родителям посвящается
Содержание
1 Введение 5
1.1 Амплитуды рассеяния в .V — 4 БУМ в режиме слабой связи 7
1.2 Амплитуды в сильной связи, дуальная конформная инвариантность и
дуальность между Вильсоновскими петлями и амплитудами 9
1.3 Инфракрасно безопасные наблюдаемые 11
Вычисление инклюзивного сечения рассеяния в N1.0 порядке ТВ и
инфракрасно безопасные наблюдаемые в N = 4 БУМ 14
2.1 Построение инфракрасно безопасных наблюдаемых в безмассовых КТП 14
2.2 Конформная КЭД 18
2.3 Вычисление инклюзивного сечения рассеяния в ЛГ = -1 БУМ. древест-
ныи вклад вклад 22
2.4 Виртуальный вклад 24
2 5 Испускание реальных частиц 26
2.6 Коллинеарные коитрчлены 30
2.7 Инфракрасно безопасные наблюдаемые в .V* = 4 БУМ 34
3 Вычисление инклюзивного сечения рассеяния в N£0 порядке ТВ и инфракрасно безопасные наблюдаемые в .V = 8 супер гравитации 36
3.1 Виртуальный вклад................................................. 37
3.2 Реальное испускание .............................................. 38
3.3 Коллинеарные контрчлены........................................... 39
3.4 Инфракрасно безопасные наблюдаемые в А/ = 8 супергравитации ... 40
Другие суперкоиформные теории 41
4.1 Маргинальные деформации N = 4 БУМ, деформация Ли-Страслера . . 41
4.2 Конформная инвариантность на квантовом .уровне и \)\г конечності.
ЬБ - деформированного К = 4 БУМ 43
4.3 Одноиетлевое условие конечности 47
4.4 Четырехпетлевое условие конечности (планарный предел) 50
4.5 Унитарные преобразования 52
4.6 Исследование условий конечности 53
4.7 Новая (супер)конформная теория ? 55
5 Заключение 57
Дополнение А. Вычисление парциальных упорядоченных по цвету амплитуд 60
3
Дополнение В. Вычисление интегралов по трехчастичному фазовому пространству 63
Дополнение С. Вычисление функций расщепления 69
Дополнение П. Конечные части инфракрасно безопасных наблюдаемых 71
4
1 Введение
В последнее десятилетие был достигнут значительный прогресс в понимании структуры максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса (в дальнейшем, иногда, для краткости мы будем использовать сокращение N = 4 БУМ). Этот прогресс связан, в той или иной степени, с выдвинутой в 1998г. Х.Малдаценой [1], А.Поляковым и Э.Виттеном |2] гипотезой о дуальности теории струи типа Т1В на фоне пространства Л(18ь х 55 гг теории А* = 4 ЭУМ живущей па границе Л</£5, получившей название Ас13/СГТ соответс твия. В дальнейшем эта гипотеза получила обобщения на бэкграунды обладающие меньшей суперспмметрией, в частности, было установлено аналогичное соответствие для /[З-деформировашюй [3, 4] N = 4 БУМ теории и теории струн на фоне пространства АЛ5$ х (§ь - некоторое многообразие топологически
эквивалентное сфере). Аналогичные попытки [5, б) были предприняты и для более общей деформации Ли-Страслера (в дальнейшем для краткости б}'дет использоваться сокращение ЬБ-деформаиия) N = 4 БУМ теории, хотя в настоящий момент точное дуальное описание в терминах какой либо теории струн остается неизвестным.
Для самоеогласованностп исходной АбБ/СГТ гипотезы и ее обобщений [1, 2, 3) необходимо, чтобы соответствующие теории поля обладали (супер)конформной инвариантностью. Необходимым условием этого является отсутствие конформной аномалии [7], что, в свою очередь, означает равенство 0 бета функций теории |8]. Равенство 0 Сета функции тесно связано со свойством ультрафиолетовой (иУ) конечности теории, те. тривиальности всех констант перенормировки [8). Б случае N = 4 ЭУМ ее ультрафиолетовая конечность ц (суггср)конформная инвариантность была доказана в серии работ [9, 10]. В случае калибровочных теорий, обладающих меньшей чем N = 4 БУМ суперспмметрией, вопрос о (супер)конформной инвариантности и конечности является до настоящего времени предметом интенсивного исследования (11), (12), несмотря на то, что был сформулирован ряд достаточно общих утверждений (13, 14, 15, 7] о возможности построения конформно инвариантных и конечных калибровочных теорий, обладающих меньшей чем М = 4 ЗУМ суперсимметрией.
Синтез методов теории струн и КТП мотивированный гипотезой АбЗ/СВТ соответствия позволил получить ряд крайне нетривиальных, непертурбативных результатов как для М = 4 БУМ так и, вообще говоря, для других четырехмерных калибровочных суперсиммегричных теорий: ожидается, что в планарном пределе1 АГ = 4 ЗУМ будет интегрируемой и се возможное решение станет примером решения первой нетривиальной КТП в четырехмерном пространстве времени [16). Сами
,Под планарным пределом понимается случай когда калибровочная константа связи у -4 0, ранг калибровочной группы ЛГв —► со, так, что т’Хофтовская константа связи Л = д~№с остается фиксированной.
5
термины "точное решепие"и "интегрируемость"понимаепотся в зависимости от контекста по-разному и поэтому требует уточнения.
В одном из возможных вариантов под "решением теории "понимается нахождение всего спектра аномальных размерностей {А©} локальных операторов О, который определяет свойства их корреляционных функций. Локальные операторы О, а точнее спектр их аномальных размерностей {До}, находились в центре внимания с. момента открытия /СБТ соответствия и в задаче о вычислении спектра аномальных размерностей {Ар} были достигнуты большие успехи. В режиме слабой связи эти успехи (17, 16] были достигнуты, частично методами теории поля, частично методами развитыми в теории интегрируемых систем. В режиме сильной связи использовались методы теории струн (18, 19] и теории интегрируемых систем, где аномальные размерности вычислялись как квазиклассические уровни энергии струны в распространяющейся в геометрии АЛБъ х 55. Результаты этих вычислений хорошо согласуются друг с другом и позволили в конечном итоге сформулировать сначала интегральные уравнения на некоторые из аномальных размерностей, а затем позволили предположить вид системы функциональных уравнений (У-система) которая, как предполагается, определит весь спектр аномальных размерностей всех локальных операторов в N = 4 5УМ (20]. Ожидается, что 13 и ЬЭ деформации А'’ = 4 БУМ так-же будут точно решаемыми в указанном смысле, по крайней мере, для определенных значений параметров деформации.
"Точное решение"может пониматься так-же и в другом, непосредственно не связанным с предыдущем обсуждением, смысле, а именно, под "точным решением" может пониматься нахождение всех амплитуд теории (ее Б-матрнцы [16]). В последнее десятилетие был так-же достигнут большой прогресс, во многом тоже мотивированный гипотезой АНЯ/СГТ соответствия, в понимании структуры амплитуд в калибровочных теориях с расширенное! еуперсимметрией (17, 21], таких как N = 4 БУМ II ЛГ = 8 супер гравитация. В частности, благодаря использованию, техники унитарных разрезов (22, 23, 24] стали доступны 3-4 и 5 петлевые результаты для 4 точечных амплитуд в ЛГ = 4 БУМ в планарном пределе [17]. Отметим так же, что благодаря использованию идеологически близких методов, таких как рекуррентные соотношения и разложение по МНУ вертексам, удалось вычислить вес древестные амплитуды вЛ'' = 4 БУМ, так что можно считать, что древестная Б-матрпца теории известна. Применение же техники унитарных разрезов к амплитудам в Аг = 8 суиергравиташги сделало возможным вычисление 3 петлевых 4 точечных амплитуд (21, 25, 26]. Заметим, что все эти результаты было бы затруднительно получить используя обычную диагралшую технику (как компонентную, так гг доступную на сегодняшний момент супернолсвуга) в связи с чрезвычайной сложностью таких вычис-леиий связанную, в частности, с факотриальным ростом 'шела диаграмм с ростом порядка теории возмущений (ТВ) или числа внешних импульсов. Эти результаты
6
- Київ+380960830922