2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение............................................................... 5
1. Иптегро-диффсренциальные уравнения электродинамики и начально-краевая задача (обзор). Физическая постановка задачи диссертационной работы.................................................... 9
1.1 Интегро-дифференциальные уравнения задач дифракции, электростатики и магнитостатики.................................................. 9
1.1.1 Вывод интегро-дифференциальных уравнений. Предельные условия. Проблема существования и единственности решения прямой и обратной задачи электродинамики.......................................... 9
1.1.2 Точные решения интегро-дифференциальных уравнений электродинамики................................................................ 29
1.1.3 Применение теории возмущений для приближенного решения интегро-дифференциальных уравнений элекгродинамики...................... 31
1.1.3.1 Длинноволновое приближение.................................... 31
1.1.3.2 Искусственные диэлектрики..................................... 32
1.1.3.3 Металлические антенны......................................... 32
1.2 Начально-краевые задачи электродинамики........................... 33
1.2.1 Начально-краевые задачи электродинамики для однородных сред.................................................................. 33
1.2.2 Начально-краевая задача электродинамики для неоднородного тела, расположенного во внешней однородной, изотропной и непроводящей
среде................................................................. 40
1.3 Физическая постановка задачи диссертационной работы............... 49
2. Существование решения начально-краевой задачи электродинамики для неоднородной недиспергирующей среды со свойствами
нормального металла................................................... 53
2.1 Существование решения начально-краевой задачи..................... 53
3
2.1.1 Исходные предположения. Формальная постановка задачи..................................................................... 53
2.1.2 Интегральные операторы задачи. Интегро-дифференциальнос уравнение задачи. Существование решения интегро-дифференциального уравнения задачи....................................................... 56
2.1.3 Интегро-дифференциальные уравнения для производных изображения электрического поля по пространственным координатам................ 64
2.1.4 Неравенства для изображений электрического и магнитного полей.
Существование решения начально-краевой задачи.......................... 68
2.2 Задачи с цилиндрической симметрией: общие закономерности и конкретный пример......................................................... 83
2.2.1 Отличительные особенности задач с цилиндрической симметрией..................................................................... 83
2.2.2 Реакция однородного, изотропного, немагнитного и проводящего шара, располагающегося в однородной, изотропной и непроводящей среде, на сторонний ток в бесконечно тонком проводнике.................... 88
2.3 Результаты и выводы главы.......................................... 99
3. Теория возмущений для нестационарного электромагнитного ноля, взаимодействующего с неоднородной недиспергирующей средой, обладающей свойствами нормального металла............................. 101
3.1 Сходимость рядов теории возмущений................................ 101
3.1.1 Исходные предположения. Формальная постановка задачи............ 101
3.1.2 Интегро-дифференциальные уравнения для слагаемых рядов теории возмущений............................................................ 103
3.1.3 Неравенства для слагаемых рядов теории возмущений и равномерная сходимость рядов.................................................. 107
3.2 Пример применения теории возмущений: реакция однородного, изотропный, немагнитного и проводящего шара, располагающегося в однородной, изотропной и непроводящей среде, на сторонний ток в бесконечно тонком проводнике................................................ 120
4
3.3 Результаты и выводы главы......................................... 126
Заключение............................................................ 127
Список литературы..................................................... 129
5
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы. В широком классе теоретических исследований волновых процессов рассматривались либо статические поля и стационарные гармонические колебания в неоднородных средах [1-26], либо нестационарные поля в однородных средах [27-37], в том числе в сложных волноведущих системах. Однако, в условиях физического эксперимента и в прикладных задачах (особенно в задачах неразрушающего контроля) немалое значение имеют нестационарные волновые процессы в неоднородных средах. В частности, для дефектоскопии представляет немалый интерес распространение нестационарного слабопеременного электромагнитного поля в неоднородной проводящей среде со свойствами нормального металла (медленное изменение поля во времени и в пространстве типично для неразрушающего контроля и позволяет пренебречь квантовыми эффектами, а также временной и пространственной дисперсиями).
Описание нестационарных волновых процессов классической элекгроди-намики осуществляется через начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла. Даже при упрощающем предположении об отсутствии дисперсии, не представляется возможным получить аналитически точное решение начально-краевой задачи электродинамики для неоднородной среды. Поэтому необходимо разрабатывать и обосновывать методы приближенного вычисления нестационарного электромагнитного поля, в частности, метод возмущений применительно к решению начально-краевой задачи для уравнений Максвелла.
В работах [38] и [39] в рамках классической электродинамики были получены и в некоторых аспектах рассмотрены интегро-дифференциальные уравнения для нестационарного электромагнитного поля в неоднородной среде без временной и пространственной дисперсий. Однако, указанные уравнения были сформулированы не для напряженностей электрического и магнитного поля, а для их изображений по Лапласу. Вопрос о возможности применить к решению интегро-дифференциальных уравнений обратное преобразование Лапласа не
рассматривался. Также не рассматривался вопрос о возможности приближенного вычисления электромагнитного поля по теории возмущений. Ясно, что развитие исследований [37,38] весьма актуально как в научном плане, так и для прикладных задач.
Цель работы - разработать и обосновать теорию возмущений для нестационарного слабопеременного электромагнитного поля, взаимодействующего с нормальным металлом, имеющим макроскопические неоднородности. Для достижения этой цели потребовалось решить следующие задачи:
1) доказать при физически реальных и как можно более общих предположениях существование решения задачи о взаимодействии нестационарного электромагнитного поля с неоднородной недиспергирующей средой, обладающей свойствами нормального металла.
2) вывести интегро-дифференциальные уравнения, определяющие при малом возмущении электропроводности слагаемые рядов теории возмущений для напряженностей электрического и магнитного поля;
3) доказать сходимость рядов теории возмущений;
4) проиллюстрировать разработанную теорию возмущений на конкретном примере.
Научная новизна.
1) Доказано, что при условии непрерывного включения стороннего тока существует решение начально-краевой задачи электродинамики для недиспергирующей и, в общем случае, неоднородной среды со свойствами нормального металла.
2) Получены для исследованной начально-краевой задачи интегро-дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют слагаемые рядов теории возмущений при малом изменении электропроводности среды.
3) Доказана абсолютная и равномерная сходимость рядов теории возмущений для нестационарного электромагнитного поля снаружи области, занятой средой.
4) Получено точное выражение для поля реакции однородного проводяще-
7
го шара на сторонний нестационарный ток в бесконечно тонком, соосном с шаром круговом проводнике.
5) Получено в первом порядке теории возмущений приближенное выражение для вторичного поля, возникающего в результате отклика однородного проводящего шара на первичное нестационарное стороннее поле, создаваемое круговым проводником.
6) Проведено сравнение точного выражения для поля реакции шара и приближенного выражения, полученного в первом порядке теории возмущений.
Защищаемые положения.
1) Доказательство существования решения задачи электродинамики для отклика недиспергирующей и, в общем случае, неоднородной среды со свойствами нормального металла на стороннее нестационарного поле при условии непрерывного включения стороннего тока.
2) Обоснование теории возмущений для приближенного решения исследованной задачи электродинамики при малом изменении электропроводности среды.
3) Результаты применения теории возмущений к вычислению поля реакции однородного проводящего шара на сторонний нестационарный ток в бесконечно тонком, соосном с шаром круговом проводнике.
Личный вклад автора. Автором получены неравенства, доказывающие существование решения исследованной нестационарной краевой задачи и обосновывающие сходимость рядов теории возмущений. Кроме того, автором получены точные значения коэффициентов в конкретном примере применения теории возмущений.
Научная и практическая ценность результатов. Полученные результаты обладают большой общностью и могут быть использованы для решения множества прикладных задач, описывающих воздействие нестационарного электромагнитного поля на неоднородные проводящие тела с конкретными геометрическими и физическими характеристиками.
Научная достоверность результатов. Достоверность результатов, полу-
8
ченных в работе, гарантируется использованием фундаментальных, надежно отработанных и неоднократно проверенных математических методов, а также соответствием с имеющимися в литературе результатами.
Публикации по теме работы. Основное содержание работы изложено в работах [40-52]. Работы [40, 50-52] опубликованы в ведущих рецензируемых журналах, определенных перечнем ВАК.
Апробация работы. Результаты, изложенные в работе, докладывались па следующих конференциях.
Третья Российская научно-техническая конференция «Физические свойства металлов и сплавов». Екатеринбург, 2005.
Научно-техническая конференция «Сварка в машиностроении и металлургии». Екатеринбург, 2005.
Девятая отчетная конференция молодых ученых ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. Екатеринбург, 2005.
Международная научная конференция «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании». Екатеринбург, 2006.
Четвертая Российская научно-техническая конференция «Физические свойства металлов и сплавов». Екатеринбург, 2007.
Девятнадцатая Уральская школа металловедов-термистов «Актуальные проблемы физического металловедения сталей и сплавов», посвященная 100-летию со дня рождения академика В.Д. Садовского. Екатеринбург, 2008.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы из 123 наименований. Общий объем диссертации составляет 139 страниц, включая 2 рисунка и 1 таблицу.
1 ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА (ОБЗОР).
ФИЗИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИОННОЙ
РАБОТЫ
1.1 Интегро-дифференциальные уравнения задач дифракции, электростатики и магнитостатики
1.1.1 Вывод интегро-дифференциальных уравнений. Предельные условия. Проблема существования и единственности решения прямой и
обратной задачи электродинамики
Интегро-дифференциальные уравнения, равносильные краевым задачам для дифференциальных уравнений Максвелла, применялись, преимущественно, для решения задач дифракции, электростатики и магнитостатики. Проведем краткий обзор основных результатов, полученных при исследовании интегро-дифференциальных уравнений электродинамики для установившегося гармонического режима и для стационарных полей.
Примем следующие обозначения: г— радиус-вектор произвольной точки пространства; координаты точки, равные координатам се радиус-вектора, будем обозначать как (х,у,г) или {хх,х1,хъ), Л3— множество всех точек трехмерного пространства, /— время. Будем отождествлять точку трехмерного пространства с ее радиус-вектором и упорядоченным набором ее координат. Орты координат х, у и z— еХУ еу и е2у соответственно.
Компоненту любого вектора (кроме радиус-вектора) в декартовой системе координат будем обозначать индексом, указывающим номер компоненты или соответствующую координату. Например, компоненты вектора а— (<7, или [ах,ау,аг).
Примем также обозначения для цилиндрических и сферических координат,
10
соответствующих выбранной декартовой системе координат: р— полярный радиус, ф— полярный угол, г— длина радиус-вектора, 0— азимутальный угол. Орты указанных координат— е=, ег и ^соответственно.
Компоненты любого вектора (кроме радиус-вектора) в криволинейной системе координат будем обозначать индексами, указывающими соответствующие координаты.
Электрическое поле характеризуется напряженностью (£ и индукцией Ф, магнитное поле определяется напряженностью Я и индукцией (В. Свободные электрические заряды характеризуется плотностью ре, и плотностью тока Зе. В некоторых задачах электродинамики движение свободных зарядов (или некоторой части свободных зарядов) считается заданным, известным и не зависящим от электромагнитного поля. Такие заряды принято называть сторонними зарядами. Плотность сторонних зарядов и плотность стороннего тока 3 считаются известными величинами задачи. В задачах электродинамики, касающихся проводящих сред, также рассматриваются заряды, движение которых определяется электромагнитным полем. Плотность потока этих зарядов (плотность тока проводимости) функционально связана с напряженностью электрического поля.
Величины, характеризующие электромагнитное поле, распределение и движение зарядов являются функциями переменных г и /.
В данной работе принимается система единиц СИ, поэтому и все величины, рассматриваемые в обозреваемых статьях, будем представлять в указанной системе единиц.
В задачах дифракции предполагается, что напряженности (Е и Я, индукции Фи (В, плотность заряда ре и плотность тока Зе совершают 1-армониче-ские колебания с частотой со:
11
5Е(г,^) = Ке[{£(г)ехр(/и#)] #*(/•,/) = Ке[й*(г)ехр(/иу)] ©(г,*) = Яе[ф(г)ехр(/ОУ)] <3(г,/) = Ке[ф(г)ехр(йл*)] ЗЛГ’() = ^е[5е (г)ехр(гсог)] ре(г,г) = Яе[ре(г)ехр(йа)]
где знак «~» обозначает комплексную амплитуду.
Зависимость от времени (1.1) была принята в многочисленных статьях, монографиях и учебных пособиях, в которых исследовались задачи дифракции [1-5, 12-17, 21-26, 53]. Однако, в литературе нередко встречается формально другой, но фактически эквивалентный характер зависимости физических величин от времени, который получается из (1.1) заменой Ы на (-00) [8, 10, 11, 54, 55]. Далее, в данном обзоре, для полей, меняющихся по гармоническому закону, примем зависимость от времени (1.1). То есть, все формулы и все выводы обозреваемых статей, касающиеся задач дифракции, будем представлять в виде, соответствующем зависимости от времени (1.1).
Интегро-дифференциапьные уравнения для комплексных амплитуд электромагнитного поля, меняющегося по гармоническому закону, первоначально были получены в основополагающей работе [1].
В указанной работе рассматривается некоторое тело, занимающее в пространстве 9?3 область V. Граница области V предполагается кусочно-гладкой. Далее буквой V будет обозначаться область с кусочно-гладкой границей и указанное свойство области не будет специально оговариваться.
Тело, занимающее область V, характеризуется диэлектрической проницаемостью £ и магнитной проницаемостью Р. Проницаемости £ и р не зависят от времени и представляют собой непрерывные тензорные функции пространственных координат. Тензоры £ и р симметричны и имеют положительные собственные значения. Далее в обзоре символами £ и р будут обозначать-
- Київ+380960830922