Иерархия групп симметрии материальных и полевых тензоров

Введение
Симметрия - понятие, вошедшее в физику не так давно, в середине XIX века. Целесообразно использовать симметрийный подход при определении физических свойств, а также термодинамических сил и потоков. Известно, что многие физические свойства, термодинамические силы и потоки описываются и характеризуются предельными группами и представляют собой тензоры различных типов и рангов. В настоящий момент реально изучены и табулированы тензоры до шестого ранга включительно. Неопределенность тензорных свойств более высоких рангов, отсутствие структуризации тензорных величин, а также ряд других тесно связанных вопросов и определяет актуальность темы. Пример неопределенности физических свойств можно предложить из кристаллооптики; при проектировании новых оптических приборов возникает проблема наложения нолей. Исследуя разного рода наложения нолей на тензор диэлектрической непроницаемости (оптическая индикатриса), например, электрического, магнитного нолей, полей температурного градиента, механических напряжений, ранг исходного тензора повышается. Данное обстоятельство требует дополнительного исследования, которое проводится в диссертации. Выводы, полученные в данной работе, используются при проектировании новых оптических, магнитных материалов^
Цель работы - построение иерархии групп симметрии, описывающих физико-математические величины, физические свойства, поля, термодинамические силы и потоки с целью создания системы их классификации по рядам и столбцам. Применение категорий математической логики (конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности) к полученной структуре предельных и непредельных групп симметрии. Научная новизна:
- иерархия материальных и нолевых тензоров (четная и нечетная, или иерархия но строкам) от нулевого до любого конечного ранга;
2
- четная и нечетная иерархия предельных групп (иерархия по столбцам), сопоставленная с реальными примерами из мира кристаллов. Показано, что столбцы иерархии четных и нечетных тензорных величин являются однозначным отображением класса четных симметрийных величин С на класс нечетных симметрийных величин в . При этом отображение является взаимно однозначным соответствием классов в и О ' . Существует и взаимно обратное отображение в на в;
- исследованы столбцы групп полярного и аксиального векторов, показана неприменимость теории отображений для данных групп;
- детализированы и изучены выводы предельных групп симметрии («сверху»), а также предельных групп антисимметрии с учетом особенностей бесконечной оси симметрии.
Выводы, полученные в результате работы, дают возможность прогноза группы симметрии физических свойств, описываемых тензорами, выше шестого ранга. Также они служат ориентиром в нахождении и изучении физических (например, оптических) свойств, изменяющих свою симметрию при наложении на систему полевых величин, описываемых тензорами высших рангов. Работа может оказать содействие в развитии симметрийного подхода в области ряда наук, таких как физика, химия, биология.
Основные положения, выносимые на защиту:
- Построение иерархии материальных и полевых тензоров по столбцам и по строкам.
- Столбцы иерархии четных и нечетных тензорных величин представляют собой однозначное отображение класса четных симметрийных величин в на класс нечетных симметрийных величин в'. При этом отображение является взаимно однозначным соответствием классов в и в Существует и однозначное обратное отображение О на в.
-Доказательство наличия строгой структуры (иерархии) при помощи понятий математической логики.
3
- Детализированный вывод предельных групп симметрии и антисимметрии.
4
Глава 1.Симметрия в кристаллофизике и термодинамике
§ 1. Симметрия - закономерность
Симметрия - закономерность, ее производные - законы симметрии. Симметрия изначально заложена в природе. Все в природе и живое и неживое имеет определенную симметрию. Это все дает нам основание считать симметрию закономерностью, ее производные, такие как симметрия геометрических объектов (в частности кристаллов), физических свойств, термодинамических сил и потоков являются математическими и физическими законами.
Нарушения симметрии в физических процессах приводят в конечном счете к новым научным открытиям, причем принцип симметрии по-ирежнему остается фундаментальным, обладающим более высокой общностью, чем простой физический закон.
Симметрия в изучаемой нами науке разделяется на геометрическую (симметрия совмещения геометрических фигур или их частей) и физическую (симметрия тензоров, описывающих физические свойства, термодинамические силы и потоки), полевые величины.
§2. Геометрическая и физическая симметрии
Развитие учения о симметрии началось с понятия симметрии математической в начале XIX века. В 1820 году И. Ф. X. Гессель впервые рассматривал вопрос о числе и порядке расположения равных частей в симметричных телах. Работа И. Ф. X. Гесселя содержала вывод законов симметрии, относящихся ко всем конечным фигурам, в частности и к кристаллам. Упомянутые законы соответствуют совокупности элементов симметрии, известных в математике под названием «точечных групп». Часть таких групп, возможных в кристаллических многофанниках, отвечает 32
видам симметрии. Учеными подчеркивается обшегеометрическое значение теории И. Ф. X. Гесселя.
Действительно, И. X. Ф. Гессель применял понятие симметрии к геометрическим объектам. Говоря о расположении и форме граней много!ранников, Гессель в первую очередь остановился на понятиях совместимо-равных и зеркально-равных фигур.
Такие понятия, как симметрия и физические свойства кристаллов впервые совместил А. В. Гадолин в 1867 году в «Выводе всех кристаллографических систем и их подразделений из одного общего начала» [48], где он определил, что форма является в сущности таким же физическим свойством кристалла, как и остальные его физические свойства. Связь между внешней формой кристаллов и их физическими свойствами заключается в том, что «если два направления одинаково расположены относительно граней наружной формы, то по этим двум направлениям и физические свойства одинаковы. Вследствие этого особенную важность принимает рассматривание направлений, одинаково расположенных относительно кристаллических граней». А. В. Гадолиным впервые было введено понятие инверсионной оси, хотя, исследуя теорию И. X. Ф. Гесселя, он рассматривал и случаи с инверсионными осями, но общего понятия не дал.
Различие между теориями И. X. Ф. Гесселя и А. В. Гадолина в том, что И. X. Ф. Гессель рассмотрел всю совокупность геометрических объектов, в то время как А. В. Гадолин - только те случаи, которые предусмотрены кристаллографией.
Геометрический подход был характерен и для Е. С. Федорова при выводе 230 пространственных групп. Хоть большинство работ у него связано с кристаллографией, но он подходил к данным вопросам, прежде всего, с точки зрения геометрии.
Великий П. Кюри впервые начал описывать симметрию физических свойств с позиций предельных групп [1]. Он интуитивно выделил семь используемых и по сей день предельных групп. Например, электрическое
6