Квазиклассическое описание неабелевых точечных источников и проблема вакуума КХД

Введение
Значительный всплеск интереса к классической теории неабелевых полей связан с открытием инстантонов [1], когда стало попятным, что уже в области низких энергий мог бы реализоваться своеобразный сценарий квазиклассиче-ского приближения [2]. В нем классические решения уравнений Янга-Миллса с нетривиальной топологией ((анти-)инстаптопы) играют определяющую роль в формировании вакуума квантовой хромодинамики (КХД). Предполагается, что константа связи в этой области замораживается где-то на масштабе среднего размера инстантонов, а в качестве адекватного насыщающего континуальный интеграл ансамбля принимается жидкость (газ) случайно ориентированных в цветовом пространстве и однородно распределенных по 4-х мерному евклидову пространству (анти-)инстантонов. Поля кварков находятся под воздействием этого фонового ноля, которое в конечном итоге и определяет все ”наблюдаемые” величины: глюонный и киральный конденсаты, динамическую массу кварка, константу пионного распада и т.д. Сформулированная на этих принципах модель вакуума в виде инстаитонной жидкости (IL) оказывается исключительно практичным инструментом в применениях, и, пожалуй, единственной, где рассмотрение прослеживается исходя из основополагающего лагранжиана КХД и доводится до разумного с точки зрения феноменологии ответа.
Помимо общетеоретического интереса, вопросы квазиклассического описания неабелевых полей стали остро востребованными особенно в последнее время. Эксперименты по столкновению ультра-релятивистских тяжелых ионов в лабораториях Berkeley, Дубна, CERN и Brookhaven открыли новую область исследований, лежащую на стыке традиционных наук — физики элементарных частиц и физики ядра — направленную на изучение силыю-взаимодей-ствующей материи в экстремальных условиях высоких плотностей энергии и барионного заряда. В физике высоких энергий в наше время материя рассматривается составленной из отдельных элементарных частиц, взаимодействующих посредством калибровочных полей. С другой стороны, в ядерной физике ядра исследуются па базе эффективных, феноменологических моделей и предполагается, что материя построена из адронов, которые представляют собой сложные системы, проявляющие коллективные свойства. В физике же релятивистских ядерпых столкновений исследуется плотная материя, составленная из большого числа сильно взаимодействующих частиц, и в этом смысле теорию, описывающую это состояние материи, можно рассматривать как термодинамику КХД, или же как физику конденсированного состояния элементарных
2
частиц. Наблюдая материю, сжатую до плотностей, значительно превышающих плотность в нуклонах, эта новая область исследований позволяет изучать и проверять КХД на ее естественном энергетическом масштабе (Л), затрагивая тем самым фундаментальные вопросы конфайнмента, нарушения киральной инвариантности и проблему структуры физического вакуума. Важной задачей является изучение условий, при которых воздействие на физический вакуум может оказаться существенным. Кроме того, знание уравнения состояния, фазовой структуры ядерпой (адронной, кварковой) материи при экстремальных плотностях существенно и для астрофизики, для понимания динамики взрыва сверхновых и стабильности нейтронных звезд, а также возможных других экзотических компактных астрофизических объектов.
В основу диссертации положено изучение задачи о несущих цветовой заряд тяжелых частицах. В неабелевом случае обнаруживается ряд особенностей даже для классического приближения, выражающихся в формулировке уравнений хромостатики, и сопутствующих им граничных и краевых условиях. Не говоря о том, что имеется определенная специфика учета явлений, связанных с предполагаемой сложной структурой вакуумных полей в КХД. В этом смысле диссертацию можно условно разделить на две большие части. В первой части предпринята попытка рассмотреть механизм дуальной сверхпроводимости конфайнмента кварков. При этом физический вакуум моделируется в виде цветового сверхпроводника, свойства которого задаются параметрами некоторого эффективного лагранжиана, рассматриваемого в приближении среднего поля, аналогично модели Гинзбурга-Ландау в электродинамике. Во второй части диссертации физический вакуум рассматривается уже на более микроскопическом уровне, в виде инстантопной жидкости. Стоит отметить, что обращение к этой конкретной модели вакуума не носит принципиального характера, и связано, прежде всего, с исключительным ее удобством в практическом использовании. Мы постараемся получить оценки, основываясь только на некоторых его самых общих свойствах, связанных со стохастичностью вакуумных полей. Для этого нам потребуется решить ряд задач, представляющих также и вполне самостоятельный интерес. Мы исследуем взаимодействие вакуумного поля, и модельного поля, призванного описывать генерируемые в процессе столкновения ядер глюонные поля. Рассмотрение будет проведено на основе конструкции ”изминаемой” псевдочастицы, которая позволит также изучить вопросы самосогласованного описания ансамбля псевдочастиц. Одновременно появится возможность изучить возбуждения инстантопной жидкости, а затем учесть влияние, которое могут оказывать на инстантонную жидкость легкие
3
кварки. Полученные результаты можно применить для описания сильновзаи-модействующей материи п экстремальных условиях высокой плотности энергии и барионпого заряда.
Диссертация построена из введения, шести глав, и заключения в котором кратко формулируются основные результаты работы. Вспомогательный материал изложен в приложении. В первой главе применяется нерелятивистское приближение для задачи двух тел, взаимодействующих посредством неабелева калибровочного поля. Формулируется приближение хромостатики. Исследуется постановка граничных и краевых условий. Разрабатывается численный алгоритм, и приводятся результаты вычислений в области констант связи, характерной для физики тяжелых кваркониев. Получена оценка константы связи, где начинает сказываться сильная нелинейность. Подробно описывается движение двух частиц, а также исследуются вопросы излучения глюонов цветовыми зарядами. Рассмотрены некоторые аспекты самосогласованного описания полей материи в создаваемом двумя цветовыми источниками глюонном поле. Предпринята попытка протестировать механизм дуальной сверхпроводимости конфайнмента кварков в неабелевой теории. Для этого, наряду с полями Янга-Миллса, вводится модельное скалярное цветовое поле, призванное, по аналогии с уравнениями Гинзбурга-Ландау, описывать реакцию цветового сверхпроводника на глюонное поле. Продемонстрировано, что имеется прямая аналогия с абелевой теорией сверхпроводимости, в которой магнитные заряды удерживаются линейным потенциалом. Однако неабелев аналог абрикосовского вихря неустойчив, и поэтому механизм конфайнмента, основанный па идее дуальной сверхпроводимости, по-видимому, не полон.
В конце главы рассматриваются системы тяжелых кваркониев с более реалистической моделью физического вакуума в виде иистантонной жидкости. Дается оценка сдвига уровней, вызванного флуктуациями вакуумных глюонных полей. Использование соответствующей вакуумной корреляционной функции позволяет существенно выйти за рамки дипольиого приближения, в рамках которого строилось описание в основополагающих работах. Приводится ширина е+е“-распада резонансов. Показано, что, как в случае боттомония, так и чармония, инстаптонная среда может обеспечить диктуемый экспериментом масштаб сдвигов и ширин уровней. В частности отмечено, что специфической чертой для иистантоипого вакуума является существенный логарифмический вклад на малых расстояниях.
Вторая глава диссертации посвящена микроскопическому описанию поведения (аити-)инстаитона в поле точечного источника евклидового неабелева
4
поля. Формулируется идея деформаций (анти-)инстантона, которые описываются с помощью вариации характеризующих псевдочастицу параметров. Благодаря сингулярному характеру инстантонного решения, деформации можно найти по метод}' Ритца, посредством мультипольного разложения полей деформаций, решая соответствующую алгебраическую задачу для коэффициентов мультипольного разложения. Подробно исследована область параметров, характерных для модели инстантонной жидкости. Предложен простой способ приближенного учета вклада подобных конфигураций в функциональный интеграл. В рамках суперпозиционного анзаца найдена средняя энергия источника неабелева поля в инстантонной жидкости, которая линейно расходится с увеличением размера области, занимаемой инстантонной жидкостью. Энергия диполя в синглетном по цвету состоянии линейно регет с увеличением расстояния между источниками, с коэффициентом ” натяжения”, вполне согласующимся с имеющимися модельными и решеточными оценками.
В третьей главе исследуются возбуждения инстантонной жидкости, связанные с изменением размера псевдочастицы. По аналогии с физикой конденсированного состояния эти коллективные возбуждения названы фононоиодоб-ными возбуждениями. Исследуется влияние легких кварков на иистантоипую жидкость, в приближении головастиков. Рассмотрены вопросы смешивания фоионоподобных возбуждений и сигма мезона. Картина сводится к наличию в скалярном секторе двух частиц большой ширины, далеко разнесенных по массе, причем более тяжелая компонента имеет меньшую ширину.
В четвертой главе рассматриваются некоторые аспекты поведения силь-новзаимодействующей материи при конечных температуре и кварковом/бари-онном химическом потенциале. Описывается состояние инстантонной жидкости при экстремальных условиях, и изучается изменение фазовой диаграммы, вызываемое возбуждениями инстантонной жидкости. Затрагиваются вопросы, связанные с цветовой сверхпроводимостью. Приведены оценки эффектов экранирования глюонных полей, которые связаны с заполнением сферы Ферми массивными кварками.
В пятой главе изучается эффект экранирования внешнего цветового ноля в инстантонной жидкости. Для слабого поля и сильного поля в длинноволновом приближении выведены соответствующие эффективные лагранжианы. На примере модельной задачи о заряженном евклидовом цветовом источнике дана оценка обратного влияния поля на инстантонную жидкость как функции константы связи. Приводятся данные по самосогласованному определению параметров инстантонной жидкости, когда конфигурации формирующих ин-
5
стантонную среду псевдочастиц выбираются оптимальным образом. Получена оценка ослабления отталкивательного взаимодействия псевдочастиц. Проводится сравнение различных ансамблей псевдочастиц.
В шестой главе изучается поведение кварков под действием сильного стохастического глюонного поля. На основе процедуры усредненного описания выводится эффективный гамильтониан, и находится его основное состояние в приближении Боголюбова-Хартри-Фока. Соответствующее одевающее преобразование Боголюбова проанализировано как функция формфактора модельного гамильтониана. На примере модели Келдыша подробно обсуждается переход к киральному пределу. Продемонстрирована сингулярность функционала средней энергии вне кирального предела. Исследуются эффекты, вызванные заполнением сферы Ферми кварками. В частности, в модели Намбу-Иона-Лазинио интересным представляется наличие почти вырожденного с вакуумом состояния (как по химическому потенциалу, так и по давлению) при заполнении сферы Ферми до импульсов порядка динамической массы кварка (это же значение является характерным для импульса кварка в барионе). Полученная картина сильно напоминает модель мешка, а заполненные состояния выглядят как естественный материал из которого могут быть построены барионы.
б
1 Задача двух тел в классической глюодинамике
Впервые решения уравнений Янга-Миллса с источником были проанализированы практически сразу после их открытия. В работе [4] было отмечено наличие кулоновских решений в случае, если плотность зарядов натянута на единственную цветовую компоненту. Также отмечалось, что в неабелеву случаю присущи решения типа сингулярного монополя. В работах [5] утверждалось, что для сингулярного поля кулоновского источника с зарядом больше некоторого критического > I 4- 1/2, / = 1,2,..., где константа связи неабелева поля, обнаруживается неустойчивость, которая интерпретировалась как падение безмассовых глюонов на центр, аналогично явлению рождения из вакуума электрон-позитронных пар в квантовой электродинамике. В результате, как предполагалось, образуется ток цветных глюонов, который полностью экранирует заряд кулоновского источника. Однако неустойчивые решения невещественны, и им затруднительно дать физическую интерпретацию. Ниже, в разделе 1.1.4, мы поанализируем этот вопрос подробнее. В работах [6] приводится остроумная конструкция решений с распределенной плотностью заряда (2(т), хромостатическая энергия которых меньшей кулоновской. Цветовое же поле для внешнего наблюдателя оказывается при этом полностью экранированным. Как следствие, естественным образом напрашивался вывод, что поля с произвольными начальными данными должны, в принципе, эволюционировать к решению с возможно меньшей энергией — решению с экранировкой. В абелевом случае такого парадокса не возникает, поскольку в силу сохранения электрического заряда на микроскопическом уровне, в электродинамике удается последовательным образом ввести само понятие о распределенной плотности заряда. Ниже мы проанализируем ситуацию с цветовыми точечными зарядами, и продемонстрируем, что применение конструкции непрерывно распределенного (усредненного по какой либо области) заряда в неабелевой теории вряд ли оправдано. В работе [7] были выведены уравнения, описывающие хромостатическое ноле двух иеабелевых точечных источников, и отмечались некоторые специфические свойства решений. В частности, указывалось на качественную перестройку решений при большой константе связи (ограничение, аналогичное полученному в работах [5]). Поиск экзотических решений уравнений Янга-Миллса ведется непрерывно, и затруднительно перечислить, или хотя бы классифицировать имеющиеся по данной теме работы. В качестве примера укажем на работу [8], где продемонстрировано наличие кулоноиодобных решений уравнений Янга-Миллса в поле с нетривиальной топологией, наподобие решений монопольного типа, с
7
энергией, меньшей кулоновской энергии источника. Или упомянем, например, работу [9], где построены аксиально-симметричные решения, характеризующиеся дополнительным топологическим инвариантом. Относительно недавно было обнаружено стохастическое поведение решений уравнений Янга-Миллса [10], а также продемонсрирована их неинтегрируемость в общем виде. Начиная с работы Вонга [13], активно исследуется задача описания движения цветового заряда в заданном внешнем глюонном иоле [14]. В отличие от электродинамики из-за нелинейности полевых уравнений такая постановка, задачи отвечает только случаю внешних полей большой интенсивности, когда можно пренебречь самодсйствием частицы. В неабелевой теории учет самодействия необходим даже в нулевом по у/с порядке теории возмущений, что отражает элементарный факт, что глюоны сами являются источниками (переносчиками) заряда. В работах Косякова [15] исследовались эффекты запаздывания в уравнениях Янга-Миллса для частицы и создаваемого ею поля излучения. Продемонстрировано, что в случае группы 811(2) для частицы с комплексным зарядом ±21/д существуют решения с линейно растущим потенциалом на бесконечности, с нетривиальным векторным цветовым полем со стоком.
1.1 Уравнения хромостатики.
Из опыта классической электродинамики хорошо известно, что при малых скоростях движущихся частиц удается выработать самосогласованную непротиворечивую схему приближенного описания динамики частиц и полей в виде разложения по степеням у/с. При этом отчетливо прослеживаются два этапа эволюции произвольно взятых начальных данных. Сначала поля быстро подстраиваются под имеющуюся конфигурацию зарядов, в системе происходит обмен сигналами между частицами, и из системы уходит излучение. Затем наступает этап сравнительно спокойной эволюции, когда поля определяются медленными перемещениями частиц. Несмотря на нелинейность уравнений Янга-Миллса точно такой же могла бы оказаться, в принципе, общая картина и для неабелевой теории (для тривиальных асимптотических граничных условий, в пределе малой константы связи, для классических полей), поскольку старший член дифференциального оператора одинаков как в неабелевой теории, так в случае электродинамики.
Будем исходить из уравнений Янга-Миллса с источником в правой части
= Л , (1)
8
где
Г)11 = д/£ - ід Ам ,
= £)у1Аи — И1,Ар = д^Аи — диЛ^ 4- % [Ац, Аи] ,
'Ь
здесь Та—генераторы группы. Трудность, с которой мы сталкиваемся в исабс-левом случае, обнаруживается уже при анализе первых членов ряда теории возмущений. Например первоначально статическая конфигурация полей начинает зависеть от времени даже для неподвижных источников. То есть следует учитывать изменение цвета заряда (изотопического спина), пренебрегая однако изменениями заряда, которые обусловлены перемещением заряда в пространстве. Как будет видно в дальнейшем, этот анализ первых членов ряда теории возмущений вполне согласуется с условием совместности системы (1)
связывающего токи (заряд) и поля. В конкретном случае группы Эи(2) генераторы группы выражаются через матрицы Паули <тд, (а = 1,2,3), и коммутатор [АуВ] удобно представить через векторное произведение векторов цветового (изотопического) пространства Ах В, где А = (А\А2,А3). Если источники заряда и поле рассматривать как классические переменные, то для их описания можно получить систему уравнений
др9>А„ - дуд*Ар + д д'1А» х Аи 4-
~ _ - (3)
+д А" х {дцАи - диАц) + дА11 х А,, х Аи = Jv , при этом условие совместности системы (2) запишется как
дрЗ* 4- д Аи х > = 0 .
В приближении малых скоростей для членов порядка (гг/с)° следует оставлять
где р и <р—векторы заряда и потенциала соответственно {(р = Д)).
Оказывается, что в случае калибровочной группы 811(2) задача для двух точечных источников допускает подстановку значительно упрощающую исходные полевые уравнения. Ограничиваясь членами нулевого порядка по у/с, и пренебрегая запаздыванием (что эквивалентно ограничению сверху на размер
(2)
(4)
9
рассматриваемой системы), удается свести уравнения Янга Миллса к системе уравнений эллиптического типа (аналогу нелинейной электродинамики), исследование и численное решение которой представляют собой уже относительно простую задачу [11]. [12), [16]. Выбор представления решения неявным образом фиксирует калибровку. Оказывается одним из удобных условий является решение для которого потенциалы Астремятся к нулю на пространственной бесконечности. Глюонное поле оказывается при этом явно зависящим от времени, и вращается с определенной угловой скоростью относительно выделенного направления в цветовом (изотопическом) пространстве. Пусть два ^-образных источника с зарядами Р и С} распологаются в точках Х\ и Х2 соответственно. Выпишем для удобства уравнения Янга-Миллса в компонентах <£>, А. Последняя представляет собой вектор-функцию в простанстве Минков-ского, и одновременно является трехкомпонентным изовектором
Аф — VA 4- дХ?А х ф 4- д {А х \Уф — А]) -{- д2(А х А) х ф = 3 ,
—Ах + Vу А{ — + д Vj[Aj х /1г-] 4- д Aj х jA^ — V,Aj] +
+Х7{ф 4- д ф х V{<р — д ф х А{ — д ф х Ах —
—д2ф х ф х Ах 4- д2А$ х А$ х Я,- = 0 , г, у = 1,2,3.
Точка над буквой обозначает дифференцирование по времени. Векторное произведение производится с соответствующими компонентами векторов в цветовом пространстве, а круглые скобки обозначают скалярное произведение компонент векторов в пространстве Мииковского. Плотность тока внешних источников в векторной части системы уравнений положена равной нулю, поскольку является величиной следующего порядка малости по у/с. Она проявится только при учете излучения. Легко видеть, что даже для статических источников векторное поле А может отличаться от нуля. Его генерирует слагаемое Х?гф 4- д ф х V#*. Будем интересоваться только решениями с тривиальной асимптотикой на пространственной бесконечности: д>иас —> 0, А1)ас —> О. По аналогии с электродинамикой положим, что хромоэлектрический потенциал является суммой вкладов обоих источников:
ф — тг 1 Р 4- 7Г2 <2 5 (5)
где 71*1 и 7Г2 — функции только координат х. Оказывается, что для описания векторного поля А вполне достаточно ограничиться функцией вида:
А = а Р х <2 , (6)
где а зависит также только от координат. Отметим, что в случае 8и(2)-группы
10
заряды двух частиц и их коммутатор представляют удобный базис, на который в силу трехмерности группы должно натягиваться любое решение.
Переходя к условию совместности системы (4) предположим, что предельные значения функций
яйа, *■»(*) и ,
не зависят от пути, но которому приходят в точку. Как будет выяснено ниже если векторное поле проникает в источники, то это условие выполняется лишь приближенно. В результате уравнение (4) принимает вид
Р = -д ф(хг) хР = дтт2РхС2,
. _ _ (7)
д = —д (р{х2) хО^-дтРжв,
где 7?1= 7Г\(х2) и 7г2= 7Г2(*1)- Отметим также, что эти же уравнения справедливы и в том случае, когда функции 7Г], тг2 и а зависят от времени только неявным образом, через координаты источников, поскольку в этом случае следует полагать 7Г1,тг2 и а в (3) равными нулю, так как эти производные выражаются через малые множители ?;/с.
Система уравнений (7) описывает прецессию изотопических векторов Р и д вокруг постоянного вектора П Р+ 7Г2 д, с частотой |П|. При этом
~ ~ хЛ хЛ
сохраняются как модули векторов Р ид, так и угол между ними (Р = д =
(Лд) = 0). Именно это свойство позволяет непротиворечивым образом ввести
квазистатические потенциалы 7Г1, 7г2 и а1.
С учетом подстановок (5), (б), система (3) перепишется в следующем компактном виде:
Г>1)(7Г- п) = 6
(8)
V х V х а = з, где пк, = Уйы + даСы, к,1 = \, 2,
3 — 9 5г)./-0(тг- п), (9)
7ГТ = П-тп.-тггН, 7ГТ= II7Г,, тг2 ||, <5Т = ||<5(ж - ж,), 5(х - ж2)||,
где С и 7—2 х 2 матрицы:
1Уже этот случай двух прецессирующих зарядов служит примером определенных затруднений с определением понятия среднего заряда (прототип распределенного заряда, о котором говорилось в начале главы). Как показывает анализ соответствующей теории возмущений, ситуация еще более усугубляется при переходе к более сложным группам, или к большему числу точечных ИСТОЧНИКОВ.
11
О 1 -1 О ‘
Матрица С во времени не изменяется (С = 0), что подтверждает самосо-гласованность выбранного анзаца решений (5), (6), поскольку в этом случае потенциалы 7Ti,7r2 и векторное ноле а действительно квазистатичны. В силу равенства нулю div rot система уравнений (8), (9) будет совместной, если V j = 0. Для нее можно получить:
V j = (тг- tv) .7 [Дтг + 2д CclVtt -f д C(Va)(тг- тг)} .
Учитывая диагональность матрицы С2, и используя скалярные уравнения системы (8). (9), имеем
(тг— 7г) J 5 = 0 ,
т.е. вне зарядов система уравнений (8), (9) непротиворечива. Можно избавиться от одной из компонент поля а, накладывая какое-нибудь дополнительное калибровочное условие. Всюду в дальнейшем, для определенности, будем применять кулоновскую калибровку V а = 0 (V А = 0). В отличие от электродинамики в задаче появилось дополнительное векторное поле. Необходимо поэтому рассмотреть, как это может сказаться на формулировке краевых условий с ^-образными источниками.
Полученная система уравнений (8), (9) имеет ясный физический смысл. Порожденное двумя точечными источниками глюонное поле само является источником заряда, поскольку глюоиы-пе нейтральны. В пространстве между зарядами устанавливается самосогласованный процесс натекания цветных зарядов и токов.
1.1.1 Свойства решений, постановка краевых условий.
Мы будем интересоваться лишь теми решениями системы уравнений (8), для которых векторное поле не имеет особенностей, а столбец потенциалов представляется в окрестности зарядов в виде суммы, состоящей из сингулярной (кулоновской) и регулярной функций:
/
7Гi = TVio -f* 7Tf,
J (10)
Пг0 4тг \x — Xi\ ’
где 7Г,: ПО условию менее сингулярная функция В окрестности точек Xчем 7Г,-о, и убывающая на бесконечности по крайней мере как г-1 (степень дифференцируемости функций не оговариваем).
С =
(PQ) -{QQ) (РР) (PQ)
J =
12
Воспользуемся свободной функцией Грина, и перепишем систему уравнений
(8), (9) в интегральном виде
(п)
7г(а5) = -/йу С(х,у) 2д Са{у)Чп\у) + д2С2а\у)(ъ'(у)-к)
а(х) = - / йу в{х,у) з{у)у
где <3(ж, у)—функция Грина линейного уравнения
Д<2(ж,г/) = 5(х - у) .
Решение системы (И) ищем в виде итерационных рядов по g. Не приводя оценок, скажем сразу, что при достаточно малых константах связи эти ряды в областях С проколотыми ^-окрестностями точек 051, а?2 сходятся, что является следствием теорем Фредгольма для уравнений с полярным ядром [17]. В первой итерации возникает векторное поле а вида:
Зо = 9 [(я-10- ^10)^20 - (7Г20- Я-2о)^7Г10] . (12)
Линии тока вектора з0 приведены в Приложении Л, аналогичная картина получается и для линий тока векторного поля. Раскладывая функцию плотности тока по полиномам Лежандра, и вычисляя соответствующие интегралы явно, можно определить векторное поле (см. Приложение Б). В целом, векторное поле выглядит как поле постоянного магнита с полюсами на концах отрезка [ж!,ж2]. В частности, на отрезке где расположены точки жь х2, поле а коли-иеарно соединяющему их вектору, и одинаково по величине.
Решения системы уравнений (8), (9) без источников и стоков во всем пространстве В? обладают свойством автомодельности, и решение для зарядов, находящихся на расстоянии гД выражается через решение для зарядов, находящихся на расстоянии 1:
■к[х;<Г) = й (^; 1) , а(х\й) = й~1а (^; 1) ,
(13)
(в случае И пространственных измерений (1~1 заменяется на с1~в+2). Действительно, обращаясь к интегральным уравнениям (11) можно видеть, что функция Грина С при таком преобразовании масштаба умножается па вг1 (с!0^2). Элемент интегрирования (объем) войдет с множителем с13 (сI°). Итерационный ряд с токовой частью з(х; (I) преобразуется как ёГ^з (^ ; 1^) (й-2£)+3). Подставляя найденные преобразования в интегральное уравнение (11), убеждаемся в справедливости (13).
13
Изучим теперь поведение решений системы уравнений (8), (9) в окрестности одного из источников заряда. Для определенности выберем систему координат так, чтобы одна из частиц располагалась в начале координат Х\ — 0, и рассмотрим решение вблизи этой точки. Другую частицу расположим на оси г. Предполагая, что компонента тг* в представлении решения (10) мала по сравнению с сингулярным слагаемым 7гг-о, исследуем соответствующую линеаризованную систему уравнений, которая вытекает из системы (8), (9). Напомним также, что мы интересуемся такими решениями, для которых 7r,= const. Раскладывая векторное поле но векторным шаровым функциям, можно показать, что решение с ненулевым векторным полем, представленное, например, компонентой с угловым моментом 1 = 1, существенно отличается от решения с векторным полем, обращающимся на заряде в ноль.
1.1.2 Ненулевое векторное поле.
Если векторное поле отлично от пуля в окрестности расположения заряда, то регулярная часть решения системы (8), (9) в окрестности х\ ~ 0 представляется в виде:
тгДж) ~ а [і (PQ) + Ki г \х + ... ,
о ~ (14)
тг2(х) ~ + — a fJL (PP) + I<2 r + ...,
47Г
где a — модуль векторного поля a = (0,0, a), fx = cos0, a в — угол, отсчитываемый от оси z, г = |ж|, K\t2 = const. Отсюда видно, что интересующее нас предельное значение limcc_>Q 7Г2(ж), например, зависит от пути по которому приходят в начало координат. Чтобы пояснить физический смысл особенности (14) в решении системы уравнений (8), (9) обратимся к следующей модельной задаче. Вблизи соединяющего заряды отрезка векторное поле а выглядит как соленоидальное поле постоянного магнита, для которого приближенно имеем V х a = 0. Тогда векторное поле можно представить в виде градиента некоторой скалярной функции a = V/. Непосредственно для наших целей вполне достаточно аппроксимировать векторное поле в простейшей форме, в виде постоянного поля a = (0, 0, о), и ввести фазовую 2x2 матрицу-функцию F, такую, чтобы выполнялись соотношения
DF = 0 , F(0) = / , (15)
14
где I — единичная матрица. Отсюда легко найти явный вид матрицы-функции
.. г ± 2
р± 1 _
СОЙ ^ ± А-д^- Б1П
_1_03<2) ,.:п 2:
(16)
где Я-1 обозначает обратную к Я матрицу, Л — возникающий в задаче параметр, размерности длины: Л = (д \а\ Я)“1, Я = |Я|, Я = Р х С}. С помощью матрицы Я определим столбец вспомогательных функций ут = Ц2/1,2/2II:
тг = Я у , (17)
такой, чтобы удлиненная производная заменялась оператором набла
£>7г = Я4^?/ . (18)
В частности, с помощью калибровочных преобразований с матрицей Я для тока можно получить:
3 = д тг ЛЭ 7Г = д у JV у.
Аналогичным образом преобразуем систему уравнений (8), (9). Принимая во
внимание, что дивергенция векторного поля а равна нулю, для столбца у по-
лучаем уравнение Пуассона
Ау - F-102C,2a2 п= F-y
Под столбцом р в правой части этого уравнения подразумевается регуляризо-ватшые плотности распределения точечных зарядов. Для ^-образных плотностей легко выписать явное выражение для тг-компонент потенциала, пренебрегая вкладами порядка дг
Я соб[(2: — г\)!Л) (РС2) з\п[(г — Zl)/\) ^ (С^Сд) Бт[(,г — 2г2)/А]
тг2 =
47Г Я \х — Х\\ 47Г К \х — х2\
Я соз[(г — 22)/А] — (ЖЭ) ^т[(г — г2)/\\ (РР) зт[(;г — г1 )/419)
-ь
47г Я |ж — ж2| 4-7Г Я |ж — Х\\
Легко видеть, что и в этом решении в окрестности расположения зарядов имеются интересующие нас особенности вида (14). Понятно, что с предложенной выше простой аппроксимацией векторного поля, можно рассмотреть не только точечные источники цветового заряда, а. например, сферы достаточно малого размера. Решение по-прежиему будет обладать указанной особенностью, если векторное поле в окрестности оси имеет заметную величину. Формально, наличие особенности приводит нас к противоречию с исходными предпосылками,
15
I
которые позволили сделать переход от уравнений Янга-Миллса к системе (8), (9), поскольку столбец 7Г определяет скорость прецессии векторов заряда в цветовом (изотопическом) пространстве. Особенность же (14) демонстрирует, что даже в случае точечных источников, вообще говоря, может возникать рассогласование фазы вращения заряда. Однако для слабых зарядов это решение оказывается вполне приемлемым приближением. Ниже, при обсуждении численных расчетов, мы покажем, что оно применимо, в частности, к системам типа тяжелых кваркониев. Отметим также, что полученное решение можно затем последовательным образом улучшать, используя соответствующую теорию возмущений для фазы.
Полученные результаты вынуждают нас пристальнее исследовать постановку краевых задач для системы уравнений (8), (9) с соленоидальным полем. Следует также иметь ввиду, что при численном исследовании системы потребуется достаточно большой объем вычислений, и желательно проанализировать особенности постановки краевых условий на более простом примере.
1.1.3 Краевая задача при ненулевом векторном поле.
Понятно, что обнаруженная нами особенность в поведении столбца тг связана с наличием неконтролируемого заряда, который переносится векторным полем, и перемешивает компоненты заряда различного сорта. Было бы желательно диагопализовать систему уравнений, расцепив вклады различных зарядов. Остановимся подробно па анализе одной краевой задачи. Пусть в трехмерном пространстве Я3 на оси аксиальной симметрии задана пара поверхностей Г,-, г = 1,2. Для определенности, возмем пару пепересекающихся сфер радиусов центры которых находятся в точках 0 и 9, соответственно. Пусть столбец функций тг (для простоты мы ограничимся только случаем нулевых значений для 7Г= 0) определяется из решения следующей задачи:
1)1) 7Г = 0 ,
(20)
дії і
дтп]
Еу — заданные функции платности заряда на Г^-ом контуре, т* — векторы нормалей к поверхностям Г,-, = 1,2. Чтобы не перегружать формулы лиш-
ними индексами, мы будем ниже пользоваться также обозначениями векторов нормалей вида тип для поверхностей 1 и 2, надеясь, что это не приведет к путанице. Соотношение (18) можно переписать в следующем виде
І71"1 Vтг = -да у + V? . (21)
16
Используя определение (15) можно показать, что справедливо тождество: \7(Р~]СР) = 0, т.е. матрица С не изменяется под действием этого преобразования. Используя начальные данные имеем: = С. Определим нор-
мальные производные для столбца вспомогательных функций у
дуі
drrij
— Oij , (22)
Г;
где оу обозначают некоторые неизвестные функции плотности заряда на Г^ контурах. Принимая во внимание, что дивергенция векторного поля а равна нулю, и применяя соотношение (18), получим
£)-Отг = РДу = 0 .
В результате для вспомогательной функции у получается диагонализованная система дифференциальных уравнений
д» = о, дш
— Gij , (23)
Г;
drrij
Решение краевой задачи (23) дается потенциалом простого слоя
»<»>--£ (24>
при у Є Г,-, dsi = Щ dQi. Используя связь функций £ и сг, выведем систему интегральных уравнений для обратной задачи Неймана
Еу = (VTr.m,) = -і- (VF*m,) /г< dy + Fikakj,
anj + £ (am^Fj Cim Fmk £ = F^Ey .
Интересно отметить, что с похожей задачей сталкиваются при описании приливных волн, вызываемых Луной. Для того, чтобы правильно определить форму приливной волны, следует самосогласованным образом учесть то влияние, которое оказывает приливная волна на Земле на приливную волну на спутнике, и т.д. В результате формулируются похожие на наш случай граничные условия Пуанкаре [18]. Учитывая, что матрица F~l С F постоянна, окончательно получим следующую систему интегральных уравнений:
0Q0
+ £ (т0ез) Сы Е J = F~'Zi0 , (25)
47Г i*=iJT»\n-y\
17
здесь ез — единичный вектор, направленный по оси 2. Вводя матричные обозначения, перепишем систему (25) в виде:
а (га) + J К{гп,п) сг(п) сіп — б'(га) ,
(26)
где
а (га) = (7ар /а ® /д,
5(га) = £ад /а <8) /д,
/а формальные базисные векторы, п = п(<д, 0), т — т('ро,0о), 0 < (р,(ро < 27г; 0 < О.Оо < 7г, |п| = 1, — полярные координаты на единичной сфере.
К (га, п) = С(т) п) 0 С С (га, п) =
Рі(га,п)Яі д2(т,п)
^3(га,п) £?і(га, п)/?2
Ядра системы интегральных уравнений # даются выражениями:
да тз 9і = 71
аа
92 = т-
47Г |га — п|
тз
9з = -г~
47Г |Яі7П — — /Э|
І?,? тз 47Г \Я.2ТП — ЛіП /3|
Правые части имеют вид: 5ц(т) =
соз(£) - 9^91
5і 2(т) =
соз(^) _ 8,п(^)
£21 (т) = ^р8іп(£) Ец(т) +
(рр)
522(т) = —віп(гу) Еіг(т) +
2ц(т) - '-8іп(0 Е2і(т) ,
Е]2(т) - У—р- ші(г)) Е22(т) , соз(0 + -~15;п(^) Е21(т) , сов^) + віп^) Е22(т) ,
фазы ^ и г) определены как: £ = 3, 7] = ^ ^. В = | Л>|, напомним,
Я = |Я|, Я= Р х(^. Будем интересоваться только аксиально симметричными решениями и проинтегрируем систему (26) по углу ф
<7(0о) 4- £9(9, во) <Г(9)Л 0 = Е(00),
(27)
18
где
9(0, Оо) =
дп(0,0о) 312(6,60) 321(6, бо) 322(6,60)
<71 (бо) 02(60)
, Е(в о) =
ВД)
Е2(0а)
, <г(6о) =
Матрица ду выражается через эллиптические функции и имеет логарифмическую особенность в диагональных членах. Для численного решения системы уравнений (27) применялся метод механических квадратур [19], [20], [21]. Для чего на отрезке интегрирования [0, тг] строятся две сетки йп — {#1,02? • • • > 6п} и а>оп = {ваи6о2,-..,0Оп} с попарно различными узлами. По узлам сетки йп строится интерполяционная квадратурная формула:
Ґ-& (16 « £ € шп,
•'* і=і
где веса квадратурной формулы Лг- имеют вид :
Заменив интегралы в системе уравнений (27) приближенно на квадратурные суммы, получим новую систему относительно новых неизвестных функций
0п(6):
0п(бо) + Ез(6і,6о) Аі = Е(в0) .
Т=1
Потребуем ее выполнение в узлах сетки й>0п> предварительно заменив сеточную функцию сгп(Оок) на сгп(0*):
0л(0о&) + Ц #оа) <7пМ») А,- = Е(Оок)> /с = 1, гг, 0о* Є а>оп •
г=1
Введя обозначения:
і,Ok J.Ofc
<7i,0A = #0A =
911 .912
г ,0A t,0A 021 022
0Vi(ftr)j
= 0(ft5 ft)fc)> ft)A £ И)т ft £ J =
= E(Ook), ft)A € OJQn, 6k <E £>n J
последнюю систему линейных алгебраических уравнений запишем в виде:
. л _____
°п + £ &\0* < А* = £0* , А: = 1,71 .
2=1
Она и дает приближенное решение системы (27) в узлах сетки £>п. Прежде чем приступить к расчетам рассматриваемой физической задачи, предложенная вычислительная схема решения системы интегральных уравнений проверялась на модельных примерах. При этом в качестве узлов сетки Qn использовались узлы квадратурной формулы Гаусса для регулярного интеграла на отрезке с числом разбиений равным 10, 48, 96.
19
Рис. 1: Средние плотности зарядов на сфе- Рис. 2: Первые моменты плотности зарядов рах <7^2* &2,и °2?2 как функции Л. Ri = на сферах «т,^, cri!J, как функции
1, Я2 = 1, D ’ = 10, \Р\ = 1, \Q\ = 1, Л. Я, = 1, Я2 = 1,'я= 10, |Р| = 1, |Q| = 1,
а = 7г/20 — угол между зарядами Р, Q. а = тг/20.
На рис. 1, 2 представлены решения для далеко разнесенных сфер D — 10
единичного радиуса. Основным физическим параметром задачи является длина волны Л. Будем характеризовать решения посредством средней плотности заряда (cTi) = /_L1 dg а также более высокими моментами:
сгц = f_x d/i Oiip.) Pi(fi) , i = 1,2,
где Р/(д) — полиномы Лежандра. Усреднее проводится по азимутальному углу 0, д = сое#. Если длина волны Л много больше характерных параметров задачи (что эквивалентно малым константам связи д), например таких как: размер частиц, расстояние между ними, то справедлива теория возмущений по Л-1, и вкладами высших моментов можно пренебречь. Когда же длина волны становится сравнимой с расстоянием I), или размером источников, то вспомогательные плотности заряда могут даже сменить знак. Как видно из рисунка, вклады высших моментов в такой ситуации тоже становятся существенными. Другой естественной постановкой краевых условий является фиксация потенциала каждой из сфер на поверхности, где располагается противоположный заряд. Понятно, что в таком случае следует уже вводить потенциалы двойно-
20
го слоя. Проведенное в этом разделе рассмотрение демонстрирует далеко не простую постановку краевых условий для интересующей нас задачи о двух цветовых источниках при (аномально) больших константах связи.
1.1.4 Нулевое векторное поле на заряде.
Теперь рассмотрим другой класс решений, для которых векторное поле на источнике обращается в ноль. Этот случай соответствует обтеканию векторным полем а заряда. Будем искать решения линеаризованных уравнений с выделенными сингулярными членами следующего вида
щ(х) = жj(r) Р,(М) ,
ai (ж) = а[(г) Р((/а) , (28)
a2(æ) = a'2(r) Р/1^) , г =1,2, /= 1,2,...
где Pi(ц) — полиномы Лежандра, — присоединенные полиномы Лежан-
дра.
Пользуясь тем, что дивергенция векторного поля равна нулю, выразим одну из компонент поля через другую, например через а\\
1 д
do —
г2 а[ , 1ф 0 .
2 1(1 4- 1) г дг
Соответствующая линеаризованная система (8) принимает вид уравнений Эй-
лера
41- г2 4- а - *i-2 £- (pq) 4=о.
г2 дг дг г2 4тг г2
4|.г1|.,.-!Я±Чх; + 2А(рр)4 = »,
г дг дг г2 4тг г2
1 ôV ei _ 1Ц1) + ~~ a| sHj р я*-
Г2 1 \47Г/ г2
(29)
г2 дг2 аі г2 1X1 1 І47г>/ ^ 1 } г2 4тг г дг 4тг г2
Решение этой системы будем искать в виде столбца
ХТ = ІІ7Г1- Жі , ТГ2- ТГ2 , Л! || = Г^Х7,
X — собственный вектор характеристического уравнения задачи на собственные значения:
S-L 0 —2
0 S-L 2|р(РР)
о -${о + \)(о+\){а + 2)-Ь+ф\РР)
X = 0, (30)
21
L = 1(1 + 1), S = a(a + 1). Отсюда получим уравнение шестого порядка
(р2 - р - L)[(p2 - р - L)(p2 + р- L + П) + 2рП] = 0 ,
где р — а 4-1, П = (д/4тг)2 (РР). Выделяя тривиальные корни р2 — р — L = О, получаем уравнение четвертого порядка
(р2-р- L)(p2 + р - L + П) + 2рП = 0. (31)
Прямой подстановкой убеждаемся, что
pi = I, р2 = — I — 1 ,
являются корнями уравнения (31). Оставшиеся два корня определятся из уравнения второй степени р1 — р— L + П = 0
1 , ((21 + I)2 - 4П)1/2
^ = 2* 2 ■
Для степеней характеристического уравнения в результате получим
т - Г 1 т ! « т 1 ■ ((Я+1)2-4П)* /ооч
G\ — I - 1, ст2 — —I — 2, — — - ±------------- , (32)
(аналогичное соотношение получено в работе [7]).
Корнями (72 и не интересуемся по условию регулярности решений. Первый корень удовлетворяет условию регулярности лишь при I > 1. Требование регулярности для третьего корня приводит к последовательности критических значений для заряда Р
П < 1(1 + 1) . (33)
Случай I = l,(7i = 0 отвечает уже разобранному нами случаю ненулевого векторного поля. Осталось еще рассмотреть вырожденный случай, когда / = 1, а\ = ао = 0. Здесь, как легко видеть из системы (29), регулярные решения отсутствуют. Отсюда, в частности, следует, что поля со структурой локального решения, описываемого полиномом Лежандра первого порядка, 1 — 1, при условии обтекания векторным полем зарядов, возможны лишь при
< V2 .
Обратим теперь внимание, что имеется еще одно ограничение, связанное с подкоренным выражением в формуле (32). Условие вещественности решений приводит к ограничению, полученному в работах [5]
П < (/ + 1/2)2 ,
22
Рис. 3: Компонента ах векторного ноля. а3 = 0.1, а = 7г/2, |Р| = 1,
1^1 = і-
Рис. 4: Линии уровня компоненты
а*.
о котором мы говорили во вводной части главы. Понятно, что критическое значение заряда (33) достигается раньше, чем вступает в силу второе ограничение, и поэтому прежде чем разовьется полная экранировка заряда (о которой говорилось в упомянутых работах), произойдет перестройка поля. Стоит однако еще раз отметить, что указанные эффекты возникают при аномально больших константах связи, и вряд ли имеют практический интерес. При малых константах связи векторное поле вблизи источника заряда аппроксимируется выражением:
из которого видно, что характерный масштаб, на котором существенно меняется векторное поле оказывается порядка размера источника. Для ббльших ко-стант связи векторное поле должно вблизи заряда подвергнуться перестройке. К сожалению нет простого аналитического аппарата, который бы, при условии обтекания векторным полем а заряда, позволил детально проследить соответствующую картину изменения топологии векторного поля. Поэтому становится актуальным чиссленное исследование задачи.
Обсудим теперь предельный переход к кулоновскому случаю, когда векто-
= ао — ао + ... ,
г?
23
ры Р и () изотопического пространства параллельны. Следует отметить, что хотя в этом случае и неправомочно пользоваться разложением полей по тройке векторов Р, (З, Р х <3, тем не менее, основная система уравнений (8), (9), формально, остается справедливой и в этом случае. Квадрат матрицы С обращается в ноль С2 = 0. В результате скалярная часть, системы приобретает вид
Ля* + 2дСа 'У’тг = 5 . (34)
Переписывая эту систему уравнений в виде
Д(тгі(2 я12Р) = + ^2Р »
получаем
~ — О Р
*10 + тг2Р= *
4тг|ж — я?11 4тг|ж — £С2|’ т.е. кулоиовской оказывается сумма решений системы (34), причем вклад векторного поля исчезает. Аналогичный переход справедлив и для рассмотренной модельной задачи в поле соленоида.
Обсудим также другие удобные способы фиксирования калибровки. Напомним, что в рассмотренном нами случае калибровка фиксировалась выбором вида решения, и граничными условиями на пространственной бесконечности' (при которых, напомним, функции стремились к нулю). Рассмотрим вариант, когда столбец тг обращается в ноль. При этом потенциалы будут стремиться к некоторым константам на пространственной бесконечности. Удобство этой калибровки заключается в том, что.заряды не изменяются в цветовом пространстве, однако ее трудно реализовать в численном расчете.
Итак, рассмотрены некоторые свойства регулярных решений уравнений (8),
(9). Показано, что из-за наличия в задаче векторного поля точечные источники можно вводить двумя существенно различными способами. Найдены некоторые ограничения на вид решений. По-видимому, на этом практически исчерпываются возможности аналитического исследования задачи. Локальные шаудеровские оценки, к сожалению, не позволяют эффективно исследовать решение в целом. Поэтому актуально обратиться к численным исследованиям хромостатических уравнений.
1.1.5 Результаты численных расчетов.
Воспользуемся цилиндрической симметрией задачи, и будем искать решение системы уравнений (8) в виде функций 7Г1, 7Г2 и ар, аг, зависящих от координат риг. Двумерную задачу будем решать методом конечных разностей
і
!
24
Рис. 5: Компонента а0 векторного по- „ с ~
у _ Рис. 6: Линии уровня компоненты
ля. Ося = 0.1, а = 7Г/2, |Р| = 1,
101 = 1.
ар'
внутри цилиндрической области "большого"размера на неравномерной сетке. При этом в силу свойства масштабной автомодельности решений (13) достаточно провести расчеты лишь для одного фиксированного расстояния между частицами. Для того, чтобы не усложнять численный алгоритм, аппроксимируем частицы в виде двух заряженных цилиндров малого размера. Такая упрощенная постановка задачи не отражается принципиальным образом на результатах расчетов, и оказывается практичной для аппроксимации "точеч-ных"источников. Высота и радиус "частиц"полагались равными 0.1. Частицы удалены друг от друга на расстояние 1. "Бесконечно"удаленные границы выбирались на расстоянии 10.
Потенциал 7Г] находился из решения двух задач:
1. внешней задачи Неймана
£>£> (7г 1— 7Г1) = 0 ,
я - (35)
— С , \с2 — 0 , тгі£ — 0 ,
Сі дп'2
д7Г1
дщ
где П;, г = 1,2—нормали к поверхностям малых цилиндров (7*, С—константа, такая, чтобы полный заряд малого цилиндра был единичным; значение л-] находилось как среднее от функции 7Г\ на поверхности второго малого цилиндра, где располагается второй заряд; (2—"бесконечно "удаленная граница;
25