ОГЛА В ПЕНИЕ
Введение.................................................................3
Глава 1. Устойчивость колебаний рабочей моды в гиротроне...............13
1.1 Устойчивость одномодовых колебаний при синхронном взаимодействием мод. Установление
колебаний в многомодовом гиротроне...................................13
1.2 Переходные процессы на фронте импульса
ускоряющего напряжения...............................................31
1.3 Влияние нестабильности ускоряющего напряжения на эффективность и устойчивость работы гиротрона........................44
1.4 Влияние отраженного сигнала на режим работы гиротрона..............53
Глава 2. Исследование катодов и электронных пучков гиротронов..........67
2.1 Диагностика катодов методом вольт-амперных характеристик и
связь эмиссионной неоднородности с параметрами электронного пучка....67
2.2 Измерение разброса начальной энергии электронов в гиротроне........95
2.3 Энергетические спектры электронного потока после взаимодействия
с ВЧ полем гиротрона................................................114
Глава 3. Экспериментальное исследование гиротронов....................124
3.1 Высокоэффективный гиротрон с рекуперацией энергии.................124
3.2 Гиротрон на второй гармонике гирочастоты с рабочей модой
высокого порядка....................................................134
Заключение.............................................................148
Приложение. Расчет КПД гиротронов с учетом реального
распределения электронов по скоростям.................................150
Литература.............................................................157
2
ВВЕДЕНИЕ
Общее название мазеры на циклотронном резонансе (МЦР) используется для приборов, основанных на индуцированном циклотроном излучении электронов, движущихся в однородном статическом магнитном иоле [1-5]. МЦР, а из них прежде всего гиротроны и гироклистроны, намного превосходя все другие источники излучения диапазона миллиметровых длин волн по мощности и эффективности (см. обзоры [6-14]), сохраняют возможности дальнейшего совершенствования и остаются объектом интенсивного исследования. Излучение этого диапазона имеет ряд специфических свойств, а именно:
• возможность распространения в относительно плотной плазме с концентрацией электронов пе > 1013 — 10° см'3 и взаимодействия с ней;
• возможность концентрации и дистанционного управления посредством зеркал подобно световому излучению;
• значительное поглощение практически во всех конденсированных средах, в том числе и в чистых кристаллических материалах.
Поэтому, мощные непрерывные или квазинепрерывные гироприборы используются для нагрева термоядерной плазмы, плазмохимии, дальней (космической) радиолокации, высокотемпературной обработки ряда материалов, спектроскопии сверхвысокого разрешения и ряда других применений [15,16].
Основные проблемы гироприборов, прежде всего гиротронов, связаны с получением большой выходной мощности. Высокие уровни мощности заставляют уделять большое внимание и эффективности всей системы как при преобразовании энергии электронов в ВЧ излучение, так и при транспортировке и использовании излучения.
Принципиальная возможность получения большой мощности миллиметрового диапазона длин волн в МЦР и других электронных мазерах, использующих индуцированное магнитотормозное излучение электронов, обусловлена взаимодействием электронов с высокочастотным полем в пространственно развитых резонансных системах без мелкомасштабных элементов, сравнимых с длиной волны. Факторами, лимитирующими выходную мощность в этих системах, являются максимальная допустимая величина плотности омических потерь (тепловая нагрузка) какого-либо узла лампы, или ухудшение качества электронного пучка при большом токе, или
3
возбуждение паразитной моды, если селективность резонатора недостаточна. Пути повышения мощности, если речь идет о высокоэффективном приборе, каким является гиротрон, известны: это повышение тока или напряжения электронного пучка или того и другого вместе. При фиксированных значениях напряжения и диаметра электронного пучка возможность увеличения тока ограничена из-за пространственного заряда в электронной пушке [17-19]. Повышение напряжения в принципе дает возможность весьма значительно повысить мощность, как показывают исследования релятивистских гироприборов [20-22]. Однако, рассмотрение релятивистских приборов имеет специфические особенности и выходит за рамки данной работы. Поскольку напряжения порядка 100 кВ использовались в гиротронах почти с самого начала, естественным путем кардинального повышения мощности является согласованное увеличение диаметров резонатора (с переходом на более высокую моду) и электронного пучка, позволяющее пропорционально увеличить и его ток.
Ограничение выходной мощности тепловыми нагрузками в резонаторе
С? Р
определяется ПЛОТНОСТЬЮ омических потерь Ром=— {Яо\1 И йдИФ ■
У(М з
омическая и нагруженная добротности резонатора, последняя определяется в основном дифракционной связью открытого резонатора с выходным волноводом), также может быть преодолено только путем увеличения диаметра, а значит и площади поверхности резонатора 5, поскольку величина
0.днф ограничена снизу [23]. Но при этом увеличивается и плотность спектра
собственных частот в резонаторе, из-за чего полу'шть устойчивую одномодовую генерацию рабочей моды становится все сложней, т.к. оказывается возможным резонансное взаимодействие активной среды - потока электронов - одновременно с несколькими модами. Таким образом, задача повышения мощности оказывается тесно связанной с задачей обеспечения одномодовой генерации в низкодобротных сверхразмерных резонаторах.
При достаточно большой величине тока в таком генераторе условия самовозбуждения выполняются одновременно для нескольких мод. В переходном режиме при возбуждении нескольких мод происходит независимое нарастание их амплитуд до значений, при которых вследствие нелинейных свойств активной среды начинается взаимодействие мод.
4
Многомодовость может быть причиной нестабильной работы генератора: перескоков частоты генерации, соответствующих переключению с одной моды на другую, снижения КПД, появления дополнительных шумов [14,24-26]. В зависимости от сценария включения может возбуждаться несколько конкурирующих типов колебаний [26,27]. Обеспечение стабильности рабочего типа колебаний является важной задачей разработки и конструирования мощных генераторов микроволнового излучения.
С точки зрения теории колебаний многомодовый генератор представляет собой систему с числом степеней свободы равным количеству возбуждаемых мод. Исследованию таких систем посвящено большое число работ, в частности и по гиротронам, в которых рассмотрены основные эффекты имеющие место в многочастотных системах (конкуренция мод, затягивание частоты, принудительная синхронизация, биения, см., например, [28-32]). Основной задачей данной работы был детальный анализ нелинейных процессов и определение на его основе областей в пространстве параметров, в которых имеет место устойчивая одномодовая генерация с высоким КПД. Анализ одновременного возбуждения многих мод и их взаимодействия в гиротронах требует учета нестационарных процессов. Только при таком подходе можно выяснить характер установившегося режима генерации (если он реализуется). Как следует из рассмотрения простейших моделей, многомодовость в МЦР может приводить к нестабильности и полному срыву генерации на рабочей моде, многочастотной генерации с примесью паразитных мод или излучению только паразитных колебаний [33-36]. Известно, что для обеспечения одномодовой генерации в МЦР применяются методы электродинамической и электронной селекции [37,38]. Первые состоят в снижении добротности паразитных мод или изменении плотности спектра вблизи рабочей моды (использование гофрированных, коаксиальных, двухзеркальных резонаторов и др.) Электронная селекция использует то обстоятельство, что электронный поток по разному взаимодействует с модами, отличающимися друг от друга эффективным объемом, продольным распределением и поперечной структурой поля. Таким образом, ответ на вопрос о предельной плотности спектра взаимодействующих мод, при которой возможна одномодовая генерация рабочей мода с высоким КПД, связан с вопросом предельной эффективности электронной селекции. При больших
5
плотностях спектра уже на папе разработки гиротронов должны использоваться методы электродинамической селекции мод.
Одновременно с повышением мощности продолжает оставаться актуальной задача повышения эффективности МЦР. Поскольку в слаборелятивистском гиротроне в процессе взаимодействия электронов с ВЧ-полем меняется только энергия орбитального движения частиц, но не энергия их поступательного движения, КПД гиротрона с учетом ВЧ омических потерь в
Q
стенках резонатора равен // = (1---------) rjL, где rjL так называемый
Qom
“орбитальный” (или “поперечный” КПД, равный отношению энергии, излученной электронами к начальной величине орбитальной энергии) и -фактор, характеризующего отношение начальной орбитальной энергии к полной энергии электронов.
Орбитальный КГЩ г/х принимает максимальные значения при оптимальных значениях расстройки циклотронного резонанса, тока пучка и длине резонатора. Maximum maximorum орбитального КПД может быть весьма близок к 1 [41], для чего необходимо, чтобы разброс компонент скоростей электронов отсутствовал, а продольные распределения ВЧ и статического магнитного поля в резонаторе имели определенный, достаточно сложный характер. В однородном магнитостатическом поле и резонаторе простейшего профиля с цилиндрическим рабочим участком расчетный максимальный орбитальный КПД составляет около 70% [42].
g2 V,
Коэффициент t. = J , где g = — отношение поперечной скорости
‘1 + 5 п
электронов к их продольной (относительно магнитного поля) скорости, тем ближе к 1, чем меньше начальная энергия поступательного движения частиц. Однако, величина 0 ограничена снизу из-за разброса скоростей электронов
[39], и к тому же ее чрезмерное уменьшение приводит к ограничению тока из-за провисания потенциала. Разброс скоростей электронов обусловлен рядом причин, среди которых наиболее важны неоднородности электрических и магнитных полей на катоде, шероховатость его поверхности и эффекты, связанные с пространственным зарядом электронного пучка. Разброс скоростей электронов приводит к тому, что с увеличением g большее число электронов, имеющих максимальные вращательные скорости отражается от магнитной
6
пробки и запирается в ловушке между пробкой и катодом. В этой области они могут накапливаться и вызывать некоторые виды неустойчивостей электронного потока, приводящие к снижению КПД или даже срыву генерации гиротрона [40]. Разброс скоростей электронов является основной причиной, по которой величина находится в интервале 0.6-0.7, вследствие чего выходной КПД гиротронов составляет 40-45% [43,44], вместо 50-60%, теоретически возможных при моноскоростном пучке. С укорочением длины волны КПД гиротронов снижается из-за увеличения разброса скоростей электронов и ВЧ омических потерь в резонаторе.
На величину скоростного разброса существенно влияет однородность электронного пучка [45-47]. Катоды гиротронов работают в режиме температурного ограничения тока эмиссии (не ограничения тока пространственным зарядом пучка как в большинстве электронных приборов), вследствие чего локальная плотность тока эмиссии зависит от состояния эмиттера и, в принципе, от времени [48,49]. Задачей данной работы было исследование зависимости параметров электронного пучка от состояния эмиттера.
КПД гиротрона, как и других электронных приборов, может быть повышен путем рекуперации - отбора части остаточной энергии электростатическим тормозящим полем коллектора. [50]. Известно значительное число работ по рекуперации, в которых был реализован КПД более 50% [51-63]. Простейшая схема рекуперации может быть реализована в лампе с изолированным коллектором, на который подается напряжение тормозящее электронный пучок. Величина напряжения на коллекторе определяется минимальной остаточной энергией электронов, поскольку при превышении этого значения часть электронов отражается обратно в резонатор, ухудшая условия взаимодействия электронов с ВЧ-полем и снижая тем самым орбитальный КПД. Расчетные функции распределения электронов по энергии после взаимодействия с ВЧ-полем для некоторых режимов подтверждают отсутствие в пучке электронов с энергиями ниже 30% их начальной энергии, и, таким образом, эта часть энергии может быть возвращена в источник питания путем соответствующего снижения потенциала коллектора. Одновременно с повышением КПД происходит и снижение тепловой нагрузки на коллектор. Одно из направлений данной работы состояло в экспериментальном изучении
7
энергетического спектра электронов в различных режимах и гиротрона с
рекуперацией.
Кроме рассмотренных выше причин, снижение орбитального КПД электронов возможно и из-за энергетического разброса частиц на входе в пространство взаимодействия. При этом вследствие релятивистской
еНс
зависимости частоты вращения электронов со,, = —- от их энергии
Е
ухудшается группировка электронов в тормозящей фазе ВЧ-поля. Исследование энергетических спектров электронного потока до взаимодействия с ВЧ-полем позволяет уточнить значение КПД, реализуемое при типичных значениях энергетического разброса.
Наряду с работами по повышению выходной мощности и КПД продолжаются исследования направленные на уменьшение длины волны излучения. Как известно, реальные возможности уменьшения длины волны в гиротронах ограничены возможностями создания сильных магнитных полей в достаточно больших объёмах. Наиболее высокая напряженность магнитного поля в неразрушаемых импульсных соленоидах составляет несколько десятков тесла, что позволяет получить длины волн 0.3-0.4 мм [65]. По сравнению с гиротронами на основном гирорезонансе гиротроны на гармониках гирочастоты п =2,3,4... привлекательны тем, что для получения той же длины волны требуются в п раз меньшие магнитные поля. Однако, на гармониках гирочастоты обеспечить селективность резонатора сложнее, из-за возможности возбуждения колебаний на низших гармониках [66,67]. Естественно, что и в этом случае, наибольшие выходные мощности могут быть реализованы при работе на высоких модах в резонаторах большого диаметра. В данной работе экспериментально исследовалась возможность возбуждения высоких мод в гиротроне на второй гармонике гирочастоты.
Таким образом, целью диссертационной работы является
1. Изучение процессов в многомодовых гиротронах с развитым пространством взаимодействия, нахождение условий устойчивой одномодовой генерации с высоким КПД.
2. Разработка методов диагностики и исследование качества эмиттеров гиротронов и эволюции их параметров во времени.
3. Разработка методов диагностики и исследование электронного пучка, формируемого электронно-оптической системой гиротронов.
8
4. Экспериментальное исследование высокоэффективных гиротронов с рекуперацией энергии
5. Экспериментальное исследование гиротронов с развитым пространством взаимодействия на гармониках гирочастоты.
Научная новизна.
1. Предложена и опробована методика численного моделирования переходных процессов в гиротроне на фронте импульса ускоряющего напряжения.
2. Теоретически получены бифуркационные значения перехода к автомодуляционным и стохастическим колебаниям в гиротронах с отражением части выходного излучения от неоднородностей электродинамического тракта.
3. Применительно к гиротронам опробована методика анализа качества катодов по их ВАХ и установлена связь эффективной эмиссионной неоднородности катода с параметрами электронного пучка.
4. Экспериментально исследован энергетический спектр электронов в гиротроне
5. Экспериментально исследован гиротрон с одноступенчатой рекуперацией энергии.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Объем диссертации составляет 170 страниц, включая 99 страниц основного текста, размещенные на 57 страницах 80 рисунков, и 14 страниц списка литературы, который состоит из 175 наименований.
Краткое содержание диссертации.
В первой главе развиты методы расчета, позволяющие исследовать устойчивость одномодовых колебаний гиротрона в условиях резонансного возбуждения электронным пучком нескольких мод. Результаты исследования позволяют оценить плотность спектра синхронно взаимодействующих мод, при котором одномодовые колебания с высоким КПД становятся неустойчивыми. Описаны возможные сценарии установления колебаний в многомодовом гиротроне и процессы на фронте импульса ускоряющего напряжения, когда наиболее вероятно возбуждение паразитных мод. Исследовано влияние нестабильности ускоряющего напряжения и отраженного от неоднородностей электродинамического тракта сигнала на работу гиротрона.
9
Во второй главе развита методика диагностики качества катодов гироприборов - их эффективной эмиссионной неоднородности - по вольт-ампсрным характеристикам. Приводится описание комплекса автоматизированного измерения вольт-амиерных характеристик гирорезонансных приборов, экспериментальные данные о параметре эффективной эмиссионной неоднородности для различных режимов и различных катодов. Приведена оценка допустимой эмиссионной неоднородности катода и зависимость параметров электронного пучка от эмиссионной неоднородности катода. Разработана методика комплексных измерений, позволяющая судить о вкладе в эмиссионную неоднородность катода различных физических механизмов.
Описан анализатор, предназначенный для измерения энергии электронов в гиротронах. На основе метода тормозящего электрического поля найдены энергетические спектры электронного пучка экспериментального гиротрона как в негенерирующем гиротроне, так и после взаимодействия с ВЧ нолем при различных режимах генерации. Показано, что даже в отсутствие СВЧ генерации разброс энергий электронов, обусловленный эффектами пространственного заряда, может достигать нескольких процентов. В режиме генерации с наибольшим КГЩ спектр начинается с энергий порядка 40% первичной энергии пучка и удовлетворительно совпадает с результатами расчетов.
В третьей главе описаны основные результаты экспериментальных работ, направленных на увеличение выходной мощности и эффективности гиротронов. В частности, приведены результаты исследований гиротрона с рекуперацией энергии, в которых получен выходной КПД 65% при выходной мощности 1 МВт, и описание экспериментов с гиротроном на второй гармонике гирочастоты с развитым пространством взаимодействия, в котором возбуждались относительно высокие моды ТЕб,5 и ТЕ8,5 на частоте 250 ГГц.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
В приложении оценивается целесообразность учета влияния скоростного разброса на КПД гиротрона и приводится методика расчетов с использованием реальной функции распределения электронов по скоростям.
В диссертации используется сплошная нумерация цитируемых источников. Нумерация параграфов и формул производится по главам: к
10
номеру формул или параграфов впереди добавляется цифра, соответствующая номеру главы. В приложениях при нумерации формул добавлена буква П.
На защиту выносятся следующие положения и научные результаты
1. Развиты методы численного моделирования процесса установления колебаний в многомодовых гиротронах с развитым пространством взаимодействия.
2. В гиротроне с огражениями выходной мощности от элементов электродинамической системы продемонстрировано снижение значений тока пучка, при которых происходит переход от режима генерации со стационарной амплитудой к автомодуляционным, а потом и к стохастическим колебаниям. Положение сформулировано на основе численных расчетов.
3. Разработан метод диагностики эмиссионной неоднородности катода по вольт-амперным характеристикам. Установлена связь параметров электронного пучка с эмиссионной неоднородностью катода. Положение сформулировано на основании экспериментального тестирования серии катодов, сопоставления результатов тестирования с экспериментальными значениями КПД и расчетами.
4. Разработан метод измерения энергетического спектра электронного пучка гиротронов. Экспериментально получены и сопоставлены с расчетными энергетические спектры для различных режимов.
5. В мощном коротковолновом гиротроне на рабочей моде высокого порядка с рекуперацией энергии продемонстрирован выходной КПД 65%, превосходящий другие известные результаты.
6. В гиротроне на второй гармонике гирочастоты продемонстрировано одномодовое возбуждение высоких мод ТЕб,5 и ТЕ8,5> превосходящее как по продвижению вглубь спектра собственных мод, так и по выходной мощности другие известные результаты.
Аппробация результатов
Основные результаты диссертации докладывались на 10ом Всесоюзном семинаре “Волновые и колебательные явления в прибора О-типа” (1990), Всесоюзном совещании по открытым ловушкам (1990), Международной конференции PhD students (1995), Международных конференциях “Strong microwaves in plasmas” (1991 и 1993), Международных конференциях “Infrared
11
and mm waves” (1994, 1996 и 1997), Международных совещаниях “Joint Russian-German Meeting on ECRH and GyrotTon” (1994, 1996 и 1997), Всероссийской межвузовской конференции “Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ” (1997), Международной конференции ’’Cyclotron resonance masers and gyrotrons” (1998), Международной конференции BEAMS’98 (1998), а также на научных семинарах ИПФ РАН. По теме диссертации опубликованы работы [68-100], а более подробное изложение ряда результатов содержится в отчетах по НИР [101-110].
Автор глубоко признателен А.Л. Гольденбергу В.Е.Запевалову, В.А.Флягину, а также всем сотрудникам ИПФ РАН, принимавшим участие в выполнении работ, составивших основу диссертации.
12
ГЛАВА 1 УСТОЙЧИВОСТЬ одномодовых КОЛЕБАНИЙ В МНОГОМОДОВОМ ГИРОТРОНЕ
Развиты методы расчета, позволяющие исследовать устойчивость одномодовых колебаний гиротрона в условиях резонансного возбуждения электронным пучком нескольких мод. Результаты исследования позволяют оценить предельную плотность спектра синхронно взаимодействующих мод, при которой одномодовые колебания с высоким КПД могут оставаться устойчивыми. Описаны возможные сценарии установления колебаний в многомодовом гиротроне и процессы на фронте импульса ускоряющего напряжения при вероятном возбуждении паразитных мод. Исследовано влияние нестабильности ускоряющего напряжения и отраженного от неоднородностей электродинамического тракта сигнала па работу гиротрона.
1.1 УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОМОДОВЫХ КОЛЕБАНИЙ В ГИРОТРОНЕ С СИНХРОННЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ МОД. СЦЕНАРИИ УСТАНОВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В МНОГОМОДОВОМ ГИРОТРОНЕ.
1.1.1. Постановка задачи. В связи с созданием мощных гиротронов с развитым пространством взаимодействия все более актуальной становится проблема обеспечения устойчивости стационарной генерации рабочей моды. Как показывает анализ спектра собственных частот ТЕ-мод открытых цилиндрических резонаторов, обычно используемых в гиротроиах, по мере продвижения вглубь спектра (увеличения радиуса резонатора) сначала по соседству оказываются моды, различающиеся и радиальными р и
азимутальными т индексами (р Ф р,т * т). Спектр таких мод неэквидистантен и поэтому в случае их возбуждения имеет место чисто амплитудное (также называемое несинхронным) взаимодействие, при котором основным эффектом является конкуренция мод [35, 111].
При дальнейшем увеличении радиуса резонатора в полосе циклотронного резонанса могут оказаться моды, отличающиеся лишь одним из поперечных индексов. Данные моды характеризуются очень близким к эквидистантному спектром собственных частот. Между такими модами имеет место одновременное выполнение двух условий синхронизма - временного
13
1<У, + <У_,
-2а>„\<%
(1.1)
и пространственного
т, + т., = 2т0
(1.2)
где <у5 и т5 - соответственно частоты и азимутальные индексы мод, индексы «О» относится к центральной моде, индексы «±1» - к правому и левому сателлитам, О - добротность колебаний . Взаимодействие этих мод является амплитудно-фазовым (синхронным). Результатом этого взаимодействия может стать автомодуляционная неустойчивость колебаний центральной моды, приводящая к возбуждению обоих сателлитов с определенными фазовыми соотношениями, то есть к режиму взаимной синхронизации мод. Этим условиям, в частности, удовлетворяют моды шепчущей галереи ТЕт р (т»р, где р -радиальный индекс), различающиеся только азимутальным индексом.
Среди вопросов, связанных с изучением синхронного взаимодействия мод, наибольший практический интерес представляет проблема устойчивости одномодовьгх колебаний. Если считать рабочую моду центральной, то задача сводится к исследованию устойчивости ее автоколебаний относительно возбуждения симметрично расположенных по частоте сателлитов, удовлетворяющих условиям (1.1) и (1.2). Эту задачу в ряде случаев (см., например, [111,112] ) исследовали в предположении, что сателлиты обладают одинаковыми по величине исчезающие малыми амплитудами. Данное предположение упрощает исследование. Более общим, несомненно, является исследование устойчивости одномодовых колебаний (автомодуляционной неустойчивости [112]) по отношению к возбуждению сателлитов с произвольным соотношением между амплитудами.
1.1.2 Исходные уравнения. Будем рассматривать в кинематическом приближении традиционную аксиально-симметричную модель гиротрона, предполагая, что разбросом скоростей и радиусов ведущих центров электронов в тонком трубчатом пучке, а также полями пространственного заряда можно пренебречь. (Влияние разброса скоростей на выходные характеристики гиротрона рассмотрено, например, в работах [43,44] и дополнительно анализируется в приложении 1). В данном случае самосогласованная система уравнений, описывающих возбуждение произвольного числа мод на основном циклотронном резонансе потоком электронов, движущихся в поле многомодового резонатора, имеет вид [35]
14
сіа
— - і(\ + И2 -1 )а = ']2СїЛ (■ .
ф*'* т
+ і
- ,І[і Фс = —І -
6 ~>-ГТ і Г
2 я
1 1
с/ 2л
5
2я V*
^-1
1Ч«П >
і І КЛЖ
О о
СІ$ „
сіср
(1.3)
(1.4)
(1.5)
Здесь комплексная величина а = £(рх - )/р10 ]еш</ описывает изменение
поперечного импульса электронов {рху - компоненты импульса в декартовой
системе координат, р10 начальное значение импульса ), £ = я
м<>2 До с
приведенная продольная координата, д = (2//?„)[К -%0)/бУ0]- расстройка циклотронного резонанса, Д0,ДЛ- невозмущешіьіе значения соотвстствсіню поперечной и продольной скоростей частиц, отнесенные к скорости света, а)но -невозмущенная циклотронная частота, С5 = -комплексная амплитуда э-й моды, /${£) -функция, описывающая ее продольное распределение, (р -азимутная координата ведущих центров электронов, і90 -начальная фаза электронов ( на входе резонатор а(0) = е[0;2я],
// = а- безразмерное время, комплексный фактор возбуждения
Ф, =Ф[ + ІФ'/ (1.5)
характеризует взаимодействие электронного пучка с полем э-й моды, /5-параметр тока, пропорциональный постоянной составляющей тока пучка и импедансу связи электронов с полем б-й моды. Определение /9,/75,4/5 дано, например, в [35]:
/ ^Т|((й>.9|’С)Дз)
/. =0,47*10
-ї
4/£оДоП
Г
о »
(1.6)
Я0 Ао
В выражениях (1.6) I- ток пучка в амперах, у0 - лоренц-фактор электронов, /?0-радиус ведущих центров электронов, vs - собственное ЧИСЛО моды
15
- Київ+380960830922