ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Введение 4
1.1 .Шумозависимые явления в нелинейных хаотических системах с
изменяющимися во времени параметрами........................4
1.2.Краткое изложение содержания..............................10
2. Шумозависимый гистерезис в системах, описываемых
МУЛЬТИМОДАЛЬНЫМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ 15
2.1.Общая характеристика явления шумозависимого гистерезиса...15
2.2.Явление шумозависимого гистерезиса в мультимодальном отображении...................................................17
2.3.Влияние динамических и стохастических факторов на характеристики петли гистерезиса..............................21
2.4.Метод измерения слабых внутренних шумов по времени пребывания системы в окрестности неустойчивой ветви.....23
2.5.Выводы к главе 2..........................................24
3. Шумозависимый гистерезис при переходе через зону хаоса 33
3.1Л Остановка задачи.........................................34
3.2.Явление гистерезиса при прохождении через зону хаоса в окно периодичности.................................................37
3.3.Результаты численного моделирования шумозависимого гистерезиса при прохождении через зону хаоса в окно периодичности.................................................38
ЗАВыводы к главе 3............................................41
4. Особенности протекания бифурка1 щонных процессов в зашумленных системах с быстрыми и медленными
ИЗМЕ1ГЕ11ИЯМИ УПРАВЛЯЮЩЕГО ПАРАМЕТРА 49
2
4.1 .Влияние шума на бифуркации удвоения периода в квадратичном отображении.......................................................51
4.2.Усиление флуктуаций в окрестности точек бифуркации в зашумленных квадратичном и мультимодальном отображениях 57
4.3.Ослабление эффекта усиления флуктуаций при быстром
прохождении через точку бифуркации.............................63
4.4.Выводы к главе 4..............................................66
5. ФЛУКТУА1ДЮ11НЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ СООБЩЕНИЙ ПРИ
ПОМОЩИ МОДУЛЯЦИИ ПАРАМЕТРОВ ХАОТИЧЕСКИХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 75
5.1 .Проблема передачи информации при помощи хаотических сигналов ...75
5.2.Передача информации путем модуляции параметров отображения, генерирующего хаотическую последовательность (одноканальная схема)............................................................77
5.3.Воздействие шумов на погрешность определения информационного параметра в одноканальной схеме...................................80
5.4.Оценки помехоустойчивости одноканальной схемы.................82
5.5.Оценки погрешности восстановления информационных параметров в многоканальной схеме передачи сигналов..........................85
5.6.Численнос моделирование восстановления параметров хаотических последовательностей в присутствии шумов...........................88
5.7.Пример восстановления текстового сообщения....................91
5.8.Выводы к главе 5..............................................91
6. Заключение 98
7. Литература 101
з
1. Введение
1.1. Шумозависимые явления в нелинейных хаотических системах с изменяющимися во времени параметрами
Исследования воздействия шума на нелинейные системы составляют важную часть статистической радиофизики. Актуальность этой темы в радиофизике в настоящее время несколько возросла в связи с увеличением числа экспериментально наблюдаемых бифуркационных явлений и режимов в хаотических нелинейных цепях.
В настоящее время известно уже очень большое количество реальных радиофизических систем, процессы в которых имеют хаотический характер: нелинейные осцилляторы с периодическим внешним воздействием, генераторы на туннельных диодах, 1Я цепи с варакторными диодами, генераторы с запаздывающей обратной связью, резистивно связанные ЯЬ цепи и т. д. [1-5].
Любая реальная радиофизическая система подвержена случайным возмущениям, которые обычно подразделяют на естественные и технические. Шум может' вызвать серьезные изменения в макроскопическом поведении нелинейных систем. К числу эффектов, вызванных шумами, относятся в частности бифуркационные переходы, индуцированные шумами, которые были описаны в работе [6]. Иод воздействием шума происходит изменение различных статистических характеристик хаотических систем - корреляционных функций, частотных спектров, ляпуновских показателей, фрактальных характеристик и т. д. [ 1, 7, 8]. /[алее шум оказывает существенное влияние на формирование областей притяжения устойчивых состояний на оси начальных условий х$. Структура областей притяжения конечных состояний и влияние шума на границы областей притяжения в некоторых системах были описаны в работах [9, 10]. В нелинейных системах с периодическим изменением бифуркационного параметра шумовое воздействие приводит к сокращению петли гистерезиса [11, 12, 13]. Этот факт побуждает называть явление гистерезиса шумозависимым. Действием шумов определяется выбор одного из нескольких альтернативных состояний при медленных бифуркационных переходах. Влиянию шума на предсказуемость конечных состояний на примере модельных систем и
4
реальных нелинейных цепей в системах с быстро и медленно меняющимися параметрами посвящены работы [3, 14]. Воздействие шумов на хаотические системы чрезвычайно актуально и в прикладных задачах, в первую очередь при передаче информации с использованием хаотических сигналов [15-17].
Таким образом, изучение проблемы влияния шума на нелинейные хаотические системы с переменными параметрами является важным и своевременным. Данная работа как раз и нацелена на решение ряда актуальных задач статистической радиофизики и нелинейной динамики.
Предмет исследования диссертации - шумозавнеимый гистерезис и смежные флуктуационные явления в нелинейных системах с переменными во времени параметрами. Изучение явлений, возникающих при быстрых и медленных переходах в нелинейных и хаотических бифуркационных системах, представляется важным и интересным, о чем свидетельствуют недавние журнальные публикации, а также материалы российских и международных конференций.
В данной диссертации исследования воздействия шумов на нелинейные хаотические системы проводятся с помощью методов численного моделирования процессов в дискретных и непрерывных системах, которые служат моделями для реальных нелинейных цепей. В качестве объектов исследования использовались: мультимодальное отображение, которое отражает характерные особенности реальных радиофизических цепей (скажем, 1Ж цепей с варакторным диодом) [2]; многопарамстрическое синусное отображение, при помощи которого можно реализовать один из методов передачи информации на хаотической несущей; квадратичное (логистическое) отображение, моделирующее бифуркационные явления во множестве нелинейных систем, включая неавтономный диссипативный осциллятор [3].
Бифуркации в системах с переменными параметрами (так называемые “динамические” бифуркации) и влияние шумов па закономерности бифуркационных переходов изучались в работах [12, 18 - 20]. В частности, явление затягивания при динамических бифуркациях, которое проявляется в том, что после прохождения бифуркационной точки система достаточно долго находится на неустойчивой ветви, и лишь через некоторое время сравнительно быстро переходит в одно из двух
5
устойчивых положений было подробно описано в работе [18]. Похожий процесс происходит и при обратном переходе, т.е. при уменьшении управляющего параметра. Периодическое изменение управляющего параметра приводит к тому, что система задерживается в окрестности прежних устойчивых точек, как при прямом, так и при обратном ходе, при этом явление затягивания приводит к появлению гистерезисной петли.
В наиболее обстоятельном исследовании [12] процессов, генерируемых логистическим отображением, были получены асимптотические выражения для времени затягивания при циклическом изменении управляющего параметра, но роль шумов фактически осталась нераскрытой. Между тем, наличие шумов в бифуркационной системе сокращает время пребывания возле неустойчивой ветви, поскольку шумовое воздействие ускоряет отклонение от неустойчивого положения (это явление напоминает ускорение фазовых переходов под действием шумовых факторов, которые сокращают время пребывания возле неустойчивых -метастабильных состояний).
Динамические бифуркации при быстром и медленном изменении управляющего параметра сопровождаются рядом родственных явлений: предбифуркационное усиление шума в нелинейных системах, нарушение вероятностной симметрии при динамических бифуркациях и др.
Известно, что перед возникновением автоколебаний в нелинейных системах наблюдается явление предгенерационного (или прсосцилляционного) усиления шума. Такое явление имеет место как в радиофизических автоколебательных системах [19], так и в лазерах [20]. Усиление шума по мере приближения к порогу генерации обусловлено здесь уменьшением потерь в осцилляторе, в результате чего вещественная часть одного из ляиуновских показателей системы из отрицательной становится положительной. Исходное состояние системы в этом случае теряет устойчивость, а усиленный предгенерационный шум служит катализатором для возникновения автоколебаний. Предгенерационное усиление шума - это частный случай более общего явления, которое можно назвать предбифуркационным усилением шума. Это явление было рассмотрено в работе [21], где анализ проводился для медленных (адиабатических) бифуркационных переходов.
6
Условия нарушения вероятностной симметрии конечных состояний в условиях шумового воздействия на нелинейные динамические системы, а также влияние реальных шумов на быстрые бифуркационные переходы изучались в работе [13], в которой среди прочих результатов была найдена зависимость размеров гистерезисной петли от уровня шумов в системе. В работе [13] был предложен метод для измерения интенсивности слабых внутренних шумов (применительно к дискретным системам, допускающим бифуркацию удвоения периода) по измеренным размерам гистерезисной петли.
Несмотря на усиленное внимание к проблеме, в радиофизической литературе исследованы далеко не все явления, возникающие в динамических бифуркационных системах под воздействием шума. В частности, совершенно неизученными оказались свойства бифуркаций в мультимодальных отображениях, в том числе явление шумозависимого гистерезиса и эффект исчезновения и возрождения бифуркаций удвоения периода в таких отображениях. Подобным же образом оказались в тени интересные свойства систем, переходящих через зону хаоса в окно периодичности, в том числе явление шумозависимого гистерезиса при таком переходе. Слабо изучены также различные аспекты влияния шума на бифуркационные процессы в системах с быстрыми и медленными изменениями управляющего параметра, в том числе эффекта усиления флуктуаций при достаточно медленном прохождении критических точек на бифуркационной диаграмме и ослабление этого эффекта при быстром прохождении критических точек.
Еще одним актуальным аспектом воздействия шумов на хаотические системы явились флуктуационные характеристики систем передачи информации, основанных на модуляции параметров хаотических последовательностей. В настоящее время проблема передачи информации при помощи хаотических сигналов представляет весьма значительный интерес, как это следует, например, из обзора [15], в котором содержится подробный анализ информационных аспектов использования хаотических сигналов для передачи сообщений. Согласно [15], наибольшее внимание в мировой литературе сейчас уделяется системам с синхронизацией. Между тем, значительный интерес представляет другой метод передачи информации, описанный в монографии [17] и основанный на решении обратных задач нелинейной динамики.
7
Этот метод предполагает восстановление первоначального (на передающем конце) временного хода управляющего параметра хаотической системы по измеренным значениям хаотических сигналов на приемном конце. Несмотря на актуальность проблемы, флуктуационные характеристики систем передачи информации, использующих восстановление управляющих параметров, анализу еще не подвергались.
Перечисленные выше нерешенные флуктуационные проблемы составляют содержание данной диссертационной работы, нацеленной па решение ряда актуальных задач нелинейной динамики и статистической радиофизики.
Конкретной целью исследований явилось изучение влияния шума на процессы в системах с быстрым и медленным изменением бифуркационного параметра наряду с анализом флуктуационных характеристик систем передачи информации, основанных на восстановлении управляющих параметров хаотических систем, в том числе:
■ анализ явления шумозависимого гистерезиса при быстрых и медленных бифуркационных переходах в мультимодальных отображениях;
■ исследование шумозависимого гистерезиса, сопровождающего переход динамической системы через зону хаоса в окно периодичности;
■ анализ усиления флуктуаций как при быстрых, так и при медленных бифуркационных переходах;
■ анализ флуктуационных характеристик систем передачи информации, использующих нелинейные методы восстановления управляющих параметров хаотических последовательностей.
Научная новизна результатов полученных в диссертации заключается в следующем:
■ обнаружены не известные ранее особенности шумозависимого гистерезиса в мультимодальном отображении, выражающиеся в исчезновении и возрождении бифуркаций удвоения периода под действием шума;
■ впервые обнаружено явление шумозависимого гистерезиса при прохождении нелинейной системы через зону хаоса в окно периодичности;
- Київ+380960830922