Калибровочно инвариантное описание массивных частиц и их взаимодействия

Оглавление
0.1 Частица — неприводимое представление группы Пуанкаре ....................
0.2 Проблемы включения взаимодействия........................................
0.3 Калибровочно инвариантное описание массивных полей и конструктивный подход к построению их взаимодействий....................................
1 Метрический формализм
1.1 Симметричные (спин)-тензоры..............................................
1.1.1 Спин 2............................................................
1.1.2 Произвольный целый спин...........................................
1.1.3 Спин 5/2..........................................................
1.1.4 Произвольный полуцелый спин.......................................
1.2 Тензоры со смешанной симметрией..........................................
1.2.1 Тензор Ф[ді/],а...................................................
1.2.2 Тензор ца0\.......................................................
2 Реперный формализм
2.1 Симметричные (спин-)тензоры..............................................
2.1.1 Спин 2............................................................
2.1.2 Произвольный целый спин...........................................
2.1.3 Спин 5/2..........................................................
2.1.4 Произвольный полуцелый спин.......................................
2.2 Тензоры со смешанной симметрией............................................
2.2.1 Безмассовый случай................................................
2.2.2 Тензор У (к, 1)...................................................
2.2.3 Тензор У (к + 1, к + 1.)..........................................
2.2.4 Тензор У(к + 1,/ + 1).............................................
2.3 Спнн-тензоры со смешанной симметрией.......................................
2.3.1 Безмассовый случай................................................
2.3.2 Спин-тензоры У(к + |, |)..........................................
2.3.3 Сиии-тензоры У (к + |, к +........................................
2.3.4 Спин-тензоры У(Ач- / + |).........................................
2.4 Дуальное описание массивных частиц .....................................
2.4.1 Массивная частица со спином 2.....................................
2.4.2 Массивный тензор .....................................
С
1
4
5
9
14
15
15
20
24
27
29
30
35
38
39
39
43
49
51
54
55
57
61
65
68
69
73
77
79
84
86
89
3 Сунермультиплеты массивных частиц 92
3.1 Супермультиплоти со спином 3/2......................................... 93
3.1.1 N = 1 супермультиплет........................................... 94
3.1.2 N —2 супермультиплет без центрального заряда.................. 96
3.1.3 Дг = 3 супермультиплет без центрального заряда.................. 98
3.1.4 N = 2 супермультиплет с центральным зарядом .................. 100
3.1.5 N = 4 супермультиплет с центральным зарядом .................. 101
3.2 Сунермультиплеты со спином 2.......................................... 103
3.2.1 N = 1...........................................................103
3.2.2 JV = 2..........................................................107
3.2.3 yV = 3.......................................................... 112
3.2.4 jV = 4.......................................................... 116
3.3 Сунермультиплеты с произвольным спином................................ 120
3.3.1 Суперсиин 2.................................................... 121
3.3.2 Суперсиин 5/2.................................................. 124
3.3.3 Безмассовые супсрмультнплеты................................... 127
3.3.4 Целый суперспин ............................................... 129
3.3.5 Полуцелый суперсиин............................................ 131
4 Спонтанное нарушение симметрии н калибровочных теориях 134
4.1 Нелинейные реализации и механизм Хиггса................................134
4.2 Спонтанное нарушение симметрии и алгебры Каца-Муди.....................136
4.3 Самодействие для абелевых калибровочных нолей..........................142
5 Спонтанное нарушение симметрии в расширенных супер гравитациях 144
5.1 N = 2 супергравитация..................................................146
5.1.1 Скрытый сектор..................................................147
5.1.2 Взаимодействие с материей...................................... 153
5.1.3 Модели с группами Каца-Муди.....................................162
5.2 N — 3 супергравитация................................................. 168
5.2.1 0(3) супергравнтация............................................169
5.2.2 С/(3) супергравнтация.......................................... 172
5.3 Дг = 4 супергравнтация.................................................177
5.3.1 SU(4) супергравнтация.......................................... 178
5.3.2 U(4) супергравнтация........................................... 181
5.4 Дуальные версии расширенных супергравитаций........................... 186
5.4.1 N = 2 супергравнтация.......................................... 186
5.4.2 Спонтанное нарушение суперсимметрин.............................192
5.4.3 N = 3 супергравнтация......................................... 195
5.4.4 N = 4 супергравнтация........................................ 197
6 Взаимодействия массивной частицы со спином 2 200
6.1 Самодействие...........................................................202
6.2 Взаимодействие с материей..............................................211
6.2.1 Спин 0..........................................................211
2
6.2.2 Спин 1.............................................................. 212
6/2.3 Спин 1/2.............................................................213
6.3 Гравитационное взаимодействие.............................................213
6.4 Электромагнитное взаимодействие.......................................... 216
6.4.1 Кубическая вершина 2-2-1............................................ 217
6.4.2 Метрический формализм............................................... 218
6.4.3 Реперный формализм...................................................223
6.5 Дуальные формулировки гравитации......................................... 227
6.5.1 Дуальная гравитация при с1 = 3....................................228
6.5.2 Дуальная гравитация при (I > 4....................................231
3
Введение
0.1 Частица — неприводимое представление группы Пуанкаре
Важнейшую роль в современной физике элементарных частиц, играет инвариантность относительно группы Пуанкаре, являющаяся следствием однородности и изотропности пространства Минковского. В-частности. именно группа Пуанкаре дает строгое определение частицы (оставляя открытым вопрос о том. какие частицы являются элементарными, а какие — нет). Более того, как будет видно в том числе и из результатов данной работы, группа Пуанкаре во многом определяет и все возможные взаимодействия частиц.
Важной составляющей группы Пуанкаре является группа Лоренца, отражающая изотропность пространства Минковского. Генераторы этой группы образуют антисимметричный тензор второго ранга и удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
[Мр„, Мо;,} = 9цаЛ/^Д У/:в^1'Сг 9глМ/1в 4* <7грМца
где д^, — метрика пространства Минковского. Эта группа имеет два оператора Казимира М,и,М11Г и АГ^М„и = ^1'о3М11„Мар, где — полностью антисимметричный тензор, £0123 = 1, ерш — —Г Соответственно, неприводимые представления группы Лоренца характеризуются двумя параметрами (а, 6), каждый из которых может принимать целые или полу целые значения. Не вдаваясь 1$ классификацию представлений группы Лоренца, которая хорошо известна, приведем здесь примеры представлений низшей размерности и соответствующие им ковариантные обьекты, с которыми мы будем часто сталкиваться в этой работе:
(0, 0) скаляр ір
(1/2, 0) ф (0, 1/2) спинор ф
(1/2, 1/2) вектор Лр
(1. 0) © (0, 1) антисимметричный тензор А[Ц1/\
(1, 1/2) © (1/2, 1) (1/2, 0) 0 (0, 1/2) спин-вектор Фм
(1, 1) 0 (0, 0) симметричный тензор }ц1а/)
Напомним, что при пространственных отражениях представление (а,Ь) переходит в представление (Ь, а), поэтому в сохраняющих четность теориях представления с а ф Ь всегда входят в виде (а,/;) ф (&,а).
4
Как видно из приведенной таблицы, начиная со спин-вектора и симметричного тензора второго ранга к1и„ ’удобные” для работы ковариантные объекты содержат ’’лишние” компоненты, исключить которые можно наложив ковариантные связи тина = 0 или = 0. Один из первых вопросов, который возникает при построении
теорий с высшими спинами это должны ли мы накладывать эти связи с самого начала и работать с неприводимыми представлениями или нет. Однозначного ответа здесь нет, хотя в двух приведенных выше случаях ответ оказывается отрицательным.
Группа Пуанкаре, помимо генераторов группы Лоренца, содержит также генераторы трансляций /’;і, что отражает однородность пространства Минковского. Дополнительные коммутационные соотношения имеют вид:
[^/І, /у = О, [А/,,, Ра] = 9(М, Р„ - <}и«Рц
Группа Пуанкаре также имеет два оператора Казимира, а именно Р;/2 и И7Д2, где IV11 = РиМар. Из всех возможных представлений группы Пуанкаре нас будут интересовать далее только два типа, допускающих непосредственную физическую интерпретацию в рамках локальной теории поля. Первый тип описывает массивные частицы характеризующиеся массой т и спином л, где 5 = 0,1/2,1,3/2..., которые и определяют собственные значения операторов казимира:
Рц- = 1П~, И7,2 = гд2й(5 +1)
Второй тип соответствует безмассовым частицам, характеризующимся спиралыюстью А, при этом
г,? = о, Р„
Для дальнейшего важно, что массивная частица имеет 2з-Ь 1 физическую степень свободы (соответствующие сииральиостям ±5, ±(« — 1)...), в то время как все безмассовые частицы имеют две степени свободы. Отметим, что хотя безмассовые представления характеризуются спиральностью, в сложившейся терминологии говорят о безмассовой частице со "спином” 5. подразумевая при этом безмассовую частицу со спиральностями
±5.
0.2 Проблемы включения взаимодействия
Как мы видели, операторы Казимира группы Пуанкаре не совпадают с операторами Казимира группы Лоренца, что приводит к тому, что начиная с векторного поля практически все неприводимые представления группы Лоренца (за исключением представлений вида (5,0) ® (0,5)) оказываются приводимыми с точки зрения группы Пуанкаре, а значит соответствуют некоторой комбинации из разных частиц. В этой работе мы систематически будем придерживаться консервативного подхода ’’одно ноле — одна частица”, не отрицая принципиальной возможности построения непротиворечивых моделей, описывающих суперпозицию частиц с разными спинами и/или массами. В любом случае, однако, мы должны избавиться от степеней свободы, которые явно нарушают важные физические требования к теории, такие как положительная определенность гамильтониана или причинность.
5
В связи с необходимостью исключать ’’лишние” нсфизичсские степени свободы возникло два (во многом дополняющих друг друга) подхода к исследованию теорий с высшими спинами. В первом все нсфизичсские степени свободы исключаются с самого начала (используя проекционные опера торга или переменные светового конуса). При всех достоинствах работы непосредственно в терминах физических степеней свободы, такой подход оказывается не явно лоренц конариантным, что приводит к необходимости на каждом этапе построения теории явно проверять ее лоренц инвариантность, что во многих случаях оказывается нетривиальной задачей. Тем не менее, в этом подходе был получен целый ряд интересных и важных результатов (см. например [1|. Второй возможный подход основан на использования явно лоренц ковариаитного формализма, при этом основной задачей (и главной трудностью) построения теории оказывается ’’борьба” с лишними компонентами. Этой борьбе; и посвящена данная работа.
Рассмотрим в качестве примера простейший случай — массивное векторное поле 13ц. Генераторы группы Пуанкаре в этом представлении могут быть записаны следующим образом:
Рц = ~д1П (Мц„)а0 = 6Л*(*Л ~ + 9^и0 ~
При этом операторы Казимира имеют вид:
р„- = о2, (1ЩЩ = - д,хдв)
Это значит, что для того, чтобы векторное поле описывало массивную частицу со спином 1, оно должно удовлетворять двум уравнениям:
(д2-т2)Вц = 0, сГВц= О
в которых мы без труда узнаем уравнение Клейиа-Гордоиа и условие Лоренца. Предположим теперь, что иоле Вц — комплексное (т.е. описывает заряженные частицы) и мы хотим описать его электромагнитные взаимодействия. По аналогии с электродинамикой еппнорных частиц, мы можем попробовать включить взаимодействие с электромагнитным полем Л(1 просто заменив обычные производные на конарнантные дцВ„ —* (Оц - 1еАм)Ви. При этом мы немедленно приходим к тому, что (модифицированные) уравнение и связь уже не согласованы друг с другом. Напомним, что хотя работая в лоренц ковариантном формализме, мы не выделяем явно время, уравнения типа уравнения Клей на-Гордон а описывают эволюцию полевых конфигураций. Несогласованность уравнения и связи означает при этом, что если мы выберем начальную конфигурацию, удовлетворяющую связи, в результате эволюции мы приходим к конфигурациям, которые связь нарушают. Простой и надежный способ избежать такой тривиальной (чисто алгебраической) несогласованности уравнений и связей состоит в использовании лагранжевого формализма, в котором и динамические уравнения и связи являются следствием лагранжевых уравнений движения. Отмечая, что целый ряд важных и интересных результатов в области теорий с высшими спинами получен только на уровне (часто явно не лагранжевых) уравнений (например [2], см. также обзоры [3, 4, 5. в|), I? этой работе мы будем ограничиваться только теориями, допускающими такое (лоренц ковариантиое) лагранжевое описание.
6
В простейшем случае массивного векторного ноля нетрудно написать лагранжиан, обладающий требуемыми свойствами:
1 и1 “
с =- див^)- + — вд2
Действительно, лагранжевые уравнения движения в этом случае имеют вид:
с)гВ„ ~ д„(дВ) + т2В„ = о Вычисляя дивергенцию этого уравнения, мы немедленно получаем связь:
тФВр = О
Тот факт, что требуемую связь мы получили с коэффициентом т2 приводит к очень важным (и общим для всех высших спинов) последствиям, В безмассовом пределе т —► 0 мы ’’теряем” связь &1Вц = 0, но зато приобретаем калибровочную инвариантность лагранжиана относительно преобразований 5ВМ = где А(х) — про-
извольная функция координат. На языке систем со связями это соответствует тому, что в безмассовом пределе связи второго рода превращаются в связи первого рода. Физически это связано с различным числом степеней свободы у массивной и безмас совой частиц одинакового спина. Такой ’’скачок” числа физических степеней свободы в безмассовом пределе тесно связан со многими трудностями, которые возникают при попытках построения непротиворечивых теорий взаимодействия массивных частиц.
Для безмассовых нолей использование калибровочно инвариантного описания является единственной возможностью работать в явно лоренц ковариантном формализме. Причина этого в том, что невозможно наложить лоренц ковариантные связи, которые выделяли бы две физические степени свободы со спиральностями Как хорошо известно, требование сохранения (хотя и модифицированной) калибровочной инвариантности после включения взаимодействия сильно ограничивает возможный вид взаимодействий, практически полностью определяя, например, основные свойства таких физически важных теорий, как теории Янга-Миллса, гравитации и суиергравитации. Более того, был сформулирован конструктивный подход к построению непротиворечивых теорий взаимодействия безмассовых частиц [7, 8, 9, 10. 11|, в котором лагранжиан и оставляющие его инвариантным калибровочные преобразования строятся одновременно в виде ряда по степеням полей:
С — Со ^1 "!■ ^2 *+*•••> б = бо ■+■ 4- + ...
Здесь Со и 6о — свободный (квадратичный по полям) лагранжиан для некоторой совокупности безмассвых нолей п соответствующие калибровочные преобразования, £ь С2 и т.д. — содержат вершины третьего, четвертого и т.д. порядка по нолям, а <$1, 62 и т.д. — поправки к калибровочным преобразованиям, содержащие члены первого, второго и т.д. порядка но нолям.
Как мы видели на примере массивной частицы со спином 1, обычное описание массивных частиц не является калибровочно инвариантным. При этом очень трудно сформулировать простые требования, которые однозначно приводили бы к непротиворечивым теориям взаимодействия массивных частиц. Две основные проблемы возникают
7
при любых попытках включения взаимодействия. Во-первых, число связей, исключающих лишние компоненты, может измениться, что приводит к изменению числа физических степеней свободы и появлению иофизических. Во-вторых, даже если число степеней свободы не меняется, включение взаимодействия час:го приводит к нарушению причинности, т.е. появлению решений, соответствующих распространению со сверхсветовыми скоростями. В качестве таких требований в разное время предлагалось использовать требование сохранения числа степеней свободы (т.е. числа связей), мягкого (несингулярного) безмассового предела, унитарности на древесном уровне, причинности и т.д. (12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19).
В качестве иллюстрации рассмотрим пример с электромагнитным взаимодействием массивной частицы со спином 3/2. Наиболее простой« способ описать такую частицу — использовать спин-вектор (он же вектор-спинор) Фм. С точки зрения группы Пуанкаре такой объект содержит три неприводимых представления: одно со спином 3/2 и два со спином 1/2. Нетрудно построить свободный (квадратичный) лагранжиан, из лагранже-вых уравнений которого следовали бы необходимые для исключения лишних компонен т связи. Действительно, лагранжиан:
с„ = гу'-аЧ',г,гГ:Л^0 -
даст уравнения движения:
М№а<,ЪГГ*дс&0 - то*“'Ф„ = О
Вычисляя дивергенцию этого уравнения и его свертку с 7-матрицей, получаем две связи:
т с^Фм = 0, т~ = О
которые гарантируют, что такая теория описывает ’’чистый” спин 3/2. Попробуем теперь включить минимальное электромагнитное взаимодействие, заменив обычные производные на ковариаитные: ди —> ди — геА^. При этом число связей, а значит и число физических степеней свободы, сохраняется, но сами связи модифицирую тся. Наиболее важной оказывается модификация алгебраической связи, которая теперь принимает вид:
3 + 2ге757И""Ф„ = О, А“" = \е>юавАаВ
Напомним, что спин-вектор Ф^ состоит из двух неприводимых но группе Лоренца с пространственными отражениями блоков: (1,1/2) ® (1/2,1) и (1/2,0) © (0,1/2), при этом связь 7**Ф/Х — 0 исключала компоненты второго блока, а лоренц инвариантность гарантировала причинность теории. Модификация этой связи и присутствии электромагнитного ноля означает, что теперь физические степени свободы являются суперпозицией двух разных неприводимых представлений. Это, в свою очередь, приводит к тому, что у уравнений этой теории появляются решения, описывающие распространение волны со скоростью больше скорости света в вакууме, что означает нарушение причинности (20, 21]. Попытки исправить ситуацию введением неминимальных взаимодействий типа аномального магнитного момента к успеху не привели |15].
8
0.3 Калибровочно инвариантное описание массивных полей и конструктивный подход к построению их взаимодействий
Для частиц со спином 1 и 3/2 есть хорошо известные примеры непротиворечивых теорий, описывающих взаимодействия этих частиц, основанные на механизме спонтанного нарушения локальных симметрий (внутренних симметрий для случая спина 1 и суперсимметрий для спина 3/2). И в том, и в другом случае, механизм основан на возможности калибровочно инвариантного описания массивных полей со спинами 1 и 3/2 в присутствии голдстоуновских полей с неоднородным и преобразованиями, которые с необходимостью возникают при спонтанном нарушении симметрии. Например, для векторного поля В(1, введя дополнительно скалярное поле можно построить лагранжиан:
С = В 2 - тВРдуф +
который инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований вида:
6Вц — д(іА, бір = т А
При всей своей простоте, этот лагранжиан обладает очень важными (и как будет видно из дальнейшего общими для всех старших спинов) свойствами:
• Несмотря на то, что в лагранжиане присутствуют два поля — векторное Д, и скалярное со, наличие перекрестного члена В^дцір означает, что эти ноля не являются независимыми. Действительно, канонический гамильтоновым анализ показывает, что такая теория описывает одну массивную частицу со спином 1.
• Возможность иметь калибровочную инвариантность для массивного калибровочного поля связана с неоднородным законом преобразования скалярного поля у?, характерного для голдстоуновских частиц, всегда возникающих при спонтанном нарушении симметрии. С точки зрения систем со связями, это соответствует возможности, за счет введения дополнительных полей, превратить связи второго рода в связи первого.
• В безмассовом пределе т —► 0 такая теория распадается на сумму обычных лагранжианов, описывающих безмассовые частицы со спином 1 и 0, соответственно. Это значит, что полное число физических степеней свободы в таком пределе сохраняется и ’’скачка” не происходит.
Замечательно, что такое калибровочно инвариантное описание оказывается возможным и для массивных нолей с высшими спинами. К настоящему времени сформировалось два основных подхода к такому описанию. Один из них основан на мощном и универсальном БРСТ подходе [22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29). Другой появился как попытка обобщить на высшие спины механизм спонтанного нарушения симметрии [176, 162, 180, 30] (см. также [182, 184, 31, 32, 33, 34)). При таком нарушении возникает набор голдстоуновских нолей с неоднородными законами преобразования, что и делает калибровочно инвариантное описание массивных нолей возможным.
9
Сам по себе факт существовании калибровочно инвариантного описания массивных полей с высшими спинами позволяет’ распространить конструктивный подход к построению взаимодействия на любой набор массивных и/или безмассовых частиц, например |162, 165, 35, 168, 172]. В этой работе мы будем придерживаться второго подхода, поскольку в нем вводится минимально необходимое для калиброночно инвариантного описания число вспомогательных нолей, а эго оказывается важным при исследований возможных взаимодействий.
В качестве иллюстрации такого подхода, рассмотрим гаг же вопрос об электромагнитном взаимодействии массивной частицы со спином 3/2 (сделав вид, что мы ничего не знаем о су п ер гравитации и спонтанном нарушение сунерсимметрии). В полной аналогии со случаем массивного векторного поля, для калибровочно инвариантного описания массивной частицы со спином 3/2 нам понадобятся два поля: спин-вектор и спинор X- Нетрудно проверить, что следующий лагранжиан:
-Со = ірФх + + і^|т(Ф7)х + тхх
инвариантен относительно следующих локальных калибровочных преобразований со спи норным параметром:
50ФВ = д„Г) - ^7„гг 6оХ = \/|ГУЩ
Введем теперь минимальное электромагнитное взаимодействие. Мы предпочитаем работать с майораиовскими спинорами, поэтому будем предполагать, что все сшшорные объекты — дублеты:
Заменим теперь обычные производные на ковариантные:
^ ^ ц ~ яАц% ^ ^ ^ ^ = ^
Как обычно, такая замена нарушает инвариантность лагранжиана относительно локальных калибровочных преобразований:
6аС0 = и!0Ф„ЧРа’ъЪ1, Р“' = ^,и'а0р«1>
Попробуем восстановить нарушенную калибровочную инвариантность (по крайней мере в линейном приближении) добавляя к лагранжиану неминимальные взаимодействия, содержащие напряженность э/м поля:
А = [«! Р" + 0*75^ + а^(аР) + аЛ(Р^о^ + +
Ч-гФ„(а5Я"/ + <1сЛьР^Ъг<1Х + Цхя{°Р)х
10
а также наиболее общие поправки к калибровочным преобразованиям:
W/. = + ос2ЪРци)11/П X ^ F)V
Ml. = + к*ъ()амп)
Прежде всего вычислим все вариации с двумя производными и потребуем, чтобы они сократились. Простые вычисления дают:
0-2 = 01, a,i = ‘2(Ть ад = — 2а3
«і - —02 — — 2alf о3 = 04—0, о5 = Об — — 2а3
При этом неминимальные члены и поправки к преобразованиям принимают знакомый из супергравитации вид:
А = -ax%(F^ - т5Я"')?Ф, + ;<*.,#>Fb4x + ЦЫ°Р)Х
Ь\Ц,1 = 5\Х = Qas(oF)4
6i Afl = 2аг (Ф,,<??/) - 2ia3(x^qv)
Наконец сокращение вариаций с одной производной (включая вклад от коммутатора коваршштпых производных) дает:
Со = 2аут -г 2\/ба3т, а7 = —
V б
Сделаем несколько замечаний.
• Если вычислить коммутатор двух калибровочных преобразований, то мы получим, например,:
[<5i,£2|Ai = ~4i(cv!2 + 2ог32)№7%)^
Это означает, что при ненулевых значениях электрического заряда е0 любая такая модель должна быть частью некоторой (спонтанно нарушенной) супергравитации.
• С точки зрения супсргравитации смысл двух параметров а і и а3 понятен: в наиболее общем случае наше векториое поле может быть линейной комбинацией гравифотона (со етш-вектором в качестве суперлартнера) и векторного ноля из некоторого векторного супе рмульти и лета (со спинорным суперпартнером).
• И супергравитации коэффициенты перед неминимальными членами в лагранжиане (которые обязательно присутствуют:) определяются константой гравитационного взаимодействия к ~ l/mrf. Таким образом мы воспроизвели обычное для спонтанно нарушенной супсргравитации соотношение между константной калибровочного взаимодействия гравитино, его массой и массой Планка с0 ~ т/т^.
11
Данная работа посвящена построению калнбровочно инвариантного описания массивных полей с высшими спинами и применению конструктивного подхода к исследованию их возможных взаимодействий. Как хорошо известно, есть два основных подхода к описанию гравитации — метрический, в котором основным объектом является метрика дци и тетрадный с тетрадой еца и лоренцевской связностью В значительной степени оба подхода эквивалентны и использование того или другого определяется конкретной задачей. Оба эти подхода допускают естественное обобщение на случай бсзмасеовых нолей с высшими спинами. Обобщение метрического подхода было построено в |36, 37, 38, 39, 40, 41], в то время как обобщение тетрадного формализма в (42, 43, 44) (см. также (45, 183, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53|). В первой главе рассматривается калнбровочно инвариантное описание массивных полей с высшими спинами в метрическом формализме Как мы увидим, для описания массивного поля со спином я требуется набор безмассовых полей со спинами я, я - 1,..., О(^), при этом свободный лагранжиан полностью фиксируется требованием сохранения инвариантности относительно калибровочных преобразований всех полей со спинами « > 1, а фиксируя калибровку можно воспроизвести формализм (36, 37]. Важным достоинством такого формализма оказывается то, что без введения каких-либо добавочных нолей такое описание одинаково хорошо работает не только в плоском пространстве Минковского, но и в пространствах (аити) де Ситтера, что позволяет исследовать специфические особенности полей в таких пространствах. Во второй главе рассматривается расширение реперной формулировки бозонных и фермиоиных нолей с высшими спинами на массивный случай. Как и в метрическом формализме мы следуем минималистскому подход}', вводя только минимально необходимое для калнбровочно инвариантного описания число дополнительных полей. Замечательно, что такой подход хорошо работает не только для полностью симметричных (спин-)тензоров, но и для (спин-)тензоров со смешанной симметрией.
В третей главе дается явная реализация массивных супермультиплетов. Хотя реализация безмассовых супермультиплетов была известны довольно давно [54, 55, 56, 57|, попытки построить такую реализацию для массивных супермультиплетов столкнулись с серьезными техническими трудностями. И здесь калнбровочно инвариантное описание массивных частиц показало свою эффективность. Мы подробно рассматриваем массивные супермульгиплеты со спинами 3/2 и 2 (в том числе и с расширенными супер-симметриями), которые имеют непосредственное отношение к проблеме спонтанного нарушения симметрии в супергравитации, а также N = 1 супермульгиплеты с произвольными спинами. Но всех случаях оказалось, что все массивные су пер мул ьтш глеты могут быть легко построены из подходящего набора безмассовых. Это важно еще и потому, что позволяет при исследовании взаимодействий эффективно использовать всю имеющуюся информацию но взаимодействиям безмассовых супермультиплетов.
Четвертая глава носит в основном иллюстративный характер. В ней с точки зрения конструктивного подхода (имея ввиду дальнейшие обобщения на высшие спины) рассматриваются хорошо известные примеры теорий с. массивными векторными полями, основанные на нелинейных реализациях, механизме Хиггса, а также связанные с бесконечномерными алгебрами (которые появляются, например, при размерной редукции). Тем не мснсе даже в такой хорошо изученной области удалось получить и некоторые новые результаты, которые сыграли важную роль при исследовании спонтанного пару-
12
шения суперсимме'грии в пятой главе.
В пятой главе исследуется механизм спонтанного нарушения суперсимметрии в расширенных супергравитациях, допускающий нарушение с двумя или более существенно различными масштабами, включая и т.н. частичный супер-Хиггс эффект, когда одна или более суперсимметрий остается ненарушенной, а соответствующие им гравнтино — безмассовыми. Это сводится к исследовании» взаимодействия ненарушенной с.упергра-витации и массивных супермультиплетов со спином 3/2, построенных в третьей главе. Во всех трех случаях (/У = 2, N = 3 и /V — 4 сунергравитация) удалось найти механизм спонтанного нарушения суперсимметрии с автоматически (без тонкой подстройки) равным нулю космологическим членом, допускающий все виды частичного супер-Хиггс эффекта N = 2 —* Ы = 1, N — 3 —+ N = 2, N = 3 —» Лг = 1 и т.д.
В шестой главе приводятся результаты использования конструктивного подхода к исследованию возможных взаимодействий массивной частицы со спином 2. При этом такую частицу можно понимать и как гравитон, обладающий ненулевой массой, так и как независимую от гравитона массивную частицу, которая может быть и заряженной. Поэтому в этой главе рассмотрено не только самодействие такой частицы и ее взаимодействие с нолями материи (г.е. частицами со спинами 1, 1/2 и 0), по и гравитационное и электромагнитное взаимодействия.
13
Глава 1
Метрический формализм
Как хорошо известно, в метрическом формализме гравитации основным объектом является метрика д,11/у а в полевом подходе эго соответствует симметричному тензору второго ранга Ь111/у который описывает частицу со спином 2 [58). Обобщение такого формализма на случай полей с произвольным (полу)целым спином было построено сначала для массивных полей [36, 37|, а затем для безмассовых [38, 39|. При этом описание безмассовых нолей оказалось довольно простым и удобным: основной объект — полностью симметричный (спии-)тензор Ф(/дь„м,) (дважды бесследовый для целых СПИНОВ й > 4 или трижды 7 поперечный для иолуцелых), а свободный безмассовый лагранжиан полностью определяется требованием калибровочной инвариантности относительно преобразований:
где параметр является (спин-)тензором ранга я —1 (бесследовым или 7 поперечным для целых и иолуцелых снинов, соответственно). Описание же массивных нолей потребовало введения целого набора вспомогательных полей так, что даже построение свободного лагранжиана оказалось нетривиальной задачей.
В этой главе мы рассмотрим калибровочно инвариантное описание массивных полей с высшими спинами в метрическом формализме [176, 162, 180, 30| (см. также [182, 32, 33, 34]). Как мы увидим, для описания массивного поля со спином 6' (з 4- 1) требуется иабор безмассовых полей со спинами 5,5 — 1,...,0(^), при этом свободный лагранжиан полностью фиксируется требованием сохранения инвариантности относительно калибровочных преобразований всех полей со спинами 5 > 1, а фиксируя калибровку можно воспроизвести формализм (36, 37|. Важным достоинством такого формализма оказыш1ется то, что без введения каких-либо добавочных полей такое описание одимаково хорошо работает не только в плоском пространстве Минковского, но и в пространствах (апти) де Ситтера, что позволяет исследовать специфические особенности полей в таких пространствах.
Глава построена следующим образом. Мы начнем с конкретного (физически важного) примера массивной частицы со спином 2, который демонстрирует все основные особенности калибровочно инвариантного описания. Затем мы обобщим эти результаты на случай массивных частиц с произвольным целым спином. Точно также, для иолуцелых снинов мы начнем с конкретного примера — массивной частицы со спином а затем приведем обобщение на случай частиц с произвольным полуцелым спином. Огмегим
14
здесь, что калибровочно инвариантное описание для массивных нолей с произвольным нолуцелым спином впервые было получено в [30]. Мы приведем здесь такое описание в нашем формализме, поскольку, во-первых, это позволит нам сравнить эти результаты с результатами реперного подхода второй главы, а, во-вторых, эти формулы понадобятся нам в третьей главе при построении массивных супермультиплетов с произвольными спинами.
Кроме того, в этой главе мы приведем два конкретных примера того, что такое калибровочно инвариантное описание работает и для тензоров со смешанной симметрией. Из-за сложных свойств симметрии и структуры калибровочных преобразований таких полей, даже работа ео свободной теорией оказывается довольно сложной. Гораздо более удобным, как мы увидим во второй главе, является использование реперного формализма.
1.1 Симметричные (спин)-тензоры
В этом разделе мы рассмотрим калибровочно инвариантное описание массивных полей с целыми и полуцелыми спинами, описываемых симметричными (сиин)-тепзорамп. Как будет видно, калибровочно инвариантный подход позволяет единообразно описать такие частицы как в плоском пространстве Минковского, так и в пространствах постоянной кривизны (/Ш^. Напомним, что (А)(Ц>4 — пространство постоянной кривизны без кручения и неметричности. Обозначим ковариаитную производную , а метрику как д^и, (подчеркнем, что — просто фиксированная фоновая метрика, а не динамический объект). Основные формулы, которые нам понадобятся для вычислений, это:
ВцОар = 0» = К-цГ'пРУр = 'а)и/3> к = ^ 1)(Й — 2)
где Л — космологический член. Мы начнем с двух конкретных (физически важных) примеров — массивных частиц со спинами 2 и 5/2, а затем рассмотрим случаи произвольного (полу)целого спина. •
1.1.1 Спин 2
Мы начнем рассмотрение в плоском четырехмерном пространстве Минковского, а затем рассмотрим общий случай (Л)113(1 пространства произвольной размерности. Хорошо известно, что самый простой способ описать частицу со спином 2 — использовать симметричный тензор второго ранга Л/и/ = Для того, чтобы такое иоле описывало безмассовую частицу со спином 2 (т.е. спиралыюстями ±2), лагранжиан должен 6е>тть инвариантен относительно калибровочных преобразований с векторным параметром £;1 (10 - 2 • 4 = 2). Существует однопараметрическое семейство лагранжианов:
Со = - (8КПЩ* + ттй{д11Гд^ -
инвариантных относительно калибровочных преобразований вида:
6к^ = + ад^{д£), а ф
15
Здесь (сМ.)я = h — /г/4" и т.д. Эти лагранжианы связаны между собой заменой
переменных вида:
и поэтому физически совершенно эквивалентны. Мы будем использовать общепринятый вариант с а — 0, соответствующий простому виду калибровочных преобразований 6hta, - и лагранжиану:
С0 = \ePhrdah„„ - (dh.y(dh),t + (dhfduh - ^hd^h (1.2)
В дальнейшем, даже если эго специально не ог оворено, мы всегда будем выбирать вариант лагранжиана, соответствующий наиболее? простому виду калибровочных преобразовании. В то же время, для того, чтобы поле Ь.Ц1, описывало массивную частицу со спином 2. из лагранжевых уравнений должны следовать связи:
&hm = о, Vі *0
Этим требованием структура массовых членов определена совершенно однозначно (58|:
Ст = - h2) (1.3)
Безмассовая теория инвариантна относительно калибровочных преобразований с векторным параметром £/м поэтому, на первый взгляд» для того, чтобы построить калиброночно инвариантное описание массивного поля, достаточно ввести векторное голдсто-уновское поле AfL. Действительно, с помощью такого поля можно построить лагранжиан:
с = - (dh)“(dh)^ + (дііУ‘дИн - \&Чід„и --а^ +
+гп-Л[іґ''д»А„ - h{dA)\ - ~\hliuhllv - ft2] где Аии — dflAr — дгЛц, инвариантный агносительно калибровочных преобразований:
Shfjі/ д,Ло "т ди^ііу 5AfI —
Такая теория действительно имеет правильное число степеней свободы, но, как показывает канонический анализ, это достигается за счет комбинации связей первого и второго рода. Поэтому при попытках включения взаимодействия мы столкнемся с обычными трудностями, в первую очередь, с появлением шестой ’’духовой” степени свободы [59|. Корень проблемы в том, что голдстоуиопское поле Aft одновременно само является калибровочным с калибровочными преобразованиями 8Ац = дмА, которые наш лагранжиан нарушает. Для того, чтобы восстановить эту инвариантность, мы должны ввести еще одно голдстоуиовское ноле, на этот раз скалярное ip. Эго приводит пас к лагранжиану
с = hrhroji^ - (dft)“(dft),, + (aft)"<9,.ft - \&4idlth -\а^2 + \ьич>д№ +
Лш L* £
+mV2\lL,t,,dllAu - h(dA)\ - т\ҐЗА>1д„ср -
—-7j~\b*a'Kv - /,21 “ 11,2 \j^>*¥> + ™2(Р2 (1-4)
16
инвариантному относительно двух калибровочных преобразований:
6Ац = д^\ + тч/2^, д(р ~ ?п\/3,\ (1.5)
Отметим основные особенности данного лагранжиана (общие для калибровочно инвариантного описания всех высших спинов):
• Несмотря на то, что в лагранжиане присутствуют три поля — тензорное, векторное и скалярное - этот лагранжиан, как показывает канонический анализ, описывав! одну массивную частицу со спином 2 с пятью физическими степенями свободы. 'Го же показывает и простой подсчет числа степеней свободы: 10 +4-Ы —2(4+ 1) = 5. Конечно, описание одной частицы с помощью трех (а для высших спинов и более) нолей может показаться неэкономным, однако наличие калибровочной инвариантности позволяет, как мы увидим далее, конструктивно исследовать возможные взаимодействия массивных полей.
• Лагранжиан обладает “правильным” безмассовым пределом, в том смысле что в без массовом пределе он распадается па сумму безмассовых лагранжианов, соответствующих частицам со спирапьностями ±2, ±1 и 0, соответственно. Поэтому лагранжиан массивной теории можно рассматривать как деформацию безмассо-вой, соответствующую ситуации когда масса калибровочного ноля появляется в результате спонтанного нарушения калибровочной симметрии.
• Также, как и в безмассовом случае, и тензорное и векторное поле обладают “соб ствениой” калибровочной инвариантностью, что и гарантирует непротиворечивость безмассового предела.
Перейдем теперь в пространство (А)(18.\ с ненулевым (положительным или отрицательным) космологическим членом. Основное изменение состоит в замене обычных производных на ковариантные д1Ь —* Оц. То, что ковариантные производные не коммутирую!’, приводит к тому, что даже для безмассового поля в (Л)сДО.( калибровочная инвариантность требует введения в лагранжиан квадратичных по полю членов без производных (по структуре похожих на массовые члены, что иногда ошибочно интерпретируется как появление массы у калибровочного поля). Поэтому удобно организовать вычисления просто по числу производных в вариациях. Начнем с суммы кинетических членов для наших трех полей, в которых обычные производные заменены на ковари-антные:
Со = - (Ш)"(/)/>)„ + (0/1)"О,../» - \irhDJi -
-1оМ''ОрЛ„ + 1-(1)А)(ОЛ) +
Отметим, прежде всего, что при переходе к пространству (/1)^6Т появляется некоторая неоднозначность в выборе структуры кинетических членов, связанная с тем, что кова-риантныо производные не коммутируют. Действительно, в плоском пространстве следующие члены полностью эквивалентны (т.е. отличаются па полную 4-дивергенцию):
д'Ч1”ад„11„а ^ {дк)°(с(УА1‘диЛ» ~ (дЛ)(дЛ)
17
\
однако в пространство (Л)г/5 они отличаются:
= (ОП)а{Ок)а - к(- /г), О'1 А" Д,Л/д = (ОЛ)(ОЛ) - Зк/1Д2
поэтому структура массовых членов зависит от того, какой вариант кинетических членов выбран.
Из-за той же некоммутативности ковариаптпых производных сумма кинетических членов уже не инвариантна относительно калибровочных преобразований 60Ни1/ — П,£„+ А/£/о ЬАц = ДіА:
60Со = -#в(4(ОЛ)м 4- 2/у*]£'‘ + Зк(ОД)А
и эту неипвариантиость (содержащую только вариации с одной производной) мы должны будем учесы» в последующих вычислениях. Добавим теперь к лагранжиану перекрестные члены с одной производной:
Сі = а2Л^{Ок)ц 4- 62Л.(ОЛ) - ацр(ОА)
а к калибровочным преобразованиям не содержащие производных члены:
“ Р’іОц і'А, б і Лд = ОГі^д, ^1^ “ *-*()А
Для того, чтобы все вариации с двумя производными сократились, необходимо положить:
I я
а2 = Ь2 = -аі, пі = -а0, /?2 = у
при этом остаются некомпенсированные вариации без производных:
+ б\Со = ЗксеіА,1£ц
которые мы учтем в дальнейшем. Добавим теперь к лагранжиану члены без производных:
С? = 4- е2Н2 4- /21кр - (1ЛА2 4- (1.0<р2
(Странный, на первый взгляд, выбор обозначений для коэффициентов станет понятен при переходе к произвольному спину.) Для того, чтобы все вариации с одной производной, включая остаток от вариации кинетических членов, сократились, необходимо
положить:
2(11 = -ОТ!2 - а02 - 3 к, (І2 - -^«12 - 2е2 = -а2 - к, 2/2 = -отого
Наконец, условие сокращения вариаций без производных определяет последний оставшийся неопределенным коэффициент в лагранжиане и дает важное соотношение между параметрами Оі и ао:
4> = о02 = 5а12 - 6к
В пространстве (Л)гіб’ роль группы Пуанкаре играет группа (Анти) де Ситтера (0(1,4) или 0(2,3) в зависимости от знака космологического члена). Поскольку оператор Рц2 уже не является оператором Казимира для этих групп, трудно дать строгое определение того, что такое масса частицы в таком пространстве. Действительно, в литературе
18
встречаются разные, иногда противоречащие Друг другу, определения. На наш взгляд, калибровочно инвариантное описание массивных полей позволяет предложить корректное определение понятия безмассовый предел — это предел, в котором все голдстоунов-ские поля отщепляются от главного калибровочного ноля. В рассматриваемом сейчас случае это означает, что безмассовому пределу соответствует предел а у —► 0. Что касается конкретной нормировки массы, то удобно использовать соглашение, но которому массой считается параметр, совпадающий с массой в плоском случае к —► 0. В данном случае такое соглашение дает а\ — ту/2. При этом полный лагранжиан, дающий калибровочно инвариантное описание массивной частицы со спином 2 в пространстве (А)(18.1 имеет вид:
£ = - (ЯЛУЧЯЛ),, + -
£ &
+ ^(ПА)(ОА) + +
+т^2\Ыи'011А^ - 1,(ОА)\+а0<р(ОЛ) -туь ’ “ 2/с. .. 7П — /с о та,, 3/с . *> о •> , .
2 V + —2— “ "72^ “ —+ т ^ (Ь6)
а калибровочные преобразования, оставляющие его инвариантным:
бЬщ, = 4- <5Л/Х = 3- тпу/2£,п = а0\ (1.7)
Соотношение на параметр «о — \/3(тп- — 2/с) приводит к важным последствиям в пространстве де Ситтера (к = А/3 > 0 в принятой нами нормировке). Во-первых, решение существует только при 771“ > у. Может показаться, что это дефект калибровочно инвариантного описания, но хорошо известно, что в “запрещенной” области пг~ < у теория перестает быть унитарной, а скалярная компонента становится духом |60, 611. Волее того, в принципе, нетрудно построить калибровочно инвариантное описание и такой теории — достаточно сменить знак кинетического члена скалярного поля <р.
Во-вторых, в предельном случае т2 = у скалярное поле полностью отщепляется, а два оставшихся поля Н{и/ и Аи описывают частицу с четырьмя степенями свободы, соответствующими спиралыюстям (±2, ±1). В сложившейся терминологии такие частицы, которые могут существовать только в пространстве де Ситтера, приняго называть частично безмасеовьтми [62, 63, 64, 65, 66, 491 (хотя с тем же успехом их можно было бы называть частично массивными). Лагранжиан такой теории имеет вид:
М2. о ЗА/2
2
С = С0{к11и) + £о(Л„) - 2МА»(ОН)1Л - 2Мк{ПА) - 2М2Г/^ + —к2 + ^V
где А/2 = |и инвариантен относительно следующих калибровочных преобразований:
Ьк^ = + /Л€„ + = 1),£ -1- 2А/§ц
Действительно, в такой теории всего 10-1-4 = 14 степеней свободы, а 4 4- 1 = 5 калибровочных преобразований оставляют 14 — 2 • 5 = 4 из них. В-принципе, можно
19
воспользоваться калибровочным преобразование и перейти в калибровку Аи — 0. В такой калибровке теория будет иметь остаточную калибровочную инвариантность, в виде комбинации Л преобразований и восстанавливающих калибровку Ац = 0 калибровочных преобразований с £;1 — ~*Гд7
Как мы видели ранее, в плоском пространстве Мппковского массивная частица со спином 2 в безмассовом пределе распадается на безмассовые частицы со спинами 2, I и 0. В безмассовом пределе в пространстве с ненулевым космологическим членом, который можно рассматривать только в пространстве А(1Б с А < 0, массивная частица со спином 2 распадается на безмассовую со спином 2 и массивную со спином 1, причем для последней мы получаем калибровочно инвариантное описание с лагранжианом:
С = Со (Л„) + Со(<р) + Мр(Ш) + V М2 = —2Д п калибровочными преобразованиями:
<5/1,, = 1)^ 6р = А/£
1.1.2 Произвольный целый спин
Обобщим теперь результаты предыдущего подраздела на случай частицы с произвольным целым спином. Поскольку структура массовых членов явно зависит от космологического члена н размерности пространства, мы рассмотрим наиболее общий случай — массивной частицы в пространстве (А)с26>* произвольной размерности в. > 4. Наиболее простой способ описать безмассовую частицу со спином а — использовать симметричный дважды бесследовый тензор ранга 5 [38|. Чтобы упростить выражения, в этом разделе мы будем использовать компактные обозначения для тензорных объектов, в которых индекс объекта показывает число (симметричных) лоренцевекнх индексов, а не сами индексы. Например, само тензорное ноле будет обозначаться Фл, его свертка с производной (дФ)*_1, его след Ф5-2, условие дважды бесследовости как = 0 и т.д. Как мы увидим, при работе со свободными лагранжианами, квадратичными но полям, эго не приводит ни к каким неоднозначностям. В этих обозначения лагранжиан безмассовой частицы может быть записан как (38):
с„ = (~1)д[^а,‘Ф°ау,Фд - ~ 1)&,Ф-2д11Ф,-х +
2 2 4
+а^.~ 1)(ЭФ)-,-1г>(,Фа-2) - (1.8)
с* О
В плоском пространстве этот лагранжиан инвариантен относительно калибровочных преобразований (напомним, что круглые скобки означают симметризацию по индексам):
&Фв*=3(1&-|), = 0 (1.9)
20
где параметр калибровочного преобразования £я_1 — полностью симметричный бессло-довый тензор ранга 5-1.
Перейдем теперь к массивному случаю. Прежде всего необходимо определить набор безмассовых полей, необходимый для того, чтобы построить калибровочно инвариантное описание массивной частицы с правильным числом физических степеней свободы (и правильным безмассовым пределом). Наше основное иоле Ф5 имеет калибровочные преобразования с параметром &._! поэтому мы должны ввести соответствующее гол-дстоуновское поле Ф„_1. Оно в свою очередь само является калибровочным с параметром 4.4-2^ ЧТО приводит К НеобхОДИМОСТИ ввести вторичное ГОЛДСГОуновское ноле Фл_2 и т.д. Легко видеть, что такая процедура приводит нас к набору нолей Ф*, 0 < к < я.
Поэтому МЫ начнем с суммы кинетических членов ДЛЯ всех ЭТИХ полей Ф/с, 0 < к < 5, где Фа.* — по;шостыо симметричный (дважды бесследовый для к > 4) тензор ранга к:
■Со = - к(к7 1)Д|‘Ф^~г£>,.Ф*~г
к=о 2 2 4
+к('к71\вФ)к-1В(1<ъК-2) - к(-к ~ ~ ^(вф^-Цоф)1-3} (1.Ю)
2 о
а также начальных калибровочных преобразований:
1 < к < 8 (1.11)
где теперь все производные заменены на ковариантные. Общая структура калибровочно инвариантного лагранжиана для массивной частицы содержит, помимо кинетических членов всех полей, перекрестные члены с одной производной, смешивающие поля с разными спинами, а также массовые члены без производных. Важным, в том числе и для существования калибровочно инвариантного описания частично безмассовых частиц, оказывается то, что необходимо вводить такие перекрестные члены только для ближайших соседей”, т.с. главное ноле с первичным голдстоуновским, первичное со вторичным и т.д. Соответственно, добавим теперь к лагранжиану наиболее общие дополнительные члены с одной производной:
А = О-О* [а*Ф<'-1(0Ф)*~1 + **Ф*-2(£>Ф)*-2 + с*(ОФ)*-3Ф*-3] (1.12)
к
а также члены без производных:
С2 = £(-1)* [<Ь(Ф*)2 + е*(Ф*-2)2 + ДФ*-2Ф*-21 (1.13)
к
и потребуем, ч тобы полный лагранжиан 61,1л инвариантен относительно калибровочных преобразований с поправками вида:
йФ* = ак& + Рк9(2^к-2) (1.14)
где второй член отсутствует при к < 2. а первый при к = $. Мы не будем приводить
здесь эти довольно длинные (но большей части комбинаторные) вычисления. Отметим только, что как и в рассмотренном ранее случае, вычисления удобно организовать по
21
числу произиодних в вариациях, т.е. вариации с тремя производными <5оАь с двумя боСг + <’ одной 60С2 + <^£1 и без производных 6\С2- При этом из-за некоммугатив-
пости производных при вычислении вариаций стремя и двумя производными остаются иескомпенсированные члены с одной производной и без производных, соответственно, которые нужно учитывать в последующих вычислениях. В результате, требование инвариантности лагранжиана позволяет выразить псе параметры лагранжиана, а также параметры 0к через ак:
ак — —как-1 Ьк = -к(к - 1)о*_1 ск = - -ад—1
2‘1к " ^ (2к+ 4 - 4)~ 3)а^ ~ + *|(* ~ 1)(А ~ 4) + (к ~ 2)(<* ~ 1)]’ *-1
(I _ 2 2а*_1
* ,;-2а1 А (А- - 1)(2к + Л - 6)
к(к-- 1)(2к + Л) к*(к-1) 2 к{к-1).,., ,, , „ ,,,,
2е* = ~ 4(2А I с1 — 4) + 2 *-1 ~ К~^2 I ( -3)'+ <* - ЧУ - Ч]
2 А- = —Л:(Л: —
а также дает рекуррентное соотношение на параметры а*: п 1 л ’ (* + УС2* + </ “ 2) 2 , 2^(2А; -Ы-5)
- =-------(2А-Ы Л) + (2*4-7-6)'ак~Г ~ М2к + а~5)’ к^2
Отметим, что в данном случае безмассовому пределу (т.е. пределу, в котором все Гол-дстоуновские ПОЛЯ отщепляются ОТ главного поля) соответствует предел а5-1 —» 0. Наше соглашение о нормировке массы дает при этом а.ч_12 = тп2/б. Тогда, решая рекуррентное соотношение, получаем:
= ^к + Ч'рк + Л-У [т2 -«(«-*-!)(» + * + <*- 4)1, 0<к<а-2
Последнее соотношение, помимо того, что оно определяет все остальные параметры, показывает, что и в этом случае в пространстве де Ситтера существует ’’запрещенная” область т2 < /с(б*— 1)(з+с1 —4), а также дает все критические значения массы, которые в пространстве де Ситтера соответствуют частично безмассовьтм теориям [07. 66|:
т*2 = -*-чу+к+4 ~ 4>
Действительно, рассмотрим полный лагранжиан с учетом связей между параметрами:
£ = £(-1)* - ^(£>Ф)*’-'(РФ)*~1 - — 1 -£>д+
+к(к.~1)(ВФ)1‘-1В(1<Ь--2> - _
~как-1
%Л-1/г»аЛ*\ . 1 г>Лхк-1\ . (к ~~ 1)(^ ” 2) , гл\к\
фЬ-'(ОфХ) + (А; _ ^ф^ф*“1) + *--------------^---------*■(!)Ф*)Ф*'
-|- г/,(ФА)2 + е*(Ф*)2 - —— — Од:-1 <*к-2Ф*Ф*'~21 (1.15)
22