Квантовая групповая редукция XXZ модели Гейзенберга

Оглавление
0.1. Введение ................................................................... 3
0.2. Актуальность проблемы ...................................................... 5
0.3. Цели и задачи............................................................... 5
0.4. Основные результаты......................................................... 5
0.5. Научная новизна............................................................. б
0.6. Практическое значение....................................................... 6
0.7. Апробация работы............................................................ 6
0.8. Публикации.................................................................. 6
0.9. Содержание.................................................................. 6
1. Обзор XXZ модели 11
1.1. Введение................................................................... 11
1.2. Эффективный гамильтониан................................................... 12
1.3. Типы граничных условий..................................................... 14
1.4. Координатный анзац Бете.................................................... 19
1.5. Термодинамический предел................................................... 22
1.6. Спиновые волны............................................................. 26
1.7. Квантовые группы C/9(s/(2)) и Uq(sl(2)). . . .'............................ 31
1.8. Слияние трансфер матриц.................................................... 35
1.9. Алгебраический анзац Бете.................................................. 37
1.10. Связь с моделью Изинга при qA = — 1....................................... 39
1.11. Графическое представление................................................. 42
1.12. Заключение................................................................ 45
2. Открытые специальные граничные условия. 47
2.1. Введение................................................................... 47
2.2. Получение перестановочных соотношений...................................... 48
2.3. Оператор adX............................................................... 54
2.4. Доказательство ad X теоремы................................................ 55
2.5. Разложение матрицы монодромии.............................................. 58
2.6. Факторизация матрицы монодромии............................................ 64
2.7. Алгебра Замолодчикова...................................................... 66
2.8. Заключение................................................................. 71
3. Обобщенные замкнутые граничные условия. 73
3.1. Введение................................................................... 73
3.2. Нулевые собственные значения............................................... 75
3.3. Алгебраическая структура................................................... 78
3.4. Спектр гамильтониана....................................................... 84
3.5. Заключение................................................................. 85
1
2
Оглавление
4. Обобщенная модель Гейзенберга 87
4.1. Введение.................................................................. 87
4.2. Слияние трансфер матриц................................................... 87
4.3. Т-ф уравнение Бакстера.................................................... 89
4.4. Обрыв соотношений слияния................................................. 92
4.5. Алгебраические соотношения................................................ 94
4.6. Цепочка частиц спина / = 1................................................ 95
4.7. Д-матрицы................................................................. 96
4.8. Гамильтонианы с / > 1/2...................................................103
4.9. Заключение................................................................109
5. Дополнение. 111
5.1. Введение..................................................................111
5.2. Соотношения слияния трансфер матриц.......................................112
5.3. Тф уравнение Бакстера.....................................................113
5.4. Обрыв соотношений слияния трансфер матриц.................................116
5.5. Заключение................................................................117
0.1. Введение
З
0.1. Введение
Квантовая модель цепочки двухуровневых атомов была предложена Гейзенбергом в 1926 году. Цепочка со взаимодействием только между ближайшими соседями представляет собой упрощенную модель одномерного кристалла. Считая взаимодействие слабым, в рамках теории Слегтера. в первом порядке теории возмущений кулоновские и магнитные силы между электронами (зависящие от спина), приводят к расщеплению средних значений энергии для каждой пары соседних атомов с параллельными и антипараллельными спинами, а так же к обмену спиновых состояний для пар электронов локализованных на соседних атомах. Учет усредненных магнитных сил между' электронами действующих вдалгь некоторого направления анизотропии приводит к анизотропной модели Гейзенберга (модели ХХ2). В 1931 году Бете предложил метод (анзац Бете) формально позволяющий находить спектр энергии и собственные векторы гамильтониана. Бете нашел, что собственные векторы и собственные значения гамильтониана представляются в некотором очень специальном виде, выразив все через корни системы трансцендентных уравнений, известных в настоящее время как уравнения Бете. Метод предложенный Бете был последовательно развит и применен к самым разнообразным моделям, включая модели двумерной класи ческой статистической физики. Позднее, в результате работ Орбаха (1958), Боннера (1968), Сазерлэнда (1970), Бакстера (1972), Тахтаджяна (1977), Склянина (1979), Фогебю (1980) и других ученых, было достигнуто понимание того, что предложенная модель принадлежит к классу точно интегрируемых моделей. Было понято, что одномерная квантовая задача цепочки атомов эквивалентна двумерной задаче статистической физики Шестивер-шинной модели (Фаи, Ву, 1970; Бакстер, 1971). Шестивершинная модель статистической физики описывает двумерный идеализированный кристалл, пары атомов которого связаны водородной связью. Эта связь ионного типа между двумя электроотрицательными атомами осуществляется протоном, который находится ближе к одному атому, чем к другому. Для каждой связи на решетке, таким образом, существует два положения равновесия (Полинг, 1960). Если координационное число каждого узла равно четырем, как в случае атома кислорода в гексагональном кристалле льда, то имеется восемь возможных конфигураций. Однако в физических системах, для описания которых пригодна эта модель, например, для кристалла воды (льда), в окрестности каждого узла имеется не бачее двух протонов, т. е. в кристалле льда каждый атом кислорода имеет четыре связи с соседними атомами кислорода, расположенными в вершине тетраэдра, что дает шесть конфигураций (Онсагер, Дюпьи, 1960). Дня решения двумерных моделей статистической физики, таких как шестивершинная модель был разработан специальный математический аппарат в основе которого лежит уравнение Янга-Бакстера (Либ, 1967; Янг, 1966; Бакстер, 1971). Именно уравнение Янга-Бакстера является ядром механизма, который заставляет работать метод Бете, (Онсагер первым распознал уравнение Янга-Бакстера в Модели Изинга, еще задолго до того как оно приобрело это название). Казалось удивительным, что за такой не сложной моделью стоит такая богатая математическая структура. Каждое решение уравнения Янга-Бакстера дает точно решаемую модель. В 1979-1981 году Фаддеевым, Скляниным и Тахтаджяном был предложен квантовый метод обратной задачи, который развил и систематизировал методы Янга-Бакстера в более алгебраическом виде. Изучение точно решаемых моделей привлекало все больший интерес со стороны ученых всего мира. В 1986 году Дринфсльдом было введено понятие Квантовой группы. Под именем "квантовые группы "В. Г. Дриифельд ввел класс алгебр Хопфа, обеспечивающий решение уравнения Янга-Бакстера. Такие математики как Владимир Дриифельд, Воэн Джонс, Эдвард Виттен, Максим Концевич были удостоены Филдсовских медалей в основном за достижения в этой области математики. Такой подход к алгебрам Хопфа был
4
Оглавление
мотивирован квантовым методом обратной задачи. Алгебра Хопфа это широко известный математический объект, теория которого имела важные приложения и до появления квантовых групп. Первый пример алгебры Хопфа появился в работе X. Хопфа 1941 года. В 1953 году А. Борель ввел алгебру Хопфа как алгебраический объект. В работах Дрин-фельда появился общий метод построения некоммутативных некокоммутативных алгебр Хопфа. В 1984 году Поляков, Замолодчиков и Белавин развили совершенно иной подход — конформную квантовую теорию поля применимую для описания, в непрерывном пределе, двумерных систем находящихся в критической точке. Он основан на предположении, что в этом случае имеется бесконечномерная алгебра (обычно алгебра Вирассоро), действующая как алгебра симметрии системы и накладывающая жесткие ограничения на ее структуру. Точно решаемые модели, основанные на уравнении Янга-Бакстера, вообще говоря, не находятся в критической точке. Однако, анализируя численно полученный спектр состояний анизотропной модели Гейзенберга Алькарац и др. пришли к вывод}' о том, что при определенных значениях параметра анизотропии (др+1 = —1) и специальных граничных условиях, модель Гейзенберга содержит в себе другие модели, которые в свою очередь, в термодинамическом пределе эквивалентны минимальным моделям конформной теории поля (Алькарац, Барбер, Батчелур, Бакстер, 1987). В простейшем случае это квантовая модель Изинга (д4 = —1) или трехпозиционная модель Поттса (д6 = -1). Но модель Изинга занимает довольно специальное место, она решается совершенно другим методом — методом свободных фермионов. В 1999 году Строгановым и Белавиным на основе анализа условий существования второго линейно независимого периодического решения TQ-уравнения Бакстера был установлен факт обрыва функциональных соотношений слияния трансфер матриц на определенных собственных векторах гамильтониана. Ограничение модели XXZ на эти состояния было названию квантовой групповой редукцией модели Гейзенберга. Получающиеся в результате редукции модели (модель Изинга, трехпозициоиная модель Поттса и т. д.) есть, так называемые, решеточные минимальные модели, которые в термодинамическом пределе эквивалентны минимальным моделям конформной теории поля с центральным зарядом с = 1 - б/р(р+ 1). В 2000 году' автором в соавторстве с Белавиным и Фейгиным было дано алгебраическое объяснение процесса редукции модели Гейзенберга (результаты этой работы составляют основу диссертации). Квантовая групповая редукция это ограничение пространства состояний модели на определенное пространство когомологий Vp (при (fvl = -1). Это явление сопровождается обрывом функциональных соотношений слияния трансфер матриц (иерархии слияния) шестивершинной модели. После обрыва соотношения превращаются в замкнутую систему уравнений на собственные значения трансфер матриц. В частных случаях, получившиеся функциональные уравнения решаются в явном виде, что даст явное выражение для спектра гамильтониана модели XXZ. Например, в частном случае д4 = — 1 удалось в явном виде получить спектр редуцированного гамильтониана XXZ модели. Этот результат представлен в качестве одного из основных результатов диссертации. Следует пояснить, что метод предложенный Беге в 1931 году хоть и позволяет формально найти собственные значения и собственные функции гамильтониана в принципе (т. е. сводит исходную задачу к задаче классического анализа), но практически, не позволяет сделать этого в явном виде, так как решить сами трансцендентные уравнения Бете сложно даже численно, не говоря уже об аналитическом решении. В результате, впервые с момента формулировки модели в 1926 год}', развившаяся математическая теория принесла реальный результат для самой модели Гейзенберга, появилась возможность вычислить спектр энергии в явном виде.
0.2. Актуальность проблемы
5
0.2. Актуальность проблемы
К моменту появления работ с основными результатами этой диссертации в данной области теоретической физики сложилась такая ситуация: во-первых, из численных исследований было известно, что спектр состояний модели Гейзенберга содержит в себе спектры других интегрируемых моделей, которые в термодинамическом пределе эквивалентны минимальным моделям конформной теории поля, было указано пространство собственных векторов, ограничение на которое приводит к этому результату. Во-вторых, было известно, что ограничение на это пространство функциональных соотношений слияния трансфер матриц приводит к обрыву бесконечных рекуррентных соотношений и, следовательно, появлению замкнутой системы функциональных уравнений на собственные значения трансфер матриц. Был актуален вопрос об алгебраической причине такого поведения соотношений слияния трансфер матриц. Так же был актуален вопрос о возможности решения оборванных соотношений с цслыо получения спектра собственных значений гамильтониана XX 7 модели. В течение 2001-2002 г в работах автора на эти вопросы были получены исчерпывающие ответы.
0.3. Цели и задачи
Целью диссертации является дать алгебраическое объяснение явлению квантовой групповой редукции XXZ модели и выяснить влияние граничных условий и спина атомов цепочки на условия редукции. Выяснить условия обрыва функциональных соотношений слияния трансфер матриц при квантовой групповой редукции модели XXZ.
Указанные цели включают в себя следующие задачи. Рассмотреть различные типы граничных условий, при которых XX7 модель является интегрируемой. Для каждого типа таких граничных условий выяснить условия существования квантовой групповой редукции, т. е. найти значения параметров модели, при которых это явление происходит. Вывести и, по возможности, решить замкнутую систему функциональных уравнений на собственные значения трансфер матриц, получив в явном виде часть спектра гамильтониана модели XX7.
0.4. Основные результаты
Основными результатами диссертации являются:
1. В диссертации дано алгебраическое объяснение явления квантовой групповой редукции модели ХХг, при различных граничных условиях сохраняющих интегрируемость модели.
2. Выяснены условия обрыва функциональных соотношений слияния трансфер матриц. Показано, что изучение квантовой групповой редукции модели ХХ2 и изучение условий обрыва функциональных соотношений слияния трансфер матриц это одна и та же задача.
3. В частном случае параметра анизотропии д4 = — 1, решая оборванные функциональные соотношения слияния трансфер матриц, удалось в явном виде найти спектр гамильтониана редуцированной модели Гейзенберга, при твистованных граничных условиях.
4. Выявлены особенности влияния граничных условий и спина атомов цепочки на характер квантовой групповой редукции.
6
Оглавление
0.5. Научная новизна
Научная ценность работы состоит и понимании алгебраической структуры трансфер матрицы подвергнутой квантовой групповой редукции, а так же глубокой связи меду самой квантовой групповой редукцией и обрывом функциональных соотношений слияния трансфер матриц, при различных граничных условиях сохраняющих интегрируемость модели.
0.6. Практическое значение
Практическая ценность состоит в нахождони явной формулы для спектра редуцированного гамильтониана. Известно, что для нахождения такого решения численно требуется дорогостоящее время работы суперкомпьютеров (сроком от нескольких недель до нескольких месяцев в зависимости от длины цепочки). Ответ, найденный в этой диссертации, приведен в явном виде для любой длины цепочки.
0.7. Апробация работы
Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на заседаниях Ученого совета ИТФ им. Л.Д.Ландау РАН. Так же, результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях:
1) "Пятая международная конференция по конформной теории поля и интегрируемым моделям", ИТФ РАН, июнь 1999.
2) "Симметрии и интегрируемые системы", Протвино, январь 2001.
0.8. Публикации
В рецензируемых журналах по теме диссертации опубликовано 4 статьи автора:
1) A. A. Belavin, S. Yu. Gubanov, В. L. Feigin, Truncation of functional relations in the XXZ model, Moscow Mathematical Journal, Vol. 1, No. 2, April-June 2001, pp. 145-156.
2) А. А. Белавин, С. IO. Губанов, Редукция модели XXZ с обобщенньши периодическими граничными условиями, Письма в ЖЭТФ, тем 73, выпуск 9, стр. 498-502, 10 мая 2001.
3) А. А. Белавин, С. Ю. Губанов, Редукция модели XXZ с обобщенными периодическими ejxinuHHbUiiu условиями, ТМФ, Том. 129. вып. 2, стр. 207-218, ноябрь 2001.
4) С. 10. Губанов, Обобщенная модель Гейзенберга, ТФМ, тем 130, N. 3, стр. 451-459, март 2002.
0.9. Содержание
Диссертация состоит из пяти глав. Первая глава представляет собой обзор современного состояния XXZ модели, во второй, третьей и четвертой главе приводятся оригинальные результаты полученные автором. Пятая глава содержит дополнение, не включенное в основные результаты диссертации, в котором рассмотрена XXZ модель с обобщенными диагональными открытыми граничными условиями.
В первой главе приведен обзор современного состояния XXZ модели Гейзенберга. Гас-смотрены такие вопросы как:
0.9. Содержание
7
1) квантово механический (микроскопический) вывод феноменологических параметров эффективного гамильтониана XXZ модели;
2) типы граничных условий, при которых модель является интегрируемой;
3) координатный анзац Бете;
4) термодинамический предел и способ вычисления основного и первых возбужденных состояний (спиновых волн) с помощью нелинейного интегрального уравнения Дестри и Ди Всти (DdV-уравнения);
5) обзор представлений квантовых групп Uq(sl(2)) и Uq{sl(2));
6) рассмотрена проблема получения функциональных соотношений слияния трансфер матриц;
7) алгебраический анзац Бете (квантовый метод обратной задачи);
8) на примере частного случая qA = — 1 рассмотрена эквивалентность редуцированной модели XXZ и модели Изинга, которая в термодинамическом пределе эквивалентна минимальной модели М(3,4) конформной теории поля;
9) графическое диаграмное представление рассматриваемых алгебраических объектов.
Во второй главе диссертации рассмотрена XXZ модель Гейзенберга с открытыми граничными условиями специального вида. При данном типе граничных условий модель инвариантна относительно действия квантовой группы Uq(sl(2)). Алгебраическому анализу подвергаются Склянинские трансфер матрицы после квантовой групповой редукции. Доказывается, что при qp~] = -1 трансфер матрица tp/2(u) представима в виде
tp/2(u) = X%. .) + (...)*, (1)
(многоточиями (...) обозначены некоторые определенные операторы, явный вид которых
здесь не приводится из-за громоздкости). Оператор X - один из генераторов квантовой группы Uq(sl(2)):
N
X = ^çè(<rî+”-^*-i)(7+(?-èK+i+»+^)> (2)
і=і
При qp+1 = -1 существует тождество Xp+1 = 0. Второе слагаемое в формуле (1) имеющее вид (.. .)Х означает что оператор X может быть вынесен за скобки вправо, следовательно это слагаемое обращается в ноль на иростанстве Кег X. Первое слагаемое Хр(...), шответс-венно обращается в ноль после факторизации по ImXp. Следовательно tpr2(u) обращается в ноль на когомологиях
Vv — Кег X / Im Хр, (3)
Следовательно, трансфер матрицы редуцированные на Vp удовлетворят' замкнутой си-
стеме функциональных уравнений. Для доказательства основной теоремы о представимости (1) вводятся вспомогательные операторы образующие алгебру Замолодчикова. Особенность введеных вспомогательных операторов состоит в том, что для них не существует конечномерных представлений, в то время как для их бинарных произведений конечномерные представления существуют и это есть те же представления, что и для матрицы мо-нодромии. Таким образом, вместо того чтобы рассматривать алгебру матриц монодромии (диктуемую уравнением Янга-Бакстера), рассматривается более простая алгебра. Доказательство формул производится с помощью вспомогательных операторов, затем делается обратный переход к матрице монодромии. Доказательство остается справедливым в силу ассоциативности аагебры и отсутствия каких-либо дополнительных ограничений.
8
Оглавление
В третьей главе рассмотрена XXZ модель Гейзенберга с обобщенными периодическими граничными условиями (твистованными граничными условиями). При данном выборе граничных условий, спектр энергии спиновых цепочек с различными значениями параметра твиста связан между собой по определенному закону. Это объясняется частичной симметрией относительно квантовой группы и^бЦ2)), генераторы которой переводят состояния одной спиновой цепочки из одного сектора в состояния спиновой цепочки с другим параметром твиста и в другой определенный сектор 5* = 5, где
где (3 — параметр твиста, бесконечная рекуррентная система функциональных соотношений слияния трансфер матриц обрывается и превращается в замкнутую систему функциональных уравнений. А именно, обрыв происходит при ограничении трансфер матриц на когомологии
В явном виде дается решение оборванной системы функциональных уравнений в случае параметра анизотропии <?4 = -1. При длинах цепочки Лг = 4М, N = 4М + 2, N = 4М - 1 и N = 4М + 1, соответственно
где {п} есть произвольный набор нулей и единиц (перебирая все возможные комбинации нулей и единиц получается весь спектр редуцированной модели, числа пп интерпретируются так же как фермионные числа заполнения). Тем самым, в явном виде приводится ответ для спектра гамильтониана ХХг модели. Следует особо подчеркнуть, что с 1926 года, года когда была предложена модель Гейзенберга, до настоящего времени для нахождения спектра энергии использовалась либо схема непосредственной численной диагонализации матрицы гамильтониана на компьютере, либо, численный анализ трансцендентных уравнений Бете (что гораздо сложнее). Здесь предъявлен ответ в аналитическом явном виде.
(4)
Доказывается, что при qp+l = — 1 в секторе S* = 5 при выполнении условий
\$\ < min(/3, р + 1 - (3) mod (р + 1),
(5)
(6)
= KerX<!-7Im,Y,,+1-',+s.
(7)
в следствие того, что трансфер матрица представима в следующем виде
(8)
(9)
0.9. Содержание
9
В четвертой главе рассмотрена XX2 модель цепочки частиц произвольного спина при параметре анизотропии равном корню из единицы и обобщенных периодических граничных условиях. Получены соотношения слияния трансфер матриц. Найдены условия обрыва соотношений слияния трансфер матриц. При этом выявлены особенности возникающие из-за спина квантовой цепочки большего \. После обрыва образуется замкнутая система функциональных уравнений, решение которой позволяет найти спектр энергии. Результаты являются обобщением результатов предыдущих глав на случай цепочки частиц произвольного спина взаимодействующих друг с другом в рамках XXX модели Гейзенберга. Приведено множество явных формул для решений уравнения Янга-Бакстера. Особо рассмотрен случай частиц спина 1.
Пятая глава представляет собой дополнение, которое ие является основным результатом диссертации. Рассмотрен общий вид диагональных интегрируемых открытых граничных условий. Получены функциональные соотношения слияния трансфер матриц, а так же условия их обрыва.