- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ......................'.................................... 5
ГЛАВА I. КВАНТОВАНИЕ ФЕШ-БОЗЕ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ ОЩЕГО
ВИДА.................................................... 16
§ I. Канонический формализм для систем со связями в классике и проблема квантования......................... 17
1. Динамика системы со связями................... 17
2. Классическая динамика калибровочных систем. 23
3. Проблема квантования................................ 26
§ 2. Релятивистская калибровка и обобщенный канонический
подход. 29
§ 3. Обобщенный канонический формализм для ферми-бозе
систем со связями произвольного рода и ранга. . 34
1. Калибровочная инвариантность $- матрицы. . 36
2. Уравнения для структурных коэффициентов. . . 38
§ 4. Операторный аспект теории.............................. 44
§ 5. £ - матрица для релятивистских ферми-бозе систем со
связями первого и второго рода в конфигурационном
по гостам пространстве..................................46
§ 6.. Невырожденная калибровка в рамках обобщенного
канонического формализма............................... 51
§ 7. Обобщенные соотношения Уорда для произвольных
динамических ферми-бозе систем со связями общего
вида и произвольного ранга............................. 59
ГЛАВА П. КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ ОБЩЕГО ВИДА МЕТОДОМ
КОМГШСИРУЩЕГО ФУНКЦИОНАЛА. УНИВЕРСАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
ДЛЯ МАТРИЦЫ............................................. 65
§ I. Постановка задачи и метод...............................66
- 3 -
Стр.
§ 2. Универсальное выражение для л£- матрицы................. 70
ГЛАВА Ш. ТЕОРИИ ИНДУЦИРОВАННЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ................. 75
§ I. Индуцированные теории с тривиальной £ - матрицей. 76
1. Индуцированная двумерная швингеровская электродинамика. .............................................. 76
2. Спинорная индуцированная электродинамика продольного электромагнитного поля...................... 77
§ 2. Индуцированная электродинамика.......................... 81
1. Электродинамика скалярных частиц..................... 81
2. Индуцированная электродинамика спинорных и скалярных частиц...................................... 85
§ 3. Индуцированная теория Янга-Миллса. ....... 87
§ 4. Индуцированные теории, генерируемые динамическим
образом как связанные состояния перво-поля. ... 89
1. Скалярное поле с самодействием, билинейные связанные состояния...................................89
2. Квантовая электродинамика динамически индуцированная из фундаментальных фермионов. ..... 93
3. Калибровочное поле Янга-Миллса динамически индуцированное на квантовом уровне из существенно нелинейного самодействия скалярного поля (скалярного и спинорного полей).......................95
§ 5. Заключительные замечания..............................99
ГЛАВА 1У. КВАДРАТИЧНЫЕ ПО ИМПУЛЬСАМ КАЛИБРОВОЧНЫЕ СИСТЕМЫ. ЮЗ
§ I. Гравитация...............................................ЮЗ
§ 2. Общий случай систем с квадратичными по импульсам
связями.................................................III
§ 3. Релятивистская мембрана..................................Ц7
- 4 -
Стр.
1. Лагранжевая формулировка теории.......................118
2. Канонический формализм............................... 120
3. Обобщенный канонический формализм, генератор калибровочной алгебры и структруные коэффициенты.120
4. Производящий функционал в конфигурационном пространстве.............................................122
5. Квазиклассическое приближение в рамках конфигурационного пространства..................................124
6. //- частичные амплитуды рассеяния.....................126
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..........................................................128
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПОЛЯ ЯНГА-МИЛЛСА, КВАНТОВАНИЕ И ^-МАТЙЩА В
РАМКАХ 0Б0ЩЕНН0Г0 КАНОНИЧЕСКОГО МЕТОДА.................132
§ I. Формализм второго порядка.............................. 132
§ 2. Формализм первого порядка................................137
§ 3. Модели ззаимодействия материи с полем Янга-Миллса. 140 ЛИТЕРАТУРА..........................................................143
- 5 -
ВВЕДЕНИЕ
Построение единой теории всех взаимодействий элементарных частиц остается важнейшей проблемой современной теоретической физики.
Построение моделей "Большого Объединения”, объединяющих сильные, слабые и электромагнитные взаимодействия является как бы первой ступенью к разрешению этой фундаментальной проблемы. Модели "Большого Объединения” базируются, как известно, на векторных калибровочных теориях бозе-типа.
В последние годы особый интерес приобрели попытки построения суперсимметричных моделей "Великого Объединения”, объединяющих сильные, слабые, электромагнитные и гравитационные взаимодействия на основе моделей расширенной супергравитации. В этих моделях бо-зе-класс калибровочных полей существенно расширен за счет введения в них, помимо векторных калибровочных полей Янга-Миллса и фотонного поля, также тензорного калибровочного поля гравитона (гравитации) и тензорных антисимметричных полей. При этом, вследствие учета, локальной суперсимметрии построенных моделей, в них с необходимостью также входят соответствующие суперпартнеры ферми-стати-стики. Так, в частности, в простейшей супергравитации вступает в действие калибровочное ферми-поле гравитино, спина 3/£.
Таким образом, современное развитие теории элементарных частиц привело к тому, что в физике роль переносчиков взаимодействия выполняет широкий класс калибровочных полей как бозе, так и ферми-типа. В этих калибровочных системах число независимых степеней свободы меньше, чем число компонент рассматриваемого поля, при этом физическое фазовое пространство (поля и канонические импульсы к ним) оказывается уже исходного фазового пространства полей.
- 6 -
Обстоятельство это обусловлено наличием вполне определенных устойчивых во времени соотношений (так называемых, связей), которые и обеспечивают переход к независимым физическим степеням свободы. Связи могут быть как бозе, так и ферми-типа, в зависимости от того, четны либо нечетны они по ферми-полям. Далее, по классификации Дирака / I /, они разделяются на связи первого и второго рода, что обусловлено равенством или отличием от нуля детерминанта матриц соответствующих суперкоммутаторов связей (классический аналог которым, суперскобки Пуассона) на самой поверхности связей.
Отметим, что, ло-существу, все теории современной теоретической физики представляют собой теории со связями. Так, калибровочные теории обладают обязательно связями первого рода, которые и генерируют их калибровочную алгебру. Теории с высшим спином (Б >
> I), а также все теории ферми-полей, включая и теорию спина половина ( 5 = 1/2), являются, как правило, обладателями связей второго рода. В супергравитации, к примеру, мы имеем дело с ферми связями второго рода и бозе-ферми связями первого рода, поскольку там присутствуют бозе и ферми-калибровочные поля (гравитонное и гравитинное).
Так, построение теории единых взаимодействий, вызвало особый интерес к калибровочным системам, обладающим связями самого общего вида. Квантование таких теорий стало фундаментальной проблемой современной теоретической физики.
Важнейший вклад в классическую теорию динамических бозе-сис-тем со связями внес Дирак / I /, им же были сформулированы начальные элементы канонического квантования таких систем. Континуальное выражение для $ - матрицы бозе-систем со связями первого рода в канонических калибровках было впервые получено в работе / 2 /.
Каноническое квантование ферми-бозе систем со связями первого
- 7 -
и второго рода впервые проведено в работе / 3 /, где сформулированы и континуально решены Гейзенберговские уравнения динамики с учетом соответствующих коммутационных соотношений для Ферми-бозе теорий со связями второго рода, выраженных впервые в / 3 / через введенные супердираковские (и суперпуассоновские) скобки. Далее, впервые найдена Я- матрица для случая ферми-бозе связей второго рода, а также для теорий с ферми-бозе связями первого и второго рода в канонических калибровочных условиях. Этим был завершен метод канонического квантования ферми-бозе систем со связями общего вида в канонических калибровочных допусловиях.
Оставалась открытой проблема построения теории квантования систем со связями в релятивистских калибровках. Этот случай, как выяснилось, включает дополнительные трудности, связанные с совмещением калибровочной инвариантности релятивистской теории и унитарности в физическом пространстве состояний.
Обстоятельство это вызвано значительным расширением исходного гильбертова пространства состояний (в противоположность случаю канонических калибровок) в сравнении с физическим пространством состояний. Последнее обусловлено возникновением дополнительных степеней свободы за счет приобретших динамическую активность в релятивистском случае лагранжевых множителей к калибровкам и связям.
Проблема эта впервые была решена применительно к релятивистским бозе теориям со связями первого рода в работах / 4-5 /, где была получена корректная $- матрица в рамках построенного обобщенного фазового пространства / 4 /. При этом, было показано, что построение ь> - матрицы в релятивистских калибровках сводится к нахождению унитаризующего гамильтониана в обобщенном фазовом пространстве, явная форма которого была найдена в/4/и/5 / при-
- 8 -
менительно к бозе-системам со связями первого рода, генерирующими калибровочную алгебру ранга один. Одновременно, было сделано в работе / 4 / важное наблюдение относительно вида полученного унитаризирующего гамильтониана, а именно,что его калибровочную часть можно представить посредством суперпуассоновской скобки фермионного функционала (в дальнейшем, названного генератором калибровки), в который входит вся зависимость от калибровки и другого фермионного функционала (названного генератором калибровочной алгебры), построенного из связей и соответствующих коэффициентов инволюции. В работе / 6 / было замечено важное свойство супергенератора калибровочной алгебры и унитаризирующего гамильтониана, введенных в / 4-5 /, а именно, что соответствующие суперпуассонов-ские скобки этих величин оказываются равными нулю. Эти уравнения явились основой для дальнейшего построения теории со связями первого рода и с помощью их в / б / было найдено решение для £>-матрицы ферми-бозе систем со связями первого рода, генерирующими калибровочную алгебру ранга один. Таким способом было получено в / 6 / обобщение результатов / 4-5 / на случай теорий с ферми-бозе связями первого рода, ранга один.
Заметим, что результаты работ / 4-6 / применимы к релятивистским системам первого ранга по связям первого рода, генерирующим замкнутую калибровочную алгебру. К числу таких теорий относятся, к примеру, Янг-Миллс и гравитация. Однако рассмотрение супергравитации показало, что она представляет собой значительно более сложную калибровочную систему с ферми-бозе связями как первого, так и второго рода, генерирующими открытую лагранжеву калибровочную алгебру. Так, развитие супергравитационных моделей теории элементарных частиц вызвало потребность в построении последовательной теории квантования релятивистских ферли-бозе систем со связями
- 9 -
первого и второго рода, генерирующими открытую калибровочную алгебру, вообще говоря, произвольного ранга. Это было сделано в работе / 7 / применительно к самому широкому классу систем с независимыми (неприводимыми) связями любой статистики и произвольного ранга. В работе / 7 / в результате проведенного обобщения основных уравнений для генератора калибровочной алгебры и унитаризиру-ющего гамильтониана на общий случай теории с ферми-бозе связями как первого рода, так и второго рода, а также нахождения решений полученных основных уравнений в классе теорий со связями, генерирующими калибровочную алгебру произвольного ранга в , получено корректное выражение для унитаризирующего гамильтониана и калибровочно-инвариантной, унитарной матрицы квантовой теории с ферми-бозе связями общего вида. При этом, в выражении для $- матрицы релятивистской ферми-бозе теории со связями первого и второго рода (как в фазовом, так и в конфигурационном пространствах)
/ 7 /, наряду с членами двугостовского взаимодействия, характерными для теорий первого ранга, вошли члены, вообще говоря, много-гостовского взаимодействия и соответствующий ответ выписывался для теорий каждого ранга в отдельности, что обусловлено спецификой незамкнутости конкретной лагранжевой калибровочной алгебры теорий.
К числу первых и важных результатов применения обобщенного канонического метода квантования относятся корректное квантование и получение $- матрицы в Эйнштейновской гравитации, включая нахождение гравитационной локальной меры / 8 / и корректного учета калибровок, зависящих от гостов / 5,8 /. Проведение квантования в случае обычной и расширенной супергравитации, и получение корректной £>- матрицы /9,10 /. Нахождение лагранжевого ответа для матрицы в общем случае квадратичных по импульсу систем в про-
- 10 -
извольных калибровках, в том числе, зависящих от гостов / II /.
Метод обобщенного канонического квантования оказался универсально применимым ко всем моделям современной физики и в произвольном классе калибровок. В то же время, ранее развитые методы квантования / 12-19 / были применимы лишь к частным калибровочным теориям в узком классе калибровок. В частности, даже для простейшей калибровочной системы - теории Янга-Миллса - эти методы были уже неэффективны в случае калибровок, зависящих от гостовских полей и корректный ответ для $ -матрицы в этом случае был впервые получен в / 5 / с помощью обобщенного канонического метода квантования.
Как уже указывалось вше, решение для $- матрицы для теорий с неприводимыми ферми-бозе связями первого и второго рода, строится для каждого конкретного ранга и не имеет универсального (единого) вида. И хотя полученное выражение для $- матрицы / 7 / для данного конкретного ранга является наиболее адекватным и удобным для построения соответствующей диаграммной техники Фейнмана рассматриваемой теории, представляет несомненно большой интерес нахождение универсального (единого) ответа для $1- матрицы произвольной теории общего вида в релятивистских калибровках. Обстоятельство это весьма важно как с точки зрения исследования" структуры теорий со связями в калибровках общего вида, так и с точки зрения преодоления возможного технического усложнения нахождения явного ответа в случае полей высокого ранга (такие поля уже фигурируют в физике элементарных частиц, а по мере дальнейшего развития единых моделей универсального взаимодействия и включения высших спинов, их число, по всей видимости, существенно увеличится).
3 статье / 20 / был впервые получен такой универсальный ответ для случая динамических систем с неприводимыми бозе связями перво-
- II -
го рода. Результат этот получен в рамках метода, так называемого компенсирующего функционала, подходящий выбор которого обеспечивал калибровочную инвариантность £ - матрицы при сохранении её унитарности в случае релятивистских калибровок. Заметим, что компенсирующий функционал был введен в работе / 21 / в связи с квантованием массивного поля Янга-Миллса. В дальнейшем, в работах автора / 22,23 / был найден универсальный ответ для $- матрицы применительно к ферми-бозе теориям произвольного ранга с неприводимыми связями первого и второго рода в рамках метода, развитого в / 20 / и обобщенного на общий случай ферми-бозе теорий с произвольными ферми-бозе связями обоих родов.
Отметим, что универсальный ответ для $- матрицы в рамках этого метода выписывается в терминах решений соответствующих уравнений характеристик, при этом не требуется введения фиктивных гос-товских полей со статистикой противоположной статистике связей.
Среди других актуальных проблем на современном этапе развития единой теории взаимодействия элементарных частиц, отметим в первую очередь проблему удержания цветных состояний в хромодинамике, а также проблему динамического нарушения симметрии и возникновения связанных состояний (новых частиц) и их взаимодействий за счет механизма индуцирования при учете квантовых поправок (индуцированная электродинамика, поле Янга-Миллса, гравитация и поле Хиггса)
/ 24-34 /.
Что касается проблемы удержания, то здесь большое внимание привлекли различные протяженные геометрические объекты типа моделей струн и мембран, которые, как полагают, эффективно описывают инфракрасное поведение элементарных частиц / 38-43 подразумевая, что эти модели эффективно эквивалентным образом передают взаимодействие исходных безмассовых калибровочных полей (к примеру,
- 12 -
цветного векторного поля Янга-Миллса) в области сильной связи.
Применительно к индуцированным теориям, а также к теории мембран до последнего времени оставалось важной задачей корректное проведение квантования и построение $ - матрицы.
Представленная диссертация и посвящена построению метода квантования и получению 3- матрицы для калибровочных теорий со связями самого общего вида и произвольного ранга, а также, применению этого метода для широкого класса моделей современной теории элементарных частиц.
Кратко касаясь структуры диссертации, состоящей из введения, четырех глав, заключения и приложения, заметим, что основное содержание настоящей диссертации опирается на результаты опубликованных работ / 7,II,22,23,35,36,37,44 /.
Глава первая посвящена построению метода обобщенного канонического квантования / 7,11 / и включает семь параграфов. Первые два параграфа носят вводный характер и дают представление о результатах в области канонического квантования применительно к системам со связями / 1-3 /, а также об основных элементах обобщенного канонического подхода в рамках релятивистских систем со связями первого рода, ранга один / 4-6 /.
Подробное описание обобщенного канонического формализма для ферми-бозе систем со связями первого и второго рода произвольного ранга / 7 / дано в параграфе три. Операторный аспект теории со связями произвольного рода и ранга освещен в четвертом параграфе. Явное калибровочно-инвариантное и унитарное выражение для 3- матрицы в конфигурационном по гостам пространстве в случае релятивистских ферми-бозе систем со связями первого и второго рода и произвольного ранга / 7 / приведено в § 5. Следующий параграф (§ 6) посвящен рассмотрению невырожденной калибровки в рамках
- 13 -
обобщенного канонического формализма в качестве частного случая общих результатов метода для систем со связями самого широкого класса. Приведены также операторные аспекты теории со связями в невырожденных калибровках и некоторые особенности суперинвариант-ных уравнений теории для этого случая калибровок. В параграфе семь получены обобщенные соотношения Уорда для произвольных динамических ферми-бозе систем со связями первого и второго рода произвольного ранга / 7,11 /, в том числе, операторные обобщенные тождества Уорда в обобщенном фазовом пространстве.
Во второй главе в рамках метода компенсирующего функционала проведено квантование / 22 / и получено (вне зависимости от ранга теории) универсальное выражение для матрицы / 23 / для релятивистских ферми-бозе систем со связями первого и второго рода.
При этом, в § I изложен метод и получено уравнение для компенсирующего функционала теории, обеспечивающее калибровочную инвариантность при сохранении унитарности выражения для $ - матрицы в релятивистских калибровках. В § 2 приведены решения уравнения для компенсирующего функционала теории со связями, в тертнах этих решений и выражена $ - матрица универсального типа для теорий со связями общего вида.
Третья глава посвящена вопросу квантования индуцированных калибровочных полей и состоит из пяти параграфов. В первом параграфе рассмотрены индуцированные теории, приводящие к тривиальной $ -матрице / 36 /. Показано, что во всех этих случаях в теории имеется такое число связей первого рода (и, соответственно, калибровочных преобразований), что при наложении нужного числа калибровочных условий, индуцированная теория становится тривиальной теорией, без физических степеней свободы. Во втором параграфе рассмотрена индуцированная электродинамика на основе электромагнит-
- Київ+380960830922