулярные аттракторы, обладающие только одним из этих свойств. Известны странные пехаотические аттракторы (СНА), представляющие собой фрактальные множества, состоящие
- 9-
из устойчивых (негиперболических) траекторий, а также хаотические нестройные аттракторы (ХНА)) т.е. хаотические аттракторы с целой метрической р&змерностыо [42, 43, 44].
В свою очередь странные хаотические аттракторы разделяют на грубые гиперболические, почти гиперболические (называемые также квазигиперболическими или псевдогиперболическими) и негиперболи-ческие аттракторы (или квазиаттракторы) [37, 38, 39, 40, 42, 45]. Грубый гиперболический аттрактор представляет собой притягивающее предельное множество, со следующей грубой структурой:
1) оно состоит из множества всюду плотных “листов” (или незамкнутых кривых), по которым близкие точки экспоненциально расходятся;
2) окрестность каждой точки аттрактора имеет одну и ту же фрактальную геометрию, определяемую произведением канторова множества на многообразие;
3) аттрактор имеет окрестность, расщепленную на’’листы” или диски, вдоль которых точки притягиваются к аттрактору с экспоненциальной скоростью [39]. Все траектории на грубом гиперболическом аттракторе являются седловыми (гиперболическими), причем их устойчивые и неустойчивы многообразия всюду трансверсальны и имеют одинаковые для любой точки размерности. Таким образом, структура аттрактора однородна в любой точке. Грубый гиперболический аттрактор является скорее умозрительным понятием, таким как соленоид Смейла - Вильямса [46] или аттрактор Плыкина [47]. Существование грубого гиперболического аттрактора пока не доказано ни для одной конкретной динамической системы, кроме, может быть, некоторых сжимающих площадь диффиоморфизмов на двумерном торе [37].
Известен ряд примеров почти гиперболических аттракторов: аттракторы Лоренца [48] и Мариока - Шимицу [49] в потоковых систс-
- 10-
мах; аттракторы Лози [50] и Белыха [51] в дискретных отображениях и др.. Почти гиперболические аттракторы не вполне однородны. Они могут включать точки или траектории, окрестность которых устроена иначе, чем окрестность других точек аттрактора. Например аттрактор Лоренца включает седловое состояние равновесия в начале координат, многообразия которого (устойчивое и неустойчивое) имеют иную размерность, чем многообразия других траекторий на аттракторе. Кроме того, почти гиперболические аттракторы не являются грубыми, так как для них характерно существование фазовых траекторий особого типа: сепаратрисных петель и исгрубых гомоклипических кривых. Однако, появление и исчезновение этих особых траекторий не связано с рождением устойчивых движений. Внутренние бифуркации в данном случае не приводят к видимым изменениям каких- либо экспериментальных характеристик хаотического режима. Как грубые гиперболические аттракторы, так и почти гиперболические аттракторы характеризуются поведением, устойчивым к малому возмущению (вариации параметров системы или случайным воздействиям) [8. 10, 53, 54, 55, 56, 57, 58].
Как уже отмечалось, хаотические колебания, наблюдаемьГе в большинстве реальных динамических систем и их моделей, не связаны с грубыми гиперболическими или хотя бы почти гиперболическими предельными множествами. Хаотические аттракторы в фазовом пространстве таких систем представляют собой так называемые квазиаттракторы. Квазиаттракторы - это притягивающие предельные множества, которые включают не только гиперболические траектории разного типа, но также репеллеры и устойчивые периодические орбиты. Причиной негиперболичиости хаоса в динамических системах является возникновение на аттракторе негрубых гомоклипических траекто-
-11 -
рий, удовлетворяющих определенным условиям. В работах математиков [15,16, 59, 60, 61, 62] был доказан ряд теорем, содержание которых сводится к следующему. Пусть динамическая система в точке //о пространства параметров имеет негрубую гомоклиническую траекторию, образовавшуюся в результате касания гладких многообразий седловых орбит или седловых точек равновесия. Тогда, при некоторых дополнительных условиях достаточно общего характера, в сколь угодно малой окрестности точки //о существует такая точка Д], в которой динамическая система имеет устойчивую периодическую орбиту [59] и даже счетное множество таких орбит [15, 62]. Кроме того, в окрестности до имеется счетное множество областей, в которых всюду плотны точки гомоклипических касаний (области Ныохауса) [16, 60, 61].
Неоднородность негиперболического хаоса связана со множеством внутренних бифуркаций квазиаттрактора, наблюдающихся при изменении параметров. Объединения различных хаотических аттракторов в области квазиаттрактора и бифуркации связанности приводят к ощутимым в эксперименте изменениям характеристик хаоса. Большую роль играют встроенные в квазиаттрактор устойчивые периодические орбиты. Хотя большинство таких орбит не регистрируется даже в численных экспериментах (поскольку ширина их бассейнов притяжения сопоставима с “компьютерным шумом“), однако они существенно влияют па структуру и свойства негиперболического хаоса, что не может ни отразиться на экспериментальных характеристиках [42, 63].
Слабое шумовое воздействие, всегда присутствующее в любой реальной системе и неизбежное при компьютерном моделировании, для негиперболического хаоса может оказаться весьма существенным. Даже малый (в том числе ограниченный по амплитуде) шум может индуцировать внутренние бифуркации и кризисы квазиаттрактора[42,
- 12-
64, 65, 66, 67, 68], привести к значительным изменениям хаотических траекторий на киазиаттракторе [69, 70], что важно с точки зрения проблемы корректности компьютерного моделирования [71, 72, 73, 74, 75]. Шум может повлиять на статистические характеристики негиперболического хаоса [42, 66, 76. 77). В свете вышесказанного приобретают актуальность следующие направления исследований: разработки методов падеоюпой диагностики типа хаотического ре-э/сима;
анализ различий в поведении количественных характеристик различных типов хаоса\
выявление влияния случайных воздействий па структуру и свойства пегиперболического хаотического реоюима.
Локальная неустойчивость хаотических траекторий тссио связана со статистическими свойствами динамической системы. Типичные хаотические траектории сложным и нерегулярным образом распределяются по аттрактору, так, что различные траектории должны “перемешиваться” между собой. Это даст возможность предположить, что динамическая система будет эргодической, обладающей свойством перемешивания и характеризующейся положительной энтропией Колмогорова. Действительно, для У-спстем, аттракторов Смейла или почти гиперболических аттракторов справедлива эргодичсскаи теория [10, 12, 19, 52, 56, 78, 79, 282, 81, 82]. Согласно представлениям эргодической теории для гиперболических или почти гиперболических аттракторов можно ввести инвариантную вероятностную меру с плотностью р, непрерывной вдоль неустойчивого многообразия, в котором располагается хаотический аттрактор. Вероятностная мера является единой на всем аттракторе и сохраняется под действием оператора эволюции (поэтому она и называется инвариантной). Способ введс-
- 13-
ния инвариантной меры может быть различен [19]. Можно рассуждать следующим образом. Если на потоковую систему воздействует гауссовский 6- коррелированный шум с интенсивностью Д то в системе будет иметь место диффузионный марковский процесс, плотность вероятности которого описывается уравнением Фоккера - Планка - Колмогорова. Для нелинейных динамических систем оно как правило имеет единственное стационарное решение рг> |33]. За плотность инвариантной вероятностной меры на хаотическом аттракторе естественно принять следующий предел: р — Іітд^о р0. Этот предел является непрерывным. Откуда следует, что воздействие шума малой интенсивности Г) слабо влияет на вероятностную меру и, следовательно, на все статистические свойства хаоса. Собственная “стохастичность” оказывается сильнее навязываемой извне [56]. Другое определение инвариантной меры основано на частоте, с которой фазовая траектория посещает различные части аттрактора. В [19] вероятностная мера, определенная таким образом, названа СРВ - мерой (т.е. мерой Синая - Рюэля - Боуэна). При этом необходимо предполагать, что почти любая фазовая траектория определяет одну и ту же инвариантную меру, т.с. имеет место свойство эргодичности. Для гиперболических и почти гиперболических аттракторов введенные указанными двумя способами вероятностные меры совпадают [19].
К сожалению, теория инвариантной меры встречает большие сложности, если пытаться применить ее к негиперболическим аттракторам. В силу неоднородной структуры квазиаттрактора предположение об эргодичности мягко говоря не вполне соответствует действительности. По этой причине два указанных выше способа введения инвариантной меры в общем случае приводят к разным результатам. Предел Іітд-юо ро зависит от начального условия и не является пепрерыв-
- 14 -
ным всюду на аатракторе [84, 85]. Кроме того, в окрестности устойчивых периодических орбит, всюду плотных в квазиаттракторе, отсутствует перемешивание. Соответственно, затруднительным с теоретической точки зрения оказывается введение статистических характеристик квазиаттрактора. Присутствие шума может в данной ситуации облегчить задачу статистического описания хаоса. Однако, при этом интенсивность и статистические свойства источников шума становятся важными параметрами хаотической системы и, как уже отмечалось, могут оказать существенное влияние на все ее характеристики. Имеется ряд нерешенных проблем, связанных с воздействием шума на иегиперболический хаос, среди которых можно выделить следующие: Существует ли единая инвариантная мера па квазиаттракторе в системах с ограниченным по амплитуде шумом? Совпадают ли вероятностные меры, определенные двумя указанными выше способами? Корректно лгь предположение эргодичности, позволяющее вычислить статистические характеристики, используя усреднение по времени? Как свойства источников шума в пегиперболических системах будут влиять па стационарную плотность вероятности, если она существует? и т.д. Строгая эргодическая теория в настоящее время не может дать ответов на перечисленные вопросы. В связи с этим большая роль принадлежит численному моделированию.
Одним из важных вопросов теории инвариантной меры является исследование процесса релаксации системы из некоторого начального неравновесного состояния к стационарному вероятностному распределению. Изменение плотности вероятности во времени может быть описано некоторым эволюционным уравнением. В различных случаях это может быть уравнение Фоккера - Планка - Колмогорова, уравнение Чепмена- Колмогорова или Фробениуса-Перрона [22, 23, 86, 87, 88, 89].
- 15-
Однако, в случае, когда размерность динамической системы велика (Лг > 3), решение эволюционного уравнения трудно получить даже численными методами. Гораздо более простым во многих случаях оказывается метод, основанный на решении стохастических уравнений для большого ансамбля начальных условий. Бели определенные двумя способами инвариантные меры оказываются одинаковыми, то такой метод численного эксперимента оказывается вполне корректным.
Установление инвариантной вероятностной меры в хаотической системе связано с “забыванием” начального распределения, т.е. с процессом перемешивания. Чем выше скорость перемешивания, тем быстрее релаксирует система к стационарному вероятностному распределению. Скорость перемешивания в хаотической системе принято характеризовать с одной стороны временем корреляции гкор, а с другой - энтропией Колмогорова Як- Время корреляции определяет показатель экспоненциального убывания автокорреляционной функции хР(т) стационарного процесса х(1) (т = t2 — tl). Энтропия Як хаотической системы может быть введена, при условии существования инвариантной вероятностной меры (т.е. для У-систем, гиперболических и почти гиперболических аттракторов). Она характеризует скорость производства системой информации и определяет время перемешивания тпер = Я^1 [78, 90, 91, 92, 93). Для отображений, удовлетворяющих аксиоме А, доказано [9, 26, 94, 95], что
Ф(т) = ехр(—II кт).
Таким образом, в данном случае время перемешивания совпадает со временем корреляции: тпсР = ткор. В свою очередь, для строго гиперболических систем энтропия Як определяется как Як = А*, где
А+, у = 1}...К- положительные ляпуновские показатели. В более об-
-16-
щем случае справедлива оценка сверху Як < А* (19, 78, 93, 96].
К сожалению, для систем с негиперболическим хаосом отсутствует строгое определение энтропии Як, и какие - либо теоретические соотношения между различными характеристиками скорости перемешивания не получены. Болес того, взаимосвязь времени корреляции и положительных ляпуновских показателей в системах с непрерывным временем может быть достаточно сложной даже для случая почти гиперболического хаоса [97. 98]. Свойство перемешивания в хаотических системах определяется главным образом собственной динамикой системы. Однако, можно предположить, что в случае негиперболического хаоса, присутствующий в системе слабый шум также может оказать влияние на характеристики перемешивания. Каково характерное время релаксации системы к стационарной плотности вероятности, от каких факторов оно зависит, какие количественные характеристики системы влияют па скорость установления стационарной меры, какова роль шума в закономерностях эволюи,ии распределения к стационарному, и каким, образом процесс установления стационарной меры связан с особенностями динамики системы? Вот далеко не полный перечень вопросов, на которые пока пет полных и ясных ответов.
Почти гиперболические хаотические аттракторы типа аттрактора Лоренца и некоторые распространенные виды квазиаттракторов, такие как спиральный и винтовой аттракторы [32, 99], аттрактор “двойная спираль” [100] и некоторые другие являются типичными автоколебательными режимами простейших хаотических систем с минимально возможной размерностью фазового пространства N = 3. В 1 нелинейных системах большей размерности не исключено существование еще более сложных нерегулярных колебательных режимов и со-
- 17-
ответствующих им аттракторов, пока не изученных в рамках нелинейной динамики. Во многих теоретических и прикладных задачах динамическая система большой размерности представляет собой совокупность взаимодействующих частей, каждая из которых может рассматриваться как отдельная нелинейная динамическая система. Взаимодействие парциальных систем, включая и случай однонаправленного воздействия одних систем на другие, может привести ко множеству различных нелинейных эффектов. При этом могут возникнуть новые типы колебаний, не наблюдавшиеся в системах в отсутствии взаимодействия. Так хорошо известно, что периодическое воздействие на диссипативный нелинейный осциллятор или автогенератор с одной степенью свободы, увеличивая на единицу размерность фазового пространства системы, приводит во многих случаях к возникновению хаотической динамики. Примерами могут служить хаотические аттракторы в нелинейных осцилляторах и автоколебательных системах [101, 102, 103, 104, 105, 106, 107] с одной степенью свободы. С другой стороны периодическое воздействие может не только усложнять режим автоколебаний, но и упрощать его. Так известен эффект подавления хаоса внешним периодическим воздействием [108, 109, 110, 111]. Аналогичные эффекты хаотизации и регуляризации автоколебаний можно наблюдать и при взаимной связи двух автогенераторов [110, 111, 112].
Важным направлением в теории нелинейных колебаний является исследование новых типов нерегулярного поведения, возникающих в результате взаимодействия простых колебательных систем, а так-oice особенностей взаимодействия систем с нерегулярной динамикой. 1
Важнейшим фундаментальным свойством, присущим взаимодействующим автоколебательным системам можно считать явление син-
- 18-
хронизации [113, 114, 115, 116, 117,118, 119, 120,121, 122, 123, 124,125, 126].
Изучение синхронизации хаотических систем в последние годы привлекало особое внимание исследователей [42, 127, 285, 129, 130). Сложный, непериодический характер колебаний потребовал нового, более общего определения понятия синхронизации. О самом общем смысле под синхронизацией можно понимать возникновение некоторых соотношений между определенным образом выбранными функционалами колебательных процессов в парциальных системах 1131). Однако, такое определение является предельно обобщенным и мало что даст при решении конкретных задач. Так, в связи с различным выбором рассматриваемых функционалов хаотических колебаний, и наблюдением нескольких, вообще говоря связанных между собой эффектов, в настоящее время синхронизация хаоса может пониматься в нескольких различных смыслах. Различают частотную синхронизацию 1110. 111, 112, 132, 133, 134, 135], (разовую синхронизацию 1136, 137. 138, 139, 140, 141, 142], полную синхронизацию [143, 144, 145, 146, 147, 148, 149], запаздывающую синхронизацию (или 1а£- синхронизацию) [ 150, 151, 152] и обобщенную синхронизацию [145, 153. 154] хаотических колебаний. Различные эффекты хаотической синхронизации наблюдались не только при численном моделировании, по и во многих натурных экспериментах, проводимых в основном па радиотехнических системах. Захват и подавление базовых частот хаотических автоколебаний экспериментально исследовались в [110, 111]. Захват фазы хаотических автоколебаний рассмотрен в [155]. Полная и почти полная синхронизация хаоса наблюдались в экспериментах, описанных в 1145, 148, 156, 157, 158]. Экспериментальное изучение запаздывающей синхронизации осуществлено в [159]. В экспериментах с двумя лазе-
- 19-
рами с однонаправленной связью [160] были обнаружены эффекты обобщенной, фазовой и запаздывающей синхронизации хаотических режимов генерации.
Взаимодействие хаотических систем приводит к ряду новых явлений. Это, например, мультистабильность регулярных и хаотических колебаний, возникающая при взаимодействии систем со спиральным хаосом [135, 141, 142, 156, 161, 162, 163]. Рядом особенностей характеризуется разрушение режима полной синхронизации хаоса в идентичных взаимодействующих хаотических осцилляторах. К ним относятся такие явления как хаотическая перемежаемость особого типа (on-off перемежаемость), “распухание аттрактора” (баблинг) и изрешечивание бассейнов притяжения (ридлипг) 1158, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174].
Идеи частотной и фазовой синхронизации хаоса, являются прямым развитием классической теории синхронизации периодических автоколебаний. 13 полной мере классические представления о синхронизации автоколебаний могут быть распространены только на один определенный хаотический режим, а именно на режим спирального хаоса [32, 99]. Однако, этот хаотический режим, возникающий из периодических колебаний в результате бесконечной последовательности удвоений периода, очень часто встречается па практике в самых разных динамических системах. В фазовом пространстве в этом случае образуется особого вида к ваз и аттрактор, называемый спиральным аттрактором или аттрактором рёсслеровского типа. Спиральный хаос сохраняет определенные черты периодических колебаний. Так траектории на спиральном аттракторе возвращаются к секущей плоскости через почти одинаковые интервалы времени. При этом они обладают определенным свойством “фазовой когерентности” [137]. В спектре
-20-
сгіирального хаоса присутствует четко различимый пик на частоте, соответствующей средней частоте вращения траекторий вокруг седло-фокуса. Эту частоту можно рассматривать как базовую частоту колебаний и исследовать эффект захвата или подавления базовой частоты. Впервые попытка обобщения классических представлений о синхронизации как о захвате или подавлении частот на случай взаимодействия хаотических автогенераторов была предпринята в работах [110, 111, 132, 133, 134, 135]. Обнаружено, что на плоскости параметров, управляющих степенью взаимодействия и расстройкой хаотических осцилляторов, можно выделить области синхронизации хаоса, подобные “языкам Арнольда”. Хаотические колебания в этих областях (синхронный хаос) топологически отличаются от хаоса за их пределами (несинхронный хаос).
В 1137. 138, 139, 140] были даны определения мгновенной фазы хаотических колебаний и введено обобщенное условие захвата фаз, применимое для случая хаотических колебаний, основано на требовании ограниченности изменения разности мгновенных фаз во времени. Показано, что строгий захват фаз (т.е. в течении сколь угодно длительного времени) в указанном обобщенном смысле наблюдается во взаимодействующих системах со спиральным хаосом или при внешнем гармоническом воздействии на хаотический автогенератор указанного типа. Выло также показано, что захват фаз хаотических колебаний возможен и для некоторых других хаотических режимов, но на конечных временах (эффективная фазовая синхронизация) [137, 175, 170, 177) Очевидно, эффекты частотного и фазового захвата в случае спирального хаоса, также как в случае периодических колебаний, тесно взаимосвязаны. По этой причине удобно использовать название частотно - фазовая синхронизация или термин синхронизация в смысле. Гюйгеп-
-21 -
ca, введенный в [ 1311. Синхронизация хаоса в частотно - фазовом понимании может наблюдаться в системах, достаточно сильно различающихся между собой как с точки зрения математической модели, так и по своей динамике. Возможна 'также вынужденная частотно-фазовая синхронизация хаоса, в том числе периодическим воздействием.
При значительной частотной расстройке и большой амплитуде воздействия (или большом коэффициенте связи двух хаотических осцилляторов) наблюдается явление подавления хаотических автоколебаний [110,111,134,135]. В этом случае в области синхронизации существуют периодические режимы, а граница области соответствует бифуркации рождения тора из предельного цикла (как и в классическом случае подавления периодических автоколебаний).
Несмотря на то, что частотно - фазовая синхронизация спирального хаоса известна уже довольно давно, в ее концепции остается еще немало слабо исследованных сторон. К ним можно отнести следующие вопросы. Каков механизм перестройки хаотического аттрактора па границе области синхронизации и насколько соответствуют друг другу различные критерии частотно- (разовой синхронизации? Что происходит в области синхронизации хаоса в прогрессе эволюции от спирального аттрактора к винтовому? Как изменятся характеристики синхронизации спирального хаоса при воздействии на систему источников шума?
Для автогенераторов периодических колебаний кроме явления синхронизации типичны также эффекты затягивания частоты и гашения колебаний при взаимодействии с диссипативным колебательным контуром [116, 123, 178, 179]. Возникает вопрос, ограничивается, ли общность свойств периодических и хаотических автогенераторов только явлением синхронизации, или эффекты затягивания и гашения
- 22-
также характерны для хаотических автоколебаний?
При квазипериодическом возмущении нелинейных систем кроме квазипериодически X и хаотических колебаний может возникать новый тип нерегулярной динамики, соответствующий образованию в фазовом пространстве странного нехаотического аттрактора (СНА) [41]. СНА был обнаружен во многих динамических системах с квазипериодическим воздействием и исследовался в основном методами численного моделирования [180, 181, 182, 183, 184,185, 18G, 187, 188, 189, 190, 191, 192]. Для анализа области СНА на плоскости параметров был применен метод ренорм- группы [193]. Имеются данные натурных экспериментов, подтверждающие существование странных нехаотических аттракторов в реальных системах 1194, 195].
Главная особенность систем с квази период и ческим воздействием заключается в том, что квази периодическое воздействие с фиксированным иррациональным соотношением частот пнавязывает"системе иррациональное число вращения, но зависящее от внутренних параметров системы. Рассмотрим простейший случай: одна из частот воздействия совпадает с собственной частотой периодических колебаний системы. При этом в области синхронизации собственных колебаний наблюдается грубый квазипериодический двух частотный режим с фиксированным значением числа вращения, которое задается извне и предполагается иррациональным. Предельное множество, соответствующее двухчастотным квазипериодическим колебаниям в системе с непрерывным временем представляет собой поверхность, топологически эквивалентную двумерному тору Т1 (для краткости пользуются термином “двумерный тор”). В отображении, порождаемом в секущей плоскости, существует инвариантная замкнутая кривая, также являющаяся образом двухчастотных квазипериодичсских колебаний. Меняя пара-
-23-
метры системы и амплитуду воздействия можно добиться разрушения двумерного тора и перехода к хаосу. Обычно при квазилериодическом сценарии развития хаоса важнейшую роль играют резонансные явления, всегда предшествующие формированию хаотического множества [38, 42, 48, 196, 197, 198, 199] Милнора.
Однако, в системе с квазипериодическим воздействием имеет место разрушение эргодического тора и формирование хаотического множества происходит особым образом. Так как на торе не возникает резонансной структуры и нет необходимости контролировать значение числа вращения, то бифуркационные механизмы разрушения тора и возникновения хаоса в этом случае допускают однопараметрический анализ. Пусть при некотором значении параметра а = ал, существует эргодичсский тор Т2 с жестко фиксированным иррациональным числом вращения, а при а = ск\ существует хаотический аттрактор СА. Исследования показали, что разрушение грубого эргодического тора первоначально приводит к возникновению СНА, который затем преобразуется в хаотический аттрактор [182, 184, 190, 191, 192, 200, 201). В отображении первоначально наблюдаются искажения формы инвариантной замкнутой кривой, ведущие к потере гладкости. Резонансный тор, как о том говорится в теореме Афраймовича- Шыльникова [38, 48], перед разрушением тоже теряет гладкості,. Но это происходит на конечном множестве неподвижных точек инвариантной кривой, соответствующих точкам устойчивого резонансного цикла. Такой "негладкий тор"может какое-то время существовать в фазовом пространстве динамической системы прежде чем произойдет его разрушение. В случае эргодического тора на инвариантной кривой отсутствуют неподвижные точки и при некотором значении а = acri происходит потеря гладкости инвариантной кривой одновременно на всюду плот-
-24-
иом множестве точек. В результате инвариантная кривая разрушается и возникает множество, не являющееся многообразием. Однако разрушение тора не ведет автоматически к возникновению экспоненциальной неустойчивости движения. Хаотической, динамика становится позже, при некотором значении а = аСГ2 > <^сгі- Таким образом, имеется конечная область значений параметра аГГ] < а < ас.г2, в которой существует СНА. Сценарий развития хаоса из режима СНА также имеет ряд особенностей [201], но в настоящее время ом недостаточно изучен.
Анализ причин потери гладкости и разрушения инвариантной замкнутой кривой выявил два основных механизма, приводящих к СНА:
1 )кризис инвариантной кривой; 2)постепенная деформация (формы тора, приводящая к потере гладкости и разрушению тора. Кризис происходит в результате касания устойчивой инвариантной кривой и устойчивого многообразия квази периодического седла играющего роль се-паратрисной поверхности. Для одномерных моделей с квазипериодическим воздействием роль сепаратрисы играет неустойчивая инвариантная кривая (репеллер). Кризис может быть связан с объединением частей квазипериодического аттрактора. Дело в том, что в результате бифуркаций удвоения квазипериодических колебаний но одному из периодов, инвариантная кривая будет состоять из 2к частей, посещаемых изображающей точкой в строго определенном порядке и разделенных сепаратрисиой поверхностью. Для одномерных моделей сепаратрисой является неустойчивая инвариантная кривая. При касании сепаратрисы происходит разрушение квазипериодического режима с одновременным объединением частей аттрактора [186]. Именно такой механизм ограничивает последовательность бифуркаций удвоения эргодического тора, которая в типичном случае конечна. Кризис тора
-25-
может быть также связан с объединением двух различных квазипери-одических аттракторов (190, 1911. Возможна ситуация, когда кризис не связан с объединением квази периодических аттракторов или частей одного аттрактора. Такая ситуация особенно типична для резонанса на трехмерном торе Т3, одно из чисел вращения которого имеет фиксированное иррациональное значение, а второе произвольно меняется. В результате искажения формы инвариантных кривых в сечении устойчивого и неустойчивого двумерных торов наТ3, на границе области синхронизации вместо касательной бифуркации может произойти кризис касания в отдельных точках. Такой кризис был обнаружен и исследован в [ 189].
Потеря гладкости и разрушение эргодического тора может происходить и без нелокальных бифуркаций, связанных с касанием сепаратрис. В этом случае с изменением управляющего параметра а постепенно происходит искажение формы инвариантной кривой в сечении гора, приводящее к росту фазовой чувствительности. В критической точке а = аСГ1 производные динамических переменных по начальной фазе перестают быть ограниченными. Аппроксимирующее множество в этом случае не может быть гладким, однако ляпуновский показатель при п -» оо еще сходится к отрицательному значению, что соответствует существованию СНА в пределах некоторого интервала <*cr 1 < о: < асго. Такой эволюционный механизм образования СНА наблюдался в [190, 191, 192, 200].
По-видимому в некоторых случаях возможны и другие механизмы разрушения квазипериодического аттрактора, приводящие к возникновению СНА. Так, например, в [202] рассматривается возникновение СПА в результате бифуркации “прорыва” (blowout bifurcation). В |203] показано, что возникновение СНА может происходить в результате
-26-
касательной бифуркации квазипериодических аттракторов, и сопровождаться явлением перемежаемости 1 рода.
В целом вопрос о формировании CIIA недостаточно изучен. Механизмы образования странного нехаотического множества нуждаются в дальнейшем анализе. Для лучшего понимания природы этого режима необходимо сравнить поведение различных характеристик странного нехаотического аттрактора при различных сценариях его формирования. Например, полезную информацию о структуре агграктора может дать мера положительных значений локальных ляпуиовских показателей. Мало изучены вопросы устойчив ли режим CIIA к действию па систему шума и каковы особенности хаотического режима, возникающего при дальнейшей эволюции CIIA ?
Следующим шагом в изучении динамики систем с квази периодическим воздействием является исследование взаимодействия таких систем. Известно, что в двух взаимодействующих идентичных системах, находящихся под одним и тем же квазипериодическим воздействием возможно наблюдать эффект полной синхронизации странных нсхаотичсских аттракторов |204], аналогичный эффекту полной синхронизации хаоса. Возникает вопрос, каковы особенности разругиепия режима полной синхронизации нерегулярных нсхаотичсских колебаний, и насколько СНА в этом смысле похож: па хаос? Может ли быть странный пехаотич.еский аттрактор "слабым аттрактором” (в смысле Милиора [205]) и будут ли наблюдаться такие эффекты, как on-off перемежаемость, “пузырение” синхронного аттрактора и изрешечивание его бассейна притяжения?
Проблемы, связанные с нерегулярной нехаотической динамикой, могут оказаться актуальными сточки зрения теории возникновения турбулентности в средах с конвективной неустойчивостью. В простран-
-27-
ствешю распределенных средах с однонаправленным (потоковым) взаимодействием элементов и в дискретных моделях таких сред может происходить постепенное преобразование квазипериодического сигнала вдоль пространственной координаты, приводящее к сложным по виду и спектральному составу колебаниям, которые, однако, не являются хаотическими [206]. Возникают вопросы, как происходит простран-ствеппое развитие квазипергюдических режимов в распределенных системах с потоковым, взаимодействием и не связано ли возникновение турбулентности в таких системах с. режимом СНА ?
Исследование динамики ансамблей, состоящих из большого числа нелинейных элементов, являлось одним из основных направлений развития теории нелинейных колебаний и воли в последние годы. Всевозможные ансамбли взаимодействующих периодических или хаотических автогенераторов, модельных отображений, бистабильных систем п стохастических осцилляторов, объединенных локальными или глобальными связями, нашли широкое применение при математическом моделировании физических, оптических и радиоэлектронных систем [207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215], а также химических и биологических процессов [120, 121, 124, 125, 217, 218, 219, 220, 221|. Одной из причин повышенного интереса к динамике ансамблей нелинейных систем является тот факт, что пространственно - организованные ансамбли служат простейшими моделями распределенных сред и нашли широкое применение в рамках решения проблемы турбулентности [125,208, 222,223, 224]
Главным фактором в динамике ансамблей автоколебательных систем, приводящим к упорядоченному пространственно - временному поведению служит синхронизация элементов ансамбля. Хорошо известен эффект синхронизации частот и фаз в неоднородных апсам-
-28-
блях кпазигармонических автогенераторов [120, 124, 125, 217, 225, 226, 227, 228|. Кроме того, даже простейшие квазигармоническис системы при взаимодействии в большом ансамбле порождают множество сложных нелинейных эффектов, таких как фазовая и частотная кластеризация [124, 210, 229, 230, 231, 232, 233, 234], осцилляторная смерть [233, 234, 235, 236, 237, 238|, замороженные состояния [232], формирование коллективной хаотической динамики [212, 231, 238] и др.. Все эти эффекты непосредственно связаны с проявлениями свойств фазово - частотной синхронизации. Ансамбли генераторов фазово- когерентного (спирального) хаоса во многом ведут себя сходно с ансамблями периодических автоколебательных систем. Для них также типичны явления частотного и фазового захвата, частичная синхронизация, проявляющаяся в образовании кластеров и глобальная синхронизация всех элементов ансамбля [239, 240].
Синхронизация динамики определенных групп приводит к формированию устойчивых регулярных и неупорядоченных пространственных структур во взаимодействующих хаотических системах и ансамблях бистабильных элементов с регулярными аттракторами |163, 216, 223, 224, 241, 242, 243]. Интерес представляет устойчивость пространственно - однородных режимов, которые могут быть как регулярными, так и хаотическими и механизмы разрушения пространственной однородности. Пространственно - однородные режимы соответствует полной синхронизации всех элементов ансамбля идентичных взаимодействующих систем |213, 223, 244, 245, 246, 247]. Для пространственно -организованных ансамблей с потоковым взаимодействием типичными проявлениями синхронизации служат эффекты “стабилизации” хаоса, и ограничения роста энтропии Колмогорова [32, 207, 208, 224, 242, 248]. Синхронизация пространственных структур и волновых фронтов во
- Київ+380960830922