- 2 -
Содержание
Общая характеристика работы............................... 5
Введение................................................. 13
ГЛАВА 1. Построение обобщенного термодинамического потенциала с помощью теории возмущений 35
1.1 Линеаризованные уравнения нематодинамики..............35
1.2 Дисперсионные соотношения в отсутствие внешнего поля................................................. 40
1.3 Дисперсионные соотношения в электрическом поле . . 41
1.4 Построение обобщенного термодинамического потенциала, описывающего поведение нематика вдали от термодинамического равновесия...............................46
1.5 Уравнение Ланжевена для комплексной амплитуды . . 70
1.6 Уравнение Фоккера-Планка..............................72
1.7 Анализ устойчивости решений .........................'76
Выводы....................................................80
ГЛАВА 2. Образование сверхструктур в системе доменов Вильямса 81
2.1 Несоизмеримые структуры. Стационарные солитоны 85
2.2 Стационарное уравнение вт-Гордона.....................92
2.3 Условия образования двумерных диссипативных структур .....................................................96
2.4 Появление периодических разрывов в роллах............101
Выводы...................................................105
ГЛАВА 3. Теоретико-групповой подход к проблеме НЖК во внешних электрических ПОЛЯХ 106
3.1 Некоторые сведения о групповом анализе дифференциальных уравнений....................................109
3.2 Групповой анализ и групповая классификация уравнения движения медленной амплитуды......................120
3.3 Предварительный групповой анализ уравнений нема-тодинамики в постоянном электрическом поле............129
Выводы.................................................135
ГЛАВА 4. Построение обобщенного термодинамического потенциала групповым методом 137
4.1 Построение функционала, описывающего электрогид-родинамическую неустойчивость нематического жидкого кристалла в постоянном электрическом поле . . .138
4.2 Построение функционала для диэлектрического режима электрогидродинамической нестабильности нематика .................................................144
Выводы.................................................147
ГЛАВА 5. Обобщенный термодинамический потенциал в задаче Рэлея-Бенара для планарного нематического жидкого кристалла 149
5.1 Флуктуации основных гидродинамических переменных в нематике вблизи порога термоконвективной неустойчивости ..............................................153
5.2 Вывод обобщенного термодинамического потенциала
для нематика в поле градиента температур..........166
- 4 -
Выводы...............................................189
ГЛАВА 6. Гидродинамические флуктуации параметра порядка 190
6.1 Пространственные корреляционные функции скорости и температуры нематической мезофазы. Одномерный случай...............................................190
6.2 Квазилинейные приближения в режимах теплопроводности и термоконвекции...............................194
6.3 Временные корреляционные функции параметра порядка в планарных нематиках.............................201
6.4 Гидродинамические флуктуации параметра порядка. Двумерный случай. Режимы теплопроводности и термоконвекции .........................................205
Выводы...............................................217
Общие выводы и результаты........................... 218
Приложение 1........................................ 228
Приложение 2........................................ 235
Приложение 3........................................ 241
Литература ......................................... 250
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Использование жидких кристаллов (ЖК) в современной технике отображения информации, интенсивное внедрение их в компьютерную технологию, расширяющееся применение в различных областях науки, техники и медицины требует всестороннего исследования физических свойств жидких кристаллов. С другой стороны, жидкие кристаллы являются прекрасным модельным объектом для изучения нелинейных диссипативных структур, возникающих во многих открытых физических системах, находящихся вдали от термодинамического равновесия. Возникающие неравновесные структуры в жидкокристаллической мезофазе очень хорошо визуализуются, причем условия проведения экспериментальных исследований весьма ”мягкие”: комнатные температуры, сравнительно небольшие внешние поля, широкий диапазон изменения состояния жидкого кристалла. Указанные свойства ЖК позволяют, при изменении внешних параметров, воздействующих на систему, проследить за возникновением и развитием в ней макронеоднородностей (включая и потокового типа).
Появляются богатые возможности для сравнения теоретической и экспериментальной картин развития нелинейных структур. В жидких кристаллах, в отличие от обычных жидкостей, имеется ориентационная степень свободы, которая обуславливает их уникальные свойства, связанные с высокой чувствительностью пространственного распределения молекул к воздействию электрических, магнитных полей, упругих напряжений, вязких течений, градиента температур, концентрации смесей или зарядов.
Отметим также, что для науки явление возникновения порядка
- 6 -
из хаоса интересно само по себе. В теоретической физике, например, до конца не исследован механизм образования и развития нелинейных структур потокового типа, наблюдаемых в открытых системах вдали от термодинамического равновесия. А изучение подобных эффектов в жидких кристаллах позволяет, в силу указанных выше причин, проследить наиболее полно все стадии образования и развития диссипативных структур.
Важно, что эти структуры нашли свое практическое применение. В качестве одного из примеров такого использования являются полупроводниковые диоды Ганна.
Таким образом из вышесказанного следует, что диссипативные структуры интересны для науки и перспективны для практики.
Однако облегченные условия для экспериментального наблюдения, возникающих выше порога неустойчивостей, диссипативных структур в жидких кристаллах отнюдь не является таковыми для развития самой теории. Например, даже нематический жидкий кристалл (НЖК), который по своей структуре несколько проще чем смектик или холестерик, во внешнем поле (электрическом или тепловом) описывается довольно сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. А в случае приложенного дополнительного периодического электрического поля к основному и при определенных соотношениях между величинами этих полей, возникающие домены Капустина-Вильямса становятся неодномерными. Параметром порядка в появляющейся картине упорядоченных структур выступает многомерный вектор. Это предъявляет к используемой теории определенные требования и вызывает необходимость, кроме исследования самой физики явления, развивать и совершенствовать метод теоретического описания нелинейных дис-
- 7 -
сипативных структур.
Анализ экспериментальных работ [199, 200] по исследованию влияния дополнительного модулированного электрического поля на основе прежних теорий, исходящих только из рассмотрения свободной энергии искажения нематического жидкого кристалла без учета макропотоков и соответствующих периодических граничных условий, оказался недостаточным и неполным. Не был ясен механизм образования регулярных разрывов в системе доменов Капустина-Вильямса при наличии периодического электрического поля вдоль невозмущенного направления директора.
Всем сказанным выше и определяется актуальность темы диссертационной работы.
Целью работы являляется теоретическое исследование стационарных нелинейных диссипативных структур, возникающих в тонких пленках нематического жидкого кристалла, гидродинамических флук туаций вблизи порогов неустойчивостей, а также разработка адекватного математического аппарата, на языке которого возможно было бы единым образом описывать поведение этих структур. Научная новизна и практическая ценность диссертации
В работе получены следующие основные оригинальные научные результаты:
1. С помощью построенного в работе обобщенного термодинамического потенциала (ОТП), аналога свободной энергии, описывающего поведение нематика вдали от термодинамического равновесия, найдены условия образования и области устойчивости доменов Капустина-Вильямса. Найдено уравнение движения для комплексной амплитуды, через которую выражаются все гидродинамические переменные рассматриваемой системы. Определены пороги устойчи-
- 8 -
вости диссипативных структур, условия образования геликоидально закрученных доменных структур, получены критерии образования разрывов в них.
2. В задаче электрогидродинамической нестабильности и в проблеме Рэлея-Бенара в нематическом жидком кристалле, найдены три типа мод, одна из которых представляет собой ’’мягкую” моду и при приближении значения электрического поля к критическому (снизу) переходит в нулевую и нарушает механическую устойчивость системы. При этом другие моды остаются затухающими.
3. Предложена теоретическая модель образования и развития двумерных диссипативных структур за порогом электроконвективной неустойчивости при наличии дополнительного модулирующего электрического поля, которая позволяет адекватно объяснить наблюдаемую экспериментально картину образования неодномерных структур [199].
4. Исходя из свойств симметрии системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих поведение нематика во внешнем электрическом поле, найдена группа Ли уравнения Эйлера, соответствующего функционала, играющего в рассматриваемой задаче роль обобщенного термодинамического потенциала, а также генератор точечных преобразований.
Для планарного слоя нематического жидкого кристалла в постоянном электрическом поле для режима проводимости построен обобщенный термодинамический потенциал, минимум которого реализует наиболее вероятные диссипативные структуры.
5. Проведена групповая классификация уравнений нематодинами-ки в постоянном электрическом поле и определены существенные константы. Выделены физические случаи, вытекающие из анализа
- 9 -
системы уравнений, описывающей поведение нематика во внешнем электрическом поле, и получены определяющие уравнения для вычисления полной группы точечных преобразований, допускаемой исходной системой уравнений нематодинамики.
6. На основе теоретико-групповых представлений, исходя из инерционного механизма возникновения высокочастотной электрогидро-динамической неустойчивости, найден обобщенный термодинамический потенциал, описывающий поведение нематического жидкого кристалла в диэлектрическом режиме, показана возможность образования структур в этом электрическом поле.
7. Построен обобщенный термодинамический потенциал для для нематического жидкого кристалла в поле градиента температур, в рамках теории возмущений вблизи критической точки Рэлея-Бенара, с учетом соответствующих скейлинговых преобразований пространственных переменных и времени. Рассчитаны одно- и двумерные гидродинамические флуктуации в планарном слое нематического жидкого кристалла. Получены временные, пространственные корреляционные функции флуктуаций амплитуды параметра порядка в окрестности критической точки.
Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть использованы при исследовании НЖК в других полях (магнитных, сдвиговых, давлений), при изучении биологических объектов, обладающих жидкокристаллическим упорядочением. При интерпретации экспериментальных данных, полученных при исследовании жидких кристаллов во внешних электрических, магнитных, сдвиговых и тепловых полях, могут оказаться полезными предсказания и выводы, полученные в данной диссертационной работе.
С другой стороны, развиваемый аппарат, использующий группы
- 10 -
и алгебры Ли, может быть применен для дальнейших теоретических исследований смектических, холестерических и лиотропных жидких кристаллов, помещенных во внешние поля, а также в решении вопросов неустойчивостей в жидкости, плазме и твердом теле.
На защиту выносятся следующие положения.
- предлагаются два метода построения обобщенного термодинамического потенциала, описывающего поведение нематического жидкого кристалла вдали от термодинамического равновесия. Первый из них использует теорию возмущений, другой - теоретико-групповой подход, который позволяет выписать дифференциальные инварианты и по ним восстановить искомый функционал;
- решение задачи о гидродинамических флуктуациях в планарно ориентированном нематическом жидком кристалле в окрестностях пороговых значений внешних полей;
- решение нелинейной задачи, объясняющей экспериментально наблюдаемые несоизмеримые диссипативные структуры, СО Л ИТОНЫ и периодические разрывы в системе роллов в нематической мезофазе при электрогидродинамической нестабильности.
Апробация работы. Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на V конференции социалистических стран по жидким кристаллам (Одесса, 1983), на V (Ленинград, 1987) и VI (Баку, 1988) Всесоюзных и IX (Самара, 1993) Российском коллоквиумах по современному групповому анализу, на конференции молодых ученых Башкирского филиала АН СССР (Уфа, 1987), на Междунарной научной конференции «Nonlinear turbulent processes in Physics», (Киев, 1989), на Европейской конференции «International European Conference Liquid Crystal» (Valley d’Aosta, Italy, 1990), на XV Международной конференции по жидким кристаллам
-11 -
- «ILCC’94» (Budapest, 1994), на X конференции Европейского физического общества (Sevilla, 1996), на XVI Международной конференции по жидким кристаллам - «ILCC’98» (Kent, USA, 1997), на Всероссийском семинаре «Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении» (Москва, 1997), на Международной конференции «International Conference on Optical Technology in Fluid, Thermal Science, Engineering & Instrumentation» (San-Diego, USA, 1997), на Международной конференции «Liquid Crystals Science & Technology» - «ECLC’97» (Zakopane, Poland, 1997), на 10-й Международной школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга-10’98» (Казань, 1998), на XIII сессии Жидкокристаллического Общества «Содружество» (Уфа, 1998), на XVII Международной конференции по жидким кристаллам - «ILCC’98» (Strasbourg-Cedex, France, 1998), на Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1997), на Всероссийской конференции «Физика конденсированного состояния» (Стерлитамак, 1997), на Международной конференции «Patterns, nonlinear dynamics and stochastic behavior in spatially extended complex systems» (Budapest, Hungary, 1997), на научном семинаре Института прикладной математики имени М.В. Келдыша (Москва, 1988), на научном семинаре кафедры теоретической физики Киевского государственного университета (Киев, 1989), на научных семинарах отдела теоретической физики Института физики АН УССР, (Киев, 1980 - 1989 г.г.), на ежегодных научных конференциях Башгосуниверситета по научно-техническим программам Минобразования России (Уфа, 1995 - 1997), на семинарах лаборатории теоретической физики Института физики молекул и кристаллов Уфимского научного центра РАН (Уфа,
- 12 -
1985 - 1993), на семинарах лаборатории дифференциальных уравнений механики Института механики Уфимского научного центра РАН (Уфа, 1993 - 1995), на научных семинарах кафедр общей, теоретической физики, математического моделирования Башкирского государственного университета, на научных семинарах кафедр теоретической и общей физики Казанского государственного педагогического университета.
- 13 -
Введение
За последнее десятилетие нелинейные диссипативные структуры все больше привлекают к себе внимание. Это обусловлено тем, что, во-первых, для науки явление возникновения порядка из хаоса интересно само по себе, во-вторых, сами диссипативные структуры, представляющие собой самоорганизующиеся (когерентные) физические системы с меньшей пространственной симметрией, чем исходные, могут служить удобным методом исследования тех нелинейных механизмов, которые ответственны за возникновение данных структур, поскольку именно в этих явлениях нелинейные механизмы проявляются наиболее рельефно. Некоторые примеры физических самоорганизующихся систем известны давно. Это неустойчивость Рэлея - Бенара в жидкости [160], процесс лазерной генерации [163], эффект Ганна в некоторых типах полупроводников, химические реакции Белоусова-Жаботинского [32]. Более того, нелинейные эффекты, возникающие в открытых системах вдали от термодинамического равновесия могут быть весьма эффективно использованы и на практике. В качестве яркого примера следует отметить создание диодов Ганна, нашедших широкое применение в качестве генераторов сверхвысоких частот (частота колебаний / (1, ...,5) х Ю10
Герц). Хорошо известно, что схемы современного усилителя обязательно включают в себя сравнительно маломощный, но очень стабильный и малошумящий генератор (гетеродин). Здесь ганновские диоды незаменимы и успешно работают во многих радиолокационных устройствах, в спутниковых антенных усилителях. [25]. Эффект Ганна лежащий в основе одноименных диодов - это чисто диссипативное явление, возникающее в некоторых полупроводниках в основ-
- 14 -
ном с электронной проводимостью (арсенид галлия ваАв, антимо-нид индия ЫЭЬ, антимонид мышьяка 1пАз, германий ве, подвергнутый сжатию, кремний 81, охлажденный до низких температур и другие), к которым приложено внешнее постоянное электрическое поле. Пока значение поля ниже некоторого критического Екр внутри полупроводника распределение электрического поля равномерное. Но как только оно становится больше Екр происходит резкое разбиение однородного поля внутри образца на неоднородные участки -на домены.
В полупроводнике возникает, перемещается и исчезает область сильного электрического поля, называемого электрическим доменом или доменом Ганна. Обычно домен возникает вблизи катода и, дойдя до анода исчезает. По мере его исчезновения падение напряжения на домене уменьшается, а на остальной части образца соответственно возрастает. По мере приближения этого поля к критическому Екр плотность тока j приближается к своему критическому значению. Когда поле вне домена становится больше Екр у катода начинает формироваться новый домен, ток падает и процесс повторяется. Говоря другими словами эффект Ганна - это генерация высокочастотных колебаний электрического тока в полупроводниках с N - образной объемной вольтамперной характеристикой (зависимости плотности тока у от напряженности электрического поля Е). Генерация возникает, если постоянное напряжение £/, приложенное к образцу длиной Ь, таково, что среднее электрическое поле в образце Е = и/Ь соответствует падающему участку вольтамперной характеристики, на котором дифференциальное сопротивление <1Е/ёд отрицательно. Колебания тока имеют вид периодически последовательных импульсов. Здесь прослеживается яркая аналогия с
- 15 -
электрогид род инамической неустойчивостью в жидких кристаллах, когда появление периодических доменов связано также с наличием внешнего поля, значение которого больше некоторого критического значения для рассматриваемого образца и, вследствие того, что система открыта происходит подвод и диссипация энергии. Все сказанное в полной мере можно отнести и к образованию гексагональных решеток в жидкости при превышении критического значения градиента температур.
Те же механизмы лежат и в основе работы лазера. Лазер непрерывного действия представляет собой сильно неравновесную открытую систему, образованную активными атомами и модами электромагнитного поля в резонаторе. Эта система выводится из равновесия благодаря постоянному притоку энергии от внешнего некогерентного источника оптической накачки. Поступающая энергия не накапливается в лазерной системе, а непрерывно покидает ее в форме электромагнитного излучения и потока тепла. Когда интенсивность накачки мала, генерируемое лазером излучение состоит из случайных, не сфазированных между собой цугов волн. Если однако повышать мощность накачки, то после достижения некоторого порога лазерное излучение становится когерентным, то есть начинает представлять собой как бы один гигантский волновой цуг, где фазы волны жестко скоррелированы на макроскопических расстояниях. Переход к когерентной генерации, сопровождающийся установлением порядка в лазерной системе, можно интерпретировать как эффект самоорганизации.
Отметим также и реакцию Белоусова-Жаботинского [4, 32], случайно открытую Белоусовым в 1958 году и исследованную Жаботин-ским, а затем и другими. Можно отметить, что и здесь наблюдается
-16 -
яркий эффект кооперативных явлений. В этой реакции органическое вещество, например малоновая кислота, (СООН — СНг — СООН), окисляется ионами бромата натрия ^аВгОз) в присутствии каталитической пары (С3+/С4+.) В реакционной системе возникают само-поддерживающиеся колебания которые выражаются в том, что эта химическая система периодически изменяет цвет переходя от ярко красного (основное состояние) к голубому.
Из этих далеко не полных примеров видна общая особенность эффектов самоорганизации. Они наблюдаются в открытых системах потокового типа, связанных по меньшей мере с двумя внешними системами, не находящимися в равновесии друг с другом. Незатухающие потоки энергии или вещества поддерживают систему в состоянии, далеком от теплового равновесия. Рост устанавливающейся упорядоченности в таких системах происходит с повышением степени неравновесности, при увеличении потока энергии и (или) вещества, проходящего через систему [88].
В плане изучения диссипативных структур, возникающих во многих открытых физических системах, особенно привлекательными представляются жидкие кристаллы. Это связано с тем, что подобные структуры в ориентированных ЖК легко визуализуются вследствие возникающего пространственно - периодического распределения директора. Если учесть к тому же, что условия проведения эксперимента весьма мягкие: комнатные температуры, слабые электрические поля, обычные атмосферные давления, то становится понятным, что ЖК являются прекрасным материалом в исследовании нелинейных диссипативных структур. Причем жидкие кристаллы позволяют легко проследить все стадии образования диссипативных структур от их зарождения до полного исчезновения при изменении внеш-
- 17 -
них условий. Появляются богатые возможности для сравнения теоретической и экспериментальной картин развития этих структур.
Изучение электрогидродинамики жидких кристаллов, безусловно, представляет большие преимущества по сравнению с обычной жидкостью. Здесь и временные (пространственные) масштабы более предпочтительны для экспериментальных исследований чем в изотропных жидкостях, например в конвекции Рэлея-Бенара. Отсутствие вращательной симметрии в плоскости также упрощает изучение больших систем, которые, в некоторых случаях хорошо описываются в одномерным приближении. А большой выбор физически при-емлимых контролирующих параметров (электрические напряжения, частоты, магнитные, сдвиговые поля) позволяет получить огромное разнообразие сценариев нелинейного поведения жидких кристаллов при их изменениях.
Конечно есть и недостатки в изучении жидких кристаллов: уравнения, описывающие их динамику чрезвычайно сложны, в них входит большое количество материальных параметров среды, которые, к сожалению, не всегда точно известны (их значения иногда приходится находить из косвенных измерений), сами параметры в зависимости от внешних условий могут изменяться. Поэтому полного теоретического описания процессов происходящих в жидких кристаллах исходя из микроскопических уравнений, к сожалению, достичь не удается: всегда имеется, хоть и малое, отличие в полученных результатах даже между анализом в линейной теорией и огромным экспериментальным материалом [146].
Не менее интересной особенностью поведения жидких кристаллов в электрических полях является, также возможность плавного перехода из диссипативного состояния в недиссипативный режим, когда
- 18 -
отсутствует гидродинамических поток. Примерами являются переходы Фредерикса, сплей-твист переход [198], который приводит к периодической структуре с волновым вектором нормальным к первоначальной ориентации директора. Это обстоятельство приводит к уникальной возможности изменения в поведении системы, когда начинают включаться нелинейные эффекты, хотя жидкий кристалл находится в полностью нелинейном состоянии.
Следует отметить, что ”облегченные” условия для экспериментального наблюдения нелинейных диссипативных структур (ДС) в жидких кристаллах отнюдь не являются таковыми для развития теории. ЖК описываются сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, а возникающие структуры являются не одномерными. Параметром порядка в этих структурах выступает многомерный вектор. Все это предъявляет к развиваемой теории жесткие требования.
Диссертация посвящена теоретическому исследованию стационарных нелинейных диссипативных структур, возникающих в тонких ориентированных слоях нематических жидких кристаллов, гидродинамических флуктуаций, а также развитию адекватного математического аппарата, на языке которого возможно было бы единым образом описывать поведение этих структур во внешних полях. Таким образом, в круг рассматриваемых вопросов, затрагиваемых в данной работе, вошли анализ линейных и нелинейных задач поведения нематика во внешних электрических и тепловых полях; исследование конкретных нелинейных доменных структур в НЖК выше порога электрогидродинамической (ЭГД) неустойчивости и объяснение экспериментально наблюдаемых картин; описание флуктуаций основных гидродинамических переменных вблизи критических
- 19 -
точек; а также развитие теоретико-группового подхода для построения обобщенного термодинамического потенциала, аналога свободной энергии, для описания рассматриваемой системы вдали от термодинамического равновесия.
Предлагаемый метод является довольно общим и может быть применим не только к НЖК, но и к другим нелинейным неравновесным системам.
Напомним, что явление ЭГД - неустойчивости, проявляющееся на картине в виде чередующихся светлых и темных полос - доменов Вильямса (Рис. 0.1), было обнаружено давно и довольно хорошо описано в литературе [29, 109, 98, 39, 12, 40]. Известен был и механизм образования конвективных ячеек под действием внешнего электрического поля (модель Хелфриха - Карра) [173, 109]. Вследствие флуктуаций директора и анизотропии электропроводности нематика происходит изменение распределения директора в пространстве и накопление в различных областях мезофазы зарядов разных знаков (на Рис. 0.2 в области А сконцентрирован положительный заряд, а в области В - отрицательный). Возникает вращательный момент М<г, который, при превышении некорого порогового значения внешнего поля Есу приводит к появлению электроконвекции нематического жидкого кристалла.
Нашей задачей было выяснить, возможно ли существование других структур за порогом электроконвективной неустойчивости. Требовали своего объяснения и ряд экспериментальных работ, выполненных группой американских исследователей [199, 201], в которых наблюдались двумерные (геликоидальные) структуры, стационарные солитоны, разрывы в системе роллов. Эти авторы, в отличие от обычного рассмотрения ЭГД неустойчивости, к основному электри-
- 20 -
Источник света
Рис. 0.1: Модулированная структура (домены Вильямса) в планарном нематическом жидком кристалле в постоянном (или низкочастотном) электрическом поле, приложенным перпендикулярно слою образца
- 21 -
ческому полю прикладывали слабое пространственно-модулированное электрическое поле. При определенных отношениях ко/kl, (где ко -модуль волнового вектора исходной немодулированной системы роллов, а ki - модуль волнового вектора дополнительного периодического поля) возникала двумерная картина диссипативных структур.
Использование нами обобщенного термодинамического потенциала (ОТП), но уже с включением дополнительного электрического пространственно - модулированного поля позволило полностью объяснить экспериментально наблюдаемые картины.
Необходимо отметить, что было сделано в этой области до наших исследований.
В работах Крамера и др. [127, 133, 190, 254] исследовались элек-трогидродинамические эффекты в нематических жидких кристаллах. Наряду с линейной постановкой проблемы в этих работах была предпринята попытка рассмотреть и слабонелинейную область. К этому времени уже появились экспериментальные факты о существовании наклонных зигзаг роллов [232]. Для объяснения механизма зарождения этих структур в указанных выше работах была рассмотрена линейная трехмерная задача, поскольку теоретического описания возникновения наклонных роллов двумерной постановки задачи оказалось недостаточной. В рассматриваемой модели авторы ввели понятие ’’нейтральной поверхности” в пространстве волнового вектора q = (91,^2) = (g5p)> которое разделяет указанное пространство на устойчивые (R < Ro(q)) и неустойчивые области (R > i?o(q))* Как и в двумерном случае порог нестабильности Rc вычислялся путем минимизации Ro по q. Это, в свою очередь, позволяет найти критическое значение волнового вектора q^. По указанной схеме авторы нашли и критическое значение частоты и>с-
- 22 -
їх
Рис. 0.2: Модель Хельфриха [173] демонстрирующая образование пространственных зарядов (области А и В), обусловленное флуктуациями продольного изгиба. Приложенное поле Ег действует на заряды, вызывая появление потоков в противоположных направлениях. Это создает вращающий момент Ма, действующий на молекулы. К этому добавляется диэлектрический вращающий момент вследствие возникающего поперечного поля Ех, которое вызвано распределением пространственного заряда.
- 23 -
Как отмечают указанные авторы, в отличие, например, от изотропной жидкости в анизотропной среде уже можно говорить о направлениях появляющихся структур и их форме. Если направление волнового вектора q = (дс>Рс) совпадает с осью анизотропии = 0) или перпендикулярна ей = 0) то наблюдаются нормальные или параллельные роллы. Если же вектор qс составляет какой-то угол с (дс), то появляются наклонные роллы. В этом случае имеется дополнительное спонтанное нарушение симметрии (хиральность) [133] и два симметрично вырожденных направления - ”зиг” и ”заг”, которые могут накладываться и давать прямоугольники.
Принципиальной стороной нашего подхода являлось не усложнение модели, описывающей возникновение диссипативных структур, исследований гидродинамических флуктуаций, а максимальное использование классической постановки задачи (это оносится и к явлению термоконвекции в нематиках) и развитие функционального подхода (на основе обобщенного термодинамического потенциала), успешно примененного для изотропных жидкостей. Следует отметить, что в отличие от обычной жидкости система нелинейных дифференциальных уравнений в нематических жидких кристаллах уже намного сложнее и, к тому же, необходим учет анизотропии системы. А если учесть, что с математической точки зрения задача для ориентированного нематика является несамосопряженной, то становится понятным, что необходим иной, принципиаольный подход, который позволил бы рассматриваемую проблему свести к более простой, но сохранившей основные черты физических процессов системы. Наличие большого числа параметров (коэффициента вязкости Лесли, коэффициентов деформации Франка), которые сами в свою очередь требовали своего точного определения, а также учет в рас-
- 24 -
сматриваемой физической системе гидродинамических флуктуаций, безусловно, также усложняли рассматриваемую проблему поведения нематического жидкого кристалла во внешних электрических и тепловых полях. Поэтому те методы и приемы, которые ранее успешно использовались для описания гидродинамических эффектов в НЖК во внешних полях нуждались в дальнейшем развитии.
Открытые физические системы, которые при воздействии внешнего параметра достигают точки бифуркации и развиваются по какому одному из сценариев из их большого числа, безусловно требовали для своего адекватного описания новых подходов. Здесь, на наш взгляд, метод, основанный на функционале, аналоге свободной энергии для систем вдали от термодинамического равновесия, оказался вполне продуктивным и позволил проследить за ходом развития возникающих структур и объяснить некоторые экспериментальные факты.
Обобщенный термодинамический потенциал, экстремум которого определяет диссипативные структуры, был впервые предложен Р. Грэхэмом [160] в задаче Бенара для изотропной жидкости. В той задаче рассматривался слой жидкости, подогреваемой снизу, где при определенной разности температур наступало конвективное течение и появлялись так называемые ячейки Бенара. Эти ячейки обычно напоминают пчелиные соты - гексагональные решетки, представляющие собой восходящие конвективные потоки жидкости, которые переходят в нисходящие в центрах ячеек. Объяснить конвекцию Бенара можно следующим образом [89]: слабые конвективные потоки, возникающие как флуктуации относительно среднего состояния, существуют всегда, но ниже некоторого критического значения градиента температур эти флуктуации затухают и исчезают. Однако
- 25 -
стоит превысить критическое значение градиента температуры, то некоторые флуктуации усиливаются и порождают макроскопическое течение. Возникает новый молекулярный порядок, по существу, гигантская флуктуация, стабилизируемая за счет обмена энергией с внешней средой. Этот порядок и характеризуется возникновением того, что принято называть диссипативными структурами.
Были попытки решения задачи Рэлея - Бенара не только в линейном, но и в нелинейном приближениях. Линейная теория говоря о существовании порога возникновения неустойчивости в жидкости, ничего не могла сказать о форме возникающих диссипативных структур и почему даже при небольшом превышении градиента температур, наиболее устойчивыми оставались роллы с определенным критическим значением волнового числа кс. При рассмотрении нелинейной задачи термоконвекции, авторы [238] искали решение гидродинамических уравнений с данными граничными условиями в виде разложения неизвестных функций, например скорости v(x) и температуры Т(х) относительно некоторого неизвестного малого параметра 6
у(х) = б[У^(х) + €У^(х) 4-----]
Т(х) = е[Т<°>(х) + еГШ(х) + ...].
Число Рэлея Я также разлагалось в ряд по € :
Я = Лс + еЯ(1) + е2Д(2) + • • •.
Гидродинамические уравнения затем решались методом итераций для неизвестных функций ^°)(х), Т^(х), у^(х), Т(1*(х), начиная с наименьшего порядка по €. Из условия существования решений в каждом порядке по е удавалось однозначно определить неизвестные члены в разложении параметра Я, то есть Я^, Я^,... и т. д. Тогда
- 26 -
малый параметр е можно выразить через разницу Я—Яс если описываемый процесс остановлен при заданном порядке с. Ясно, что этот подход ограничен окрестностью вблизи критической точки. Однако он позволяет дать ответы на вопросы относительно возникновения конвективного движения и поведения системы при Я слегка выше порога Яс-
Полученный в задаче Бенара для изотропной жидкости функционал [160], напоминал обычный термодинамический потенциал для равновесных систем. Его минимум определял структуры, возникающие за порогом неустойчивости. Этот функционал отличался от обычного потенциала тем, что учитывал в физической системе наличие гидродинамических потоков.
В упомянутой работе на основе полученного функционала исследовались гидродинамические флуктуации горизонтального слоя жидкости, подогреваемого снизу вблизи точки гидродинамической неустойчивости. Предполагалось, что конвекция реализуется в форме почти двумерных валов (роллов). Оказалось, вблизи неустойчивости вся гидродинамика жидкости, описываемая в приближении Буссене-ска, значительно упрощается появлением медленной моды, которая подавляет движение всех гидродинамических переменных. Эта мода описывается медленно изменяющейся в пространстве и во времени комплексной амплитудой, чье абсолютное значение и фаза фактически отражают интенсивность вращения (то есть скорость) роллов и их местоположение, соответственно.
Следующим шагом явился вывод приближенного уравнения движения, которому удовлетворяет медленная переменная ги. По аналогии с работой [49] были учтены флуктуационные члены. Это привело к стохастическому уравнению Ланжевена. Было показано, что
- Київ+380960830922