Оглавление
Введение 7
I Общие свойства волновых уравнений в области линейного взаимодействия электромагнитных волн в плавнонеоднородных анизотропных и гиротропных средах 31
1.1 Введение.............................................................. 31
1.2 Классическое определение и трудиости, возникающие при описании
линейного взаимодействия электромагнитных волн ......................32
1.3 Тензор диэлектрической проницаемости в точке поляризационного вырождения ............................................................... 34
1.3.1 Представление в базисе собственных поляризаций среды.......... 34
1.3.2 Представление в базисе главных оптических осей.................42
1.3.3 Сравнение двух представлений.................................. 45
1.4 Эталонные уравнения, описывающие линейное взаимодействие волн в
окрестности точек поляризационного вырождения....................... 47
1.4.1 Случай (а): поляризационное вырождение в условиях частичного вырождения анизотропии............................................... 50
1.4.2 Случай (Ь): поляризационное вырождение в окрестности резонанса среды............................................................. 51
1.4.3 Случай (с): полное поляризационное вырождение................. 57
1.4.4 Случай (с!): полное вырождение анизотропии среды...............58
1.4.5 Случай (е): волновой вектор ортогонален вектору собственной поляризации среды...................................................... 59
1.5 Эталонные уравнения, описывающие линейное взаимодействие волн в
окрестности резонансов среды........................................ 61
1.5.1 Аналитическое решение......................................... 62
1.5.2 Коэффициенты трансформации волновых пучков.....................65
1.5.3 Переход к одномерному случаю...................................67
1.6 Выводы к главе I ................................................... 69
2
II Импедаисный метод решения задач распространения электромагнитных волн в анизотропных и гиротропных средах 71
2.1 Введение.............................................................. 71
2.2 Переход от граничной волновой задачи к эволюционной задаче для уравнений встречных волн................................................. 77
2.3 Имнсдансный метод для уравнений Максвелла в средах без пространственной дисперсии....................................................... 83
2.3.1 Вывод уравнений для тангенциальных полей........................83
2.3.2 Разложение поля по локальным волноводным модам..................86
2.3.3 Разложение ноля но модам на границах........................... 89
2.3.4 Разложение поля по вакуумным модам............................. 91
2.3.5 Сопоставление разных методов разложения поля....................94
2.4 Общие свойства имнеданспых уравнений ................................. 95
2.4.1 Связь представлений через локальные волноводные и граничные вакуумные моды....................................................... 95
2.4.2 Отражение от полупространства, заполненного однородной средой 96
2.4.3 Отражение от слоя, заполненного однородной средой...............97
2.4.4 Формальное решение для оператора отражения......................98
2.4.5 Представление решения в виде разложения но кратности рассеяния 99
2.4.6 Закон сохранения энергии.......................................100
2.5 Распространение электромагнитных волн в холодной магнитоактивной плазме...................................................................103
2.5.1 Постановка задачи для неоднородного плазменного слоя...........104
2.5.2 Методика расчета...............................................106
2.5.3 Линейное взаимодействие обыкновенной и необыкновенной волн . 107
2.5.4 Брегговское рассеяние обыкновенной волны.......................111
2.5.5 Брэгговское рассеяние необыкновенной волны.....................117
2.6 Распространение электромагнитных волн в теплой магнптоактшшой плазме...................................................................118
2.6.1 Тензор диэлектрической проницаемости в одномерно неоднородной теплой магнптоактшшой плазме . ‘.................................119
2.6.2 Обобщение импедансного метода для учета пространственной дисперсии в магнитоактивпой плазме......................................121
2.6.3 Методика расчета...............................................123
2.6.4 Циклотронное поглощение обыкновенной волны.....................124
2.6.5 Линейное взаимодействие обыкновенной, необыкновенной и берн-штейновской волн в плотной плазме (О-Х-В процесс)....................125
2.7 Выводы к главе II.....................................................129
3
III Линейное взаимодействие волн электронно-циклотронного диапазона в тороидальных магнитных ловушках 131
3.1 Введение. Нагрев и диагностика закритнческой плазмы волнами ЭЦ диапазона...............................................................131
3.2 О номенклатуре нормальных волн ......................................134
3.3 Линейное взаимодействие обыкновенной и необыкновенной волн в двумерно неоднородной магнитоактнвной плазме...............................136
3.3.1 Эталонные волновые уравнения..................................138
3.3.2 Функции Грина для поля прошедшей и отраженной воли............142
3.3.3 Распределение полей в ВКБ-области ............................148
3.3.4 Эффективность трансформации гауссовских пучков................155
3.3.5 Оптимальные квазиоптичсские пучки.............................158
3.4 Эффекты кривизны поверхностей отсечки при линейном взаимодействии обыкновенной и необыкновенной ВОЛН................................161
3.4.1 Эталонные волновые уравнения и их решение.....................161
3.4.2 Качественный анализ структуры полоидальных гармоник и дискретного спектра....................................................167
3.4.3 Численное моделирование трансформации волновых пучков .... 170
3.5 Линейное взаимодействие обыкновенной и необыкновенной волн в трехмерно неоднородных плазменных конфигурациях с широм магнитного поля............................................................173
3.5.1 Эталонные волновые уравнения..................................174
3.5.2 Аналитическое решение эталонных волновых уравнений............178
3.5.3 Применение импсдансиого метода для численного решения эталонных волновых уравнений...........................................183
3.5.4 Эффективность трансформации гауссовских пучков................184
3.5.5 Обсуждение результатов .......................................187
3.6 Численное моделирование процессов О-Х-В и В-Х-0 трансформации электромагнитного излучения в плазме токамака...........................188
3.6.1 Методика расчета лучевых траекторий...........................190
3.6.2 Релятивистские эффекты на крыле линии циклотронного поглощения бериштейновких волн...........................................196
3.6.3 Пример моделирования О-Х-В нагрева и В-Х-0 диагностики плотной плазмы..........................................................202
3.7 Выводы к главе III ..................................................207
IV Кинетические эффекты при квазипоперечном распространении излучения электронно-циклотронного диапазона в тороидальных магнитных ловушках 209
4
4.1 Введение............................................................209
4.2 Квазилинейная диффузия в тороидальной плазме........................211
4.3 Динамические процессы при ЭЦ нагреве плазмы.........................219
4.3.1 Постановка задачи.............................................220
4.3.2 Формирование квазилинейного возмущения........................224
4.3.3 Квазистационарный нагрев электронной компоненты...............229
4.4 Самосогласованная модель ЭЦ нагрева плазмы в тороидальной ловушке235
4.4.1 Основные уравнения и параметры задачи.........................236
4.4.2 Случай узкого спектра греющего излучения......................239
4.4.3 Сравнение теории с 30 расчетом................................242
4.5 Квазилинейное возмущение спектра излучения плазмы в окрестности частоты ЭЦ нагрева......................................................243
4.5.1 Качественный анализ...........................................246
4.5.2 Расчет ЭЦ излучения для круглого токамака.....................251
4.5.3 Расчет ЭЦ излучения для стелларатора \V7-AS...................256
4.6 Генерация безындукционного тока при квазипоперечном вводе ЭЦ излучения...............................................................259
4.6.1 Основные уравнения............................................260
4.6.2 Генерация тока в однородной плазме............................264
4.6.3 Генерация тока в тороидальной системе.........................266
4.7 Выводы к главе IV ..................................................269
V Диагностика плазмы тороидальных магнитных ловушек методом
коллективного рассеяния мощного миллиметрового излучения 272
5.1 Введение............................................................272
5.2 Ионно-циклотронные неустойчивости термоядерной плазмы при нагреве методом пнжекции нейтральных пучков .................................273
5.2.1 Экспериментальное исследование на стеллараторе \V7-AS.........274
5.2.2 Особенности удержания частиц в стеллараторе...................277
5.2.3 Основные экспериментальные результаты ........................280
5.2.4 Моделирование функции распределения быстрых ионов.............286
5.2.5 Нижнегнбридная неустойчивость в условиях двойного резонанса . 289
5.2.6 Неустойчивость ионных бсрнштейновскнх волн....................295
5.3 Объяснение природы аномальных спектров коллективного рассеяния миллиметрового излучения на токамаке РТи................................298
5.3.1 Экспериментальные условия.....................................299
5.3.2 Аномальные спектры ...........................................300
5.4 Выводы к главе V....................................................306
5
VI Мазерный механизм генерации электромагнитного излучения в условиях электронного циклотронного резонанса в разреженной плазме 308
б Л Введение...........................................................308
6.2 Мазер на циклотронном резонансе в распадающейся плазме.............310
6.3 Наблюдение импульсных высыпаний быстрых электронов и цикло-
тронный механизм генерации вспышсчной активности в распадающейся плазме ЭЦР разряда...............................................317
6.3.1 Условия и результаты эксперимента.............................318
6.3.2 Теоретическая интерпретация ..................................320
6.4 Мазер па циклотронном резонансе с адиабатической магнитной накачкой в разреженной плазме................................................331
6.4.1 Ловушка с магнитным адиабатическим сжатием....................334
6.4.2 Основные ЭЦ неустойчивости при магнитном сжатии...............337
6.4.3 Мощность и длительность импульса электромагнитного излучения 340
6.4.4 Моделирование условий возбуждения ЭЦ неустойчивостей в тсра-герцовом диапазоне частот...........................................344
6.5 Ускорение электронов нри магнитном сжатии корональной плазмы . . 34Э
6.5.1 Динамика магнитного поля в солнечной короне...................349
6.5.2 Динамика фоновой плазмы.......................................352
6.5.3 Распределение энергичных электронов...........................356
6.5.4 Предельный запас энергии горячих электронов...................363
6.6 Выводы к главе VI .................................................367
Заключение 369
Приложение. Кулоновские соударения в плазме 372
А.1 Интеграл соударений Ландау и потенциалы Розенблюта.................372
А.2 Изотропное распределение фоновых частиц............................375
А.З Линеаризованный оператор соударений ...............................376
А.4 Электрон-ионные соударения ........................................378
А.5 Электрон-электронные соударения....................................378
А.6 Соударения быстрых ионов...........................................379
Основные публикации автора по теме диссертационной работы 381
Литература 388
б
Введение
Актуальность темы
С точки зрения электродинамики, магнитоактивная плазма представляет собой сложную среду, характеризующуюся анизотропным и гиротропным диэлектрическим откликом, выраженной пространственной дисперсией, наличием «резонансов» и связанной с ними диссипации электромагнитных воли [1-5). Диссертационная работа посвящена исследованию высокочастотных резонансных волновых процессов в плавпо неоднородных плазменных конфигурациях с пространственными масштабами, значительно превышающими длину электромагнитных волн. Типичным примером такого процесса является возбуждение, распространение и поглощение волн электронно-циклотронного (ЭЦ) диапазона в горячей плазме, удерживаемой в природных или лабораторных магнитных ловушках. Помимо очевидного общефизического интереса рассматриваемая проблема имеет большое значение для целого ряда направлений практической деятельности — для развития и оптимизации систем СВЧ нагрева и стабилизации плазмы в установках управляемого термоядерного синтеза (УТС), для создания новых типов источников плазмы и генераторов электромагнитного излучения в слабо освоенных частотных диапазонах, для интерпретации данных наблюдений естественных источников электромагнитного излучения в ионосферной и космической плазме и понимания механизмов их функционирования. Благодаря богатству физических явлений, протекающих в плавно неоднородной плазме, применяемый для исследования этих явлений теоретический аппарат нельзя считать полностью завершенным.
Одной из центральных проблем электродинамики плавнонеоднородной магнито-актнвной плазмы является построение теории линейного взаимодействия нормальных волн, распространяющихся в электронном циклотронном диапазоне частот. Начало исследований было положено в работах В. Л. Гинзбурга в связи с изучением эффекта «утраивания» радиосигналов в ионосфере [6,7]. В астрофизических условиях линейное взаимодействие волн имеет существенное значение для описания механизма выхода излучения из плотной плазмы, например из солнечной короны (3,4,8,9]. В последние годы интерес к этой проблеме заметно усилился в связи с задачами высокочастотного нагрева и диагностики плазмы в тороидальных магнитных ловушках, используемых в исследованиях УТС (10,11). Это связано с успехами в развитии мощ-
7
ных источников миллиметрового излучения (гиротронов) для термоядерных установок [12-15), а также с достижением режимов с улучшенным удержанием в токамаках и появлением альтернативных систем типа сферических токамаков и оптимизированных стеллараторов, для которых характерны сравнительно низкие магнитные поля при высокой плотности плазмы. В современном эксперименте все чаще стали реализовываться режимы удержания, в которых плотность в центральных областях плазменного шнура превышает критическое значение для распространения электромагнитных мод, используемых в традиционных схемах ЭЦ нагрева и диагностики плазмы [12,16]. Резонансное поглощение электромагнитных волн в сферических токамаках может также оказаться неэффективным, поскольку из-за низкого значения магнитного поля поглощение удается реализовать только на достаточно высоких циклотронных гармониках [17). Одна из возможностей но преодолению указанных трудностей связана с линейной трансформацией электромагнитных волн миллиметрового диапазона в электростатические бернштейновские волны, которые свободно распространяются в закритпческоп плазме и эффективно поглощаются плазмой в широком диапазоне циклотронных гармоник.
Отметим, что возможность ЭЦ нагрева закритической плазмы представляется весьма актуальной и для больших установок ближайшего будущего, таких как токамак-реактор ИТЭР [18-21) и стелларатор \V7-X [22, 23]. Основным способом поддержания разряда с плотной плазмой в этих установках является ннжекцня нейтральных пучков с энергией порядка 1 МэВ, однако разработка источников таких пучков (основанных на ускорении и последующей нейтрализации отрицательных ионов) в настоящее время столкнулась с серьезными трудностями технологического характера [24—26). С другой стороны, гиротроны, требуемые для систем ЭЦ нагрева этих установок, уже разработаны и без сомнения будут произведены в необходимом количестве [15]. С этой точки зрения ЭЦ способ является наиболее надежным среди всех рассматриваемых способов дополнительного нагрева плазмы. Поэтому вполне возможно, что ЭЦ нагрев с использованием линейной конверсии волн будет использоваться как промежуточное пли резервное решение, обеспечивающее реализацию разряда в плотной плазме в случае задержек запуска систем нагрева нейтральными пучками.
Благодаря распространению коротковолнового излучения в виде квазноптнче-ских волновых пучков и резонансному характеру ЭЦ поглощения, область энерговклада в тороидальных ловушках легко локализуется в пространстве. Начиная с 90-х годов прошлого века системы ЭЦ нагрева стали использоваться для тонкой оптимизации профиля плазмы и стабилизации МВД неустойчивостей плазменного шнура в токамаках [12,16,27] или для компенсации бут-стрэп токов в стеллараторах [22]. В настоящее время эти приложения являются одной из важнейших задач для систем ЭЦ нагрева на современных и строящихся тороидальных установках. В частности,
8
локальный ЭЦ прогрев плазмы и генерация ЭЦ тока рассматриваются в качестве одного из основных методов контроля неустойчивостей неоклассических тнринг мод и пилообразных колебанийи плазмы в токамакс-реакторе ИТЭР [19-21,28-31). Для решения этой задачи требуется тонкая оптимизация условий ввода ЭЦ излучения в плазму для получения минимально возможной области энерговклада в строго определенном месте [29,32], что накладывает жесткие требования на точность моделирования распространения распространения волновых пучков в неоднородной магпито-активной плазме [33,34]. Возникает необходимость последовательного учета влияния пространственной дисперсии и дифракции излучения в гиротропной плазме [35,36], а также слабо выраженных квазилинейных эффектов, связанных с деформацией функции распределения электронов, в тепловой области энергий, возникающей под влиянием резонансного высокочастотного поля в условиях сильных кулоновских соударений между частицами плазмы [16]. Учет этих факторов требует некоторого пересмотра сложившихся представлений о методах численного моделирования распространения микроволнового излучения в плазме.
Регистрация собственного излучения плазмы в ЭЦ диапазоне традиционно используется в качестве одного из основных способов диагностики высокотемпературной тороидальной плазмы [37]. Несмотря на богатую историю, новые возможности этого метода диагностики далеко не исчерпаны, при этом быстрое развитие приемной аппаратуры часто приводит к новым возможностям и новым задачам для теоретиков. Значительный интерес для диагностики плотной плазмы представляет процесс, обратный процессу поглощения ЭЦ излучения в закритнческой плазме режиме линейной трансформации в электростатические колебания [11]. Как правило, данный процесс проявляется в спектрах ЭЦ излучения плазмы как чернотельное излучение в локализованном интервале углов распространения регистрируемого излучения, в котором реализуется эффективная линейная трансформация для заданного частотного диапазона. Спектры этого излучения могут нести информацию о распределении температуры центральной области плазменного шнура, недоступной для электромагнитных волн, и, в сферических токамаках, величине магнитного ноля. Весьма актуальной и не до конца решенной является задача диагностики слабо выраженных квазилинейных возмущений электронной функции распределения в тепловой области энергий в современных установках с ЭЦ нагревом плазмы по спектрам собственного нетеплового ЭЦ излучения плазмы [38]. Развитие указанных методов диагностики в значительной мере зависит от успехов теоретического моделирования генерации и распространения излучения в плазме.
Известно, что регистрация спектров коллективного рассеяния мощного миллиметрового излучения в высокотемпературной плазме позволяет получать информацию о распределении ионов по скоростям с хорошим пространственным и временным разрешением [39]. Коллективное рассеяние миллиметрового излучения гиротро-
9
на рассматривается как основной способ диагностики термоядерных альфа-частиц в токамаке-реакторе ИТЭР [40]. Таким образом, развитие методов, основанных на рассеянии излучения миллиметрового диапазона длин волн, представляет большой интерес для диагностики распределений энергичных ионов. Интерпретация экспериментальных данных, полученных таким образом, невозможна без детального численного моделирования условий формирования распределений быстрых ионов и, в ряде важных случаев, связанной с ними микротурбулентности плазмы.
Формирующаяся в условиях электронно-циклотронного резонанса сильно неравновесная плазма представляет собой активную среду для генератора стимулированного электромагнитного излучения — плазменного циклотронного мазера. Несмотря на более чем полувековую историю, исследования физики циклотронного мазера остаются актуальными и в настоящее время. Одним из наиболее интересных физических эффектов является генерация вспышек электромагнитного излучения, связанных с взрывным развитием циклотронных неустойчивостей плазмы, удерживаемой в различного рода магнитных ловушках, и сопровождающихся высыпанием частиц из ловушки. Подобные явления наблюдаются в широком диапазоне параметров плазмы в самых разнообразных условиях: в магнитосферах Земли и планет [41-46], в солнечных корональных петлях и атмосферах звезд [3,47-51], в лабораторных магнитных ловушках [52-56] вплоть до крупномасштабных высокотемпературных тороидальных систем [57,58]. Важно отметить, что физические механизмы, приводящие к вспышечной активности, часто оказываются весьма универсальными.
В качестве одного из таких универсальных механизмов может быть предложена компрессионная накачка циклотронного мазера нестационарным магнитным полем, адиабатически плавно увеличивающемся во времени. Подобные источники стимулированного излучения могут реализовываться как в естественных условиях, например, при формировании солнечной вспышки, как и в лаборатории. Более того, идея плазменного магнит оком и рсссионного мазера может быть положена в основу нового электронного прибора для генерации излучения. В отличие от «классических» вакуумных электронных систем, в которых время взаимодействия электронного пучка с генерируемым излучением ограничено временем пролета электронов через резонатор, использование в качестве активной среды неравновесной плазмы позволяет относительно долго накапливать энергию энергичных электронов при магнитном сжатии с последующим управляемым сбросом этой энергии в виде короткого импульса излучения. Это открывает новые возможности для повышения мощности и энергии в одиночном импульсе, а также для перехода в плохо освоенные СВЧ электроникой частотные диапазоны (> 1 ТГц). С теоретической точки зрения, рассматриваемая задача связана с поиском и исследованием режимов, при которых магнитное адиабатическое сжатие плазмы в магнитной ловушке (в первую очередь здесь имеются в виду ловушки пробочного типа) сопровождается накоплением значительной энергии
10
в горячей анизотропной электронной компоненте, а также с анализом доминирующих неустойчивостей, приводящих к сбросу накопленной энергии в виде импульса стимулированного электромагнитного излучения.
Цель и задачи диссертационной работы
Целыо настоящей диссертационной работы является исследование новых возможностей для поддержания и диагностики высокотемпературной плазмы в системах с магнитным удержанием с использованием волн электронно-циклотронного диапазона частот, а также исследование неравновесных процессов, приводящих к генерации электромагнитного излучения в данном диапазоне частот, и поиск их практических применений. Целыо и актуальностью темы обусловлены следующие задачи диссертационной работы:
1. Развитие общих теоретических методов для описания «волновых», то есть выходящих за рамки геометро и квазиоптических приближений, эффектов, возникающих при распространении электромагнитных волн в сложных плавнонеоднородных средах с анизотропнией, гиротронией, пространственной дисперсией и резонансной диссипацией.
2. Построение теории линейного взаимодействия электромагнитных волн в двумерно н трехмерно неоднородных плазменных конфигурациях.
3. Развитие теории нагрева и диагностики плотной закритической плазмы в тороидальных магнитных ловушках волнами электронно-циклотронного диапазона.
4. Исследование квазилинейных эффектов, возникающих при взаимодействии мощного высокочастотного поля с плазмой в условиях электронного циклотронного резонанса в тороидальной магнитной ловушке; развитие методов диагностики подобных эффектов по неравновесным возмущениям спектров собственного излучения плазмы.
5. Развитие новых методов диагностики ионной компоненты высокотемпературной плазмы, основанных на регистрации спектров коллективного рассеяния мощного миллиметрового излучения.
0. Исследование мизерного механизма генерации электромагнитного излучения в условиях электронного циклотронного резонанса при адиабатическом магнитном сжатии неравновесной плазмы; экспериментальная проверка теории и приложение к лабораторным и природным системам.
11
Научная новизна
Научная новизна проведенных исследований состоит в следующем:
1. Предложена эффективная методика аналитического и численного решения точных задач распространения электромагнитных волн в анизотропных и гиротрон-ных средах с пространственной дисперсией, основанная на формализме операторного уравнения Риккати.
2. Получены новые результаты в общей теории линейного взаимодействия электромагнитных волн в плавионеоднородных анизотропных и гиротропных средах без пространственной дисперсии, включающие универсальную классификацию всех возможных типов линейного взаимодействия электромагнитных волн и соответствующих эталонных волновых уравнений, а также новые аналитические решения эталонных волновых уравнений в двумерно и трехмерно неоднородных средах.
3. Развита теория СВЧ нагрева и диагностики закритической плазмы в токамаках и стеллараторах с использованием линейной трансформации электромагнитного излучения ЭД диапазона: обнаружены новые эффекты, связанные с неодномерным характером неоднородности, уточнена роль пространственной дисперсии, релятивистских эффектов и шира магнитного поля, определена аналитическая процедура пересчета волновых полей, разделенных зоной линейного взаимодействия волн, установлены границы применимости широко используемых для описания рассматриваемых процессов приближений.
4. Развита теоретическая модель резонансного СВЧ нагрева плазмы в тороидальной магнитной ловушке, учитывающая эффекты квазилинейной модификации электронной функции распределения на системе магнитных поверхностей. Исследованы особенности собственного нетеплового излучения плазмы в окрестности частоты ЭЦ нагрева плазмы, открывающие возможность экспериментальной диагностики слабо выраженных квазилинейных возмущений электронной функции распределения в тепловой области энергий. Предложено использовать схему генерации тока увлечения с квазипоперечным вводов ЭЦ излучения в тороидальную плазму для увеличения локальной плотности тока и улучшения локализации профиля тока при решении задач стабилизации МГД неустойчивостей плазменного шнура.
о. Получены новые экспериментальные результаты, связанные с диагностикой тороидальной плазмы методом коллективного рассеяния мощного излучения миллиметрового диапазона: продемонстрирована новая возможность неявной диагностики распределений энергичных ионов по характеристикам плазменной турбулентности на стеллараторе Wendelstein 7-AS (г. Гархинг, Германия), объяснены
12
аномальные спектры коллективного рассеяния, регистрируемые на токамаке с сильным магнитным полем FTU (г. Фраскати, Италия).
б. Обнаружен и исследован новый релаксационно-колебательный режим генерации импульсного электромагнитного излучения п циклотронном мазере, активной средой которого служит двухкомпоиентная неравновесная плазма, распадающаяся в магнитном поле с пробочной конфигурацией. Показана принципиальная возможность создания источников мощного импульсного терагерцового излучения, использующих магнитное сжатие плазмы для накачки энергии. Предложен новый механизм генерации ускоренных электронов в солнечной короне, реализующийся при крупномасштабной топологической перестройке магнитного поля и основанный на эффекте «убегания» электронов при сжатии магнитной силовой трубки, заполненной плазмой.
Публикации, апробация работы
Настоящая диссертационная работа является итогом исследований, проведенных автором в Институте прикладной физики РАН в 1996 - 2010 гг. Результаты диссертационной работы изложены в научных статьях в ведущих отечественных и зарубежных журналах (УФН, ЖЭТФ, Письма в ЖЭТФ, Астрономический журнал, Физика плазмы, ВАНТ, Известия вузов: Радиофизика, Pliys. Rev. Lett., Phys. Rev., Nuclear Fusion, Plasma Phys. Control. Fusion, Fusion Sei. Tech., Rev. Sei. Instr.), сборниках трудов международных конференций, препринтах и отчетах о ЫИР, выполненных по государственным контрактам. Всего по теме диссертации автором опубликовано 27 статей в реферируемых журналах, 5 препринтов и одна глава в монографии.
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах Института прикладной физики РАН, Института физики плазмы общества Макса Планка (MPI für Plasmaphysik), Института физики плазмы в Милане (IFP Milano), Институт ядерного синтеза РНЦ «Курчатовский институт», Физико-технического института РАН им. А.Ф. Иоффе, на конкурсах научных работ, а также на следующих научных конференциях и совещаниях: международные совещания «.Joint Russian-German Workshop on ECRH and Gyrotrons — STC Meeting» (Нижний Новгород 1998, 2010; Грайфсвальд, Германия 2001, 2007. 2009), 7-й Симпозиум по солнечно-земной физике России и стран СНГ (ИЗМИРАН, Москва 1998), международные Звенигородские конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород 1999, 2008, 2009, 2011), 4-я Нижегородская сессия молодых ученых (Дзержинск 1999), международные совещания «International Workshop Strong Microwaves • in Plasmas» (Нижний Новгород 1999, 2002,2005), международные совещания «Kinetic theory workshop» (Гархинг, Германия 2000; Грайфсвальд, Германия 2002) международные конференции «EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics»
13
(Монтро, Швейцария 2002: Ст.-Петербург 2003; Дубли», Р1рландия 2010), международные конференции «Joint Workshop on Electron Cyclotron Emission and Electron Cyclotron Resonance Heating» (Санторини, Греция, 200G; Йосимити, Калифорния, США 2008), международная конференция «Int. Workshop Strong Microwaves: Sources and Applications» (Нижний Новгород 2008), международная конференция «Int. Conf. on Plasma-Wave Processes in the Earth’s and Planetary Magnetospheres, Ionospheres, and Atmospheres» (Нижний Новгород 2009), международное совещание «Workshop of the Centre-of-Excellence on Fusion Physics and Technology» (Утрехт, Голландия 2009), международная конференция «International Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion and Alushta International Workshop on the Role of Electric Fields in Plasma Confinement in Stcllarators and Tokamaks» (Алушта, Украина 2010).
Материалы диссертации частично вошли в цикл работ автора «Электродинамика высокотемпературной плазмы в магнитных ловушках», удостоенный медали РАН для молодых ученых постановлением Президиума РАН от 24 февраля 2009 г.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложения, списка основных публикаций автора по теме работы и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 420 страниц, включая 111 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 437 наименований. Список основных публикаций автора по теме диссертации содержит 59 наименований.
В первой главе диссертации линейное взаимодействие электромагнитных воли в неограниченных плавнонеоднородных средах рассматривается в наиболее общей постановке как проявление поляризационного вырождения решений уравнений Максвелла. Установлено, что само наличие поляризационного вырождения двух нормальных волн накладывает сильные ограничения на компоненты диэлектрического тензора среды в области эффективного взаимодействия. Это позволило дать универсальную классификацию возможных типов взаимодействия волн и соответствующих волновых уравнений, не зависящую от конкретной модели линейной среды [58А)1.
В разделах 1.1 и 1.2 обсуждаются классическое определение линейного взаимодействия волн и методологические трудности и заблуждения, возникающие при рассмотрении конкретного случая электромагнитных волн, описываемых уравнениями Максвелла. Основной момент, на который обращается внимание, заключается в том, что распространенная парадигма, в рамках которой линейное взаимодействие волн в плавно неоднородной среде сводится к исследованию связанных геометрооптических мод, не всегда применима к уравнениям Максвелла. Формальная причина заключается в том, что в области линейного взаимодействия для достаточно широкого
1 Здесь и далее ссылки на работы автора, выделенные жирным шрифтом и окончанием «А*, даны ио списку основных публикаций автора по теме диссертации, приведенному на стр. 381.
14
круга задач константа связи геометрооптических мод стремится к нулю, поэтому она должна быть заменена на дифференциальный оператор, что приводит к принципиально неодномерному характеру линейного взаимодействия волн в свободном пространстве. Отметим, что само условие взаимодействия при этом не изменяется — эффективное взаимодействие возможно лишь в окрестности точек поляризационного вырождения.
В разделе 1.3 рассматривается линейная однородная среда, характеризуемая произвольным тензором диэлектрической проницаемости. Путем разложения волнового ноля по базисам специального вида находятся алгебраические ограничения на компоненты диэлектрического тензора и волнового вектора в точках поляризационного вырождения, в которых для одного волнового вектора к(и;) существуют два линейно независимых решения уравнений Максвела. В результате выделено пять характерных случаев, в которых возможно поляризационное вырождение, и доказано, что в любом другом случае вырождение невозможно.
В разделе 1.4 исследуются «укороченные» уравнения- Максвелла, полученные для плавнонеоднородной, то есть медленно меняющейся на масштабах длины волны, среды в окрестности точек поляризационного вырождения, классифицированных в предыдущем разделе. Показано, что линейное взаимодействие электромагнитных поли в плавнонеоднородной безграничной среде может проходить по двум сценариям. В случае одновременного вырождения анизотропии и гиротропии среды линейное взаимодействие волн реализуется на «медленном» масштабе, равном масштабу вариации параметров среды. Это можно описать как взаимодействие двух геометро-опических мод, связанных скалярной константой. Поскольку взаимодействие происходит вдоль лучей, процесс конверсии волн носит одномерный характер. В окрестности резонансов среды, а также в специальном случае «поперечного» распространения, реализуется сценарий быстрого взаимодействия волн — в этом случае конверсия происходит на мелком масштабе, на котором приближение геометрической оптики не работает. При этом в гнротропных средах, как правило, взаимодействие воли носит существенно неодномерный характер. В анизотропных средах без гиротропии взаимодействие волн всегда может быть описано как одномерный (на малом масштабе) процесс в некоторой эффективной плоскослоистой среде. .
Для неодномерных эффектов взаимодействия волн в окрестности резонансов среды найдено универсальное описание в рамках новой системы эталонных волновых уравнений, допускающих аналитическое решение в ряде практически важных случаев за счет сведения задачи к двумерному случаю. Это решение получено и исследовано в разделе 1.5. Для произвольной поляризации нормальных волн, определяемой локальным тензором диэлектрической проницаемости, найдена структура волновых нолей в области линейного взаимодействия и выяснены критерии, при которых проявляются новые эффекты, отсутствующие в стандартной одномерной модели — су-
15
ществование ограниченных по апертуре волновых пучков, испытывающих полную безотражательную трансформацию и отсутствие симметрии процессов прямой и обратной трансформации волн в гиротропных средах.
Во второй главе диссертации разработан новый способ решения задач распространения и линейной трансформации электромагнитных воли, являющийся обобщением метода инвариантного погружения применительно к задачам распространения электромагнитных волн в сложных средах с анизотропным и гпротропным электромагнитным откликом [54А,57А]. В основе метода лежит представление точного волнового поля в неоднородной среде в виде совокупности взаимодействующих нормальных мод, разбитых на две группы, отвечающих встречным волнам. Если задача допускает такое разделение, то существует возможность определения матричного «импедансного» оператора, характеризующего связь между встречными волнами. Этот оператор можно найти путем решения нелинейного эволюционного уравнения тина Рикатти с универсальными граничными условиями, не зависящими от деталей падающего на слой излучения. По известному импедансному оператору для любой заданной структуры падающего излучения волновое ноле во всем пространстве восстанавливается путем тривиальной линейной операции. Таким образом, метод позволяет свести исходную граничную задачу для уравнений Максвелла в неоднородной среде к эквивалентной задаче эволюционного типа. Данное представление удобно как для аналитического исследования, так и для численного моделирования. В частности, в отличие от исходных уравнении Максвелла эволюционные уравнения устойчивы в областях линейного взаимодействия и резонансной диссипации волн, что позволяет применять стандартные методы численного интегрирования при решении «жестких» задач распространения волн (то есть задач, в которых выбор дискретного шага при численном интегрировании определяется компонентами решения, поведение которых несущественно дчя конечного решения).
В разделах 2.1 и 2.2 дано введение в метод инвариантного погружения, проведен обзор предшествующих работ, использующих этот метод для решения задач распространения волн, и сформулирована оригинальная «физически прозрачная» трактовка этого метода для волновой задачи общего типа. Эволюционные уравнения метода инвариантного погружения рассматриваются как уравнения для оператора отражения от укороченного слоя, связывающего встречные волны, распространяющиеся вдоль некоторого выделенного направления в среде, и не зависящие от конкретного выбора модового представления волнового ноля. В рамках этого подхода формальное обобщение на случай векторной волновой задачи, в том числе, и в трехмерно неоднородных средах, тривиально, хотя, конечно, может приводить к громоздким выкладкам в конкретных задачах.
В разделе 2.3 данный метод применяется дчя уравнений Максвелла в средах без пространственной дисперсии. Отдельно рассматриваются случаи одномерно и трех-
16
%
мерно неоднородных сред. Вводятся два способа разложения поля — через локальные геометрооитические моды и граничные вакуумные моды. В одномерной плоскослоистой задаче представления поля через локальные и вакуумные моды приводят к похожим нмпедансным уравнениям, различающиеся только коэффициентами: В неодномерном случае ситуация меняется — два представления ноля приводят к разной структуре имнедансньгх уравнений. Разложения поля через локальные волноводные моды автоматически навязывает спектральный подход, основанный на разложении решений но собственным функциям нелокального волнового оператора и сведению задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на коэффициенты разложения. В неодномерной задаче второй способ, использующий граничные вакуумные моды, представляется более гибким, поскольку он приводит к интегро-дифференциальным уравнениям, для которых известно много разнообразных способов решения.
В разделе 2.4 аналитически исследуются некоторые общие свойства импедансных уравнений. В частности, рассматриваются основные частные случаи, допускающие аналитическое решение, разложение общего решения в асимптотические ряды, законы сохранения для общего решения.
В двух последних разделах развитая техника применена для решения ряда актуальных электродинамических задач о распространении волн в магнитоактнвной плазме [52А,53А,54А,56А|. В разделе 2.5 плазма рассматривается в холодном приближении. В разделе 2.6 исследуются эффекты, вызванные тепловым движением частиц плазмы; для этого проведено обобщение метода на случай сред с пространственной дисперсией, описываемой пространственными производными конечного порядка в диэлектрическом тензоре.
В частности, подробно исследован так называемый О-Х-В процесс, используемый для нагрева закрптической плазмы в гокамаках и сгеллараторах волнами электронно-циклотронного диапазона. В этом процессе вводимая в плотную закри-гическую плазму под определенным углом обыкновенная (О) волна испытывает двойную линейную трансформацию сначала в необыкновенную (X) волну, затем в электростатическую бериштейновскую (В) волну, которая поглощается в условиях электронного циклотронного резонанса в области плотной плазмы, недоступной для электромагнитных волн. В современных тороидальных установках все процессы линейного взаимодействия — трансформация обыкновенной волны в необыкновенную, разворот быстрой необыкновенной волны с трансформацией ее в медленную необыкновенную волну и трансформация медленной необыкновенной волны в берн-штейновскую вблизи верхнего гибридного резонанса — происходят в относительно тонком слое на периферии плазменного шнура. При этом могут нарушаться формальные условия применимости ВКБ-прнближения. В результате полноволнового моделирования, основанного на имнедансной технике, установлены границы приме-
17
нимости ВКБ-прнближения для описания эффективности О-Х-В процесса в токама-ке. Впервые было проведено полное моделирование всего процесса трансформации без разделения на области О-Х и Х-В взаимодействия с учетом реалистичной модели поглощения бернштейновских колебаний за счет пространственной дисперсии [54А]. Показано, что в крупномасштабных тороидальных ловушках дисперсия бернштейновских колебаний вблизи верхнегибрндного и циклотронного резонансов, а также шир магнитного поля слабо влияют на эффективность О-Х-В процесса, которая в результате практически целиком определяется эффективностью линейной трансформации обыкновенной волны в необыкновенную в окрестности плазменного резонанса.
I
Кроме того, в этом разделе получены новые результаты, описывающие резонансное брэгговское рассеяние высокочастотных волн в замагниченной плазме с модуляцией плотности, важные для развития рефлектомстрических методов диагностики плазмы.
В третьей главе диссертационной работы продолжено теоретическое исследование линейного взаимодействия волн электронно-циклотронного диапазона в тороидальных магнитных ловушках.
В разделе 3.1 обсуждаются общие вопросы, касающиеся методов нагрева и диагностики плотной плазмы, использующих линейную конверсию волн ЭЦ диапазона.
В разделе 3.2, носящем методический характер, вводится используемая в диссертации номенклатура нормальных волн ЭЦ диапазона в окрестности поверхностей плазменного резонанса и отсечек электромагнитного излучения. Необходимость этого уточнения связана с неоднозначностью определений мод в цитируемых в работе источниках.
В разделе 3.3 рассмотрено линейное взаимодействие обыкновенной и необыкновенной волн в двумерно неоднородной магнитоактивной плазме [25А,27А,28А,30А, 31А,4ГА.43А,44А,46А,48А,50А]. Для анализа использованы найденные в первой главе точные решения укороченного волнового уравнения, описывающие волновые поля в области линейного взаимодействия. Основным результатом раздела является определение процедуры пересчета волновых полей в областях применимости геометрической оптики, разделенных зоной линейного взаимодействия, в которой приближение геометрической оптики не работает. Вдали от области трансформации найдена связь распределений нолей в прошедшем и отраженном пучках с распределением поля в падающем пучке, что позволяет использовать стандартные, разработанные без учета линейного взаимодействия геометро- или квазиоитическне коды ,чдя моделирования процесса О-Х трансформации в различных системах. Аналитически исследованы распределения нолей в трансформированном и отраженном квазиоптнческих пучках. Найдены коэффициенты трансформации и отражения, в том числе и для практически важного случая гауссовского пучка. Установлены способы оптимизации эффективности трансформации пучков, в частности выяснено, что в условиях
18
тороидальной магнитной ловушки области наиболее эффективной трансформации для ввода излучения в плотную плазму и вывода излучения из плотной плазмы оказываются пространственно разделенными (это является следствием обнаруженной в первой главе асимметрии линейного взаимодействия относительно реверса направления распространения волн в неодномерной гиротропной среде). Выделен особый класс решений, описывающий ограниченные по апертуре волновые пучки, испытывающие полную трансформацию и выяснены условия существования таких решений.
В разделе 3.4 исследованы эффекты кривизны поверхностей отсечки, в окрестности которых реализуется взаимодействие обыкновенной и необыкновенной волн. Найдены поправки, связанные с кривизной поверхностей отсечки, навязанной тороидальной геометрией магнитной ловушки (59А]. Рассматриваемый подход позволяет эффективно находить распределение волнового поля в пучках, проникающих в плотную плазму за счет линейной трансформации, что может быть использовано для верификации результатов полиоволновых кодов для численного решения уравнений Максвелла в тороидальной геометрии.
В разделе 3.5 рассмотрена задача о линейном взаимодействии обыкновенной и необыкновенно]"! волн в трехмерно неоднородных плазменных конфигурациях [55А|. Это позволило последовательно заесть все эффекты, навязанные полоидальным магнитным полем в токамаке, включая эффекты шира магнитного ноля в токамаках, а также обобщить теорию для стеллараторов — трехмерных систем, в которых отсутствует тороидальная симметрия. Данные эффекты наиболее заметно проявляются в сферических токамаках и оптимизированных стеллараторах, в которых, в отличие от «классических» тороидальных систем, полоидальное поле может быть не малым. В диссертации предложен способ, позволяющий! свести трехмерную магнитную конфигурацию со всеми возможными типами шира к двумерным эталонным уравнениям, рассмотренным в разделах 1.5 и 3.3. В результате удалось в аналитической форме найти распределения волновых полей в области линейного взаимодействия и соответствующие коэффициенты трансформации. Полз'чепные решения были проверены прямым численным моделированием, проведенным с использованием техники, развитой во второй главе. Установлено, что применительно к современным установкам полои.дальные поля достаточно слабо, в пределах десятков процентов, влияют на энергетические характеристики (коэффициенты трансформации и отражения), однако приводят к дополнительной фазовой модуляции волн, которая может «испортить» квазиоптические пучки, п форме которых пзлз'чение ЭЦ диапазона распространяется в плазме термоядерных установок. После прохождения области взаимодействия фазомодулированные пучки могут испытывать усиленную дифракцию и аберрации.
В разделе 3.6 рассмотрено обобщение геометрооптического описания траекторий лучей при О-Х-В трансформации на случай последовательного учета влияния тепловых и релятивистских эффектов в тензоре днэлекрической проницаемости плаз-
19
мы [19А,20А,22А,23А,24А,49А]. Показано, что даже при сравнительно низкой температуре плазмы (около 1 кэВ в центре) релятивистские эффекты могут оказаться существенными при расчете коэффициента поглощения бернштейиовской волны несмотря на то, что волны распространяются в «классическом» интервале углов. Найдено простое физическое объяснение этого эффекта, позволяющее получать хорошие количестве?тыс оценки, а также новое, не обсуждавшееся ранее, условие применимости нерелятивистского приближения.
В четвертой главе диссертации приведен систематический анализ задачи об ЭЦ нагреве и излучении тороидальной плазмы при квазипоиеречиом распространении излучения с учетом модификации функции распределения электронов за счет взаимодействия с высокочастотным полем. Здесь под квазипоперечным направлением понимается такое направление распространения излучения, при котором доплеров-ский сдвиг частоты в условии циклотронного резонанса либо мал, либо одного по-р51дка но сравнению с релятивистской поправкой к частоте циклотронного вращения (тепловых) электронов. В рамках единой модели рассмотрены ЭЦ нагрев плазмы, генерация тока в плазме и модификация спектров собственного излучения плазмы, к которой может приводить возмущение функции распределения электронов при взаимодействии с интенсивным СВЧ нолем.
Первые два раздела главы носят обзорный характер. Раздел 4.3 посвящен вопросам моделирования кулоновеких соударений при описании нагрева электронов высокочастотным полем в условиях циклотронного резонанса [1А,5А,8А,18А]. Эволюция функции распределения электронов на заданной магнитной поверхности моделируется в рамках кинетического уравнения типа Фоккера-Планка, включающего оператор кулоиовских соударений и оператор квазилинейной диффузии, индуцированной СВЧ полем. Проведено численное моделирование модификации электронной функции распределения на выделенной магнитной поверхности в условиях заданного спектра греющего излучения. Предложены и верифицированы две упрощенные модели интеграла соударений, позволяющие описывать резонансный нагрев электронной компоненты. Упрощение интеграла соударений позволило получить аналитические решения, описывающие квазнстационарный нагрев электронной компоненты с учетом квазилинейной деградации поглощаемой СВЧ мощности.
В разделе 4.4 рассматривается пространственно неоднородная задача о квазилинейной эволюции функции распределения электронов на системе магнитных поверхностен в тороидальной магнитной ловушке [18А]. Рассмотрена модель, в которой решения кинетического уравнения, соответствующие различным магнитным поверхностям, оказываются связанными общим уравнением переноса интенсивности греющего излучения вдоль трассы его распространения, которое, в свою очередь, модифицируется с учетом квазилинейной релаксации функции распределения электронов. Возмущения электронной функции распределения в условиях циклотронного погло-
20
щения СВЧ поля в тороидальной плазме наиболее ярко выражены при внутреннем или наклонном но отношению к тороидальному магнитному полю вводе внешнего излучения, когда энергия вкладывается в энергичные надтепловые электроны. В случае квазипоперечного ввода внешнего излучения со стороны слабого магнитного поля, обычно используемого для ЭЦ нагрева плазмы, для оптически толстого плазменного шнура основная доля поглощаемой СВЧ мощности приходится на низкоэнергичные электроны, для которых отклонение функции распределения от равновесной подавлено в результате эффективных кулоновекпх соударений. Поэтому, в условиях современного эксперимента возмущение функции распределения резонансных электронов из-за ЭЦ нагрева приводит лишь к слабому смещению и расширению области поглощения мощности, не оказывая заметного влияния на формирование глобальных профилей концентрации и температуры. Тем не менее, как уже отмечалось подобные эффекты должны учитываться при использовании дополнительного ЭЦ нагрева с целью стабилизации МГД неустойчивостей плазменного шнура, когда энерговклад должен быть локализован с высокой точностью. Кроме того, самосогласованный учет динамики функции распределения и греющего излучения является принципиальным для расчета собственного ЭЦ излучения плазмы, которое в случае оптически толстого плазменного слоя чувствительно к пространственной структуре распределения резонансных электронов.
В разделе 4.5 исследована модификация спектров собственного ЭЦ излучения тороидальной плазмы к которой может приводить возмущение функции распределения электронов при взаимодействии с интенсивным излучением при ЭЦ нагреве плазмы в случае, когда вводимая СВЧ мощность вкладывается в низкоэнергичные частицы в тепловой области энергий, а доля энергичных надтспловых электронов мала [6А, НА, 13А, 14А,1бА]. Формирование плато приводит к подавлению резонансного поглощения в окрестности частоты нагрева. Из-за появления своеобразного окна прозрачности в спектре поглощения основной компоненты плазмы уровень собственного излучения плазменного шнура в соответствующем частотном интервале повышается по сравнению с тепловым. Важно отметить, что это увеличение проявляется и в том случае, если общее число резонансных электронов возмущается слабо, то есть независимо от наличия в плазме энергичных частиц. В диссертации показано, что рассматриваемый эффект увеличения уровня циклотронного излучения в окрестности частоты нагрева может быть заметным, если оптическая толщина плазмы достаточно велика, что открывает возможность для диагностики слабо выраженных квазилинейных возмущений электронной функции распределения в тепловой области энергий, характерных для эксперимента с использованием ЭЦ нагрева плазмы. Получены аналитические оценки для возмущений спектров ЭЦ излучения в двух характерных случаях: бесстолкновительной функции распределения и функции распределения, возмущенной в узкой резонансной области в пространстве нмпуль-
21
сов. Приведены результаты численных расчетов для токамака среднего масштаба Т-10 и стелларатора \V7-AS в случае ввода греющего излучения со стороны слабого магнитного поля.
В разделе 4.6 рассмотрены особенности генерации тока увлечения при квазипо-перечном вводе ЭЦ излучения [7А]. Как уже отмечалось, при вводе со стороны слабого магнитного ноля основная доля поглощаемой СВЧ мощности приходится на низкоэнергичные тепловые электроны, поэтому циклотронное взаимодействие с СВЧ полем приводит к существенно меньшей анизотропии функции распределения электронов но сравнению с классическими схемами ЭЦ генерации тока, когда энергия вкладывается преимущественно в надтепловые электроны. Однако из-за большого удельного числа тепловых электронов даже слабая анизотропия их функции распределении может оказаться достаточной для тока, сопоставимого с током над-тепловых частиц. Таким образом, квазипоперечмый ввод излучения представляется весьма интересным в задачах, когда необходимо получить большую плотность тороидального тока в некотором выделенном сечении плазменного шнура при заданной СВЧ мощности, а эффективность генерации полного тока не является параметром оптимизации. В диссертационной работе обращается внимание на неоднозначность направления тороидального тока, связанную с геометрией резонансной области при квазипоперечном вводе, приводящей к нагреву как частиц, имеющих компоненту скорости, сонаправленную с направлением распространения СВЧ излучения, так и частиц, двигающихся навстречу. Это может приводить к снижению эффективности генерации тока или, даже, к смене направления тока относительно направления ввода СВЧ излучения, что, в некотором смысле, дополняет известные тороидальные механизмы генерации бут-сгреп тока и тока Окавы. В диссертации получено общее выражение для плотности тока в случае квазнпоперечного распространения излучения с заданным спектром и проведена оценка эффективности генерации полного тока в тороидальной системе, показывающая, что эффективность ЭЦ генерации в случае квазнпоперечного ввода излучения может быть сопоставима со стандартной эффективностью, определенной в работах Фиша и Вузера для классической схемы ЭЦ генерации тока.
В пятой главе диссертации обсуждаются возможности использования мощного миллиметрового излучения гиротронов для исследований высокотемпературной плазмы, удерживаемой в тороидальных магнитных ловушках, методом коллективного рассеяния. После краткого введения, сформулированного в разделе 5.1, в разделе 5.2 приводятся сведения об экспериментальных и теоретических исследованиях мелкомасштабных неустойчивостей ионной функции распределения, формирующихся при иижекции нейтральных пучков на стеллараторе \V7-AS [9А, 3 0А,12А]. Специфическая особенность измерений спектров коллективного рассеяния заключается в том, что данный метод позволяет регистрировать мелкомасштабные флуктуации
22
электронной плотности непосредственно внутри плазменного объема (в том числе и моды, запертые внутри плазмы) с фиксированным волновым вектором, определенным геометрией рассеяния и частотой зондирующего излучения. Для объяснения результатов измерении проведено моделирование функции распределения быстрых ионов, формирующейся в условиях нейтральной инжекции, с учетом кулоновского взаимодействия с частицами основной плазмы и дрейфовых потерь в неоднородном магнитном поле стелларатора. Полученные распределения исследованы на устойчивость относительно возбуждения электростатических плазменных мод в окрестности ионных циклотронных гармоник. Проанализированы два случая, соответствующие наблюдаемым спектрам турбулентности плазмы: гидродинамическая неустойчивость в условиях двойного резонанса, когда нижнегибридная частота совпадает с высокой ионной циклотронной гармоникой, и кинетическая неустойчивость ионных бернштей-новских мод на более низких гармониках. Показано, что возбуждением указанных неустойчивостей могут быть объяснены наблюдаемые в эксперименте повышенные уровни рассеяния и циклотронного излучения.
В разделе 5.3 обсуждаются результаты экспериментальных кампаний 2004 -2005 гг. по исследованию спектров коллективного рассеяния излучения ощного гиротрона на флуктуациях электронной плотности в токамаке ГТ11. Найдено объяснение природы аномальных спектров, систематически наблюдаемых в эксперименте и в течение многих лет не позволяющих достичь конечной цели эксперимента — провести измерения ионной температуры Обнаружено, что в условиях эксперимента происходило увеличение отражения излучения гиротрона обратно в линию передачи, что приводило к модификации режима генерации, проявлявшейся как существенное увеличение интенсивности паразитных мод и шумов гиротрона в полосе анализа [21А, 32А. ЗЗА, 35А, 39А). Обращено внимание на вероятность возникновения подобной ситуации при диагностике термоядерных альфа-частиц методом коллективного рассеяния в ИТЭР [40А].
В шестой главе диссертационной работы рассматриваются мазерные механизмы генерации электромагнитного излучения на электронном циклотронном резонансе в разреженной плазме. Экспериментальной основой для проведенных в данной главе исследований послужило наблюдение квазипериодических серий всплесков высыпаний энергичных электронов и синхронных импульсов СВЧ излучения на стадии распада плазмы импульсного ЭЦР разряда в прямой аксиально-симметричной магнитной ловушке.
В разделе 6.1 развивается идея об универсальности физических механизмов, приводящих генерации вспышек электромагнитного излучения, связанных с взрывным развитием циклотронных неустойчивостей магнитоактивной плазмы, удерживаемой в различного рода магнитных ловушках в широком диапазоне параметров плазмы в самых разнообразных условиях: в магнитосферах Земли и планет, в солнечных ко-
23
рональных петлях и атмосферах звезд, в лабораторных магнитных ловушках вплоть до крупномасштабных высокотемпературных тороидальных систем.
В разделе 6.2 теоретически исследованы особенности генерации электромагнитного излучения в двухуровневом циклотронном мазере, активной средой которого служит распадающаяся неравновесная плазма, удерживаемая в магнитном поле с пробочной конфигурацией. Показано, что даже в отсутствии постоянно действующего источника неравновесных частиц (инверсии среды) в системе возможны режимы квазимонохроматической или импульсной генерации излучения за счет характерного для распада плазмы быстрого монотонного уменьшения порога неустойчивости [29 А].
В разделе 6.3 изложены результаты экспериментального исследования по наблюдению квазнпериодических серий импульсных высыпаний энергичных электронов и синхронных вспышек электромагнитного излучения в распадающейся плазме импульсного ЭЦР разряда в прямой аксиально-симметричной магнитной ловушке [36А, 37А, 51А]. Особенностью данного эксперимента, проведенного на стенде SMIS-37 (ИПФ РАН, Н. Новгород), являлось использование мощного импульсного гиротрона для поддержания разряда, что позволило существенно увеличить энергетику запасаемых в ловушке неравновесных частиц по сравнению с традиционными лабораторными источниками плазмы на базе прямых ловушек. Наблюдаемые выбросы частиц из ловушки были интерпретированы как результат резонансного взаимодействия энергичных электронов с необыкновенной волной, распространяющейся в разреженной плазме поперек внешнего магнитного ноля. Механизм генерации последовательностей импульсных высыпаний на нелинейной стадии развития неустойчивости удалось объяснить в рамках модели циклотронного мазера, в котором превышение порога неустойчивости происходит за счет уменьшения потерь
\ электромагнитной энергии, характерного для распада плазмы.
В разделе 6.4 рассмотрена возможность компрессионной накачки циклотронно-
V
го мазера нестационарным магнитным нолем. Найдены условия, при которых магнитное адиабатическое сжатие плазмы в прямой магнитной ловушке сопровождается накоплением значительной энергии в горячей анизотропной электронной компоненте [38А,42А,47А]. Проанализированы основные неустойчивости, приводящие к сбросу накопленной энергии в виде импульса стимулированного электромагнитного излучения, и найдены параметры импульса излучения на нелинейной стадии. Показана принципиальная возможность создания мощных импульсных источников излучения терагерцового диапазона частот с использованием магнитного сжатия плазмы. Мощность таких источников может составлять десятки мегаватт при использовании плазмы ЭЦР разряда с плотностью основной компоненты около 1013 см-3 (при объеме плазмы порядка 1000 см3) и достигать гигаваттного уровня при переходе к более плотной плазме.
24
В разделе б.о магнитное сжатие плазмы, обусловленное всплыванием новых магнитных трубок и процессами пересоединения магнитных силовых линий в активных областях солнечной короны, рассматривается в качество возможного механизма ускорения частиц, приводящего к формированию солнечной вспышки [2А,ЗА,4А]. Ускорение электронов связано явлением «убегания» в индукционном электрическом иоле — из-за резкой зависимости от энергии кулоновское взаимодействие быстрых частиц оказывается слабым, поэтому даже относительно небольшое электрическое поле приводит к сильному искажению функции распределения электронов в области высоких энергий и, в частности, к образованию в пространстве импульсов потока электронов, для которых набор энергии на длине свободного пробега превышает потери при последующем столкновении. Процесс «убегания» является сильно неравновесным и требует детального кинетического расчета функции распределения электронов но импульсам. В результате такого моделирования найден режим адиабатического магнитного сжатия плазмы, при котором ускорение энергичных электронов сопровождается охлаждением основной компоненты плазмы за счет радиационных потерь. Показано, что для этого режима возможно значительное накопление энергии в «хвосте» убегающих электронов до момента включения ограничивающей накопление циклотронной неустойчивости на свистовых модах. Это позволяет рассматривать магнитное сжатие в качестве возможного источника энергичных частиц в корональ-ных петлях на подготовительной фазе вспышки.
В заключении к сформулированы основные результаты диссертации.
В приложепии обсуждаются физические особенности кулоновского взаимодействия между заряженными частицами плазмы, здесь же определен математический аппарат для описания кулоновских соударений, используемый в диссертационной работе.
25
Основные положения, выносимые на защиту
1. Формализм операторного уравнения Риккати позволяет свести граничную задачу для уравнений Максвелла в неоднородной среде с тензорным диэлектрическим откликом и пространственной дисперсией к эквивалентной задаче эволюционного типа. Полученные эволюционные уравнения устойчивы в областях линейного взаимодействия и резонансной диссипации волн, что позволяет использовать стандартные методы численного интегрирования при решении «жестких» задач распространения воли.
2. Условие поляризационного вырождения решений уравнений Максвелла накладывает сильные ограничения на компоненты диэлектрического тензора среды в области эффективного линейного взаимодействия электромагнитных волн в плавнонеоднородных средах, что позволяет сформулировать универсальную, не зависящую от конкретной модели среды, классификацию возможных типов взаимодействия волн и соответствующих волновых уравнений в иеодномерных линейных средах без пространственной дисперсии.
3. Линейное взаимодействие электромагнитных воли в двумерно и трехмерно неоднородных гиротропных и анизотропных средах без пространственной дисперсии приводит к возникновению новых, отсутствующих в одномерных средах, эффектов (существование ограниченных по апертуре волновых пучков, испытывающих безотражательную трансформацию, отсутствие симметрии процессов прямой и обратной трансформации воли), которые могут быть существенными при решении задач СВЧ нагрева и диагностики плотной плазмы в тороидальных магнитных ловушках.
4. Релятивистские эффекты оказывают заметное влияние на профили ЭЦ поглощения бернштейновских волн, возбуждаемых в плотной плазме токамака в процессе ЭЦ нагрева с использованием линейной трансформации волн, даже при умеренных температурах электронов плазмы (порядка 1 кэВ), характерных для современного эксперимента.
5. В окрестности частоты ЭЦ нагрева плазмы уровень собственного циклотронного излучения тороидальной плазмы может заметно возрастать из-за деформации функции распределения резонансных электронов под действием поля греющего излучения, что даст возможность экспериментального обнаружения слабо выраженных квазилинейных возмущений электронной функции распределения в тепловой области энергий в современных установках с ЭЦ нагревом плазмы.
6. Генерация тока увлечения в условиях квазииоперечного ввода ЭЦ излучения в тороидальную плазму, когда поглощение электромагнитного поля происходит преимущественно на тепловых электронах, а условие циклотронного резонанса в равной мере определяется доилеровским сдвигом и релятивистскими эффекта-
26
ми, обеспечивает улучшенную локализацию профиля тока и большие значения локальной плотности тока при сопоставимой эффективности генерации полного тока по сравнению с «классической» схемой генерации тока с наклонным вводом излучения.
7. Неустойчивые распределения быстрых ионов, формирующиеся в результате ин-жекции мощных нейтральных пучков в плазму стелларатора, приводят к возбуждению электростатических плазменных мод в окрестности гармоник ионной циклотронной частоты, в частности, нижнегибридных волн, которые могут использоваться для исследования механизмов удержания быстрых ионов методом коллективного рассеяния излучения миллиметрового диапазона.
8. Квазипериодические серии импульсных высыпаний энергичных электронов и* синхронные вспышки электромагнитного излучения, наблюдаемые в распадающейся неравновесной плазме импульсного ЭЦР разряда в прямой аксиалыю-симметрпчной магнитной ловушке, могут быть объяснены как результат раскачки релаксационно-колебательного режима циклотронной неустойчивости на необыкновенной моде с порогом генерации, управляемым фоновой компонентой плазмы.
9. Магнитное адиабатическое сжатие неравновесной плазмы в прямой ловушке может использоваться для накачки плазменного магнито-компрессионного мазера терагерцового диапазона частот. Мощность такого источника может составлять десятки мегаватт при использовании плазмы ЭЦР разряда с плотностью основной компоненты около 1013 см-3 при объеме плазмы порядка 1000 см3.
10. Ускорение электронов, реализующееся при сжатии заполненной плазмой магнитной силовой трубки при крупномасштабной топологической перестройке магнитного поля в солнечной короне, может приводить к значительному накоплению энергии в «хвосте» убегающих электронов, что позволяет рассматривать магнитное сжатие в качестве возможного механизма, инициирующего солнечные вспышки.
27
Научная и практическая ценность
Научная и практическая значимость проведенных исследований определяются широким спектром применений микроволнового излучения в научном эксперименте и технологиях. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы для повышения эффективности использования мощных генераторов микроволнового излучения как в термоядерных исследованиях, так и в многочисленных технологических приложениях магнитоудерживаемой плазмы, среди которых можно выделить генерацию многозарядных ионов, генерацию электромагнитного (рентгеновского, субмиллиметрового) излучения, коллективное ускорение ионов, получение сверхчистых веществ и разделение изотопов, плазменную обработку материалов и т.н. Результаты, относящиеся с теории циклотронных неустойчивостей и линейного взаимодействия поли в магнитоактивной плазме, могут быть использованы также и в исследованиях ионосферной и космической плазмы. Результаты, относящиеся к общей теории распространения волн в сложных средах, могут оказаться востребованными в смежных областях — физике лазеров, кристаллооптике, физике метаматериалов.
Результаты, полученные в III—V главах, использовались в подготовке и проведении экспериментальных кампаний на крупных тороидальных установках, используемых для термоядерных исследований — стеллараторе Wendelstein 7-AS (г. Гархинг, Германия), токамаках ASDEX-Upgrade (г. Гархинг, Германия) и FTU (г. Фраскати, Италия), а также на малом стеллараторе WEG А (г. Грайфсвальд, Германия). Изложенные в VI главе экспериментально-теоретические исследования циклотронных неустойчивостей сильно неравновесной плазмы стимулировали дальнейшее развитие исследований в этом направлении на стенде SMIS-37 (ИПФ РАН, г. Н. Новгород).
Личный вклад автора
Основная часть содержащихся в работе результатов получена под руководством автора при его непосредственном участии, часть работ были выполнены без соавторов. В работах, посвященным общим вопросам электродинамики анизотропных и гиропропных сред, соискателю принадлежит постановка задач, разработка пакета программ для проведения символьных вычислений, поиск и анализ аналитических и численных решений, а также обсуждение результатов. В работах, посвященных теории линейной трансформации волн в плазме, автору принадлежит значительная часть аналитических и численных решений эталонных волновых уравнений, а также приложение теории к конкретным тороидальным магнитным ловушкам.В работах, посвященных гсомстрооптнческому моделированию СВЧ нагрева закритиче-ской плазмы, автору принадлежит постановка задачи для численных расчетов, руководство их проведением и интерпретация результатов этих расчетов. В работах
28
по исследованию квазилинейных эффектов при резонансном СВЧ нагреве и их влияния на собственное излучение плазмы в тороидальной магнитной ловушке автор разработал модель, провел численные исследования, а также нашел приближенные аналитические решения, объясняющие результаты численных расчетов. В работах по диагностике плазмы методом коллективного рассеяния, выполненных совместно с большими экспериментальными группами, автор принимал участие в подготовке и проведении эксперимента, играл основную роль в теоретическом моделировании и интерпретации экспериментальных результатов. В работах но лабораторному моделированию вспышсчных явлений в прямой магнитной ловушке, соискателем была разработана качественная теория циклотронного мазера в распадающейся плазме VI мазера с адиабатической магнитной накачкой, проведено численное моделирование, интерпретация результатов. В работах по ускорению электронов при крупномасштабной топологической перестройке магнитного поля в солнечной короне, автору принадлежит формулировка теоретической модели, ее аналитическое и численное исследование, в то время как сама задача была поставлена профессором В. Ю. Трах-тенгерцем.
29
Благодарности
Автор выражает глубокую благодарность своему учителю профессору Евгению Васильевичу Суворову, чуткое руководство и опыт которого во многом определили научные взгляды автора. Пользуясь приятной возможностью, автор хочет отметить большую роль Егора Дмитриевича Господчикова, в соавторстве с которым были написаны многие работы, составившие основу данной диссертации, и поблагодарить его за многолетнее плодотворное сотрудничество. Автор также признателен С. В. Голубеву, регулярно подпитывающему наш коллектив смелыми и неожиданными идеями, В. Ю. Трахтенгерцу, открывшему для автора мир ионосферной и астрофизики, Л. В. Лубяко, усилиями которого были осуществлены описанные в диссертации эксперименты но коллективному рассеянию, М. Д. Токману, дискуссии с которым инициировали работы по генерации ЭЦ тока и нагреву закрнтической плазмы, В. Е. Семенову и А. А. Балакнну за неизменный интерес, внимательное отношение и конструктивную критику многих работ автора, X. Маассбергу, Н. Б. Мару щей ко, Ф. Вагнеру и Т. Клингеру, оказавшим неоценимую поддержку при работе автора в Институте физики плазмы в Гархинге и Грайфсвальде, Д. Хартману, В. Каспареку и Э. Хольцхауэру за помощь при проведении эксперимента на стеллараторс \V7-AS, Дж. Гроссо, У. Тартари, Г. Грануччи и Ф. Орситто за поддержку при проведении эксперимента на токомаке ЕТи, остальным своим соавторам и коллегам.
30
Глава I
Общие свойства волновых уравнений в области линейного взаимодействия электромагнитных волн в плавнонеоднородных анизотропных и гиротропиых средах
1.1 Введение
Линейное взаимодействие электромагнитных волн в плавнонеоднородных средах является одним из важнейших фундаментальных процессов в физике плазмы, кристаллооптике, электродинамике метаматериалов и т. п. В каждой из этих областей проблема линейного взаимодействия, как правило, рассматривается независимо исходя из конкретных свойств диэлектрического отклика среды и, зачастую, геометрии задачи. Даже в больших обзорных работах разнообразные проявления линейного взаимодействия систематизируются исходя из сходства описывающих их уравнений, которые в каждом конкретном случае могут быть получены самыми различными способами (8,9). В данной главе предпринята попытка взглянуть на проблему с другой стороны — рассматривая линейную недиссипативную среду общего вида с неизвестным заранее тензором диэлектрической проницаемости, мы выясняем, каким условиям должен отвечать диэлектрический отклик, чтобы в неограниченной плавнонеоднородной среде существовали эффективно взаимодействующие моды. При этом мы исходим из предположения, что линейное взаимодействие двух векторных электромагнитных волн может происходить только в окрестности точек поляризационного вырождения, в которых для одного волнового вектора 1с(со») существуют два линейно независимых решения волновых уравнений. Оказывается, что одного этого условия (которое, по существу, может рассматриваться как определение линейного взаимо-
31
действия) достаточно, чтобы наложить весьма сильные ограничения на компоненты тензора диэлектрической проницаемости и дать универсальную классификацию возможных типов линейного взаимодействия волн, не зависящую от конкретной модели среды. Под взаимодействием мы будем понимать линейную связь нормальных волн, возникающую вследствие нарушения приближения геометрической оптики в окрестности точки поляризационного вырождения.
1.2 Классическое определение и трудности, возникающие при описании линейного взаимодействия электромагнитных волн
Вслед за классическими работами Гинзбурга [6,7| и Ваддена [59] сложился следующий взгляд на проблему линейного взаимодействия, см. например [2-4,60-68]. Если вис области взаимодействия две распространяющиеся моды с комплексными
амплитудами Е\ и Е2 описываются некоторыми волновыми уравиениями 61Е1 = 0 и
* ".
Б2Е2 = 0, то в области взаимодействия поле определяется связанной системой вида
£>\Ех = Г)Е2, Дг#2 = Г]’Е\, (1.1)
где 7? — константа связи. С физической точки зрения такие уравнения описывают’ распространение двух мод, разделенных в г- или к-простраиствс слоем непрозрачности с толщиной, пропорциональной |т?|. Процесс взаимодействия волн проявляется как “туннелирование” излучения через область непрозрачности, эквивалентное просачиванию квантомеханической частицы через одномерный потенциальный барьер [69].
Напомним физику этого процесса [2,4]. В плавнонеоднородной среде, свойства которой мало меняются на расстояниях порядка длины волны, волновым операторам Г) 1 и Х)2 можно сопоставить их фурье-образы 1)](а;,к) и Д>(^,к), при этом исходной системе связанных волн соответствует дисперсионное уравнение
А(м,к)Д,(ы,к) = |ч|г. (1.2)
Это дисперсионное уравнение определяет две моды уравнений (1.1), которые в рамках приближения геометрической оптики распространяются независимо друг от друга. Вдали от области взаимодействия эти моды непрерывно переходят в две моды, удовлетворяющие “невзаимодействующим” дисперсионным уравнениям £>1(а;,к) = 0 и Дг(о;,к) = 0. Однако, приближение геометрической оптики нарушается в ограниченных областях пространства, в которых волновые числа двух мод сближаются гак, что среда перестает быть плавной на масштабах длины волны биений, то есть
|к! - к2| Ь < 2тг,
32
где L — масштаб неоднородности среды. Это условие реализуется только в окрестности определенных выше точек поляризационного вырождения векторных волновых уравнений1. Внутри этой области иоле должно находиться из исходных волновых уравнений (1.1) без применения приближения геометрической оптики. Вдали от указанной области эти точные решения асимптотически представляются в виде линейных комбинаций геометро-оптических мод (1.2) с определенными линейными связями между их амплитудами. Это означает, что падающее в виде одной моды излучение проходит через область взаимодействия и/или отражается от нее в виде двух когерентных мод, распространяющихся вдали от области взаимодействия независимо, но имеющие фиксированные отношения амплитуд, которые зависят от условий прохождения волной области нарушения геометрической оптики. Именно этот процесс обычно и подразумевают под линейным взаимодействием волн.
Было опубликовано большое число работ, в которых феноменологическая по сути модель (1.1) использовалась в качестве отправной точки для исследования, в частности, эффектов трехмерной неоднородности на процессы линейного взаимодействия электромагнитных воли в сложных средах [64,70-77]. Нетрудно убедиться, что учет дополнительных размерностей в волновых операторах не меняет одномерного характера линейного взаимодействия, а лишь уточняет значение константы связи, которая, по сути, вычисляется в рамках геометрической оптики. Между тем уравнения Максвелла не всегда приводят к уравнениям вида (1.1) для взаимодействующих волн2. Формальная причина заключается в том, что для достаточно широкого круга задач в области взаимодействия т] —> 0. В этом случае геометрооптическая константа связи должна быть заменена на дифференциальный оператор, что приводит к принципиально неодномерному характеру линейного взаимодействия волн в свободном пространстве [45А]. Отметим, что само условие взаимодействия волн при этом не изменяется — эффективное взаимодействие возможно лишь в окрестности точек поляризационного вырождения. Ниже будут детально исследованы условия применимости широко используемого приближения (1.1) к уравнениям Максвелла в плавнонеоднородных средах и показана ограниченность этой модели во многих важных для приложений случаях.
1Для качественного понимания такие точки удобно представить как результат пересечения двух “невзаимодействующих” дисперсионных соотношений D\(ca,k0) = 0 и Aî(w, k°) = 0. Действительно, нетрудно убедиться, что если параметр взаимодействия достаточно мал, \r)\L <ЗС 2— |#U(ia,k°)/#k|, то область нарушения геометрической оптики локализуется в окрестности общего корня к0 “невзаимодействующих” дисперсионных соотношений.
*В приведенных выше работах сначала формулировалось дисперсионное уравнение, описывающее геометро-онтическне моды, а затем по нему восстанавливались волновые уравнения, описывающие связь мод. Несмотря на то, что этот путь часто приводит к верным результатам, методически он не безупречен, поскольку одно и тоже дисперсионное уравнение может соответствовать разным дифференциальным задачам. Именно поэтому наш анализ построен на поиске точек вырождения векторных уравнений Максвелла, а не более простого скалярного дисперсионного уравнения.
33
1.3 Тензор диэлектрической проницаемости в точке поляризационного вырождения
1.3.1 Представление в базисе собственных поляризаций среды
В этом разделе мы рассмотрим однородную среду, заданную тензором диэлектрической проницаемости е^(ш) в некоторой декартовой системе координат х\,Х2,хз. Для распространяющихся в этой среде плоских электромагнитных волн вида
Ё = Е схр (гкг - )
уравнения Максвелла можно представить как систему линейных алгебраических уравнений относительно декартовых компонент электрического ноля Еу
{к%, - к,к] - к*ец) Я,- = 0, (1.3)
где ко = и/с — вакуумное значение волнового вектора, соответствующее заданной частоте излучения, к = |к|, 51} — символ Кронекера, индексы I п э пробегают значения от 1 до 3 и обозначают проекции векторных величин на соответствующие координатные оси, по дважды встречающимся индексам подразумевается суммирование. Условие существования нетривиального решения системы (1.3) определяет дисперсионное уравнение
с1е! (к% - к{ку - к$еу) = О,
связывающее кии; для собственных мод среды. Допустим, что имеет место поляризационное вырождение, то есть для некоторого к(и»), удовлетворяющего дисперсионному уравнению, существуют’ два линейно независимых вектора Е, являющиеся решениями системы волновых уравнений (1.3). Покажем, что это условие накладывает достаточно сильные ограничения на компоненты тензора диэлектрической проницаемости и на возможные поляризацию и направление распространения электромагнитных мод.
Предположим для определенности, что в среде отсутствует диссипация. Тогда тензор диэлектрической проницаемости является эрмитовым, поэтому он может быть «диагонализован» с помощью некоторой унитарной матрицы перехода:
£10 0 0 £2 0
0 0 £3
Здесь \Jrxj и 1/^ обозначают соответственно элементы матрицы перехода и обратной к ней матрицы. Столбцы матрицы перехода могут быть интерпретированы как компоненты трех в общем случае комплексных векторов, определяемых в исходной
Є% — ^ітєтп^пі —
34
декартовой системе координат как е» = (17и, 172і, 17зі), где і = 1,2,3. В силу унитарности матрицы перехода комплексное скалярное произведение этих векторов отвечает условию ортонормированности
Таким образом, матрица перехода, днагонализуютцая тензор диэлектрической проницаемости недиссипативной среды, определяет' некоторый ортонормированный базис Єі.Є2,е3. Заметим, что отсутствие диссипации в среде является достаточным, но не необходимым условием приведенного ниже анализа. Наши выкладки останутся верными и для диссипативной среды, если ее диэлектрический тензор можно привести К диагональному виду в некотором ортонормированном базисе, поскольку мы нигде не используем выделяющее эрмитовы среды свойство действительности Примером такой диссипативной среды является магнитоактивная плазма со столкновениями (см. пример в конце раздела 1.3.1).
Анализ системы волновых уравнений существенно упрощается после перехода к представлению поля через проекции на новые базисные вектора: Е = или
В дальнейшем собственные векторы еье2,ез тензора диэлектрической проницаемости мы будем называть собственными поляризациями среды, а вектор
представлением электрического поля в базисе собственных поляризаций среды. Нетрудно убедиться, что комплексный вектор собственной поляризации путем умножения на сохраняющую нормировку константу еХ1р может быть приведен к виду е,= а + г Ь, где а и Ь — два ортогональных действительных вектора, удовлетворяющих условию |а|2 + |Ъ|2 = 1. Векторы а и Ь определяют эллиптическую поляризацию электрического поля с амплитудой Действительному вектору е» (или приводимому к действительному путем умножения на комплексную константу еіч>) отвечает линейная поляризация поля, то есть Ь = 0.
Волновое уравнение (1.3) в базисе собственных поляризаций среды примет вид:
Заметим, что поляризации нормальных мод, определяемые как собственные вектора матрицы Бф в общем случае не совпадают с собственными поляризациями среды, определяемыми как собственные вектора матрицы £у, Волновой оператор можно представить в виде, инвариантном относительно выбора исходной декартовой системы координат:
ЕІ = Щ£І, = ЩЕ,.
£ = (Єї, Єї, Єз)
(1.4)
(1.5)
І
35
Здесь ті = ск/ш — показатель преломления среды, /с,- = е3 • к/к = и^кі/к — коэффициенты разложения единичного орта вдоль направления волнового вектора по векторам собственных поляризаций среды (то есть координаты к/к в новом базисе). Коэффициенты к* могут принимать комплексные значения, связанные условием нормировки
|кі|2+ і«2і2+ |«з|2 = 1. (1.6)
Из (1.5), в частности, следует, что дисперсионное уравнение беЬЮу — 0 может быть представлено в следующем симметрированном инвариантном виде:
(*> - П2)(є3 - ^2)^і|«і|2+(^і - П2){єз - п2)є2ІК2І2+(^1 - п2)(є2 - п2)є3|/с3|2 = 0. (1.7)
В дальнейшем мы будем предполагать, что решение этого уравнения отвечает конечным показателям преломления п2. Таким образом, мы исключим из рассмотрения электростатические волны, отвечающие п2 —> оо (как правило, для таких волн становится существенной пространственная дисперсия среды).
Как уже отмечалось, тройку чисел (£і, £2, £з) формально можно рассматривать как компоненты некоторого вектора Е. В случае поляризационного вырождения существует два линейно независимых вектора £^> и £(2-, удовлетворяющих линейным волновым уравнениям (1.5). Очевидно, что любая линейная комбинация векторов 5« и £<2> также будет решением системы волновых уравнений. Таким образом, в случае поляризационного вырождения существует выделенное направление
г = [£« х £<2>]
такое, что любой вектор, лежащий в ортогональной плоскости, Е Хт, является решением волнового уравнения. С точки зрения волновых уравнений (1.5) три собственных вектора среды равноправны, поэтому без ограничения общности можно задать одну проекцию вектора т, например, гз = —1. Тогда из условия ортогональности Е ' г — 0 следует, что £3 = Ті£і + т2Е2^ где т\ и т2 некоторые, в общем случае комплексные, константы. Подставляя это выражение в систему (1.5), получаем
(£>ц + тчад £1 4- (£>12 4- т2£>із) £2 = 0 < (£>2і + иАгз) £1 4- {022 4- т2£>2з) £2 = 0.
. (Ап + Ті£>зз) £і 4- (Оз2 4- т2£>33) Е2 = 0 Эти соотношения должны выполняться для любых Е\ И £2. Очевидно, что это возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты при £1 и £2 обращаются в нуль:
£>п + гі£>и = £>12 4- т2£>із = Дії + гіДи =
= £>22 4* Т2£>23 ~ £>зі 4- Т1П33 = £>32 4- т2£>зз = 0.
Заметим, что эти равенства автоматически обеспечивают выполнение дисперсионного уравнения (1.7). Рассмотрим все ситуации, при которых возможно выполнение указанных равенств.
(1.8)
36
Пусть п2 = 0. Тогда из определения (1.5) следует, что все недиагональные компоненты тензора Д;- зануляются, а из условий (1.8) следует, что и диагональные компоненты также равны нулю, кроме того є і = = £з = 0- Таким образом, этот
случай соответствует полному поляризационному вырождению, при котором нее компоненты £)у = 0, поэтому любая поляризация поля удовлетворяет системе волновых уравнений. В дальнейшем будем полагать, что п2 > 0.
Пусть Т\ и 72 оба не равны нулю. Тогда из эрмитовости тензора £>,-_,- и условий (1.8) следует, что
|г2і2Ді — |'гі|2Т>22 = |тіТ2|2І?зз = Т\7^Дг = “Ті|72|2/?із = —72 Іт^ |'Дз-
Из соотношений для недиагональных членов Пц = —тг к\к$ (г ф у) можно получить связь поляризационных коэффициентов /с,- в точке поляризационного вырождения,
К\ = —Т1К3, «2 = —Т2Л3.
С учетом этих соотношений находим, что для всех диагональных элементов выполняется соотношение
А. = - |^*|2п2,
например, Ді = —ті Дз = 7г2«ї(ті/с3) = — п2к\к\. Отсюда следует, что Є\ = £2 — £3 = и2, то есть рассматриваемый случай соответствует полной изотропии диэлектрического отклика среды. Компоненты поля при этом связаны с условием поляризационного вырождения £ Хт где Т = (/Сі,/С2,Кз). Очевидно, что т есть просто волновой вектор к в базисе собственных поляризаций, поэтому в исходной декартовой системе координат приведенное условие эквивалентно естественному для изотропной среды условию поперечности поля Е X к.
Пусть только одно число из Ті и т2 не равно пулю, например, для определенности, ті = 0 и Т2 Ф 0. Тогда из условий (1.8) следует, что .
Ді — £>31 — Д2 + 72А3 — 0 (1*9)
£>п = Д2 + 72Д3 = £>32 + Т2Д3 = 0, (1.10)
Соотношения (1.9), эквивалентные условию К^К\ — К*3К\ = 0, могут выполняться в двух случаях: к? — къ = 0 или кл = 0. Рассмотрим сначала первый случай. Из условия нормировки (1.6) следует, что ]к\] = 1, то есть в этом случае вектор собственной поляризации еі должен быть параллелен волновому вектору к. При этом из соотношений (1.10) получаем, что е\ = 0 и Є2 = £з = я2. Отсюда следует’, что Д; = 0, то есть данный случай соответствует полному поляризационному вырождению. Во втором случае, /с і = 0, соотношения (1.10) можно переписать как
п2 - Єї — 0, |к3|2 П2 - Є2 = Г2П2К2«3> Т-2(|К2|2 П2 — £3) = ГГ
37
и двух последних соотношениях МЫ воспользовались СВЯЗЬЮ |/С2р + |/Сз|2 = 1. Исключая т2, окончательно можно получить следующие условия:
61=="2 ,1ри К1=0-
Заметим, что в этом случае вектор собственной поляризации е\ ортогонален волновому вектору к. Определяя т2 находим, что поляризация вырожденных нормальных мод ортогональна вектору £± т где т = (0, £2«2, £з«з)- Нетрудно убедиться, что в исходной декартовой системе координат это условие эквивалентно соотношению еукьЕ} = 0, которое следует непосредственно из уравнения Максвелла сНуЮ = 0.
И, наконец, пусть Т\ = 0 и г2 = 0. Тогда £>зз может принимать любое значение, а все остальные компоненты тензора равны нулю. Это эквивалентно условию = «3«! = К3К2 = 0, которое выполняется, если любые два из входящих в него коэффициентов равны нулю. Отсюда с учетом нормировки (1.6) следует, что один из векторов собственных поляризаций е, должен быть параллелен волновому вектору, при этом соответствующий коэффициент |/с,-| = 1. Можно найти, что
£\ =0, €■> = п2 пртт |«1| = 1,
£\ = п2, £-2 — 0 при |«2| = 1,
£\ = п2, £2 = 7Г при |«з| = 1.
Заметим, что е3 может принимать любое значение, что снимает полное поляризационное вырождение, рассмотренное выше. Поляризация вырожденных мод ортогональна вектору собственной поляризации среды ез.
С точностью до перестановок индексов мы перебрали все возможные комбинации параметров, при которых может реализоваться поляризационное вырождение. Подытожим полученные результаты. Можно выделить пять характерных случаев, в которых возникает поляризационное вырождение.
Случай (а) Поляризационное вырождение в условиях частичного вырождения анизотропии реализуется, когда один из векторов собственных поляризаций среды сонаправлен с волновым вектором, соответствующий ему элемент диагонапизован-ного тензора диэлектрической проницаемости отличен от нуля, при этом элементы тензора диэлектрической проницаемости, соответствующие двум другим векторам собственных поляризаций, равны между собой:
е: II к, £»• Ф о, £3 = £к = г2 {зфкф г), (а)
Равенство собственных значений диэлектрического тензора квадрату показателя преломления автоматически следует из приведенных выше условий. Поляризации вырожденных мод ортогональны вектору собственной поляризации е*. Строго говоря, для выполнения условия £3 = £к требуется не только изотропность диэлектрического отклика в плоскости, ортогональной ег, но и отсутствие гиротроп ИИ вдоль е,-.
38
Для краткости мы будем использовать понятие “частичного вырождения анизотропии”, подразумевая при этом и одновременное вырождение гиротропии среды.
Случай (Ь) Поляризационное вырождение без вырождения анизотропии реализуется в окрестности резонанса среды, когда один из векторов собственных поляризаций среды сонаправлен с волновым вектором, соответствующий ему элемент тензора диэлектрической проницаемости равен нулю, а два других элемента тензора диэлектрической проницаемости не равны между собой (при этом одни элемент автоматически равен квадрату показателя преломления):
е, || к, Єі = 0, Єу = п2, єк фп2 (і ф к ф і). (Ь)
Поляризации вырожденных мод ортогональны вектору собственной поляризации е*.
Случай' (с) Если волновой вектор сонаправлен с одним из векторов собственных поляризаций среды, соответствующий элемент тензора диэлектрической проницаемости равен нулю (резонанс среды), а два других элемента тензора диэлектрической проницаемости равны между собой,
Є, II к, Єі = 0, є, = ек = п2 и ф к ф і), (с)
то реализуется полпое поляризационное вырождение, при котором любая поляризация поля удовлетворяет системе волновых уравнений. Рассматриваемый случай соответствует лишь частичному вырождению анизотропии среды, поскольку в среде остается выделенное направление е*.
Случай (сі) Если все три компоненты диагонализованного диэлектрического тензора равны,
Єї = Є'2 = є3 = п2, (сі)
то реализуется поляризационное вырождение в условиях полного вырождения анизотропии среды. Очевидно, что при отсутствии пространственной дисперсии это условие реализуется для всех направлений распространения воли. Поляризации вырожденных мод ортогональны к. Заметим, что в специальном случае резонанса среды при п2 ~ 0 полное вырождение реализуется одновременно и для поляризации волн, и для анизотропии среды.
Из приведенных условий следует, что в точке поляризационного вырождения волновой вектор параллелен некоторому вектору собственной поляризации среды. Если мы рассматриваем распространяющиеся волны с действительным к, то параллельный ему вектор собственной поляризации должен быть действительным или приводиться к действительному. Другими словами, одна из собственных поляризаций среды должна быть линейной и ориентированной вдоль направления распространения вырожденных мод. Но это не единственно возможная ситуация.
39
Случай (е) Поляризационное вырождение возможно одновременно и без вырождения анизотропии, и без резонанса среды. При этом, в отличие от всех предыдущих случаев, волновой вектор ортогонален одному из векторов собственных поляризаций среды, а на компоненты диагонализованного тензора диэлектрической проницаемости наложены следующие условия:
* = с#**** (о
Для действительного вектора собственной поляризации е* приведенные условия определяют вектор к (первое условие задает плоскость, второе — направление в этой плоскости и модуль к) и не накладывают никаких дополнительных условий на компоненты диэлектрического тензора и на поляризацию нормальных мод, кроме условий разрешимости уравнений (е). Но в общем случае вектор е, может быть не приводимым к действительному комплексным вектором. В этом случае первое условие однозначно-определяет направление волнового вектора кЦр^ее* х ТтеЦ, поэтому второе условие дает дополнительную связь между собственными значениями диэлектрического тензора. Этот случай более удобно исследовать в представлении главных оптических осей, рассмотренном в следующем разделе.
Рассмотрим наиболее типичные случаи, возможные в недиссипативной среде. Среда может обладать осью гиротропии и быть изотропной в плоскости поперек этой оси. Наиболее распространенным примером такой среды является плазма в магнитном поле. Тогда один из векторов собственных поляризаций среды действителен и направлен вдоль оси гиротропии, а два других вектора собственных поляризаций комплексны. Из приведенных условий следует, что линейное взаимодействие-волн с действительным к возможно, только если волновой вектор параллелен или ортогонален к оси гиротропии1. Если среда представляет собой одно- или двухосный кристалл, тогда все три вектора собственных поляризаций среды действительны и направлены вдоль главных оптических осей кристалла. Линейное взаимодействие распространяющихся волн возможно, если волновой вектор параллелен или ортогонален одной из главных оптических осей. И, наконец, если в анизотропном кристалле есть направление гиротропии, не совпадающее с главными оптическими осями (например, индуцированное произвольно направленным внешним магнитным полем), то все три
этом легко убедиться. Пусть в! 6 11 направлен вдоль оси гиротропии, и в2, е:{ являются комплексными. Тогда из условия ортонорм ированиости данных векторов следует, что ег = соБ7а +1311176 и ез = 7а-200576, где а, Ь, в! образуют ортоиормироваииую тройку действительных векторов.
Условия (а)-(с) возможны только при кЦеь то есть при распространении вдоль оси гиротропии. Допустим, что условия (е) выполняется при к ± в?, то есть к ± а и к Л Ь. Тогда автоматически к || в!, то есть случай (е) сводится к случаю вырождения анизотропии (а). Поэтому без ограничения общности достаточно рассматривать случай (е) при к Т в! € II, то есть распространение поперек оси гиротропии.
40
- Київ+380960830922