Новые точные решения в матричных и статистических моделях

з
з
6
8
9
9
10
10
18
19
23
23
25
25
26
28
29
33
33
34
38
40
40
41
42
44
46
46
Содержание
1 Введение
1.1 Общая характеристика................................................
1.2 Цель диссертационной работы.........................................
1.3 Результаты и положения, выносимые на защиту.........................
1.4 Научная новизна и практическая ценность.............................
1.5 Апробация диссертации...............................................
1.6 Публикации автора по теме диссертации ..............................
1.7 Структура и содержание диссертации..................................
1.8 Благодарности.......................................................
2 Точные корреляционные функции в Эрмитовой модели
2.1 Эрмитова матричная модель...........................................
2.1.1 Общие свойства эрмитовой модели..............................
2.1.2 Условия Вирасоро.............................................
2.1.3 Интегрируемость..............................................
2.1.4 1-точечные корреляторы.......................................
2.1.5 2-точечные корреляторы.......................................
2.2 Корреляционные функции..............................................
2.3 Корреляционные функции типа Харсра-Цагира...........................
2.3.1 1-точечная функция...........................................
2.3.2 2-точечная функция...........................................
2.3.3 3-точечная функция...........................................
2.4 Экспоненциальные корреляционные функции.............................
2.4.1 Рекурсивные соотношения......................................
2.4.2 Детерминантная формула.......................................
2.4.3 Ортогональные полиномы.......................................
2.4.4 Локальная мера...............................................
2.4.5 1,2,3-точечные функции при фиксированном N...................
2.4.6 Универсальные 1,2,3-точечные функции.........................
і*
2.5 Стандартные корреляционные функции...................................... 50
2.5.1 Разложение но роду............................................... 50
2.5.2 1-точечная функция............................................... 51
2.5.3 2-точечная функция............................................. 54
3 Средняя энергия 2мерного Дайсоновского газа 58
3.1 Двумерный Дайсоновский газ.............................................. 58
3.2 Статсумма............................................................... 60
3.3 Средняя энергия......................................................... 60
3.4 Термодинамическое разложение средней энергии............................ 67
4 Вычисление потенциала в модели Гурвица 69
4.1 Модель Гурвица.......................................................... 69
^ 4.2 Приближенный матричный интеграл.......................................... 71
4.3 Поправки.............................................................. 73
4.4 Точный матричный интеграл............................................... 75
5 Заключение » 79
Л
2
1 Введение
1.1 Общая характеристика
Диссертация посвящена построению и изучению точных решений в статистических моделях. Рассматриваются системы (статистические ансамбли) из N частиц, которые взаимодействуют друг с другом с заданной потенциальной энергией взаимодействия Ц(хь..., Хм), где XI,... - координаты частиц. Физически интересными величинами в таких моделях
являются любые статистические средние вида
(/(*ь-••>**)) = ^ J &Х\ ■■■! (1хн /(х ь... ,хлг) е1/(л,-'*Хлг) (1)
с нормировочной постоянной
Слг = Jdxx...JdxN cv^ (2)
такие, как среднее положение частиц (х^, дисперсия ^х2^ - (х^ , средняя энергия (ü^ и т.д. Как правило, точное вычисление средних (также называемых корреляторами) является сложной задачей: для этого не существует универсальных математических методов, за исключением тех простейших случаев, когда потенциал £/(хь..., ХдО квадратичен (Гауссов). По этой причине для изучения статистических средних применяются различные приближения: например, термодинамический предел (предел больших N) или квазиклас-сическое приближение (предел малых h для U U/h).
13 некоторых случаях, используя специфические для конкретной модели методики и приемы, удается вычислить точно некоторый коррелятор или целое семейство корреляторов. Такие точные решения, естественно, позволяют получить о модели больше информации, нежели любые приближенные, и в этом состоит их ценность. Кроме этого, точные вычисления статистических интегралов вида (1) могут содержать в себе новые математические идеи и поэтому представляют интерес также с точки зрения чистой математики.
13 настоящей диссертации с использованием оригинальных методик получен ряд точных решений в нескольких статистических моделях, в основном относящихся к классу так называемых матричных моделей. В таких моделях координаты частиц интерпретируются как собственные значения некоторой матрицы, а потенциал взаимодействия следует из естественной меры интегрирования на пространстве матриц и, как правило, является попарным логарифмическим отталкиванием.
Простейшим и в то же время репрезентативным примером таких моделей является Эрмитова матричная модель, в которой основной динамической величиной является N х N Эрмитова матрица Ф, а наблюдаемые величины представляют из себя £І/(ЛГ)-инварилнтные статистические средние от следов степеней этой матрицы:
где V - произвольный потенциал. Как легко показать, при переходе от матричной переменной ф к ее собственным значениям хі,...,зд эта модель принимает вид статистической системы из N частиц на прямой с координатами Жі,...,ялг, которые помещены в общий потенциал У{х) и попарно отталкиваются друг от друга по логарифмическому закону:
Впервые модели такого тина изучались еще в работах Б.Вигнера и Ф.Дайсона, которых интересовало применение таких моделей к вычислению распределения уровней энергии атомных ядер. Впоследствии выяснилось, что матричные модели обладают целым рядом других приложений, подчас весьма далеких от исходной задачи о спектрах ядер: квантовый эффект Холла, проблемы лапласовского роста |1|, квантовая гравитация [2,3|, теория струн [4,5] интегрируемые системы [6,7) и супереимметричные теории поля [8,10,111 в физике , теория чисел и комбинаторика графов на двумерных поверхностях [12] в математике - вот лишь некоторые из этих приложений.
Ьг ф11 ... Ґ.Г ф1т е Сг (1ф
(3)
(4)
«<7
Далеко не во всех из этих приложений достаточно использования стандартных приближенных методов; часто оказывается, что необходимая детальная информация о свойствах конкретной модели не может быть получена в рамках известных приближений. Прогресс в точном (не приближенном) вычислении корреляторов в матричных и статистических моделях, таким образом, может стимулировать продвижение в целом ряде областей современной физики и математики. Это является одним из факторов, обосновывающих актуальность выбора темы диссертации и полученных в ходе исследования результатов.
Наконец, построение и изучение точных решений актуально еще и потому, что они позволяют вычислить физически интересные асимптотики, которые трудно или вообще невозможно вычислить приближенными методами. Иллюстрацией этого феномена является статистическая модель двумерного Дайеоновского газа [13-15]: система из N частиц на плоскости с координатами ($1,3/1)..., ($лг,2/лг) и потенциальной энергией
U(x 1,3/ь• ,XN, yN) = - ^2 (х2{ + у2) + ^ log [(xi - Xjf 4- (yi - yjf]. (5)
t x<j
Одной из физически интересных величин в модели является средняя кулоновская энергия:
Bn = bg [{Xi - xj)2 + (t/e - ijj)2} ^ . (6)
Используя стандартные термодинамические методы, можно получить лидирующую асимптотику при числе частиц стремящемся к бесконечности
1 л 'V2
EN~^N2\nN- — + (7)
однако последовательное вычисление 1/jV поправок к данному термодинамическому результату представляет существенные трудности. В настоящей диссертации мы строим как точное решение конечно-разностного уравнения в гипергеометрических функциях. Полученное точное решение позволяет вычислить поправки до любого порядка малости по 1/iV, подтверждая таким образом ценность данного подхода в конкретных приложениях и общую актуальность выбора темы диссертации.
1.2 Цель диссертационной работы
Целью данной диссертации является получение точных решений для корреля торов (средних) в статистических и матричных моделях. В частности,
1.2.1. Вычисление точных корреляционных функций в Эрмитовой модели в Гауссовом потенциале У{Ф) = Ф2/2, то есть, производящих функций для SU(Л^)-инвариантных корреляторов вне всевозможных приближений (т.е. при произвольном конечном N)
tr фч ... tr ф*т^ = J tr фгг ... tr ф*т ехр
NxN
Рассматриваются следующие три типа производящих функций, отличающихся выбором веса суммирования: стандартные (также известные как резольвенты)
£ • • ■ £ (tr ^ •tr ■■-*Sf = (tr ...tr (9)
(4tr *2)
(іф.
(8)
экспоненциальные производящие функции
£•••,£ (tr ■tr ^m) л • • • =(tr el'* • • ■tr егтф) (io)
»1=0 im=0
и Харер-Цагировские производящие функции
^tr Еті(х}ф) ...tr Erf(zm0)^, (11)
где Егі(л;) = ^2кх2к/(2к — 1)!! - модифицированная функция ошибок. Целью данной диссертации является точное вычисление вышеописанных т-точечных корреляционных функций (не используя каких бы то ни было упрощающих приближений) и идентификация математических структур, которые адекватно отражают их свойства.