Анализ структуры нестационарных, коротких и зашумленных сигналов на основе вейвлет-преобразования

2
Оглавление
Введение ...........................................................6
1 Анализ нестационарных многочастотных режимов колебаний на основе непрерывного вейвлет-преобразования...............34
1.1 Теоретические основы непрерывного вейвлет-преобразования 34
1.1.1 Базисные функции .................................... 34
1.1.2 Построение базиса вейвлет-преобразования ............ 41
1.1.3 Непрерывное вейвлет-преобразование .................. 43
1.1.4 Идентификация мгновенных частот и амплитуд колебательных процессов .......................................... 50
1.1.5 Сопоставление с оконным спектральным анализом ....... 54
1.1.6 Сопоставление с распределением Вигнера-Вилля ........ 59
1.2 Примеры применения ........................................ 60
1.2.1 Анализ тестовых сигналов............................. 60
1.2.2 Анализ экспериментальных данных ..................... 66
1.3 Ограничения непрерывного вейвлет-преобразования ........... 73
1.3.1 Краевые эффекты ..................................... 73
1.3.2 Интерференция ....................................... 75
1.4 Мера когерентности на основе непрерывного вейвлет-преобразования ...........................................................80
1.5 Двойной вейвлет-анализ .................................... 82
1.5.1 Предварительные замечания ........................... 82
1.5.2 Предлагаемый метод .................................. 84
1.5.3 Примеры применения....................................90
1.6 Выводы по 1-й главе ....................................... 99
2 Корреляционный анализ сигналов на основе метода муль-тифрактального формализма .................................... 100
2.1 Предварительные замечания................................. 100
2.2 Мультифрактальный формализм: от сингулярных мер к сингулярным функциям.............................................. 104
2.2.1 Фрактальная размерность ............................. 104
2.2.2 Фрактальные меры .................................... 106
2.2.3 Фрактальные функции ................................. 113
2.3 Мультифракталытый анализ на основе вейвлет-преобразования 117
2.3.1 Вейвлет-анализ сингулярных функций .................. 117
2.3.2 Метод максимумов модулей вейвлет-преобразования ..... 119
2.4 Примеры применения мультифрактального анализа: эффекты потери мультифрактальности .................................... 130
2.4.1 Хаотическая динамика взаимодействующих систем.........131
2.4.2 Стохастическая синхронизация .’.......................154
2.4.3 Мультифрактальный анализ динамики артериального давления крови ............................................ 159
2.5 Возможности и ограничения мультифрактального анализа ...... 163
2.6 Анализ корреляционных свойств по сигналам малой длительности ....................................................... 169
2.7 Выводы по 2-й главе ....................................... 176
3 Идентификация сигналов типа последовательности одиночных импульсов на фоне шума с помощью вейвлетов ................ 178
3.1 Постановка задачи ......................................... 179
3.2 Методы идентификации импульсных сигналов ................. 184
3.2.1 Амплитудное детектирование .......................... 186
3.2.2 Анализ главных компонент..............................191
3.2.3 Кратномастптабный вейвлет-анализ .................... 195
3.2.4 Сравнительный анализ методов идентификации .......... 204
3.3 Влияние шума на эффективность методов идентификации ....... 210
3.4 Предлагаемая методика уменьшения ошибки идентификации ... 220
3.5 Параметрический метод анализа с адаптивной фильтрацией 225
3.6 Выводы по 3-й главе ....................................... 234
4 Анализ сложных режимов колебаний в условиях ограниченной информации о порождающей их динамической
системе ....................................................... 237
4.1 Анализ точечных процессов, отражающих динамику колебательных систем ................................................ 237
4.1.1 Предварительные замечания ........................... 237
4
4.1.2 Случай отсутствия собственной динамики .............. 239
4.1.3 Случай наличия собственной динамики ................. 270
4.2 Детектирование информационных сигналов на основе реконструкции динамических систем и дискретного вейвлст-преобразования ......................................................... 284
4.2.1 Применение хаотических автоколебаний в качестве несущих сигналов в системах защищенной передачи информации ........................................................284
4.2.2 Выделение информационных сообщений из хаотического несущего сигнала на основе реконструкции динамических систем .................................................... 288
4.2.3 Дифференцирование сигналов с применением дискретных вейвлетов ................................................. 299
4.2.4 Детектирование информационных сигналов с использоваг нием дискретных вейвлетов ................................. 302
4.3 Выводы по 4-й главе ....................................... 308
Заключение........................................................310
Приложение: Вейвлет-анализ динамики нефронов......................313
Список литературы..................................................335
Обозначения и сокращения
НВП - непрерывное вейвлет-преобразование ДВП - дискретное вейвлет-преобразование АФТ - анализ флуктуаций относительно тренда НЧ - низкочастотный ВЧ - высокочастотный АМ - амплитудная модуляция ЧМ - частотная модуляция ФМ - фазовая модуляция
ММВП - максимумы модулей вейвлет-преобразования
АКФ - автокорреляционная функция
А ГК - анализ главных компонент
ВКИ - вейвлетный классификатор импульсов
ПВАФ - параметрический вейвлет-анализ с адаптивной фильтрацией НС - накопление-сброс ПП - пересечение порога
ЛХП - ляпуновский характеристический показатель
ДО - динамическая система
МИ - межимпульсные интервалы
ГИН - генератор с инерционной нелинейностью
б
Введение
Терминология “вейвлетов" (от англ. wavelet, что в дословном переводе означает “маленькая волна”) сформировалась в восьмидесятых годах двадцатого века [1,2]. Первоначально данный математический аппарат [3-14) был предложен в качестве альтернативы классическому спектральному анализу, основанному на преобразовании Фурье. Возникновение теории вейвлетов считается одним из важнейших событий в математике за последние десятилетия, поскольку это, пожалуй, единственная новая математическая концепция, которая сразу же после сс появления стала восприниматься в качестве инструмента прикладных исследований практически во всех естественных науках и многих областях техники. В настоящее время вейвлеты широко используются при решении задач анализа и синтеза различных сигналов, для обработки изображений, для сжатия больших объемов информации и цифровой фильтрации, для распознавания образов, при изучении сильно развитой турбулентности, при решении некоторых дифференциаль-ных уравнений и т.п. [15-35]. Применения вейвлетов известны в радиофизике, нелинейной динамике, акустике, оптике, физике твердого тела, сейсмологии, динамике жидкостей, биологии и медицине, экономике и т.д. [36-49]. Причем, этот список можно еще долго продолжать.
Интерес к новому направлению с момента его появления был очень большим. Согласно исследованиям, предпринятым в монографии [7], начиная с 90-х годов количество научных работ по изучению физических явлений с помощью вейвлетов демонстрирует монотонный рост. Число ссылок па источники в сети Интернет, в которых упоминается термин “вейвлет”, уже достигло нескольких миллионов. Основной областью применения данного маг тематического аппарата в естествознании является обработка нестационарных (во времени) или неоднородных (в пространстве) случайных процессов. Именно поэтому вейвлет-анализ представляет значительный интерес для радиофизики, так как большинство классических методов цифровой обработ-
7
ки сигналов применимы лишь к процессам с постоянными во времени (или пространстве) характеристиками.
По аналогии с преобразованием Фурье, вейвлет-преобразование сигнала - x(t) состоит в его разложении по некоторому базису. Отличие заключается в том, что в качестве базисной выбирается “солитоноподобная’’', хорошо локализованная и тго времени, и по частоте функция ф{Ь)у обладающая рядом характерных признаков; базис формируется путем ее персмасштабирования и сдвигов вдоль временной оси. Использование локализованных функций позволяет проводить анализ процессов, характеристики которых меняются во времени, и обеспечивает двумерную развертку сигнала x(t), при которой время и частота воспринимаются как независимые переменные [12].
Само возникновение теории вейвлетов не является неожиданным событием и связано с реальными потребностями экспериментальных исследований. В его сегодняшнем виде вейвлет-анализ в значительной степени представляет собой синтез многих существовавших ранее идей и методов. Так, быстрые алгоритмы вейвлет-преобразования используют известную в радиофизике и радиотехнике идеологию субполосного кодирования [50 52]. Часть идей была заимствована из физики (когерентные состояния [53]) и математики (например, изучение интегральных операторов Зигмунда-Кальдерона [54], которые сейчас используются при вейвлет-анализе операторных выражений, помогающем решать некоторые уравнения в физике).
Важность использования в прикладных задачах базисных функций, отличных от гармонических, обсуждалась на протяжении длительного времени. Еще в 1910 году А. Хаар предложил первую ортонормированную систему функций с компактным носителем - базис Хаара [55], который до сих пор является составной частью современной теории вейвлетов, хотя и имеет ряд недостатков, прежде всего, негладкость функций. В качестве примера также можно привести высказывание Л.И. Мандельштама, который в 20-х годах прошлого века отмечал, что “ физическое значение разложения Фурье в большой мере связано с резонансными свойствами линейных систем с постоянными параметрами; при переходе к линейным системам с переклейными параметрами разлоо/сспие Фурье перестает быть целесообразным, и место функций cos и sin должны занять другие функции!' (из работы [56]). Следующий шаг сделал Д. Габор в 1946 году [57], когда была
8
сформулирована идея “атомов” Габора - неортогонального базиса, построенного с использованием смещенных относительно друг друга функций Гаусса. Сам термин “вейвлет” был предложен Н. Рикером в 1940 году и относился к сейсмологии (58). А. Гроссман и Ж. Морле в 80-х годах наделили этот термин новым смыслом, продемонстрировав возможность анализа произвольных сигналов с помощью единственной функции - материнского вейвлета ip{t), осуществляя ее перемасштабирования и смещения [2]. Дальнейшее построение современной теории вейвлетов, “индуцированное” исследованиями А. Гроссмана и Ж. Морле, связано с именами И. Мейера [4, 5], И. Добе-ши [3], С. Малла [6] и многих других. В 1988 году И. Добеши предложила самый распространенный набор дискретных вейвлет-преобразований (вейвлеты Добеши с компактным носителем), которые являются более гладкими по сравнению с функцией Хаара. Важным шагом стала разработка теории кратномасштабного анализа в работах И. Мейера и С. Малла, предполагающей последовательное “огрубление” содержащейся в данных информации и возможность детального исследования структуры сигналов на разных масштабах наблюдения.
Вейвлет-анализ традиционно называют методом “математического микроскопа” из-за его способности сохранять хорошее разрешение в широком диапазоне масштабов [4). Перемасштабирование базисной функции ^p(t) характеризует увеличение данного “микроскопа”, смещением достигается фиксация точки фокусировки и, наконец, выбором ip(t) определяются оптические качества (но аналогии с выбором разрешения объектива).
К настоящему времени теория вейвлетов уже в основном разработана (фактически, создание ее ключевых положений было завершено за несколько лет в конце 80-х - начале 90-х годов). Вместе с тем до сих пор не существует точного определения, что же такое “вейвлет”? В значительной степени это связано с разнообразием задач, при решении которых используются локализованные функции ?/>(£), и разнообразием требований, которые предъявляются к этим функциям в зависимости от специфики той или иной задачи. Так, в частности, существуют неортогональные, ортогональные и биортого-нальиые вейвлеты. Функции ^>(;Ь) могут быть симметричными и несимметричными, иметь компактный носитель или нет. Ряд функций задан в аналитической форме, другие - в виде коэффициентов матриц. Тем не менее,
9
даже при таком разнообразии для всех используемых вейвлетов характерно наличие частотно-временной локализации, нулевого среднего значения и т.д. [3,6].
Существует дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) и непрерывное вейвлет-преобразование (НВП). В отличие от преобразования Фурье. ДВП -это не просто дискретизация формул НВП. Различия между данными подходами являются более глубокими, фактически их можно рассматривать как два разных метода анализа структуры сигналов. Непрерывное вейвлет-преобразование использует в качестве ф{Ь) функции, имеющие аналитическую форму записи и являющиеся бесконечно дифференцируемыми; многие вейвлеты, рассматриваемые в рамках НВП, представляют собой производные функции Гаусса, промодулированные гауссианом гармонические функции и т.п. Вследствие этого для них характерен экспоненциальный спад на бесконечности, и базис, построенный на основе таких вейвлетов, не является строго ортонормированным. Часто для системы функций разложения в рамках НВП характерна “приближенная” ортогональность, когда, пользуясь терминологией работы [12], ее можно считать “почти базисом”. Данная особенность означает, что НВП является избыточным, и значения коэффициентов вейвлет-нреобразования оказываются сильно коррелированными. Заметим, что избыточность может быть и полезным свойством, позволяющим получать более наглядную и ясную интерпретацию результатов анализа структуры сигналов в виде картин “скелетонов” или “хребтов” поверхности вейвлет-коэффициентов (подробнее эти вопросы будут рассмотрены в первой главе диссертационной работы). Информацию, которую можно извлечь из непрерывного вейвлет-преобразования, например, об изменении характерных частот ритмических процессов и их взаимодействии, легче анализировать. и она интуитивно понятнее для специалистов с базовым радиофизическим образованием. Например, при использовании комплексных функций ф(£) НВП позволяет изучать динамику таких характеристик, как мгновенные частоты, мгновенные амплитуды и мгновенные фазы ритмических процессов, идентифицируемых в структуре анализируемого сигнала. Такая возможность делает НВП крайне привлекательным инструментом исследования, применимым при решении многих радиофизических задач.
Дискретное вейвлет-преобразование имеет существенные отличия. Оно
10
i\^oжeт оперировать с неортогональными базисными функциями (в этом случае говорят о так называемых фреймах). Однако это отдельный случай, в какой-то степени занимающий промежуточное положение между НВП и “настоящим” дискретным всйвлст-преобразованисм. Фреймы используются на практике, если нужны представления, близкие к НВП (можно провести некоторую аналогию с непрерывно-дискретным преобразованием Фурье [59)). Избыточность, к которой приводят фреймы, особенно важна в задачах синтеза (восстановления сигнала, по его вейвлет-коэффициентам). Эта избыточность позволяет восстанавливать сигнал со сравнительно высокой точностью даже в том случае, если вейвлет-коэффициенты вычислены с низкой точностью [3]. Тем не менее, практическое значение фреймов не настолько велико, как “истинного” дискретного вейвлет-преобразования, оперирующего с ортонормированными базисами, что позволяет осуществлять более точное представление сигнала и значительно упрощает его восстановление по набору вей влет-коэффициентов. Существенно отличаются и формулы обращения для НВП и ДВП. Строго говоря, в дискретном случае не существует формулы обратного преобразования, аналогичной формуле обращения для непрерывного преобразования, и процедура восстановления сигнала по его вейвлет-коэффициентам проводится с помощью специальных приемов (причем значительно более простых с точки зрения численного алгоритма, чем вычисление обратного НВП). В отличие от непрерывного преобразования, вейвлеты, использующиеся в рамках ДВП, не имеют аналитической формы записи (за исключением функции Хаара). Они задаются в виде таблицы численных коэффициентов, полученных путем решения некоторых уравнений. На практике в рамках ДВП конкретная форма функций ф(£) в явном виде не рассматривается, записываются только наборы чисел, с помощью которых задается тот или иной вейвлет. При проведении анализа структуры сигналов это приводит к различным операциям с матрицами. Базис в таком случае строится на основе итерационного алгоритма, предусматривающего изменение масштаба и смещение единственной функции. Детальное описание принципиальных различий ДВП и НВП приводится в монографии [7].
Некоторое неудобство (или необычность) работы с ДВП компенсируется многими полезными свойствами данного преобразования. Во-первых,
11
ДВП допускает возможность реализации быстрого (пирамидального) алгоритма преобразования, идея которого была заимствована из схем суб-полосной фильтрации. Двухканальные схемы субполосиой фильтрации [50] предусматривают свертку послсдовательпости дискретных отсчетов с двумя фильтрами - высокочастотным и низкочастотным, после чего две полученные последовательности прореживаются (оставляются лишь четные или нечетные компоненты). Аналогичным образом осуществляется разложение сигнала в рамках ДВП, и набор численных коэффициентов используемого базисного вейвлета в этом случае фактически представляет собой один из фильтров. Возможность реализации быстрой процедуры преобразования важна для многих приложений, например, для кодирования и передачи информации. сжатия данных. В качестве примеров можно отметить, что ДВП является основой формата представления графической информации JPEG, формата видео MPEG4, активно применяется в компьютерной графике для редактирования трехмерных изображений и т.д. [37]. Существование алгоритмов быстрого преобразования важно также и в задачах обработки экспериментальных данных (особенно, если речь идет о больших объемах информации).
Во-вторых, важным свойством вейвлет-преобразования является наличие инвариантности относительно смещения (shift invariance) [7]. Это означает, что если осуществить сдвиг вдоль сигнала на некоторое расстояние, то вейвлет-коэффициенты также сместятся, и путем их переиндексации можно установить взаимосвязь с коэффициентами до сдвига. Данное свойство легко проиллюстрировать на примере НВП, поскольку для ДВП зависимости между индексами коэффициентов на разных масштабах при смещениях вдоль сигнала выглядят намного сложнее. Однако быстродействие алгоритма ДВП является более важным чем некоторые сложности переиндексации - появляется возможность решать в реальном времени задачи, связанные с определением задержек при распространении сигналов. Отметим, например, что ДВП является замечательным инструментом для радиолокации. С одной стороны, этот метод позволяет легко определять задержку во времени, которая требуется, чтобы приемное устройство зафиксировало отраженный от объекта сигнал (по своим потенциальным возможностям ДВП значительно превосходит корреляционный анализ, традиционно использо-
12
вавшийся для решения аналогичных задач). С другой стороны, возможность распознавания образов на основе вейвлет-преобразования позволяет решать задачи идентификации объектов (более гибкие алгоритмы распознавания могут быть построены путем сочетания вейвлет-анализа и нейросетевых методов) .
Помимо того, что функции ^>(£), используемые в рамках ДВП, не могут быть представлены в аналитической форме, многие из них являются нерегулярными (например, широко используемые вейвлеты Добеши малого порядка, имеющие узкую область задания). На практике при выборе вейвлета учитывают такие его свойства, как регулярность, число нулевых моментов, число вейвлет-коэффициентов, превышающих некоторое пороговое значение. Большое количество нулевых моментов ?/>(£) позволяет осуществлять болсс эффективное сжатие данных, так как вейвлет-коэффициенты на малых масштабах стремятся к нулю в тех точках, где функция является гладкой, и в этом случае их можно отбросить без существенной потери информации. С другой стороны, за это приходится расплачиваться увеличением области задания вейвлета и, как следствие, снижением быстродействия вычислений. Поэтому выбор базисной функции и вида преобразования должен осуществляться, исходя из специфики решаемой задачи. В частности, ДВП преимущественно используется при решении задач кодирования сигналов, компьютерной графики, распознавания образов. НВП в большей степени применяется в научных исследованиях для анализа структуры сложных сигналов.
Не углубляясь в детали конкретного вида преобразования и выбора базиса, рассмотрим более подробно два научных направления, относящиеся к радиофизике, где в полной мерс проявились возможности вейвлет-анализа.
Направление 1: Исследование структуры нестационарных процессов. Очень многие процессы в окружающем нас мире являются нестационарными и демонстрируют изменения во времени своих статистических свойств. В числе примеров можно упомянуть переходные процессы в радиофизических устройствах, нестационарные волны в океане, атмосферную и гидродинамическую турбулентность, нестационарные физиологические и геофизические сигналы и т.д. Важно отметить, что в экспериментальных исследованиях проводится анализ не всего случайного процесса, а его от-
13
дельно взятой реализации (выборочной функции). Насколько эта реализация является типичной, и можно ли путем ее анализа делать выводы о статистическом ансамбле - получить ответы на эти вопросы в общем случае нельзя. Как известно, при наличии свойства эргодичности анализ отдельно взятой реализации в статистическом смысле эквивалентен рассмотрению совокупности реализаций, и операция усреднения по ансамблю может быть заменена усреднением по времени. Но при работе с экспериментальными данными доказать наличие эргодичности (или даже просто обосновать, что свойство эргодичности является разумным допущением) почти невозможно. В связи с этим, говоря о нестационарности, мы будем подразумевать существование зависимости характеристик отдельно взятой реализации от выбора начала отсчета времени. Классические вероятностные и спектральные методы анализа структуры сигналов |60.61] являются инструментами исследования стационарных случайных процессов; их применение для обработки нестационарных данных приводит к различным проблемам интерпретации полученных результатов. В частности, обнаружение двух пиков в спектре мощности с некратными частотами может соответствовать принципиально разным случаям: одновременному присутствию двух независимых ритмов колебаний в динамике изучаемой системы или переключению частоты, при котором в каждый момент времени существует только один ритмический процесс.
На протяжении длительного времени стандартным подходом к исследованию экспериментальных данных (особенно для случайных процессов в физиологии, метеорологии и т.д.) являлась идеология анализа систем с медленно-меняющимися параметрами: считалось, что можно ввести в рассмотрение небольшие промежутки времени, в течение которых свойства сигнала меняются незначительно, и его можно рассматривать как выборочную функцию стационарного процесса, применяя классический аппарат методов статистической обработки. Такой подход может применяться ira практике, если неетационарность ассоциируется с низкочастотной областью спектра по отношению к динамике, представляю]цей интерес для исследователя, и анализируемый сигнал можно представить в виде суммы или произведения выборочной функции стационарного случайного процесса и детерминиро-ванной функции, описывающей изменения во времени среднего значения
14
или дисперсии. Медленная нестационарность (низкочастотный тренд) может быть устранена путем фильтрации или на основе других специальных приемов [59].
Если же свойства выборочной функции случайного процесса успевают существенно поменяться даже на сравнительно коротких участках времени, то возникает потребность переходить от классических методов анализа временных рядов к специальным методикам. Ценность вейвлет-анализа состоит в его универсальности: данный метод может применяться независимо от того, является ли процесс стационарным или нет. Отметим, что эффективных методов анализа структуры нестационарных случайных процессов существует немного. В числе известных и популярных подходов наряду с вейвлетами можно упомянуть метод аналитического сигнала, использующий преобразование Гильберта [62], и метод анализа флуктуаций относительно тренда (АФТ, в зарубежной литературе используется название detrended fluctuation analysis) [63-66].
Первый из этих подходов позволяет ввести понятия мгновенной частоты, мгновенной амплитуды и мгновенной фазы колебаний для узкополосного случайного процесса; с его помощью можно исследовать изменения во времени этих характеристик. Метод аналитического сигнала может успешно применяться при решении задач изучения взаимосвязи процессов (например, при рассмотрении явления синхронизации в нестационарной динамике автоколебательных систем). АФТ является новым методом исследования эффектов длительных корреляций, применимым как к стационарным случайным процессам, так и к нестационарным. Центральная идея этого подхода состоит в переходе от анализируемого сигнала к одномерным “случайным блужданиям” |63]. Данный переход осуществляется путем специального суммирования значений временного ряда, предварительно приведенного к нулевому среднему уровню. Затем анализируются отклонения “случайных блужданий” от локального тренда в зависимости от масштаба наблюдения. Вычисляемые в рамках метода АФТ величины связаны с характеристиками, описывающими спад корреляционной функции и частотную зависимость функции спектральной плотности мощности [64, 65]. Поэтому с помощью данного подхода можно проводить спектрально-корреляционный анализ, не ограничиваясь только стационарными случайными процессами. Более того,
15
в настоящее время АФТ рассматривается в качестве альтернативы классическому корреляционному анализу, поскольку этот метод позволяет точнее оценивать скейлинговые характеристики в области длительных корреляций.
Однако по своим потенциальным возможностям вейвлет-анализ превосходит оба упомянутых подхода. Как и метод аналитического сигнала, он позволяет* вычислять мгновенную частоту, мгновенную амплитуду и мгновенную фазу ритмических компонент нестационарных процессов, не ограничиваясь при этом узкополосными сигналами. Взаимосвязь мгновенных фаз, введенных с помощью метода аналитического сигнала и на основе вейвлетов, обсуждается, в частности, в работе [67]. При изучении явления синхронизации в динамике систем с несколькими временными масштабами использование вейвлетов целесообразнее метода аналитического сигнала, так как вейвлет-преобразование представляет собой инструмент многомасштабного анализа, позволяющий одновременно анализировать особенности структуры сигналов в разных диапазонах масштабов наблюдения. С точки зрения изучения корреляционных свойств случайных процессов, основанный на вейвлет-преобразовании мультифрактальный формализм [68] обладает не только теми же возможностями, что и техника АФТ, но еще и рядом преимуществ. Для метода АФТ требуется, во-первых, большая длительность временного ряда; во-вторых, АФТ менее эффективен при анализе корреляций на малых временных интервалах.
Вейвлет-аттлиз демонстрирует свои преимущества и по сравнению е другими подходами, которые могут применяться для исследования процессов сменяющимися во времени характеристиками, например, оконным спектральным анализом и распределением Вигнсра-Вилля [6]. Более детальное сопоставление этих методов будет проведено в первой главе диссертации, поэтому пока кратко отметим лишь принципиальные отличия. Чтобы обеспечить хорошую временную локализацию, отслеживая изменения структуры нестационарных процессов, важно извлекать высокочастотную информацию из относительно малых участков анализируемого сигнала, а низкочастотную - из сравнительно больших. Вейвлет-анализ такую возможность предоставляет, поскольку обладает подвижным частотно-временным окном, которое является широким на низких частотах и узким - на высоких. Оконный спектральный анализ оперирует с фиксированным размером оконной функ-
16
ции и не обеспечивает по-настоящему локализованный анализ структуры сигналов [12]. Что касается распределения Вигнера-Вилля, то этот подход может превосходить вейвлет-преобразование по частотно-временному разрешению, но одновременно приводит к крайне нежелательным явлениям -наличию интерференций, из-за которых данный метод теряет привлекательность. Специальные приемы усреднения, позволяющие избавляться от интерференций, ухудшают частотно-временное разрешение, в результате чего никаких явных преимуществ у распределения Вигнера-Вилля по сравнению с вейвлетами уже не будет [3].
Направление 2: Распознавание различных форм сигналов. Распознавание (или идентификация) различных форм сигналов представляет собой еще одно научное направление, в рамках которого применение вейвлетов позволяет решать целый комплекс проблем. Например, они помогают проводить очистку экспериментальных данных от шумов и случайных искажений. В сигналах натзфных экспериментов часто встречаются изолированные особенности (отдельные выбросы, ступеньки и т.п.), которые могут быть связаны как с самой исследуемой динамикой, так и со сбоями аппаратуры или влиянием каких-то внешних факторов. Фильтры, построенные на основе Фурье-прсобразования, неэффективны для устранения изолированных особенностей, поскольку информация о сбойных точках содержится во всех коэффициентах преобразования. Фильтрация на основе вейвлетов является более гибкой: существует возможность в автоматическом режиме выявить расположение той или иной особенности (в ее окрестности резко возрастают коэффициенты вейвлст-прсобразования на малых масштабах), идентифицировать характер этой особенности по асимптотическому поведению коэффициентов преобразования и удалить эту особенность из сигнала (или ее скорректировать). Цифровая фильтрация на основе вейвлетов позволяет проводить качественную очистку зашумленных сигналов на этапе предварительной обработки экспериментальных данных.
Широкая область применения вейвлетов связана с распознаванием близких по форме сигналов на фоне шума. Примером может служить распознавание речи, когда на основе вейвлетов решается задача идентификации отдельных звуков или слов голосового сообщения, полученного при наличии сильных помех.
17
Отметим, что методы анализа структуры сигналов, основанные на вейвлет-преобразовании, могут применяться независимо от природы процесса; они с равным успехом могут быть использованы как в исследованиях радиофизических систем (задачи радиолокации, радиометрии и т.д.), так и при анализе сложной динамики объектов живой природы. Биологические системы часто демонстрируют сложное нерегулярное поведение, характеристики которого непрерывно меняются во времени. Привлечение для анализа соответствующей динамики классических вероятностных и спектральных методов означает априорное предположение о том, что рассматриваемые процессы можно приближенно считать эргодическими, а справедливость этого допущения довольно сложно обосновать, если живой организм демонстрирует процесс адаптации к изменению внешних условий функционирования. Зачастую возникают проблемы с интерпретацией результатов анализа биологических данных, которые выявляют ограничения классических подходов к анализу случайных процессов и определяют важность разработки новых, более эффективных инструментов анализа структуры сигналов. Развитие техники привело в настоящее время к высочайшему уровню экспериментальных исследований, когда сигналы биологических систем можно измерять на микроскопическом уровне отдельных клеток и внутриклеточной динамики. В то же время анализ таких сигналов зачастую ограничивается простой статистической обработкой экспериментальных данных. Создание более точных инструментов исследования сигналов, позволяющих выявить детали их сложной структуры, является в этой связи очень актуальной задачей: под высокоточные эксперименты, выполняемые в настоящее время в биологии, нужны соответствующие методы анализа. Биологические приложения физических подходов обогащают и саму физику. В частности, разработанные специальные методы, для которых пестациоиарность динамики не является препятствием, не только существенно расширяют возможности экспериментальных исследований, но и в значительной степени определяют дальнейший прогресс в развитии теории анализа структуры сигналов. Одним из примеров служит алгоритм АФТ. Метод, который начинает восприниматься как альтернатива классическому корреляционному анализу и позволяет устранить некоторые недостатки автокорреляционной функции, изначально был предложен как способ диагностики сердечно-сосудистой патологии |63]. По-
18
путно отметим, что и базовая модель теории колебаний, генератор Ван дер Поля, первоначально была предложена как попытка моделирования динамики сердца. То, что современные биологические исследования невозможны без самого широкого использования физических методов (и, в том числе, радиофизических), отмечают многие ученые; можно, в частности, упомянуть высказывание Нобелевского лауреата В.Л. Гинзбурга о том, что “биологическая и околобиологическая тематика доло/спа и будет занимать в физических институтах, па физических факультетах и на страницах физических оюурналов все большее место. Нужно это понимать и активно этому содействовать” [69).
Таким образом, вейвлеты представляют собой мощный инструмент анализа, применимый к коротким, зашумленным и нестационарным случайным процессам. Поскольку такие процессы довольно часто регистрируются в натурных экспериментах, изучение возможностей этого инструмента и развитие методов, базирующихся на вейвлет-преобразовании, является актуальной задачей исследования структуры сигналов. Несмотря на значительные успехи теории вейвлетов и ее многочисленные применения в решении большого числа задач, в настоящее время активно используется лишь часть ее потенциальных возможностей. Многие, весьма интересные разработки теоретиков только начинают находить свое применение. До сих пор остается ряд открытых вопросов, относящихся к определению существующих ограничений вейвлет-анализа. Как и любой другой метод цифровой обработки сигналов, вейвлеты имеют как свои преимущества, так и определенные недостатки, и было бы неправильно идеализировать этот математический аппарат. Известно, например, что за возможность проведения локализованного спектрального анализа, позволяющего осуществлять расчеты мгновенного спектра по очень малым участкам сигнала, приходится “расплачиваться” ухудшением спектрального разрешения |7|.
Актуальность работы определяется важностью проблемы выявления границ применимости теории вейвлетов и развития новых эффективных методов анализа структуры сигналов, основанных на вейвлет-преобразовании.
Очень часто многие исследователи ограничиваются противопоставлением вейвлет-анализа и других подходов (например, классического спектрального анализа, основанного на преобразовании Фурье). В ряде практических
19
задач такое противопоставление оправдано, если, например, речь идет только об изучении эволюционной динамики мгновенных частот и амплитуд. Тем не менее значительный интерес вызывают комбинированные подходы, базирующиеся на сочетании вейвлетов с другими методами анализа структуры сигналов. Подобное сочетание позволяет эффективнее решать самые разные задачи - от распознавания образов (при совместном использовании вейвлетов и нейронных сетей) и количественного описания сложности нестационарных процессов до улучшения характеристик систем связи.
Детальные исследования структуры нестационарных процессов приводят к необходимости модификаций методов обработки временных рядов, которые позволили бы получать более полную информацию об анализируемых процессах. Такие модификации представляют несомненный интерес при изучении эффектов взаимодействия ритмов колебаний в условиях нестационарных многочастотных режимов динамики, например, при выявлении синхронизации колебаний (если захват мгновенных частот или фаз колебательных процессов происходит лишь на сравнительно небольших отрезках времени) или модуляции колебаний. Для многих сигналов в природе типична нестационарность, приводящая к тому, что характеристики модуляции не являются постоянными и могут демонстрировать существенные изменения во времени. Как следствие, возникает необходимость рассмотрения нестационарных модулированных колебаний, которое должно базироваться на локальном спектральном анализе и вычислении меняющихся во времени характеристик (например, индексов модуляции или частот ритмов колебаний, осуществляющих модуляцию).
Наряду со случаем нестационарных процессов хорошо известны и другие ограничения классических методов анализа структуры сигналов, например, проблема исследования длительных корреляций в динамике нелинейных систем, если ограниченный объем выборки препятствует проведению оценок закономерностей спада автокорреляционной функции на больших временах. Упомянутый метод АФТ является хорошей альтернативой классическому корреляционному анализу, но и он оказывается малопригоден, если речь идет о сигналах малой длительности (здесь и далее, говоря о малой длительности, мы будем подразумевать, что 011а является малой с точки зрения проведения оценок необходимых характеристик в рамках заданной точно-
20
сти). В связи с этим развитие специальных подходов, способных устранить отмеченные недостатки существующих методов анализа длительных корреляций, является актуальной задачей, имеющей как теоретическое, так и практическое значение.
Как уже отмечалось, вей влет-анализ является эффективным способом идентификации сигналов, например, распознавания речи. Кроме того, во многих приложениях возникает очень близкая, по сути, задача - потребность изучать сигналы, характеризующие динамику ансамбля некоторых элементов, и извлекать из этих сигналов информацию о динамике отдельных элементов. Такие задачи могут возникать, например, в активной радиолокации при отслеживании движения группы объектов и измерении меняющегося со временем расстояния до них. Сходная ситуация характерна для пассивной радиолокации, когда проводится регистрация собственного радиоизлучения от нескольких объектов, и радиометрии. Помимо радиофизических систем, задача выделения сигнала отдельного элемента из коллективной динамики малого ансамбля возникает при изучении процессов кодирования информации в нейронных сетях. При осуществлении внеклеточной записи электрического потенциала микроэлектрод фиксирует потенциалы действия (спайки) не только одной клетки, вблизи которой он находится, но и соседних нейронов, расположенных в некоторой локальной области. В результате регистрируемый потенциал представляет собой суммарную электрическую активность группы клеток и содержит значительный уровень шума разной природы. Чтобы проводить исследование генерируемого нейронами информационного кода на основе экспериментальных данных, вначале требуется в автоматическом режиме отсортировать спайки, установив, какой клеткой генерируется тот или иной потенциал действия. Во всех отмеченных задачах возникают похожие проблемы - нужно идентифицировать сигнал отдельного элемента некоторого ансамбля и сделать это в условиях наличия шума большой интенсивности (как в радиолокации, так и в динамике групп нейронов уровень шума может быть сопоставим с амплитудой сигнала). Применение вейвлетов для эффективного решения данных задач либо в рамках отдельного алгоритма идентификации, либо в сочетании с другими методами распознавания образов является еще одним актуальным направлением теории анализа структуры сигналов.
21
Вейвлет-анализ обладает рядом полезных свойств. Одним из них является возможность проводить численное дифференцирование зашумленных сигналов путем перехода в пространство вейвлет-коэффициентов. Особенностью этого подхода является то, что производная от сигнала может быть заменена производной анализирующей функции 'ф(С), заданной в аналитической форме. Это свойство позволяет эффективно решать задачи синтеза. Совместное использование вейвлетов и техники реконструкции динамических систем представляет собой новое направление, позволяющее разрабатывать эффективные методы оценок параметров автоколебательных режимов, что открывает широкие перспективы решения задач передачи информации с применением хаотических несущих сигналов.
Сформулированный выше круг проблем определяет цель диссертационной работы, которая состоит в развитии и применении специальных методов анализа структуры сигналов, основанных на вейвлет-преобразовании и позволяющих решать задачи исследования сложной динамики колебательных систем в условиях нестационарности, наличия флуктуаций, ограниченного объема выборки и ограниченной информации о режиме функционирования.
Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:
1. Выявить возможности и ограничения спектрального анализа многочастотных колебательных процессов на основе непрерывного вейвлет-преобразования в условиях нестационарности.
2. Разработать методики анализа структуры сигналов на основе непрерывного вейвлет-преобразования для изучения эффектов взаимодействия ритмов колебаний нестационарных многочастотных режимов динамики, в частности, позволяющие выявлять эффекты синхронизации колебаний, возникающие на сравнительно небольших участках времени, и модуляции колебаний с меняющимися во времени характеристиками.
3. Выявить возможности и ограничения метода мультифрактального анализа, основанного на непрерывном вейвлет-преобразовании, при исследовании структуры случайных и детерминированных процессов с несколькими различными типами сингулярностей.
4. Установить типичные изменения мультифрактальной динамики по-
22
следовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре, обусловленные эффектом фазовой синхронизации взаимодействующих автоколебательных систем, функционирующих в режиме динамического хаоса.
5. Выявить возможности мультифрактального формализма, основанного на непрерывном вейвлет-преобразовании, как метода корреляционного анализа в условиях ограниченного объема выборки.
6. Разработать новые эффективные методики идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов на фоне шума большой интенсивности, использующие вейвлет-преобразование.
7. Изучить возможности использования вейвлетов при решении задач исследования динамики на входе пороговых систем по выходному точечному процессу, провести сопоставление с другими методами анализа структуры сигналов.
8. Разработать новый способ детектирования сигналов в системе связи, использующей хаотические несущие сигналы, с применением дискретного вейвлет-преобразования.
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:
1. Предложена мера когерентности на основе непрерывного вейвлет-прсобразования, позволяющая характеризовать изменения во времени взаимной динамики двух нестационарных колебательных процессов в выбрап-ной полосе частот.
2. Предложен модифицированный метод исследования структуру»! сигналов - двойной вейвлет-анализ, позволяющий изучать эффекты амплитудной и частотной модуляции колебаний с меняющимися во времени характеристиками.
3. Проведены исследования ошибки идентификации мгновенных частот многочастотных колебательных процессов, базирующейся на непрерывном вейвлет-преобразовании, в зависимости от степени нестационарности и спектрального разрешения.
4. Впервые установлено, что фазовая синхронизация колебаний сопровождается характерными изменениями структуры последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре, включающими уменьшение степени мультифракталыгости и численных значений показателей Гельдера, характеризующих локальную регулярность данных последовательностей.
23
5. Установлено наличие общих закономерностей изменения спектра сингулярностей для случаев хаотической синхронизации автоколебательных систем и стохастической синхронизации переключений в динамике передемп-фированного бистабильного осциллятора с внешним воздействием.
6. Впервые показано, что метод мультифракталыюго анализа, базирующийся на вейвлет-преобразовании, является эффективным способом исследования корреляционных свойств случайных и детерминированных процессов в случаях, когда малый объем выборки ограничивает надежность проведения оценок на основе стандартного корреляционного анализа.
7. Выявлены условия, при которых применение вейвлетов позволяет решать задачу идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов более качественно по сравнению со стандартным алгоритмом анализа главных компонент.
8. Предложена методика уменьшения ошибки идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов, базирующаяся на сочетании вейвлет-анализа и анализа главных компонент.
9. Разработан параметрический метод идентификации импульсных сигналов на основе вейвлет-преобразования, позволяющий снизить ошибк}' идентификации до значения, близкого к теоретическому минимуму. ^
10. Выявлены возможности и ограничения использования вейвлетов при анализе динамики пороговых систем с внешним воздействием; показано, что в отсутствие собственной динамики таких систем более эффективное решение задачи идентификации режима хаотических автоколебаний на входе может осуществляться на основе расчета старшего показателя Ляпунова.
11. Разработан новый способ детектирования информационных сигналов в системе защищенной передачи информации, использующей принцип модуляции параметров генератора хаоса и хаотические несущие сигналы, который основан на совместном применении реконструкции динамических систем и дискретного вейвлет-преобразования.
Научно-практическое значение результатов работы:
В ходе проведенных исследований был разработан (или модифицирован) ряд специальных методов анализа структуры сигналов, которые позволяют изучать особенности сложной динамики колебательных систем различной природы - радиофизических, оптических, биофизических и т.д. В частности: • предложен двойной вейвлет-анализ, позволивший обнаружить ряд но-
24
вых эффектов в сложной динамике биологических систем и предложить новый подход к изучению динамики внутриклеточных процессов (путем его применения совместно с техникой интерференционной микроскопии);
• предложена методика корреляционного анализа, имеющая преимущества по сравнению с классическим подходом в ситуации, когда ограниченная длительность сигнала не обеспечивает возможность проведения достоверных расчетов автокорреляционной функции;
• предложены методики автоматической идентификации импульсных сигналов при наличии помех, позволяющие повысить надежность распознавания спайков нейронных ансамблей при анализе внеклеточных электрических сигналов как необходимого этапа решения задач исследования процессов кодирования информации в нейронных сетях;
• предложен новый принцип детектирования информационных сообщений, передаваемых в хаотическом несущем сигнале для обеспечения защиты системы многоканальной передачи информации от несанкционированного доступа.
Результаты проведенных исследований используются в учебном процессе на физическом факультете Саратовского государственного университета при чтении спецкурса “Анализ временных рядов” и в рамках лабораторных работ специализированного практикума “Методы анализа сложных сигналов”. Часть результатов включена в учебное пособие для студентов физического факультета.
Запатентовано устройство многоканальной конфиденциальной передачи информации, использующее новый принцип детектирования информационных сигналов.
Достоверность научных выводов работы основывается на соответствии результатов численных экспериментов и теоретических исследований, на соответствии с результатами, которые в ряде случаев можно получить другими методами, на устойчивости применяемых методов анализа структуры сигналов к малым изменениям численной схемы, а также на согласованности с существующими теоретическими представлениями.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту:
1. Для исследования сигналов с нестационарной многотональной модуляцией целесообразно применение метода двойного вейвлет-анализа, в
25
рамках которого временные зависимости мгновенных частот и мгновенных амплитуд колебаний, идентифицируемые после однократного вейвлет-преобразования, рассматриваются в качестве анализируемых сигналов для повторного вейвлет-преобразования. Он позволяет’ получать информацию об изменениях во времени характеристик модуляции при условии, что разность частот »модулирующего и модулируемого колебательных процессов превышает спектральное разрешение выбранного вейвлета.
2. Мультифрактальный анализ, базирующийся на непрерывном вейвлет-преобразовании, позволяет изучать корреляционные свойства случайных и детерминированных процессов в ситуации, когда длительность сигнала является недостаточной для проведения оценок закономерностей спада автокорреляционной функции с требуемой точностью. В отличие от классического корреляционного анализа, мультифрактальный формализм обеспечивает возможность рассматривать в несколько раз менытгий объем выборки для достижения заданной точности и применим для обработки нестационарных данных.
3. Комбинированный алгоритм автоматического распознавания форм сигналов типа одиночного импульса, предусматривающий совместное применение вейвлет-анализа и метода анализа главных компонент, при наличии помех эффективнее использования этих методов по отдельности с точки зрения погрешности разделения близких по форме импульсов. Дополнительное снижение ошибки автоматической идентификации соответствующих сигналов обеспечивается включением процедуры предварительной фильтрации с подстройкой характеристик фильтра под индивидуальные особенности формы импульсов в качестве составной части вейвлетного метода их распознавания.
4. Использование техники реконструкции динамических систем совместно с дискретным вейвлет-преобразованием в системе защищенной передачи информации, использующей принцип модуляции параметров генератора хаотических колебаний и хаотические несущие сигналы, позволяет осуществлять детектирование нескольких информационных сообщений, одновременно передаваемых в одном несущем сигнале. Наличие только одного генератора хаотических колебаний, расположенного в передающем устройстве, устраняет проблему неидентичности генераторов приемника и передатчика,
26
являющейся одной из ключевых для систем защищенной передачи информации, реализующих процедуру детектирования на основе эффекта синхронизации колебаний.
5. Предложена методика оценки степени когерентности, основанная на непрерывном вейвлет-преобразовании и позволяющая изучать взаимную динамику колебательных процессов в условиях нестационарности мгновенных частот колебаний.
6. Установлено, что структурные изменения хаотических сигналов, связанные с фазовой синхронизацией, приводят к изменениям спектра сингулярностей, вычисленного по последовательностям времен возврата в секущую Пуанкаре, и могут быть диагностированы на основе мул ьти фрактал ь-иого анализа. Они включают уменьшение значений показателей Гельдера и уменьшение степени мультифрактальности.
7. Показано наличие общих закономерностей в изменении спектра сингулярностей при фазовой синхронизации хаоса в динамике взаимодействующих автоколебательных систем и при стохастической синхронизации переключений в динамике передемпфированного бистабильного осциллятора с внешним воздействием.
Совокупность сформулированных положений, методов и результатов следует классифицировать как решение крупной научной проблемы, состоящей в развитии новых методов анализа структуры нестационарных, коротких и зашумленных сигналов.
Апробация работы и публикации. Основные материалы диссертации были доложены на научных конференциях: «Stochaos: Stochastic and Chaotic Dynamics in fche Lakcs» (Англия. Амблесиде, 1999), «Control of Oscillations and Chaos» (CCC’2000, Санкт-Петербург, 2000), «Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations» (SYNCIIRO-2002, Саратов, 2002), «Physics and Control» (PHYSCCN, Санкт-Петербург, 2003, 2005), «INTAS-Workshop: Synchronization of Biological Oscillators» (Германия, Потсдам, 2004), «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС, Саратов, 1998, 2001, 2004. 2007), «Complex Dynamics and Fluctuations in Biomédical Photonics» (Сан-Хосе, США, 2004, 2006, 2007, 2008, 2009), «First International Work-Conférence on the Interplay between Natural and Artificial Computation» (IWINAC 2005, Испания, Лас Пальмас, 2005), «Forum of
27
Federation of European Neurosciences Societies» (FENS. Швейцария, Вилларс, 2008), «XXV Dynamics Days Europe 2005» (Германия, Берлин, 2005), «1^ BioSim Conference» (Испания, Пальма дс Майорка, 2005). «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001), ежегодной всероссийской научной школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2008» (Саратов, 2008).
Результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета, научно-образовательного центра REC-006 «Нелинейная динамика и биофизика» (Саратовский государственный университет), центра динамики сложных систем Потсдамского университета (Германия, Потсдам), центра биофизики и сложных систем Датского технического университета (Люнгбю, Дания), группы статистической физики и нелинейной динамики Гумбольтского университета (Германия. Берлин), лаборатории нейродинамики университета Комплютенсе (Испания, Мадрид).
Материалы диссертации использовались при чтении спецкурса. “Анализ временных рядов” студентам кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ, при подготовке учебного пособия для спецпрактикума: А.Н. Павлов, “Методы анализа сложных сигналов”, Саратов: Научная книга, 2008,120 стр.
Часть результатов обсуждалась в 3-х диссертационных работах на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук, выполненных под руководством соискателя аспирантами А.Р. Зиганшиным (2005), Д.В. Думским (2005) и А.Н. Туиицыным (2009).
По теме диссертации опубликовано 62 работы (без учета тезисов докладов): 2 главы в монографиях, 1 патент и 59 статей, включая 46 статей в журналах (из них 30 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов докторских диссертаций) и 13 статей в сборниках трудов международных конференций.
Результаты работы использованы при выполнении грантов: Министерства образования и науки РФ «Ведущие учебно-научные коллективы России» (2003-2006), Совета по грантам Президента РФ «Ведущие научнопедагогические коллективы России НШ-4319.2006.2» (2005-2007), Королевского общества Лондона (1997-1999), Intas 01-2061 (2002-2005), CRDF и Министерства образования и науки РФ «Научно-образовательный центр
28
“Нелинейная динамика и биофизика” (НОЦ REC-006)» (2000-2007), РФФИ J№04-02-16769, госконтрактов с ФЦНТП № 02.512.11.2111, № 02.442.11.7244, Jf* 02.442.11.7181, а также индивидуальных грантов фондов Intas (YSF 99-4050, 1998) и CIIDF (Y1-P-06-06, 2003-2006), гранта Президента России для молодых ученых (МК-2512.2004.2, 2004-2005), гранта совместной программы DAAD и Министерства образования и науки РФ “Михаил Ломоносов” (2008).
Личный вклад автора. Во всех работах автор участвовал в постановке задач, принимал активное участие в проведении численных исследований и интерпретации результатов. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежит ведущая роль в разработке и применении методов анализа структуры сигналов на основе вейвлет-преобразования, а также в объяснении и интерпретации рассматриваемых процессов и явлений (за исключением публикаций, посвященных биологическим приложениям). В публикациях, носящих характер приложений специальных методов анализа структуры сигналов к исследованиям сложной динамики биологических систем, соискатель осуществлял разработку методов анализа и проводил численные исследования. Результаты по мультифрактальному анализу, идентификации импульсных сигналов и исследованию структуры точечных процессов были частично получены совместно с аспирантами А.Р. Зиганшиным и Д.В. Думским, которые защитили диссертации под руководством соискателя, а также аспирантом А.Н. Тупицыным, представившим к защите диссертацию, также выполненную под руководством соискателя. Результаты решения прикладных задач были получены совместно со специалистами из 10 университетов и научных центров Европы и Америки, которые осуществляли постановку биологических приложений методов анализа структуры сигналов, проводили натурные эксперименты и контролировали корректность сделанных выводов по соответствующим задачам, а также с коллективом кафедры биофизики МГУ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 367 страниц, в том числе 122 страницы рисунков. Список литературы содержит 329 наименований.
Во введении обосновывается актуальность работы, определяются це-
29
ли исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна и научно-практическое значение полученных результатов, формулируются основные положения и результаты, выносимые на защиту.
Первая глава посвящена проведению анализа нестационарных многочастотных колебательных режимов на основе непрерывного вейвлет-преобразования.
В разделе 1.1 обсуждаются теоретические основы непрерывного вейвлет-преобразования, рассматриваются особенности используемых солитонопо-добных функций, их характерные признаки. Описывается процедура построения базиса и осуществления непрерывного вейвлет-преобразования. Отдельное внимание уделяется проблеме нормировки в целях корректной оценки энергий и амплитуд колебательных процессов. Обсуждаются варианты визуализации результатов преобразования в виде так называемых “скелетонов" и “хребтов" поверхности вейвлет-коэффициентов. Проводится сопоставление непрерывного вейвлет-преобразования и других методов анализа нестационарных процессов (оконный спектральный анализ, распределение Вигнера-Билля).
В разделе 1.2 приводятся примеры применения непрерывного вейвлет-преобразования. Рассматриваются случаи переключения частоты и “чирп”-сигналы - процессы с монотонным изменением частоты. Обсуждается возможность применения вейвлетов для описания сложной структуры сигналов биологического происхождения при наличии нескольких независимых временных масштабов.
Раздел 1.3 посвящен описанию границ применимости непрерывного вейвлет-преобразования. Обсуждаются краевые эффекты и их зависимость от выбора масштаба наблюдения. Рассматривается проблема интерференции, возникающая при недостаточном спектральном разрешении, и возможность разделения мгновенных частот колебательных процессов.
В разделе 1.4 предлагается мера когерентности на основе непрерывного вейвлет-преобразования. Данная характери етика представляет собой функцию времени, позволяющую отслеживать эволюцию взаимной динамики двух процессов в выбранном диапазоне частот. Приводится пример тестирования данной меры.
Раздел 1.5 посвящен описанию модифицированного метода исследова-
30
ния, предложенного в данной диссертационной работе, - двойного вейвлет-анализа. Идея данного метода состоит в использовании временных зависимостей мгновенных частот и амплитуд колебательных процессов, выделенных после однократного применения непрерывного вейвлет-преобразования, в качестве исходных сигналов для повторного преобразования. Это позволяет детально изучать амплитудную и частотную многотональные модуляции колебаний, характеристики которых меняются во времени. Приводится пример, когда предложенный метод позволяет получать новую информацию о сложной многочастотной динамике.
Вторая глава посвящена проблеме корреляционного анализа сигналов с помощью метода мультифрактального формализма, основанного на непрерывном вейвлет-преобразовании.
В разделе 2.1 обсуждается проблема анализа фрактальных и муль-тифрактальных объектов, отмечаются некоторые попытки расширить концепцию мультифракталов на случай функциональных зависимостей (метод структурных функций, метод максимумов модулей вейвлет-преобразования).
В разделе 2.2 рассматриваются этапы развития теории мультифракталь-ного формализма - последовательный переход от рассмотрения сингулярных мер к изучению сингулярных функций. Вводится понятие показателей Гельдера и спектра сингулярностей. Обсуждается проблема вычисления данного спектра при расчете гельдеровских показателей в локальных окрестностях точек сингулярного поведения.
В разделе 2.3 обсуждается метод мультифрактального анализа на основе вейвлет-преобразования. Рассматриваются степенные зависимости максимумов модулей вейвлет-коэффициентов от масштаба, получение скелетона и расчег статистических функций. Анализируется вопрос об устойчивости алгоритма расчета спектра сингулярностей, а также взаимосвязь характеристик мультифрактального формализма с характеристиками других методов исследования структуры сигналов.
В разделе 2.4 приводятся примеры применения мультифрактального анализа при решении конкретных задач, а именно: тестирование данного подхода как метода количественного описания известных эффектов (хаотическая и стохастическая синхронизация), использование мультифракталь-
31
ного анализа в качестве эффективного способа диагностики состояния объектов живой природы по нестационарным данным.
В разделе 2.5 рассматриваются возможности и ограничения мультифрактал ыюго анализа при исследовании сигналов с несколькими типами сингулярностей. Отмечается, что метод максимумов модулей вейвлет-преобразования позволяет получать верхнюю огибающую истинного спектра сингулярностей без идентификации внутренних точек.
В разделе 2.6 показывается, что мультифрактальный формализм является эффективным методом корреляционного анализа по сигналам ограниченной длительности. При фиксированном (сравнительно небольшом) объеме выборки он обеспечивает в несколько раз меньшую ошибку определения закономерностей спада корреляций по сравнению с классической автокорреляционной функцией.
Третья глава посвящена идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов на фоне шума с применением вейвлетов. На примере нейронных спайков решается радиофизическая задача о выделении сигнала из смеси сигнала и шума и об идентификации импульсов, имеющих незначительные отличия по форме, в присутствии помех.
В разделе 3.1 рассматривается постановка задачи идентификации применительно к нейронным спайкам, приводится краткая информация о стандартных методах решения данной задачи.
В разделе 3.2 обсуждаются три метода идентификации: пороговая сортировка, анализ главных компонент, метод идентификации на основе дискретного вейвлет-преобразования. Проводится сравнительный анализ упомянутых методов. Показано, что вейвлеты имеют преимущества при наличии мелкомасштабной структуры в форме импульсов и отличий, проявляющихся на малых масштабах.
В разделе 3.3 изучается вопрос о влиянии шума на эффективность методов идентификации. Показано, что методы анализа главных компонент и способ идентификации на основе коэффициентов вейвлет-преобразования демонстрируют разную чувствительность к частотному диапазону флуктуаций.
В разделе 3.4 предлагается специальная методика уменьшения ошибки идентификации путем сочетания двух алгоритмов - анализа главных ком-
32
понент и дискретного вейвлет-преобразования. Данный подход позволяет повысить качество решения задачи идентификации по сравнению с использованием этих методов по отдельности.
В разделе 3.5 предлагается параметрический метод идентификации на основе вейвлет-анализа с адаптивной фильтрацией. Принципиальной особенностью метода является то, что он предполагает подстройку характеристик фильтра под индивидуальные особенности формы импульсов. Данный подход позволяет снизить ошибку разделения нейронных спайков до значения, близкого к теоретическому минимуму.
Четвертая глава посвящена проблеме изучения особенностей динамики автоколебательных систем в условиях ограниченной информации, доступной для анализа.
В разделе 4.1 исследуется возможность идентификации режима динамики на входе порогового устройства по выходному точечному процессу. Рассматриваются случаи наличия и отсутствия собственной динамики порогового устройства. Проводится сопоставление вейвлет-анализа с другими подходами при исследовании структуры точечных процессов при меняющемся пороговом уровне (в отсутствие собственной динамики). Показано, что для хаотического входного сигнала расчет старшего показателя Ляпунова, является более надежным методом идентификации, чем анализ на основе непрерывного вейвлет-преобразования. При наличии собственной динамики применение двойного вейвлет-анализа позволяет получать информацию о подпороговых колебательных процессах.
В разделе 4.2 исследуется проблема конфиденциальной передачи информации, которая обеспечивается путем использования хаотических несущих сигналов и передачи сообщений с помощью модуляции параметров генератора хаоса. Предлагается новый метод детектирования информационных сигналов, основанный на сочетании реконструкции динамических систем и дискретного вейвлет-иреобразования. Достоинством предложенного метода является наличие только одного генератора хаотических сигналов, расположенного в передающем устройстве. Как следствие, отсутствует проблема идентичности генераторов приемника и передатчика, являющаяся одной из ключевых для систем, использующих принцип синхронизации колебаний.
В приложении рассматриваются применения вейвлетов в задачах изу-
33
чения процессов почечной авторегуляции на уровне отдельных нефронов. Описываются новые эффекты в динамике структурных элементов почки, обнаруженные на основе методов анализа структуры сигналов, представленных в данной диссертационной работе.
34
Глава 1
Анализ нестационарных многочастотных режимов колебаний на основе непрерывного вейвлет-преобразования
Данная глава диссертационной работы представляет собой введение в теорию непрерывного вей влет-преобразован ия, изложение границ применимости данного математического аппарата на практике и описание предлагаемых автором специальных методик анализа структуры сигналов (мера когерентности, использующая вейвлет-преобразование, “двойной” вейвлет-анализ). Основу представленного материала составили публикации [269,278, 284,288,290-293,295-297,303-306,308,310,312,314,316,318,320,322,323,326, 327].
1.1 Теоретические основы непрерывного вейвлет-преобразования
1.1.1 Базисные функции
В отличие от классического спектрального анализа, основанного на преобразовании Фурье и оперирзчощего с гармоническими функциями, вейвлет-анализ допускает значительное разнообразие выбора базиса, по которому проводится разложение сигнала. В рамках широко используемой интерпретации вейвлет-анализа как метода “математического микроскопа” можно говорить о том, что выбор солитоноподобной функции рассматриваемой в качестве базисной, аналогичен заданию разрешения для объектива микроскопа: если выбранное разрешение позволяет увидеть нужные детали, то вейвлет подходит для целей проводимого исследования. Более того, что