Теоретико-полевые и численные исследования критического поведения сложных однородных и структурно неупорядоченных систем, описываемых многовершинными моделями

Оглавление
Введение 7
1 Фазовые переходы второго рода и критические явления 13
Введение....................................................................... 13
1.1 Теория Ландау-Гинзбурга-Вильсона....................................... 14
1.2 Критические индексы. Гипотеза подобия.................................. 16
1.3 Метод ренормгруппы и е - разложения.................................... 19
1.4 Динамические критические явления....................................... 24
1.5 Влияние дефектов структуры па критическое поведение.................... 31
1.6 Теоретико-полевой подход к описанию критического поведения............. 36
1.6.1 Теоретико-полевой вариант ренормгруппы........................... 36
1.6.2 Производящий функционал для функций Грина и вершинных функций 41
1.6.3 Уравнение ренормгруппы. Асимптотическое поведение функций Грина.................................................................. 43
1.7 Суммирование асимптотических рядов..................................... 47
1.7.1 Суммирование многонараметрических рядов ................................. 58
1.8 Компьютерное моделирование критического поведения спиновых систем . . 60
1.8.1 Моделирование методом Монте-Карло канонического ансамбля. ... 60
1.8.2 Алгоритм Метрополиса............................................. 61
1.8.3 Кластерные методы моделирования.................................. 63
1.8.4 Модификация метода Монте-Карло для неупорядоченных систем. . . 64
1.8.5 Динамическая интерпретация процесса моделирования ....................... 66
1.9 Метод реплик и нарушение репличной симметрии........................... 68
1.10 Распространение ультразвука вблизи критической температуры............. 70
2
-З-
1.11 Выводы и задачи исследования ............................................ 74
2 Теоретико-полевое описание неравновесного критического поведения однородных и неупорядоченных систем с некоррелированными дефектами структуры 77
Введение...................................................................... 77
2.1 Динамическое критическое поведение однородных и неупорядоченных систем 78
2.2 Теоретико-нолевое описание неравновесной критической релаксации однородной системы в трехпетлевом приближении..................................... 89
2.2.1 Введение........................................................... 89
2.2.2 Модель............................................................. 90
2.2.3 Ренорм-групповой анализ модели..................................... 92
2.2.4 Анализ результатов................................................. 97
2.3 Теоретико-полевое описание неравновесной критической релаксации структурно неупорядоченных систем в коротко-временном режиме....................... 99
2.3.1 Введение........................................................... 99
2.3.2 Ренормгрупповое описание неравновесного критического поведения
структурно неупорядоченных систем..................................103
2.4 Выводы главы..............................................................112
3 Численные исследования критического поведения неупорядоченных систем с некоррелированными дефектами структуры 114
Введение......................................................................114
3.1 Компьютерное моделирование равновесного критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга..........................................116
3.1.1 Метод конечноразмерного скейлинга..................................118
3.1.2 Расчет критических характеристик...................................125
3.1.3 Анализ результатов и выводы........................................131
3.2 Компьютерное моделирование неравновесного критического поведения неупорядоченной трехмерной модели Изинга с некоррелированными дефектами структуры................................................................132
3.2.1 Исследование влияния начального неравновесного состояния с то <$С 1134
- 4 -
3.2.2 Исследование влияния начального неравновесного состояния с 7л0 = 1 143
3.3 Основные результаты и выводы главы......................................148
4 Эффекты влияния нарушений рспличной симметрии на критическое поведение структурно неупорядоченных систем с замороженными дефектами структуры. 150
Введение......................................................................150
4.1 Определение модели. Методика расчетов....................................152
4.2 Уравнение Каллана-Симанзика и скейлинговые функции системы...............156
4.3 Фиксированные точки и различные типы критического поведения..............158
4.4 Критическое поведение неупорядоченной двумерной модели Изинга с НРС . 162
4.5 Критическое поведение систем с произвольной размерностью d от 3 до 4 . . 164
4.6 Основные результаты и выводы главы.......................................172
5 Исследование влияния далышдействукицей корреляции дефектов на критическое поведение систем 175
Введение.....................................................................175
5.1 Теоретико-полевое описание влияния эффектов дальнодействующей корреляции дефектов ..............................................................179
5.1.1 Эффективный гамильтониан и процедура перенормировки...............179
5.1.2 Уравнение Каллана-Симанзика и скейлинговые функции системы с
дальнодействующей корреляцией дефектов............................182
5.1.3 Фиксированные точки и различные типы критического поведения . . 191
5.1.4 Критическая динамика..............................................196
5.1.5 Расчет критических индексов.......................................198
5.1.6 Теоретическое исследование неравновесной критической динамики
структурно неупорядоченных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов.....................................................201
5.2 Исследование влияния дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение систем методами компьютерного моделирования.................209
Введение................................................................209
-5-
5.2.1 Исследование неравновесной критической динамики модели Изинга
с дальнодействующей корреляцией дефектов..........................212
5.2.2 Компьютерное моделирование равновесного критического поведения неупорядоченной модели Изинга с дальнодействующей корреляцией дефектов................................................................222
5.2.3 Численное исследование неравновесной критической динамики ХУ модели с линейными дефектами............................................224
5.2.4 Численное исследование неравновесной критической динамики модели Гейзенберга с линейными дефектами....................................229
5.3 Компьютерное моделирование критического поведения сильно неупорядоченных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов ......................237
5.4 Основные результаты и выводы главы.......................................240
6 Теоретико-полевое описание влияния дефектов структуры и эффектов их корреляции на характеристики распространения ультразвука в твердых телах вблизи температуры фазового перехода второго рода. 243
Введение.....................................................................243
6.1 Теоретическое описание влияния точечных дефектов структуры на характеристики распространения ультразвука в твердых телах........................247
6.1.1 Описание модели...................................................247
6.1.2 Расчет характеристик распространения ультразвука и скейлинговых функций с учетом влияния некоррелированных дефектов структуры 252
6.1.3 Анализ результатов и выводы.......................................254
6.2 Исследование влияния дальнодействующей корреляции дефектов на характеристики распространения ультразвука в твердых телах........................257
6.3 Основные результаты и выводы главы.......................................266
7 Теоретико-полевое описание мультикритического поведения однородных
и неупорядоченных систем 269
Введение.....................................................................269
7.1 Теоретико - полевое описание мультикритического поведения однородных
систем с двумя параметрами порядка......................................271
- 6-
7.2 Исследование влияния неупорядоченности па мультик рити ' юское поведение систем с двумя параметрами порядка.........................................286
7.3 Влияние поверхности на поведение систем и окрестности мультикритической точки Лифшица.................................................................293
7.4 Основные результаты и выводы главы.....................................297
Заключение 299
Литература
307
Введение
Проблема фазовых переходов второ со рода и связанных с ними критических явлений является одной из наиболее интересных и актуальных задач физики конденсированного состояния. Из ряда экспериментов известно, что по мере приближения к точке фазОВОГО перехода в веществе растут флуктуации некоторых термодинамических переменных. Эти флуктуации простираются па большие пространственные области и медленно затухают. Рост флуктуаций в системе сопровождается эффективным усилением их взаимодействия между собой, приводящим к тому, что любое слабое взаимодействие становится вблизи критической точки настолько сильным, что не позволяет применять теорию возмущений.
Экспериментальные исследования выявили общность свойств фазовых переходов второго рода в различных веществах. Это позволило сформулировать принцип универсальности критических явлений [10,27,35,45,56,180] и предложить модель, в основе которой лежала гипотеза масштабного подобия флуктуаций [52—54.218]. Идеи использования метода ренормализационпой группы и последующая их иллюстрация с помощью метода разложения по отклонению размерно<гги системы от четырех (с1 = 4 — е) |13,317,319) позволили сделать еще несколько шагов в качественном понимании фазовых переходов и в их количественном описании. Дальнейшее развитие этих идей привело к появлению более надежного теоретико-полевого подхода к описанию критических явлений [16,122,151,257], позволяющему исследовать критическое поведение непосредственно трехмерных систем и дающему более точные количественные результаты при применении методов суммирования асимптотических рядов [122.232].
Большой интерес вызывает проблема исследования влиянии дефектов структуры на критическое поведение. Рассеяние флуктуаций на дефектах структуры, вызывающих нарушение трансляционной инвариантности системы, обусловливает дополнительное взаимодействие флуктуаций параметра порядка через поле дефектов, характеризующееся
7
-8-
специфическими законами сохранения. Особенно интересно влияние замороженных дефектов структуры, чье присутствие проявляется или как случайное возмущение локальной температуры (как это происходит, например, в ферромагнитных и антиферромаг-нитных системах в отсутствие внешнего магнитного поля) или как случайные поля, сопряженные параметру порядка (например, в антиферромагнитных системах в однородном магнитном иоле). Наибольших успехов в качественном понимании и количественном описании исследователи достигли при изучении влияния точечных некоррелированных (^-коррелированных) дефектов с эффектами типа случайной локальной температуры на критическое поведение неупорядоченных систем. Так, в работе Харриса [190] был сформулирован эвристический критерий существенности некоррелированных точечных дефектов, согласно которому присутствие замороженных точечных дефектов изменяет свойства системы вблизи критической точки, если теплоемкость соответствующей однородной системы характеризуется критическим индексом теплоемкости а« > 0. В противном случае присутствие дефектов не сказывается на значении критических индексов.
Согласно последним исследованиям критических явлений [94.171.216,236,237). данному критерию удовлетворяют только неупорядоченные системы, эффективный гамильтониан которых вблизи критической точки изоморфен гамильтониану модели Изинга. Ре-нормгрупповой анализ с использованием ^-разложения [105.182,234,242] выявил, что критическое поведение неупорядоченных изингоподобных систем действительно характеризуется новым набором критических индексов. Однако, асимптотическая сходимость рядов с-разложения для систем с дефектами еще более слабая, чем для однородных. Поэтому для их исследования был применен теоретико-нолевой подход [94,171,216,236,237.250], в рамках которого были получены более точные значения критических индексов и доказано. что маргинальная размерность параметра порядка для которого существенны точечные дефекты, действительно меньше двух (ггс < 2) [161.216].
При ренорм-групповом описании критического поведения неупорядоченных систем с замороженным беспорядком для восстановления трансляционной симметрии эффективного гамильтониана, описывающего взаимодействие флуктуаций, используется метод реплик [162,163,182]. Однако в ряде работ [21,158,159] были высказаны идеи о возможности нарушения репличной симметрии (НРС) в системах с замороженным беспорядком. Для систем с числом компонент параметра порядка п, меньшем четырех, з рамках метода е
-9-
- разложения в низшем порядке теории, было выявлено определяющее влияние эффектов НРС на критическое поведение. Несмотря на столь интересные выводы данных работ результаты проведенных ранее исследований по теоретико-полевому описанию однородных и неупорядоченных систем в двухпетлевом и более высоких порядках приближения с применением методов суммирования асимптотических рядов показали [58.88, 89, 267), что анализ устойчивости различных типов критического поведения в первом порядке с -разложения можно рассматривать лишь в качестве грубой оценки, особенно для многовершинных статистических моделей [11,288,295,296]. Поэтому результаты исследований эффектов НРС, полученные в работах [21.158,159]. требуют детальной переоценки с позиций применения более точного подхода.
Смещение исследований в современной физике твердого тела в область микромасштабов вызвало необходимость понимания топких явлений связанных с наличием протяженных дефектов структуры типа дислокаций, границ зерен, примесных комплексов и т.д. Все эти особенности представляют собой проявление пространственно скоррелированных неоднородностей. Вопрос влияния эффектов дальнодействующей пространственной корреляции замороженных дефектов структуры на статическое и, в особенности, ка динамическое критическое поведение несмотря на его важность при описании критического поведения реальных неупорядоченных систем мало исследован, а полученные результаты носят оценочный характер [ 18,20,223.225,314). Поэтому существует потребност ь в развитии более надежных методов описания критического поведения систем с дальнодействующей корреляцией дефектов структуры и получении более точных сведений об условиях устойчивости различных типов критического поведения таких систем и характеристиках этого поведения.
Важным представляется исследование влияния неупорядоченности, создаваемой присутствием примесей, на характер фазовых диаграмм систем в окрестности мульти-критических точек. Теоретические модели, соответствующие данным системам, являются многовершинными. Исследование возможных типов устойчивого мультикритического поведения, описываемых данными моделями, в рамках метода £ - разложения [37,42,212) в однопетлевом приближении нельзя считать достоверными. Уже при исследовании мультикритического поведения однородной системы в [58] было наглядно показано слабое соответствие предсказаний однопетлевого приближения реальному мультикритическому
- 10
поведению. В случае неупорядоченных систем можно ожидать еще более существенных отличий. Поэтому необходимо развитие теоретико-полевого описания мультикритическо-го поведения неупорядоченных систем в более высоких порядках приближения теории с применением эффективных математических методов для суммирования асимптотических рядов, получаемых в реальном пространстве в различных многопетлевых приближениях.
В связи с этим целью настоящей диссертации является:
1. Развитие методики и осуществление теоретико-полевого описания неравновесного критического поведения однородных и структурно неупорядоченных систем с замороженными некоррелированными дефектами структуры в многопетлевом приближении с применением методов суммирования. Исследование влияния неравновесных начальных состояний и создаваемых ими нарушении трансляционной симметрии во времени на медленную эволюцию снегом с сильно коррелированными состояниями в критической точке.
2. Численное исследование критического поведения неупорядоченной ферромагнитной модели Изинга с дефектами типа случайная температура численными методами Монте-Карло. Ставится задача провести:
компьютерное моделирование неравновесных процессов критической релаксации в неупорядоченной трехмерной модели Изинга методом коротковременной динамики при изменении концентрации точечных дефектов в широком интервале от уровня слабого разбавления до концент раций, близких к порогу перколяции:
- сопоставление результатов теорет ико-полевого расчета с результатами компьютерного моделирования критической динамики однородных и слабо неупорядоченных систем;
- численное определение с использованием методов Монте-Карло равновесных критических индексов и критических температур для трехмерной модели Изинга в широком диапазоне изменения спиновых концентраций (0.95 < р < 0.50), применяя процедуру конечноразмерного скейлинга с учетом асимптотических поправок к скейлингу;
- выяснение вопроса об универсальности неравновесного критического поведения неупорядоченных систем.
3. Исследование влияния снинстекловых эффектов на критическое поведение структурно неупорядоченных систем, приводящим к эффективному многовершинному гамильтониану с нарушенной репличной симметрией (НРС). В рамках данного исследования ставится задача провести разработку методики теоретико-полевого описания критическо-
-11 -
го поведения систем с эффектами НРС без использования е-разложения и осуществить в двухпетлевом приближении ренормгрупповой анализ эффективного гамильтониана модели с целью определения условий реализации различных типов устойчивого критического поведения, а также области применимости метода £-разложения к описанию неупорядоченных систем с НРС:
4. Теоретико-полевое и численное исследование статического и динамического критическое поведения неупорядоченных трехмерных систем с дальнодействующей пространственной корреляцией замороженных дефектов структуры. Предполагается осуществить:
- разработку теоретико-полевого описания трехмерных систем с изотропной дальнодей-ствующей пространственной корреляцией дефектов структуры в двух петлевом приближении с применением методов суммирования асимптотических рядов;
определение фиксированных точек ренормгрупповых преобразований модели и условий устойчивости различных типов критического поведения;
- вычисление статических критических индексов и динамического критического индекса;
- исследование влияния дальнодействующей корреляции дефектов на критическое поведение систем с различным числом компонент параметра порядка посредством численного изучения методами Монте-Карло ферромагнитных трехмерных моделей Изинга и ХУ;
- численное исследование неравновесного критического поведения трехмерных моделей Изинга и ХУ с линейными дефектами при спиновых концентрациях р — 0.80 и р = 0.(Ю методом коротковременной динамики при рассмотрении эволюции систем из разных начальных неравновесных состояний.
5. Разработка методики теоретического описания влияния дефектов структуры и эффектов их корреляции на аномальное поведение характеристик распространения ультразвука в твердых телах при температуре фазового перехода второго рода. Предполагается осуществить в двухпетлевом приближении без использования с-разложен и я расчет температурной и частотной зависимостей коэффициента поглощения и дисперсии скорости звука для систем как с некоррелированными дефектами структуры, так и с дальнодействующей пространственной корреляцией дефектов.
6. Ренормгрупповое исследование мультикритического поведения сложных однородных и структурно неупорядоченных систем с двумя взаимодействующими параметра-
-12-
ми порядка и выявление влияния поверхности на мультикритическое поведение в окрестности точки Лифшица. Ставится задача провести:
- развитие методики и осуществление теоретико-полевого описания мультикритического поведения трехмерных однородных систем с двумя параметрами порядка;
- исследование влияния структурной неупорядоченности на характер фазовых диаграмм и свойства мультикритического поведения трехмерных систем с двумя взаимодействующими параметрами порядка;
- исследование влияния поверхности и ее ориентации относительно направления анизотропии кристалла на мультикритическое поведение системы в окрестности обобщенной точки Лифшица т-го порядка.
Результаты диссертации были опубликованы в работах [58-85,266-279]
Глава 1
Фазовые переходы второго рода и критические явления Введение
«Разовые превращения - широко распространенные явления природы, которые систематически исследуются уже более ста лет. Началом исследований в области физики фазовых переходов, по всей видимости, следует считать экспериментальное изучение Т. Эндрюсом (1869) критической точки жидкость - пар, которое стимулировало появление теории Ван-дер-Ваальса. Примерно в то же время начались систематические исследования возникновения в некоторых веществах при понижении температуры спонтанной намагниченности. Важным этапом в понимании этого явления было создание П. Вейсом (1907) теории молекулярного поля. Позже были открыты структурные фазовые переходы, фазовые переходы бинарных сплавах стехиометрического состава, фазовые переходы в сверх проводящее и сверхтекучее состояния и др. Некоторые из этих фазовых превращений сопровождаются выделением (или поглощением) тепла и скачкообразным изменением плотности. В соответствии с известной классификацией П. Эренфеста (1933), такие фазовые переходы называются фазовыми переходами первого рода. В отличии от них фазовые переходы второго рода характеризуются скачками, которые испытывают лишь вторые (а не первые) производные термодинамического потенциала, т.е. теплоемкость, восприимчивость и т.д. К фазовым переходам второго рода в известном смысле примыкают также переходы первого рода, близкие к критической точке. Понятие последней впервые ввел Д.И. Менделеев (1860). Эта точка па фазовой плоскости (например, давление-температура для системы жидкость - пар), в которой оканчивается кривая фазового равновесия. Оказывается, что переходы первого рода, близкие к критической точке, становятся весьма "похожими"на фазовые переходы второго рода. Л именно скачки первых производных (плотности, теплоты фазового перехода) становятся малыми, но одновременно возникает аномальное поведение вторых производных термодинамического потенциала (теплоемкости, сжимаемости и т.п.), 1-сак и в случае типичных фазовых переходов второго рода. Это
13
- 14 -
и определяет физическую общность между фазовыми переходами второго рода и критическими явлениями Многочисленные исследования разнообразных по своей физической природе фазовых переходов убедительно свидетельствуют об их определенном сходстве и самое удивительное о количественном совпадении некоторых их характеристик. Это дает надежду на возможность построения достаточно общей универсальной теории критических явлений.
В данной главе для лучшего восприятия последующего оригинального материала диссертации введены основные понятия и кратко рассмотрены основные положения и некоторые методы современной теории критических явлений. Основное внимание уделяется так называемым ренормгрупповым методам описания равновесного и неравновесною критического поведения, которые в наибольшей степени соответствуют требованию универсальности, что не метает им оставаться одними из наиболее точных методов.
1.1 Теория Ландау-Гинзбурга-Вильсона.
Первая универсальная феноменологическая теория фазовых переходов второго рода н критических явлений была построена Л.Д. Ландау в 1937г. |33] Она явилась важным этапом в создании современной чеории критических явлений, поскольку позволила с единой точки зрения описать любые фазовые переходы второго рода и критические явления. Ландау удалось выделить ту общую черту, которая объединяет множество казалось бы далеких друг от друга явлений - спонтанное нарушение симметрии, для описания которого он ввел фундаментальное понятие теории критических явлений - параметр порядка. Физический смысл параметра порядка может быть различным и зависит от природы фазового перехода. Примерами параметра порядка могут служить: намагниченность при переходе ферромагнетик - парамагнетик, разность плотностей жидкости и пара в окрестности критической точки системы жидкость-пар; волновая функция сверхтекучей компоненты при А-переходе Не'1 в сверхтекучее состояние. Общим является то, что параметр порядка равен нулю в высокотемпературной (неупорядоченной) фазе с более высокой симметрией и отличен от нуля в низкотемпературной (упорядоченной) фазе с более низкой симметрией. Ландау постулировал разложимость термодинамического потенциала Ф(<р, 7’,...) вблизи точки перехода в ряд по степеням параметра порядка ф с коэффициентами - аналити-
- 15 -
ческими функциями температуры Т и внешних параметров. Явный вид этого ряда, а так же число компонент параметра порядка определяются группой симметрии системы в точке фазового перехода [35). С микроскопической точки зрения теория Ландау является некоторым обобщением метода самосогласованного поля применяемого в частных случаях для описания критического поведения конкретных микроскопических моделей реальных систем, таких как модель Изипга, модель решеточного газа и др. [55,95,235) Самым главным и очевидным недостатком этого приближения является то. что оно не учитывает корреляции микроскопических переменных. Теорию Ландау можно обобщить с учетом эффектов корреляции, если учи тывать только вклад от степеней свободы, соответствующих большим пространственным масштабам, которые на самом деле являются определяющими в окрестности критической точки. В этом случае параметр порядка является почти простракствекно-однородным и поэтому может быть представлен как медленно меняющаяся в пространстве функция ф(х) с малыми градиентами. В простейшем случае симметрии О(п) это приводит к термодинамическому потенциалу
где ег(х) = (^Ф)2 = ЕГ.м(^т)2. который называют эффективным гамиль-
тонианом Гинзбурга - Ландау. Здесь (I размерность пространства, к(х) - внешнее поле, сопряженное параметру порядка. В окрестности фазового перехода
Тс - затравочная критическая температура. Следует отметить, что функция ф(х) хорошо определена лишь на расстояниях превышающих некоторую величину А-1, которую естественно ассоциировать с постоянной решетки. Точное решение задачи с (1.1), т.е. вычисление полной статистической суммы
оказывается невозможным. Поэтому важное значение имеет так называемое гауссово приближение щ = 0, соответствующее пренебрежению взаимодействием флуктуаций параметра порядка и дающее критическую температуру равную затравочной. Хотя получаемая
ящ®] = J&х [1 (г0й2(х) + (V.?)2) + ^у(02)2 - Л(х)0(х) , (1.1)
П)(т) = а0т, щ{т) = сопвХ, т= (Т- Тс)/Тс,
(1.2)
(1.3)
и /^-точечных корреляционных функций
(1.4)
-16 -
при этом модель не дает ничего нового при изучении термодинамики фазового перехода по сравнению с теорией Ландау, она позволяет в перзом приближении исследовать поведение корреляционных функций. Простые расчеты приводят в этом случае к следующему вЕлражению для фурье-образа парной корреляционной функции
£Я>Ы = (\фч\>) = _1_. (1.5)
Обратное преобразование при (1 = 3 дает функцию
С<2>(х) = 1|ехр(-Ё!). (1.6)
где £ = г“1/2 имеет смысл корреляционной длины. Таким образом корреляционная функция в критической точке характеризуется аномальным поведением - не экспоненциальным (степенным) убыванием с расстоянием, а корреляционная душна в этой точке обращается в бесконечность. В рамках этой модели А.П. Леванюком (39) и В.Л. Гинзбургом |15] был получен критерий применимости теории Ландау
и^Т2/ао г <§: I (1.7)
Этот критерий предсказывает существование такой области температур в непосредственной окрестности критической точки, в которой результаты теории Ландау могу!' быть не справедливыми. Ширина этой области, называемой флуктуациоккой, определяется интенсивностью взаимодействия флуктуаций параметра порядка и варьируется в широких пределах, от очень маленьких размеров пока недоступных в эксперименте, например в сверхпроводниках |т| <§с 10~ы. до существенных размеров в некоторых магнитных системах.
1.2 Критические индексы. Гипотеза подобия.
Задолго до того, как появились первые экспериментальные данные, не согласующиеся е теорией Ландау, Л. Оисагером была опубликована работа [253], посвященная ис-
следованию поведения намагниченности и теплоемкости двухмерного ферромагнетика в нулевом внешнем ноле (точно решаемая модель), результаты которой оказались в неожиданном противо)ючии с результатами классической теории. Ландау и другие исследователи, естественно, понимали что роль крупномасштабных флуктуаций но мере приближения
- 17-
к критической точке должна возрастать. Уже к середине 20-х годов была опубликована известная работа Орнштейна-Цернике, на основе которой удалось объяснить многие черты критической опалесценции. Флуктуационные явления изучались в рамках феноменологического подхода в работах Сцилларда, Мандельштама, Леонтовича и др. Но сама идея об определяющей роли флуктуаций для всей проблематики фазовых превращений окончательно оформилась к середине 60-х годов. Это было связано, конечно, в первую очередь с прогрессом в области экспериментальных исследований, убедительно продемонстрировавших расхождение реального критическом поведения с предсказаниями теории Ландау. Как уже отмечалось, особенностью критических явлений является сингулярное поведение некоторых термодинамических величин в точке перехода. Эксперименты и численные расчеты на моделях убедили исследователей в степенном характере этих особенностей. Показатели степеней получили название критических индексов. Стандартные обозначения для этих величин были введены Фишером [166] и имеют следующий вид, индекс а для теплоемкости:
С ~ |Т - ГСГ, (1.8)
индекс в для параметра порядка:
ф^\Т-Те\^, Г<ГС, (1.9)
индекс 7 для восприимчивости:
х~| Т-Тс\-\ (1.10)
индекс 5 для критической изотермы:
ф(к, Тс) -Ь1'1. (1.11)
Для описания флуктуаций параметра порядка ф вводится индекс и. определяющий температурную зависимость корреляционной длины:
Т-Тс\-\ (1.12)
и индекс //, определяющий закон убывания корреляционной функции с расстоянием х при Т = ТС
(1.13)
- 18-
Важность критических индексов в первую очередь определяется тем, что именно они могут быть наиболее просто измерены в эксперименте. Предсказываемые теорией Ландау универсальные значения критических индексов
а« 0, /3 = 1/2, 7 = 1, <5 = 3, * = 1/2, 77 = 0. (1.14)
значительно отличаются от наблюдаемых.
Это говорит о том. что гауссово приближение и.0 = 0 является слишком грубым и адекватная теория критических явлений должна учитывать взаимодействие флуктуаций параметра порядка. Попытка построить какую-либо теорию возмущений наталкивается на значительные трудности. Так например можно построить ряды по степеням д0 раскладывая экспоненту в выражениях (1.3) - (1.4). Однако оказывается, что подобные разложения являются лишь асимптотически сходящимися рядами. Доказано (257], что хотя они расходятся, их борелевская сумма существует и равна исходным континуальным интегралам. Другие препятствия связаны с существованием самой критической точки. Во-первых, взаимодействие сдвигаем- температуру перехода. Эта трудность может быть устранена разложением по ио не при фиксированном 7‘о, а при фиксированном <57- = го — ?ое, где Гос(ао) определяет истинную температуру перехода. Во-вторых, фактический (безразмерный) параметр разложения оказывается пропорциональным щ/8г^~а^2 и расходится при 6г —> 0 и (I < 4. Другими словами, в этом случае взаимодействия оказываются эффективно очень сильными и напротив если (I > 4, они не существенны и индексы определяются теорией Ландау. В то же время универсальный характер поведения в флуктуационной области наводит на мысль о том, чаю он является следствием некоторой симметрии системы в критической точке и что ее выявление и исследование даст возможность определить универсальные характеристики - критические индексы. На первом этапе влияние флуктуаций удалось феноменологически описать с помощью гипотезы подобия (масштабной инвариантности), концепция которой была выработана в пионерских работах В.Л. Покровского и А.З. Наташинского (52-54]. В. Видома [316], Л.П. Каданова (218], положивших начало современной флуктуационной теории критических явлений. Суть ее составляет предположение о том, что 13 окрестности критической точки сингулярная зависимость физических величин от Т - Тс осуществляется только через зависимость от £ , которая расходится при Т -» Тс. Это приводит к тому, что в окрестности критической точки есть только один существенный параметр длины - £, остальные же микроскопические размеры, например
-19-
Л"1 , не влияют на характер особенности термодинамического потенциала, а значит и на значения критических индексов. В результате этого термодинамический потенциал и корреляционные функции являются обобщенно-однородными, т.е. зависят лишь от некоторой комбинации переменных. Это приводит к существованию так называемых скейлинговых соотношений, отражающих связь между различными критическими индексами
из которых видно, что независимыми являются только два индекса, вычисление которых одна из главных проблем теории критических явлений.
Метод ренормгруппы, предложенный К.Вильсоном [317,319], будучи непосредственно связанным с картиной масштабной инвариантности флуктуаций, позволяет последовательно вычислять значения критических индексов, используя разложение по специфическому малому параметру е = 4 — й. Основная идея метода заключается в последовательном исключении большого числа коротковолновых степеней свободы и сведению задачи к вычислению статистической суммы системы крупных блоков. Гамильтониан Н[ф, Л] для широкого класса систем в окрестности критической точки можно представить в виде ряда по степеням флуктуаций параметра порядка <р и их производных
В (1.19) совершен переход к фурье-образам о(х) и интегрирование по qt проводится в области 0 < <7, < А. Гамильтониан П[ф, Л) полностью определяется совокупностью величин дт и представляется вектором (точкой) g бесконечномерного параметрического пространства коэффициентов дт. Ренормализационное преобразование гамильтониана определяется следующим образом [13]. На первом шаге исключается зависимость II от коротковолновых гармоник фц с волновыми векторами А/Ь <д<АнЬ>1. Эту процедуру можно
а + 20 + 7 = 2,
7 = и(2 - л).
7 0(8 — 1).
1/(1= 2 — 0:
(1.15)
(1.16)
(1.17)
(1.18)
1.3 Метод ренормгруппы и е - разложения.
Н[Ф, А] = (1.19)
- 20-
обозначить как действие оператора 5(6):
л
ехр(-Я[^Л)) ][ сЩ-, (1.20)
<?=Л/6
Очевидно, что "сглаженный” таким образом гамильтониан Я приводит к исходной статистической сумме и корреляционным функциям, если рассматривать последние при значениях аргументов, соответствующих достаточно большим масштабам. На втором шаге гамильтониан подвергается действию масштабного преобразования, восстанавливающего прежнее значение параметра обрезания Л
q->q' = bq, (1.21)
и одновременно преобразованию изменения нормировки поля параметра порядка в Z(b) раз
Фя ~ Фъ-'q' Фп' = — %(Ь)Фд- (1.22)
Совокупность этих двух преобразований гамильтониана можно обозначить как действие
оператора D{b)} определенного следующим образом:
Ь(Ь)Н[фл Л) = H[Z(b)-%M] = bq). (1.23)
Последовательное применение операторов 5(6) и D{b) образует ренормализационные преобразование:
Я(6) = £>(6)5(6). (1.24)
В результате, после применения ренормализационного преобразования, ренормированные гамильтонианы описывают флуктуации нового поля ф'ц в исходной области волновых векторов, поэтому их можно изображать точками g в том же пространстве коэффициентов дт. Таким образом перенормировка R(b) переводи']' одну точку параметрического пространства в другую
g' = y>.(6)g. (1.25)
Ренормализационные преобразования R(b) образуют полугруппу мри степенной зависимости Z от 6 типа Z(b) = 6“, так как в этом случае
R(b)Rib') = R(bb'). (1.20)
exp(-S(6)tf[<6,A]) = ехр(—Я[й, Л/6)) = f
-21 -
Ее традиционно называют группой перенормировок или просто ренормгруппой, хотя в ней и не определен обратный оператор. Начав с некоторого затравочного гамильтониана Н[ф, А) и многократно применяя к нему процедуру перенормировки R(bi). R(b2), R{b3),..., можно получить последовательность гамильтонианов Н\. Н'2. Н'^,..., о которой обычно говорят, как о траектории исходного гамильтониана, которую он описывает в пространстве коэффициентов дт. Предельные сзойства этих последовательностей или траекторий непосредственно связаны с критическим поведением системы. Последовательное применение процедуры перенормировки к гамильтониану системы, не находящейся в критической точке, приводит его к достаточно большим пространственным масштабам, на которых флуктуации параметра порядка будут описываться термодинамической теорией флуктуаций. В этом случае распределение флуктуаций термодинамических величин является гауссовским и поэтому последовательность перенормированных гамильтонианов будет стремиться к конечному пределу вида
Н- = \ J \ФЯ\ЧЧ. (1.27)
I?<Л
В критической точке, характеризующейся аномально сильным взаимодействием флуктуаций, область гауесовски распределенных флуктуаций отсутствует, поэтому возможно существование предельного гамильтониана /Г, описывающего негауссово распределение флуктуаций параметра порядка. Гипотеза о существовании негауссовой фиксированной точки g‘. впервые выдвинутая в работе [177), в силу следствий вытекающих из нее (в частности скейлимговых соотношений) эквивалентна гипотезе подобия. Необходимым условием существования фазового перехода второго рода является наличие в пространстве дт поверхности, называемой критической, такой что все ее точки g обладают свойством
g* = lim R(b)g. (1.28)
b-»©û
Предел H" или фиксированную точку g* ищут, рассматривая инфинитезимальную форму ренормализационного преобразования, что обычно приводит к уравнениям вида
-ifили | = f{g}. (1.29)
представлящим собой уравнения движения в пространство дт, в которых переменная Ç = — In 6 играет роль времени. Уравнение
/{&■} = о, (1.30)
-22-
задает фиксированную точку {*'’ донормализационных преобразований Я.(Ь). Уравнения (1.29,1.30) в действительности представляют собой сложные системы нелинейных уравнений для коэффициентов дт. Общий анализ уравнений ренормгрумпы дан в работе Вильсона и Когута [13].
Характеристики критического поведения, в том числе и критические индексы определяются скоростью приближения гамильтониана к фиксированной точке под действием ренормализационных преобразований. Для исследования процесса приближения гамильтониана к фиксированной точке, уравнения движения (1.29) линеаризуют в ее окрестности так, что если представить вектор g в виде
g = g* + e, (1.31)
то малый вектор отклонения е подчиняется системе линейных уравнений
щ = Ял (1-32)
в которой линейный оператор определен следующим образом
• (1.33)
д£ |8_8.
и обычно представляется матрицей с рангом, равным числу параметров затравочного гамильтониана.
Важную роль в методе ренормгруппы играют собственные вектора и собственные значения опера юра Я:,. определяемые уравнением
кь(Ь)ег = -Д.е., (1.34)
так как они позволяют исследовать решение уравнений движения в окрестности фиксированной точки g\ Действительно, решение уравнения (1.32) в соответствии с теорий обыкновенных дифференциальных уравнений можно представить в виде
а(С) = 8я + ^ Ь'е'> = Л,ое"А,с, (1-35)
I
где Л,и - произвольные постоянные, определяемые начальным положением вектора g в параметрическом пространстве. Это решение с точностью до слагаемых второго порядка
малости соответствует решению точного уравнения (1.29), и поэтому может быть исполь-
зовано только лишь в непосредственной окрестности фиксированной точки.
-23-
Если начальное положение вектора определяется такой совокупностью величин Л*о Ф 0, что соответствующие им собственные значения положительны, то этот вектор под действием перенормировок будет приближаться к фиксированной точке. Следовательно. подпространство, натянутое нате собственные вектора е, собственные значения которых Аг положительны, образует критическую поверхность.
Напротив, отклонения /*,о вдоль направлений, задаваемых собственными векторами е, собственные значения Д,- которых отрицательны, при перенормировках возрастают и уводят затравочный гамильтониан от фиксированной точки.
В этом случае величины //,о определяют те внешние воздействия (поля), которые выводят систему из критической точки, то есть такие как сдвиг температуры или включение поля сопряженного параметру порядка (например, магнитного в ферромагнетике). Собственные значения Дг < О задают скейлинговые размерности соответствующих полей, которые определяют значения критических индексов. Соответствующие им собственные вектора е, определяют сильно флуктуирующие величины, такие как параметр порядка и плотность энергии. Можно показать, что если Дг - собственное значение, связанное с температурой, то критический индекс корреляционной длины, определяется как и = -1/Дг. С помощью собственного значения Д^ , связанного с полем, сопряженным параметру порядка, можно определить индекс корреляционной функции в критической точке г) = (I -Ь 2(1 — Дл).
В силу того, что точное решение уравнения (1.29) невозможно, в практических вычислениях приходится применял» какую-либо теорию возмущений. Поскольку в окрестности критической точки флуктуации в системе достаточно сильно развиты, величину их взаимодействия нельзя использовать в качестве малого параметра. Однако для систем с (I > 4 взаимодействие флуктуаций не сказывается на значениях критических индексов. Это позволяет построить специфическую теорию возмущений с малым параметром е = 4 — (I. - отклонением размерности системы от 4. Несмотря на то, что при (I = 3, £ = 1 - не мало, модельные расчеты в первых порядках по £ дают результаты, находящиеся в хорошем согласии с экспериментальными данными. К сожалению, поправки более высокого порядка уводят результат от точных значений. Это объясняется тем, что как во всякой теории возмущений ряды по £ являются асимптотически сходящимися, то есть в обычном смысле имеют нулевой радиус сходимости. В теориях подобных КЭД, где
-24-
параметр разложения достаточно мал, это обстоятельство может привести к ухудшению результатов только лишь при учете поправок очень высокого порядка. В моделях же с сильной связью, к которым относится и теория критических явлений, значительная величина параметра разложения приводит к тому, что попытки напрямую учесть поправки к первому приближению могут только ухудшить результат. В каком-то смысле выходом из этой ситуации является применение специальных методов суммирования асимптотически сходящихся рядов. Успешность применения подобных процедур является в значительной степени зависящей от наличия или отсутствия информации о поведении далеких членов ряда. Л.Н. Липатов [41] нашел асимптотическую формулу для далеких членов ряда, е - разложения, растущих как га! с ростом номера га. Это позволило применить к рядам 5 - разложения методы суммирования асимтотических рядов, такие как методы Паде и Паде-Бореля, и получить значения критических индексы, которые лучше описывают экспериментальные данные.
1.4 Динамические критические явления
В соответствии с основными принципами термодинамики исследование критических явлений разделяют на исследование статических или равновесных критических явлений и динамических или неравновесных критических явлений. Исследование статических критических явлений связано с исследованием поведения равновесных термодинамических величин, к которым относятся параметр порядка, восприимчивость, теплоемкость, плотность энергии и равновесные корреляционные функции. При исследовании динамических явлений в критической области интерес представляют особенности поведения таких величин как плотност ь потока энергии, скорость распространения возмущений параметра порядка, времена релаксации долгоживущих возбуждений.
Динамическое поведение системы в релаксационном режиме вблизи критической температуры может быть описано кинетическим уравнением для параметра порядка типа уравнения Ланжевепа. В наиболее простом случае однокомнонентиого параметра порядка оно имеет вид
¥ = _Ао^+,,+Ао/!’ {1'36) где Ад — кинетический коэффициент Онсагера, ??(хД) — случайная сила, характеризу-
-25-
ющая влияние теплового резервуара, образованного слабофлуктуирующими степенями свободы. Обычно предполагается, что она имеет гауссово распределение, которое задается своими первыми моментами в виде
эффективный гамильтониан Гинзбурга-Ландау-Вильсона.
В результате возникновения в системе, испытывающей фазовый переход второго рода, крупномасштабных и долгоживущих флуктуаций параметра порядка и ряда других термодинамических величин, процессы релаксации соответствующих степеней свободы сильно замедляются и характеризуются значительными временами релаксации.
В окрестности критической точки температурная зависимость времени релаксации т? параметра порядка аппроксимируется степенным законом:
в который входит динамический критический индекс г, имеющий фундаментальное значение при описании критической динамики. Таким образом, при Т -» Тс тр —> оо.
В соответствии с (1.40) кинетический коэффициент характеризуется следующим асимптотическим поведением
Метод ренормгруппы может быть успешно применен и для исследования динамических критических явлений, что впервые было осуществлено в работах Гальперина, Хо-энберга и Ма [185-187]. Основная идея динамической ренормгруппы заключается в следующем. В общем случае уравнение (1.30) можно записать в виде
в котором поле ф(х, /.) является “сглаженным” в том смысле, что оно содержит лишь фурье-гармоники фч{ф)> для которых модуль волнового вектора q удовлетворяет условию г/ < Д.
(її) = о
(1.37)
(1.38)
Л(і) — внешнее поле, термодинамически сопряженное параметру порядка.
(1.39)
(1.40)
(1.41)
(1.42)
-26 -
Представим поле ф{х, С) в виде суммы
ф(х,і) - Фо{*Л) + Фі{хЛ),
(1.43)
где “медленно” меняющееся поле <ро(х, і) содержит гармоники с волновыми векторами ц < Л/6, а “быстро” меняющиеся фі(х, С) - гармоники с волновыми векторами в интервале '/о/6 < Ч < А-
В принципе можно решить уравнение для поля <г>і(х,£), считая <?о(х,і) заданной величиной. При этом решение зависит от начальных условий для поля ф\(х,Ь). Будем считать, что в начальный момент поле <рі(х, £) являлось случайной величиной, подчиняющейся распределению Гиббса. Подставим решение фі(х,і) в уравнение для с6о(х,(). Тогда уравнение для <=>о(х. О зависит от начальных условий ф\(х. 0) как от параметров. Усредним по этим начальным условиям. Полученное уравнение можно записать в виде
Таким образом, мы определили операцию сглаживания над нелинейным оператором Ь. Одновременно сглаживается и гамильтониан //:
Ф<\ _> 2(Ь)Фы11 потребовав при этом, чтобы сохранялся коэффициент при слагаемом ф-фяф-(1 в гамильтониане. Тем самым, выбор ренормировочного множителя Z(Ь) однозначно закрепляется. Остается еще возможность умножить обе части динамического уравнения ка произвольный множитель . Выберем таким образом, чтобы в правой части
образом, 2’ = Я(Ь). Теперь все преобразования стали однозначными и кинетический коэффициент Ао приобрел свойства инвариантного заряда. Одновременно изменяется и гамильтониан в соответствии с (1.45). При следующем шаге перенормировки гамильтониан
При бесконечно малом изменении 6 = перенормированный оператор Ь отличается от первоначального величиной, пропорциональной д'ф Производная дЬ/дС, зависит не только от Л, но и от И, определяющего начальные условия. Возникает система уравнений группы перенормировок
Ь[<?0(х,0! = 5'(6)^(х,0} = 5(6)/1.
(1.44)
Н[ф, Л/Ь] = §(Ь)Н\ф, Л].
(1.45)
Произведем теперь операцию масштабного преобразования £>(6): х 6 1х (ч ->
преобразованного уравнения (1.36) возникло перенормированное поле К = &(Ь)к. Таким
Я(Ь)Н определит начальные условия, а тем самым и способ усреднения но ф\.
(1.46)
-27-
Второе уравнение системы (1.46) является чисто статическим. Его корни II* определяют неподвижные точки группы перенормировок. Очевидно, что неподвижная точка системы (1.46) ЬЖ,Н* (динамическая неподвижная точка) автоматически является неподвижной точкой статики. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Будем предполагать, что II', соответствующее критической точке, одновременно является компонентой динамической неподвижной точки I/, И*. Это предположение определяющее суть гипотезы динамического подобия, открывает возможность практического применения динамической ренормгруппы. Как и в статике, линеаризованная в окрестности фиксированной точки система (1.46) определяет скейлинговые размерности величин и тем самым позволяет вычислять динамические критические индексы.
Динамические явления в окрестности критической точки, также как и статические, характеризуются универсальностью, т.е. не зависят от микроскопических параметров систем. Но если статическое критическое поведение систем полностью определяется размерностью систем и их симметрийпыми свойствами, то динамика фазовых переходов з этом смысле заметно сложнее, поскольку наряду с долгоживущими флуктуациями параметра порядка оказываются существенными взаимодействия с флуктуациями других долгоживущих переменных [202]. Симметрийные свойства систем при этом, кроме числа компонент для параметра порядка и этих долгоживущих дополнительных переменных, начинают проявляться через законы сохранения сильно флуктуирующих переменных. Существенным для динамики становится, будут ли уравнения движения этих переменных описываться эрмитовым оператором Лиувилля или нет [183,188.202,220]. Все это приводит к богатому набору ситуаций для описания неравновесного поведения различных систем.
Сохранение тех или иных переменных определяется коммутацией этих переменных с гамильтонианом. Так, в изотропном ферромагнетике все три компоненты спина коммутируют с гамильтонианом, поэтому параметр порядка - среднее значение полного спина системы является сохраняющейся величиной. Для изотропного антиферромагнетика параметр порядка - разность намагниченностей подрешеток не сохраняется, но полная намагниченность является сохраняющейся величиной. Хотя флуктуации полной намагниченности не являются критическими для антиферромагнетика, т.е. радиус корреляции этих флуктуаций не обращается в бесконечность, но их взаимодействие с критическими флуктуациями параметра порядка существенно влияет на неравновесное критическое
-28-
поведение системы, приводя к расходимости коэффициента переноса [175]. Песохраняю-щийся параметр порядка характерен дня сверхтекучего гелия, для планарного ферромагнетика и для систем с различной анизотропией [106]. При изучении динамики магнетиков следует учесть, что каждый спин системы связан с решеткой, необратимые уравнения движения для спинов можно получить только после усреднения по решеточным переменным. При этом в зависимости от свойств сиин-решеточного взаимодействия такие уравнения будут свидетельствовать о сохранении или нссохраиении параметра порядка системы.
Относительно области применения различных динамических моделей для описания критического поведения системы сильно флуктуирующих переменных выявлено [183.188,202,220], что изотропные (“вырожденные” ) системы чаще описываются уравнениями движения с неэрмитовым оператором Лиувилля или, как говорят, с нелинейным взаимодействием гидродинамических мод . Однако для этих систем имеется область температур, достаточно близких к критической, где гидродинамическое поведение флуктуаций переходит в релаксационное, описываемое уравнением движения с эрмитовым оператором Лиувилля . Неравновесное поведение анизотропных систем в критической области является чисто релаксационным.
В неравновесной системе критические флуктуации самых различных размеров (средний размер равен корреляционному радиусу) возникают постоянно, чтобы затем либо распасться на критические флуктуации другой протяженности , либо объединиться с другими критическими флуктуациями, либо рассеяться в хаотическое тепловое движение и т.д. Явление переноса критических флуктуаций представляет собой стохастический процесс, хаотичность которого обуславливается хаотичностью тепловых движений в микроскопическом масштабе [220].
Чтобы корректно описывать неравновесные процессы вблизи критической точки, необходимо наряду с учетом взаимодействия флуктуаций в разложении свободной энергии по параметру порядка и решением нелинейного уравнения движения (1.36) рассматривать кроме параметра порядка другие медленно меняющиеся переменные, т.е. учитывать возможность гидродинамических возбуждений в системе. Для этого введем полный набор медленно меняющихся переменных фг. Функционал свободной энергии является при этом функцией этих переменных F(<?i). Проводя обобщение уравнения движения (1.36) на случай учета нелинейной связи медленно меняющихся переменных фи в нем можно выде-
-29-
лить два типа слагаемых. Первые учитывают нелинейные эффекты взаимодействия уже в статике, когда свободная энергия представляется в виде разложения до более высоких степеней фх. Тогда уравнения движения принимают вид:
Здесь А° не являются измеряемыми кинетическими коэффициентами, а только их нулевыми (“затравочными” ) но нелинейной связи приближениями. Коэффициенты переноса получаются из “затравочных” посредством последовательного решения нелинейного уравнения движения и учета вкладов мелкомасштабных флуктуаций. Модель, определяемая этим типом уравнений, получила название динамической модели Гинзбурга-Ландау [186,187] и характеризуется эрмитовым оператором Лиувилля. Кинетические коэффициенты этой модели не расходятся.
Однако, более общие модели с нсэрмитовым оператором Лиувилля могут иметь расходящиеся коэффициенты переноса (175,235,292]. В общем виде слагаемые в уравнении движения для этого типа моделей представляют некоторую скорость потока \\ в пространстве переменных <!>г [235]:
где L — const, a Qij = —Qji - переменные, построенные из скобок Пуассона или коммутаторов <р, и зависящие от свойств той системы, которой данная модель соответствует. Отметим, что введенная скорость Ц удовлетворяет соотношению
Это есть ни что иное, как утверждение о сохранении потока плотности вероятности. Отсюда следует, что Vi не изменяет вида плотности вероятности ехр(—Г). Поэтому статические свойства системы, такие как восприимчивость, определяемая ехр(-.Р), не будут зависеть от £. С учетом V* (<£>,) уравнения движения принимают вид:
Покажем теперь, как пользуясь соображениями о масштабной размерности величин, описывающих критическое поведение системы, можно выделить наиболее существенные в
(1.47)
(1.48)
(1.49)
-30-
каждом из уравнений движения слагаемые, а также выразить динамический критический индекс z через размерность этих слагаемых Д. Если в Р(ф,) сделан отбор существенных в критической области слагаемых (Д < d), то автоматически он оказывается проведенным и в уравнении движения для модели Гинзбурга-Ландау (1.47). Однако положение усложняется в случае модели с неэрмитовьш оператором Лиувилля. Для проведения размерных оценок переопределим правую часть уравнения (1.49). При этом каждое слагаемое в выражении (1.48) представим в виде ВхдГ/дфх, требуя только сохранения размерности трансформируемого слагаемого и слгу1ующих условий для Bt: Вх ~ £,V2 при сохранении Фх и Вх ~ в случае несохранения <р,. Тогда в F - некотором функционале переменных фг> в окрестности критической точки будут существенными только тс слагаемые, размерность которых Д меньше размерности пространства d.
В результате, в уравнении движения для переменной фх с собственной масштабной розмсрностыо Др, существенными оказываются только те слагаемые, размерность которых А удовлетворяет неравенству: Д < d—Д^,. Если наименьшая масштабная размерность слагаемых в правой части уравнения движения равна Amin (наиболее сильно флуктуирующее слагаемое), то из требования масштабной инвариантности уравнения движения следует, что динамический критический индекс
2 = Дшш-Дф0 (1-50)
а размерность пространства dc . начиная е которого это слагаемое будет сказываться, dc = Дшш -г Дс,,. На основании этих выражений отмстим, что в общем случае z не определяется только статическими размерностями, входя:цих в слагаемое с наименьшей масштабной размерностью переменных. В результате усреднения по мелкомасштабным флуктуациям переопределенные кинетические коэффициенты преобретают размерность Да, , которые необходимо определять микроскопическим путем. Однако в случаях, когда некоторые из переменных фг являются сохраняющимися величинами, исследования показывают [185.187], что переопределения соответствующих кинетических коэффициентов не происходит и 2 определяется через статические критические индексы. В случае же несохранения появляются чисто динамические флуктуационные поправки в индексе z [186].
-31 -
1.5 Влияние дефектов структуры на критическое поведение
В реальных макроскопических системах всегда присутствуют те или иные дефекты. Дефекты структуры могут иметь различную природу и оказывать совершенно различное влияние на процессы, протекающие в твердых телах. Поэтому описание влияния дефектов структуры во всех возможных формах их проявления является одной из интересных и сложных проблем теории критических явлений. Так, например, в ферромагнитном кристалле часть ячеек может быть занята атомами, имеющими нулевой магнитный момент. Если концентрация немагнитных атомов превышает определенную величину, ферромагнетизм полностью подавляется. Другим примером служит ситуация, когда з решетке возможны дефекты, приводящие к случайно распределенным выделенным направлениям ориентации спипов. В качестве еще одного примера можно упомянуть переход жидкого Не4 в сверхтекучее состояние в пористой среде.
1 еоретическое изучение влияния случайно распределенных дефектов и примесей на различные явления началось много лет назад. Движение электронов в неупорядоченных твердых телах, перколиционная задача, модель Изинга со спинами на случайных узлах и другие подобные задачи привлекали к себе многих исследователей, результаты работы которых отражены в обширной литературе |23,9б, 108,112,297-299).
Причина, по которой влияние дефектов структуры на критическое поведение ожидается существенным, состоит в следующем. Допустим, что в сисггсму, находящуюся вблизи критической точки, мы ввели малое количество примесей или разорвали в ней небольшое количество связей. Такое изменение можно рассматривать как включение малого возмущения. Отклик системы на такое возмущение описывается на языке поведения различных восприимчивостей и корреляционных функций. Вблизи критической точки идеальной системы некоторые из этих величии велики и представляют собой сингулярные функции температуры. Это означает, что малое количество дефектов структуры может привести к большим эффектам вблизи критической точки, тем самым существенно изменяя критическое поведение чистой (однородной) системы. При этом могут измениться значения критических индексов. Возможно, что наличие дефектов приводит к сглаживанию сингулярного поведения некоторых величии. Может произойти размытие фазового