Оглавление
1 Введение 4
1.1 Термодинамика черных дыр...................................... 4
1.2 Принцип соответствия струна—черная дыра....................... о
1.3 Темная материя и темная энергия............................... 9
1.4 Скалярные поля в космологии...................................11
1.5 Гравитирующие солитоны и топологические дефекты во вселенной 12
1.6 Решения с цилиндрической симметрией...........................14
1.7 Симметрии калибровочных нолей и размерная редукция .... 20
1.8 Цель диссертационного исследования............................22
1.9 План диссертации .............................................22
2 Черные дыры в теории гетеротической струны 26
2.1 Черная дыра Гаусса-Бонне с дилатоном..........................28
2.2 Эффективное действие для гетеротической струны................35
2.3 Локальное решение на горизонте................................39
2.4 Численный анализ..............................................46
2.4.1 Регулярные решения для экстремальной черной дыры . . 48
2.4.2 Образование черной дыры...............................51
2.4.3 Черные дыры, несущие только электрический заряд ... 54
2.5 Энтропия......................................................56
2.6 Выводы........................................................61
3 Космология Вайнберга-Салама 63
3.1 Пространственно-однородная модель Вайнберга-
Салама .......................................................64
2
3.2 Динамика вселенной........................................... 70
3.2.1 Аналитическое решение для статического скалярного ноля 72
3.2.2 Динамический анализ полной системы.....................74
3.3 Численные решения.............................................81
3.3.1 Поздний переход к ускоренному расширению...............81
3.3.2 Циклическая эволюция ..................................86
3.4 Выводы...............•.........................................87
4 Неабелевы космические струны 89
4.1 Цилиндрически-симметричная система ЭЯМ........................91
4.1.1 Анзац для метрики и калибровочного ноля................92
4.1.2 Симметрии редуцированного действия.....................95
4.2 Уравнения движения и условия на полярной оси..................98
4.2.1 Разложения на полярной оси в плоском пространстве . . 99
4.2.2 Локальные решения в при наличии гравитации............102
4.2.3 Интегральные параметры системы........................105
4.3 Асимптотическое поведение системы............................106
4.3.1 Решение в асимптотической области.....................107
4.3.2 Условия существования асимптотических вакуумных решений 108
4.3.3 Параметры Казнера.....................................111
4.3.4 Топология вакуума и сохраняющиеся токи................112
4.4 Численный анализ.............................................116
4.4.1 Решения в плоском пространстве.........................116
4.4.2 Решения при наличии гравитации.........................119
4.5 Взаимодействие с дилатоном...................................127
4.6 Выводы.......................................................132
5 Заключение 135
3
Глава 1
Введение
1.1 Термодинамика черных дыр
Законы термодинамики черных дыр были предвосхищены в знаменитой работе Бардина, Картера и Хокинга [1]. Нулевой закон гласит, что поверхностная гравитация стационарной черной дыры является одинаковой в любой точке на горизонте событий. Под поверхностной гравитацией понимается ускорение объекта на горизонте с точки зрения наблюдателя на бесконечности [2,3]. Первый закон связывает изменение массы М с изменением площади горизонта А, углового момента J и заряда q по формуле
6М =l^-6A + L>6J+ф6q,
йТГ
где (л) — частота вращения черной дыры, а ф — потенциал электростатического поля. Эти два закона описывают динамику стационарной черной дыры и могут быть получены из общих симметрий системы, не зависимо от конкретных уравнений движения.
Особую роль играет площадь горизонта событий черной дыры. Второй закон гласит, что в классической теории она не может убывать, в том числе и для системы черных дыр, в которых возможно их слияние. Подобной характеристикой термодинамической системы является энтропия. Третий закон гласит, что поверхностная гравитация не может достичь нуля за конечное время ни при каком физическом процессе. Исключение представляет подкласс экстремальных черных дыр, которые изначально образуются в состоянии с нулевой поверхностной гравитацией. Согласно Хокингу поверхностная
гравитация соответствует температуре черной дыры Т = /с^-/(27т) (в единицах с = ^ = (7 = 1), определяющей ее квантовое испарение [4]. В свою очередь, это позволяет установить численное соотношение между энтропией (Бекенштейна- Хокинга) и площадью горизонта: 5 = А/{4тг).
Микроскопическая интерпретация энтропии черной дыры является прерогативой квантовой гравитации. Теория суперструн, которая претендует на роль такой теории действительно предоставляет ряд примеров когда такое вычисление возможно в терминах микросостояний струны или Б-бран [5-10]. Однако установление соответствия между состояниями струны и параметрами черной дыры нетривиально. Иден состоит в том, что черные дыры и возбужденные состояния струны можно интерпретировать как дуальное описание одного и того же объекта [11-13].
1.2 Принцип соответствия струпа — черная дыра
Зависимость энтропии Карди возбужденной струны на заданном массовом уровне от массы отличается от зависимости энтропии Бекенштейна-Хокинга от массы черной дыры. Однако если сравнивать энтропии для состояний струны, размер локализации которой порядка гравитационного радиуса черной дыры, то соответствие имеет место, по крайней мере для простейших струнных моделей [11-13]. Это позволяет по-новому рассмотреть адиабатический процесс испарения черной дыры. При хокинговском испарении черная дыра теряет массу и нагревается. В рамках классической теории этот процесс ничем не ограничен и приводит к нефизическим расходимостям для параметров черной дыры. Но при достижении планковских масштабов необходимо пользоваться квантовой теорией гравитации. С другой стороны, теория струн как раз предлагает квантовое описание процессов при планковских масштабах, и в рамках этой теории существует объект с такой же энтропией и массой, как у испаряющейся черной дыры. Естественно предположить, что конечной стадией эволюции испаряющейся черной дыры является струнное состояние близкими макроскопическими характеристиками. Эта идея, однако, пока имеет немного подтверждений реальными расчетами. В диссертации
предложен расчет, который который хотя бы косвенно подтверждает такую возможность.
Наиболее точные расчеты в теории струн возможны для случая экстремальных черных дыр, для которых квантовые поправки малы или отсутствуют. В теориях супергравитации решения типа экстремальных черных дыр являются БПС-решениями |14|. Предполагается, что суперсимметрия позволяет доверять расчетам в рамках теории возмущений [15].
Возможны также расчеты на основе БПС .О-бран [16], для которых также мочно вычислить статистическую энтропию через подсчет числа микросостояний. Горовиц и Польчинский сформулировали принцип соответствия в следующем общем виде: (I) когда радиус горизонта черной дыры становит ся меньше эффективного размера струны, наблюдается переход от состояния черной дыры к состоянию струны или .О-браны с теми же зарядами; (II) масса слабо меняется при таком фазовом переходе, что позволяет дать статистическую интерпретацию энтропии черной дыры как энтропии соответствующего струнного состояния [13].
Точного описания для момента перехода струна — черная дыра пока не существует, но можно рассмотреть характерные состояния. Для струны в плоском пространстве гравитационными поправками можно пренебречь, если ее длина в струпных единицах, пропорциональная л/с?, много больше ее гравитационного радиуса. Например, для гетеротичсской струны, компактифицированной на 51 хТ5, средний размер записывается как [17]:
<7г2>~ Л/УУ,
I /
где N = тгш-Ы —- номер уровня, получаемый из комбинации чисел навивания (п, га) на 51. Однако если мы „включим“ струнное самодействие, увеличивая струнную константу связи до, эти у/П битов струны начнут притягиваться друг к другу, и характерный размер струны уменьшится. Теперь размер струны будет выражаться следующим образом |61|:
Из этой формулы мы получаем условие „малости“ для струнной константы связи: гравитационными поправками для струны можно пренебречь, если д2 « АТ3/“.
При дальнейшем увеличении струнного самодействия настает момент, когда характерный размер становится равным шварцшильдовскому радиусу струны, Я^.
<Я2> = 71н ~ л/Ы.
Константа связи в этот момент достигает критического значения д^. ~ N~xf2. Можно считать, что в этот момент образуется черная дыра. Наконец, в пределе сильног о самодействия струнное действие должно описывать обычную черную дыру: характерный размер струны становится много меньше ее гравитационного радиуса: < Я2 > Яь при д28 N 1^2, поэтому информация о внутренней струнной структуре этого объекта должна быть недоступна внешнему наблюдателю.
На самом деле, вышеописанный процесс —это скорее математическое рассмотрение ансамбля моделей с меняющимся значением струнной константы связи, но возможно и рассмотрение этого процесса как адиабатическое изменение дилатонного фона. В реальности мы должны иметь дело с ансамблем струнных состояний, для которых струнная константа связи фиксирована, но меняется масса. Причем, при испарении черной дары процесс этот происходит в обратном порядке: черная дыра, потеряв достаточное количество массы, превращается в сильно возбужденную струну (уровень возбуждения струны должен быть достаточно высоким, чтобы выполнялось условие ДО</2 ~ 1). С точки зрения макроскопических характеристик, процесс испарения черной дыры выглядит следующим образом. Запишем энтропию струны 5.5 и энтропию черной дыры Бвн-
„ М „ (&М/М.)&
6.5- ~ —» ^ВН ~ ---------2-----5
ма 9Ъ
где (/—число пространственных измерений, а М3 = (а7)-1^2 — струнная масса. В выражение для энтропии черной дыры струнный параметр М& попадает
при замене ньютоновской гравитационной постоянной С на ее выражение, получаемое в теории струн: (3 = д^(сх,)±^'. Очевидно, что в четырехмерном пространстве-времени энтропия черной дыры растет как квадрат массы, а энтропия струны —всего лишь линейно. Эти величины совпадают при единственном критическом значении массы М9д$2. Волее того, именно при
таком значении массы размер струны оказывается равен ее шварцшильдов-
I
скому радиусу, а температура Хокинга для черной дыры такой массы равна температуре Хагедорна для струны.
Замечательным фактом, обнаруженным относительно недавно, явилось совпадение микроскопической энтропии с геометрической энтропией при учете квантовых поправок по кривизне в гравитационном действии [5]. Роль квантовых поправок могут играть члены вида В? (квадратичные по кривизне). Первоначально, на роль такого слагаемого брался квадрат тензора Вейля |25—28) для сохранения суперсимметрии. Однако как было показано в работах [29,30], в теории струн есть еще один подходящий кандидат — член Гаусса-Бонне. Дальнейшие вычисления энтропии и локальных решений показали, что результаты в обоих случаях совпадают с достаточной для поправочных слагаемых точностью |8,31).При этом геометрическая энтропия уже не равна бекенштейновскому значению, а подсчитывается по формуле Уолда, справедливой для произвольного гравитационного действия. Интересно, что для вычисления энтропии черной дыры оказалось необязательным построение полного решения гравитационных уравнений. Как было показано Сеном [18-20] и другими авторами [21], энтропию можно вычислить, зная только локальное решение на горизонте. Разработанный ими метод энтропийной функции основывается на свойствах аттракторов в супергравитации, когда система описывается величинами зарядов. Это действительно важный момент для установления соответствия между энтропиями черной дыры и струны: статистический подсчет энтропии для струны также дает зависимость от зарядов системы. Однако во всех этих построениях присутствовало слабое звено: подразумевалось, что локальные решения могут быть продолжены до глобальных, описывающих асимптотически плоское пространство. Фактических расчетов в данном направлении были проделано относительно
мало [22-24]. В нашей работе мы постараемся прояснить ситуацию с существованием глобальных решений для широкого диапазона значений струнной константы связи.
Заметим, что в работе Кардозо и др. [32] было получено, что при наличии члена вида В? в действии единственным статическим сферически-симметричным вакуумом (кроме пространства Минковского) является многообразие А(182 х 52. Метрика и поля тогда выражаются через величину 2, связанную с центральным зарядом алгебры суперсимметрии. И такой вакуум Лс/б^хЗ2 как раз соответствует горизонту экстремальной черной дыры. Поэтому, в нашей работе мы ограничимся этим типом решений.
1.3 Темная материя и темная энергия
В настоящее время космология является одной из областей физики, в которой происходит кардинальное изменение наших представлений об устройстве Вселенной [33]. Получаемые в последние годы экспериментальные данные описывают такие процессы, которые вовсе не были ожидаемыми.
Во-первых, это обнаружение темной материи. Скорости вращения звезд на окраинах галактик должны убывать по закону Кеплера как 1 /\/г, т.к. видимая материя —звезды и пылевые облака —сосредоточены в окрестности центра галактик. Однако результаты наблюдений показывают, что угловые скорости практически не зависят от расстояния. Самое простое объяснение состоит в том, что вещество галактики может быть не сосредоточено в центре. Тогда из расчетов следует, что эта добавочная периферийная масса галактики должна быть на порядок больше массы видимой центральной области, чтобы обеспечить столь высокие наблюдаемые скорости вращения периферийных звезд. И если бы это периферийное вещество представляло собой обычные пылевые облака, то они бы поглощали свет звезд из центра галактик, чего не наблюдается. Подобный эффект возникает и при рассмотрении скоплений галактик, но в значительно меньшей степени. Это означает, что характерный размер сгустка темной материи не превосходит размера скопления галактик. Соответственно, на ранней стадии эволюции вселенной размер таких неод-
9
породностей должен был быть достаточно мал. Это налагает ограничения на природу темной материи. Если бы она изначально была представлена из релятивистских частиц („горячая“ темная материя), то размер неоднородностей должен был быть значительно больше'. Поэтому, сейчас считается, что когда темная материя отделилась от видимой барионной материи, она была представлена нерелятивистскими частицами („холодная“ темная материя).
Несмотря на то, что общая масса вещества во вселенной оказалась на порядок больше, чем у видимой барионной материи, исследования величин красных смещений для сверхновых звезд показали, что сейчас вселенная расширяется с ускорением, а не с замедлением. Причем в прошлом был именно переход от замедленного расширения к ускоренному. Для описания такой вселенной потребовалось наполнить се веществом в состоянии с отрицательным давлением, которое бы доминировало на сверхгалактических масштабах и компенсировало как собственную гравитацию, так и гравитационное притяжение всей остальной материи, видимой и темной. Естественно, что для доминирования плотность темной энергии должна быть больше плотности материи. На данный момент считается, что вещество во вселенной состоит приблизительно на 73% из темной энергии, 23% из темной материи и на 4% из барионной материи. Трудность заключается в том, что по наблюдаемым величинам красных смещений для сверхновых мы пытаемся описать историю эволюции вселенной. Но .и сами величины наблюдаемых красных смещений зависят от истории эволюции вселенной. Как следствие, конкретные численные результаты допускают погрешность более чем на 20%. Что касается уравнения состояния т = р/р, то по совокупности наблюдений получается большой интервал —1.6 < ги < —0.8, что породило интерес к исследованию вещества в новой форме — „фантомной“ темной энергии с уравнением состояния V) < —1. Однако при построении моделей темной энергии необходимо учесть, что сильное ускоренное расширение на ранней стадии эволюции вселенной могло бы помешать формированию как отдельных галактик, так и их скоплений, поэтому наиболее предпочтительными оказываются теории, в которых параметр уравнения состояния убывает с течением времени, а не является изначально близким к —1.
10
Другой удивительный факт состоит в том, что суммарная плотность вещества во вселенной крайне близка к до — критической плотности, соответствующей плоской вселенной. На данный момент согласно экспериментальным данным мы имеем р/рц = 1.02 ± 0.02. Интересно, что простейшая модель плоской вселенной с космологической постоянной на данный момент хорошо удовлетворяет всем экспериментальным данным для темной энергии. Однако это простейшее объяснение, конечно, не дает нам практически никаких новых знаний об устройстве вселенной, поэтому не оставляются попытки построить более интересную модель для описания наблюдаемых явлений. Перечень подобных моделей достаточно велик и может быть найден в одном из последних обзоров [34]. Экспериментальные данные постоянно обновляются, на настоящий момент одни из наиболее детальных работ представлены ссылками [35,36], а обзор методик интерпретации экспериментальных данных можно найти в [37].
1.4 Скалярные поля в космологии
Одной из наиболее популярных моделей для описания темной энергии являемся модель квинтэссенции. В этой теории предполагается, что вселенная наполнена однородным скалярным полем. В зависимости от потенциала наблюдается та или иная динамика эволюции вселенной. В качестве потенциалов использовались степенные фп, обратной степени ф~а, экспоненциальные (например гиперболический синус) и т.п. Из инфляционных потенциалов самый простой— степенной, вида V~<дп (п — натуральное), приводящий к хаотической инфляции. Экспоненциальные потенциалы возникают при редукции многомерных теорий. Кроме того, в последнее время активно рассматриваются модели с фантомными скалярными полями, описывающими тахионную динамику. Подробный обзор космологических эффектов, порождаемых однородными скалярными полями представлен в [38,40]. Недостатком скалярных моделей, как нам представляется, является их феноменологический характер и отсутствие прямой связи со стандартной моделью. В данной работе будет построена космологическая модель, опирающаяся на тсо-
11
рию Вайнберга-Салама, как часть стандартной модели. Хотя мы не будет пытаться здесь охватить все аспекты космологии на основании этого подхода, полученные нами численные решения обнаруживают интересное поведение, в частности, типичным является существование переходящих режимов ускоренного расширения. Заметим, что исследования по космологии в теории Вайнберга-Салама с различными наборами полей уже проводилось и ранее. Например в [39] была рассмотрена конфигурация с учетом вклада фермион-ных полей, но без потенциала Хиггса. В данной работе мы остаемся в рамках бозонного сектора и иссле,дуем связанную динамику системы скалярного поля Хиггса и неабелево калибровочного поле Янга-Миллса. Для такой системы возможно возникновение режима осциллирующей вселенной. Осциллирующие вселенные являются альтернативами стандартным космолог иям большого взрыва. В них удается избежать сингулярностей типа большого взрыва благодаря циклической эволюции, при которой масштабный фактор а испытывает чередующиеся „отскоки” (bounce) со стороны малых а и „развороты“ (turnaround) со стороны больших а.
Важно определить условия, при которых возможен отскок. Вообще говоря, для возникновения отскока необходимо нарушение сильного энергетического условия (SEC). Оказывается, что в случае закрытой вселенной, этого и достаточно [41]. Заметим, что однородные и изотропные конфигурации Янга-Миллса с дублетным полем Хиггса существуют только в закрытой вселенной. Плотность энергии калибровочного поля убывает как а 4, поэтому на процесс разворота наличие поля Янга-Миллса будет оказывать минимальное влияние. Но в момент отскока система двух полей будет иметь более сложную динамику.
1.5 Гравитирующие солитоны и топологические дефекты во вселенной
Помимо изучения динамики вселенной как целого, и исследования отдельных космических объектов, таких как черные дыры, есть еще обширная область, посвященная изучению крупномасштабных полевых конфигураций.
12
- Київ+380960830922