Многопараметрические спектральные задачи для полиномиальных и рациональных матриц. Методы решения многопараметрических задач алгебры

ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена исследованию спектральных характеристик многопарамстриче-ских полиномиальных и рациональных матриц и разработке методов решения многопа-рамстричсских задач алгебры, в том числе, спектральных задач. Основным объектом исследования являются сингулярные мафицы (т.е. прямоугольные матрицы или квадратные матрицы, определитель которых тождественно равен нулю). Рассматриваются также задачи алгебры, приводящие к многопараметрическим задачам, и задачи с нелинейностью общего вида.
Работа состоит из введения, двух частей, содержащих восемь глав, которые имеют сквозную нумерацию, заключения, приложения и списка литературы. В конце работы приводится подробное оглавление.
Введение состоит из четырех параграфов. В параграфе В.1 приводится краткое содержание работы. Параграф В.2 содержит основные используемые обозначения. В параграфе В.З указываются задачи, которые приводят к многопараметрическим спектральным задачам и другим многопараметрическим задачам алгебры, и приводятся ссылки на работы, посвященные методам решения указанных задач. В параграфе В.4 указываются разновидности постановок многопараметрических спектральных задач. В.1. Содержание работы
Первая часть посвящена исследованию свойств многопараметрических матриц.
В Главе I приводятся основные определения, понятия и свойства многопараметрических алгебраических объектов. В параграфе 1.1 приводятся основные понятия, относящиеся к полиномам и рациональным функциям от многих переменных, системам нелинейных алгебраических и рациональных уравнений. В параграфе 1.2 рассматриваются векторные пространства над полем рациональных функций и модули над кольцом полиномов и их базисы, а также пространства со скалярным произведением. В параграфе 1.3 приводятся основные понятия, относящиеся к многопараметрическим полиномиальным и рациональным матрицам. В параграфе 1.4 рассмафиваются резулыантные матрицы, отвечающих однопараметрическим полиномиальным матрицам, которые обобщаются на случай многоиарамегрических полиномиальных матриц. В параграфе 1.5 приводятся определения, относящиеся к понятиям, связанным с суперпозицией линейных пространств: прямым суммам линейных пространств, мультилинейным функциям и тензорным произведениям линейных пространств. Параграф 1.6 посвящен сведению комплексных формулировок к вещественным.
2
В Главе 2 рассматривается "несвязанная" многопараметрическая спектральная задача для полиномиальных матриц. В параграфе 2.1 приводятся основные понятия, относящиеся к спектральным характеристикам многопараметрической полиномиаіьной матрицы: нуль-пространства, полиномиальные решения, конечный спектр, регулярная и сингулярная части спектра, аналитическая и геометрическая кратности точек спектра, собственные векторы, жордановы полурешетки векторов, порождающие собственные и корневые векторы. Устанавливаются некоторые свойства этих спектральных характеристик. В параграфе 2.2 даются определения "бесконечного" и полного спектров многопа-раметрической полиномиальной матрицы и соответствующих им характеристик (кратности точек спектра, жордановы полурешетки векторов, порождающие векторы). В параграфе 2.3 рассматриваются особенности многопарамегрической задачи, когда только один из скалярных параметров является спектральным. В параграфе 2.4 исследуются свойства спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных матриц (в том числе, свойства факторизаций, свойства сингулярного и регулярного спектров, свойства базисов нуль-пространств и порождающих векторов, существование свободных полиномиальных базисов подпространств, понижающие подпространства, блочные спектральные характеристики). В параграфе 2.5 рассматриваются свойства результант-ных матриц, относящиеся к задачам определения ранга полиномиальной матрицы и построения базисов ее образа (линейной оболочки столбцов) и нуль пространства. В параграфе 2.6 рассматриваются линейные многопараметрические спектральные задачи: пучок полиномиальных матриц (линейность по одному параметру), матрица линейная по каждому из параметров и пучок постоянных матриц; сопровождающие пучки полиномиальных матриц, свойства их спектральных характеристик. В параграфе 2.7 рассматриваются "определенные" несвязанные задачи с ограничениями на векторные характеристики, а также сведению комплексной задачи к вещественной.
В Главе 3 рассматривается характеристики и свойства многопараметрических рациональных матриц. В параграфе 3.1 приводятся основные "спектральные" характеристики многопараметрической рациональной матрицы: нуль-пространства, полиномиальные решения, конечные и "бесконечные" особые точки (полюса, нули, точки неопределенности). Параграф 3.2 посвящен полиномиальной "реализации" рациональной матрицы, связанной с ней системной матрицей и их свойствам. В параграфе 3.3 рассматриваются различные виды факторизации рациональной матрицы (базовые, несократимые, минимальные) и исследуются их свойства.
3
В Главе 4 рассматриваются "связанные" многопарамстрические спектральные задачи для полиномиальных матриц. В параграфе 4.1 рассматриваются "слабо связанные" многопараметрические спектральные задачи для совокупностей полиномиальных матриц, связанных общими спектральными параметрами, и спектральные характеристики таких задач. Наибольшее внимание уделяется задаче для пучков постоянных матриц, которая сводится к совокупности обобщенных задач на собственные значения однопараметрических пучков матриц, действующих в тензорном произведении исходных пространств и имеющих общие векторные характеристики. В параграфе 4.2 рассматриваются "строго связанные" и "вполне связанные" многопараметрические спектральные задачи для совокупностей полиномиальных матриц, связанных соответственно общими векторными характеристиками или всеми спектральными характеристиками: векторными и параметрами. Приводятся способы сведения этих задач к "слабо связанным".
Вторая часть посвящена методам решения .многопараметрических задач алгебры.
В Главе 5 рассматриваются методы построения факторизаций полиномиальных матриц (в том числе, ранговых) и рациональных матриц (в том числе, несократимых), а также методы построения базисов образа и ядра полиномиальных матриц, основанные на использовании результантного подхода. В параграфе 5.1 приводятся виды ранговых факторизаций постоянных матриц, известные методы их построения и их свойства. В пара!рафе 5.2 приводятся виды полиномиальных ранговых факторизаций однопараметрических полиномиальных матриц, известные методы их построения и их свойства. В параграфе 5.3 для многопараметрической полиномиальной матрицы рассматриваются обобщения ранговых факторизаций однопараметрической полиномиальной матрицы, в основе которых лежит рекурсивный метод Д\У-д разложения д-парамегрической полиномиальной матрицы. Исследуются его свойства и рассматриваются некоторые его модификации. Он включает использование методов относительной факторизации (ОФ-</) и
факторизации ^-параметрических полиномиальных матриц полного ранга и АВ-</ метода построения несократимых факторизаций ^-параметрических рациональных матриц полного ранга. В параграфах 5.4 и 5.5 описывается основанные на результантом подходе методы вычисления базисов образа и нуль-пространства одно- и многопараметрической полиномиальной матрицы соответственно.
В Главе 6 приводятся прямые методы решения некоторых параметрических задач алгебры, в основе большинства которых лежат методы ранговых факторизаций полиномиальных матриц и результантый подход к построению базисов образа и нуль-пространства полиномиальной матрицы. В параграфах 6.1 и 6.2 приводятся методы ре-
4
шения соответственно однопарамстрических и многопараметрических задач, основанные на методах ранговых факторизаций полиномиальных матриц, а также вспомогательные алгоритмы. В параграфе 6.3 приводятся алгоритмы решения параметрических задач, основанные на результантном подходе. Рассматривается решение комплексных задач в вещественной арифметике.
В Главе 7 рассматриваются итерационные методы решения ’’несвязанных" много-параметрических спектральных задач для полиномиальных матриц. В параграфах 7.1 и 7.2 описываются методы решения частичной проблемы собственных значений соответственно для многопараметрического неоднородного и однородного пучка постоянных матриц (методы Ньютона, Чебышева, Хэлли, касательных гипербол, обратных итераций, градиентные). В параграфе 7.3 некоторые из методов, описанных в предшествующих параграфах, распространяются на МПС-задачи с нелинейной зависимостью элементов матрицы от скалярных параметров (как алгебраической, так и общего вида), а также рассматривается решение комплексных задач в вещественной арифметике.
В Главе 8 рассматриваются итерационные методы решения "слабо связанных" многопараметрических спектральных задач для полиномиальных матриц. В параграфах
8.1 и 8.2 рассматриваются методы решения частичной проблемы собственных значений соответственно для неоднородных и однородных пучков постоянных матриц (методы Ньютона, Чебышева, Хэлли, касательных гипербол, обратных итераций, градиентные). В параграфе 8.3 приводится метод, который может быть использован для МПС-задач с нелинейной зависимостью элементов матриц от скалярных параметров, а также рассматривается решение комплексных задач в вещественной арифметике.
Приложение состоит из трех параграфов. В параграфе П.1 приводятся примеры, иллюстрирующие понятия, введенные в Главах 1 - 4, в том числе, спектральные характеристики и их свойства; в параграфе П.2 - примеры, иллюстрирующие прямые методы факторизации полиномиальных матриц, относительной факторизации скалярного полинома и решения некоторых многопараметрических задач алгебры, описанных в Главах 5, 6; в параграфе П.З -примеры, иллюстрирующие итерационные методы решения слабо связанной МПС-задачи для пучков постоянных матриц, описанные в Главе 8.
В Заключении приводятся основные результаты работы.
В списке литературы приводится библиография работ, посвященных многопараметрическим задачам (включая однопараметрическис) для матриц и линейных операторов (как теоретическим аспектам, так и методам их решения).
5
В.2. Обозначения и сокращения
В работе повсеместно используется тройная нумерация в отдельности для определений, утверждений (теоремы, леммы, утверждения, следствия, свойства), алгоритмов, формул и примеров. При этом первая и вторая цифры соответствуют номеру главы и параграфа; третье число является порядковым номером. В ряде случаев, нумерация имеет дополнительное расширение, в качестве которого используются цифры и буквы. Для алгоритмов расширение используется для нумерации различных модификаций одного и того же метода. При этом расширения могут объединяться. В нумерации формул расширение используется в двух случаях: для удобства ссылок на связанную совокупность формул и для нумерации вариантов формул, относящихся к определению сходных объектов. В обоих случаях при ссылке на связанную совокупность формул или на все варианты формул расширение может опускаться. Используется независимая нумерация сносок.
Ниже приводится перечень используемых в работе обозначений и сокращений, которые за небольшим исключением являются традиционными.
Р - некоторое поле или кольцо
Р” - я-мерное векторное пространство (модуль) над полем (кольцом) Р Рм,<я - пространство (модуль) т*п матриц над полем (кольцом) Р N - множество натуральных чисел Ъ - кольцо целых чисел О - поле рациональных чисел И - поле вещественных чисел С - поле комплексных чисел
С = С ^{оо} - поле комплексных чисел, пополненное бесконечно удаленной точкой К* - вещественное 0-мерное аффинное пространство, вещественное 0-мерное векторное пространство С* - комплексное 0-мерное аффинное (векторное) пространство СП'' - комплексное 0-мерное проективное пространство к - (А:, ,к2кч) - мультииндекс (узел), А/бЫ, /=1,...,0
к\ := “ "факториал" мультииндекса к
|А| := Х/-|А, - порядок мультииндекса к
6
к в(к0,к19к2,...9к )- мультииндекс (узел), к, еЫ, /=0,1,...,0 к\ := п;.0*>! “ "факториал'1 мультииндскса к N := X, <Л ~ П0РЯД°К мультииндскса к
“к = (А, ,А2,..., А?) - мультипарамегр; точка 0-мерного аффинного пространства С4; вектор 0-мсрного пространства С4 к = (А0 :А, :А2 ) - однородный мультипарамегр; точка 0-мерного проективного
пространства СП11; вектор (0+1)-мерного пространства С**' к = (ц,0) - одна из форм представления мультипарамстра X, где цєС*, 0єС</_* (І<А<0)
А = (А,ц) - одна из форм представления мультипараметра к, где АєС, цєС^“’
С(А) - иоле рациональных функций от к (от А.,, к2,..кя)
С[А] - кольцо полиномов от к (от А,, А2,.кч)
СП(А) - поле рациональных функций от к (от А0, А,, к2,кч)
СП[к] - кольцо однородных полиномов от к (от А0, А,, А2,кч)
С[А(ц)] - кольцо полиномов от А с коэффициентами из поля С(ц)
Сп (А) - пространство я-мерных рациональных векторов над нолем С(А)
СП” (А) - пространство я-мерных рациональных векторов над полем СП(А)
С” [А] - модуль я-мерных полиномиальных векторов над кольцом С[А]
СП” [А] - модуль я-мерных полиномиальных векторов над кольцом СП( А)
Стхп (А) - пространство рациональных /я*я матриц над полем С(А)
СП '”*” (А) - пространство рациональных т*п матриц над полем СП( А)
Стхп [А] - модуль полиномиальных т*п матриц над кольцом С[А]
СП тжп [ А ] - модуль полиномиальных т*п матриц над кольцом СП( А) х - вектор (вектор-столбец) х' - вектор-строка
0 - нулевой вектор; нулевой мультииндекс (узел); нулевая точка аффинного простран-
ства (нулевое значение мультипараметра)
0„ - нулевой я-мерный вектор
1 - столбец (мультииндекс), все компоненты которого равны единице;
е$ - столбец 5 единичной матрицы; мультииндекс с единственной отличной от нуля л-ой компонентой, равной единице
7
О - нулевая матрица (нулевой оператор)
Отп - нулевая матрица размеров т*п I- единичная матрица (тождественный оператор)
/„ - единичная матрица порядка п
/у - матрица с единственным ненулевым элементом, равным единице, расположенным в позиции (у)
Л е ртя* _ т*п матрица; линейный оператор, действующий из Р" в Р"1
Аг - матрица, транспонированная к матрице А
А н - матрица, блочно транспонированная к матрице А
А н - матрица, (эмитово) сопряженная к матрице А
Л 1 - матрица, обратная к матрице А
Ар- строка / матрицы А
А- столбец j матрицы А
ДХ) е Р[Х] - полином г(Х) е Р(Х) - рациональная функция У(Х) е Р" [X] - полиномиальный вектор г(Х) е Р" (X) - рациональный вектор /^(Х) е Рт<" [X] - полиномиальная матрица /?(Х) е РЯМ,|(Х) - рациональная матрица
- результантная матрица уровня /, отвечающая </-параметрической полиномиальной ту.п матрице Я(Х) степени £
У(Х) - некоторое подпространство рациональных векторов, зависящих от параметра X ЩХ) - некоторое подпространство рациональных векторов, зависящих ог мультипараметра X
М - некоторое подпространство линейного пространства
Мд - дополнение подпросгранства М до всего пространства
М' - ортогональное дополнение подпространства Мл о всего пространства
М © А/- прямая сумма пространств М и N
М ® А/- тензорное произведение пространств М и N
АМ - образ подпространства М при линейном преобразовании А
8
Am - сужение линейного преобразования А на подпространство М (оператор, индуцированный на подпространство М)
Ем - базисная матрица, столбцы которой образуют базис подпространства М bj - символ Кронекера (бу = 1, если г=у, by = 0, если fry)
col { Xi } к1ш1 s col ( */, Xk) = [ xi... Xk ]1 e Р*"ы - вектор-столбец, образованный из компонентXi е Р, Н9...9к со! { х/ }к1я, = col (дг/7, Xk1) = [ Xi .... Хк ]т е р(*_Ы)хя - блочный вектор-столбец,
образованн ый из строк х,1, х, е РЛ ук с°1 {•*■/} ы = col (*/, = [х/.... Xk ]н € Рл - блочный вектор-столбец, образованный
из столбцовд:, е Ря*, п = /wl
col {X,} J., в col (XhXk) = [ Xi... A* ]H e P m*n - блочный столбец (блочно-столбцовая
матрица), образованный из блоков (матриц) X, е ?т,'п , /=/,...,к\ т =
diag { a, } = diag ( а/,д*) е _ диагональная матрица, образованная из
диагональных элементов а, е Р, /=/,...,к diag { Aj }klml s diag (Aj>..., Ak) e Pm*m - блочно диагоназьная матрица, образованная из
блоков (матриц) Aj е Рт,хп>, i=lt...Jc; т = 2^1я1т<»и = diag (А ) := diag { a,/ }f=1 = diag (а„9аи) е Р*х* - диагональная матрица, образованная из диагональных элементов матрицы А е Рк <к deg а - степень полиномиального объекта а (полинома, полиномиального вектора, полиномиальной матрицы) det А = \а I - определитель матрицы (оператора) А dim М - размерность подпространства (пространства) М
im А == span {А ) = {уе Ри | у = Ах, х е Рл} - линейная оболочка столбцов т*п матрицы А (образ оператора А, действующего из Рл в Р ”) ker/1 = Nc[/J] = (те Р" |Лх = 0 } - правое (столбцовое) нуль-пространство т*п матрицы А (ядро оператора А, действующего из Р" в Р m)
Nr[i4] = ЩЛ и ] s ker Ali - левое (строчное) нуль-пространство матрицы А grad ф = ф' = Уф - градиент функционала ф
9
matr { Qy }", - т*я матрица с элементами aip *-1,...,т;у=1,...,я
matr { AtJ } ”, njA - блочная m*n матрица (блочный линейный оператор) с блоками Ау,
/=1,...,т;у=1,...,я rank А - ранг матрицы (оператора) А
row { х, } ы s row (xi, ..., Хк) = [ xi... Хк ] е р|х(4"Ы) - вектор-строка, образованная из
компонентX/ е Р, к row {jtj} кя1 = row (хi,..., Хк) = [ xi... Хк ] € рик(4-Ы) _ блочная вектор-строка, образованная из столбцовх, е Ря, i=l,...,k row { х/ } к1ж, = row (Xi1,...,Хк1) = [х/ ... дг*7 ] g Р1*" - блочная вектор-строка, образованная из строку7 ,дг/ 6 Р”', /=/,...9к; п = row {X,} \=l = row (X7,..., Хк) = [ Xi... Л* ] € Р"*" - блочная строка (блочно-строчная матрица), образованная из блоков (матриц) X, е Рт*п', к; п = span {х,} кж, = span (х/, ) - линейная оболочка векторов*, g Р”, /=/,..., к
tr A s ап - след матрицы А
[ Х\... Хк ]f з Xi - блочная компонента i блочного столбца
[ Х\... Хк ]/ — А| — блочная компонента / блочной строки ^[/] = {X | fit) = 0) -конечные нули полинома/X)
£[/*] - { ^ I /" W= 0} -нули однородного полинома /" (X)
Ш = { X | ЛХ) = 0,А) -конечные нули нелинейной системыJ\}.) = 0 Qf* ]s { ^ I /х (k) = 0 } -нули нелинейной системы/1 (X) = 0 Уг] - конечные нули рациональной функции г(Х)
(0С[г] - конечные полюсы рациональной функции г(Х)
1сИ - конечные точки неопределенности рациональной функции г(Х)
£[г" ] - нули рациональной функции г* (X)
о)[гя] - полюсы рациональной функции г* (X)
i[r*]- точки неопределенности рациональной функции г* (X)
Сс[г] - конечные нули рационального вектора г(Х)
сос[г] - конечные полюсы рационального вектора г(Х)
iс(г] - конечные точки неопределенности рационального вектора г(Х)
10
Ç[r" ] - нули рационального вектора r" (fc)
о)[г * ] - полюсы рационального вектора г" (к)
i[r" ] - точки неопределенности рационального вектора г* (к)
p[F] - резольвентное множество рег улярной матрицы F(k)
o[F] - спектр матрицы F(k)
oc[F] - конечная часть спектра матрицы F(а.)
0.т[F* ] - бесконечно удаленная часть спектра матрицы Fn(k)
Ост 1Л - конечная часть регулярного спектра матрицы F(k) o^lf] - конечная часть сингулярного спектра матрицы F(k) ü)[Æ] - полюса матрицы RÇk)
(1>С[Л] - конечные полюса матрицы R(k) втД/?n J - бесконечные полюса матрицы Rn(k)
C[R] - нули матрицы R(k)
Çc[R] - конечные нули матрицы R(k)
Ç/[/?* ] - бесконечные нули матрицы R*(к)
i[Æ] - точки неопределенности матрицы /?(>.)
icfR] - конечные точки неопределенности матрицы R(k)
1.Л[ЛП ) - бесконечные точки неопределенности матрицы R “ ( к)
(х,у) - скалярное произведение векторов дг и у
IIхII / = 1Ы12 = (х'х)'2 -евклидова("вторая") норма вектора*
Il ^ II2 “ (^ео|М ) ~ ’’вторая" норма мультипараметра к
МПС - многопараметрическая спектральная (задача)
ПОД - наибольший общий дели гель (полиномов)
НОК - наименьшее общее кратное (полиномов)
ЛНОД (ИНОД) - левый (правый) наибольший общий делитель (полиномиальных матриц)
JÏHOK (ЛНОК) - левое (правое) наименьшее общее кратное (полиномиальных матриц) MFD - matrix fraction description (представление рациональной матрицы в виде произведения полиномиальной матрицы и обратной к полиномиальной матрице) PFD - polynomial fraction description (представление рациональной матрицы в виде суммы MFD и полиномиальной матрицы)
11
В.З. Происхождение многопараметрических задач
Приведем примеры происхождения многопараметрических спектральных задач для матриц, а также некоторые ссылки на работы, посвященные теоретическим аспектам и методам решения соответствующих задач.
В.З. 1. Задачи классического анализа
Многопараметрическая проблема собственных значений имеет свое происхождение в классическом анализе. Такие задачи, в частности, возникают в различных краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичных задачам Штурма-Лиувилля. Дифференциальное уравнение в частных производных, такое как приведенное волновое уравнение У2ср + Хф = 0, определяющее вибрацию однородной эллиптической мембраны, при разделении переменных и при введении эллиптических координат сводится к двухпараметрическому уравнению Матье:
^4 + (X - 2Ч сох2у) у = О, (В.З. I)
(IV
^4 -(Х-2^сЛ2у)7 = 0. (В.3.2)
(]и
Имеющие физическую значимость решения у(у) являются периодическими с периодом л и удовлетворяют периодическим граничным условиям:
>(0) ->’(я) = 0,/(0)-у (л) = 0. (В.3.3)
Общая система Штурма-Лиувилля имеет вид:
£(у)= + (Му) - ^))у=о,
ау ау
+ а 2у(Ь) + а,у'(а) + а4 оцу’(Ь) = 0,
Ма) + РгЛ*) + Р\У(а) + Р Лу\Ь) = 0.
Для произвольного вещественного параметра q в (В.3.1) получаем систему Шгурма-Лиувилля:
Ц(У) = 0, ГДе р = 1 ,/= 1, £(У) = 2Ц СО*2 V, и периодическими условиями (В.3.3). Согласно классической теории Шгурма-Лиувилля существует последовательность собственных значений Ц</), /-0,1,2,... таких, что
Х0(й)<\(я)^ М?)< К(я)* К(Я)<-"
с соответствующими собственными функциями фц/(у). Причем ф0(/(у) не имеет нулей в |0,я], тогда как ф2/+!</ (у) и Ф2/*2,д(у)> имеет, каждая, точно 2/+2 нуля в [0,л).
12
Обобщенное уравнение Матье:
У + (X + 2 X, сов х + 2\2со$ 2х)у = О
является фехпараметрической задачей на собственные значения. Существование решения доказано для обобщения этой задачи, которая формулируется следующим образом. Имеется л-параметрическое дифференциальное уравнение
один и тот же знак для .V/ є (я,,/>,). Требуется определить "собственную группу" (X, #..., Хп) такую, что существует п решений уравнения (В.3.4), например, у,, ..., уп> которые
удовлетворяют граничным условиям (В.3.5). Теоретические вопросы для подобных многопараметрических задач рассматриваются также в [90, 159, 166].
Другая двухпараметрическая задача возникает при решении уравнения Лапласа У2(р = 0 в эллиптических координатах. Разделение переменных приводит к уравнению Ламе:
где у(.у) =2 (.V - с, )(.у - е2 )(.у - еД е] < е2 < еу, а (Х,р) - собственная пара. Краевая задача, связанная с уравнением Ламе, имеет следующий вид. Пусть (я,,6,) с (епе2) и (я2,/>2) с (е2 ,е2). Требуется определить такие (Х,р), для которых в (и1,Ь1) существуют решения у,, обращающиеся в нуль в точках а, и Ь,, /=1,2.
имеет важный аспект, отсутствующий в задаче Магье (В.3.1), (В.3.3), который приводит к существенным последствиям с точки зрения численных методов решения задачи. В
1 Численные методы ее решения рассматриваются в [151], аналитические подходы к решению спеииаль ных примеров см. в [78].
~ {р(^)~-) + (>-і/ІО) +... + = о
ах ш
(В-3.4)
с п парами іраничньїх условий:
СиУ,(<*.) + с2,у,(а,) = 0, <1\,Уі(Ьі) + (І2іУ,(Ьі) = 0у 1
(В.3.5)
где я, <6, <х а2 < Ь2 < ... < я„< Ьп1 а определитель матрицы таи* {$$/) }" , имеет
— + (Ху + р)у = 0,
(В.3.6)
Следующая двухпараметрическая трехточечная краевая задача1
+ (3. + н/(у)+£(?))>'= 0,
Я.У
у(а)=у\Ь)=у(с) = 0
(В.3.7)
13
задаче (В.3.1), (В.3.3) при любом выборе параметра д существуют соответствующие числа X, которые дают решения. Таким образом, методы вычисления собственных пар (Х,ц) и соответствующим им собственных функций могут быть основаны на стандартных численных методах вычисления обычных собственных значений. В частности, дискретизация задачи при фиксированном значении параметра приводит к стандартной проблеме собственных значений для матрицы: Ах = Хд:. В задаче же (В.3.7), при некоторых условиях на функцию/, существует несчетное множество пар (Х,р). Следовательно, только для некоторых значений р существует вещественное значение X, которые и определяют решение задачи (В.3.7). Так что эта задача не сводится просто к обычной проблеме собственных значений. Численное решение задачи, основанное на замене дифференциального уравнения конечно-разностной аппроксимацией (вторая производная заменяется разностным отношением второго порядка) с выбором шага И = (с-а)!п = (Ь-а)/к приводит к системе уравнений
у г-1+(2 - Л2 £(4>)) у, + Уг* !+(ХЛ2 у г + Ц^\Д.Уг)+ £(.',)) у г = о, г= 1. . и-1,
Уо=Ук=Уп = 0.
В матричной формулировке имеем
Лх = X В)Х+ ц В2х, (В.3.8)
гдед:= [у, ... 0 ук+1 ... У"]1. МагрицаЛ является трехдиагональной, а В,, В2 -
диагональные матрицы. Можно ожидать, что задача (В.3.8) имеет континуум вещественных решений, так как неизвестных имеется на одно больше, чем уравнений (при условии включения уравнения нормировки: ||дг|| = 1). Однако, в действительности, при
этом игнорируются вопросы существования и кратности вещественных решений систем алгебраических уравнений.
Теоретические аспекты многопараметрических спектральных задач (в основном, в операторной постановке) рассматривались в работах [3,4,6, 14-21,23, 79, 82, 83,85, 88, 91,93-96,98, 100, 101, 113-117, 122-124,130, 134, 141, 147, 148, 167, 192, 193, 203,215, 218, 221, 222, 231, 235-237]. К многопараметрическим спекгральным задачам сводятся также задачи для многомерных матриц [50].
В [151] представлен метод ирисгрелки для двухпараметрической трех точечной граничной задачи. В [168] использовалась соответствующая начально-граничная задача для дифференциальных уравнений в частных производных. В [80, 92] приводится итерационный метод, основанный ни использовании фазового метода РгиГег’а, сводящий исходную задачу к обычной (однопараметрической) на каждом шаге. Матричные мето-
14
ды были предложены в работах [1,86, 87, 89, 104-110, 112, 118, 169, 171, 172, 223, 224, 228,229]
В.3.2. Полиномиальная проблема собственных значений
Следующий пример [51] является иллюстрацией еще одного происхождения двухпараметрической матричной задачи на собственные значения, а также позволяет
продемонстрировать тот факт, что может оказаться, что (В.3.8) будет иметь только ко-
нечное число вещественных решений. Обобщенная проблема собственных значений для пучка комплексных матриц
Ах = ХВх (В.3.9)
модифицируется їдким образом, чтобы получить вещественную задачу. Используя представления:
А ~ Ан + / Л,, Я = Вк + іВ] Д = X, + іХ2,х = и +/>, где і2 = -1, а все остальные объекты являются вещественными, задача (В.3.9) записывается в виде эквивалентной ей вещественной двухпараметрической задачи
Аг = 1\ Діг+Х2Я2г, (В.3.10)
где
Ч -4*1 Гян -Дії Г Я, -АІ и
А = К і , В\ = К і к. II 1 А к , 1 -
Л А . А ч. V
Другим примером происхождения двухпараметрических матричных задач на собственные значения является подход к решению задач на собственные значения для квадратичной полиномиальной матрицы, предложенный в работе [5]. Квадратичная проблема собственных значений дія полиномиальной матрицы
(Х2А2 + М і +Ао)х = 0 (В.3.11)
модифицируется следующим образом. Выполняется замена
ц = X.2, (В.3.12)
которая преобразует (В.3.11) к виду
(рЛг +ХЛ| + Ло)* = 0, (В.3.13)
а сама связь параметров (В.3.12) записывается в виде существования нетривиального решения системі»! второго порядка
Х И п 2 = 0.
1 X
Таким образом, исходная задача сведена к двух параметри ческой связанной задаче вида
15
(А,о + Х,Л,і + Х2Аі2)Хі - 0, /-1,2.
(В.3.14)
с некоторыми условиями нормировки векторов д:,.
Аналогичным образом проблема собственных значений для полиномиальной матрицы степени 5 х = ® с П0М°ЩЬЮ замены X. V,у=1,сводится к .V-
параметрической проблеме вида
В.3.3. Обратные задачи на собственные значения
В виде многопараметрических спектральных задач могут быть сформулированы многие обратные задачи на собственные значения матрицы (Условия разрешимости и численные методы решения обратных задач представлены, например, в работах [84, 119, 120, 129, 152]). В частности, аддитивная и мультипликативная задачи на собственные значения матрицы формулируются следующим образом: для матрицы А порядка п требуется найти такую диагональную матрицу Л = (Хі,...,ХД чтобы матрица В вида
Существуют обратные задачи на собственные значения и в других постановках. Например [121], для заданных матриц Л, В, С порядка п найти такую диагональную матрицу Л = diag (Хь ..., X,,), чтобы двухпараметрическая задача
имела заданный набор точек (р„у,), /=1 ,...,л, на ее собственных кривых. Это приводит к следующей многопараметрической задаче:
(Л+Е=.ЛА)*=0>
В = А + Л, В = АА, В = \А,
(В.3.15а)
(В.3.15Ь)
(В.3.15С)
соответственно, имела заданный набор собственных значений р/, /=1,...,«:
Д*, = рЛ,/=1,...,и.
Задачи (В.3.15), (В.3.16) могут быть записаны соответственно в виде
(В.3.16)
((А - ц,/„) + £'н V.» )■*'= /=1 п'
+ ХІ.іМ7« )*' ~ °> ,= 1>• ■
(ЛЛЛ + цЯ + уС)* = 0,
16
((н,в + ч,С) + Х;ж|£І.ЛАвД/* )хі=о,м....л
Еще один вид многопарамстричсской задачи возникает в каноническом корреляционном анализе [232]: для заданной симметричной блочной матрицы А = пШг {Лу}9 где блоки Лу имеют размеры я,хяу> надо найти диагональную матрицу и блочный вектор
Л = <Каё { 1,1 п ):,,* = со1 где х, - нормированные векторы (||д:4||=1) размерности я„ т, удовлетворяющие
уравнению
А х = Л х.
В.3.4. Многомерные модели управляемых процессов
Многомерные (яО) модели управляемых процессов приводят к многогіарамстри-ческим рациональным матрицам. Например, дискретная яО модель (см., например, [77, 153,172-175]) описывается уравнениями
£*иі = Ах, + + X Л*х, + £*,4... +
+ Во", + Ей В'“і-', + I
|£/<**ЛГ
=Сх9+Ощ,
Здесь / = /д,) - мультииндекс; вектора состояний д:, входа и и выхода у имеют
размерности я, т и р соответственно, матрицы £, Аг АЛ и А,^ имеют размеры гхя, матрицы Вг В1к и Я, - размеры гх/я, а О и С - размеры/?хя и /?хя? соответственно.
В частности, сингулярная дискретная 20 модель Рогпаззіпі-МагсЬеяіпі [102, 131, 149], описывается уравнениями
= 4х,,и + А2х, п1 + В,и,Л) + В2и, ,+|.
Л =С\+£Ч;,
Введение операторов г,,г2: х,И(ІІ = ?,ггдг,,, к„|у = 2,и|(, и,/(| = г, иу, приводит к соотношению
^ = [С(2, г2г, Л,-22 Л) 1 (2Г| Я, + 22 В2)+0]и,г
Таким образом, свойства управляемого процесса определяются двух параметри чес кой сиш'улярной рациональной рхт матрицей
/?(2,,г2) = С(г| г2£- 2, Л,-г2 А2)~'(2, #, + 22 Д2)+0.
17
Различные виды nD моделей (положительные, нормальные, с запаздываниями) рассматриваются в работах [176,177, 179,180]; некоторым свойствам многопараметрических полиномиальных и рациональных матриц посвящены работы [178,181].
В.3.5. Параметризированные задачи
Параметризированные нелинейные уравнения F(x, X) = 0, где F - нелинейное отображение из R" в R", с нелинейной зависимостью от векторного параметра д; (переменная состояний) и, в общем случае, нелинейной зависимостью от скалярных параметров л, один из которых является параметром бифуркации, а остальные - образуют вектор параметров управления, возникают в физических системах кратного равновесия с некоторым числом управляющих параметров. В работе [227] приводятся примеры задач такого типа (задачи течения жидкости, задачи теории упругости, биологические модели и модели химических реакторов, теория термального воспламенения), а также обсуждаются вычислительные аспекты решения таких задач, приводится классификация диаграмм бифуркации для случая одного парамегра и их обобщения на случай большего числа параметров. При естественных условиях решения (л:, X) задачи образуют дифференцируемые многообразия в произведении пространств состояний и параметров, размерность которых совпадает с размерностью параметров. В большинстве приложений интерес концентрируется не столько на вычислении каких-либо решений, а на определении специальных особенностей (свойств) многообразия решений. В частности, если рассматриваемое уравнение определяет задачу равновесия, то можно определять диаграммы бифуркации или 1раницы областей устойчивости (см., например, [214]). Численный анализ параметризированньтх динамических систем вида *(/) =/ (л;, Х\ и соответствующий программный пакет рассматриваются, например, в работе [140] (см., также [49]).
Большие колебательные системы, большие системы управления, а также другие задачи часто зависят от физических и геометрических параметров [230]. Это приводит, например, к следующей проблеме собственных значений
А(Р) *(Р) = Мр) В(р) х(р).
Здесь А{р), В(р) вещественные пхп матрицы, элементы которых аналитически зависят от N параметров р = (рг ..., ры). Требуется определить вещественнозначные "собственные значения" Ц/7) и отвечающие им "собственные векторы" х(р). Параметризированные задачи на собственные значения вида
A(yi)x = X B(\i)x, А(К, v, р)л: = ОД, v е С, р е С"1,
18
и методы их решения рассматриваются в работах [210-212].
Динамическая система с двумя различными временными запаздываниями, описываемая уравнением
*(/) = А *(/) + В} х(1- т]) + В2 *(/- г2), представлением решения в виде х(/) = ^ сводится к спектральной задаче для матрицы XI - А - #| е’Хг‘ - В2 е~кТ:. Являющаяся точной для X = /со подстановка Рикасиуса
е~и> =------- приводит к кубической (относительно X) спектральной задаче
1 + А/,
К +ХЛ,(/,,/2)+ X2 Л2(/,,/2)+ Х} Л3(/,,/2)]л: = 0,
где
А ~ — ^1 + ^2)» 4 (»^2) ~ (*1 + *2) ^ ~ (*2 —^|) — (^1 ”^2 ) ^2»
■^2 (*^2) _ ( ^1 "*’^2)^” ^1^2 ^ ^2 (^1 ^2)’ ^З^Р^) ~ М2
Задача2 состоит в определении таких значений параметров /, и /2, при которых существуют чисто мнимые собственные значения X = ±/со.
Примером параметризированной задачи является исследование демпфированных колебательных систем [161], описываемых полиномиальной матрицей
ЯА) = Х2А + ХеВ + С,
где /1, Ву С - положительно определенные матрицы, а £ - параметр демпфирования. Когда е = 0, все собственные значения матрицы Р(К) являются чисто мнимыми и образуют сопряженные пары. Когда £ является достаточно большим, все собственные значения матрицы /'’(А) являются вещественными и неотрицательными. Особый интерес представляют те значения параметра е, при которых полиномиальная матрица имеет кратные собственные значения, в том числе, точки ветвления, в которых X = А(е) оказывается не аналитической. Рассматриваемая задача имеет также отношение к теории возмущений (см., например [74,183,184]).
Примером нелинейной двух параметрической задачей является также следующая задача [97,99]
-сИу((Vыр2Ук)+(<у(х)-Ы'(х)) |Уи|'”2Уи = ц |Ун|'"2Уи,
где исследуются свойства, гак называемой, главной собственной кривой ц = р(А), которая характеризуется тем свойством, что для ее точек рассматриваемая задача имеет положительное решение.
19
В.3.7. Параметрические задачи алгебры
Решение некоторых из указанных выше задач приводит к решению таких классических задач алгебры, как факторизация полиномов, вычисление их ПОД, решение полиномиальных систем, вычисление ранга и базиса нуль-пространства полиномиальной матрицы. Большинство параметрических задач алгебры решаются средствами компьютерной алгебры [2,9,13,22] с использованием таких систем как Maple, Mathematica, Reduce и другие (см., например, [166, 234]). Методы решение подобных задач, основанные, в частности, на использовании обобщений результантов и дискриминантов, базисов Грсбнсра и метода исключения, описаны в работах [8, 125-128, 132, 136, 137-139, 142, 143, 146, 154-158, 160, 164, 186-191, 198, 199,201,202, 205-208, 209,219,220,238]. В последнее время развиваются также комбинированные символьно-численные методы (см., например, [111,144,145,200,225,226]).
В.4. Разновидности постановки МПС-задач
Не претендуя на универсальность, приведем классификацию МПС-задач, обращая основное внимание на матричные постановки задач и на полиномиальную (в том числе, линейную) и рациональную зависимость от параметров.
В.4.1. Несвязанные МПС-задачи.
В общей (нелинейной) постановке несвязанная МПС-задача определяется векторным уравнением
F(X, Д2 Х,;дг) = 0, (В.4.1)
где X, е Р,/=1,х € Р"\{0}, a F: Рч х Р" -»Pffl;^«,w6N.B случае линейной зависимости Fot вектора д: получаем матричную формулировку несвязанной МПС-задачи
F(X„X2,... Д,)* = 0, (В.4.2)!
где F(X, Д2,...Д^) - тхп матрица, элементы которой являются функциями скалярных
параметров Х; е Р, /=1,Наиболее важным являются случаи полиномиальной FeP'"*''[X,Д2,...ДД и рациональной FeP/4xrt(X,,Х2,...,ХД зависимости элементов
матрицы F(X, Д2,...Д). В случае линейной зависимости от скалярных параметров X, е
Р,7=1,..,4, будем использовать следующий частный вид уравнения (В.4.2)
(B{i+XiB]+...+XqB(/)x = 0, (ВАЗ)
2 Постановка задачи получена от Wagner N. (Inst. Angew. Experim. Mech., Univ. Stuttgart)
20
где В] е ?т*п Д=0,1,..,?.
Несвязанная задача может рассматриваться вместе с некоторыми ограничениями на векторх: gl(x) = 0, /=1,....р, включающими условие отличия д: от нулевого вектора.
8.4.2. Связанные МПС-задачи.
Связанные МПС-задачи представляют собой совокупности приведенных выше МПС-задач, имеющих общие скалярные и/или векторные параметры.
В нелинейной постановке слабо связанная (скалярно связанная) МПС-задача определяется имеющей общие скалярные параметры системой векторных уравнений
Ж X, , Х2Хч; *,) = 0, /=1(В.4.4)
где X, е х, € Р"' \{0}, а Р'' х Ри‘ -> ?т>; дг, л„ т, е 14, /=1 Наиболее важ-
ным является случай равенства числа векторных уравнений числу скалярных параметров: р = ц. В случае линейной зависимости Г, от вектора хь /= получаем матричную формулировку слабо связанной М11С-задачи
Х,)дг/ = 0, «=!,../?, (В.4.5)
где /*ХХ1,Х2,...,Х ) - /П/хн/ матрицы, элементы которых являются функциями скалярных параметров X, е Р,7=1,..,^. Как и в случае несвязанных задач, наиболее важным являются случаи полиномиальной и рациональной зависимости элементов матриц
/*ХХ,Д2,...Д^). В случае линейной зависимости от скалярных параметров Х7 е Р,
у=1,..,<7, будем использовать следующий частный вид уравнений (В.4.5)
(В'0+Х}В,}+...+ХчВ«,)Х1 = 0, (В.4.6)
где Ву е ?т>хп‘ ,уИ),1,
В нелинейной постановке сильно связанная (векторно-связанная) МПС-задача определяется имеющей общий векторный параметр системой векторных уравнений
^(Х,;*) = 0,/=1,.(В.4.7) гдеХ* е?,х е Р/,\{0},а/%: Рх Р" ; у, я, т{ е 14,/=1,.
В случае линейной зависимости от вектора х получаем матричную формулировку сильно связанной МПС-задачи
/г,(Х,)д: = 0, /=1,(В.4.8) где Р£Х\) - т,хп матрица, элементы которой являются функциями скалярного параметра X, е Р, /=1,...,<7. Как и в случае несвязанных задач, наиболее важным являются случаи полиномиальной и рациональной зависимости элементов матриц Р',(Х\). В случае линей-
21
ной зависимости от скалярных параметров XI е Р, /=1,.будем использовать следующий частный вид уравнений (В.4.8)
(До+АД|)д: = О, /=1(В.4.9)
где В у е Ртх” ,у=0,1;/=1,.. Я
В нелинейной постановке вполне связанная (скалярно- и векторно-связанная) МПС-задача определяется имеющей общие как скалярные, так и векторный параметры системой векторных уравнений
Д(Х,Д2,...Д9;д:) = 0,/=1,.(В.4.10)
где \ е Р,/=1,.х е Р"\{0}, а Д: Р" х Р" —► Рт'; </, п, т, е Ы, /=1,.Наиболее важным является случай равенства числа векторных уравнений числу скалярных параметров: р-ц.
В случае линейной зависимости F^ от вектора х, /=1получаем матричную формулировку вполне связанной МПС-задачи
Д{Х,Д2 Х^)д: = 0,/=1 (В.4.11)
где ДД, Д2,...Д?) - т,хп матрицы, элементы которых являются функциями скалярных
параметров Xj е Р,у=1,...,^. Как и в случае несвязанных задач, наиболее важным являются случаи полиномиальной и рациональной зависимости элементов матриц ДД,Д2,...Д^). В случае линейной зависимости от скалярных параметров е Р,
у=1,будем использовать следующий частный вид уравнений (В.4.11)
(До+^Д|1+-*+^Д(? )•*“ 0, /=1,.(В.4.12) гдеВу е Р"*",/=0,1,/=1
Б.4.3. Сведение связанных МПС-задач к несвязанной.
С форм&тьной точки зрения любая связанная МПС-задача для матриц может быть сведена к несвязанной МПС-задачс. Действительно, использование блочных объектов д: := [*, ... F:= с!1а^ {/%..., /у,}, В} := diag {В\р ..., /=0,1,(В.4.12)
где* € Р*; /% Яу е Рй,хя,у=1,..,^ /я := , и := , позволяет свести системы
(В.4.5) и (В.4.6), определяющие слабо связанные МПС-задачи, к уравнениям вида (В.4.2) и (ВАЗ), соответственно, которые определяют несвязанные МПС-задачи. Следует, однако, отметить, что в действительности в отличие от стандартной постановки несвязанной МПС-задачи вместо условия х * 0 должны быть выполнены более строгие условия исходной задачи: х1 ф 0, /=1,.
22
Аналогично, использование блочных объектов
Л’:« ... Ря]\Во := [5,о ... В4о]в,В1[О ... Ви... 0]в,Н,...^ (В.4.13)
где В/ 6 Рт*л, /=1,...,<у, т := ^,/и,, позволяет свести определяющие сильно связанные МПС-задачи системы (В.4.8) и (В.4.9) к уравнениям вида (В.4.2) и (В.4.3), соответственно, которые определяют несвязанные МПС-задачи. В данном случае получаем стандартные постановки несвязанных МПС-задач.
Аналогично, использование блочных объектов
... /у", В; :==[#,, ... ЗДМ!,...,?, (ВАМ)
где /% В) е Ряхя, /=0,1,...,<7, т = 2^ ,т, > позволяет свести определяющие вполне связанные МПС-задачи системы (В.4.11) и (В.4.12) к уравнениям вида (В.4.2) и (В.4.3), соответственно, которые определяют несвязанные МПС-задачи. В данном случае также получаем стандартные постановки несвязанных МПС-задач.
Способы сведения сильно и вполне связанных МПС-задач к слабо связанной МПС-задаче приводятся в Главе 4.
В.4.4. Классификация МПС-задач.
В работах [130, 167] предлагается следующая классификация в случае несвязанной задачи (В.4.3). Вводится функционал фдД) := (Ех9х) = (В0х,х) *’■*)’ и
для фиксированного вектора х определяегся множество Ях = {X |ф^ (X) = 0}, называемое "гиперплоскостью Релея". Их объединение Я - иЯх называется "значимой областью"
("уа1ие-с!отат") матрицы Г. Аналогично вводятся выпуклые множества Я* = |ф (>.)>0},Я- = и^|ф <»так’ что^иД+иД. = Я*. Если оба множества
хеК' «К*
Я+ и Я являются неограниченными, то задача называется гиперболической. Если одно из множеств является пустым, а второе - неограниченным, то задача называется параболической; если же второе множество является ограниченным и не пустым, то задача называется эллиптической.
23
ЧАСТЬ 1. СВОЙСТВА МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ.
Исследуются характеристики многопараметрических полиномиальных и рациональных объектов (скалярных, векторных, матричных) и их свойства, в том числе спектральные характеристики многоиараметрических полиномиальных матриц и особые точки многопарамстрических рациональных матриц.
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
Приводятся основные определения и понятия, относящиеся к миогопараметриче-ским полиномам, рациональным функциям, полиномиальным и рациональным векторам и матрицам, а также сведения, относящиеся к прямой сумме и тензорному произведению линейных пространств и действующим в них линейным операторам. Даются обобщения известных видов результантных матриц, отвечающих однопарамегрическим полиномиальным матрицам, на многопараметрический случай [70]. Рассматривается сведение комплексных формулировок к вещественным. Иллюстрация рассматриваемых понятий и характеристик приводится в Примерах 1.1.1 - 1.1.7 Приложения.
1.1. Полиномы и рациональные функции от многих переменных. Системы нелинейных алгебраических и рациональных уравнений.
Приводятся основные понятия, относящиеся к алгебраическим полиномам и рациональным функциям от нескольких переменных, и их свойства. Рассматриваются вопросы, связанные с решениями нелинейных алгебраических и рациональных уравнений и систем таких уравнений, в том числе, с понятиями нулей, полюсов и особых точек неопределенности. При этом рассматриваются случаи равноправных скалярных параметров, как аффинного пространства, гак и проективног о пространства (для исследования точек с конечными и бесконечно удаленными координатами) и неравноправных скалярных параметров. Данный подход реализуется также и в последующих параграфах и главах.
1.1.1. Мультипараметры, формы представления.
А. Случай равноправных скалярных параметров аффинного пространства
Объектом исследования являются полиномиальные и рациональные векторы и матрицы, компоненты и элементы которых являются соответственно скалярными поли-
24
номами и рациональными функциями от нескольких переменных X,, Х2,нал полем комплексных чисел С. В дальнейшем эти переменные будем называть параметрами и для краткости записывать их в виде мультипараметра X = (X, ,Х2,...,Х^). Таким образом, фиксированный набор значений параметров X',, Х*2,X* может рассматриваться как точка X - (X* ,Х'2,...,Х* ) ({-мерного аффинного пространства С*. Точку, все координаты которой представлены сопряженными комплексными числами X* ,/= 1,будем обозначать X* = (Х],^*2,...,Х^). Соответственно будем использовать обозначение мультипараметра X = (Х,,Х2,...,ХД подразумевая при этом, что Х| ^ =Х*. Мультипа-
раметр X будем называть сопряженным мультипараметром.
В. Случай равноправных скалярных параметров проективного пространства Рассмотрение точек с бесконечными координатами достигается (см., например, [71]) переходом от (/-мерного аффинного пространства С7 к г/-мерному проективному пространству СП**, точки которого определяются набором из (</+1)-й однородных, одновременно не равных нулю, координат: X = (Х0 :Х, :Х2 ). Координаты точки X* =
(Х*,,Х*2,...,Х*^) с конечными координатами связаны с однородными координатами соответствующей ей точки X* =(Х0:Х*, :Х2:...:Х9) е СП</ следующей зависимостью: X “ Ху/Х0,./-1,Две точки X1, X2 е СП7 считаются равными тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: X1, = аХ2 ,/=0,1,а Ф 0. В частности, все точки
проективного пространства СП*, принадлежащие исходному аффинному пространству С'', представимы в виде X* = (1:X', :Х*2 ). Точки с бесконечными (по отношению к
исходному аффинному пространству) координатами имеют вид X* = (0:Х* :Х#2 ),
где |Х* | + |Х*2| + ... + |Х^| ^0.
С Случай неравноправных скалярных параметров аффинного пространства В ряде случаев один из параметров (ведущий, спектральный, бифуркационный) будем обозначать X, а совокупность остальных - объединять в мул ьти парам стр р = (Х2,...,Х(/), так что X = (Х,р), а X* = (X ,р). Рассмотрение точек с бесконечным значением только параметра X осуществляется заменой X = к 1 и переходом к мул ьти параметру к = (к,р), так что свойства точки X* = (<*>,р*) исследуются в точке к* = (0,ц ).
25
В более общем случае мультипараметр X = (X, ) может представляться в
виде совокупности двух мультипараметров X = (ц,0), где т] = (т|, цк), 0 =
(0|,...,0,н ), причем объединение совокупностей параметров г|,, ..., г|А., 0,, 0)/ А
совпадает с совокупностью параметров X,, Х2, Хг/. Возможно рассмотрение смешанных типов мул ьти параметров вида (й,0) и (ц,0 ).
В дальнейшем, для выделения рассмотренных выше случаев представления мультипараметров будут применяться использованные здесь обозначения А, В и С. В частых случаях, при рассмотрении двух- и трсхпарамстрических объектов будем также рассматривать представления мультипарамстра в вида X = (Х,ц) и X = (Х,р,у).
1.1.2. Мультииндексы, полурешетки мультииндексов.
Помимо понятия мультипараметра X = (Х,Д2,...Д ), объединяющего упорядоченный набор ц скалярных параметров ,у=1,будем использовать и понятие муль-типдекса А = (А,,А2......кч), объединяющего упорядоченный набор q скалярных индек-
сов кп у-1 которые являются целыми неотрицательными числами. Если эквивалентом мультипараметра является точка (/-мерного аффинного пространства С4 с координатами Х;, у-1,..,</, то эквивалентом понятия мультииндекса является узел (/-
мерного пространства с целыми неотрицательными координатами к/ > 0, /=1,..,</. Каждому мульгииндексу (узлу) к = (А, ,к2>...*кч) будем ставить в соответствие целое неотрицательное число |А|, называемое его порядком: |А| = ® дальнейшем будут ис-
пользоваться два вида совокупностей мультииндексов (узлов), представляющих собой нижние полурешетки 112].
Будем рассматривать множество К мул ьти индексов (узлов) А, которое является частично упорядоченным множеством, где отношение порядка определяется из условий:
*=/<=> к: I*</<=> к, </,,./'= 1,..,?; |*| <|/|.
Второе из отношений будем интерпретировать следующим образом: узел А предшествует узлу /, или узел / следует за узлом А. Множество К имеет единственный инфимум, которым является нулевой узел (мультииндскс) 0 := (0,0,...,0). При этом полагаем, что из принадлежности узла А е К следует, что и все непосредственно предшествующие ему
26
узлы к(~л е К. Здесь через к('л обозначен узел, непосредственно предшествующий узлу А в направлен и и у: А(';) := (А,Ау_,, к} -1, к;+| ).
Определенное таким образом множество К является нижней полурешеткои. Мри этом если некоторый узел ( е К является супремумом некоторого подмножества нижней полурешетки К, то ей принадлежат все узлы А < /.Узел / называется условным супремумом полурешетки К, если он не является предшествующим для какою-либо ее узла. Задание всех условных супремумов Г,, г = нижней’ полурешетки К однозначно оп-
ределяет ее. Максимум порядков условных супремумов полурешетки К будем называть
степенью полурешетки, и обозначать: := шах ІА . Общее число узлов тк полуре-
ЛсК
щетки К будем называть ее кратностью. Кратность тривиальной полурешетки Кп, состоящей из единственного узла 0, равна, очевидно, единице (в контексте данной работы пустые полурешетки, не имеющие ни одного узла, не представляют интереса). В случае, когда К\ с К2 и К| * К2, для кратностей і|, 12 полурешеток К|, К2,очевидно, выполняется неравенство Т| < 12. В таких случаях можно использовать отношение порядка: К\ < Кі. Рассмотренный вид нижней полурешетки будем называть {-полурешеткои.
Второй вид нижней полурешетки представляет собой симплициальную порядка / нижнюю полурешетку К,, состоящую из совокупности всех узлов (мультииндексов) А = (А,,А,А(/), порядки |А| которых изменяются в пределах от 0 до /. Такую иолурешет-
ку будем называть я-полурешеткой. Кратность ее равна тк = Очевидно, что 8-
полурешетка порядка / является Ьполурешеткой степени / с условными супремумами, которые имеют один и гот же порядок /. Любая ьполурешетка степени I за счет пополнения ее дополнительными узлами может быть преобразована в 8-полурешегку порядка /. В этом случае Б-полурсшстку будем называть описанной около /-полурешетки. Наоборот, Б-полурешетку максимального порядка, содержащуюся в ї-полурешетке, будем называть вписанной в нее.
Дня мультииндексов можно ввести операции сложения и вычи тания, а также операцию умножения на натуральное число. Суммой (разностью) мультииндексов А -(А,,А2,...,А ) и I = (/,,/2,...,/,) называется мультииндекс А±/ := (А,±/,, А,±/,,...,
кц±1я). Произведением мультииндекса А = (А,,А2 на натуральное число п назы-
вается мультииндекс пк := (пк],пк2,...,пкч). Теперь мультииндекс (узел) А(_,) может
1 В дальнейшем характеристику "нижняя" будем опускать.
27
быть представлен в виде А("у) = к-ер где через е) обозначен мультииндекс, отвечающий столбцу / единичной матрицы /,,, т.с. мультииндекс с координатами к= 1, к= О, Щ.
1.1.3. Алгебраические полиномы.
Полином от нескольких переменных ДХ) = ДХ],Х29...,\(/) может быть записан в
виде
ДХ)= , (1.1.1)
к
где ак еС - числовой коэффициент, мультииндекс к = (А,,А2 ,...,А(/) которою определяется соответствующими показателями при параметрах Х]у Х2, ..., Степень монома а^'Х^ ..А** определяется порядком |А| его мультииндекса А, а степень полинома (но совокупности всех параметров) определяется как наивысшая из степеней его мономов: л = тах|А|. Полином называется однородным, если степени всех его мономов сов-
ак
падают. Любое комплексное число, отличное от нуля, является полиномом нулевой степени. Число 0 рассматривается как полином, степень которою не определена. Для простоты записи полинома (1.1.1) будем так же использовать его представление в виде
ДХ)=2>»Х‘. (1.1.2)
к
где иод степенью мультипараметра X с показателем степени, представленным мультииндексом А, понимается выражение:
X* (1.1.3)
С точностью до возможных нулевых (промежуточных, или дополняющих) значений коэффициентов, мультииндексы А и, соответственно, отвечающие им коэффициенты ак полинома (1.1.1) степени 5, образуют инолурешетку степени л (с соответствующими условными экстремумами), или Б-полурешетку порядка /. Этот факт может использоваться для более эффективной организации способа представления (хранения) массива коэффициентов полинома. Рассмотрим два простейших способа представления полинома, отвечающих соответствующим способам упорядочения его мономов.
В первом случае полином записывается в виде)(Х) = 0—Х^.Х^ ,
где .у, = / - степень по параметру Х)У у = 1,При этом его мономы распола-
гаются в следующем лексикографическом порядке. Вначале - но возрастанию показателя А, параметра X,, затем - по возрастанию показателя к2 параметра Х2 и т.д. В по-
28
следнюю очередь мономы упорядочиваются по возрастанию показателя kt/ параметра Хч (при фиксированных показателях остальных параметров). Таким образом, учитывая
все коэффициенты полинома2, его степень полагается равной , тогда как общее
число мономов равно +1). В случае, когда совпадают все степени sf = л, полу-
чаем полином степени qs, состоящий из (а- +1)*' мономов, которому соответствует "кубическая" t-полурсшетка той же степени qs с условными супремумами (0,...Да), (О,... ,5,0),..., (а,0,...,0), (0,...,ад),..., (.v,.v,...yv):
fi}) ~ (^O...flO ^O...Ol4 + ■•• + ^о...Оа^</) ■*■^■^-1(^0...10 + 14 + ••• + CtQ isXt/ ) + ...+
+4-і +ао..*і\+• • •+ao....»v4)+• • •+4-4-і + av.*i 4+• * •+",.,4) •
Во втором случае полином (1.1.1) степени s записывается в порядке возрастания степеней его мономов, располагая мономы одной степени в лексикографическом
порядке, когда моном степени / (число таких мономов равно ') ^ содержащий произведение W ...4 , 1</, </2 <г/, предшествует моному той же степени, содержащему произведение 4,4 4. ’ ^^ — * Ji -Ч ’ ПРИ Условии> ЧТО или /, < у,,
или при /, = у'/, / = 1..Л-1, /А < jk, где 2 < к < t:
/(X) = tf(10...0 (^ю...о4 ^01...о4 * ^0...0l4) **" ^20...о4 *И*П...о44 * • •' * ^00...2 4 ^
+ ... + (я%00...(Л| + 4 +,‘* + ^^-І.ОО.Лі 4+'” + ^ШІ..л-Лі4 + **, + tt000...0«4^'
Полиномы ДХ) и #(Х) называются равными, если все их коэффициенты, отвечающие одним и тем же мультииндексам равны: ак = b *, Vк. Сумма (разность) и произведение полиномов ДХ) и #(Х) являются полиномами, степени которых удовлетворяют очевидным соотношениям: deg (ftg) < max {deg/ deg #}, degifg) = deg/+ deg g.
Операция деления для многопараметрических полиномов (как и однопарамстри-чсских) в общем случае не определена. Она имеет смысл только в случае делимости полиномов: говорят, что полиномДХ) делится на полином #(Х), если существует полином И(к) такой, что выполняется соотношение ДХ) = Л(Х) #(Х). При этом полином #(Х) называется делителем полинома /(X), а полином /X) называется кратным полинома g(X). Очевидно, что deg g < deg/ Частное Л(Х) от деления полинома /(X) на полином #(Х):/(Х)
2 Злесь и далее учитываются все мономы, включая старшие, даже если некоторые из них равны рулю.
29
= /?(Х) #(Х), также является делителем полинома/(X), а полином ДХ) соответственно является кратным полинома /Д).
Полином #(Х) называется общим делителем полиномовУД), /=!,...,А, если существуют полиномы АД), 1=1,...X такие, что выполняются соотношения
/Д) = ЛД)£<Х),г=1,...,А. (1.1.4)
Очевидно, что любой многочлен нулевой степени является делителем любого полинома и, следовательно, общим делителем любой совокупностей полиномов. Полиномы, ПС имеющие общих делителей, отличных от многочленов нулевой степени, называются взаимно простыми. Полином #(Х), удовлетворяющий соотношениям (1.1.4), называется наибольшим общим делителем (НОД) полиномов/Д), Л, если он является их общим делителем и делится на любой другой их общий делитель. Очевидно, что НОД имеет наибольшую степень из всех общих делителей и что соответствующие ему полиномы /*Д), М,...,£, являются взаимно простыми.
Полином #(Х) называется общим кратным полиномов УД), /=!,...,А, если существуют полиномы ЛД), /=1,...,А, такие, что выполняются соотношения
Я(Х)=ЛД)УД),/= 1,...,А. (1.1.5)
Полином #(Х) называется наименьшим общим кратным (НОК) полиномов/Д), /= 1 А,
если он является их общим кратным и на него делится любое другое их общее кратное. Очевидно, что НОК имеет наименьшую степень из всех общих кратных и что соответствующие ему полиномы /?Д), /=1,...,А, являются взаимно простыми.
Полином /(X) называется неприводимым, если его делителями меньшей степени являются только полиномы нулевой степени. В противном случае полином ДХ) называется приводимым^ в этом случае он может быть представлен в виде произведения неприводимых полиномов
./№=[] Л А). (1.1.6)
I
В случае представления мультипараметра в виде X = (Х.ц) полином ДХ,ц) может быть записан по степеням ведущего параметра X:
У0-.М) = п. 1.7)
где коэффициенты ак(\х) являются скалярными полиномами от остальных параметров
ц=(Х2,...,Х</), причем старший коэффициент ям(ц) отличен от нуля. Тогда очевидным
образом определяется степень полинома по параметру X: и = Вели коэффициен-
ты ак (ц), А=0,1,...,м, не имеют общего неприводимого делителя, то полином (1.1.7) на-
30
зовется примитивным пас) кольцом С[ц]. В противном случае полином (1.1.7) представим в виде
= d(li)g(Klî)> (1.1.8)
где d(yi) - НОД коэффициентов я*(ц), Л=0,1,...,и, а £(Х,ц) является полиномом,
примитивным над кольцом С[ц]. Представление (1.1.8) полинома.ДХ,ц) будем называть ею относительной факторизацией по параметру X.
В более общем случае представления мультипараметра X = (ц,0) полином /(ц,0) может быть записан по степеням части параметров, определяющих мультипараметр ц =
(П..-.Л*):
/М)= І«((в)л' = ~nî . (1-1-9)
/ I
где коэффициенты д,(0) являются скалярными полиномами от остальных параметров О = (0,,...,0^_4). Здесь мультииндекс 0 = (0, ,...,0^*) определяется соответствующими показателями степеней параметров т),rjA ; степень члена полинома определяется как сумма этих показателей: |/| = /|+...+/*, а степень полинома по совокупности параметров тЬ-.мЛ* определяется как наивысшая из степеней его членов: v = deg f := max|/|. Вели
все коэффициенты a,(0) полиномаЛЛ'®) ие имеют общего неприводимого делителя, то полином (1.1.8) является примитивным над кольцом С[0] (т.е. неразложимым относительно параметров О, ,...,0^_А). В противном случае полином представим в виде
/{їрв) = </(0)£(Ш (1-1.10)
где d(Q) - 110Д коэффициентов аД0), а £(ц,0) является полиномом, примитивным над
кольцом С[0|. Представление (1.1.10) полинома/(ц,0) будем называть его относительной факторизацией по мультипараметру ц.
Рассматривая всевозможные варианты представления мультипараметра X = (ц,0), где г\ - (г|, ,...,т]А ), 0 = (0,,...,0fl_f), ÿ-1>Æ>l, и обобщая представление (1.1.8) полинома, приходим к так называемой относительной факторизации полинома
л>.)=/д,д3,...дд=П П Л,.,АЛ>--А)> (i-i.ii)
A=l l£f| £(f
где каждый полином//fj ^ (Xf| Д#| ) является примитивным над кольцом полиномов
от любого подмножества его параметров. Представление полинома ДХ.) в виде
/(>.)=А х,д2,...дд=яд) П Л,.А>Ч ЧЛ
lif,
31
где полином является примитивным над кольцом полиномов ог любого подмножества его параметров, будем называть его неполной относительной факторизацией.
А. С теоретико-функциональной точки зрения на полином (1.1.1), т.е. при рас-смотрении нелинейною алгебраического уравнения
его нули определяются как точки X* = (Х*,,Х*2,...,Х’у) е Ся, координаты которых обращают уравнение (1.1.12) в тождество. Полиномы нулевой степени (т.е. отличные от нуля константы) и только они не имеют ни одного нуля.
Если полином ДХ) является неприводимым, то он является базисом главного идеала р П, отвечающего (<у-1)-мериому неприводимому подмножеству О сС'', состоящему из нулей этого полинома. Если полином ДХ) является приводимым и представлен произведением своих неприводимых делителей (1.1.6), то совокупность его нулей состоит, очевидно, из объединения нулей этих неприводимых делителей АД). Нули каждого неприводимого полинома АД) образуют (</-1)-мерное неприводимое подмножество О, сС', называемое (</-1 )-мерным решением уравнения (1.1.12). Обратно, если полином ДХ) обращается в нуль во всех точках (#-1)-мерного неприводимого подмножества О с С" нулей неприводимого полинома А(Х), то полином ДХ) делится на полином А(Х).
Точка X* = (Х'.Д;,... Д* ) является нулем кратности г+1 полинома ДХ), если в этой
точке полные дифференциалы его вплоть до порядка г обращаются в нуль, а дифференциал порядка Ж отличен от нуля:
ных вплоть до порядка г полинома ДХ) при отличии от нуля значения хотя бы одной частной производной порядка г»-1:
Замечании 1. Нулю кратности Ж соответствует л-полурешетка Кг мультииндексов, отвечающих тем частным производным полинома ДХ), значения которых равны нулю. Можно было бы учитывать и равенство нулю значений частных производных порядков больших г при условии, что соответствующие им мультииндексы образуют /-
ЛЛ) = о.
</'/{>.*) = О,/=0,1...„г; СГ'А^ФО.
(1.1.13)
Эти условия эквивалентны равенству нулю значений в точке X всех часі ных произвол
32
полурешетку К* э Кг. В таком случае л-полурешетка Кг является вписанной в /-полурешетку К. При гаком обобщении к кратному нулю можно было бы относить и такую точку Х\ для которой соответствующая /-полурешетка мультииндсксов К* удовлетворяет условиям: К d Ко, но К\ а. К.
2. Очевидно, что кратность любого конечного нуля полиномаДХ) не может превосходить его степени.
Полином /(Х)= V ..Л*’, являющийся сопряженным к полиному fil») вида
к
(1.1.1), имеет очевидные свойства: полиномы, являющиеся ею делителями, или кратными ему, а также его нули являются сопряженными к соответствующим характеристикам полиномаДХ). В частности, /*(Х*) “ f(X*). Рассматривая полиномыДХ) и /(X) от сопряженною мультипараметра X, имеем: /(X*) =/(X)|
До сих пор рассматриваемые нули полинома являлись точками аффинного пространства С* с конечными координатами. Такие нули в дальнейшем будем называть
конечными нулями, и обозначать Сс[/].
В. При переходе от аффинного пространства С* к проективному пространству СП* полином ДХ) степени s принимает вид однородного полинома степени s:
f*(k) := h ,fc,/9e0„..,fcv/k0). (1.1.15)
Очевидно, что при этом разложение полинома ДХ) в произведение неприводимых полиномов (1.1.6) принимает вид
Г(Ь)=ГК(Ь). (1.1.16)
I
Нули полинома /* ( к ) определяются как точки X* = ( Х*0 : к* : Х*2 :... : ) е СПq, координаты которых обращают в тождество уравнение
/■(*)- 0. (1.1.17)
Совокупность C[fK ] нулей полинома /"(*) состоит из объединения нулей неприводимых полиномов из (1.1.16). Нули каждого неприводимого полинома h* (к) образуют (</-1)-мерное многообразие проективного пространства СП*, называемое (<у-1 )~мерным решением полинома f*(k). Точка X* = (X*0 : X* : X*2 :... :Х*у ) является нулем кратности
г+1 полинома /л (9с), если в этой точке полные дифференциалы его вплоть до порядка г обращаются в нуль, а дифференциал порядка г+1 отличен от нуля:
33
</'/*(*>о,/=0,1,.../; Г(к')*о. (1.1.18)
Заметим, что однородные координаты не являются линейно независимыми, поэтому равенство нулю значений дифференциалов (1.1.18) не эквивалентно равенству нулю значений всех частных производных полинома /* (X) соответствующих порядков.
Очевидно, что конечные нули * = (Х*0:Х^ :Х*2 Х*0 * 0 полинома /*(Х), яв-
ляющиеся точками проективного пространства СП*, соответствуют нулям X* = (ЛГ, ,Х2,...,Х*,) полинома ДХ), являющимися точками аффинного пространства С4 Х*; =
Х*;/Х*0,у=1,и имеют с ними одинаковую кратность. "Бесконечные"нули (т.е. нули с бесконечными координатами) полинома ДХ) определяются как нули полинома /*(Х) вида к* = (0:?с*, :Х*2 где ^ Кратность такого нуля полинома /*(Ь)
определяется так, как это описано выше.
Если полиномДХ) является однородным, то /"(X) = ДХ|Д2,...,Х ). Очевидно,
что однородные полиномы, и только они, не имеют бесконечных нулей.
Если допустить возможность фиктивного увеличения степени полинома ДХ) за счет включения дополнительного члена с нулевым коэффициентом (или нескольких таких членов), то это никак не повлияет на его конечные нули. Однако, увеличение степени однородного полинома /" (X) приводит к появлению у него дополнительного делителя к "\ показатель степени (г+1) которого определяется как разность между фиктивной и фактической степенями полинома. Таким образом, приобретается дополнительный "бесконечный” (</-1)-мерный нуль Х*0 = 0, кратность которого равна (г+1).
Если исключить рассмотренный случай фиктивного увеличения степени полинома /(X), то все остальные не являющиеся "бесконечными" нулями точки Х*=(0:Х*: X*2:...: ) проективного пространства СП* можно рассматривать в качестве
"бесконечных" полюсов полинома ДХ). Заметим, что в многопараметрическом случае нет полной аналогии с однопараметрическими полиномами, которые могут иметь на бесконечности только полюс.
С. Если, несмотря на форму представления мультипараметра X = (Х,р), все определяющие его скалярные параметры рассматриваю гея как равноправные, то определение конечных нулей полинома/(Х,ц), представленного в виде (1.1.7), и их кратностей совпадает с определениями, приведенными выше в случае А. Если в относительной фактори-
34
зации (1.1.8) полиномапо мультипараметру р полином (1(ц) отличен от константы, то его нули будем называть ц-нулями полиномаДХ,р).
В случае, когда X является основным (ведущим) параметром, а все остальные параметры, входящие в мультипарамстр р, являются вспомогательными, то нули полинома .ДА.,р) могут интерпретироваться иначе. Следует, по-видимому, разделять их на две совокупности: нули, "зависящие” от ведущего параметра X, которые будем называть X-пулями, и нули, "не зависящие” от ведущего параметра X, которые будем называть р-псевдонулями. Последние совпадают с введенными выше ц-иуляии полинома /(Х,р) в случае равноправных параметров и являются точками цилиндрических многообразий q-мерного аффинного пространства С*7, координаты которых удовлетворяют условиям
К ним, в частности, относятся (д-1)-мерные решения полинома/(Х,р), представленные его делителями й/(ц),не зависящими от X. Очевидно, что такие полиномы должны быть делителями всех коэффициентов д*(р), к= Для исключения их достаточно оп-
ределить наибольший общий делитель ПОД с/(р) полиномов ак (р), £=0,1,...,и, и найти частные от деления на него коэффициентов: ак (р) = с1(р)Ьк (р), £=0,1,...,и. Таким образом, будет получен полином
являющийся примитивным над кольцом С[р] и не имеющий (</-1)-мерных "не зависящих" р-псевдонулей. Остальные нули полинома (1.1.19) совпадают с нулями исходного полинома (1.1.7).
Замечание. Определение Х-нулей полинома ДХ,р) с единственным ведущим параметром X отличается от определения р-нулей полинома ДХ,р) с равноправными параметрами. Аналогичная ситуация будет иметь место и ниже.
Кратность Х-нулей естественно оценивать только по параметру X, т.с. как в однопараметрическом случае. Точка X* = (Х\р*) является нулем кратности Ж полинома ДХ,р), если в этой точке все производные его по параметру X вплоть до порядка г обращаются в нуль, а производная порядка /*+1 отлична от нуля:
ак (р*) = 0, £=0,1,...,п.
к
*0.
(1.1.20)
35
Это эквивалентно определению кратности X* как корня однопараметрического полинома с числовыми коэффициентами: /*(Х) :=у(Х,ц*) = ак(\1*)Хк. Заметим, что степень
полинома /* (X) может оказаться меньше и (если старший коэффициент ям(р*) = 0).
Очевидно, что кратность по параметру X любого конечного нуля полинома/(Х.ц)не может превосходить его степени по параметру X.
Исследование свойств полинома ДХ,р) в бесконечно удаленной точке при "бесконечном" значении ведущего параметра X и при конечных значениях р* = (Х*2,...Д*;)
осуществляется заменой X = к 1 и переходом ог исходного полинома (1.1.7) степени и но параметру X к полиному
7(к) = 7 (к,ц) := к“ Дк'1 ,ц) = • (1.1.21)
Этот полином имеет своими нулями точки к* = (0,ц*), если р* явлются нулями полинома ян(р). Кратность г+1 такого нуля полинома (1.1.21) по ведущему параметру V меньше, или равна и. Последнее будет иметь место, если ак(р*) = 0, Х=1,...,м. Если допустить
возможность фиктивного увеличения степени полинома ДХ,р) за счет включения дополнительного члена с нулевым коэффициентом (или нескольких таких членов), то это никак не повлияет на его конечные нули. Однако это приведет к появлению дополнительного нуля к*=0 полинома (1.1.21), кратность которою определяется как разность между фиктивной и фактической степенями полинома, т.с. дополнительного "бесконечного" полюса Х*= ос соответствующей кратности.
Все изложенное очевидным образом распространяется на полиномы вида Дц,0), а также на полиномы Д ^,0) иД(т|, 0 ).
1.1.4. Системы нелинейных алгебраических уравнений.
А. Рассмотрим систему из р нелинейных алгебраических уравнений
Д<Х) =0,(1.1.22) левые части которых являются полиномами от ц параметров X,, Х2, ..., Х(/. Ее нужны
(совместными нулями) являются точки X* = (X* Д#2,...Д’?) 6 С'', координаты которых
обращают все уравнение (1.1.22) в тождества. Система называется несовместной, если она не имеет ни одного нуля. Следующее утверждение является частым случаем теоремы Гильберта о корнях [10].
1 Речь идет о конечных нулях.
36
Утверждение 1.1.1. Необходимым и достаточным условием несовместности системы
(1.1.22) является существование такой линейной комбинации ее левых частей (полиномов /(X), /= 1,... ,р), которая равна единице:
Известно, что совокупность совместных нулей системы (1.1.22) состоит из объединения замкнутых неприводимых подмножеств (многообразий) аффинного пространства С'', размерность которых может изменяться в пределах от ц-\ до 0. Пусть О - некоторое неприводимое подмножество пространства С1', а Л/Х), 7=1,...,*, - неприводимые полиномы, образующие базис идеала р 0 этого (</-*)-мерного подмножества, т.е. О задается уравнениями
Л/Х) = 0,7=1,...,*. (1.1.23)
Тогда, как следует из теоремы Гильберта о корнях [10], П является (</-*)-мерным решением системы (1.1.23), если существуют полиномы £/Х),у=1 ,...,*, и натуральные числа г„ /=1,...,р, такие, что имеют место соотношения
/: (>-)=£ о.), /=1,.. ■#. (1.1.24)
и
В частности, если 12 - (<у-1)-мерное решение (гиперповерхность), определяемое одним уравнением Л(Х) = 0, то (1.1.24) принимает вид/(X) = £,(Х) Л(Х), /-1т.е. Л(Х) является делителем полиномов /XX), /=1Нульмерное решение (если оно существует) представляет собой точку X* = (Х*,Х*2,...,Х' ) и может быть задано очевидной совокупностью уравнений Л,(Х) := Ху-Х*; = 0,7=1,.. .,#. В этом случае соотношения (1.1.24) при г, = 1 принимают вид:
т=£ялт, 1=1,.(1.1.25)
Заметим, что минимально возможная размерность решения системы (1.1.22) определяется как тах{</-/?, 0}.
Замечании. 1. Необходимым и достаточным условием взаимной простоты совокупности полиномов/(X), /=!,...р, являегся отсутствие (</-1)-мерных решений у соответствующей системы (1.1.22).
37
2. Для того чтобы полином #(Х) являлся ПОД или НОК полиномов/(X), г= 1,...Ж необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения (1.1.4) или (1.1.5), соотвегст-
Ы>о = о,
венно, и система < не имела (^-1 )-мерных решении.
[И, (X.) = О, / = 1,...Д,
Системы нелинейных алгебраических уравнений /(X) = 0, /=1,и /’ (X) = О, 1=1,...,/?, конечные нули которых совпадают, называют эквивалентными. Очевидным является следующее утверждения.
Утверждение 1.1.2. Для того, чтобы две систем нелинейных алгебраических уравнении были эквивалентными достаточно, чтобы левые части уравнений каждой из систем являлись линейными комбинациями левых частей уравнений другой системы :
т = а„ (1)1 (/.),/=1„,.,р, (1.1,26а)
/ М = Ей К (Щ (1.1.26Ь)
с полиномиальными коэффициентами а1}(к), Ь0(к).
Утверждение 1.1.3. Пересечение и объединение пулей двух систем нелинейных алгебраических уравнений ДХ) = 0, /=1,и ^(Х) = 0,у-1,являются нулями соответ-
{/ (X) = 0, / = 1 /улч /Л___V _ Л • | • I
ственно системы \ и системы /,(Х) едХ) = 0, /= 1,...,/?;у= 1,... у.
(8, (X) = 0, / = 1 г,
Рассматриваемые выше нули системы нелинейных алгебраических уравнений являлись гонками аффинного пространства С'' с конечными координатами, т.е. конечными нулями.
В. При переходе от аффинного пространства С* к проективному иросгранству СП* система нелинейных алгебраических уравнений (1.1.22) принимает вид
/Г(к) = 0,/=!,...,/;, (1.1.27)
а система уравнений (1.1.23), определяющих се (</-£)-мерное решение, принимает вид
л/(Ь) = о,у=1,...,х.
Заметим, что степени однородных полиномов/Я(Х), /=!,..../;, в левых частях системы (1.1.27), вообще говоря, мшут быть различными и что, в общем случае, каждое равенство вида (1.1.24) будуп выполняться для однородных полиномов/* (X), И," (к), #,/(к) с точностью до дополнительного множителя в левой части, представленного некоторой целой положительной степенью к0 .
38
Кратность конечных нулей системы нелинейных алгебраических уравнений
(1.1.22) и "бесконечных" нулей системы нелинейных алгебраических уравнений (1.1.27) определяется аналогично описанному в предыдущем пункте. При этом для нуля X* ( к* ) кратности г+1 равенство нулю значений дифференциалов порядков 0,1,.../ должно выполняться для всех полиномов /=1,а от нуля отличаться значение дифференциала порядка г+1 хотя бы одного из полиномов.
С. Если система нелинейных алгебраических уравнений имеет вид
ДМ := 0»А‘ = 0. (1.1.28)
то каждое ее (ц-к)-мерное решение определяется системой из к уравнений
//ДМ = 0,У=1,...Л (1.1.29)
при выполнении соотношений
/,'■ (М=Е я« (^, и)*, (>., ц), 1. .р.
у-1
Если, несмотря на форму представления мультипараметра X = (Х,р), все определяющие его скалярные параметры рассматриваются как равноправные, то определения конечных нулей системы (1.1.28) и их кратностей совпадают с определениями, приведенными выше в случае А. Если существуют (<у-£)-мерные решения, определяемые системами вида Л/р) = 0,у-1,...,А, то их будем называть ц-нуля\ш системы (1.1.28).
В случае, когда р является лишь вспомогательным мультипараметром, то, в соответствии с п. 1.1.ЗС будем различать Х-нули, определяемые системами вида (1.1.29), где среди полиномов |),у= хотя бы один действительно зависит от параметра X, и р-псевдонули, определяемые системами вида (1.1.29), где все полиномы Л/Х,р),у-1,...Ж зависят только от р и не зависят от X. К последним относятся нули, определяемые системой а1к (р) = 0, Х=0,1,...дл, /=!,..левые части которой представляют коэффициенты всех полиномов исходной системы (1.1.28).
Кратность конечных Х-нулей системы (1.1.28) определяется аналогично тому, как это описано в 1.1.2 С. При этом равенство нулю значений производных в (1.1.20) порядков 0,1,.../ должно выполняться для всех полиномов /(Х,р), /=1,.а от нуля отличаться значение производной порядка г+1 хотя бы одного из полиномов.
Для исследования Х-нулей системы (1.1.28) в бесконечно удаленных точках X* = (оо,р4) следует в соответствии с п. 1.1.ЗС перейти к системе
/(к,р) := ки>Дк~' ,р)=0, (1.1.30)
где ііі = сіе&Д /=1,и определить ее нули вида к* = (0,р ) и их кратности.
39
1.1.5. Рациональные функции.
А. Рациональная функция от нескольких переменных представляет собой дробь
Г(Х) = Ш. ЛМ-2.-Л) (1131)
«(»•)
числителем ДХ) и знаменателем #(Х) которой являются алгебраические полиномы от
1/11 1 1 л - /М
мультипараметра Х = (Х,,Х2,...Д). Дроби и называются равными, если вы-
полняется равенство ДХ) г(Х) = м(Х) #(Х).
Как и в однопараметрическом случае, очевидным образом вводятся понятия правильной и несократимой дроби. Дробь называется несократимой, если числитель и знаменатель являются взаимно прость 1ми полиномами, т.с. их ИОД равен единице. Гак как любая приводится к несократимой дроби (делением числителя и знаменателя на их НОД), будем полагать далее, что рассматриваемые дроби уже является несократимыми. Дробь (1.1.31) называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя: (1е§/< deg£. К правильной дроби относят и число нуль. В многопараметрическом случае, в отличие ог однопараметрического случая, не любая неправильная дробь может быть представлена в виде суммы полинома и правильной дроби.
В случае, когда дробь представлена в виде
г(Х,м)=Л^1, (1.1.32)
£(*•>(*)
можно использовать понятие дроби правильной по параметру X, когда у.
Как и в предыдущем случае к правильной по параметру X дроби относи гея и число нуль.
Справедливо следующее утверждение, относящееся к приведению нескольких дробей к общему знаменателю.
Утверждение 1.1.4. Для того чтобы полином \|/(Х) являлся НОК знаменателей г,(Х) не-
Л г - "Д> • ,
сократимых оробей , 1=1,...р.
по.)
\|А) ='’А) и-Д), еА) = «А) »’А), = . <= I .•••/>.
у,А) у А)
необходимо и достаточно, чтобы полиномы \р(Х), г.,(Х), /=1,.были взаимно просты-
¥(Х) = 0,
ми, т.е. чтобы система нелинейных алгебраических уравнений <( не имела конечных (д-\)-мерныхрешений.
|сДХ) = 0,/ =р,
40
Рациональные функции, также как и полиномы, будут интересовать нас не только как элементы алгебраической структуры, являющейся полем, но и как собственно функции. Конечные нули Сс[г] и полюса сос[г] дроби (1.1.31) определяются как конечные нули взаимно простых алгебраических полиномов/(X) и #(Х), являющихся се числи гелем и знаменателем соответственно. Таким образом, оба вида особых точек представляют собой (</-1 )-мерныс многообразия аффинного пространства С*. В многопараметрическом случае появляется дополнительный вид особых точек X* = (X* Д;,...Д;), являющихся одновременно нулями и числителя, и знаменателя несократимой дроби. Они
являю гея нулями (решением) системы | ^) ’ Предположение о взаимной простоте
Ы>0 = о.
полиномов ДХ) и #(Х) означает, что особые точки неопределенности 1с[г] дроби (1.1.31) образуют совокупность (<у-2)-мерных многообразий аффинного пространства С4.
Очевидно, что особые точки сопряженной рациональной функции г (X) = —— яв-
ляются сопряженными к соответствующим особым точкам г(Х).
В. При переходе от аффинного пространства С* к проективному пространству СП4,т.е. при выполнении замены Ху = Х7/Х0)/=1,...,^, дробь(1.1.31) принимает вид
/•(ХД0,Х,/Х(),...Л/Х0) ( 1'ПЛ
г'Ск)- ■ ' —— " " 0 (1.1.33)
л, А,) **(*)
где .у = с^/и I - Определяя особые гочки такой дроби аналогично предыдущему случаю, имеем для нулей и полюсов С\г" ] э С[/Т ], со[гл) з С\хя \. Точки неопределен-
{/'"(&) = о,
ности 1|гп | дроби (1.1.33) содержат нули системы { * ’ При г * л помимо беско-
ид№)=о.
нечно удаленных особых точек, определяемых неприводимыми делителями полиномов /*(X) и ^'(Х), (</-1)-мерное решение, определяемое уравнением Х0 = 0, при / < у является полюсом кратности (.у—/), а для правильной дроби при / > л - нулем кратности (/-.у). Соответственно дополнительные бесконечно удаленные точки неопределенности опре-
]/■(*) = о, ( *„=о,
деляются нулями системы < или системы <
1 К = о Ь‘а) = о.
Замечание. Алгебраический полином степени .у > 0, рассматриваемый как частный вид рациональной функции, имеет в качестве конечных особых точек только нули, а в каче-
41
стве бесконечно удаленных полюсов кратности 5 точки (<7-1)-мерного многообразия, определяемого уравнением Х0 = 0.
С. При рассмотрении несократимой дроби г(Х,р) вида (1.1.32) при особом статусе параметра X ее конечные особые точки: Х-нули и р-псевдонули, X-пол юса и ц-псевдополюса, а также Х-точки неопределенности и р-псевдоточки неопределенности определяются соответственно как Х-нули и р-нсевдонули числителя .ДХ,р), знаменателя #(Х,р) и системы
|/(Х, I*) = °, (1.1.43)
[/»(X, ц) = 0.
Для рассмотрения "бесконечных" особых точек X = («>,р*) дроби (1.1.32) следует сделать замену X = к"1 и перейти к дроби
г(к):= ?(к,ц):=г(к‘',ц)= ■' ^ ,г~у =к
.- Л*'»!1) = к -■ Л*»!*)
^(кг',ц) £'(к,ц)'
где и = и V = (1е&х£ - соответственно степени по параметру X полиномов у(Х,р) и #(Х,р). Таким образом, у-нули вида к* = (0,р*) полиномов /(к,р), £(к,р) и системы
ЙК'Ц) = 0’ (1.1.45)
1Жк, Ю = о.
определяю! соответственно "бесконечные" Х-нули, Х-полюса и Х-точки неопределенности дроби (1.1.36). Исли V * м, то помимо указанных "бесконечных" особых точек уравнение V = 0 определяет (<у-1)-мсриос многообразие нулей, или полюсов кратности |г-м| соответственно при V > и, или V < и. При этом, очевидно, следует учитывать все, сказанное выше об алгебраических полиномах, представленных в гаком виде, соответствующих уравнениях и системах уравнений (см. пп. 1.1.2 С, 1.1.3 С).
Замечание. Алгебраический полином ДХ,р) степени и > 0 по параметру X, рассматриваемый как частный вид рациональной функции, имеет (</-1)-мсрное многообразие "бесконечных" полюсов кратности и, определяемые уравнением к= 0. Ьго "бесконечные" нули определяются в соответствии СП. 1.1.3.
1.1.6. Системы рациональных уравнений.
А. Рассматриваются системы рациональных уравнений
гМ"^=09Ы9...л (1.1.34)
42
левые части которых суть несократимые рациональные функции. Особые точки системы (1.1.34) определяются следующим образом.
Полюса системы рациональных уравнений определяется как совокупность полюсов всех левых частей системы, т.е. как совокупность нулей их знаменателей &(Х), /=!,...,р. Кратность полюса X* = (X*, определяется как кратность нуля полинома \|/(Х), являющегося НОК знаменателей £,{Х), 7=1 \|/(Х) = £,(Х) и',(Х), М,.т.е.
как решение уравнения
у(Х) = 0. (1.1.35)
Нули системы рациональных уравнений (1.1.34) определяются как решение системы линейных алгебраических уравнений
т=о, м,..(1.1.36)
не являющиеся при этом решением уравнения (1.1.35).
Особые точки неопределенности системы рациональных уравнений (1.1.34) определяются как решение совместной системы уравнений
{',<1>'0’ (1X37)
.............
Кратности нулей и точек неопределенности определяются как кратности нулей систем (1.1.36) и (1.1.37) в соответствии с п. 1.1.3 Л.
Очевидно, что особые точки сопряженной системы /;(Х) ^ = о, /=1,...,/>, яв-
#,<*■)
ляются сопряженными к соответствующим особым точкам системы (1.1.34).
Системы рациональных уравнений г,(Х) = 0, и /;(Х) = 0, /=1,особые
точки которых совпадают, называются эквивалентными. Очевидным является следующее утверждение.
Утверждение 1.1.5. Для того, чтобы две систем рациональных уравнений были эквивалентными достаточно, чтобы левые части уравнений каждой из систем являлись линейными комбинациями левых частей уравнений другой системы:
М " Ен «* ^ (*)•*=! - •* <'1 •'1 -38а)
Ш =£>,(*№• »-Ь---,/»- (1.1.38Ь)
с полиномиальными коэффициентами ау(Х), Ь0(к).
Действительно, НОК у(Х) и у(Х) знаменателей рациональных функций г,(Х),
1-1и г, (X), /-1,совпадают, так как знаменатель каждой рациональной функ-
43
ции Г'(к) будет делителем у(Х), и наоборот. Далее, нули системы (1.1.38а) являются, очевидно, нулями системы (1.1.38Ь), и наоборот. Совпадение же точек неопределенности следует теперь из вида системы (1.1.37), определяющей их (она состоит из уравнений, определяющих совпавшие нули, и уравнения, определяющего совпавшие полюса).
В. При переходе от аффинною пространства С7 к проективному пространству С1Г',т.е. при выполнении замены к) = к/ 1к0>у-система (1.1.34) принимает вид
где .V/ = deg /; и /, = с!её Таким образом, бесконечно удаленные особые точки системы (1.1.34) определяются неприводимыми делителями полиномов] *{к) и £,"(*) и степенями полинома &0. Полюса определяются из уравнения к £ у" (к) - 0, где уп (к) -
НОК полиномов £/"(&), /=1,.а IV = тах{.у,-/,}. Нули определяются из системы ^ МЧ*) = где V, := тах{/-л„0}, Особые точки неопределенности
ее конечные особые точки определяются следующим образом. Конечные ^-полюса и ц-пссвдополюса определяются как соответствующие нули уравнения
где у()..ц) - НОК знаменателей Н,...,р. Конечные Х,-нули р-псевдонули опреде-
ляются как соответствующие решения системы уравнений /(Х,ц) = 0, /=1не являющиеся одновременно решением уравнения (1.1.41). Конечные ^-точки неопределенности и ц-точки неопределенности находятся как соответствующие нули системы урав-
Для рассмотрения "бесконечных” особых точек системы (1.1.40) следует сделать замену к = к_| и перейти к системе
(1.1.39)
определяются из системы
С При рассмотрении системы рациональных уравнений вида
(1.1.40)
уМО = 0,
(1.1.41)
нении
44
где и, = (1 и V, ~ (1е& - соответственно степени по параметру X полиномов /Д,ц) и
#,(А,||), /=1 у...,р. Далее, в соответствии с вышеизложенным найти ее особые точки вида к = (0,р*), которые и определяют соответствующие бесконечные'1 особые точки X* -(оо,ц*) системы (1.1.40).
При этом, очевидно, следует учитывать все, сказанное выше об алгебраических полиномах и рациональных функциях, представленных в рассматриваемом виде, соответствующих нелинейных алгебраических уравнениях и их системах (см. пн. 1.1.ЗС ,
1.1 АС и 1.1.5С).
1.2. Векторные пространства над полем рациональных функций и модули над кольцом полиномов.
Приводятся основные понятия, относящиеся к векторам, компоненты которых являются алгебраическими полиномами и рациональными функциями от нескольких переменных, формы их представления и некоторые их свойства. Рассматриваются базисы рациональных векторных пространств и их подпространств, в том числе, полиномиальные базисы.
1.2.1. Рациональные и полиномиальные векторы.
А. Будем рассматривать л-мерное векторное пространство Сг| (X), определенное над полем С(Х). Компоненты любого многопараметрического рационального вектора г(Х.) ^ со! { г,(Х) }", е С"(Х) представляют собой рациональные функции от мультипарам етра X:
г,{Х)=^7,/=1,...,л. (1.2.1)
я, Ш
Основной интерес будет представлять модуль СЛ(/.] из многопараметрических полиномиальных векторов х(Х) = со1 {*Д)} "=,, т.е. векторов, компоненты дгДХ), /=1,...,л, которых являются алгебраическими полиномами от мультипарамстра X = (X, 9Х2..9ХЧ):
**.) = £«,»*'»*■..>£ ^ . (1.2.2) к к
Здесь ак € С" - векторный коэффициент, мультииндекс А = (А,,А2 ,...,А(у) которою определяется, как и для ска!ярного полинома, соответствующими показателями при параметрах X,, Х2, Х(/. Как и в скалярном случае, степень члена полиномиального
вектора определяется порядком |А| его мультииндекса А, а степень полиномиального
45
вектора (по совокупности всех параметров) определяется как наивысшая из степеней его членов: s = deg л: maxjAl. Другими словами, степень полиномиального вектора
at *0 '
определяется как наивысшая степень его компонент. Полиномиальный вектор будем называть однородным, если степени всех его членов совпадают (т.с. все компоненты вектора являются однородными полиномами одной и той же степени). Любой постоянный ненулевой вектор является полиномиальным вектором нулевой степени. Нулевой вектор является полиномиальным вектором, степень которого не определена. Полиномиальный вектор jc(X) будем называть свободным вектором, если его компоненты хД), /=1,...,я, являются взаимно простыми полиномами.
Для полиномиальных векторов остаются справедливыми также замечание из п.
1.1.3, приведенное дія скалярных полиномов, и определение равенства двух векторов:
дД) =>Д) <=> ak = bk, VA.
Очевидно, что полиномиальные векторы, принадлежащие модулю С" [Я], принадлежат также и векторному пространству С" Д) рациональных векторов, поэтому на них распространяются практически все определения и свойства векторного пространства.
Система векторов хД), /'=!,...,т, называется линейно зависимой над полем СД), или над кольцом Ся [Я], если существуют не все равные нулю рациональные, или полиномиальные коэффициенты а,(Я) такие, что
Х>,(Л)*Д) =0, (1.2.3)
или в матричном виде
АД) д(Я) = О, где Х(к) := row {дг, (>.)}”, a().):=col {а, (>.)}”,.
Система векторов хД), /=1 ,...,т, называется линейно независимой над полем СД), или над кольцом С [Я], если равенство нулю их линейной комбинации (1.2.3) возможно только при всех нулевых коэффициентах: аД) =• 0, /=1,...,т.
Если система векторов хД), /=1,...,т, линейно зависима над С(Я), или над С|Я], то хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных. Действительно, в (1.2.3) один из коэффициентов, например, а„Д) должен быть отличным от
тождественного нуля, тогда хт(к) = Х^'р,(Я)*,(Я), где рД) = -аД)/а„Д). Очевидно,
что и для полиномиальных векторов коэффициенты рД) являются, в общем случае, рациональными функциями.
46