СОДЕРЖАНИЕ
ч
Введение................................................................ 4
Глава 1 Хаотические колебания в радиофизике и электронике.
Практические приложения динамического хаоса
(Аналитический обзор литературы)........................................ 11
1.1. Хаотические колебания в динамических системах.......................... 11
1.2. Типичиые сценарии перехода к хаосу...................................... 15
1.3. Способы идентификации хаотических типов колебаний...................... 18
1.4. Генерация хаотических колебаний в НЧ-, СВЧ- и оптическом диапазонах 23
1.5. Динамический хаос и процессы обработки, хранения и передачи информации 24
1.6. Методы передачи информации с использованием хаотической несущей 26
1.7. Выводы и постановка задачи.............................................. 37
Глава II Автопараметрическнй сценарий хаотизации движении
в динамических системах.................................................. 40
2.1. Необходимые условия и признаки реализации
автопараметрического перехода к хаотическому типу движения.............. 41
2.2. Условия проведения численного моделирования и натурных экспериментов 42
2.3. Реализация автопараметрического сценария
в нелинейных динамических системах...................................... 43
2.3.1. Динамика автоколебательной системы релаксационного типа............. 44
2.3.1.1. Построение математической модели и обсуждение ее свойств........ 44
2 3.1 2 Численное моделирование.......................................... 49
2.3.1.3. Физический эксперимент.......................................... 54
2.3.2. Динамика автоколебательной системы осцилляторного типа.............. 56
2 3.2 1 Построение математической модели и обсуждение ее свойств.......... 56
2.3.2 2 Численное моделирование........................................... 59
2.3.2 3 Физический эксперимент............................................ 64
2.3 3. Динамика автоколебательной системы с запаздыванием.................. 65
2.3.3.1 Построение математической модели и обсуждение се свойств.......... 66
2.3.3.2 Численное моделирование.......................................... 69
2.3.3 3 Физический эксперимент........................................... 76
2.4. Основные результаты и выводы............................................ 77
2
Глава 1И Разработка и исследование источников хаотических колебаний
с дискретным и непрерывным временем....................................... 79
3.1. Нелинейная динамика модифицированного логистического отображения 80
3.1.1. Неподвижные точки отображения. 1раницы
и бассейн притяжения аттрактора..................................... 81
3.1.2. Бифуркационный и спектральный анализ временных рядов, порождаемых отображением................................................... 83
3.1.3. Хаос и строгий хаос в модифицированном квадратичном отображении 85
3.1.4. Сопоставление отображения с реальной динамической системой.......... 90
3.2. Хаотическая динамика автогенератора
с квадратичной нелинейной характеристикой................................. 95
3.2.1. Построение математической модели и анализ ее свойств................. 96
3.2.2. Численное моделирование............................................. 99
3.2.3. Экспериментальное исследование автогенератора
с квадратичной характеристикой нелинейного элемента................... 105
3.3. Расширение полосы частот сигналов, генерируемых
источниками хаотических колебаний....................................... 109
3.4. Основные результаты и выводы.......................................... 112
Глава 1УГ Применение хаотических колебаний в системах
синхронной хаотической связи и алгоритмах кодирования информации .. 114
4.1. Классификация систем связи, использующих динамический хаос............ 114
4.2. Сравнительный анализ некоторых систем синхронной хаотической связи 116
4.2.1. Структура исследуемых систем синхронной хаотической связи......... 117
4.2.2. Математическая модель генератора хаотических колебаний............ 119
4.2.3. Экспериментальная реализация генератора хаотических колебаний 124
4.2.4. Экспериментальные исследования..................................... 126
4.2.4.1. Хаотическая синхронизация....................................... 126
4.2.4 2. Передача аналоговой информации.................................. 127
4.3. Передача хаотических сигналов с помощью 11М............................ 130
4.4. Двухканальная система активной синхронной хаотической связи............. 133
4.5. Система синхронной хаотической связи с пассивной синхронизацией 138
4.6. Алгоритм кодирования информации с использованием динамического хаоса ..141
4.7. Основные результаты и выводы........................................... 146
Заключение.............................................................. 148
Литература.............................................................. 151
Приложение.............................................................. 160
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность диссертационной работы. Исследования процессов в нелинейных динамических системах, обладающих хаотическим поведением, в настоящее время помимо теоретического интереса приобретают все большее практическое значение. Это объясняется, во-первых, тем, что при наличии даже очень простой структуры такие системы отличаются широким разнообразием возможных видов движения, многие из которых важны с точки зрения приложений. Во-вторых, хаотическое поведение присуще объектам самой разнообразной природы. К последним, например, относятся радиофизические автогенераторы с сосредоточенными и распределенными параметрами, различные модификации классических автоколебательных систем [1,2], а также оптические, механические, биологические, химические и другие системы [3-5]. Важттую роль играют хаотические режимы в нелинейных диссипативных средах с диффузией и переносом [6,7]. Помимо диссипативных систем хаотические движения также имеют место в динамике гамильтоновых и квантовых систем [3,8]. В-третьих, учет возможности реализации хаотической динамики при описании движения в динамических системах может привести к качественно новому пониманию их поведения, к выявлению ранее неизвестных, принципиально новых свойств. Помимо того, что хаотическая динамика лежит в основе совершенно непредсказуемого движения самых простых нелинейных детерминированных систем, она также играет важную роль в информационных и физиологических процессах внутри живых организмов [5,9].
Из обширного числа динамических систем самой разнообразной природы, способных демонстрировать хаотическое поведение, следует выделить радиофизические автоколебательные системы (АКС) [1]. Они открывают широкие возможности для исследователей в дальнейшем изучении общих закономерностей возникновения и развития сложных колебательных режимов в динамических системах. Хаотические АКС также привлекают внимание разработчиков радиоэлектрогпюй аппаратуры своими особенностями, позволяющими решать многие насущные задачи, связанные с передачей информации, в том числе и конфиденциальным образом, радиопротиводействием. радиолокацией, нетрадиционным воздействием на биологические объекты. Совершенно очевидно, что на основе радиофизических АКС будет создан целый ряд новых устройств для генерации, преобразования и обработки хаотических сигналов и обслуживания информационных потоков.
Последовательное изучение АКС. обладающих хаотическими типами движения. началось с пионерских работ [10,11] и затем было продолжено другими авторами (широкий обзор работ представлен в [1]). К настоящему времени проведен достаточно глубокий анализ процессов в рассматриваемых системах, получен ряд
4
важных прижртпиальных результатов, связанных с іенерацией, синхронизацией и управлением хаотическими типами колебаний [1,3,12,13]. Накоплен некоторый опыт в решении задач передачи информации с использованием хаотического несущего сигнала, в том числе и конфиденциальным образом [14-17].
Тем не менее некоторые проблемы, касающиеся теории нелинейной динамики, а также ее практических аспектов, продолжают оставаться открытыми и далеко не полностью изученными Так. не утрачивает своей актуальности вопрос о путях и механизмах возникновения непериодических ограниченных движений в нелинейных детерминированных системах. Все еще отсутствует возможность предсказания проявления того или иного известного сценария перехода к хаосу в конкретной динамической системе. Существует необходимость в уточнении особенностей функционирования ранее известных и построении новых моделей динамических систем с хаотическим поведением в связи с ростом их практической значимости. Возникает ряд конкретных задач по исследованию систем связи, использующих хаотическую несущую. Особеїпю остро ощущается недостаточность экспериментальных исследований в данной области.
Цель и задачи исследований. Целью настоящей диссертации является исследование механизмов перехода от регулярных к хаотическим колебаниям в автоколебательных системах и системах с дискретным временем, вьіявлсігис колебательных режимов наиболее перспекгивных для создания источников хаотических сигналов, построение на их основе ряда систем синхронной хаотической связи и криптографических систем.
В связи с этим ставятся следующие задачи:
1) Показать возможность реализации автопарамстричсского сценария перехода от регу лярных к хаотическим колебаниям в ряде генерирующих струкгур с конечным и бесконечным числом степеней свободы.
2) Показать типичность данного сценария для широкого класса динамических систем и сформулировать необходимые условия для его реализации.
3) Рассмотреть сложные динамические режимы в модифицировашеом логистическом отображении и попытаться сопоставить основные закономерности их развития с динамикой реальной автоколебательной системы с запаздыванием.
4) Исследовать регулярную и хаотическую динамику автогенератора с квадратичной нелинейностью и выяснить перспективность его использования в качестве источника хаотических сигналов.
5) Провести сравнительный анализ качественных и энергетических характеристик некоторых систем синхронной хаотической связи, рсализоваїпіьгх на базе общей для всех А КС с хаотическим повелением
6) Решить ряд задач, связанных с разработкой и исследованием двуканальных систем хаотической связи с активной и пассивной синхронизацией.
5
Методы исследования. Для исследования основных закономерностей нетрадиционной динамики нелинейных генерирующих структур применялось как численное моделирование, основанное на решении систем уравнений, описывающих движения соответствующих моделей, так и физический эксперимент. Ятя интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений использовались стандартные методы Рунгс-Кутты. При решении дифференциатьных уравнений с запаздывающим ар!ументом метод Рунге-Кутты применялся в сочетании с методом шагов. Задача идентификации колебательных режимов в исследуемых системах решалась с помощью пакета прикладных программ, позволяющих строить однопараметрические бифуркационные диаграммы, двумерные проекции фазовых портретов, спектры мощности колебаний, а также рассчитывать спектры характеристических показателей Ляпунова. При интерпретации динамических явлений использовались понятия теории колебаний Экспериментальное исследование радиофизических макетов автогенераторов хаотических колебаний, а также реализованных на их основе систем синхронной хаотической связи основывалось на использовании стандартной измерительной аппаратуры, с помощью которой производился анализ временных и спектральных характеристик наблюдаемых в экспериментах сигналов.
вмирсимж на ятиту:
1) Автопарамстричсский сценарий хаотнзации движений динамических систем, проявляющий себя в бифуркационной последовательности вида: состояние покоя предельный цикл => полугор => странный хаотический аттрактор, является типичным для широкого класса автоколебательных систем, поскольку, обнаружен в системах релаксационного и осцилляторного типов, обладающих знакопостоянной и знакопеременной дивергенцией фазового потока, имеющих конечное и бесконечное число степеней свободы.
2) Применение синхронного хаотического отклика для детектирования информационной компоненты в системе конфиденциальной передачи информации с хаотической маскировкой позволяет увеличить долю этой компоненты в ее аддитивной смеси с хаотическим несущим сигналом.
3) Введение в систему синхронной хаотической связи, наряду с информационным каналом, каната активной или пассивной синхронизации позволяет разделить маскирующую и синхронизирующую функции несущего информацию хаотического сигнала что в первом случае резко снижает требования к идентичности передающей и приемной сторон, а во втором, исключает необходимость в хаотическом источнике на приемной стороне.
Достоверность защищаемых положений и результатов доказывается, во-первых, корректностью построенных математических моделей исследованных в настоящей работе АКС. Во-вторых, совпадением результатов численных и натурных экспериментов. В-третьих, непротиворечисм получештых результатов со сложивши-
6
мися представлениями на основные закономерности динамики источников детерминированного хаоса и принципы функционировал!« систем связи, использующих хаотические колебания
Научная новизна настоящей работы заключается в следующем:
1) В результате численного моделирования и проведения серии физических экспериментов доказано, ЧТО потеря устойчивости периодическим .движением и переход хаосу в широком классе динамических систем происходит в рамках автопарамег-рического сценария. Указаны необходимые условия реализации данного сценария.
2) Получены новые результаты, связанные с хаотической динамикой модифицированного логистического отображения. Получено аналитическое выражения для энтропии Колмогорова-Синая, доказана теорема о существовании строго хаотических последовательностей, порождаемых данным отображением, установлена квазигиперболичность его аттрактора.
3) С помощью численных и натурных экспериментов исследованы основные закономерности сложной динамики А КС с квадратичной характеристикой нелинейного элемента.
4) 11роведен сравнительный анализ систем синхронной хаотической связи, использующих аддитивное и нелинейное вложение информации в хаотическую несущую. Экспериментально доказано, »гто к системе связи с хаотической маскировкой могут быть предъявлены менее жесткие требования, касающиеся доли информационной компоненты в хаотическом несущем сигнале.
5) Показана возможность восстановления информационной компоненты, аддитивно наложенной на хаотическое несущее колебание, с помощью синхронного хаотического отклика согласованного нелинейного фильтра, что существенно повышает энергетический потенциал хаотических систем связи.
6) Предложен принцип построения двухканальных систем хаотической связи с активной и пассивной синхронизацией.
Научная ценность. Автопараметрический сценарий перехода к хаосу (АПС) обладает универсальными свойствами и может наблюдаться в системах как с малой, так и с бесконечной размерностью фазовою пространства. Важной особенностью автопа-рамстричсского сценария является то, ’гто он может быть предсказан в рамках анализа частотных и нелинейных свойств конкретной динамической системы.
При исследовании одномерного отображения получены новые важные результаты, пополняющие имеющиеся знания о динамике предельно простых дискретных систем. К числу наиболее значимых можно отнести то, что получено аналитическое выражение для энтропии Колмогорова-Синая и строго доказано существование ква-зигипсрболического аттрактора в модифицированном логистическом отображении. Показано, что мри выполнении условия совпадения вида нелинейности одномерному
7
отображению может быть поставлена в соответствие потоковая динамическая система с бесконечным числом степеней свободы.
Практическая значимость. Практическая значимость работы заключается в том, что решен ряд вопросов, касающихся использования динамического хаоса в коммуникационных технологиях. Во-первых, предложены новые источники хаотических колебаний как с дискретным, так и с непрерывным временем. Исследования показали, что они обладают хаотической динамикой в широком диапазоне изменения своих параметров. Дискретное отображение может быть положено в основу функционирования цифровых автоматов, а автоколебательная система с квадратичной нелинейностью служить прототипом для создания генераторов хаоса в различных диапазонах частот. Во-вторых, получены практические результаты, связанные с совершенствованием методов введения информационной компоненты в хаотический несущий сигнал и ее последующего извлечения. Предложен и экспериментально исследован ряд систем синхронной хаотической связи, способных работать в реальных условиях, позволяющих достичь повышения энергетического потенциала канала связи и упрощения их конструкции без утраты конфиденциальных свойств.
Внедрение результатов диссертационной работы. Ряд результатов настоящей диссертационной работы использован в ФГУП “НИИПГГ (г. Томск) при выполнении работ по Договору № 4053/178, выполняемому по Госзаказу между ФГУП “НИИПГГ и “Корпорацией “Фазотрон-НИИР” (г. Москва) в обеспечение ОКР “Курок” и “Панцирь". Соответствующий акт прилагается.
Публикации и апробация работы.
Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в 14 работах (в том числе 3 журнальные статьи, 6 работ в трудах международных симпозиумов и научно-технических конференций, 5 работ в тезисах докладов региональных и всероссийских конференций). Одна журнальная статья принята в печать (Int. J. Bifurcation & Chaos).
Материалы диссертационной работы докладывались на региональных и всероссийских научных конференциях: “Радиотехнические и информационные системы и устройства" (Томск, 1997), “Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных сис1ем (ДНДС)” (Чебоксары, 2001), международных научных конференциях: “Студент и научно-технический прогресс” (Новосибирск, 1999),
“Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП)” (Новосибирск, 1998, 2000), “Электроника и информатика- XXI век" (Зеленоград. 2000), "Actual problems of electronic instruments engineering (APEIE)“ ((.'аратов, 2000), “Modem technique and technology (МТТ)” (Томск, 2000), международных симпозиумах: “Application of the conversion research results for international cooperation (S1BCONVERS)“ (Томск, 1999), ‘international Symposium Antennas and Propagation (ISAP)“ (Fukuoka. Japan. 2000), на научных семинарах кафедры радиоэлектроники ТГУ.
8
Личный вклад автора. Изложенные в диссертации результаты получены на равных правах с научным руководителем работы. Эти результаты являются следствием ряда численных и физических экспериментов, для проведения которых автором создана часть программного и аппаратною обеспечения. Совместно с научным руководителем проведена интерпретация и физическая трактовка полученных результатов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 134 наименований, приложения, 86 иллюстраций. Общий объем работы составляет 160 страниц.
Во введении дана общая характеристика работы: обоснованы ее актуальность, сформулированы цели и задачи исследования, выносимые на защиту' положения, показана научная новизна, научная и практическая значимость работы, приведены сведения о внедрении результатов работы и ее апробации, кратко изложено содержание диссертации.
Псовая глава содержит аналитический обзор литературных источников по теме диссертации. В частности, кратко изложена история проблемы детерминированного хаоса в динамических системах. Описаны известные в настоящее время типичные сценарии перехода к хаосу. Рассмотрены способы идеюификации хаотических режимов в нелинейных динамических системах. Приведены основные результаты, связанные с генерацией хаотических колебаний в НЧ , СВЧ- и оптическом диапазонах частот. Дан краткий обзор современных достижений в области обработки, хранения и передачи информации с использованием динамического хаоса. В заключении главы делаются выводы и ставятся задачи диссертациошюго исследования.
Во второй главе представлены результаты исследования автопараметрического механизма перехода от регулярных типов колебаний к хаосу. В начале изложены необходимые условия реализации данного сценария, а также признаки его проявления. Затем показана его практическая реализация на примере осцилляторной. релаксационной и автоколебательной системы с запаздывающей обратной связью. Для этой цели строятся и численно исследуются математические модели перечисленных динамических систем, а также ставятся натурные экспериметы.
В третьей главе исследуются источники хаогических колебаний с дискретным и непрерывным временем. Дискретная динамическая система получена путем модификации известного логистического отображения. В начале исследуются ее качественные характеристики - находятся особые точки, определяется бассейн притяжения апрактора динамической системы, строится однопараметрическая бифуркационная диаграмма. Далее с помощью Фурье-анализа исследуются временные ряды, порождаемые отображением. Затем выводятся аналитические выражения для характеристического показателя Ляпунова и энтропии Колмогорова-Синая, доказывается теорема о существовании строгого хаоса в данном отображении. Проводится сопоставление
9
изучаемого отображения с реальной динамической системой. Для этой цели ставится натурный эксперимент. Строится и численно исследуется математическая модель автогенератора с квадратичной нелинейной характеристикой. Приводятся результаты экспериментального исследования данной автоколебательной системы. В заключении главы обсуждаются два способа расширения полосы частот, занимаемой хаотическими сигналами. Показана возможность их практической реализации. Формулируются основные результаты н выводы.
В четвертой главе рассматриваются теоретические и практические аспекты использования хаотической динамики нелинейных систем для передачи и кодирования информации. Предлагается один из возможных вариантов классификаций известных к настоящему времени систем хаотической связи. Па основании экспериментальных результатов проводится сравнительный анализ двух систем хаотической синхронной связи, использующих аддитивное и нелинейное подмешивание информационной компоненты в хаотический несущий сигнал. Показывается возможность детектирования информационной компоненты из ее аддитивной смеси с хаотическим несущим сигналом с помощью хаотического синхронного отклика. Обосновывается применение ЧМ при передаче хаотических сигналов по каналам связи. На основе предложенного варианта классификации систем хаотической связи предлагается принцип построения двуканальных систем хаотической связи с активной и пассивной синхронизацией. В заключении главы рассмотрен простой алгоритм кодирования информации, использующий хаотическую динамику нелинейных систем Приводятся основные результаты и выводы.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы по диссертационной работе в целом.
В приложении приводится акт о внедрении результатов диссертации.
10
Глава 1
ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
(Аналитический обзор литературы)
В настоящей главе приведен обзор литературных источников по теме диссертационной работы. Кратко изложена история возникновения проблемы хаотических движений в динамических системах. Освещен вопрос об известных в настоящее время закономерностях перехода от периодических типов колебаний к хаотических! Рассмотрены основные способы идентификации хаотических режимов в нелинейных динамических системах, основанных как на решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений, так и на результатах реальных физических измерений. Представлены имеющиеся на сегодняшний день основные результаты, связанные с генерацией хаотических колебаний в НЧ , СВЧ и оптическом диапазонах частот. Приведен краткий обзор современных достижений в области обработки, хранения и передачи информации с использованием динамического хаоса. В заключении главы делаются выводы и ставятся задачи диссертациотшой работы.
1.1. Хаотические колебания в динамических системах
Долгое время считалось, что все окружающие нас явления следует разделять на детерминированные и случайные. Соответственно, детерминированные явления явились предметом изучения дтя теории дифференциальных уравнений, классической механики, математической физики и электродинамики, а случайные традиционно рассматриваются в рамках теории случайных процессов и теории вероятностей, статистической физики и квантовой механики. Как правило, наличие случайности и непредсказуемости в характере поведения ряда динамических систем связывалось с огромным числом частиц и степеней свободы, приводящих к неопределенности в задании для них начальных условий и сложности траекторий движения.
Однако, оказалось, что даже самые простые детерминированные нелинейные динамические системы, размерность фазового пространства которых не менее, чем три. могут обладать непериодическими, установившимися во времени движениями. Возможность существования такого вида движений была отмечена еще в 1963 году в работе Лоретта [18]. Приметите ряд упрощений при исследовании процесса двумерной тепловой конвекции, из уравнений в частных производных он получил систему грех нелинейных дифференциальных уравнениях первого порядка:
11
х = о(у~х),
У-ГХ-У-Х2, (1.1)
2 = -Ьг + х у.
Здесь х - величина пропорциональная скорости конвекции; у- разности температур между восходящими и нисходящими потоками; г - отклонению вертикального профиля температуры от линейною; г - приведенное число Релея; Ь - постоянная, характеризующая геометрические размеры физической системы; сг - число Прандтля. Численное интегрирование системы (1.1) привело к неожиданном) результату, а именно: были впервые получены ограниченные непериодические решения, фазовый портрет в координатах (х, г) которых приведен на рис 1.1.
Работа Лоренца, вызвавшая к себе огромный интерес лишь по прошествии ряда лет, явилась одним из первых примеров существования динамического хаоса в нелинейных детерминированных диссипативных системах. Она послужила толчком к быстрому развитию методов качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, общей топологической теории, гиперболической теории, эргодичсской теории и других разделов математики [3,19). В настоящее время эти методы широко используются при изучении странных аттракторов, порождаемых другими динамическими системами.
Необходимо отмстить, что задолго до появления работы Э. Лоренца французский математик Л. Пуанкаре показал, что в некоторых механических системах, эволюция которых во времени подчиняется уравнениям Гамильтона, может возникнуть хаотическое движение (20). Он же положил качало разработки математической концепции возможности возникновения непериодических движений в динамических системах, введя понятие гомоклиничсских траекторий [3,21]. На неустойчивость как причину возникновения непредсказуемости и неопределенности в динамике системы указывал так же Н.С. Крылов [22]. О возможности возникновения хаоса из динамики гамильтоновых систем говорил Б.В. Чириков [23]. Однако в то время все же сущест-воват ряд «барьеров», препятствующих уверенному обнаружению и признанию хаотических типов движений. Во-первых, нет точных аналитических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений (кроме редких исключений), а существуют лишь приближенные качественные методы теории колебаний [24], которые в силу ряда упрощений не позволяют обнаружить непериодические типы решений. Во-вторых, из теоремы о единственности решения задачи Коши, гласящей, что решение
Рис. 1.1. Странный аттрактор, наблюдаемый в системе Лоренца при а= 10, г = 28, А = 8/3
12
системы дифференциальных уравнений однозначно определяется начальными условиями, следовало, что случайности в детерминированной системе не может быть. В-третьих, пожалуй решающую роль сыграло недостаточное развитие к тому времени вычислительной техники и средств численного эксперимента.
Впоследствии стало ясно, что сложные колебательные движения, которые по своим статистическим характеристикам близки к случайным процессам, возникают не в силу большого числа степеней свободы и не в результате влияния флуктуаций, а обусловлены динамическими свойствами самой нелинейной детерминированной системы. Такие движения характеризуются экспоненциальной неустойчивостью траекторий и, как следствие, существенной зависимостью от начальных условий. Как впоследствии стало ясно, необходимым условием возникновения динамического хаоса в нелинейных дифференциальных системах является наличие фазового пространства, размерность которого Лг > 3, т.с. когда состояние системы характеризуется, как минимум, тремя динамическими переменными. Математическим образом хаотического режима функционирования нелинейной динамической системы стало понятие странного аттрактора, введенное в рассмотрение Д. Рюэлем и Ф. Такенсом [25], которые в 1971 году дали строгое математическое доказательство существования непериодических решений системы (1.1).
Странный аттрактор имеет два существенных отличия от известных ранее регулярных аттракторов гаких. как состояние покоя, предельный цикл и в общем случае п - мерный тор. Во-первых, странность хаотического аттрактора заключается в локальной экспоненциальной неустойчивости фазовых траекторий на нем. Эго означает, что малое возмущение траектории е(0) должно экспоненциально возрастать во времени следующим образом:
е(0 = є(0)ехр(>./), А. = Ііт-Іп-^^. (1.2)
'-*« і с(0)
Наличие экспоненциальной неустойчивости по Ляпунову фазовых траекторий динамической системы связано с положительным значением А. Результатом этого является свойство диссипативных динамических систем в режиме хаотической генерации, получившее название - перемешивания или гиперболичности [12, 26]. Оно заключается в том, что любой очень малый объем фазового пространства в процессе своей эволюции сжимается по одним направлениям и растягивается по другим. Через некоторое время точки исходного фазового объема можно обнаружить в любой области фазового пространства, занятой аттрактором. То, что странный аттрактор занимает конечную область фазового пространства говорит о глобальной устойчивости по Пуассону его фазовых траекторий [1], т.с фазовая траектория не возвращается точно в ту же точку откуда когда-то вышла но возвращается в малую окрестность этой точки через неопределенное время. Во-вторых, странность хаотического аттрактора связана с присущими ему фрактальными свойствами, т. с. с наличием дробной размерности
13
его геометрической структуры (26,27). В отличие от точки, линии или поверхности, топологическая размерность которых равна соответственно 0, / и 2, размерность странного атграктора всегда принимает промежуточные значения между Он 1,2 к 3 и т.д.
Целенаправленные исследования в области нелинейной динамики показали, что проблема существования переходов типа «порядок-хаос» и «хаос-порядок» присуща динамическим системам самой разнообразной природы: физической, химической. биологической, экономической, социальной и многих других (5,28). Таким образом, четко обозначился междисциплинарный характер рассматриваемого явления. В конце 70-х г. начинает широко обсуждаться появление новой науки - синергетики, заслуга в становлении которой принадлежит Г. Хаксну [29]. Исследования показали, что поведению сложных нелинейных неравновесных систем со многими степенями свободы может быть свойственна регулярность, организованность. Возникающие при этом пространственные и временные структуры, примеры которых приведены на рис. 1.2, были названы И.Р. Пригожнным диссипативными [6,30].
а) б) в)
Рис. 1.2. Диссипативные структуры, возникающие в жидкости при неустойчивости Бенара (а), в процессе движения воздуха и образования облаков (6), в химической реакции Ьелоуеова-Жабошнского (в) [5,29]
Таким образом, существование ограниченных, неустойчивых по Ляпунову, но устойчивых по Пуассону движений в физических системах самой разнообразной природы явилось одним из фундаментальных открытий современной физической науки. Стало ясно, что на длительное время от нас был скрыт целый мир динамических явлений и процессов - мир динамического хаоса. В этом мире уже нет места ранее незыблемой уверенности в абсолютной предсказуемости поведения системы на любом этапе ее эволюции. Потребовались принципиальные перемены во взглядах на вопросы функционирования давно и детально изученных структур [4,6.7].
14
- Київ+380960830922